Как найти допустимую погрешность прибора

КЛАССЫ
ТОЧНОСТИ ПРИБОРОВ.

Погрешность
измерительных приборов отражает свойства
только самого измерительного устройства,
обусловленные структурными, схемными,
конструктивными особенностями прибора,
свойствами применяемых в нах материалов
и элементов, особенностями технологии
их изготовления, регулировки и градуировки.
Следует различать погрешность
измерительного прибора и погрешность
измерения некоторого сигнала измерительным
прибором. Погрешность прибора – это
часть погрешности измерения некоторого
сигнала измерительным прибором; она в
определенной степени влияет на точность
измерений.

Существуют
следующие погрешности прибора:

а)
абсолютная погрешность прибора

ΔА
= А_П
– А,

где
А_П
– показание прибора, а А
– действительное значение измеряемой
величины. Абсолютная погрешность
прибора, взятая с обратным знаком,
называется поправкой П
= — А_П
;

б) относительная
погрешность прибора

δ= ΔА_П
/ А

Или в процентах

δ= 100ΔА_П
/ А,

Относительная
погрешность дает более наглядное
представление о точности измерений,
чем абсолютная. Например, измерено 2
значения: напряжения 10 и 100 В с одной и
той же абсолютной погрешностью 0,5 В.
Относительные погрешности этих измерений
соответственно равны 5 и 0,5%, т. е. точность
второго измерения в 10 раз (на порядок)
выше.

Для
сравнения приборов между собой введено
понятие приведенная
погрешность прибора γ_П
, равная отношению его абсолютной
погрешности ΔА_П
к значению шкалы А_К,
которое принимается равным номинальному
значению А_ном
для приборов с равномерной шкалой;

γ_П
= ΔА_П
/ А _ном
(3)

Если шкала прибора двусторонняя с нулем посередине, то за аКпринимается длина шкалы иΔАберется в единицах длины.

Если
абсолютная погрешность измерительного
прибора постоянна по всей шкале (что
практически имеет место, например, при
равномерной шкале прибора), то его
относительная погрешность существенно
увеличивается к началу шкалы. Поэтому
целесообразно выбирать прибор с таким
пределом измерения, при котором его
указатель при измерении располагается
ближе к концу шкалы.

К характеристикам
измерительных приборов относятся
основная и дополнительная погрешности,
а также класс точности.

Основная
погрешность – это погрешность,
свойственная прибору в нормальных
условиях применения, при которых
производилась его градуировка; она
нормируется стандартами. Нормальными
условиями обычно считаются: температура
окружающей среды (20 ± 5)°С, что соответствует
(293 ± 5)К (для приборов высокой точности
(20 ± 1)°С), относительная влажность (65 ±
5)%, атмосферное давление (100 000 ± 4000)Па
[(760 ± 30)мм рт. ст.], напряжение питающей
сети 220 В ± 2% с частотой 50 Гц.

Составляющими
основной погрешности большинства
электромеханических приборов всех
систем являются погрешность: от упругого
последействия растяжек (или спиральных
пружин), отсчета по шкале, от трения в
опорах и др. Кроме того, каждая система
имеет дополнительно свои специфические
составляющие этой погрешности. Так
например, погрешность отгистерезиса
материала сердечника (электромагнитные
приборы), от контактной разности
потенциалов (электростатические приборы)
и др.

Дополнительная
погрешность – это погрешность, возникающая
в измерительном приборе при отклонении
одного из влияющих значений от нормальных
условий эксплуатации (например,
температуры окружающей среды, напряжения
источника питания, внешнего магнитного
или электрического поля, формы входного
сигнала и др.).

Дополнительные
погрешности нормируются стандартами
и указываются в паспортах приборов –
в процентах или долях от основной
погрешности (класса точности) либо в
единицах измеряемого значения. Если
изменение дополнительной погрешности
в рабочей области значений влияющих
факторов составляет менее половины
основной погрешности, то может
нормироваться только основная погрешность
для указанной области значений.

Точность
электрорадиоизмерительных приборов
определяется пределами погрешностей
(основной и дополнительной) и оценивается
абсолютными, относительными и приведенными
погрешностями. Для радиоизмерительных
приборов наиболее характерным является
выражение точности измерения через
абсолютную и относительную погрешности,
а для электрорадиоизмерительных приборов
– через приведенную.

Абсолютная
погрешность приборов выражается в
различной форме в зависимости от типа
и назначения прибора. Так, например,
абсолютная погрешность установки
частоты низкочастотного генератора
Г3-102 следующим образом: в диапазоне
частот (20 – 20) 10³
Гц Δf
= 0,01f_вых
+ 0,2Гц; в диапазоне частот (20-200)10³
Гц Δf
= 0,015 f_вых.

Относительная
погрешность измерения приборами
выражается в процентах и вычисляется
по формулам, содержащим один член или
сумму нескольких членов. Так, например,
относительная погрешность установки
частоты низкочастотного генератора
Г3-107 вычисляется по двучленной формуле
δ
= (3 + 30 / f_вых)%.

Расчет относительных
погрешностей цифровых приборов,
измерителей индуктивности, добротности,
сопротивлений и других приборов также
выполняется по формулам, состоящим из
суммы нескольких членов. Эти формулы
приводятся в паспорте каждого прибора.
Измерительным приборам, допустимая
погрешность которых выражается
приведенной или относительной
погрешностью, присваиваются классы
точности, устанавливаемые стандартами
на измерительные приборы.

Согласно ГОСТ
электроизмерительные приборы делятся
по степени точности на 9 классов: 0,02;
0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; и 4,0.

Класс
точности прибора К_П
определяет наибольшую (предельную)
допустимую приведенную погрешность
прибора γ_П
в рабочей части шкалы, выраженную
абсолютным числом, значение которого
равно приведенной погрешности в
процентах.

По
классу точности показывающих приборов
можно определить их наибольшую абсолютную
погрешность ΔА_П,
которую может иметь прибор в любой точке
шкалы (без учета знака). Так например,
при использовании вольтметра со шкалой
0-100 В (А_ном
= 100) класса точности 1,5 на любой отметке
его шкалы основная абсолютная погрешность
н е превышает значения

ΔА_П
≤ ± К_П
А_ном
/100 = ±
1,5 *100/100 = ±1,5 В.

При этом на отдельных
отметках шкалы она может быть меньше
1,5 В или даже равна нулю. Следует отметить,
что приведенная погрешность соответствует
максимальной относительной погрешности.
Если дополнительная погрешность
превышает основную, то класс точности
приборов определяется по дополнительной
погрешности. Классы точности измерительных
приборов, допустимые погрешности которых
выражаются в двучленной формуле, имеют
более сложное обозначение.

Класс
точности электроизмерительных приборов
устанавливают на заводе при калибровке
по образцовому прибору в нормальных
условиях. При этом показание образцового
прибора принимают за действительное
значение измеряемой величины. Пусть в
результате калибровки вольтметра
магнитоэлектрической системы со шкалой
0 – 50 В получены следующие значения
абсолютной погрешности. На отметках
шкалы прибора 0 10 20 30 40 50 В абсолютные
погрешности составляют соответственно
0,2 0,2 0,0 0,3 0,5 0,9 В.

В этом случае
приведенная погрешность поверяемого
вольтметра

γ_П
= ΔА_П
/ А
_ном*100
= 0,9/50 *100 = 1,8%,

где
ΔА_П
= 0,9 – максимальная абсолютная погрешность
прибора, полученная на отметке шкалы
50.

Класс точности
1,8 для электроизмерительного прибора
не установлен. Поэтому по ГОСТу определяют
ближайшее большее его значение, равное
2,5, и поверяемый вольтметр относят к
этому классу точности.

Необходимо отметить,
что класс точности прибора, характеризуя
приведенную погрешность, не является
непосредственным показателем точности
измерений, проводимых с помощью этого
прибора.

Важной
характеристикой измерительного прибора
является вариация
его показаний,
определяемая как разность показаний
между двумя его показаниями, соответствующими
одному и тому же действительному значению
измеряемой величины, устанавливаемому
после плавного ее изменения один раз в
сторону возрастания, а второй – в сторону
убывания. Этот параметр нормируется
пределом допускаемого значения или
указывается в процентах; так, например,
в электронном вольтметре В7-26 вариация
показаний прибора не превышает 1,0%, а
основная погрешность при измерении
постоянного напряжения составляет в
зависимости от предела измерения ±
(2,5 ÷ 4,0)%.

Вариация
показаний проявляется от наличия трения
в опорах, люфта кренов в подпятниках,
механического гистерезиса пружинок,
магнитного гистерезиса деталей
измерительного механизма, и поэтому
погрешности такого вида наиболее
характерны электромеханических приборов.
В соответствии с ГОСТом в обоснованных
случаях допускается не нормировать
вариацию показаний.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

1. Шкала измерительного прибора
2. Цена деления
3. Виды измерений
4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
5. Абсолютная погрешность серии измерений
6. Представление результатов эксперимента
7. Задачи

п.1. Шкала измерительного прибора

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*}

п.3. Виды измерений

Вид измерений

Определение

Пример

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.

Составляющие погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$

Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

• определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
• определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта	1	2	3	Сумма
Масса, г	99,8	101,2	100,3	301,3
Абсолютное отклонение, г	0,6	0,8	0,1	1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то

• абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$

• абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$

Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:

• относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$

• относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$

Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:

• относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности

$$ delta_{a^2}=2delta_a $$

• относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности

$$ delta_{a^3}=3delta_a $$

• относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна

$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	(triangle=frac{b-a}{n+1}), мл
1	20	40	4	(frac{40-20}{4+1}=4)
2	100	200	4	(frac{200-100}{4+1}=20)
3	15	30	4	(frac{30-15}{4+1}=3)
4	200	400	4	(frac{400-200}{4+1}=40)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем (V_0), мл	Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл	Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%})
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})