Как найти дополнение множества примеры - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Порой обучение продвигается с трудом. Сложная теория, непонятные задания… Хочется бросить. Не сдавайтесь, все сложности можно преодолеть. Рассказываем, как

Не понятна формулировка, нашли опечатку?

Выделите текст, нажмите ctrl + enter и опишите проблему, затем отправьте нам. В течение нескольких дней мы улучшим формулировку или исправим опечатку

Что-то не получается в уроке?

Загляните в раздел «Обсуждение»:

Изучите вопросы, которые задавали по уроку другие студенты — возможно, ответ на ваш уже есть
Если вопросы остались, задайте свой. Расскажите, что непонятно или сложно, дайте ссылку на ваше решение. Обратите внимание — команда поддержки не отвечает на вопросы по коду, но поможет разобраться с заданием или выводом тестов
Мы отвечаем на сообщения в течение 2-3 дней. К «Обсуждениям» могут подключаться и другие студенты. Возможно, получится решить вопрос быстрее!

Подробнее о том, как задавать вопросы по уроку

Источник

Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение и различие

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Набор — это набор предметов.

Мы обозначаем набор с помощью заглавной буквы, а элементы в наборе определяем с помощью фигурных скобок. Например, предположим, что у нас есть некоторый набор под названием «A» с элементами 1, 2, 3. Мы запишем это так:

А = {1, 2, 3}

В этом руководстве объясняются наиболее распространенные операции с множествами, используемые в теории вероятностей и статистике.

Союз

Определение: Объединение множеств A и B — это множество элементов, которые находятся либо в A, либо в B.

Обозначение: А ∪ В

Примеры:

{1, 2, 3} ∪ {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}
{1, 2, 3} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}

Перекресток

Определение: Пересечение множеств A и B — это множество элементов, которые находятся как в A, так и в B.

Обозначение: А ∩ В

Примеры:

{1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = {∅}
{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}
{1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}

Дополнение

Определение: Дополнением множества A называется множество элементов, которые входят в универсальное множество U, но не входят в A.

Обозначение: A’ или A c

Примеры:

Если U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и A = {1, 2}, то A c = {3, 4, 5, 6}
Если U = {1, 2, 3} и A = {1, 2}, то A c = {3}

Разница

Определение: Разность множеств А и В — это множество элементов, которые есть в А, но отсутствуют в В.

Обозначение: А – Б

Примеры:

{1, 2, 3} – {2, 3, 4} = {1}
{1, 2} – {1, 2} = {∅}
{1, 2, 3} – {4, 5} = {1, 2, 3}

Симметричная разница

Определение: Симметричная разность множеств A и B — это множество элементов, которые находятся либо в A, либо в B, но не в обоих.

Обозначение: А Δ В

Примеры:

{1, 2, 3} ∆ {2, 3, 4} = {1, 4}
{1, 2} ∆ {1, 2} = {∅}
{1, 2, 3} Δ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Декартово произведение

Определение: Декартово произведение множеств A и B — это множество упорядоченных пар из A и B.

Обозначение: А х В

Примеры:

Если A = {H, T} и B = {1, 2, 3}, то A x B = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (T, 1), ( Т, 2), (Т, 3)}
Если A = {T, H} и B = {1, 2, 3}, то A x B = {(T, 1), (T, 2), (T, 3), (H, 1), ( Н, 2), (Н, 3)}

Написано

Замечательно! Вы успешно подписались.

Добро пожаловать обратно! Вы успешно вошли

Вы успешно подписались на кодкамп.

Срок действия вашей ссылки истек.

Ура! Проверьте свою электронную почту на наличие волшебной ссылки для входа.

Успех! Ваша платежная информация обновлена.

Ваша платежная информация не была обновлена.

Источник

Если заданы два
множества, то можно не только найти их
пересечение и объединение, но и вычесть
из одного множества другое. Результат
вычитания называют разностью и
определяют следующим образом.

Определение.
Разностью множеств А и В называют
множество, содержащее все элементы,
которые принадлежат множеству А и не
принадлежат множеству В.

Разность множеств
А и В обозначают А В. По определению: А
В ={х/х∈А
и х∉В}.

В школьном курсе
математики чаще всего приходится
выполнять вычитание множеств в случае,
когда одно из них является подмножеством
другого, при этом разность множеств А
В называют дополнением множества В
до множества А, и обозначают символом
В´А,
а наглядно изображают так:

Определение:
Пусть В⊂ А.
Дополнением множества В до множества
А называется множество, содержащее все
элементы множества А, которые не
принадлежат множеству В.

По определению:
В´А
={х/х∈А
и х∉В}.

Выясним, как
находить дополнение подмножества на
конкретных примерах.

Если элементы
множеств А и В перечислены и В ⊂
А, достаточно перечислить элементы,
принадлежащие множеству А и не
принадлежащие множеству В. Например, А
= {1, 2, 3, 4, 5}, В = {2, 4}, то В´А
= {1, 3, 5}.

В том случае, когда
указаны характеристические свойства
элементов множеств А и В и известно, что
В ⊂ А, то
множество В´А
задают также с помощью характеристического
свойства, общий вид которого «х∈А
и х∉В».
Так, если А – множество четных чисел, а
В – множество кратных 4 чисел, то В´А
— это множество, содержащее такие
четные числа, которые не делятся на 4.
Например, 22∈
В´А.

Вычитание–
это третья операция над множествами.
Условились считать, чтопересечение
– более «сильная» операция, чем вычитание.Что касается вычитания и объединения,
то их считают равноправными.

Вычитание множеств
обладает рядом свойств. В частности
можно доказать, что для любых множеств
А, В и С справедливы следующие равенства:

1) (А
В) С =
(А С) В);

2)
(А∪ В)
С = (А С)∪ (В
С);

(А
В)∩ С
= (А∩ С)
(В∩ С);
А
(В∪ С)
= (А В)
∩(А С);
А
(В∩ С)
= (А В)
∪(А С).

8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств

Понятия множества
и операций над множествами позволяют
уточнить наше представление о классификации
– действии распределения объектов по
классам.

Классификацию мы
выполняем достаточно часто. Так,
натуральные числа представляем как два
класса – четные и нечетные. Углы на
плоскости разбиваем на три класса:
прямые, острые и тупые.

Любая классификация
связана с разбиением некоторого множества
объектов на подмножества. При этом
считают, что множество Х разбито на
классы Х₁, Х₂,
…, Хn,…, если:

подмножества Х₁,
Х₂, …, Хn,…
попарно не пересекаются;
объединение
подмножеств Х₁,
Х₂, …, Хn,
… совпадает с множеством Х.

Если не выполнено
хотя бы одно из условий, классификацию
считают неправильной. Например, если
из множества Х треугольников выделить
подмножества равнобедренных, равносторонних
и разносторонних треугольников, то
разбиения мы не получим, поскольку
подмножества равнобедренных и
равносторонних треугольников пересекаются
(все равносторонние треугольники
являются равнобедренными). В данном
случае не выполнено первое условие
разбиения множества на классы.

Так как разбиение
множества на классы связано с выделением
его подмножеств, то классификацию можно
выполнять при помощи свойств элементов
множеств.

Рассмотрим,
например, множество натуральных чисел.
Его элементы обладают различными
свойствами.
Положим,.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000что нас интересуют числа, обладающие
свойством «быть кратным 3». Это свойство
позволяет выделить из множества
натуральных чисел подмножество, состоящее
из чисел, кратных 3. Тогда про остальные
натуральные числа можно сказать, что
они не кратны 3, т.е. получаем еще одно
подмножество множества натуральных
чисел. Так как выделенные подмножества
не пересекаются, а их объединение
совпадает с множеством натуральных
чисел, то имеем разбиение этого множества
на два класса.

Вообще, если на
множестве Х задано одно свойство, то
это множество разбивается на два класса.
Первый – это класс объектов, обладающий
этим свойством, а второй – дополнение
первого класса до множества Х. Во втором
классе содержатся такие объекты множества
Х, которые заданным свойством не обладают.
Такую классификацию называют
дихотомической.

Рассмотрим ситуацию,
когда для элементов множества заданы
два свойства. Например, «быть кратным
3» и «быть кратным 5». При помощи этих
свойств из множества натуральных чисел
можно выделить два подмножества: А –
подмножество чисел, кратных 3, и В –
подмножество чисел, кратных 5. Эти
множества пересекаются, но ни одно из
них не является подмножеством другого.
Проанализируем получившийся рисунок
(справа). Конечно, разбиения множества
натуральных чисел на подмножества А и
В не произошло. Но круг, изображающий
множество N, можно
рассматривать как состоящий из четырех
непересекающихся областей – на рисунке
они пронумерованы. Каждая область
изображает некоторое подмножество
множестваN. ПодмножествоIсостоит из чисел, кратных
3 и 5; подмножествоII– из
чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножествоIII– из чисел, кратных 5
и не кратных 3; подмножествоIY– из чисел, не кратных 3 и не кратных 5.
Объединение этих четырех подмножеств
есть множествоN.

Таким образом,
выделение двух свойств привело к
разбиению множества Nнатуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать,
что задание двух свойств элементов
множества всегда приводит к разбиению
этого множества на четыре класса.
Например, при помощи двух таких свойств
«быть кратным 3» и «быть кратным 6»
множество натуральных чисел разбивается
на три класса: I– класс
чисел, кратных 6;II– класс
чисел, кратных 3; но не кратных 6;III- класс чисел, не кратных 3.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Пусть U — столь обширное множество, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами.
U — универсальное множество (иначе оно называется основное множество). Универсальным множеством для элементарной арифметики является, например, множество Z — множество всех целых чисел; для аналитической геометрии универсальное множество есть R — множество всех действительных чисел (числовая прямая), а также R² — множество упорядоченных пар (числовая плоскость).
Дополнением множества А (обозначение Ā или сА) называется множество элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А.
Ā={x|xͼU, xɇA}. (1)
Если U изобразить в виде прямоугольника, то множество заштриховано на рис.
Основные свойства операции дополнения

Свойства 6) и 7) называют правилами де Моргана.

Операция симметрической разности

Симметрической разностью (обозначение АΔВ) множеств А и В называется множество элементов, которые принадлежат только множеству А или только множеству В.
АΔВ={x| xͼA и xɇB} или АΔВ={x| xͼB и xɇA} (2)
Иначе можно записать:
АΔВ=(A/B)U(b/A) (2а)
На рис. 2 симметрическая разность АΔВ заштрихована.

Рис. 2

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

If A is the area colored red in this image…

… then the complement of A is everything else.

In set theory, the complement of a set A, often denoted by A^∁ (or A′),^[1] is the set of elements not in A.^[2]

When all sets in the universe, i.e. all sets under consideration, are considered to be members of a given set U, the absolute complement of A is the set of elements in U that are not in A.

The relative complement of A with respect to a set B, also termed the set difference of B and A, written is the set of elements in B that are not in A.

Absolute complement[edit]

The absolute complement of the white disc is the red region

Definition[edit]

If A is a set, then the absolute complement of A (or simply the complement of A) is the set of elements not in A (within a larger set that is implicitly defined). In other words, let U be a set that contains all the elements under study; if there is no need to mention U, either because it has been previously specified, or it is obvious and unique, then the absolute complement of A is the relative complement of A in U:^[3]

${displaystyle A^{complement }=Usetminus A.}$

Or formally:

${displaystyle A^{complement }={xin U:xnotin A}.}$

The absolute complement of A is usually denoted by A^∁. Other notations include ^[2] ${displaystyle complement _{U}A,{text{ and }}complement A.}$ ^[4]

Examples[edit]

Assume that the universe is the set of integers. If A is the set of odd numbers, then the complement of A is the set of even numbers. If B is the set of multiples of 3, then the complement of B is the set of numbers congruent to 1 or 2 modulo 3 (or, in simpler terms, the integers that are not multiples of 3).
Assume that the universe is the standard 52-card deck. If the set A is the suit of spades, then the complement of A is the union of the suits of clubs, diamonds, and hearts. If the set B is the union of the suits of clubs and diamonds, then the complement of B is the union of the suits of hearts and spades.
When the universe is the universe of sets described in formalized set theory, the absolute complement of a set is generally not itself a set, but rather a proper class. For more info, see universal set.

Properties[edit]

Let A and B be two sets in a universe U. The following identities capture important properties of absolute complements:

De Morgan’s laws:^[5]

Complement laws:^[5]

Involution or double complement law:

${displaystyle left(A^{complement }right)^{complement }=A.}$

Relationships between relative and absolute complements:

Relationship with a set difference:

${displaystyle A^{complement }setminus B^{complement }=Bsetminus A.}$

The first two complement laws above show that if A is a non-empty, proper subset of U, then {A, A^∁} is a partition of U.