Как найти дугу окружности вписанного треугольника

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Как найти длину дуги окружности ?

r — радиус окружности

α — угол AOB, в градусах

Формула длины дуги ( L ):

Калькулятор для расчета длины дуги окружности :

Формулы для окружности и круга:

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

[ h = b cdot sin alpha ]

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Фигура	Рисунок	Формула	Обозначения
Произвольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

источники:

http://www-formula.ru/2011-09-21-06-50-23

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-dugu-okruzhnosti-vpisannogo-treugolnika

Источник

Длина дуги

На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности — через радиус и угол между ними и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькуляторов, которые используют эти формулы.

Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

[ h = b cdot sin alpha ]

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

источники:

http://colibrus.ru/treugolnik-vpisannyy-v-okruzhnost/

http://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

Источник

Содержание

Определение
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус описанной окружности около треугольника
Площадь треугольника
Периметр треугольника
Сторона треугольника
Средняя линия треугольника
Высота треугольника
Свойства
Доказательство

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

[ r = frac{S}{(a+b+c)/2} ]
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

[ r = frac{S}{frac{1}{2}P} ]
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

[ r = sqrt{frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} ]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

[ R = frac{AC}{2 sin angle B} ]
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

[ R = frac{abc}{4S} ]
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

[ R = frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} ]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

[ S = pr ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

[ S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

[ S = frac{1}2 ah ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

[ S = frac{a^2}{2cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} ]
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac{1}{2}ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

[ P = a + b + c ]
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

[ P = frac{2S}{r} ]
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

[ P = sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) ]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

[ a = sqrt{b^2+c^2 -2bc cdot cos alpha} ]
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

[ a = frac{b · sin alpha }{sin β} ]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

[ l = frac{AB}{2} ]
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угла между ними:

[ l = frac{sqrt{b^2+c^2-2bc cdot cos alpha}}{2} ]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

[ h = frac{2S}{a} ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

[ h = frac{bc}{2R} ]

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Дано: окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

Доказать: окружность описана
около треугольника.

Доказательство:

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

Следовательно: окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Источник

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.

Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.

Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.

Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.

Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.

Теорема 4.

Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.

Теорема 5. Радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой , вычисляется по формуле: $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.$

Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Напомним определение правильного многоугольника:

Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.

Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.

Теорема 6.

Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен $displaystyle R=frac{asqrt{3}}{3}.$

А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.$

Докажем эту теорему.

У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.

Пусть в правильном треугольнике ABC стороны , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда

Получаем, что $displaystyle R=OB=frac{2}{3}BH, r=OH=frac{1}{3}BH.$

Из треугольника АВН получаем, что длина стороны $displaystyle BH=frac{asqrt{3}}{2}.$

Тогда $displaystyle R=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}, r=frac{1}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=afrac{sqrt{3}}{6}.$

Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника — $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{3}.$

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.$

Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.

Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.

Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Длина стороны равностороннего треугольника ABC равна

Радиусы – вписанной и – описанной окружностей можно найти по формулам:

$displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}, R=frac{asqrt{3}}{3},$ где — сторона треугольника.

Значит, $displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.$

Ответ: $displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.$

Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.

Вот две полезные формулы для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

где $p=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} left( a+b+c right)$ — полупериметр,

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

$S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R},$

где a, b, c — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов:

$displaystylefrac{a}{sinangle A}=frac{b}{sinangle B}=frac{c}{sinangle C}=2R,$

R — радиус описанной окружности

Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Решение:

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:

где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр треугольника, a a, b, c – его стороны.

$displaystyle p=frac{13+14+15}{2}=21,$

Тогда $displaystyle r=frac{S}{p}=frac{84}{21}=4$ , а диаметр окружности равен

Ответ: 8.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Решение:

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} a^2.$

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}left( 2a + asqrt{2}right)r.$

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку r=2 , получаем, что .

Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: 4.

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике ABC сторона равна , а угол равен $120^{circ}$ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

По теореме синусов $displaystyle frac{AC}{sin B}=2R.$

Тогда $displaystyle R=frac{7sqrt{3}}{2}:frac{sqrt{3}}{2}=7.$

Ответ: 7.

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике ABC угол А равен $57^{circ}$ , а угол В – $93^{circ}$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если сторона равна 10.

Решение:

Зная, что сумма углов треугольника равна $180^{circ}$ , найдем угол С.

$displaystyle angle C = 180^{circ }-(angle A+angle B)=180^{circ }-(53^{circ }+97^{circ })=30^{circ }.$

По теореме синусов $displaystyle frac{AB}{sinC}=frac{BC}{sinA}=frac{AC}{sinB}=2R.$

Значит, $displaystyle R=frac{AB}{2sinC}=10.$

Ответ: 10.

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

$genfrac{}{}{}{0}{AC}{sin B}=2R.$

Получаем, что $sin B=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}$ . Угол — тупой. Значит, он равен $150^{circ}$ .

Ответ: 150.

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

$S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}.$

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ah$ , где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем h=32 .

Тогда R=25 .

Ответ: 25.

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике ABC основание равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.

Решение:

Высота , проведенная к основанию , является медианой. Значит, .

находится по теореме Пифагора из треугольника ABH :

$displaystyle AB=sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.$

Периметр треугольника ABC – это сумма длин сторон, т.е.

Площадь треугольника $displaystyle S=frac{1}{2}ACcdot BH=frac{1}{2}cdot 10cdot 12=60.$

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле

$displaystyle r=frac{S}{p}=frac{60}{18}=frac{10}{3}.$

Ответ: $displaystyle 30; frac{10}{3}.$

Задача 9, ОГЭ. Стороны и треугольника ABC равны 6 и соответственно, угол $B- 45^{circ }$ . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника ABC .

Решение:

Найдем длину стороны по теореме косинусов, используя длины сторон , и косинус угла В, противолежащего стороне :

$displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2cdot ABcdot BCcdot cosB=6^{2}+(3sqrt{2})^{2}-2cdot 6cdot 3sqrt{2}cdot frac{sqrt{2}}{2}=18,AC=3sqrt{2}.$

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

$displaystyle frac{AC}{sin45^{circ }}=2R,$

$displaystyle 2R=3sqrt{2}:frac{sqrt{2}}{2}=6.$

Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника ABC , равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Решение:

Пусть длина радиуса описанной окружности R = 5 , а длина радиуса вписанной окружности r = 1.

Мы знаем, что $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}, R=frac{c}{2}, S=pcdot r$ , где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

Значит, $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=$

Отсюда

Тогда

Ответ: 11.

Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.

Решение:

Пусть радиус вписанной окружности r = 2 , а гипотенуза c = 10.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.$

Значит, $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=p-c,$ отсюда p =r+c.

Площадь находится по формуле S =pr, где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

Ответ: 24.

Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.

Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке Р.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника APO , если радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 10, $displaystyle angle BAC=75^{circ }, angle ABC=60^{circ }.$

Решение:

а) Пусть О – центр вписанной окружности, значит, и – биссектрисы углов ABC и BAC соответственно, и

как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу PC.
Тогда

– внешний угол треугольника AOB , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е.

Значит, Что и требовалось доказать.

б) , следовательно, треугольник POA – равнобедренный, – основание,

Угол ABC равен $60^{circ }$ , значит, $displaystyle angle ABO=angle OBC=30^{circ }.$

По теореме синусов для треугольника ABP :

$displaystyle frac{AP}{sinB}=2R, AP=2cdot 10cdot sin30^{circ }=10.$

Тогда отрезок равен отрезку , т.е. OP = 10 .

Найдем угол С из треугольника ABC : $displaystyle angle C= 180^{circ }-60^{circ }-75^{circ }=45^{circ }.$

$displaystyle angle APO=angle ACB=45^{circ }$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу .

Площадь треугольника AOP находится по формуле: $displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sinalpha.$

$displaystyle S_{APO}=frac{1}{2}cdot APcdot POcdot sinAPO=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot sin45^{circ }=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot frac{sqrt{2}}{2}=$

Ответ:

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние. Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое. При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления, но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже….

Какая окружность вписана, а какая описана

Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра. Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной. Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).

Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника

На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.

Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности. Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла биссектрису, после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.

На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя углами?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.

Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника

Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:

Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, у острого – внутри самого треугольника, а для тупоугольного – за ее пределами.
Диаметр любой описанной окр-сти равен половине отношения стороны и синуса угла, который принадлежит ей, в виде формулы можно представить следующим образом:
Зная радиус описанной окружности и значения углов, можно найти значение площади, не прибегая к использованию длин сторон, по следующей формуле:

Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.

Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов

Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:

Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:

Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:

Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.

Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.

Исчисление радиуса вписанной окружности

Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:

площадь,
градусная мера каждого угла,
длины сторон и периметр.

Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника

Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, высоты, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).

Использование полупериметра

Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:

Если дан «правильный»

Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке. Это удобно при построении фигур. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым натуральным числом, скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:

Если боковины одинаковой длины

Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:

Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.

Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности

Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:

Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:

Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:

При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:

В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:

Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.

Радиус внутренней окружности и площадь

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника:

Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:

Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.

Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Вывод

Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует. В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.

Источник