Как найти двугранный угол между боковыми гранями

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})

Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)

( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

Типичными линейными параметрами любой пирамиды являются длины сторон ее основания, высота, боковые ребра и апофемы. Тем не менее существует еще одна характеристика, которая связана с отмеченными параметрами, — это двугранный угол. Рассмотрим в статье, что он собой представляет и как его находить.

Пространственная фигура пирамида

Каждый школьник хорошо представляет, о чем идет речь, когда слышит слово «пирамида». Геометрически построить ее можно так: выбрать некоторый многоугольник, затем зафиксировать точку в пространстве и соединить ее с каждым углом многоугольника. Получившаяся объемная фигура будет пирамидой произвольного типа. Многоугольник, который ее образует, называется основанием, а точка, с которой соединены все его углы, является вершиной фигуры. Ниже на рисунке схематически показана пятиугольная пирамида.

Видно, что ее поверхность образована не только пятиугольником, но и пятью треугольниками. В общем случае число этих треугольников будет равно количеству сторон многоугольного основания.

Двугранные углы фигуры

Когда рассматриваются геометрические задачи на плоскости, то любой угол образован двумя пересекающимися прямыми, или отрезками. В пространстве же к этим линейным углам добавляются двугранные, образованные пересечением двух плоскостей.

Если отмеченное определение угла в пространстве применить к рассматриваемой фигуре, то можно сказать, что существует два вида двугранных углов:

• При основании пирамиды. Он образован плоскостью основания и любой из боковых граней (треугольником). Это означает, что углов при основании у пирамиды n, где n — число сторон многоугольника.
• Между боковыми сторонами (треугольниками). Количество этих двугранных углов также составляет n штук.

Заметим, что первый тип рассматриваемых углов строится на ребрах основания, второй тип — на боковых ребрах.

Как рассчитать углы пирамиды?

Линейный угол двугранного угла является мерой последнего. Вычислить его непросто, поскольку грани пирамиды, в отличие от граней призмы, пересекаются не под прямыми углами в общем случае. Надежнее всего проводить расчет значений двугранных углов с использованием уравнений плоскости в общем виде.

В трехмерном пространстве плоскость задается следующим выражением:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Где A, B, C, D — это некоторые действительные числа. Удобством этого уравнения является то, что первые три отмеченных числа являются координатами вектора, который перпендикулярен заданной плоскости, то есть:

n¯ = [A; B; C]

Если известны координаты трех точек, принадлежащих плоскости, то, взяв векторное произведение двух векторов, построенных на этих точках, можно получить координаты n¯. Вектор n¯ называется направляющим для плоскости.

Согласно определению, двугранный угол, образованный пересечением двух плоскостей, равен линейному углу между их направляющими векторами. Предположим, что мы имеем две плоскости, нормальные векторы которых равны:

n₁¯ = [A₁; B₁; C₁];

n₂¯ = [A₂; B₂; C₂]

Для вычисления угла φ между ними можно воспользоваться свойством произведения скалярного, тогда соответствующая формула принимает вид:

φ = arccos(|(n₁¯*n₂¯)|/(|n₁¯|*|n₂¯|))

Или в координатной форме:

φ = arccos(|A₁*A₂ + B₁*B₂ + C₁*C₂|/(√(A₁² + B₁²+C₁²)*√(A₂² + B₂² + C₂²)))

Покажем, как использовать изложенную методику расчета двугранных углов при решении геометрических задач.

Углы правильной пирамиды четырехугольной

Предположим, что имеется правильная пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 10 см. Высота фигуры равна 12 см. Необходимо вычислить, чему равны двугранные углы при основании пирамиды и для ее боковых сторон.

Поскольку заданная в условии задачи фигура является правильной, то есть обладает высокой симметрией, то все углы при основании равны друг другу. Также являются одинаковыми углы, образованные боковыми гранями. Чтобы вычислить необходимые двугранные углы, найдем направляющие векторы для основания и двух боковых плоскостей. Обозначим длину стороны основания буквой a, а высоту h.

Рисунок выше показывает четырехугольную правильную пирамиду. Выпишем координаты точек A, B, C и D в соответствии с введенной системой координат:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Теперь найдем направляющие векторы для плоскостей основания ABC и двух боковых сторон ABD и BCD в соответствии с изложенной в пункте выше методикой:

Для ABC:

AB¯ = (0; a; 0); AC¯ = (-a; a; 0); n₁¯ = [AB¯*AC¯] = (0; 0; a²)

Для ABD:

AB¯ = (0; a; 0); AD¯ = (-a/2; a/2; h); n₂¯ = [AB¯*AD¯] = (a*h; 0; a²/2)

Для BCD:

BC¯ = (-a; 0; 0); BD¯ = (-a/2; -a/2; h); n₃¯ = [BC¯*BD¯] = (0; a*h; a²/2)

Теперь остается применить соответствующую формулу для угла φ и подставить значения стороны и высоты из условия задачи:

Угол между ABC и ABD:

(n₁¯*n₂¯) = a⁴/2; |n₁¯| = a²; |n₂¯| = a*√(h² + a²/4);

φ = arccos(a⁴/2/(a²*a*√(h² + a²/4))) = arccos(a/(2*√(h² + a²/4))) = 67,38^o

Угол между ABD и BDC:

(n₂¯*n₃¯) = a⁴/4; |n₂¯| = a*√(h² + a²/4) ; |n₃¯| = a*√(h² + a²/4);

φ = arccos(a⁴/(4*a²*(h²+a²/4)) = arccos(a²/(4*(h²+a²/4))) = 81,49^o

Мы вычислили значения углов, которые требовалось найти по условию задачи. Полученные при решении задачи формулы можно использовать для определения двугранных углов четырехугольных правильных пирамид с любыми значениями a и h.

Углы треугольной правильной пирамиды

На рисунке ниже дана пирамида, основанием которой является правильный треугольник. Известно, что двугранный угол между боковыми сторонами является прямым. Необходимо вычислить площадь основания, если известно, что высота фигуры равна 15 см.

Двугранный угол, равный 90^o, на рисунке обозначен как ABC. Решить задачу можно, применяя изложенную методику, однако в данном случае поступим проще. Обозначим сторону треугольника a, высоту фигуры — h, апофему — h_b и боковое ребро — b. Теперь можно записать следующие формулы:

S = 1/2*a*h_b;

b² = h_b² + a²/4;

b² = h² + a²/3

Поскольку два боковых треугольника в пирамиде являются одинаковыми, то стороны AB и CB равны и являются катетами треугольника ABC. Обозначим их длину x, тогда:

x = a/√2;

S = 1/2*b*a/√2

Приравнивая площади боковых треугольников и подставляя апофему в соответствующее выражение, имеем:

1/2*a*h_b = 1/2*b*a/√2 =>

h_b = b/√2;

b² = b ²/2 + a²/4 =>

b = a/√2;

a²/2 = h² + a²/3 =>

a = h*√6

Площадь равностороннего треугольника рассчитывается так:

S = √3/4*a² = 3*√3/2*h²

Подставляем значение высоты из условия задачи, получаем ответ: S = 584,567 см².

Что такое двугранный угол

Двугранным углом называют геометрическую фигуру, которая сформирована парой полуплоскостей, выходящие из общей прямой.

Заметим, что угол, измеряемый в градусах, разделяющий пару плоскостей, является минимальным из количества двугранных углов, которые сформированы в результате пересечения плоскостей.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Источник: ru.wikipedia.org

Как найти

В поиске ответов на различные примеры из геометрии следует руководствоваться основными понятиями. Введем несколько обозначений для элементов двугранного угла.

Грани двугранного угла представляют собой полуплоскости, которые образовали данный угол.

Ребро двугранного угла является единой прямой для рассматриваемых полуплоскостей.

В процессе измерения двугранных углов используют величины линейных углов, то есть тех, что образованы при пересечении двугранного угла и плоскости, расположенной под прямым углом к ребру рассматриваемого угла. В результате для поиска величины двугранного угла рекомендуется следовать следующему алгоритму действий:

• следует определить какую-либо точку на его ребре;
• далее под прямым углом к ребру нужно опустить из определенной ранее точки лучи ко всем граням;
• угол, который разделяет изображенные лучи, соответствует величине искомого двугранного угла.

Запишем в табличной форме значения двугранных углов, характерные для правильных многогранников:

 

В данном случае следует считать (phi) равным (frac{1+sqrt{5}}{2}), то есть золотым сечением.

Виды двугранных углов

Тупой двугранный угол представляет собой такой угол, градусная величина которого превышает значение в 90°.

Тупой двугранный угол:

Источник: rusinfo.info

Прямой двугранный угол является таким двугранным углом, градусная мера которого соответствует 90°.

Прямой двугранный угол:

 

Источник: rusinfo.info

Острым двугранным углом называют двугранный угол с градусной мерой, равной 90°.

Острый двугранный угол:

Источник: rusinfo.info

Задачи

Решение

Предположим, что искомая пирамида имеет следующее название SABCD. Пусть S играет роль вершины геометрической фигуры, а ее ребра соответствуют а. Тогда, согласно условию задания, требуется найти угол, разделяющий грани SAD и SCD.

Источник: shkolkovo.net

Построим (CHperp SD). Заметим, что:

(triangle SAD=triangle SCD)

В этом случае AH также играет роль высоты в (triangle SAD). Таким образом, исходя из определения:

(angle AHC=alpha)

Заметим, что (alpha) является линейным углом, разделяющим грани SAD и SCD. При условии квадратного основания в пирамиде запишем следующее:

(AC=asqrt2)

Кроме того, имеет место такое равенство:

CH=AH

Высота AH находится в треугольнике с одинаковыми сторонами, равными а. Таким образом:

(CH=AH=frac{sqrt3}2a)

Воспользуемся теоремой косинусов применительно к (triangle AHC):

(cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH} =-dfrac13 quadRightarrowquad 6cosalpha=-2.)

Ответ: -2.

Решение

Источник: shkolkovo.net

Заметим, что треугольник AMN обладает прямым углом, тогда:

(AN^2 = AM^2 + MN^2)

В результате:

(AM^2 = 39^2 — 15^2 = 36^2)

Прямоугольным также является треугольник BMN. В таком случае:

(BN^2 = BM^2 + MN^2)

Исходя из этого, получим:

(BM^2 = 17^2 — 15^2 = 8^2)

Воспользуемся теоремой косинусов применительно к треугольнику AMB:

(AB^2 = AM^2 + MB^2 — 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB)

Таким образом:

(40^2 = 36^2 + 8^2 — 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12})

Исходя из того, что угол (alpha), разделяющий плоскости, является острым, а угол (angle AMB) определяется как тупой, получим следующее равенство:

(cosalpha=dfrac5{12})

(3cosalpha = dfrac54=1,25)

Ответ: 1,25.

Решение

Источник: shkolkovo.net

Геометрические фигуры в виде треугольников с прямыми углами (triangle SAO) и (triangle SDO) являются идентичными, согласно паре сторон и углу, который их разделяет:

(SO perp ABC Rightarrow angle SOA = angle SOD = 90^circ)

AO = DO

Записанные выше равенства являются справедливыми, так как в точке O пересекаются диагонали квадрата, а SO служит общей стороной.

(Rightarrow AS = SD Rightarrow triangle ASD)

(triangle ASD) является равнобедренным. Точка K делит пополам AD. В таком случае SK представляет собой высоту в треугольнике (triangle ASD), а OK обозначает высоту в треугольнике AOD. Таким образом, плоскость SOK расположена под прямым углом к плоскостям ASD и ABC. Можно сделать вывод о том, что (angle SKO)  является линейным углом, который соответствует искомому двугранному углу.

Источник: shkolkovo.net

Рассмотрим треугольник (triangle SKO):

(OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO)

Таким образом, (triangle SOK) является равнобедренным прямоугольным треугольником. Тогда:

(angle SKO = 45^circ.)

Ответ: (45^circ.)