Как найти единичные нормальный вектор - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов.

Но для решения задач нам будет хватать и одного: если плоскость задана общим уравнением в прямоугольной (!) системе координат, то вектор является нормальным вектором данной плоскости.

Просто до безобразия! – всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости. И чтобы хоть как-то усложнить практику рассмотрим тоже простую, но очень важную задачу, которая часто встречается, причём, не только в геометрии:

Задача 134

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение: принципиально ситуация выглядит так:

Сначала из уравнения плоскости «снимем» вектор нормали: .

И эту задачку мы уже решали: для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Вычислим длину вектора нормали:

Таким образом:

Контроль:, ОК

Ответ:

Вспоминаем, что координаты этого вектора – есть в точности направляющие косинусы вектора : .

И, как говорится, обещанного три страницы ждут – вернёмся к Задаче 130, чтобы выполнить её проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке и двум векторам , и в результате решения мы получили уравнение .

Проверяем:

Во-первых, подставим координаты точки в полученное уравнение:

– получено верное равенство, значит, точка лежит в данной плоскости.

На втором шаге из уравнения плоскости «снимаем» вектор нормали: . Поскольку векторы параллельны плоскости, а вектор ей перпендикулярен, то должны иметь место следующие факты: . Ортогональность векторов элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор параллелен плоскости в том и только том случае, когда .

Итак, с «выуживанием» нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

5.2.4. Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

5.2.2. Как составить уравнение плоскости по трём точкам?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой

Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.

Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами. Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.

Нормальным вектором прямой называют любой ненулевой вектор, который лежит на любой прямой, перпендикулярной данной.

Понятно, что имеется бесконечное множество нормальных векторов, расположенных на данной прямой. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Получаем, что прямая является перпендикулярной одной из двух заданных параллельных прямых, тогда ее перпендикулярность распространяется и на вторую параллельную прямую. Отсюда получаем, что множества нормальных векторов этих параллельных прямых совпадают. Когда прямые a и а 1 параллельные, а n → считается нормальным вектором прямой a , также считается нормальным вектором для прямой a 1 . Когда прямая а имеет прямой вектор, тогда вектор t · n → является ненулевым при любом значении параметра t , причем также является нормальным для прямой a .

Используя определение нормального и направляющего векторов, можно прийти к выводу, что нормальный вектор перпендикулярен направляющему. Рассмотрим пример.

Если задана плоскость О х у , то множеством векторов для О х является координатный вектор j → . Он считается ненулевым и принадлежащим координатной оси О у , перпендикулярной О х . Все множество нормальных векторов относительно О х можно записать, как t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Прямоугольная система O x y z имеет нормальный вектор i → , относящийся к прямой О z . Вектор j → также считается нормальным. Отсюда видно, что любой ненулевой вектор, расположенный в любой плоскости и перпендикулярный О z , считается нормальным для O z .

Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой

При рассмотрении прямоугольной системы координат О х у выявим, что уравнение прямой на плоскости соответствует ей, а определение нормальных векторов производится по координатам. Если известно уравнение прямой, а необходимо найти координаты нормального вектора, тогда необходимо из уравнения A x + B y + C = 0 выявить коэффициенты, которые и соответствуют координатам нормального вектора заданной прямой.

Задана прямая вида 2 x + 7 y — 4 = 0 _, найти координаты нормального вектора.

По условию имеем, что прямая была задана общим уравнением, значит необходимо выписать коэффициенты , которые и являются координатами нормального вектора. Значит, координаты вектора имеют значение 2 , 7 .

Бывают случаи, когда A или В из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.

Указать нормальный вектор для заданной прямой y — 3 = 0 .

По условию нам дано общее уравнение прямой, значит запишем его таким образом 0 · x + 1 · y — 3 = 0 . Теперь отчетливо видим коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, получаем, что координаты нормального вектора равны 0 , 1 .

Если дано уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 или уравнение с угловым коэффициентом y = k · x + b , тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.

Найти координаты нормального вектора, если дано уравнение прямой x 1 3 — y = 1 .

Для начала необходимо перейти от уравнения в отрезках x 1 3 — y = 1 к уравнению общего вида. Тогда получим, что x 1 3 — y = 1 ⇔ 3 · x — 1 · y — 1 = 0 .

Отсюда видно, что координаты нормального вектора имеют значение 3 , — 1 .

Ответ: 3 , — 1 .

Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости x — x 1 a x = y — y 1 a y или параметрическим x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут a → = ( a x , a y ) . Возможность нахождения координат нормального вектора n → возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов n → и a → .

Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ a y · x — a x · y + a x · y 1 — a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · x — a x · y + a x · y 1 — a y · x 1 = 0

Для решения можно выбирать любой удобный способ.

Найти нормальный вектор заданной прямой x — 2 7 = y + 3 — 2 .

Из прямой x — 2 7 = y + 3 — 2 понятно, что направляющий вектор будет иметь координаты a → = ( 7 , — 2 ) . Нормальный вектор n → = ( n x , n y ) заданной прямой является перпендикулярным a → = ( 7 , — 2 ) .

Выясним, чему равно скалярное произведение. Для нахождения скалярного произведения векторов a → = ( 7 , — 2 ) и n → = ( n x , n y ) запишем a → , n → = 7 · n x — 2 · n y = 0 .

Значение n x – произвольное , следует найти n y . Если n x = 1 , отсюда получаем, что 7 · 1 — 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Значит, нормальный вектор имеет координаты 1 , 7 2 .

Второй способ решения сводится к тому, что необходимо прийти к общему виду уравнения из канонического. Для этого преобразуем

x — 2 7 = y + 3 — 2 ⇔ 7 · ( y + 3 ) = — 2 · ( x — 2 ) ⇔ 2 x + 7 y — 4 + 7 3 = 0

Полученный результат координат нормального вектора равен 2 , 7 .

Ответ: 2 , 7 или 1 , 7 2 .

Указать координаты нормального вектора прямой x = 1 y = 2 — 3 · λ .

Для начала необходимо выполнить преобразование для перехода в общему виду прямой. Выполним:

x = 1 y = 2 — 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 — 3 · λ ⇔ λ = x — 1 0 λ = y — 2 — 3 ⇔ x — 1 0 = y — 2 — 3 ⇔ ⇔ — 3 · ( x — 1 ) = 0 · ( y — 2 ) ⇔ — 3 · x + 0 · y + 3 = 0

Отсюда видно, что координаты нормального вектора равны — 3 , 0 .

Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат О х у z .

Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда нормальный вектор плоскости относится к A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда получаем запись векторов в виде n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .

Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z или параметрического, имеющего вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , отсюда a x , a y и a z считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору a → = ( a x , a y , a z ) . Отсюда следует, что нахождение координат нормального с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору a → = ( a x , a y , a z ) .

Вектор нормали: расчет и пример

Содержание:

В нормальный вектор Он определяет направление, перпендикулярное рассматриваемому геометрическому объекту, который может быть, например, кривой, плоскостью или поверхностью.

Это очень полезная концепция для позиционирования движущейся частицы или какой-либо поверхности в пространстве. На следующем графике можно увидеть, как вектор нормали к произвольной кривой C:

Рассмотрим точку P на кривой C. Точка может представлять движущуюся частицу, которая движется по траектории C. Касательная линия к кривой в точке P нарисована красным.

Обратите внимание, что вектор Т касается C в каждой точке, а вектор N перпендикулярно Т y указывает на центр воображаемого круга, дуга которого является сегментом C. Векторы выделены жирным шрифтом в печатном тексте, чтобы отличать их от других не векторных величин.

Вектор Т он всегда указывает, куда движется частица, следовательно, указывает ее скорость. Вместо вектора N всегда указывает в том направлении, в котором вращается частица, отмечая, таким образом, вогнутость кривой C.

Как получить вектор нормали к плоскости?

Вектор нормали не обязательно является единичным вектором, то есть вектором с модулем 1, но если это так, он называется нормальный единичный вектор.

Во многих приложениях необходимо знать вектор нормали к плоскости вместо кривой. Этот вектор показывает ориентацию указанной плоскости в пространстве. Например, рассмотрим самолет п (желтый) рисунка:

К этой плоскости есть два нормальных вектора: п₁ Y п₂. Использование того или другого будет зависеть от контекста, в котором находится упомянутый самолет. Получить вектор нормали к плоскости очень просто, если вы знаете его уравнение:

ах + по + cz + d = 0, с участием к, б, c Y d вещественные числа.

Ну, нормальный вектор к указанной плоскости задается следующим образом:

N = а я + b j + c k

Здесь вектор N Он выражается через единичные векторы и перпендикулярно друг другу. я, j Y k, направленных по трем направлениям, определяющим пространство X и Zсм. рисунок 2 справа.

Вектор нормали из векторного произведения

Очень простая процедура нахождения вектора нормали использует свойства векторного произведения между двумя векторами.

Как известно, три разные точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость Р. Теперь можно получить два вектора или Y v которые принадлежат упомянутой плоскости, имеющей эти три точки.

Когда у вас есть векторы, векторный продуктили Икс v — операция, результатом которой, в свою очередь, является вектор, который имеет свойство быть перпендикулярным плоскости, определяемой или Y v.

Известный этот вектор, он обозначается как N, и из него можно будет определить уравнение плоскости благодаря уравнению, указанному в предыдущем разделе:

N = или Икс v

На следующем рисунке показана описанная процедура:

пример

Найти уравнение плоскости, определяемой точками A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).

Решение

Это упражнение иллюстрирует описанную выше процедуру. Имея 3 точки, одна из них выбирается как общее начало двух векторов, которые принадлежат плоскости, определенной этими точками. Например, точка A устанавливается в качестве начала координат и строятся векторы AB Y AC.

Вектор AB — вектор, начало которого — точка A, а конец — точка B. Координаты вектора AB определяются соответственно вычитанием координат B из координат A:

AB = (0-2) я + (1-1) j + (1-3) k = -2я + 0j -2 k

Таким же образом поступаем и находим вектор AC:

AC = (4-2) я + (2-1) j + (1-3) k = 2я + j -2 k

Расчет векторного произведения AB x AC

Существует несколько процедур для нахождения векторного произведения между двумя векторами. В этом примере используется мнемоническая процедура, которая использует следующий рисунок для поиска векторных произведений между единичными векторами. я, j Y k:

Для начала следует помнить, что векторные произведения между параллельными векторами равны нулю, поэтому:

я Икс я = 0; j Икс j = 0; k Икс k = 0

А поскольку векторное произведение — это еще один вектор, перпендикулярный участвующим векторам, двигаясь в направлении красной стрелки, мы имеем:

я Икс j = k ; j Икс k = я; k Икс я = j

Если вам нужно двигаться в направлении, противоположном стрелке, добавьте знак (-):

j Икс я = – k; k Икс j = –я; я Икс k = –j

Всего можно составить 9 векторных произведений с единичными векторами. я, j Y k, из которых 3 будут нулевыми.

AB Икс AC = (-2я + 0j -2 k) х (2я + j -2 k)= -4(я Икс я) -2(я Икс j)+4 (я Икс k)+0 (j Икс я) + 0 (j Икс j) – 0 (j Икс k) – 4 (k Икс я)-2 (k Икс j) + 4 (k Икс k) = -2k-4j-4j+2я = 2я -8j-2k

Уравнение плоскости

Вектор N был определен с помощью предварительно рассчитанного векторного произведения:

N = 2я -8j-2k

Следовательно, a = 2, b = -8, c = -2, искомая плоскость:

ах + по + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0

Значение d. Это легко сделать, если значения любой из имеющихся точек A, B или C подставить в уравнение плоскости. Выбор C, например:

2,4 — 8,2 — 2,1 + d = 0

Вкратце, искомая карта:

Пытливый читатель может задаться вопросом, был бы такой же результат, если бы вместо выполнения AB Икс AC они бы предпочли произвести AC Икс AB. Ответ: да, плоскость, определяемая этими тремя точками, уникальна и имеет два вектора нормали, как показано на рисунке 2.

Что касается точки, выбранной в качестве исходной точки векторов, нет проблем с выбором любого из двух других.

Ссылки

Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB). 31-62.
Нахождение нормали к плоскости. Получено с: web.ma.utexas.edu.
Ларсон, Р. (1986). Исчисление и аналитическая геометрия. Мак Гроу Хилл. 616-647.
Линии и плоскости в R 3. Получено с: math.harvard.edu.
Нормальный вектор. Получено с сайта mathworld.wolfram.com.

Мао Цзэдун: биография китайского коммунистического лидера

Битва при Сангараре: предшественники, причины и последствия

Нормальный вектор прямой

Вы будете перенаправлены на Автор24

В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.

Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.

Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.

Можно выразить уравнение прямой и другим способом:

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ — в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.

Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:

$x cdot cos <alpha>+ y cdot sin <alpha>- p = 0$

где $alpha$ — угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ — расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.

Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:

когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.

Готовые работы на аналогичную тему

Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.

Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:

$y — y_0 = k cdot (x — x_0)$

Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой — самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.

Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.

Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.

Обозначив нормальный вектор прямой как $vec(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как

$n_1 cdot (x — x_n) + n_2 cdot (y — y_0) = 0$

Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат

то нормальный вектор описывается формулой:

При этом говорят, что координаты нормального вектора «снимаются» с уравнения прямой.

Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $bar

(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $bar

(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:

В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:

$bar

cdot bar = -B cdot A + A cdot B = 0 implies bar

perp bar$

Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $bar(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:

$A(x — x_0) + B(y — y_0) = 0$

Составить уравнение прямой по точке $M(-1; -3)$ и нормальному вектору $bar(3; -1)$. Вывести уравнение направляющего вектора.

Для решения задействуем формулу $A cdot (x — x_0) + B cdot (y — y_0) = 0$

Подставив значения, получаем:

$3 cdot (x — (-1)) — (-1) cdot (y — (-3)) = 0$ $3 cdot (x + 1) — (y + 3) = 0$ $3x + 3 — y — 3 = 0$ $3x — y = 0$

Проверить правильность общего уравнения прямой можно «сняв» из него координаты для нормального вектора:

$3x — y = 0 implies A = 3; B = -1 implies bar(A; B) = bar(3; -1),$

Что соответствует числам исходных данных.

Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x — y = 0$:

Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:

$bar

(-B; A) implies bar

(1; 3)$

Ответ: $3x — y = 0; bar

(1; 3).$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2022

источники:

http://ru1.warbletoncouncil.org/vector-normal-6378

http://spravochnick.ru/matematika/normalnyy_vektor_pryamoy/

Источник

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Нормальный вектор прямой

Вы будете перенаправлены на Автор24

Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.

Можно выразить уравнение прямой и другим способом:

Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:

$x cdot cos <alpha>+ y cdot sin <alpha>- p = 0$

где $alpha$ — угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ — расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.

Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:

когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.

Готовые работы на аналогичную тему

Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.

$y — y_0 = k cdot (x — x_0)$

$n_1 cdot (x — x_n) + n_2 cdot (y — y_0) = 0$

то нормальный вектор описывается формулой:

При этом говорят, что координаты нормального вектора «снимаются» с уравнения прямой.

(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $bar

(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:

$bar

cdot bar = -B cdot A + A cdot B = 0 implies bar

perp bar$

$A(x — x_0) + B(y — y_0) = 0$

Для решения задействуем формулу $A cdot (x — x_0) + B cdot (y — y_0) = 0$

Подставив значения, получаем:

$3 cdot (x — (-1)) — (-1) cdot (y — (-3)) = 0$ $3 cdot (x + 1) — (y + 3) = 0$ $3x + 3 — y — 3 = 0$ $3x — y = 0$

Проверить правильность общего уравнения прямой можно «сняв» из него координаты для нормального вектора:

$3x — y = 0 implies A = 3; B = -1 implies bar(A; B) = bar(3; -1),$

Что соответствует числам исходных данных.

Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x — y = 0$:

Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:

$bar

(-B; A) implies bar

(1; 3)$

Ответ: $3x — y = 0; bar

(1; 3).$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2022

Вектор нормали: расчет и пример

Содержание:

Как получить вектор нормали к плоскости?

ах + по + cz + d = 0, с участием к, б, c Y d вещественные числа.

Ну, нормальный вектор к указанной плоскости задается следующим образом:

N = а я + b j + c k

Вектор нормали из векторного произведения

N = или Икс v

На следующем рисунке показана описанная процедура:

пример

Найти уравнение плоскости, определяемой точками A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).

Решение

AB = (0-2) я + (1-1) j + (1-3) k = -2я + 0j -2 k

Таким же образом поступаем и находим вектор AC:

AC = (4-2) я + (2-1) j + (1-3) k = 2я + j -2 k

Расчет векторного произведения AB x AC

Для начала следует помнить, что векторные произведения между параллельными векторами равны нулю, поэтому:

я Икс я = 0; j Икс j = 0; k Икс k = 0

я Икс j = k ; j Икс k = я; k Икс я = j

Если вам нужно двигаться в направлении, противоположном стрелке, добавьте знак (-):

j Икс я = – k; k Икс j = –я; я Икс k = –j

Всего можно составить 9 векторных произведений с единичными векторами. я, j Y k, из которых 3 будут нулевыми.

Уравнение плоскости

Вектор N был определен с помощью предварительно рассчитанного векторного произведения:

N = 2я -8j-2k

Следовательно, a = 2, b = -8, c = -2, искомая плоскость:

ах + по + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0

2,4 — 8,2 — 2,1 + d = 0

Вкратце, искомая карта:

Ссылки

Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB). 31-62.
Нахождение нормали к плоскости. Получено с: web.ma.utexas.edu.
Ларсон, Р. (1986). Исчисление и аналитическая геометрия. Мак Гроу Хилл. 616-647.
Линии и плоскости в R 3. Получено с: math.harvard.edu.
Нормальный вектор. Получено с сайта mathworld.wolfram.com.

Мао Цзэдун: биография китайского коммунистического лидера

Битва при Сангараре: предшественники, причины и последствия

источники:

http://spravochnick.ru/matematika/normalnyy_vektor_pryamoy/

http://ru1.warbletoncouncil.org/vector-normal-6378

Источник

Мир векторной геометрии не заканчивается направленными векторами, выходящими из двух или трехмерных плоскостей. Самый важный тип векторов, который составляет большинство концепций векторной геометрии, — это нормальный вектор.

Нормальный вектор можно определить как:

«Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный другой поверхности, вектору или оси, короче говоря, составляющий угол 90 ° с поверхностью, вектором или осью».

В этом разделе, посвященном векторам нормалей, мы рассмотрим следующие темы:

Что такое нормальный вектор?
Как найти нормальный вектор?
Какая формула нормальных векторов?
Примеры
Проблемы практики

Что такое нормальный вектор?

Вектор нормали — это вектор, наклоненный под углом 90 °.° на плоскости или ортогонален всем векторам.

Прежде чем погрузиться в концепцию векторов нормалей, давайте сначала рассмотрим термин «нормальный».

В математических терминах или, точнее, в геометрических терминах, термин «нормальный» определяется как перпендикулярный любой указанной поверхности, плоскости или вектору. Мы также можем заявить, что нормальность означает, что вектор или любой другой математический объект направлен под углом 90 ° к другой плоскости, поверхности или оси.

Теперь, когда мы знаем, что означает термин «нормальный» в математической области, давайте проанализируем векторы нормалей.

Векторы нормали наклонены под углом 90 ° к поверхности, плоскости, другому вектору или даже оси. Его представление показано на следующем рисунке:

Концепция нормальных векторов обычно применяется к единичным векторам.

Нормальные векторы — это векторы, которые перпендикулярны или ортогональны другим векторам. Если говорить о технической стороне дела, существует бесконечное количество нормальных векторов к любому заданному вектор в качестве единственного стандарта для любого вектора, который следует рассматривать как вектор нормали, состоит в том, что они наклонены под углом из 900 к вектору. Если мы рассмотрим скалярное произведение вектора нормали и любого заданного вектора, то скалярное произведение равно нулю.

а. п = | а | | n | cos (90)

а. п = 0

Точно так же, если мы рассматриваем перекрестное произведение вектора нормали и данного вектора, то это эквивалентно произведению величин обоих векторов как sin (90) = 1.

а х п = | а | | n | грех (90)

а х п = | а | | n |

Сфера векторной геометрии — это разные векторы и то, как мы можем практически включить эти направленные математические объекты в нашу повседневную жизнь. Будь то инженерная, архитектурная, авиационная или даже медицинская сфера, любая реальная проблема не может быть решена без реализации концепций векторов. Короче говоря, можно сделать вывод, что каждая практическая задача требует векторного решения.

Из-за такого значения векторов в нашей повседневной жизни понимание роли и концепции каждого вектора становится главным приоритетом для математиков и студентов. Среди этих векторов первостепенное значение имеет вектор нормали.

Каждый вектор имеет некоторую величину и направление. В математике величина вектора является наиболее важным фактором, но в некоторых случаях величина не так уж и важна. Это полностью зависит от требований. В некоторых случаях нам требуется только направление. Поэтому в таких случаях величина не нужна. Следовательно, мы можем сказать, что направление вектора уникально. Мы можем рассматривать эту концепцию и геометрически; вектор нормали к плоскости находится на этой линии, и на этой линии существует несколько векторов, перпендикулярных плоскости. Итак, направление привносит в систему уникальность.

Теперь давайте решим пример, чтобы лучше понять нормальные векторы.

Пример 1

Найдите векторы нормали к данной плоскости 3x + 5y + 2z.

Решение

Для данного уравнения вектор нормали равен,

N = <3, 5, 2>

Так что п вектор — вектор нормали к данной плоскости.

Мы заявляли ранее в нашей предыдущей теме «Единичные векторы’что эти векторы имеют величину1 и перпендикулярны остальным осям плоскости. Поскольку единичный вектор вдоль оси перпендикулярен остальным осям, единичный вектор также может попадать в область нормальных векторов. Эта концепция подробно описана ниже:

Единичный нормальный вектор

Единичный вектор нормали определяется как:

«Вектор, перпендикулярный плоскости или вектору и имеющий величину 1, называется единичным нормальным вектором».

Как мы заявили выше, векторы нормалей направлены под углом 90 °. Мы уже обсуждали, что единичные векторы также перпендикулярны или направлены под углом 90 ° к остальным осям; следовательно, мы можем смешать эти два термина. Совместное понятие называется единичным нормальным вектором, и на самом деле это подкатегория нормальных векторов.

Мы можем отличить единичные векторы нормали от любого другого вектора нормали, заявив, что любой вектор нормали с величиной 1 может быть объявлен единичным вектором нормали. Такие векторы будут иметь величину 1 и также будут направлены точно под углом 90 ° от любой конкретной поверхности, плоскости, вектора или соответствующей оси. Представление такого вектора можно изобразить, поместив шляпу (^) поверх вектора п, п (^).

Еще одна вещь, на которую следует обратить внимание, — это распространенное заблуждение и заблуждение, с которым сталкиваются некоторые математики и студенты при проверке этой концепции. Если у нас есть вектор v, то следует отметить, что нельзя смешивать концепции единичного вектора и вектора нормали. Единичные векторы вектора v будут направлены по осям плоскости, в которой вектор v существуют. Напротив, нормальный вектор был бы вектором, который был бы специфическим для вектора v. Единичный вектор нормали в данном случае — это единичные векторы вектора v, не нормальный вектор, который находится под углом 90 ° от вектора v.

Например, давайте рассмотрим вектор р который указывает координату x, b как координату y и c как координату z вектора. Единичный вектор — это вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, а его величина равна 1.

Единичный вектор задается как,

ты = а / | а |

ты = .

Где | r | — величина вектора и ты — единичный вектор.

Давайте обсудим концепцию единичных нормальных векторов на примере.

Пример 2

Найдите нормальный единичный вектор, когда вектор задан как v = <2, 3, 5>

Решение

Как мы знаем, единичный вектор — это вектор с величиной, равной 1, и направлением вдоль направления данного вектора.

Итак, единичный вектор задается как,

ты = 1. ( v / |v| )

Следовательно, величина вектора задается как

|v| = √ ( (2)^2 + (3)^2 + (5)^2 )

|v| = √ ( 4 + 9 + 25 )

|v| = √ ( 38 )

Теперь, подставив значения в вышеупомянутую формулу, получим:

ты = 1. ( < (2 / √ (38) ) + (3 / √ (38) ) + (5 / √ (38) ) >)

ты = < (2 / √ (38) ) + (3 / √ (38) ) + (5 / √ (38) ) >

Нормальный вектор и перекрестное произведение

Как мы знаем, это перекрестное произведение дает вектор, перпендикулярный обоим векторам А а также Б. Его направление задается правилом правой руки. Следовательно, эта концепция очень полезна для генерации вектора нормали. Итак, можно сказать, что вектор нормали — это векторное произведение двух данных векторов. А а также Б.

Давайте разберемся в этой концепции на примере.

Пример 3

Рассмотрим два вектора PQ = <0, 1, -1> и RS = . Вычислите вектор нормали к плоскости, содержащей эти два вектора.

Решение:

Поскольку мы знаем, что произведение двух векторов дает вектор нормали, поэтому

| PQ x RS | = я j k

1 1 -1

-2 1 0

| PQ x RS | = я ( 0 + 1 ) – j ( 0 – 2 ) + k ( 0 + 2 )

| PQ x RS | = 1я + 2j + 2k

Следовательно, это нормальный вектор.

Условия для нормального вектора

Как мы знаем, мы можем найти вектор нормали, используя перекрестное произведение. Точно так же существуют два условия для того, чтобы векторы были ортогональными или перпендикулярными.

Два вектора называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

Два вектора называются перпендикулярными, если их векторное произведение равно 1.

Чтобы проверить наш результат, мы можем использовать два упомянутых выше условия.

Убедимся в этом на примерах.

Пример 4

Покажите, что два вектора v = <1, 0, 0> и ты = <0, -2, -3> перпендикулярны друг другу.

Решение

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то два вектора перпендикулярны друг другу.

Итак, скалярное произведение векторов ты а также v дается как,

u. v = <1, 0, 0>. <0, -2, -3> = 0

u. v = 1 – 0 – 0

u. v = 0

Следовательно, доказано, что два вектора перпендикулярны друг другу.

Единичные касательные векторы

Когда мы обсуждаем единичные векторы нормали, появляется другой тип, называемый единичными касательными векторами. Чтобы понять концепцию, давайте рассмотрим вектор р(t) быть дифференцируемой вектор-функцией и v(t) = р’(t), то единичный касательный вектор с направлением в направлении вектора скорости задается как,

т (t) = v (t) / | v (t) |

где | v (t) | — величина вектора скорости.

Давайте лучше поймем эту концепцию на примере.

Пример 5

Рассмотреть возможность р (t) = t2я + 2тj + 5k, найти единичный касательный вектор. Также вычислите значение касательного вектора при t = 0.

Решение

В соответствии с формулой, касательная к единице вектор задается как,

т (t) = v (t) / | v (t) |

куда v (t) = р’ (т)

Давайте посчитаем стоимость v (т)

v (t) = 2tя + 2j

теперь, вычисляя значение величины вектора v (t), который задается как,

| v | = √ (4t ^2 + 4 )

Подставляя значения в формулу единичного касательного вектора, получаем,

т (t) = (2tя + 2j ) / (√ (4t ^2 + 4 ) )

Теперь, найдя значение т (0),

т (0) = 2j / ( √(4) )

т (0) = 2j / ( 2)

т (0) = 1j

Пример 6

Рассмотреть возможность р (t) = e т я + 2т 2 j + 2т k, найти единичный касательный вектор. Также вычислите значение касательного вектора при t = 1.

Решение

Согласно формуле единичный касательный вектор задается как,

т (t) = v (t) / | v (t) |

куда v (t) = р’ (т)

Давайте посчитаем стоимость v (т)

v (т) = е ^т я + 4т j + 2 k

теперь, вычисляя значение величины вектора v (t), который задается как,

| v | = √ (e ^2т + 16т ^2 + 4 )

Подставляя значения в формулу единичного касательного вектора, получаем,

т (t) = (e ^т я + 4т j + 2 k ) / (√ (e ^2т + 16т ^2 + 4 ) )

Теперь, найдя значение т (1),

т (1) = (e ^1 я + 4 (1) j + 2 k ) / (√ (e ^2(1) + 16 (1)^2+ 4 ) )

т (1) = (e ^ 1 я + 4 j + 2 k ) / (√ (e ^2 + 16 + 4 ) )

т (1) = (e я + 4 j + 2 k ) / (√ (e ^ 2 + 20 ) )

Проблемы с практикой

Найдите нормальный единичный вектор, когда вектор задан как v = <1, 0, 5>
Рассмотрим r (t) = 2x2я + 2x j + 5 k, найти единичный касательный вектор. Также вычислите значение касательного вектора при t = 0.
Пусть r (t) = t я + ет j — 3т2k. Найдите T (1) и T (0).
Найдите векторы нормали к данной плоскости 7x + 2y + 2z = 9.

Ответы

<1, 0, 5>/ ( √(26)
(4x + 2) / (√ (16x2 + 2)
(1 + ет — 6т) / √(1 + е2т + 36т2)
<7, 2, 2>

Все изображения построены с использованием GeoGebra.

Источник

Как найти нормальный вектор к плоскости

Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости. Одним из способов задать плоскость является указание координат ее нормали и точки, лежащей на плоскости. Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, то нормальным к ней является вектор с координатами (A;B;C). В других случаях для вычисления нормального вектора придется потрудиться.

Инструкция

Пусть плоскость задана тремя принадлежащими ей точками K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp). Чтобы найти нормальный вектор, составим уравнение этой плоскости. Обозначьте произвольную точку, лежащую на плоскости, буквой L, пусть у нее будут координаты (x;y;z). Теперь рассмотрите три вектора PK, PM и PL, они лежат на одной плоскости (компланарны), поэтому их смешанное произведение равно нулю.

Найдите координаты векторов PK, PM и PL:
PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)
PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)
PL = (x-xp;y-yp;z-zp)
Смешанное произведение этих векторов будет равно определителю, представленному на рисунке. Этот определитель следует вычислить, чтобы найти уравнение для плоскости. Вычисление смешанного произведения для конкретного случая смотрите в примере.

Пример
Пусть плоскость задана тремя точками K(2;1;-2), M(0;0;-1) и P(1;8;1). Требуется найти нормальный вектор плоскости.
Возьмите произвольную точку L с координатами (x;y;z). Вычислите векторы PK, PM и PL:
PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)
PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)
PL = (x-1;y-8;z-1)
Составьте определитель для смешанного произведения векторов (он на рисунке).

Теперь разложите определитель по первой строке, а затем подсчитайте значения определителей размера 2 на 2.
Таким образом уравнение плоскости -10x + 5y — 15z — 15 = 0 или, что то же, -2x + y — 3z — 3 = 0. Отсюда легко определить вектор нормали к плоскости: n = (-2;1;-3).

Источники:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник