Как найти доп точки для параболы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

This is a mathematical educational video on how to find extra points for a parabola. In the first two examples there is no need for finding extra points as they have five points and have zeros of the parabola. In example 3 we need to find extra points. The equation is y=4xsquare-4x+4. You can take x= -1 and get the value for y. You will get a point now. Similarly you can substitute -2 for x in the same equation and get the value for y. Now you get another point. Now you can draw the parabola.

Want to master Microsoft Excel and take your work-from-home job prospects to the next level? Jump-start your career with our Premium A-to-Z Microsoft Excel Training Bundle from the new Gadget Hacks Shop and get lifetime access to more than 40 hours of Basic to Advanced instruction on functions, formula, tools, and more.

Buy Now (97% off) >

Other worthwhile deals to check out:

97% off The Ultimate 2021 White Hat Hacker Certification Bundle
98% off The 2021 Accounting Mastery Bootcamp Bundle
99% off The 2021 All-in-One Data Scientist Mega Bundle
59% off XSplit VCam: Lifetime Subscription (Windows)
98% off The 2021 Premium Learn To Code Certification Bundle
62% off MindMaster Mind Mapping Software: Perpetual License
41% off NetSpot Home Wi-Fi Analyzer: Lifetime Upgrades

Источник

График квадратичной функции

График квадратичной функции y=ax²+bx+c, (где a, b, c — числа, причём a≠0) — парабола. При a>0 ветви параболы направлены вверх, при a<0 — вниз.

Как и в частном случае — y=±x²+bx+c — существуют различные способы построения графика функции y=ax²+bx+c. Рассмотрим два из них.

I способ — по точкам.

1) Ищем координаты вершины параболы.

2) Находим точки пересечения графика с осями координат.

3) Для более точного изображения графика подбираем дополнительные точки. Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси Ox, является осью симметрии параболы. Поэтому в качестве дополнительных точек можно взять несколько точек либо справа, либо слева от вершины (где проще находить y), после чего построить симметричные им точки.

Примеры.

1) Построить график функции y=0,25x²+0,5x-4,75.

Решение:

y=0,25x²+0,5x-4,75 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (так как a=0,25>0). Координаты вершины параболы

$[{x_o} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 0,5}}{{2 cdot 0,25}} = - 1,]$

$[{y_o} = 0,25cdot{( - 1)^2} + 0,5cdot( - 1) - 4,75 = - 5.]$

Первая точка графика — (-1; -5).

Ищем точки пересечения параболы с осями координат. В точке пересечения с осью Ox y=0, то есть нужно решить уравнение 0,25x²+0,5x-4,75=0. Его дискриминант равен 5, искать корни смысла нет, поскольку положение точек в этом случае можно найти только приближенно.

В точках пересечения с осью Oy x=0, поэтому y(0)=0,25∙0²+0,5∙0-4,75=-4,75.

Вторая точка графика — (0; -4,75).

Прямая x= -1, проходящая через вершину параболы параллельно оси Ox, является осью симметрии параболы.

В качестве дополнительных берем точки справа от оси симметрии (проще вычислять y).

Найдём значение функции при x=1, x=3, x=5 и x=7 (удобнее брать нечётные значения x, поскольку в этом случае получаем целые значения y).

y(1)=0,25∙1²+0,5∙1-4,75=-4, точка (1; -4);

y(3)=0,25∙3²+0,5∙3-4,75=-1, точка (3; -1);

y(5)=0,25∙5²+0,5∙5-4,75=4, точка (5; 4);

y(7)=0,25∙7²+0,5∙7-4,75=11, точка (7; 11).

Найденные точки отмечаем на координатной плоскости. Строим точки, симметричные отмеченным относительно прямой x= -1. Через полученные точки проводим параболу:

График квадратичной функции y=0,25x²+0,5x-4,75

2) Построить график функции y= -2x²+12x-10.

Решение:

y= -2x²+12x-10 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (так как a=-2<0).

Координаты вершины параболы

$[{x_o} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 12}}{{2 cdot ( - 2)}} = 3,]$

$[{y_o} = - 2 cdot {3^2} + 12 cdot 3 - 10 = 8.]$

(3; — вершина, x=3 — ось симметрии параболы.

В точках пересечения графика с осью Ox y=0, то есть решаем уравнение -2x²+12x-10=0. Его корни — x=1 и x=5. Получили точки графика (1; 0) и (5; 0).

В точке пересечения графика с осью Oy x=0:

y= -2∙0²+12∙0-10= -10. Точка графика — (0; -10).

Дополнительную точку возьмём справа от оси симметрии: x=2.

y= -2∙2²+12∙2-10= 6, (2; 6).

Найденные 5 точек отмечаем на координатной плоскости. Находим еще две точки, симметричные относительно прямой x=3 точкам (0; -10) и (2; 6). Через эти семь точек проводим параболу:

График квадратичной функции y=-2x²+12x-10

3) Построить график функции

$[y = frac{1}{3}{x^2} - x + 2]$

Решение:

$[y = frac{1}{3}{x^2} - x + 2]$

— квадратичная функции. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (так как a=1/3>0). Координаты вершины параболы

$[{x_o} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - ( - 1)}}{{2 cdot frac{1}{3}}} = frac{3}{2} = 1,5,]$

$[{y_o} = frac{1}{3} cdot {(frac{3}{2})^2} - frac{3}{2} + 2 = frac{5}{4} = 1,25.]$

Первая точка графика — вершина (1,5; 1,25) — найдена.

Чтобы найти точки пересечения графика с осью Ox, надо решить уравнение

$[frac{1}{3}{x^2} - x + 2 = 0]$

Его дискриминант — число отрицательное. Значит, уравнение не имеет корней, а график функции не пересекает ось абсцисс.

Чтобы найти точку пересечения графика с осью Oy, находим значение функции при x=0:

$[y(0) = frac{1}{3} cdot {0^2} - 0 + 2 = 2.]$

Вторая точка графика — (0; 2).

Прямая x=1,5, проходящая через вершину параболы — её ось симметрии. Найдем пару точек графика слева от оси симметрии.

$[y( - 1) = frac{1}{3} cdot {( - 1)^2} - ( - 1) + 2 = 3frac{1}{3},]$

$[y( - 3) = frac{1}{3} cdot {( - 3)^2} - ( - 3) + 2 = 8.]$

Таким образом, получили ещё две точки

$[( - 1;3frac{1}{3});( - 3;8).]$

На координатной плоскости отмечаем найденные точки, затем — точки, симметричные им относительно оси симметрии, и проводим через них параболу:

График квадратичной функции y=(1/3) x²-x+2

В алгебре с построением графиков, в том числе, графиков квадратичных функций, приходится иметь дело при решении заданий из самых разных разделов. Вот почему важно вовремя успешно овладеть навыками построения квадратичной параболы.

Другой способ построения графика квадратичной функции рассмотрим в следующий раз.

Источник

Home » 8 класс » Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax²+bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax²+bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а<0 то ветви параболы направлены вниз.
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

2 ) Вершина параболы, ее находят по формуле x=(-b)/2a, найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y;

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax²+bx+c=0;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax²+bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax²+bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax²+c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

Как решать квадратные уравнения посмотреть тут.

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x²+4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2)²+4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x²+4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b²-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x²+4x+3 значения
y=(-4)²+4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)²+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)²+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)²+4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x²+4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1<0.
a=-1 b=4 c=0 x=(-b)/2a=(-4)/(2*(-1))=2 y=-(2)²+4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x²+4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x²+4x значения
y=0²+4*0=0
y=-(1)²+4*1=-1+4=3
y=-(3)²+4*3=-9+13=3
y=-(4)²+4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x²-4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0)²-4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x²-4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax² +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x²=4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x²-4 значения
y=(-2)²-4=4-4=0
y=(-1)²-4=1-4=-3
y=1²-4=1-4=-3
y=2²-4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Источник

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют
функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика)
дальнейшее изучение других
видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Запомните!

Квадратичная функция — это функция вида

y = ax² + bx + c,

где a,
b и с — заданные числа.

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень,
в которой стоит «x» — это «2»,
то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a»,
«b» и «с».

Квадратичная функция	Коэффициенты
y = 2x² − 7x + 9	a = 2 b = −7 с = 9
y = 3x² − 1	a = 3 b = 0 с = −1
y = −3x² + 2x	a = −3 b = 2 с = 0

Как построить график квадратичной функции

Запомните!

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

Также парабола может быть перевернутой.

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции.
Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x² −7x + 10».

Направление ветвей параболы

Запомните!

Если «a > 0», то ветви направлены вверх.

Если «a < 0», то ветви направлены вниз.

В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы

Запомните!

Чтобы найти «x₀»
(координата вершины по оси «Ox»)
нужно использовать формулу:

Найдем «x₀» для нашей функции «y = x² −7x + 10».

Теперь нам нужно найти «y₀»
(координату вершины по оси «Oy»).
Для этого нужно подставить найденное значение «x₀» в исходную функцию.
Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке
«Как решать задачи на функцию» в подразделе
«Как получить значение функции».

y₀(3,5) =
(3,5)² − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 =

−12,25 + 10 = −2,25

Выпишем полученные координаты вершины параболы.

(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

Отметим вершину параболы на системе координат.
Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график
относительно оси «Oy».

Нули функции

Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

Запомните!

Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox»
(осью абсцисс).

Наглядно нули функции на графике выглядят так:

Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата
по оси «Oy» равна нулю.

Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

Запомните!

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо
«y = 0».

Подставим в заданную функцию «y = x² −7x + 10»
вместо «y = 0» и решим полученное
квадратное уравнение
относительно
«x» .

0 = x² −7x + 10
x² −7x + 10 = 0

x_1;2 =

7 ±
√49 − 4 · 1 · 10

2 · 1

x_1;2 =

x₁ =	x₂ =
x₁ =	x₂ =
x₁ = 5	x₂ = 2

Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения
с осью «Ox».
Назовем эти точки и выпишем их координаты.

(·) B (5; 0)
(·) C (2; 0)

Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

Дополнительные точки для построения графика

Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x».
Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox»,
которые наиболее близки к оси
симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

x	1	3	4	6
y

Для каждого выбранного значения «x»
рассчитаем «y».

y(1) = 1² − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
4
y(3) = 3² − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 =
−2
y(4) = 4² − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 =
−2
y(6) = 6² − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 =
4

Запишем полученные результаты в таблицу.

x	1	3	4	6
y	4	−2	−2	4

Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

Теперь мы готовы построить график.
На забудьте после построения подписать график функции.

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции.
Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции
«y = −3x² − 6x − 4».

Направление ветвей параболы

«a = −3» — ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы

x₀ =
x₀ = =

= −1

y₀(−1) = (−3) · (−1)² − 6 · (−1) − 4 =
−3 · 1 + 6 − 4 = −1

(·) A (−1; −1)

— вершина параболы.
Нули функции
Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).

0 = −3x² − 6x − 4

−3x² − 6x − 4 = 0 |·(−1)

3x² + 6x + 4 = 0

x_1;2 =

−6 ±
√6² − 4 · 3 · 4

2 · 1

x_1;2 =

x_1;2 =

Ответ: нет действительных корней.

Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось
«Ox».

Вспомогательные точки для: «x = −3»;
«x = −2»;
«x = 0»;
«x = 1». Подставим в исходную функцию
«y = −3x² − 6x − 4».

y(−3) = −3 · (−3)² − 6 · (−3) − 4
= −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13

y(−2) = −3 · (−2)² − 6 · (−2) − 4
= −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4

y(0) = −3 · 0² − 6 · 0 − 4
= −4

y(1) = −3 · 1² − 6 · 1 − 4
= −3 −6 − 4 = −13

x	−3	−2	0	1
y	−13	−4	−4	−13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые
не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки
«(−2; −4)» и «(0; −4)».
Построим и подпишем график функции.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Построение параболы

Алгоритм построения графика параболы

Если парабола задана уравнением $y=ax^{2} +bx+c$ , то чтобы построить ее график, понадобится:

Выяснить направление ветвей параболы: если коэффициент , то ветви направлены вверх, а если – вниз.
Определить координаты вершины параболы. Чтобы определить абсциссу вершины параболы пользуются формулой
$[x_{bep} =-frac{b}{2a} ]$

Для определения ординаты вершины параболы нужно подставить в уравнение параболы вместо найденное в предыдущем шаге значение $x_{bep}$ :

$[y_{bep} =yleft(x_{bep} right)=acdot x_{bep}^{2} +bcdot x_{bep} +c]$
Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси .
Найти точки пересечения с осями координат:

– с осью – найти корни уравнения $ax^{2} +bx+c=0$ , если уравнение не имеет действительных корней, то график не пересекает ось абсцисс,

– с осью – подставить в уравнение значение и вычислить значение .

Найти координаты произвольной точки , которая принадлежит параболе. Для этого возьмем произвольное значение и подставим его в уравнение параболы.
Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник