- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Обыкновенные дроби
- Приведение дробей к общему знаменателю
Если мы умножим числитель и знаменатель дроби 
на одно и то же число 3, то получим дробь 
, равную данной, то есть 
, в данном случае принято говорить, что мы дробь привели к новому знаменателю 9.
Дополнительный множитель — это число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель. При этом при приведении дроби к новому знаменателю используем основное свойство дроби и умножаем её числитель и знаменатель на дополнительный множитель. Чтобы найти дополнительный множитель необходимо новый знаменатель разделить на данный.
Например: Приведем дробь 
к знаменателю 40. Для этого найдем дополнительный множитель, поделив 40 на 5, получим, что дополнительный множитель равен 40 : 5 = 8.
Далее воспользуемся основным свойством дроби, найдем:
.
Рассмотрим дроби 
и 
. Мы видим что данные дроби имеют разные знаменатели, но с помощью основного свойства дроби мы можем их привести к одному знаменателю, другими словами к общему знаменателю.
Например, общим знаменателем для данных дробей будет знаменатель, равный произведению данных знаменателей, то есть 8
6 = 48. Чтобы привести дробь к знаменателю 48, необходимо умножить ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 6, а знаменатель и числитель дроби — на дополнительный множитель 8. Имеем:
и 
.
Мы привели дроби и к общему знаменателю 48. Заметим, что общий знаменатель дробей всегда должен быть кратным, каждому из данных знаменателей.
Обычно принято приводить дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:
- Найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, которое будет являться наименьшим общим знаменателем.
- Найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.
- Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
- В нашем примере НОК (6;
= 24, то есть наименьшим общим знаменателем наших дробей является 24. - Находим дополнительные множители: для дроби — это число 24 : 8 = 3, а для дроби — число 24 : 6 = 4.
- Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель:
= 24, то есть наименьшим общим знаменателем наших дробей является 24.
и 
.
Обычно принято, дополнительный множитель писать над числителем справа, то есть наша запись будет иметь вид:
и 
.
Советуем посмотреть:
Доли. Обыкновенные дроби
Сравнение дробей
Делители и кратные
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Четные и нечетные числа
Признаки делимости на 9 и на 3
Простые и составные числа
Разложение на простые множители
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Деление и дроби
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Смешанное число
Сложение и вычитание смешанных чисел
Основное свойство дроби
Решето Эратосфена
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение обыкновенных дробей
Деление обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби
Правило встречается в следующих упражнениях:
6 класс
Номер 261,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 354,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 374,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1143,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1276,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 796,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 990,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 995,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1201,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1215,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 45,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 48,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 297,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 376,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 430,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 493,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 527,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 845,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 11,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 15,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 18,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 133,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 135,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 201,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 242,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 243,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 251,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 254,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 255,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
На этом уроке мы познакомимся с понятием «общий знаменатель» и изучим, как привести дроби к общему знаменателю при помощи дополнительных множителей.
Опыт по приведению к общему знаменателю
Несложно сравнивать между собой, а также складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. Но что делать, если знаменатели разные?
На рисунке 1 два сосуда с водой. В одной из них $large frac{1}{8}$ литра воды, в другой — $large frac{1}{4}$ литра. Как нам узнать, сколько воды вместе?
Можно перелить всю воду в один сосуд, то есть выполнить сложение:
$$large frac{1}{8}+frac{1}{4}$$
Тогда вся вода будет вместе, но сколько её получится? Мы же не можем записать это как $large frac{1}{8}frac{1}{4}$. Нет, нужно пробовать по-другому.
Возьмём фломастер и отметим на стенке первого сосуда уровень воды. Это будет наша мерка для $large frac{1}{8}$ литра. Теперь переливаем воду из второго сосуда и, пользуясь нашей отметкой, понимаем, на сколько повысился уровень воды.
Он повысился на $large frac{2}{8}$ литра. Получается, что
$$large frac{1}{8}+frac{1}{4}=frac{1}{8}+frac{2}{8}$$
$$large frac{1+2}{8}=frac{3}{8}$$
То, что мы сделали, называется приведение к общему знаменателю.
Замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями называется приведение к общему знаменателю.
Дополнительные множители
Каким образом мы представили $large frac{1}{4}$ как $large frac{2}{8}$? Согласно основному свойству дроби, при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число у нас не меняется значение дроби, значит, мы можем сделать так, чтобы и у $large frac{1}{4}$ и у $large frac{1}{8}$ были одинаковые знаменатели, умножив $large frac{1}{4}$ на $large frac{2}{2}$:
$$large frac{1}{4} cdot frac{2}{2}=frac{1 cdot 2}{4 cdot 2}=frac{2}{8}$$
Числа, на которые мы умножаем числитель и знаменатель, называются дополнительными множителями.
Дополнительный множитель – это натуральное число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы привести ее к другому знаменателю.
Часто они пишутся над дробями, вот так:
Эта тема может показаться сложной. На самом деле часто общий знаменатель и дополнительные множители подбираются как будто сам собой, интуитивно. Это получается потому, что мы знаем таблицу умножения, и, глядя на некоторые числа, легко видим, на что можно их умножить, чтобы превратить одно в другое.
Тренировка в нахождении дополнительных множителей
Попробуем. Посмотрите на эту последовательность чисел и скажите, на что нужно умножить предыдущее число, чтобы получить последующее.
$$1, 2, 4, 8, 16, 32$$
Показать ответ
Скрыть
Ещё одна последовательность:
$$3, 6, 9, 27$$
А здесь какой множитель использовали?
Показать ответ
Скрыть
Попробуем подобрать дополнительные множители для дробей. Какой множитель нужен, чтобы привести дробь $large frac{1}{2}$ и $large frac{2}{3}$ к общему знаменателю?
Общим знаменателем для этих двух дробей будет число, которое делится и на $2$ , и на $3$ . Это будет $6$ . Чтобы вычислить дополнительные множители для дроби, нужно найти число, которое при умножении на знаменатель дроби даст общий знаменатель. Следовательно, чтобы его вычислить, нужно разделить общий знаменатель на знаменатель дроби.
Значит, для дроби $frac{1}{2}$ дополнительный множитель будет $6:2=3$, а для дроби $frac{2}{3}$ дополнительный множитель $6:3=2$
Попробуйте сами. Найдите дополнительные множители для приведения дробей $frac{1}{8}$ и $frac{1}{7}$ к общему знаменателю $56$ . Приведите эти числа к общему знаменателю.
Показать решение
Скрыть
Общий знаменатель и дополнительный множитель.
У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:
(frac{17}{5}, frac{1}{5})
Пример разных знаменателей у дробей:
(frac{8}{3}, frac{2}{13})
Как привести к общему знаменателю дроби?
У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.
Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.
(frac{8}{3} = frac{8 times color{red} {13}}{3 times color{red} {13}} = frac{104}{39})
Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.
(frac{2}{13} = frac{2 times color{red} {3}}{13 times color{red} {3}} = frac{6}{39})
Мы привели к общему знаменателю дроби:
(frac{8}{3} = frac{104}{39}, frac{2}{13} = frac{6}{39})
Наименьший общий знаменатель.
Рассмотрим еще пример:
Приведем дроби (frac{5}{8}) и (frac{7}{12}) к общему знаменателю.
Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.
Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.
(begin{align}&frac{5}{8} = frac{5 times color{red} {3}}{8 times color{red} {3}} = frac{15}{24}\\&frac{7}{12} = frac{7 times color{red} {2}}{12 times color{red} {2}} = frac{14}{24}\\ end{align})
Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ сократить.
Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.
Например:
Приведите дроби (frac{1}{4}) и (frac{9}{16}) к наименьшему общему знаменателю.
Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:
(begin{align}&frac{1}{4} = frac{1 times color{red} {4}}{4 times color{red} {4}} = frac{4}{16}\\&frac{9}{16} = frac{9 times color{red} {1}}{16 times color{red} {1}} = frac{9}{16}\\ end{align})
Вопросы по теме:
Любые ли две дроби можно привести к одному общему знаменателю?
Ответ: да.
К какому знаменателю принято приводить дроби?
Ответ: к наименьшему общему знаменателю.
Пример №1:
Для дроби (frac{1}{2}) запишите равную дробь со знаменателем: а) 12 б) 18 в) 50?
Решение:
а) Число 2 нужно умножить на 6, чтобы получить 12. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 6.
(frac{1}{2} = frac{1 times color{red} {6}}{2 times color{red} {6}} = frac{6}{12})
б) Число 2 нужно умножить на 9, чтобы получить 18. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 9.
(frac{1}{2} = frac{1 times color{red} {9}}{2 times color{red} {9}} = frac{9}{18})
в) Число 2 нужно умножить на 25, чтобы получить 50. Следовательно мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 25.
(frac{1}{2} = frac{1 times color{red} {25}}{2 times color{red} {25}} = frac{25}{50})