Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Каждая из окружностей лежит вне другой
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости |  |
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой |  |
|
| Внешнее касание двух окружностей |  |
|
| Внутреннее касание двух окружностей | |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |  |
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
|
||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
|
||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
|
||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
|
||
|
||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов |
||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
|
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов |
||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой |
||
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Внутреннее касание двух окружностей |  |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |  |
|
| Внешнее касание двух окружностей |  |
|
 |
||
 |
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Внешняя касательная к двум окружностям |
 |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
|
| Внутреннее касание двух окружностей |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |
|
| Внешнее касание двух окружностей |
|
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
|
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Внутреннее касание двух окружностей |
| Окружности пересекаются в двух точках |
| Внешнее касание двух окружностей |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Фигура | Рисунок | Формула |
| Внешняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |  |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
|
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
|
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
|
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
|
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле
Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Общие касательныеВыясним сколько общих касательных имеют две окружности и как эти общие касательные могут быть расположены. Если две окружности не пересекаются и окружность меньшего радиуса лежит внутри окружности большего радиуса, то они не имеют общих касательных. В другом случае не пересекающиеся окружности имеют четыре общие касательные. внешние общие касательные При этом, если обе окружности лежат по одну сторону от касательной (в одной полуплоскости), то такая касательная называется внешней. внутренние общие касательные Если окружности лежат по разные стороны от общей касательной (в разных полуплоскостях), то такая касательная называется внутренней. Если две окружности имеют внутреннее касание, то у них есть одна общая касательная. При внешнем касании две окружности имеют три общие касательные. Две пересекающиеся окружности имеют две общие касательные. Поиск общих касательных к двум окружностямДаны две окружности. Требуется найти все их общие касательные, т.е. все такие прямые, которые касаются обеих окружностей одновременно. Описанный алгоритм будет работать также в случае, когда одна (или обе) окружности вырождаются в точки. Таким образом, этот алгоритм можно использовать также для нахождения касательных к окружности, проходящих через заданную точку. Количество общих касательныхСразу отметим, что мы не рассматриваем вырожденные случаи: когда окружности совпадают (в этом случае у них бесконечно много общих касательных), или одна окружность лежит внутри другой (в этом случае у них нет общих касательных, или, если окружности касаются, есть одна общая касательная). В большинстве случаев, две окружности имеют четыре общих касательных. Если окружности касаются, то у них будет три обших касательных, но это можно понимать как вырожденный случай: так, как будто две касательные совпали. Более того, описанный ниже алгоритм будет работать и в случае, когда одна или обе окружности имеют нулевой радиус: в этом случае будет, соответственно, две или одна общая касательная. Подводя итог, мы, за исключением описанных в начале случаев, всегда будем искать четыре касательные. В вырожденных случаях некоторые из них будут совпадать, однако тем не менее эти случаи также будут вписываться в общую картину. АлгоритмВ целях простоты алгоритма, будем считать, не теряя общности, что центр первой окружности имеет координаты . (Если это не так, то этого можно добиться простым сдвигом всей картины, а после нахождения решения — сдвигом полученных прямых обратно.) Обозначим через и радиусы первой и второй окружностей, а через — координаты центра второй окружности (точка отлична от начала координат, т.к. мы не рассматриваем случае, когда окружности совпадают, или одна окружность находится внутри другой). Для решения задачи подойдём к ней чисто алгебраически. Нам требуется найти все прямые вида , которые лежат на расстоянии от начала координат, и на расстоянии от точки . Кроме того, наложим условие нормированности прямой: сумма квадратов коэффициентов и должна быть равна единице (это необходимо, иначе одной и той же прямой будет соответствовать бесконечно много представлений вида ). Итого получаем такую систему уравнений на искомые : Чтобы избавиться от модулей, заметим, что всего есть четыре способа раскрыть модули в этой системе. Все эти способы можно рассмотреть общим случаем, если понимать раскрытие модуля как то, что коэффициент в правой части, возможно, умножается на . Иными словами, мы переходим к такой системе: Введя обозначения и , мы приходим к тому, что четыре раза должны решать систему: Решение этой системы сводится к решению квадратного уравнения. Мы опустим все громоздкие выкладки, и сразу приведём готовый ответ: Итого у нас получилось решений вместо . Однако легко понять, в каком месте возникают лишние решения: на самом деле, в последней системе достаточно брать только одно решение (например, первое). В самом деле, геометрический смысл того, что мы берём и , понятен: мы фактически перебираем, по какую сторону от каждой из окружностей будет прямая. Поэтому два способа, возникающие при решении последней системы, избыточны: достаточно выбрать одно из двух решений (только, конечно, во всех четырёх случаях надо выбрать одно и то же семейство решений). Последнее, что мы ещё не рассмотрели — это как сдвигать прямые в том случае, когда первая окружность не находилась изначально в начале координат. Однако здесь всё просто: из линейности уравнения прямой следует, что от коэффициента надо отнять величину (где и — координаты первоначального центра первой окружности). РеализацияОпишем сначала все необходимые структуры данных и другие вспомогательные определения: Тогда само решение можно записать таким образом (где основная функция для вызова — вторая; а первая функция — вспомогательная): источники: http://www.e-maxx-ru.1gb.ru/algo/circle_tangents |
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.
Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».
Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.
То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!
Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.
Смотри, хорда ( displaystyle AB) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла ( displaystyle BAC), а другая дуга – внутри угла ( displaystyle BAD).
И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что ( displaystyle angle CAB) равен ПОЛОВИНЕ угла ( displaystyle AOB), ( displaystyle angle DAB) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла ( displaystyle AOB).
При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?
Сейчас и увидим. ( displaystyle OA) – радиус, ( displaystyle AC) – касательная.
Значит, ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).
Поэтому:( displaystyle angle 1=90{}^circ -angle 4).
Но ( displaystyle angle 2=angle 1) (( displaystyle OA) и ( displaystyle OB) – радиусы)( displaystyle angle 2=90{}^circ -angle 4).
И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника ( displaystyle AOB) равна ( displaystyle 180{}^circ ).
Пишем:
Короче:
Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).
Равенство отрезков касательных
Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:
А ещё более удивительный факт состоит в том, что:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.
То есть, на нашем рисунке, ( displaystyle AB=AC).
И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Вот, убедись.
Проведём радиусы ( displaystyle OB) и ( displaystyle OC) и соединим ( displaystyle O) и ( displaystyle A).
( displaystyle OB) – радиус.
( displaystyle AB) – касательная, значит, ( displaystyle OBbot AB).
Ну, и так же ( displaystyle OCbot AC).
Получилось два прямоугольных треугольника ( displaystyle AOB) и ( displaystyle AOC), у которых:
- ( displaystyle OB=OC) — равные катеты
- ( displaystyle OA) — общая гипотенуза
( displaystyle Rightarrow Delta AOB = Delta AOC)
(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).
Но раз ( displaystyle Delta AOB=Delta AOC,) то( displaystyle AB=AC). УРА!
И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.
И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.
Для любой прямой ( displaystyle AD), пересекающей окружность,( displaystyle ADcdot AC=A{{B}^{2}}), где ( displaystyle AB) – отрезок касательной.
Хитроумными словами об этом говорят так:
«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:
06
Сен 2019
Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиПланиметрияСправочные материалы
Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям
2019-09-06
2019-09-08
Данное утверждение может быть очень полезно при решении задач на внешне касающиеся окружности.
Теорема Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов.
Доказательство смотрите на Youtube канале
Применение теоремы при решении указанной задачи Видео*
О кругах Форда слышали?
Также смотрите применение теоремы при решении задачи
Автор: egeMax |
Нет комментариев
Выясним сколько общих касательных имеют две окружности и как эти общие касательные могут быть расположены.
Если две окружности не пересекаются и окружность меньшего радиуса лежит внутри окружности большего радиуса, то они не имеют общих касательных.
В другом случае не пересекающиеся окружности имеют четыре общие касательные.
внешние общие касательные
При этом, если обе окружности лежат по одну сторону от касательной (в одной полуплоскости), то такая касательная называется внешней.
внутренние общие касательные
Если окружности лежат по разные стороны от общей касательной (в разных полуплоскостях), то такая касательная называется внутренней.
Если две окружности имеют внутреннее касание, то у них есть одна общая касательная.
При внешнем касании две окружности имеют три общие касательные.
Две пересекающиеся окружности имеют две общие касательные.
12.015_Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей
| 26.11.2013, 21:28 | |
Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей составляет с линией центров угол α. Найти отношение радиусов этих окружностей
|
|
Категория: Задачи по Геометрии с применением Тригонометрии | |
|
| Просмотров: 1329 | Загрузок: 0
| Рейтинг: 0.0/0 |
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[
Регистрация
|
Вход
]