Как найти двумерную плотность вероятности

Примеры решения задач

• Краткая теория
• Примеры решения задач

Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

$$
f(x,y)= frac{partial ^2}{partial x partial y} F(x,y)
$$

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

$$
f(x)= int_{-infty}^{infty} f(x,y) dy, quad f(y)= int_{-infty}^{infty} f(x,y) dx.
$$

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 le X le x_2, y_1 le Y le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

$$
f(x|y)=f_y(x)= frac{f(x,y)}{f(y)}, quad f(y|x)=f_x(y)= frac{f(x,y)}{f(x)} $$

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

$$f(x,y) =f(x)cdot f(y),$$

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

$$F(x,y) =F(x)cdot F(y).$$

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

$$
cov (X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)= int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty} (x-M(X))(y-M(Y)) f(x,y) dxdy, \
r_{XY} = frac{cov(X,Y)}{sqrt{D(X)D(Y)}}.
$$

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы
$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
C, mbox{ в треугольнике} O(0,0), A(4,0), B(4,1)\
0, mbox{ в остальных точках} \
end{array}
right.
$$
Найти:
$C, rho_1(x), rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_{xy}, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=csqrt{xy}, quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y):
$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
0, mbox{ при } x le 0 mbox{ или } yle 0\
(1-e^{-2x})(1-e^{-3y}), mbox{ при } x gt 0 mbox{ и } ygt 0\
end{array}
right.
$$
Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У)
$$f(x,y)=C e^{-x^2-2xy-4y^2}$$
Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 sin(x+y)$ в квадрате $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=sin x sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна
$$f(x,y) = c(R-sqrt{x^2+y^2}), quad x^2+y^2 lt R^2.$$
Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $alt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y
$$f(x,y)=frac{c}{36+9x^2+4y^2+x^2y^2}.$$
Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_{xy}$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Для
непрерывной двумерной случайной
величины, так же как и для одномерной,
существует понятие плотности
вероятности.

Определение.
Плотностью
вероятности
(или
совместной
плотностью)
непрерывной двумерной случайной величины
XY
называется вторая смешанная частная
производная ее функции распределения,
т.е.

Геометрически
плотность вероятности двумерной
случайной величиныXY
представляет собой поверхность
распределения в пространстве Oxyz.

Отметим
свойства
плотности вероятности двумерной
случайной величины.

1.
Плотность
вероятности двумерной случайной величины
есть неотрицательная функция,
т.е.

f(x,
y)
≥ 0.

2.
Вероятность
попадания непрерывной случайной величины
XY
в область D
равна

3.
Функция
распределения непрерывной случайной
величины может быть выражена через ее
плотность вероятности по формуле:

4.
Двойной
несобственный интеграл в бесконечных
пределах от плотности вероятности
двумерной случайной величины равен
единице:

Зная
плотность вероятности двумерной
случайной величины (X,
Y)
можно найти функции распределения и
плотность вероятностей ее одномерных
составляющих X
и Y.

Так
как в соответствии с (8.7)
F(x,
+ ∞) = F₁(x)
и F(+
∞, y)
= F₂(y),
то взяв в формуле (8.12)
соответственно x
= + ∞ и y
= + ∞, получим функции распределения
одномерных случайных величин X
и Y:

Дифференцируя
функции распределения F₁(x)
и F₂(y)
соответственно по аргументам x
и y,
получим плотности вероятности одномерных
случайных величин X
и Y:

т.е.
несобственный
интеграл в бесконечных пределах от
совместной плотности двумерной случайной
величины по аргументу x
дает плотность вероятности
f₂(y),
а
по аргументу y
– плотность вероятности
f₁(x).

8.5. Условные законы распределения двумерной случайной величины

Итак, мы выяснили,
как по известному закону распределения
системы двух случайных величин определить
законы распределения одномерных величин,
входящих в систему.

Естественно
возникает вопрос: нельзя ли по законам
распределения одномерных величин,
входящих в систему, найти закон
распределения системы в целом? Оказывается,
в общем случае этого сделать нельзя.
Для того, чтобы полностью описать систему
случайных величин, недостаточно знать
распределение каждой из ее составляющих.
Нужно еще знать зависимость между
величинами, входящими в систему. Эта
зависимость характеризуется с помощью
условных законов распределения.

Определение.
Условным
законом распределения
одной из одномерных составляющих
двумерной случайной величины XY
называется ее закон распределения,
вычисленный при условии, что другая
составляющая приняла определенное
значение
(или
попала в определенный интервал).

Для
дискретных
случайных
величин условные вероятности находятся
по формулам:

В
случае непрерывных
случайных величин необходимо определить
плотность
вероятности
условных распределений. Заменяя в
формулах для дискретных величин
вероятности событий «элементами
вероятностей», получим:

т.е.
условная
плотность вероятности одной из одномерных
составляющих двумерной случайной
величины равно отношению ее совместной
плотности к плотности вероятности
другой составляющей.

Пример 8.2.По
данным примера8.1найти условный
закон распределения составляющейХпри условии, сто составляющаяYприняла значениеy₁=1.

Решение.Искомый закон определяется следующей
совокупностью условных вероятностей:

p(x₁|y₁),p(x₂|y₁),p(x₃|y₁).

Воспользовавшись
формулой (8.16) и учитывая, чтоp(y₁)
= 0,6 (пример8.1), получаем:

p(x₁
| y₁)
=
;p(x₂
| y₁)
=
;

p(x₃
| y₁)
=
.◄

Важной характеристикой
условного распределения вероятностей
является условное математическое
ожидание.

Условным
математическим ожиданиемдискретной
случайной величиныYприХ=х(х– определенное
возможное значениеХ) называют
произведение возможных значенийYна их условные вероятности:

Для непрерывных
величин

Аналогично
определяется условное математическое
ожидание случайной величины Х.

Пример
8.3. По
данным примера8.1найти условное
математическое ожидание составляющейYпри условии, что
составляющаяХпримет значениех₁= 2.

Решение.Найдемр(х₁), для чего сложим
вероятности, помещенные в первом столбце
табл. 8.2

р(х₁)
= 0,05 + 0,15 = 0,2.

Найдем условное
распределение вероятностей величины
Yпри приХ=х₁=3:

p(y₁
| x₁)
=
;p(y₂
| x₁)
=
.

Найдем
условное математическое ожидание по
формуле (8.19):

M(Y|X=x₁)
=
=y₁·p(y₁|x₁) +y₂·p(y₂|x₁) =
=
2,5. ◄

Условное
математическое ожидание случайной
величины YприХ=х, т.е.M_x(Y),
есть функция отх, называемаяфункцией
регрессииили просторегрессиейYпо Х. АналогичноM_y(X)
называетсяфункцией регрессииилирегрессией X по
Y. Графики этих
функций называются соответственнолиниями регрессии(иликривыми
регрессии)Y по ХиХ по Y.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #