Как найти эдс индукции в замкнутом контуре

Закон электромагнитной индукции:

Вам уже известно, что электрический ток, или движущиеся заряды, создают в окружающем пространстве магнитное поле. А возможен ли обратный процесс, при котором с помощью магнитного поля в замкнутом проводнике будет создан электрический ток?

Именно такой вопрос заинтересовал выдающегося английского физика Майкла Фарадея, который в 1821 г. в своем дневнике поставил перед собой задачу: «Превратить магнетизм в электричество». Через 10 лет упорного труда эта задача была им успешно решена. В августе 1831 г. Фарадей сделал фундаментальное открытие в области электромагнитных явлений.

При проведении опытов Фарадей обнаружил, что при введении постоянного магнита в катушку (рис. 160, а) или при выведении из нее (рис. 160, б) стрелка гальванометра в цепи катушки отклонялась, т. е. в цепи возникал кратковременный электрический ток. Изменение направления движения магнита приводило к отклонению стрелки гальванометра в противоположную сторону (см. рис. 160).

Таким образом, при изменении индукции магнитного поля, пронизывающей витки катушки, в замкнутой цепи возникает электрический ток, называемый индукционным. Следовательно, в цепи появился источник тока. Можно сделать вывод о том, что изменение индукции магнитного поля в пределах площади, ограниченной контуром, приводит к появлению в контуре ЭДС, называемой электродвижущей силой индукции.

Фарадей наблюдал возникновение индукционного тока в цепи исследуемой катушки 1 не только при перемещении постоянного магнита, но и в том случае, если замыкали (размыкали) ключ в цепи, содержащей катушку 2, расположенную внутри катушки 1 (рис. 161 ).

Индукционный ток возникал в катушке 1 также при перемещении контура с током 2 в непосредственной близости от исследуемой катушки.
Таким образом, в результате серии экспериментов Фарадей установил, что возникновение индукционного тока в замкнутом контуре достигается при изменении магнитного потока через него.

Явление возникновения ЭДС индукции при изменении магнитного потока через площадь, ограниченную контуром, называется явлением электромагнитной индукции.

Эксперименты Фарадея позволили установить закон электромагнитной индукции (закон Фарадея), количественно определяющий ЭДС индукции в контуре:
 

• ЭДС электромагнитной индукции  возникающая в замкнутом контуре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через него:

Как видно из приведенного соотношения, ЭДС индукции не зависит от материала проводника, его сопротивления, температуры и от носителей тока, а определяется только характером изменения магнитного поля.

Для объяснения возникновения ЭДС в неподвижном замкнутом контуре при изменении магнитного поля внутри него английский ученый Джеймс Клерк Максвелл предложил такую гипотезу: изменяющееся магнитное поле создает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и приводит свободные заряды проводника в движение, т. е. создает индукционный ток. На основе этой гипотезы Максвелл создал теорию электромагнитного поля, подтвердившуюся на опыте. Согласно этой теории при изменении магнитного поля в некоторой области пространства обязательно возникает электрическое поле с замкнутыми силовыми линиями. Причем это происходит даже при отсутствии проводящего контура, например в вакууме.

Таким образом, явление электромагнитной индукции в более широком понимании заключается нс только в возникновении индукционного тока, или ЭДС индукции  но и в возникновении электрического поля, силы которого могут ускорять или замедлять движение заряженных частиц. 

Русский физик Эмилий Ленц в 1833 г. сформулировал правило (правило Ленца), позволяющее установить направление индукционного тока в цепи:
возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, при котором созданный им собственный магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение внешнего магнитного потока, вызвавшее данный ток.
Согласно этому правилу в формуле, выражающей закон Фарадея, следует ставить знак «минус».

Максвелл в 1873 г. дал современную формулировку закона электромагнитной индукции:

• ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре равна скорости изменения пронизывающего его магнитного потока, взятой с противоположным знаком:

Знак «минус» в законе электромагнитной индукции (в формуле для следует из правила Ленца.
Отметим, что в таком виде закон применим только, когда скорость изменения магнитного потока постоянна. В общем случае эта формула дает среднее значение ЭДС индукции

Покажем, что если бы правило Ленца не выполнялось, то взаимодействие индукционного тока с внешними полями приводило бы к неограниченному росту энергии системы без подвода ее извне, т. е. к нарушению закона сохранения энергии.

Действительно, ток, возникающий за счет ЭДС индукции, сам является источником магнитного поля. Если бы индуцированное магнитное поле «помогало» расти магнитному потоку через контур, то тем самым увеличивался бы индукционный ток, что вызывало бы еще большее увеличение первоначального магнитного поля. Это сопровождалось бы еще большим изменением магнитного потока через контур, и так до бесконечности.

В результате сила индукционного тока и связанная с ним энергия возрастали бы неограниченно, что является нарушением закона сохранения энергии. 

Для наглядной демонстрации правила Ленца используется прибор, состоящий из двух колец (замкнутого и незамкнутого), уравновешенных для уменьшения трения на игольчатой опоре (рис. 162).

При введении постоянного магнита в замкнутое кольцо оно «уходит» от него, а при выведении — «догоняет» магнит. Разрезанное кольцо никак не «реагирует» на движения магнита, поскольку в нем не может возникнуть индукционный ток.

Рассмотрим более подробно движение постоянного магнита вблизи проводящего кольца.

При движении магнита вправо магнитный поток через кольцо увеличивается (рис. 163, а). В соответствии с правилом Ленца индукционный ток силой I создает магнитное поле направленное противоположно исходному полю
Движение магнита влево приводит к уменьшению магнитного потока через кольцо. Возникающий индукционный ток силой I создает поле препятствую
щее изменению начального магнитного потока, т. е. стремится сохранить начальную величину магнитного потока (рис. 163, б).

Таким образом, замкнутый контур как бы «сопротивляется» изменению пронизывающего его магнитного потока. Следовательно, возникновение индукционного тока можно рассматривать как проявление инерции системы.
В то же время возникновение индукционного тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока через него означает, что заряженные частицы пришли в движение под действием каких-то сил. Это не могут быть силы Лоренца, поскольку они действуют только на движущиеся заряды. Какие же силы заставляют двигаться электроны в покоящемся проводнике при изменении индукции магнитного поля?

Эти силы имеют электрическую природу, но по своим свойствам отличаются от электростатических сил (сил Кулона). При электромагнитной индукции возникает вихревое электрическое поле, действующее на заряженные частицы.
В отличие от потенциального электростатического поля, создаваемого неподвижными электрическими зарядами, вихревое электрическое поле, возникающее вследствие изменения магнитного поля, непотенциально. Это означает, что работа сил этого поля по замкнутой траектории не равна нулю, и они являются сторонними силами в замкнутом контуре при возникновении индукционного тока. Следовательно, работа сил вихревого электрического поля по перемещению единичного заряда по замкнутому контуру определяет ЭДС электромагнитной индукции.

Подчеркнем, что вихревое электрическое поле, возникающее при изменении магнитного поля, существует независимо от того, имеется или нет в этом месте замкнутый проводящий контур. Проводящий контур является лишь своеобразным индикатором, обнаруживающим наличие этого вихревого поля.
В отличие от электростатического вихревое электрическое поле имеет замкнутые силовые линии. Это связано с тем, что источниками электростатического поля являются электрические заряды, а источником вихревого электрического поля — переменное во времени магнитное поле.
Индукционные токи, возникающие в массивных проводниках под действием переменного магнитного поля, называются токами Фуко или вихревыми токами. В соответствии с законом Джоуля — Ленца они приводят к нагреванию проводников (выделению теплоты) и переходу энергии системы во внутреннюю энергию. Токи Фуко эффективно используются на практике: в плавильных печах, в установках для закалки металлических деталей, в сушильных установках, в медицине.

Открытие Фарадеем явления электромагнитной индукции позволило создать мощные генераторы электрического тока и положило начало промышленному производству электроэнергии, без которой невозможно представить существование современного общества.

Электромагнитная индукция

Электромагнитная индукция — это одно из явлений, на которых основаны электротехника и радиотехника.

Для оценки важности этого явления достаточно назвать взаимное преобразование механической и электрической энергии, передачу и распределение электрической энергии, передачу и прием информации.
Знание явления и закона электромагнитной индукции необходимо при изучении электрических цепей переменного тока. 

Закон электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции открыл в 1831 г. английский физик М. Фарадей и на основе этого открытия сформулировал один из важнейших физических законов — закон электромагнитной индукции.

Явление электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции можно продемонстрировать следующими опытами. Внутрь цилиндрической катушки, концы которой соединены с гальванометром, с определенной скоростью вводится постоянный магнит. Стрелка гальванометра отклоняется, обнаруживая электрический ток в катушке (рис. 10.1, а). При удалении магнита от катушки стрелка гальванометра отклоняется в обратную сторону.

Гальванометр обнаруживает ток в катушке, если перемещать ее относительно другой катушки с током, которую назовем первичной (рис. 10.1, б). На рис. 10.1, в показаны две катушки, расположенные на одном сердечнике. Одна из них присоединена к источнику электрической энергии через ключ, вторая замкнута через гальванометр.

Электрические катушки между собой не связаны, но при замыкании ключа наблюдается отклонение стрелки гальванометра в одну сторону, при размыкании — в другую.

Несмотря на внешнее различие опытов, их одинаковый результат дает основание полагать, что непосредственная причина возникновения электрического тока в цепи вторичной катушки в этих опытах одинакова.
Действительно, во всех рассмотренных опытах изменяется потокосцепление вторичной катушки: в первых двух случаях — благодаря изменению положения ее в магнитном поле, в третьем случае — в связи с увеличением тока в первичной катушке после замыкания ключа и уменьшением его после размыкания.
 

Возбуждение электродвижущей силы в контуре при изменении потокосцепления этого контура называется электромагнитной индукцией.

Под действием индуктированной э.д.с. в замкнутом контуре возникает индуктированный электрический ток. Возникновение тока означает, что во вторичный контур передается энергия, которая при наличии сопротивления в цепи превращается в тепло. В первых двух опытах электрическая энергия возникла за счет механической работы при перемещении постоянного магнита (рис. 10.1, а) или катушки (рис. 10.1, б). В третьем опыте обе катушки неподвижны, т. е. механическая работа не совершается. Электрическая энергия во вторичной катушке возникает за счет энергии источника, включенного в цепи первичной катушки. В этом случае электрическая энергия передается из одной цепи в другую посредством магнитного поля.

Рис. 10.1. Опыты для наблюдения электромагнитной индукции

Преобразование энергии из одного вида в другой посредством магнитного поля или изменение энергии поля количественно определяются через абсолютное значение изменения потокосцепления. Явление электромагнитной индукции, сопровождающее эти процессы, связано со скоростью изменения потокосцепления.

Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции устанавливает количественное выражение для индуктированной э. д. с.
 

Электродвижущая сила, индуктируемая в замкнутом контуре при изменении сцепленного с ним магнитного потока, равна скорости изменения потокосцепления, взятой с отрицательным знаком:

В этой форме закон электромагнитной индукции был дан Максвеллом.
В катушке, имеющей несколько витков, общая э. д. с. зависит от числа витков N. Если все витки катушки сцеплены с одинаковым магнитным потоком, то э. д. с. будет в N раз больше:

В общем случае витки катушки могут быть сцеплены с разными потоками, тогда ее общая э. д. с. определяется алгебраической суммой э. д. с. отдельных витков:

В числителе последнего выражения дана алгебраическая сумма изменений потокосцепления отдельных витков катушек, т. е. изменение общего потокосцепления.

Таким образом, э. д. с. катушки определяется скоростью изменения ее общего потокосцепления и общая формула закона электромагнитной индукции имеет вид

Правило Ленца

В 1833 г. проф. Петербургского университета Э. X. Ленц установил общее правило для определения направления индуктированного тока и электромагнитных сил, возникающих в результате взаимодействия магнитного поля с индуктированным током.
 

Если магнитный поток, сцепленный с проводящим замкнутым контуром, изменяется, в контуре возникают явления электрического и механического характера, препятствующие изменению магнитного потока.

Рис. 10.2. Схемы, поясняющие правило Ленца

Правило Ленца отражает проявления электромагнитной инерции в системах контуров с токами. Этому правилу соответствует знак минус в формулах, выражающих закон электромагнитной индукции [см. (10.1) — (10.3)], если принять положительными направления магнитного потока и индуктированной в контуре э.д.с., удовлетворяющие правилу правого буравчика (рис. 10.2, а).

Предположим, что положительный магнитный поток, сцепленный с контуром, увеличивается. Приращение потока dФ и скорость его изменения dФ/dt положительны (dФ > 0, dФ/dt > 0). Индуктированная в контуре э. д. с., согласно правилу Ленца, направлена против выбранного положительного направления, т. е. отрицательна (е < 0) (рис. 10.2, б). Индуктированный в контуре ток i (направление его совпадает с направлением э. д. с.) создает вторичный магнитный поток Ф_i, который, согласно правилу буравчика, действует против основного потока Ф, т.е. препятствует его увеличению. Одновременно в контуре возникают электромагнитные силы, стягивающие контур (направление силы определяется правилом левой руки).

Тенденция к уменьшению поверхности, ограниченной контуром, направлена в данном случае на уменьшение основного потока.

При уменьшении основного магнитного потока (dФ < 0 и dФ/dt < 0) индуктированная э. д. с. положительна (е > 0), т. е. совпадает с выбранным положительным направлением (рис. 10.2, в). Индуктированный в контуре ток i создает вторичный магнитный поток, совпадающий по направлению с основным потоком. Вторичный магнитный поток, возникновение которого можно рассматривать как реакцию системы контуров с токами на изменение ее магнитного состояния, в данном случае препятствует уменьшению основного магнитного потока. Возникающие при этом электромагнитные силы стремятся расширить контур с током, т. е. увеличить магнитный поток, сцепленный с ним.
Факторы, противодействующие изменению магнитного потока, тем сильнее, чем быстрее изменяется поток.

Электромагнитная инерция в системах контуров с токами подобна механической инерции в системах движущихся тел: при всяком изменении скорости возникают силы инерции, препятствующие этому изменению.
 

Задачи
Задача 10.1. Магнитный поток, создаваемый током в катушке, изменяется по графику рис. 10.3. Построить график э. д. с., индуктированной в катушке с числом витков N = 15, если наибольшая величина потока Ф_m = 0,2 Вб.

Рис. 10.3. К задаче 10.1
Решение. Э. д. с: в катушке определяют по формуле (10.2), где dФ/dt — скорость изменения магнитного потока. На участке 0-1 отрицательный магнитный поток в течение t₁ = 0,02 с растет от нуля до Ф_m = 0,2 Вб по линейному закону, поэтому скорость изменения потока постоянна и отрицательна:

При постоянной скорости изменения магнитного потока э. д. с. будет постоянной:

Знак э. д. с. определим по правилу Ленца.
Условно-положительные направления магнитного потока и индуктированной э. д. с. в катушке показаны на рис. 10.4, а.
На участке 0-1 кривой Ф(t) отрицательный магнитный поток увеличивается. Направления магнитного потока и тока в катушке, соответствующие этому отрезку времени, отмечены на рис. 10.4, б. Индуктированная э. д. с. препятствует росту магнитного потока, т. е. направлена против тока, создающего поток (пунктирные стрелки). В данном случае э. д. с. положительна, так как ее направление совпадает с условно-положительным направлением.

Рис. 10.4. К задаче 10.1

На участке 1-2 отрицательный магнитный поток уменьшается с той же скоростью, с какой он раньше увеличивался. Индуктированная э. д. с., сохраняя свою величину 150 В, препятствует уменьшению потока, т. е. направлена, так же как ток в катушке (рис. 10.4, в), против условно-положительного направления. Из формулы (10.2) также следует, что э. д. с. отрицательна.

Наведение э.д.с. в проводнике, движущемся в магнитном поле

В проводнике, движущемся в магнитном поле так, что он пересекает линии магнитной индукции, индуктируется электродвижущая сила. Это явление — разновидность электромагнитной индукции.

Выражение э.д.с. в проводнике, движущемся в магнитном поле

Рассмотрим отрезок АБ прямолинейного проводника, который движется, пересекая под прямым углом линии магнитной индукции равномерного поля с магнитной индукцией В.

На рис. 10.6, а показан проводник АБ, который катится в направлении механической силы F_мх по металлическим шинам, соединенным между собой через сопротивление R.

Проводник АБ, отрезки шин и сопротивление образуют замкнутый проводящий контур. При перемещении проводника на расстояние b с постоянной скоростью v магнитный поток, сцепленный с этим контуром, увеличивается за счет увеличения площади поверхности, ограниченной контуром.
Приращение магнитного потока

где l — длина части проводника АБ, находящейся в магнитном поле.

Абсолютная величина э. д. с. в контуре

где Δt — время, в течение которого проводник АБ переместился на расстояние b; b/Δt = v — скорость движения проводника; поэтому

Рис. 10.6. Движение прямого провода в магнитном поле

Если проводник будет перемещаться под углом α < 90° к направлению магнитной индукции поля (рис. 10.6, б), то приращение магнитного потока за время Δt при той же скорости v будет
вы м

э. д. с. в контуре

При α = 90° из (10.5) можно получить формулу (10.4), по которой подсчитывается наибольшая величина э. д.с. при данных величинах B, v, l. При α = 0 (проводник движется вдоль линий магнитной индукции) э. д. с. равна нулю.

Силы Лоренца

Выражение (10.4) для индуктированной э. д. с. можно получить, используя формулу (8.4) и выражение (2.1) применительно к одному электрону:

Магнитное поле действует на заряженные частицы только в проводнике АВ, который движется в магнитном поле. На другие части проводящего контура (шины и сопротивление R) оно не действует, так как они находятся вне поля и к тому же неподвижны. Учитывая это, рассмотрим один проводник АБ, несвязанный с остальной частью контура.

Свободные электроны вещества проводника АБ, находящегося в магнитном поле, одновременно перемещаются относительно проводника (внутреннее перемещение, например тепловое) и вместе с ним со скоростью v под действием внешней силы F_мх, приложенной к проводнику.

В данном случае рассмотрим ту составляющую общей скорости электронов, которая связана с движением проводника.

Электромагнитная сила, действующая на каждый электрон (F_л — сила Лоренца), согласно правилу левой руки, направлена вдоль проводника, а по величине определяется выражением (8.4):

где b — путь, пройденный электроном вместе с проводником за время t.
Скапливаясь на одном конце проводника, электроны создают избыточный отрицательный заряд, а на другом конце образуется такой же по величине положительный заряд.

Разделение зарядов в проводнике приводит к возникновению электрического поля и взаимодействию разделенных частиц. Силы электрического поля F_к (силы Кулона) являются силами притяжения частиц, поэтому они направлены против сил магнитного поля (сил Лоренца F_л).

Если проводник движется с постоянной скоростью, то электромагнитные силы не меняются, а силы электрического поля растут по мере накопления зарядов на концах проводника.

Разделение зарядов прекращается при равенстве электромагнитных и электрических сил: F_л = F_к.

Равенство сил означает наличие между концами проводника установившейся разности потенциалов или электрического напряжения:
 
Действие магнитного поля на свободные электроны проводника при его движении является причиной возникновения электродвижущей силы, которая называется э.д.с. электромагнитной индукции.

Магнитогидродинамический генератор

Силовое действие магнитного поля на движущие заряженные частицы используется для прямого преобразования тепловой энергии в электрическую. Такое преобразование происходит в магнитогидродинамическом генераторе (МГД-генераторе), принципиальная схема которого показана на рис. 10.7.

В камере сгорания 1 горит топливо и образуется газ, нагретый до высокой температуры 2500—2800°С. Для ионизации в раскаленный газ вводится в небольшом количестве присадка (пары солей щелочных металлов калия, натрия или цезия) и так образуется электропроводная плазма. Плазма направляется в канал-сопло 2, где приобретает большую скорость (несколько тысяч метров в секунду), а в конце канала она пролетает в сильном магнитном поле, образованном электромагнитом 3. 

Магнитное поле действует на движущиеся заряженные частицы (электроны, ионы) с силой, направленной перпендикулярно направлению движения плазмы (правило левой руки). Часть из них достигает стенок канала, где смонтированы электроды 4, которые заряжаются — один положительно, другой отрицательно, т. е. образуется э. д. с. магнитогидродинамического генератора.
К электродам присоединен потребитель электрической энергии и в образованной цепи устанавливается электрический ток.

Рис. 10.7. Схема магнитогидродинамического генератора

Рис. 10.8. К правилу правой руки

В Советском Союзе с 1971 г. действует первая в мире опытно-промышленная установка с МГД-генератором мощностью 25 тыс. кВт, ведутся работы по созданию промышленной установки мощностью порядка 1 млн. кВт.
При высокой температуре топливо в МГД-генераторе сгорает более полно, чем в топках паровых котлов, что способствует увеличению к. п. д. и существенно сокращает вредные выбросы в атмосферу.

Правило правой руки

Если проводник АБ входит в замкнутый проводящий контур, как на рис. 10.6, то благодаря действию э. д. с. индукции в контуре установится постоянное перемещение электронов — электрический ток.

Направление индуктированной э. д. с. и тока в проводнике АБ можно определить по направлению движения электронов: ток направлен против движения электронов, т. е. от минуса к плюсу.

В практике для определения направления индуктированной э. д. с. применяют правило правой руки (рис. 10.8): если расположить правую руку так, чтобы большом палец, отогнутый перпендикулярно остальным четырем, показывал направление движения проводника, а линии магнитной индукции входили в ладонь, то вытянутые четыре пальца покажут направление э. д. с. электромагнитной индукции.

Все изложенное о возникновении индуктированной э. д. с. в проводнике справедливо и в том случае, когда проводник остается неподвижным, а движется система магнитных полюсов, так что линии магнитной индукции пересекают проводник. В этом случае, определяя направление э. д. с. по правилу правой руки, нужно считать проводник движущимся в направлении, противоположном направлению движения магнитных полюсов.

Задачи
Задача 10.4. В равномерном магнитном поле, магнитная индукция которого В = 1,2 Тл, движется проводник, пересекая линии магнитной индукции под углом α = 30°.
Определить э. д. с. в проводнике, если его длина l = 80 см, а скорость движения v = 5 м/с.
Решение. При α = 30°

Взаимное преобразование механической и электрической энергии

Электромеханическое действие магнитного поля и электромагнитная индукция используются для преобразования механической энергии в электрическую и обратно.

Устройства, при помощи которых эти преобразования осуществляются, называются электрическими машинами. Машина для преобразования механической энергии в электрическую называется генератором, а для обратного преобразования — двигателем.

Конструкции, принципы и режимы работы различных электрических машин изучаются в специальном курсе.

Здесь в общем виде рассмотрим принципы взаимного преобразования механической и электрической энергии.

Принцип преобразования механической энергии в электрическую

Проводник АБ (см. рис. 10.6) движется с постоянной скоростью за счет механической энергии какого-либо первичного двигателя — источника механической энергии.

Механическая мощность движения проводника

где F_мх — сила, действующая на проводник со стороны первичного двигателя.
Благодаря электромагнитной индукции в проводнике возникают э. д. с. и ток

где r — сопротивление проводника АБ (внутреннее сопротивление источника электрической энергии); R — сопротивление внешней части цепи, включая сопротивление приемника, и части шин, входящей в контур.
В данном случае проводник АБ является источником э. д. с., электрическая мощность которого Р = ЕI.

Величину Р часто называют электромагнитной мощностью. С появлением тока в проводнике АБ возникает электромагнитная сила F_м, действующая в направлении, перпендикулярном направлению тока. Применяя правило левой руки, можно убедиться в том, что электромагнитная сила F_м направлена против силы F_мх.

Следовательно, внешняя сила F_мх в данном случае движущая, а F_м — тормозная.
При постоянной скорости v (установившееся движение) движущая и тормозная силы равны:

Подставляя выражения силы в формулу (10.6), получим

Так как

то

Следовательно, механическая мощность первичного двигателя равна электрической мощности источника.
Выражение (10.7) показывает, что при движении проводника в магнитном поле в направлении механической силы происходит полное преобразование механической энергии в электрическую.
Напряжение на концах проводника U_АБ является одновременно напряжением на внешней части цепи, которое меньше э. д. с. на величину внутреннего падения напряжения:
 

Преобразование электрической энергии в механическую

Обратное преобразование электрической энергии в механическую можно показать на том же проводнике АБ, изменив несколько электрическую цепь, в которую он входит (рис. 10.9). Вместо приемника электрической энергии в цепь входит источник электрической энергии с э. д. с. E₀.

Если на концах проводника АБ обеспечить и поддерживать напряжение U_АБ больше, чем его э. д. с. Е, ток в нем изменит направление на обратное [согласно формуле (10.8), ток меняет знак]. Такое состояние в цепи достигается благодаря наличию э. д. с. Е₀ источника электрической энергии.

Рис. 10.9. К вопросу о преобразовании электрической энергии в механическую

Считая направление тока на рис. 10.9 положительным, его величину найдем согласно второму закону Кирхгофа:

В этом случае э. д. с. индукции в проводнике направлена против тока и является противо-э. д. с.

Встречное направление э. д. с. и тока является признаком потребления электрической энергии в данном устройстве и преобразования ее в другой вид энергии. Действительно, с изменением направления тока изменяется на противоположное и направление электромагнитной силы F_м. Оно совпадает теперь с направлением скорости движения проводника. Сила F_м становится движущей. Теперь противодействие оказывает механическая сила F_мх (например, сила трения).

Составим баланс мощностей для рассматриваемой электрической цепи.
Проводник АБ является приемником электрической энергии. Его электрическая мощность P = U_АБI. Так как , то .
Учитывая выражение (10.4), запишем

Первое слагаемое в этой сумме определяет механическую мощность движущегося проводника, а второе — мощность тепловых потерь в проводнике АБ в соответствии с законом Ленца — Джоуля.

В связи с тем что механическая энергия возникает как результат действия сил магнитного поля, может создаться впечатление, что движение проводника происходит за счет энергии магнитного поля. В действительности же в механическую преобразуется электрическая энергия источника, что и подтверждается уравнением (10.9). Магнитное поле здесь является лишь посредником при преобразовании энергии. Последнее замечание относится и к обратному преобразованию энергии — механической в электрическую.

Задачи
Задача 10.8. Виток медного провода в виде рамки, укрепленный на стальном цилиндре — роторе длиной l = 30 см и диаметром d = 20 см (рис. 10.10, а), вращается с частотой n = 1500 об/мин в радиальном магнитном поле. Концы рамки присоединены к двум половинкам разрезанного медного кольца (коллектора), вращающегося вместе с ротором. К щеткам, наложенным на коллектор, присоединен приемник энергии с сопротивлением R = 0,9 Ом; сопротивление самой рамки и соединительных проводов r = 0,1 Ом. График распределения магнитной индукции в воздушном зазоре показан на рис. 10.10, б, где В_m = 1,2 Тл.

Рис. 10.10. К задачам 10.8, 10.9

Определить: 1) величину и направление силы, действующей на провода рамки; 2) механический момент, развиваемый двигателем, вращающим рамку; 3) электрическую мощность в рамке.
Решение. Определим э. д. с., индуктированную в рамке, по формуле (10.4). Предварительно найдем линейную скорость проводника:

Учитывая, что рамка имеет два проводника, в которых индуктируются э. д. с., суммарную э. д. с. витка найдем по формуле

Ток в цепи

Тормозная сила, действующая на одну сторону рамки, и механический момент:


Этот момент, будучи тормозным, при постоянной частоте вращения равен движущему моменту двигателя.
Электрическая мощность, развиваемая в рамке,

Баланс электрической мощности

Механическая мощность двигателя

Выводы. 1. Механическая энергия, подводимая к рамке от первичного двигателя, полностью превращается в электрическую, что подтверждается равенством механической и электрической мощностей.
2. Электрическая энергия, полученная в рамке, превращается в тепло в самой рамке (I²r = 12,8 Вт) и в приемнике (I²R = 115,2 Вт).
 

Задача 10.9. Устройство, описанное в задаче 10.8, переведено в режим двигателя. Для этого вместо приемника энергии в цепь включили аккумуляторную батарею с э. д. с. Е₀ = 12 В и внутренним сопротивлением r_а = 0,2 Ом.
Определить окружное усилие, вращающий момент и скорость рамки и составить баланс мощностей, если ток в цепи установился равным 10 А.
Решение. Определим э. д. с. в рамке согласно второму закону Кирхгофа:


Линейная скорость вращения рамки

Частота вращения

Окружное усилие на цилиндре

Вращающий момент

Механическая мощность

Баланс мощностей: мощность батареи равна сумме механической мощности и мощности потерь в электрической цепи:

Э.Д.С. Самоиндукции и взаимоиндукции

При изменении собственного потокосцепления в контуре или катушке наводится э. д. с. самоиндукции e_L, а при изменении взаимного потокосцепления — э. д. с. взаимоиндукции.

Э.д.с. самоиндукции

Изменение собственного потокосцепления обычно является следствием изменения тока

или

Э. д. с. самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока di/dt. Она противодействует изменению тока, т. е. при увеличении тока препятствует его росту, а при уменьшении задерживает его падение (правило Ленца).
Чем быстрее изменяется ток, тем больше противодействие его росту или падению. Однако это противодействие зависит не только от скорости изменения тока, но и от конструкции электромагнитного устройства, что в формуле (10.10) выражается множителем L, т. е. индуктивностью этого устройства.

Если изменение тока в катушке является следствием изменения приложенного к ней напряжения, то э. д. с. самоиндукции направлена против приложенного напряжения, когда ток растет, и совпадает по направлению с напряжением, когда ток уменьшается.

Подобно массе, характеризующей инертность в механической системе, индуктивность характеризует инертность в электромагнитной системе.

Э.д.с. взаимоиндукции

Для системы магнитно-связанных катушек (см. рис. 8.21) э. д. с. взаимоиндукции

Изменение взаимного потокосцепления может быть следствием изменения тока в одной из катушек или изменения коэффициента связи.
Предположим, что изменяется ток i₁ в первой катушке. Э. д. с. взаимоиндукции е_2м во второй катушке пропорциональна скорости изменения этого тока:

Аналогично, при изменении тока i₂ э. д. с. взаимоиндукции

В том и другом случае коэффициентом пропорциональности является взаимоиндуктивность системы М.

Правило Ленца в применении к такой системе указывает на то, что изменение тока в одной катушке встречает противодействие со стороны другой катушки.
Из выражения (10.11) видно, что э. д. с. взаимоиндукции е_2м, а следовательно, и индуктированный ток i₂ имеют знак, противоположный скорости изменения тока i₁. Это значит, что при увеличении тока i₁ и его магнитного потока Ф_1.2 индуктированный ток i₂ создает магнитный поток Ф_2.1, направленный встречно потоку Ф_1.2; при уменьшении i₁ поток Ф_2.1 направлен согласно с уменьшающимся потоком Ф_1.2.

Рис. 10.11. Схема трансформатора

Аналогичное рассуждение можно привести из выражения (10.12). Направление магнитных потоков в обоих случаях, как обычно, определяется по правилу буравчика.

Взаимоиндуктивность, так же как и индуктивность, характеризует электромагнитную инерцию, но в системе катушек (контуров), имеющих магнитную связь.

Принцип действия трансформатора

Наглядным примером практического использования явления взаимоиндукции является работа трансформатора. Трансформатор — статический электромагнитный аппарат для изменения величины напряжения или тока.
Принципиальная схема трансформатора (рис. 10.11) имеет магнитопровод 3 из электротехнической стали и две обмотки на магнитопроводе: первичную 1 с числом витков N₁ и вторичную 2 с числом витков N₂. Обмотки выполняют из медного провода.

Первичной обмоткой трансформатор включается в сеть переменного напряжения U₁ и в ней возникает ток i₁. К вторичной обмотке подключается приемник электрической энергии.

Рассмотрим трансформатор с разомкнутой цепью вторичной обмотки, т. е. в режиме холостого хода.

При переменном токе в первичной обмотке создается переменный магнитный поток Ф, который замыкается по стальному сердечнику и образует потокосцепление с обеими обмотками. Таким образом, в трансформаторе обмотки электрически между собой не связаны, а связаны переменным магнитным потоком.

В обеих обмотках наводится э. д. с.:

Отношение э. д. с.

Отношение чисел витков обмоток трансформатора называется коэффициентом трансформации.
Отношение э. д. с. при холостом ходе можно заменить отношением напряжений на зажимах обмоток, учитывая, что u₂ = е₂ и u₁ ≈ е₁ (u₁ > е₁ на величину падения напряжения в обмотке, которое при холостом ходе мало).
Следовательно,

Отсюда видно, что при N₂ > N₁ (u₂ > u₁) трансформатор повышает, а при N₂ < N₁ (u₂ < u₁) — понижает напряжение.

Если к вторичной обмотке подключить приемник энергии, то в ее цепи возникнет ток i₂ и в приемник будет поступать электрическая энергия из сети через трансформатор. При этом передача энергии из первичной обмотки во вторичную осуществляется посредством магнитного поля.

Вихревые токи

Рассмотрим металлический сердечник внутри катушки с переменным током (рис. 10.12, а). При отмеченном направлении тока магнитный поток в сердечнике направлен вдоль оси сердечника вверх.

Металлический сердечник можно мысленно разделить на ряд замкнутых на себя слоев, ось которых совпадает с осью сердечника. Каждый такой слой представляет собой замкнутый виток, в котором переменным потоком индуктируются э. д. с. и ток, направленные в плоскостях, перпендикулярных оси магнитного потока.

Рассматривая совокупность таких замкнутых контуров, можно представить себе в теле сердечника вихревые токи, замыкающиеся вокруг оси магнитного потока. Направление вихревых токов определяется правилом Ленца.
При увеличении магнитного потока вихревые токи направлены по часовой стрелке, если смотреть на сердечник сверху. Вихревые токи в соответствии с законом Ленца — Джоуля сопровождаются выделением тепла в сердечнике. Это явление используется на практике для нагревания металлов (плавления стали, нагрева под закалку и других целей).

В сердечниках электрических машин, трансформаторов и электрических аппаратов тоже возникают вихревые токи. Но здесь они нежелательны, потому что увеличивают общие потери энергии в устройствах и вызывают дополнительный их нагрев.

Для уменьшения потерь энергии сердечники устройств переменного тока собираются из листовой электротехнической стали (толщина 0,35 мм), листы которой изолируются друг от друга специальным лаком.

Уменьшение вихревых токов таким способом достигается благодаря тому, что контуры, по которым в сплошном сердечнике замыкаются вихревые токи, оказываются разрезанными на части, изолированные друг от друга (рис. 10.12, б). Кроме того, ослабление вихревых токов достигается увеличением удельного электрического сопротивления материала сердечников. Для этого в электротехническую сталь вводится присадка кремния до 4 %.

Рис. 10.12. К вопросу о вихревых токах

Задачи
Задача 10.11. Обмотки трансформатора имеют индуктивность L₁ = 6,1 Гн; L₂ = 0,08 Гн и коэффициент магнитной связи k = 0,9. Определить э. д. с., наведенную в обеих обмотках при увеличении тока в первой обмотке со скоростью 1000 А/с.
Решение. Э. д. с. самоиндукции в первой обмотке

Для определения э. д. с. во второй обмотке найдем взаимную индуктивность
обмоток:

Электромагнитная индукция

Явление электромагнитной индукции

Электромагнитная индукция – явление возникновения тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего его.

Явление электромагнитной индукции было открыто М. Фарадеем.

Опыты Фарадея

• На одну непроводящую основу были намотаны две катушки: витки первой катушки были расположены между витками второй. Витки одной катушки были замкнуты на гальванометр, а второй – подключены к источнику тока. При замыкании ключа и протекании тока по второй катушке в первой возникал импульс тока. При размыкании ключа также наблюдался импульс тока, но ток через гальванометр тек в противоположном направлении.
• Первая катушка была подключена к источнику тока, вторая, подключенная к гальванометру, перемещалась относительно нее. При приближении или удалении катушки фиксировался ток.
• Катушка замкнута на гальванометр, а магнит движется – вдвигается (выдвигается) – относительно катушки.

Опыты показали, что индукционный ток возникает только при изменении линий магнитной индукции. Направление тока будет различно при увеличении числа линий и при их уменьшении.

Сила индукционного тока зависит от скорости изменения магнитного потока. Может изменяться само поле, или контур может перемещаться в неоднородном магнитном поле.

Объяснения возникновения индукционного тока

Ток в цепи может существовать, когда на свободные заряды действуют сторонние силы. Работа этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура равна ЭДС. Значит, при изменении числа магнитных линий через поверхность, ограниченную контуром, в нем появляется ЭДС, которую называют ЭДС индукции.

Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем. Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Его называют вихревым электрическим полем. Представление о вихревом электрическом поле было введено в физику великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1861 году.

Свойства вихревого электрического поля:

• источник – переменное магнитное поле;
• обнаруживается по действию на заряд;
• не является потенциальным;
• линии поля замкнутые.

Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике.

Магнитный поток

Магнитным потоком через площадь ​( S )​ контура называют скалярную физическую величину, равную произведению модуля вектора магнитной индукции ​( B )​, площади поверхности ​( S )​, пронизываемой данным потоком, и косинуса угла ​( alpha )​ между направлением вектора магнитной индукции и вектора нормали (перпендикуляра к плоскости данной поверхности):

Обозначение – ​( Phi )​, единица измерения в СИ – вебер (Вб).

Магнитный поток в 1 вебер создается однородным магнитным полем с индукцией 1 Тл через поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно вектору магнитной индукции:

Магнитный поток можно наглядно представить как величину, пропорциональную числу магнитных линий, проходящих через данную площадь.

В зависимости от угла ​( alpha )​ магнитный поток может быть положительным (( alpha ) < 90°) или отрицательным (( alpha ) > 90°). Если ( alpha ) = 90°, то магнитный поток равен 0.

Изменить магнитный поток можно меняя площадь контура, модуль индукции поля или расположение контура в магнитном поле (поворачивая его).

В случае неоднородного магнитного поля и неплоского контура магнитный поток находят как сумму магнитных потоков, пронизывающих площадь каждого из участков, на которые можно разбить данную поверхность.

Закон электромагнитной индукции Фарадея

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):

ЭДС индукции в замкнутом контуре равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

Знак «–» в формуле позволяет учесть направление индукционного тока. Индукционный ток в замкнутом контуре имеет всегда такое направление, чтобы магнитный поток поля, созданного этим током сквозь поверхность, ограниченную контуром, уменьшал бы те изменения поля, которые вызвали появление индукционного тока.

Если контур состоит из ​( N )​ витков, то ЭДС индукции:

Сила индукционного тока в замкнутом проводящем контуре с сопротивлением ​( R )​:

При движении проводника длиной ​( l )​ со скоростью ​( v )​ в постоянном однородном магнитном поле с индукцией ​( vec{B} )​ ЭДС электромагнитной индукции равна:

где ​( alpha )​ – угол между векторами ​( vec{B} )​ и ( vec{v} ).

Возникновение ЭДС индукции в движущемся в магнитном поле проводнике объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение. Полная работа силы Лоренца равна нулю.

Количество теплоты в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

Важно!
Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам:

• магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле;
• вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея.

Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной:

• в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца;
• в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

Правило Ленца

Направление индукционного тока определяется по правилу Ленца: индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток.

Алгоритм решения задач с использованием правила Ленца:

• определить направление линий магнитной индукции внешнего магнитного поля;
• выяснить, как изменяется магнитный поток;
• определить направление линий магнитной индукции магнитного поля индукционного тока: если магнитный поток уменьшается, то они сонаправлены с линиями внешнего магнитного поля; если магнитный поток увеличивается, – противоположно направлению линий магнитной индукции внешнего поля;
• по правилу буравчика, зная направление линий индукции магнитного поля индукционного тока, определить направление индукционного тока.

Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения энергии.

Самоиндукция

Самоиндукция – это явление возникновения ЭДС индукции в проводнике в результате изменения тока в нем.

При изменении силы тока в катушке происходит изменение магнитного потока, создаваемого этим током. Изменение магнитного потока, пронизывающего катушку, должно вызывать появление ЭДС индукции в катушке.

В соответствии с правилом Ленца ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию силы тока при включении и убыванию силы тока при выключении цепи.

Это приводит к тому, что при замыкании цепи, в которой есть источник тока с постоянной ЭДС, сила тока устанавливается через некоторое время.

При отключении источника ток также не прекращается мгновенно. Возникающая при этом ЭДС самоиндукции может превышать ЭДС источника.

Явление самоиндукции можно наблюдать, собрав электрическую цепь из катушки с большой индуктивностью, резистора, двух одинаковых ламп накаливания и источника тока. Резистор должен иметь такое же электрическое сопротивление, как и провод катушки.

Опыт показывает, что при замыкании цепи электрическая лампа, включенная последовательно с катушкой, загорается несколько позже, чем лампа, включенная последовательно с резистором. Нарастанию тока в цепи катушки при замыкании препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая при возрастании магнитного потока в катушке.

При отключении источника тока вспыхивают обе лампы. В этом случае ток в цепи поддерживается ЭДС самоиндукции, возникающей при убывании магнитного потока в катушке.

ЭДС самоиндукции ​( varepsilon_{is} )​, возникающая в катушке с индуктивностью ​( L )​, по закону электромагнитной индукции равна:

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в катушке.

Индуктивность

Электрический ток, проходящий по проводнику, создает вокруг него магнитное поле. Магнитный поток ​( Phi )​ через контур из этого проводника пропорционален модулю индукции ​( vec{B} )​ магнитного поля внутри контура, а индукция магнитного поля, в свою очередь, пропорциональна силе тока в проводнике.

Следовательно, магнитный поток через контур прямо пропорционален силе тока в контуре:

Индуктивность – коэффициент пропорциональности ​( L )​ между силой тока ​( I )​ в контуре и магнитным потоком ​( Phi )​, создаваемым этим током:

Индуктивность зависит от размеров и формы проводника, от магнитных свойств среды, в которой находится проводник.

Единица индуктивности в СИ – генри (Гн). Индуктивность контура равна 1 генри, если при силе постоянного тока 1 ампер магнитный поток через контур равен 1 вебер:

Можно дать второе определение единицы индуктивности: элемент электрической цепи обладает индуктивностью в 1 Гн, если при равномерном изменении силы тока в цепи на 1 ампер за 1 с в нем возникает ЭДС самоиндукции 1 вольт.

Энергия магнитного поля

При отключении катушки индуктивности от источника тока лампа накаливания, включенная параллельно катушке, дает кратковременную вспышку. Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции.

Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Для создания тока в контуре с индуктивностью необходимо совершить работу на преодоление ЭДС самоиндукции. Энергия магнитного поля тока вычисляется по формуле:

Основные формулы раздела «Электромагнитная индукция»

Алгоритм решения задач по теме «Электромагнитная индукция»:

1. Внимательно прочитать условие задачи. Установить причины изменения магнитного потока, пронизывающего контур.

2. Записать формулу:

• закона электромагнитной индукции;
• ЭДС индукции в движущемся проводнике, если в задаче рассматривается поступательно движущийся проводник; если в задаче рассматривается электрическая цепь, содержащая источник тока, и возникающая на одном из участков ЭДС индукции, вызванная движением проводника в магнитном поле, то сначала нужно определить величину и направление ЭДС индукции. После этого задача решается по аналогии с задачами на расчет цепи постоянного тока с несколькими источниками.

3. Записать выражение для изменения магнитного потока и подставить в формулу закона электромагнитной индукции.

4. Записать математически все дополнительные условия (чаще всего это формулы закона Ома для полной цепи, силы Ампера или силы Лоренца, формулы кинематики и динамики).

5. Решить полученную систему уравнений относительно искомой величины.

6. Решение проверить.

Магнитный поток наглядно истолковывается как число линий магнитной индукции, пронизывающих поверхность площадью S. Поэтому скорость изменения этого числа есть не что иное, как скорость изменения магнитного потока.

Если за малое время ∆t магнитный поток поменялся на ∆Ф, то скорость изменения магнитного потока равна ΔΦΔt. Поэтому утверждение, которое вытекает непосредственно из опыта, можно сформулировать так:

Сила индукционного тока пропорциональная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

Ii~ΔΦΔt

Известно, что в цепи появляется электрический ток в том случае, когда на свободные заряды проводника действуют сторонние силы. Работу этих сил при перемещении единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура называют электродвижущей силой. Следовательно, при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуров, появляются сторонние силы, действие которых характеризуется ЭДС, называемой ЭДС индукции. Обозначают ее как εi.

Согласно закону Ома для замкнутой цепи:

Ii=εiR

Сопротивление проводника не зависит от изменения магнитного потока. Следовательно, сила индукционного тока пропорциональна скорости изменения магнитного потока только потому, что ЭДС индукции тоже пропорциональна этой скорости изменения потока.

Закон электромагнитной индукции

ЭДС индукции в замкнутом контуре равна по модулю скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

εi=∣∣∣ΔΦΔt∣∣∣

Закон электромагнитной индукции формулируется именно для ЭДС, а не для силы тока. При такой формулировке закон выражает сущность явления, не зависящую от свойств проводников, в которых возникает индукционный ток.

Определение знака ЭДС индукции

На рисунке изображен замкнутый контур. Будем считать положительным направление обхода контура против часовой стрелки. Нормаль →n к контуру образует правый винт с направлением обхода.

Пусть магнитная индукция →B внешнего магнитного поля направлена вдоль нормали к контуру и возрастает со временем. Тогда Φ>0 и ΔΦΔt>0. Согласно правилу Ленца индукционный ток создает магнитный поток Φ‘<0. Линии магнитной индукции B’ магнитного поля индукционного тока изображены черным цветом. Следовательно, индукционный ток I_i согласно правилу буравчика направлен по часовой стрелке (против направления положительного обхода) и ЭДС индукции отрицательна. Поэтому в законе электромагнитной индукции должен стоять знак «–», указывающий на то, что εi и ΔΦΔt имеют разные знаки:

εi=−ΔΦΔt

Пример №1. Магнитный поток через контур проводника сопротивлением 3∙10^–2 Ом за 2 с изменился на 1,2∙10^–2 Вб. Найдите силу тока в проводнике, если изменение потока происходило равномерно.

Известно, что:

Ii=εiR

εi=∣∣∣ΔΦΔt∣∣∣

Следовательно:

ЭДС индукции в движущихся проводниках

Электроны в неподвижном проводнике приводятся в движение электрическим полем, и это поле порождается переменным магнитным полем. Следовательно, изменяясь во времени, магнитное поле порождает электрическое поле. Но если проводник движется в постоянном во времени магнитном поле, то ЭДС индукции в проводнике обусловлена не вихревым электрическим полем, которое в этом случае не может возникнуть, а другой причиной.

При движении проводника его свободные заряды движутся вместе с ним. Поэтому на заряды со стороны магнитного поля действует сила Лоренца. Она и вызывает перемещение зарядов внутри проводника. ЭДС индукции, следовательно, имеет магнитное происхождение.

Вычислим ЭДС индукции, возникающую в проводнике, движущемся в однородном магнитном поле (см. рисунок). Пусть сторона контура MN длиной l скользит с постоянной скоростью →v вдоль сторон NC и MD, оставаясь все это время параллельной стороне CD. Вектор магнитной индукции →B однородного поля перпендикулярен проводнику и составляет угол α с направлением его скорости.

Сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу, равна по модулю:

FL=|q|vBsinα

Направлена эта сила вдоль проводника MN. Работа силы Лоренца на пути l положительна и составляет:

A=FLl=|q|vBlsinα

Внимание!

Формула выше определяет неполную работу силы Лоренца. Кроме силы Лоренца имеется составляющая силы Лоренца, направленная против скорости проводника →v. Такая составляющая тормозит проводник и совершает отрицательную работу. В результате полная работа силы Лоренца оказывается равной нулю.

Электродвижущая сила индукции в проводнике MN равна по определению отношению работы по перемещению заряда q к этому заряду:

εi=A|q|=vBlsinα

Эта формула справедлива для любого проводника длиной l, движущегося со скоростью →v в однородном магнитном поле.

В других проводниках контура ЭДС равна нулю, так как проводники неподвижны. Следовательно, ЭДС во всем контуре MNCD равна εi и остается неизменной, если скорость движения →v постоянна. Электрический ток при этом будет увеличиваться, так как при смещении проводника MN вправо уменьшается общее сопротивление контура.

С другой стороны, ЭДС индукции можно вычислить с помощью закона электромагнитной индукции. Магнитный поток через контур MNCD равен:

Φ=BScos(90°−α)=BSsinα

угол 90°−α представляет собой угол между векторами →B и нормалью →n к поверхности контура, а S — площадь контура MNCD. Если считать, что в начальный момент времени t=0 проводник MN находится на расстоянии NC от проводника CD, то при перемещении проводника площадь S изменяется со временем следующим образом:

S=l(NC−vt)

За время ∆t площадь контура меняется на ΔS=−lvΔt. Знак «минус» указывает на то, что она уменьшается. Изменение магнитного потока за это время равно:

ΔΦ=−BvlΔtsinα

Следовательно:

εi=−ΔΦΔt=Bvlsinα

Если весь контур MNCD движется в однородном магнитном поле, сохраняя свою ориентацию по отношению к вектору →B, то ЭДС индукции в контуре будет равна нулю, так как поток Φ через поверхность, ограниченную контуром, не меняется. Объяснить это можно так. При движении контура в проводниках MN и CD возникают силы, действующие на электроны в направлениях от N к M и от C к D. Суммарная работа этих сил при обходе контура по часовой стрелке или против нее равна нулю.

Пример №2. Проводник длиной 50 см движется в однородном магнитном поле со скоростью 4 м/с перпендикулярно силовым линиям. Найдите разность потенциалов, возникающую на концах проводника, если вектор магнитной индукции 8 мТл.

50 см = 0,5 м

8 мТл = 8∙10^–3 Тл

Так как проводник движется перпендикулярно силовым линиям, то угол α равен 90 градусам, а синус прямого угла равен единице. Поэтому:

εi=Bvlsinα=8·10−3·4·0,5·1=16·10−3 (В)

Алиса Никитина | Просмотров: 5.6k

Эдс индукции

Причиной
электродвижущей силы может стать
изменение магнитного
поля в
окружающем пространстве. Это явление
называетсяэлектромагнитной
индукцией.
Величина ЭДС индукции в контуре
определяется выражением

где — поток
магнитного поля через
замкнутую поверхность ,
ограниченную контуром. Знак «−» перед
выражением показывает, что индукционный
ток, созданный ЭДС индукции, препятствует
изменению магнитного потока в контуре
(см. правило
Ленца).

41. Индуктивность, ее единица СИ.
Индуктивность длинного соленоида.

Индукти́вность (или коэффициент
самоиндукции) —
коэффициент пропорциональности между
электрическим током,
текущим в каком-либо замкнутом контуре,
и магнитным
потоком,
создаваемым этим током через поверхность^[1],
краем которой является этот контур.^[2][3][4].

В
формуле

—
магнитный
поток, —
ток в контуре, —
индуктивность.

• Нередко
  говорят об индуктивности прямого
  длинного провода(см.).
  В этом случае и других (особенно — в не
  отвечающих квазистационарному
  приближению) случаях, когда замкнутый
  контур непросто адекватно и однозначно
  указать, приведенное выше определение
  требует особых уточнений; отчасти
  полезным для этого оказывается подход
  (упоминаемый ниже), связывающий
  индуктивность с энергией магнитного
  поля.

Через
индуктивность выражается ЭДС
самоиндукции в
контуре, возникающая при изменении в
нём тока^[4]:

.

Из
этой формулы следует, что индуктивность
численно равна ЭДС
самоиндукции,
возникающей в контуре при изменении
силы тока на 1 А за 1 с.

При
заданной силе тока индуктивность
определяет энергию магнитного
поля, создаваемого этим током^[4]:

.

Обозначение и единицы измерения

В
системе единиц СИ индуктивность
измеряется в генри^[7],
сокращенно Гн, в системе СГС —
в сантиметрах (1 Гн = 10⁹см)^[4].
Контур обладает индуктивностью в один
генри, если при изменении тока на
один ампер в
секунду на выводах контура будет
возникать напряжение в один вольт.
Реальный, не сверхпроводящий, контур
обладает омическим сопротивлением R,
поэтому на нём будет дополнительно
возникать напряжение U=I*R, где I — сила
тока,
протекающего по контуру в данное
мгновение времени.

Символ ,
используемый для обозначения индуктивности,
был взят в честь Ленца
Эмилия Христиановича (Heinrich
Friedrich Emil Lenz)^{[источник не указан 1017 дней]}.
Единица измерения индуктивности названа
в честь Джозефа
Генри (Joseph
Henry)^[8].
Сам термин индуктивность был
предложен Оливером
Хевисайдом (Oliver
Heaviside) в феврале 1886
года^{[источник не указан 1017 дней]}.

Электрический
ток, который течет в замкнутом контуре,
создает вокруг себя магнитное поле,
индукция которого, согласно закону
Био-Савара-Лапласа, пропорциональна
току. Сцепленный с контуром магнитный
поток Ф поэтому прямо пропорционален
току I в контуре: 

(1) 

где
коэффициент пропорциональности L
называетсяиндуктивностью
контура. 

При
изменении в контуре силы тока будет
также изменяться и сцепленный с ним
магнитный поток; значит, в контуре будет
индуцироваться э.д.с. Возникновение
э.д.с. индукции в проводящем контуре при
изменении в нем силы тока
называетсясамоиндукцией. 

Из
выражения (1) задается единица
индуктивности генри (Гн):
1 Гн — индуктивность контура, магнитный
поток самоиндукции которого при токе
в 1 А равен 1 Вб: 1 Гн = 1 Вб/с = 1 В

·c/А . 

Вычислим
индуктивность бесконечно длинного
соленоида. Полный магнитный поток сквозь
соленоид (потокосцепление) равен
μ₀μ(N²I/l)S
. Подставив в (1), найдем 

(2) 

т.
е. индуктивность соленоида зависит от
длиныl солениода,
числа его витков N, его , площади S и
магнитной проницаемости μ вещества, из
которого изготовлен сердечник
соленоида. 

Доказано, что
индуктивность контура зависит в общем
случае только от геометрической формы
контура, его размеров и магнитной
проницаемости среды, в которой он
расположен, и можно провести аналог
индуктивности контура с электрической
емкостью уединенного проводника, которая
также зависит только от формы проводника,
его размеров и диэлектрической
проницаемости среды. 

Найдем,
применяя к явлению самоиндукции закон
Фарадея, что э.д.с. самоиндукции
равна 

Если
контур не претерпевает деформаций и
магнитная проницаемость среды остается
неизменной (в дальнейшем будет показано,
что последнее условие выполняется не
всегда), то L = const и(3) 

где
знак минус, определяемый правилом Ленца,
говорит о том, чтоналичие
индуктивности в контуре приводит к
замедлению изменения тока в нем. 

Если
ток со временем увеличивается, то
(dI/dt<0) и ξ_s>0
т. е. ток самоиндукции направлен навстречу
току, обусловленному внешним источником,
и замедляет его увеличение. Если ток со
временем уменьшается, то (dI/dt>0) и ξ_s<0
т. е. индукционный ток имеет такое же
направление, как и уменьшающийся ток в
контуре, и замедляет его уменьшение.
Значит, контур, обладая определенной
индуктивностью, имеет электрическую
инертность, заключающуюся в том, что
любое изменение тока уменьшается тем
сильнее, чем больше индуктивность
контура.

42. Ток при размыкании и замыкании цепи.

При
всяком изменении силы тока в проводящем
контуре возникает э. д. с. самоиндукции,
в результате чего в контуре появляются
дополнительные токи, называемые экстратоками
самоиндукции.
Экстратоки самоиндукции, согласно
правилу Ленца, всегда направлены так,
чтобы препятствовать изменениям тока
в цепи, т. е. направлены противоположно
току, создаваемому источником. При
выключении источника тока экстратоки
имеют такое же направление, что и
ослабевающий ток. Следовательно, наличие
индуктивности в цепи приводит к замедлению
исчезновения или установления тока в
цепи.

Рассмотрим
процесс выключения тока в цепи, содержащей
источник тока с э.д.с. ,
резистор сопротивлением R и
катушку индуктивностью L. Под
действием внешней э. д. с. в цепи течет
постоянный ток

(внутренним
сопротивлением источника тока
пренебрегаем).

В
момент времени t=0
отключим источник тока. Ток в катушке
индуктивностью L начнет
уменьшаться, что приведет к возникновению
э.д.с. самоиндукции препятствующей,
согласно правилу Ленца, уменьшению
тока. В каждый момент време­ни ток в
цепи определяется законом Ома I=_s/R, или

(127.1)

Разделив
в выражении (127.1) переменные,
получим Интегрируя
это уравнение по I (от I₀ до I)
и t (от
0 до t),
находим ln (I /I₀)
= –Rt/L, или

(127.2)

где =L/R — постоянная,
называемая временем
релаксации. Из
(127.2) следует, что  есть
время, в течение которого сила тока
уменьшается в е раз.

Таким
образом, в процессе отключения источника
тока сила тока убывает по экспоненциальному
закону (127.2) и определяется кривой 1 на
рис. 183. Чем больше индуктивность цепи
и меньше ее сопротивление, тем больше  и,
следовательно, тем медленнее уменьшается
ток в цепи при ее размыкании.

При
замыкании цепи помимо внешней э. д.
с.  возникает
э. д. с. самоиндукции препятствующая,
согласно правилу Ленца, возрастанию
тока. По закону Ома, или

Введя
новую переменную преобразуем
это уравнение к виду

где  —
время релаксации.

В
момент замыкания (t=0)
сила тока I =
0 и u =
–.
Следовательно, интегрируя по и (от
– до IR–)
и t (от
0 до t),
находим ln[(IR–)]/–= —t/, или

(127.3)

где —
установившийся ток (при t).

Таким
образом, в процессе включения источника
тока нарастание силы тока в цепи задается
функцией (127.3) и определяется кривой 2
на рис. 183. Сила тока возрастает от
начального значения I=0
и асимптотически стремится к установившемуся
значению . Скорость
нарастания тока определяется тем же
временем релаксации =L/R, что
и убывание тока. Установление тока
происходит тем быстрее, чем меньше
индук­тивность цепи и больше ее
сопротивление.

Оценим
значение э.д.с. самоиндукции , возникающей
при мгновенном увеличении сопротивления
цепи постоянного тока от R₀ до R.
Предположим, что мы размыкаем контур,
когда в нем течет установившийся ток .
При размыкании цепи ток изменяется по
формуле (127.2). Подставив в нее выражение
дляI₀ и ,
получим

Э.д.с.
самоиндукции

т.
е. при значительном увеличении
сопротивления цепи (R/R₀>>1),
обладающей боль­шой индуктивностью,
э.д.с. самоиндукции может во много раз
превышать э.д.с. источника тока, включенного
в цепь. Таким образом, необходимо
учитывать, что контур, содержащий
индуктивность, нельзя резко размыкать,
так как это (возникнове­ние значительных
э.д.с. самоиндукции) может привести к
пробою изоляции и выводу из строя
измерительных приборов. Если в контур
сопротивление вводить постепенно, то
э.д.с. самоиндукции не достигнет больших
значений.

43. Явление взаимной индукции. Трансформатор.

Рассмотрим
два неподвижных контура (1 и 2), которые
расположены достаточно близко друг от
друга (рис. 1). Если в контуре 1 протекает
ток I₁,
то магнитный поток, который создавается
этим током (поле, создающее этот поток,
на рисунке изображено сплошными линиями),
прямо пропорционален I₁.
Обозначим через Ф₂₁ часть
потока,пронизывающая контур 2.
Тогда 

 (1) 

где
L₂₁ —
коэффициент пропорциональности. 

Рис.1

Если
ток I₁ меняет
свое значение, то в контуре 2 индуцируется
э.д.с. ξ_i2 ,
которая по закону Фарадея будет равна
и противоположна по знаку скорости
изменения магнитного потока Ф₂₁,
который создается током в первом контуре
и пронизыващет второй: 

 

Аналогичным
образом, при протекании в контуре 2 тока
I₂ магнитный
поток (его поле изображено на рис. 1
штрихами) пронизывает первый контур.
Если Ф₁₂ —
часть этого потока, который пронизывает
контур 1, то 

 

Если
ток I₂ меняет
свое значение, то в контуре 1 индуцируется
э.д.с. ξ_i1 ,
которая равна и противоположна по знаку
скорости изменения магнитного потока
Ф₁₂,
который создается током во втором
контуре и пронизывает первый: 

 

Явление
возникновения э.д.с. в одном из контуров
при изменении силы тока в другом
называется взаимной
индукцией.
Коэффициенты пропорциональности L₂₁ и
L₁₂ называются взаимной
индуктивностью контуров.
Расчеты, которые подтверждены опытом,
показывают, что L₂₁ и
L₁₂ равны
друг другу, т. е. 

 (2) 

Коэффициенты
пропорциональности L₁₂ и
L₂₁ зависят
от размеров, геометрической формы,
взаимного расположения контуров и от
магнитной проницаемости среды, окружающей
контуры. Единица взаимной индуктивности
та же, что и для индуктивности, — генри
(Гн). 

Найдем
взаимную индуктивность двух катушек,
которые намотаны на общий тороидальный
сердечник. Этот случай имеет большое
практическое значение (рис. 2). Магнитная
индукция поля, которое создавается
первой катушкой с числом витков N₁,
током I₁ и
магнитной проницаемостью μ сердечника,
B = μμ₀(N₁I₁/l)
где l —
длина сердечника по средней линии.
Магнитный поток сквозь один виток второй
катушки Ф₂ =
BS = μμ₀(N₁I₁/l)S 

Значит,
полный магнитный поток (потокосцепление)
сквозь вторичную обмотку, которая
содержит N₂ витков, 

 

Поток
Ψ создается током I₁,
поэтому, используя (1), найдем 

 (3) 

Если
рассчитать магнитный поток, который
создавается катушкой 2 сквозь катушку
1, то для L₁₂ получим
выражение в соответствии с формулой
(3). Значит, взаимная индуктивность двух
катушек, которые намотаны на общий
тороидальный сердечник, 

 

Трансформа́тор (от лат. transformo —
преобразовывать) — это статическое
электромагнитное устройство, имеющее
две или более индуктивно связанных
обмоток на каком-либо магнитопроводе и
предназначенное для преобразования
посредствомэлектромагнитной
индукции одной
или нескольких систем (напряжений)
переменного тока в одну или несколько
других систем (напряжений) переменного
тока без изменения частоты системы
(напряжения) переменного тока

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Электромагнитная индукция

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: явление электромагнитной индукции, магнитный поток, закон электромагнитной индукции Фарадея, правило Ленца.

Опыт Эрстеда показал, что электрический ток создаёт в окружающем пространстве магнитное поле. Майкл Фарадей пришёл к мысли, что может существовать и обратный эффект: магнитное поле, в свою очередь, порождает электрический ток.

Иными словами, пусть в магнитном поле находится замкнутый проводник; не будет ли в этом проводнике возникать электрический ток под действием магнитного поля?

Через десять лет поисков и экспериментов Фарадею наконец удалось этот эффект обнаружить. В 1831 году он поставил следующие опыты.

1. На одну и ту же деревянную основу были намотаны две катушки; витки второй катушки были проложены между витками первой и изолированы. Выводы первой катушки подключались к источнику тока, выводы второй катушки — к гальванометру (гальванометр — чувствительный прибор для измерения малых токов). Таким образом, получались два контура: «источник тока — первая катушка» и «вторая катушка — гальванометр».

Электрического контакта между контурами не было, только лишь магнитное поле первой катушки пронизывало вторую катушку.

При замыкании цепи первой катушки гальванометр регистрировал короткий и слабый импульс тока во второй катушке.

Когда по первой катушке протекал постоянный ток, никакого тока во второй катушке не возникало.

При размыкании цепи первой катушки снова возникал короткий и слабый импульс тока во второй катушке, но на сей раз в обратном направлении по сравнению с током при замыкании цепи.

Вывод.

Меняющееся во времени магнитное поле первой катушки порождает (или, как говорят, индуцирует) электрический ток во второй катушке. Этот ток называется индукционным током.

Если магнитное поле первой катушки увеличивается (в момент нарастания тока при замыкании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в одном направлении.

Если магнитное поле первой катушки уменьшается (в момент убывания тока при размыкании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в другом направлении.

Если магнитное поле первой катушки не меняется (постоянный ток через неё), то индукционного тока во второй катушке нет.

Обнаруженное явление Фарадей назвал электромагнитной индукцией (т. е. «наведение электричества магнетизмом»).

2. Для подтверждения догадки о том, что индукционный ток порождается переменным магнитным полем, Фарадей перемещал катушки друг относительно друга. Цепь первой катушки всё время оставалась замкнутой, по ней протекал постоянный ток, но за счёт перемещения (сближения или удаления) вторая катушка оказывалась в переменном магнитном поле первой катушки.

Гальванометр снова фиксировал ток во второй катушке. Индукционный ток имел одно направление при сближении катушек, и другое — при их удалении. При этом сила индукционного тока была тем больше, чем быстрее перемещались катушки.

3. Первая катушка была заменена постоянным магнитом. При внесении магнита внутрь второй катушки возникал индукционный ток. При выдвигании магнита снова появлялся ток, но в другом направлении. И опять-таки сила индукционного тока была тем больше, чем быстрее двигался магнит.

Эти и последующие опыты показали, что индукционный ток в проводящем контуре возникает во всех тех случаях, когда меняется «количество линий» магнитного поля, пронизывающих контур. Сила индукционного тока оказывается тем больше, чем быстрее меняется это количество линий. Направление тока будет одним при увеличении количества линий сквозь контур, и другим — при их уменьшении.

Замечательно, что для величины силы тока в данном контуре важна лишь скорость изменения количества линий. Что конкретно при этом происходит, роли не играет — меняется ли само поле, пронизывающее неподвижный контур, или же контур перемещается из области с одной густотой линий в область с другой густотой.

Такова суть закона электромагнитной индукции. Но, чтобы написать формулу и производить расчёты, нужно чётко формализовать расплывчатое понятие «количество линий поля сквозь контур».

к оглавлению ▴

Магнитный поток

Понятие магнитного потока как раз и является характеристикой количества линий магнитного поля, пронизывающих контур.

Для простоты мы ограничиваемся случаем однородного магнитного поля. Рассмотрим контур площади , находящийся в магнитном поле с индукцией .

Пусть сначала магнитное поле перпендикулярно плоскости контура (рис. 1).

Рис. 1.

В этом случае магнитный поток определяется очень просто — как произведение индукции магнитного поля на площадь контура:

(1)

Теперь рассмотрим общий случай, когда вектор образует угол с нормалью к плоскости контура (рис. 2).

Рис. 2.

Мы видим, что теперь сквозь контур «протекает» лишь перпендикулярная составляющая вектора магнитной индукции (а та составляющая, которая параллельна контуру, не «течёт» сквозь него). Поэтому, согласно формуле (1), имеем . Но , поэтому

(2)

Это и есть общее определение магнитного потока в случае однородного магнитного поля. Обратите внимание, что если вектор параллелен плоскости контура (то есть ), то магнитный поток становится равным нулю.

А как определить магнитный поток, если поле не является однородным? Укажем лишь идею. Поверхность контура разбивается на очень большое число очень маленьких площадок, в пределах которых поле можно считать однородным. Для каждой площадки вычисляем свой маленький магнитный поток по формуле (2), а затем все эти магнитные потоки суммируем.

Единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб). Как видим,

Вб = Тл · м = В · с. (3)

Почему же магнитный поток характеризует «количество линий» магнитного поля, пронизывающих контур? Очень просто. «Количество линий» определяется их густотой (а значит, величиной — ведь чем больше индукция, тем гуще линии) и «эффективной» площадью, пронизываемой полем (а это есть не что иное, как ). Но множители и как раз и образуют магнитный поток!

Теперь мы можем дать более чёткое определение явления электромагнитной индукции, открытого Фарадеем.

Электромагнитная индукция — это явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего контур.

к оглавлению ▴

ЭДС индукции

Каков механизм возникновения индукционного тока? Это мы обсудим позже. Пока ясно одно: при изменении магнитного потока, проходящего через контур, на свободные заряды в контуре действуют некоторые силы — сторонние силы, вызывающие движение зарядов.

Как мы знаем, работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура называется электродвижущей силой (ЭДС): . В нашем случае, когда меняется магнитный поток сквозь контур, соответствующая ЭДС называется ЭДС индукции и обозначается .

Итак, ЭДС индукции — это работа сторонних сил, возникающих при изменении магнитного потока через контур, по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура.

Природу сторонних сил, возникающих в данном случае в контуре, мы скоро выясним.

к оглавлению ▴

Закон электромагнитной индукции Фарадея

Сила индукционного тока в опытах Фарадея оказывалась тем больше, чем быстрее менялся магнитный поток через контур.

Если за малое время изменение магнитного потока равно , то скорость изменения магнитного потока — это дробь (или, что тоже самое, производная магнитного потока по времени).

Опыты показали, что сила индукционного тока прямо пропорциональна модулю скорости изменения магнитного потока:

Модуль поставлен для того, чтобы не связываться пока с отрицательными величинами (ведь при убывании магнитного потока будет ). Впоследствии мы это модуль снимем.

Из закона Ома для полной цепи мы в то же время имеем: . Поэтому ЭДС индукции прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока:

(4)

ЭДС измеряется в вольтах. Но и скорость изменения магнитного потока также измеряется в вольтах! Действительно, из (3) мы видим, что Вб/с = В. Стало быть, единицы измерения обеих частей пропорциональности (4) совпадают, поэтому коэффициент пропорциональности — величина безразмерная. В системе СИ она полагается равной единице, и мы получаем:

(5)

Это и есть закон электромагнитной индукции или закон Фарадея. Дадим его словесную формулировку.

Закон электромагнитной индукции Фарадея. При изменении магнитного потока, пронизывающего контур, в этом контуре возникает ЭДС индукции, равная модулю скорости изменения магнитного потока.

к оглавлению ▴

Правило Ленца

Магнитный поток, изменение которого приводит к появлению индукционного тока в контуре, мы будем называть внешним магнитным потоком. А само магнитное поле, которое создаёт этот магнитный поток, мы будем называть внешним магнитным полем.

Зачем нам эти термины? Дело в том, что индукционный ток, возникающий в контуре, создаёт своё собственное магнитное поле, которое по принципу суперпозиции складывается с внешним магнитным полем.

Соответственно, наряду с внешним магнитным потоком через контур будет проходить собственный магнитный поток, создаваемый магнитным полем индукционного тока.

Оказывается, эти два магнитных потока — собственный и внешний — связаны между собой строго определённым образом.

Правило Ленца . Индукционный ток всегда имеет такое направление, что собственный магнитный поток препятствует изменению внешнего магнитного потока .

Правило Ленца позволяет находить направление индукционного тока в любой ситуации.

Рассмотрим некоторые примеры применения правила Ленца.

Предположим, что контур пронизывается магнитным полем, которое возрастает со временем (рис. (3)). Например, мы приближаем снизу к контуру магнит, северный полюс которого направлен в данном случае вверх, к контуру.

Магнитный поток через контур увеличивается. Индукционный ток будет иметь такое направление, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал увеличению внешнего магнитного потока. Для этого магнитное поле, создаваемое индукционным током, должно быть направлено против внешнего магнитного поля.

Индукционный ток течёт против часовой стрелки, если смотреть со стороны создаваемого им магнитного поля. В данном случае ток будет направлен по часовой стрелке, если смотреть сверху, со стороны внешнего магнитного поля, как и показано на (рис. (3)).

Рис. 3. Магнитный поток возрастает

Теперь предположим, что магнитное поле, пронизывающее контур, уменьшается со временем (рис. 4). Например, мы удаляем магнит вниз от контура, а северный полюс магнита направлен на контур.

Рис. 4. Магнитный поток убывает

Магнитный поток через контур уменьшается. Индукционный ток будет иметь такое направление, чтобы его собственный магнитный поток поддерживал внешний магнитный поток, препятствуя его убыванию. Для этого магнитное поле индукционного тока должно быть направлено в ту же сторону , что и внешнее магнитное поле.

В этом случае индукционный ток потечёт против часовой стрелки, если смотреть сверху, со стороны обоих магнитных полей.

к оглавлению ▴

Взаимодействие магнита с контуром

Итак, приближение или удаление магнита приводит к появлению в контуре индукционного тока, направление которого определяется правилом Ленца. Но ведь магнитное поле действует на ток! Появится сила Ампера, действующая на контур со стороны поля магнита. Куда будет направлена эта сила?

Если вы хотите хорошо разобраться в правиле Ленца и в определении направления силы Ампера, попробуйте ответить на данный вопрос самостоятельно. Это не очень простое упражнение и отличная задача для С1 на ЕГЭ. Рассмотрите четыре возможных случая.

1. Магнит приближаем к контуру, северный полюс направлен на контур.
2. Магнит удаляем от контура, северный полюс направлен на контур.
3. Магнит приближаем к контуру, южный полюс направлен на контур.
4. Магнит удаляем от контура, южный полюс направлен на контур.

Не забывайте, что поле магнита не однородно: линии поля расходятся от северного полюса и сходятся к южному. Это очень существенно для определения результирующей силы Ампера. Результат получается следующий.

Если приближать магнит, то контур отталкивается от магнита. Если удалять магнит, то контур притягивается к магниту. Таким образом, если контур подвешен на нити, то он всегда будет отклоняться в сторону движения магнита, словно следуя за ним. Расположение полюсов магнита при этом роли не играет .

Уж во всяком случае вы должны запомнить этот факт — вдруг такой вопрос попадётся в части А1

Результат этот можно объяснить и из совершенно общих соображений — при помощи закона сохранения энергии.

Допустим, мы приближаем магнит к контуру. В контуре появляется индукционный ток. Но для создания тока надо совершить работу! Кто её совершает? В конечном счёте — мы, перемещая магнит. Мы совершаем положительную механическую работу, которая преобразуется в положительную работу возникающих в контуре сторонних сил, создающих индукционный ток.

Итак, наша работа по перемещению магнита должна быть положительна . Это значит, что мы, приближая магнит, должны преодолевать силу взаимодействия магнита с контуром, которая, стало быть, является силой отталкивания .

Теперь удаляем магнит. Повторите, пожалуйста, эти рассуждения и убедитесь, что между магнитом и контуром должна возникнуть сила притяжения.

к оглавлению ▴

Закон Фарадея + Правило Ленца = Снятие модуля

Выше мы обещали снять модуль в законе Фарадея (5). Правило Ленца позволяет это сделать. Но сначала нам нужно будет договориться о знаке ЭДС индукции — ведь без модуля, стоящего в правой части (5), величина ЭДС может получаться как положительной, так и отрицательной.

Прежде всего, фиксируется одно из двух возможных направлений обхода контура. Это направление объявляется положительным . Противоположное направление обхода контура называется, соответственно, отрицательным . Какое именно направление обхода мы берём в качестве положительного, роли не играет — важно лишь сделать этот выбор.

Магнитный поток через контур считается положительным , если магнитное поле, пронизывающее контур, направлено туда, глядя откуда обход контура в положительном направлении совершается против часовой стрелки. Если же с конца вектора магнитной индукции положительное направление обхода видится по часовой стрелке, то магнитный поток считается отрицательным .

ЭДС индукции считается положительной , если индукционный ток течёт в положительном направлении. В этом случае направление сторонних сил, возникающих в контуре при изменении магнитного потока через него, совпадает с положительным направлением обхода контура.

Наоборот, ЭДС индукции считается отрицательной , если индукционный ток течёт в отрицательном направлении. Сторонние силы в данном случае также будут действовать вдоль отрицательного направления обхода контура.

Итак, пусть контур находится в магнитном поле . Фиксируем направление положительного обхода контура. Предположим, что магнитное поле направлено туда, глядя откуда положительный обход совершается против часовой стрелки. Тогда магнитный поток положителен: .

Предположим, далее, что магнитный поток увеличивается . Согласно правилу Ленца индукционный ток потечёт в отрицательном направлении (рис. 5).

Рис. 5. Магнитный поток возрастает

Стало быть, в данном случае имеем . Знак ЭДС индукции оказался противоположен знаку скорости изменения магнитного потока. Проверим это в другой ситуации.

А именно, предположим теперь, что магнитный поток убывает . По правилу Ленца индукционный ток потечёт в положительном направлении. Стало быть, (рис. 6).

Рис. 6. Магнитный поток возрастает

Таков в действительности общий факт: при нашей договорённости о знаках правило Ленца всегда приводит к тому, что знак ЭДС индукции противоположен знаку скорости изменения магнитного потока :

(6)

Тем самым ликвидирован знак модуля в законе электромагнитной индукции Фарадея.

к оглавлению ▴

Вихревое электрическое поле

Рассмотрим неподвижный контур, находящийся в переменном магнитном поле. Каков же механизм возникновения индукционного тока в контуре? А именно, какие силы вызывают движение свободных зарядов, какова природа этих сторонних сил?

Пытаясь ответить на эти вопросы, великий английский физик Максвелл открыл фундаментальное свойство природы: меняющееся во времени магнитное поле порождает поле электрическое . Именно это электрическое поле и действует на свободные заряды, вызывая индукционный ток.

Линии возникающего электрического поля оказываются замкнутыми, в связи с чем оно было названо вихревым электрическим полем . Линии вихревого электрического поля идут вокруг линий магнитного поля и направлены следующим образом.

Пусть магнитное поле увеличивается. Если в нём находится проводящий контур, то индукционный ток потечёт в соответствии с правилом Ленца — по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора . Значит, туда же направлена и сила, действующая со стороны вихревого электрического поля на положительные свободные заряды контура; значит, именно туда направлен вектор напряжённости вихревого электрического поля.

Итак, линии напряжённости вихревого электрического поля направлены в данном случае по часовой стрелке (смотрим с конца вектора , (рис. 7).

Рис. 7. Вихревое электрическое поле при увеличении магнитного поля

Наоборот, если магнитное поле убывает, то линии напряжённости вихревого электрического поля направлены против часовой стрелки (рис. 8).

Рис. 8. Вихревое электрическое поле при уменьшении магнитного поля

Теперь мы можем глубже понять явление электромагнитной индукции. Суть его состоит именно в том, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Данный эффект не зависит от того, присутствует ли в магнитном поле замкнутый проводящий контур или нет; с помощью контура мы лишь обнаруживаем это явление, наблюдая индукционный ток.

Вихревое электрическое поле по некоторым свойствам отличается от уже известных нам электрических полей: электростатического поля и стационарного поля зарядов, образующих постоянный ток.

1. Линии вихревого поля замкнуты, тогда как линии электростатического и стационарного полей начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных.
2. Вихревое поле непотенциально: его работа перемещению заряда по замкнутому контуру не равна нулю. Иначе вихревое поле не могло бы создавать электрический ток! В то же время, как мы знаем, электростатическое и стационарное поля являются потенциальными.

Итак, ЭДС индукции в неподвижном контуре — это работа вихревого электрического поля по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура .

Пусть, например, контур является кольцом радиуса и пронизывается однородным переменным магнитным полем. Тогда напряжённость вихревого электрического поля одинакова во всех точках кольца. Работа силы , с которой вихревое поле действует на заряд , равна:

Следовательно, для ЭДС индукции получаем:

к оглавлению ▴

ЭДС индукции в движущемся проводнике

Если проводник перемещается в постоянном магнитном поле, то в нём также появляется ЭДС индукции. Однако причиной теперь служит не вихревое электрическое поле (оно не возникает — ведь магнитное поле постоянно), а действие силы Лоренца на свободные заряды проводника.

Рассмотрим ситуацию, которая часто встречается в задачах. В горизонтальной плоскости расположены параллельные рельсы, расстояние между которыми равно . Рельсы находятся в вертикальном однородном магнитном поле . По рельсам движется тонкий проводящий стержень со скоростью ; он всё время остаётся перпендикулярным рельсам (рис. 9).

Рис. 9. Движение проводника в магнитном поле

Возьмём внутри стержня положительный свободный заряд . Вследствие движения этого заряда вместе со стержнем со скоростью на заряд будет действовать сила Лоренца:

Направлена эта сила вдоль оси стержня, как показано на рисунке (убедитесь в этом сами — не забывайте правило часовой стрелки или левой руки!).

Сила Лоренца играет в данном случае роль сторонней силы: она приводит в движение свободные заряды стержня. При перемещении заряда от точки к точке наша сторонняя сила совершит работу:

(Длину стержня мы также считаем равной .) Стало быть, ЭДС индукции в стержне окажется равной:

(7)

Таким образом, стержень аналогичен источнику тока с положительной клеммой и отрицательной клеммой . Внутри стержня за счёт действия сторонней силы Лоренца происходит разделение зарядов: положительные заряды двигаются к точке , отрицательные — к точке .

Допустим сначала,что рельсы непроводят ток.Тогда движение зарядов в стержне постепенно прекратится. Ведь по мере накопления положительных зарядов на торце и отрицательных зарядов на торце будет возрастать кулоновская сила, с которой положительный свободный заряд отталкивается от и притягивается к — и в какой-то момент эта кулоновская сила уравновесит силу Лоренца. Между концами стержня установится разность потенциалов, равная ЭДС индукции (7).

Теперь предположим, что рельсы и перемычка являются проводящими. Тогда в цепи возникнет индукционный ток; он пойдёт в направлении (от «плюса источника» к «минусу» N). Предположим, что сопротивление стержня равно (это аналог внутреннего сопротивления источника тока), а сопротивление участка равно (сопротивление внешней цепи). Тогда сила индукционного тока найдётся по закону Ома для полной цепи:

Замечательно, что выражение (7) для ЭДС индукции можно получить также с помощью закона Фарадея. Сделаем это.
За время наш стержень проходит путь и занимает положение (рис. 9). Площадь контура возрастает на величину площади прямоугольника :

Магнитный поток через контур увеличивается. Приращение магнитного потока равно:

Скорость изменения магнитного потока положительна и равна ЭДС индукции:

Мы получили тот же самый результат, что и в (7). Направление индукционного тока, заметим, подчиняется правилу Ленца. Действительно, раз ток течёт в направлении , то его магнитное поле направлено противоположно внешнему полю и, стало быть, препятствует возрастанию магнитного потока через контур.

На этом примере мы видим, что в ситуациях, когда проводник движется в магнитном поле, можно действовать двояко: либо с привлечением силы Лоренца как сторонней силы, либо с помощью закона Фарадея. Результаты будут получаться одинаковые.