Как найти две неизвестные в системе

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений
с двумя неизвестными.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений,
всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7»
неизвестное «x».

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что
содержит «x» в левую часть,
а остальное в правую часть по
правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение
на число не требуется.

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

	x = 7 − 5y
3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)»
во второе уравнение,
мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y».
Решим его по правилам
решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение
«3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно.
Вынесем его решение отдельно с помощью
обозначения звездочка (*).

	x = 7 − 5y
3(7 − 5y) − 2y = 4  (*)

(*)   3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
                 − 17y = − 17     | :(−17)
y = 1

Мы нашли, что «y = 1».
Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «x».
Запишем в ответ оба полученных значения.

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения.
Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

	x + 5y = 7		(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
	+          =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
3x − 2y = 4		4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11».
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось,
нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент
«−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

	x + 5y = 7 | ·(−3)
3x − 2y = 4

	x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)
3x − 2y = 4

	−3x −15y = −21
3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

	−3x −15y = −21		(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
	+          =>	−3x −15y + 3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4		−17y = −17 |:(−17)
		y = 1

Мы нашли «y = 1».
Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое
значение и найдем «x».

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения «x».

Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.

	x = 17 + 3y
(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и
найдем «x».

	x = 17 + 3 · (−30)
y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

	3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)
4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

	3x − 3y + 5x = 6x − 4
4x − 2x − 2y = 4 − 3y

	8x − 3y = 6x − 4
2x −2y = 4 − 3y

	8x − 3y − 6x = −4
2x −2y + 3y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «y».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».

	2x − 3y = −4      |·(−1)
2x + y = 4

	2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)
2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.

	−2x + 3y = 4		(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
	+          =>	−2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4		4y = 8         | :4
		y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и
найдем «x».

Ответ: x = 1; y = 2

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

п.1. Метод подстановки

Например:
( left{ begin{array}{ l } mathrm{x^2+y=10} & \ mathrm{x-y=2} & end{array}right. )
Шаг 1. Из второго уравнения x = y + 2
Шаг 2. Подставляем в первое уравнение:
(mathrm{ (y+2)^2+y=10Rightarrow y^2+4y+4+y-10=0Rightarrow y^2+5y-6=0Rightarrow })
( mathrm{(y+6)(y-1)=0Rightarrow} left[ begin{array}{ l } mathrm{y_1=-6} & \ mathrm{y_2=1} & end{array}right. )
Шаг 3. Находим x₁ = –6 + 2 = –4, x₂ = 1 + 2 = 3
Ответ: {(–4; –6); (3; 1)}.

п.2. Метод сложения

Шаг 1. Умножить одно и второе уравнение на уравнивающие коэффициенты (если необходимо).
Шаг 2. Сложить (вычесть) левые и правые части уравнений.
Шаг 3. Решить полученное уравнение относительно одной переменной.
Шаг 4. Найти соответствующие значения второй переменной.

Например:
( left{ begin{array}{ l } mathrm{x^2+y=10} & \ mathrm{x-y=2} & end{array}right. )
Сразу переходим к шагу 2, складываем оба уравнения, получаем:
(mathrm{ x^2+x=12Rightarrow x^2+x-12=0Rightarrow (x+4)(x-3)=0Rightarrow } left[ begin{array}{ l } mathrm{x_1=-4} & \ mathrm{x_2=3} & end{array}right. )
Находим соответствующие y:
y₁ = x₁ – 2 = –4 – 2 = –6,    y₂ = x₂ – 2 = 3 – 2 = 1
Ответ: {(–4; –6); (3; 1)}.

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x+y=8} & \ mathrm{x^2+xy-3=37} & end{array}right. )
Решаем методом подстановки: ( left{ begin{array}{ l } mathrm{y=8-x} & \ mathrm{x^2+x(8-x)-3=37} & end{array}right. )
Для нижнего уравнения: ( mathrm{x^2+8x-x^2-3=37Rightarrow 8x=40 Rightarrow x=5} )
Подставляем в верхнее уравнение: ( mathrm{y=8-5=3} )

Ответ: (5; 3).

б) ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x^2+y=1} & \ mathrm{x^2-y=10} & end{array}right. )
Решаем методом сложения: ( mathrm{2x^2=8Rightarrow x^2=4Rightarrow x=pm 2} )
Находим y: y = 1 – x² = 1 – 4 = –3

Ответ: {(–2; –3); (2; –3)}.

в) ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x+xy=15} & \ mathrm{x-3xy=-25} & end{array}right. )
Решаем методом сложения: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{x+xy=15 |times 3} & \ mathrm{x-3xy=-25} & end{array}right.Rightarrow (+) left{ begin{array}{ l } mathrm{3x+3xy=45} & \ mathrm{x-3xy=-25} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{4x=20} & \ mathrm{xy=15-x} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{x=5} & \ mathrm{y=frac{15-x}{x}=frac{15-5}{5}=2} & end{array}right. $$

Ответ: (5; 2).

г) ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x^2+y^2=13} & \ mathrm{x-4y+5=0} & end{array}right. )
Решаем методом подстановки: ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x=4y-5} & \ mathrm{(4y-5)^2+y^2=13} & end{array}right. )
Для нижнего уравнения: ( mathrm{16y^2-40y+25+y^2=13Rightarrow 17y^2-40y+12=0} ) $$ mathrm{D=40^2-4cdot 17cdot 12=1600-816=784=28^2}\ mathrm{y=frac{40pm 28}{34}=} left[ begin{array}{ l } mathrm{y_1=frac{6}{17}} & \ mathrm{y_2=2} & end{array}right. $$ Подставляем в верхнее уравнение: $$ mathrm{x_1=4cdotfrac{6}{17}-5=frac{24-85}{17}=-frac{61}{17}=-3frac{10}{17}, x_2=4cdot 2-5=3} $$

Ответ: ( mathrm{left{(3; 2); left(-3frac{10}{17}; frac{6}{17}right)right}} ).

д*) ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x^2+2xy+3y^2=17} & \ mathrm{5x^2-3xy+y^2=3} & end{array}right. )
Умножим первое уравнение на 3, второе – на 17, и отнимем одно из другого. $$ (-)left{ begin{array}{ l } mathrm{3x^2+6xy+9y^2=51} & \ mathrm{85x^2-51xy+17y^2=51} & end{array}right.Rightarrow 82x^2-57xy+8y^2=0 $$ Получили однородное уравнение. Поделим его на ( mathrm{y^2: 82left(frac{x}{y}right)^2-57left(frac{x}{y}right)+8=0} )
Решаем полученное квадратное уравнение: $$ mathrm{D=57^2-4cdot 82cdot 8=3249-2624=625=25^2,} mathrm{left(frac{x}{y}right)=frac{57pm 25}{164}}= left[ begin{array}{ l } mathrm{frac{8}{41}} & \ mathrm{frac12} & end{array}right. $$ Получаем: ( left[ begin{array}{ l } mathrm{x=frac{8}{41}y} & \ mathrm{2x=y} & end{array}right. )
Подставляем первую пропорцию в первое уравнение системы: begin{gather*} mathrm{ left(frac{8}{41}yright)^2+2cdotfrac{8}{41}ycdot y+3y^2=17Rightarrow left(frac{64}{1681}+frac{16}{41}+3right)y^2=17Rightarrow }\ mathrm{ y^2=frac{17cdot 1681}{5763}=frac{1681}{339}=frac{41^2}{339}Rightarrow y=pmfrac{41}{sqrt{339}}, x=pmfrac{8}{41}cdotfrac{41}{sqrt{339}}=pmfrac{8}{sqrt{339}} } end{gather*} Подставляем вторую пропорцию в первое уравнение системы: $$ mathrm{ x^2+2xcdot 2x+3cdot(2x)^2=17Rightarrow 17x^2=17Rightarrow x^2=1Rightarrow x=pm 1, y=pm 2 } $$

Ответ: ( mathrm{left{(1; 2); (-1; -2); left(frac{8}{sqrt{339}}; frac{41}{sqrt{339}}right); left(-frac{8}{sqrt{339}}; -frac{41}{sqrt{339}}right)right}} ).

Пример 2*. Решите систему уравнений с помощью замены переменной:
a) ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x+y+xy=26} & \ mathrm{xy(x+y)=160} & end{array}right. )
Замена переменных: ( left{ begin{array}{ l } mathrm{a=x+y} & \ mathrm{b=xy} & end{array}right. ) begin{gather*} left{ begin{array}{ l } mathrm{a+b=26} & \ mathrm{ab=160} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{a=26-b} & \ mathrm{(26-b)b=160} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{a=26-b} & \ mathrm{-b^2+26b-160=0} & end{array}right.Rightarrow \ Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{a=26-b} & \ mathrm{-b^2-26b+160=0} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{a=26-b} & \ mathrm{(b-10)(b-16)=0} & end{array}right.Rightarrow left[begin{array}{ l } left{begin{array}{ l } mathrm{a_1=16} & \ mathrm{b_1=10} & end{array}right.& \ left{begin{array}{ l } mathrm{a_2=10} & \ mathrm{b_2=16} & end{array}right. end{array}right. end{gather*} Возвращаемся к исходным переменным: (left[begin{array}{ l } left{begin{array}{ l } mathrm{x+y=16} & \ mathrm{xy=10} & end{array}right.& \ left{begin{array}{ l } mathrm{x+y=10} & \ mathrm{xy=16} & end{array}right. end{array}right. )
Решаем первую систему: ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x+y=16} & \ mathrm{xy=10} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{x=16-y} & \ mathrm{(16-y)y=10} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{x=16-y} & \ mathrm{16y-y^2=10} & end{array}right.Rightarrow )
( Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{x=16-y} & \ mathrm{y^2-16y+10=0} & end{array}right. )
$$ mathrm{ D=16^2-40=216, y_{1,2}=frac{16pmsqrt{216}}{2}=8pmsqrt{54} } $$ $$ mathrm{ x_{1,2}=16-(8pmsqrt{54})=8pmsqrt{54} } $$ Решаем вторую систему: ( left{ begin{array}{ l } mathrm{x+y=10} & \ mathrm{xy=16} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{x=10-y} & \ mathrm{(10-y)y=16} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{x=10-y} & \ mathrm{10y-y^2=16} & end{array}right.Rightarrow )
( Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{x=10-y} & \ mathrm{y^2-10y+16=0} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{x=10-y} & \ mathrm{(y-2)(y-8)=0} & end{array}right.Rightarrow left[begin{array}{ l } left{begin{array}{ l } mathrm{x_3=8} & \ mathrm{y_3=2} & end{array}right.& \ left{begin{array}{ l } mathrm{x_4=2} & \ mathrm{y_4=8} & end{array}right. end{array}right. )

Ответ: (mathrm{left{(8-sqrt{54}; 8+sqrt{54}); (8+sqrt{54}; 8-sqrt{54}); (8; 2); (2; 8)right}}).

Ответ: {(2; 1) ; (1; 2)}.

Решение систем линейных уравнений следует после изучения основ решения простых уравнений. Системы уравнений применяют в том случае, когда в задании более одного неизвестного.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Как правило, если в задании необходимо найти два неизвестных, то необходимо решение систем, состоящих из двух линейных уравнений, три неизвестных — из трех уравнений и т.д. Отметим, что не всегда количество неизвестных будет совпадать с количеством уравнений в системе (такие системы уравнений рассматривают в старших классах).

В данной статье речь пойдет о решении систем двух уравнений с двумя переменными, за исключением пункта «решение систем линейных уравнений методом Гаусса», где мы рассмотрим систему с тремя переменными.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения является любая пара чисел (x; y), которая обращает уравнение в верное числовое равенство.

• Если рассматривать одно уравнение ax + by + c = 0, то к нему можно подобрать бесконечное множество корней.
• Если рассматривать систему уравнений, состоящую из двух уравнений, то неизвестные х и у будут связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем.

Графически это можно представить так:

• Каждое линейное уравнение представляет собой множество точек, которые лежат на одной прямой. Таким образом: первому уравнению соответствует одна прямая, второму — другая прямая.
• Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение.
  Если две прямые параллельны — значит они не пересекаются и система не будет иметь решений.
  Если две прямые совпадают — каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Метод подстановки

Метод подстановки знаком из курса школьной математики, его изучают в 7 классе. Это самый лёгкий способ решения систем линейных уравнений.

Алгоритм решения:

1. Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
2. Подставить это выражение в другое уравнение системы вместо этой переменной.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить значение полученной переменной (шаг 3) в выражение другой переменной (из шага 1).

Пример 1:

• Выразим x из первого уравнения: 
  x  = 4 + y
• Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
  x + 2y = 10  → 4 + y + 2y = 10
• >Решим второе уравнение относительно переменной y:
  4+y+2y=10 → 4+3y=10 → 3y=10−4 → 3y=6 → y=6:3 → y=2
• Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
  x=4+y → x=4+2 → x=6
• Ответ: (6; 2).

Пример 2:

• Выразим переменную x из первого уравнения: x = 7−5y
• Выражение (7−5y) подставим вместо переменной x во второе уравнение:
  3x=4+2y → 3*(7−5y)=4+2y
• Решим второе линейное уравнение в системе:
  3*(7−5y)=4+2y → 21−15y=4+2y → 21−17y = 4 → 17y=21−4 → 17y=17 → y = 1
• Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
  x+5y=7 → x+5=7 → x=7−5 → x=2
• Ответ: (2; 1).

Метод сложения

Алгоритм решения:

1. Умножить уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты для одной из переменных стали противоположными числами (при необходимости).
2. Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4. Найти соответствующие значения второй переменной.

Пример 3:

• Умножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:

• Сложим уравнения, получим: -2x+2x+6y+4y=−22-8  →  10y=-30
• Получаем: y = -3, x = 2
• Ответ: (2; -3).

Решение систем линейных уравнений с тремя переменными

Уравнение с тремя переменными имеет вид: ax + by + cz = d. 
В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член.
Системы с тремя переменными решают так же, как и с двумя. 
Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то получается система трех уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Пример 4:

{	x + 2y +z = 8
3y + 2z = 12
3y = 6

• Находим значение y из третьего уравнения: y=2
• Найдем z из второго уравнения:
  3y+2z=12 →  6+2z=12 →  2z=6 →  x=3
• Подставляем значения y и z в первое уравнение и находим x:
  x+2*2+2*3=8  →  x+4+6=8 →  x+10=8 →  x=-2

Таким образом, мы рассмотрели в статье решение систем линейных  уравнений. Решение более сложных уравнений без знания данного материала практически невозможно.
Повторить пройденный материал: решение простых уравнений и решение квадратных уравнений.

Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.

09
Окт 2015

Категория: Справочные материалы

Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

2015-10-09
2019-08-08

Автор: egeMax |

комментариев 10

Метод подстановки

Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий. Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной.

После его решения и нахождения одной из переменных последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

Непонятно? Давай рассмотрим на примерах.

Пример 1

( left{ begin{array}{l}2x+3y=12\3x-y=7end{array} right.)

( y=3{x}-7=3cdot 3-7=2).

Итак,

Ответ: ( x=3;text{ }y=2.)

Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде: ( left( x;text{ }y right)).

В случае трех неизвестных: ( left( x;text{ }y;text{ }z right)), и так далее.

То есть ответ в нашем примере запишется так:

Ответ: ( (3;2))

Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:

Пример 2. ( left{ begin{array}{l}13x+6y=7\2x-4y=6end{array} right.)

Пример 3. ( left{ begin{array}{l}6x-5y=23\y+3x=8end{array} right.)

Пример 4. ( left{ begin{array}{l}2x+5y=10\8y-5x=57end{array} right.)

Решения 2-4: