§ 17. Последовательное и параллельное соединение источников
При последовательном соединении источников общая ЭДС равна алгебраической сумме ЭДС отдельных источников, общее внутреннее сопротивление равно сумме внутренних сопротивлений отдельных источников. Для определения знака ЭДС каждого источника нужно выбрать положительное направление движения на участке с этим источником. ЭДС источника берётся со знаком `«+»`, если направление действия ЭДС совпадает с выбранным направлением. В противном случае ставится знак `«-»`.
При параллельном соединении источников с одинаковыми ЭДС и возможно различными внутренними сопротивлениями общая ЭДС (ЭДС батареи) равна ЭДС одного источника. Внутреннее сопротивление батареи рассчитывается как при параллельном соединении проводников с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлениям источников.
При параллельном соединении источников с различными ЭДС выражение для ЭДС батареи усложняется и здесь не приводится.
В схеме на рис. 17.1 $$ {mathcal{E}}_{1}=12$$ В, $$ {mathcal{E}}_{2}=3$$ В, $$ {r}_{1}=1$$ Ом, $$ {r}_{2}=2$$ Ом, $$ R=6$$ Ом.
 |
| Рис. 17.1 |
Найти напряжения на зажимах источников, т. е. разность потенциалов $$ {varphi }_{A}-{varphi }_{B}$$ и $$ {varphi }_{B}-{varphi }_{D}$$.
ЭДС батареи последовательно соединённых источников:
$$ mathcal{E}={mathcal{E}}_{1}-{mathcal{E}}_{2}=9$$ B.
Причём, полярность батареи совпадает с полярностью источника $$ {mathcal{E}}_{1}$$ т. к. $$ {mathcal{E}}_{1}>{mathcal{E}}_{2}$$.
Ток по закону Ома для замкнутой цепи $$ I=mathcal{E}/(R+{r}_{1}+{r}_{2})=1$$ A. По закону Ома для участков цепи `AB` и `BD`:
$$ {varphi }_{A}-{varphi }_{B}+{mathcal{E}}_{1}=I{r}_{1,}$$, $$ {varphi }_{B}-{varphi }_{D}-{mathcal{E}}_{2}=I{r}_{2}$$.
Отсюда $$ {varphi }_{A}-{varphi }_{B}=I{r}_{1}-{mathcal{E}}_{1}=-11$$ B, $$ {varphi }_{B}-{varphi }_{D}=I{r}_{2}+{mathcal{E}}_{2}=5$$ B.
Найти ток через резистор с сопротивлением $$ R$$ в схеме на рис. 17.2.
Между точками `A` и `B` имеем параллельное соединение источников. На рис. 17.3 показана эквивалентная схема, для которой $$ {mathcal{E}}_{1}=mathcal{E}$$, $$ {r}_{1}=r·2r/left(r+2rright)=2r/3$$. Общая ЭДС и внутреннее сопротивление последовательно соединённых источников с ЭДС $$ 3mathcal{E}$$ и $$ {mathcal{E}}_{1}$$:
$$ {mathcal{E}}_{0}=3mathcal{E}-{mathcal{E}}_{1}=3mathcal{E}-mathcal{E}=2mathcal{E}$$,
$$ {r}_{0}=3r+{r}_{1}=3r+2r/3=11r/3$$.
Ток $$ I={displaystyle frac{{mathcal{E}}_{0}}{R+{r}_{0}}}={displaystyle frac{6mathcal{E}}{3R+11r}}$$.
Начало лекции 28 ЭДС источника. Соединения проводников и источников.
Проводники в электрических цепях тоже могут соединяться последовательно и параллельно.
1. При последовательном соединении проводников
1. Сила тока во всех проводниках одинакова:
I1 = I2 = I
2. Общее напряжение U на обоих проводниках равно сумме напряжений U1 и U2 на каждом проводнике:
U = U1 + U2
3. По закону Ома, напряжения U1 и U2 на проводниках равны U1 = IR1, U2 = IR2 а общее напряжение U = IR где R – электрическое сопротивление всей цепи, тогда IR = IR1 + IR2.Отсюда следует
R = R1 + R2
При последовательном соединении полное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников.
Этот результат справедлив для любого числа последовательно соединенных проводников.
2. При параллельном соединении проводников
1. Напряжения U1 и U2 на обоих проводниках одинаковы
U1 = U2 = U
2. Сумма токов I1 + I2, протекающих по обоим проводникам, равна току в неразветвленной цепи:
I = I1 + I2
Этот результат следует из того, что в точках разветвления токов (узлы A и B) в цепи постоянного тока не могут накапливаться заряды. Например, к узлу A за время Δt подтекает заряд IΔt, а утекает от узла за то же время заряд I1Δt + I2Δt. Следовательно, I = I1 + I2.
3. Записывая на основании закона Ома
где R – электрическое сопротивление всей цепи, получим
или 
При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников.
Этот результат справедлив для любого числа параллельно включенных проводников.
Формулы для последовательного и параллельного соединения проводников позволяют во многих случаях рассчитывать сопротивление сложной цепи, состоящей из многих резисторов. На рисунке приведен пример такой сложной цепи и указана последовательность вычислений. Сопротивления всех проводников указаны в омах (Ом).
На пракутике одного источника тока в цепи бывает недостаточно, и тогда источники тока тоже соединяют между собой для питания цепи. Соединение источников в батарею может быть последовательным и параллельным.
При последовательном соединении два соседних источника соединяются разноименными полюсами.
Т.е., для последовательного соединения аккумуляторов, к ″плюсу″ электрической схемы подключают положительную клемму первого аккумулятора. К его отрицательной клемме подключают положительную клемму второго аккумулятора и т.д. Отрицательную клемму последнего аккумулятора подключают к ″минусу″ электрической схемы.
Получившаяся при последовательном соединении аккумуляторная батарея имеет ту же емкость, что и у одиночного аккумулятора, а напряжение такой аккумуляторной батареи равно сумме напряжений входящих в нее аккумуляторов. Т.е. если аккумуляторы имеют одинаковые напряжения, то напряжение батареи равно напряжению одного аккумулятора, умноженному на количество аккумуляторов в аккумуляторной батарее.
1. ЭДС батареи равна сумме ЭДС отдельных источников ε= ε1 + ε2 + ε3
2. Общее сопротивление батареи источников равно сумме внутренних сопротивлений отдельных источников rбатареи= r1 + r2 + r3
Если в батарею соединены n одинаковых источников, то ЭДС батареи ε= nε1, а сопротивление rбатареи= nr1
3. Сила тока в такой цепи по закону Ома 
При параллельном соединении соединяют между собой все положительные и все отрицательные полюсы двух или n источников.
Т.е., при параллельном соединении, аккумуляторы соединяют так, чтобы положительные клеммы всех аккумуляторов были подключены к одной точке электрической схемы (″плюсу″), а отрицательные клеммы всех аккумуляторов были подключены к другой точке схемы (″минусу″).
Параллельно соединяют только источники с одинаковой ЭДС. Получившаяся при параллельном соединении аккумуляторная батарея имеет то же напряжение, что и у одиночного аккумулятора, а емкость такой аккумуляторной батареи равна сумме емкостей входящих в нее аккумуляторов. Т.е. если аккумуляторы имеют одинаковые емкости, то емкость аккумуляторной батареи равна емкости одного аккумулятора, умноженной на количество аккумуляторов в батарее.
1. ЭДС батареи одинаковых источников равна ЭДС одного источника. ε= ε1= ε2 = ε3
2. Сопротивление батареи меньше, чем сопротивление одного источника rбатареи= r1/n
3. Сила тока в такой цепи по закону Ома 
Электрическая энергия, накопленная в аккумуляторной батарее равна сумме энергий отдельных аккумуляторов (произведению энергий отдельных аккумуляторов, если аккумуляторы одинаковые), независимо от того, как соединены аккумуляторы — параллельно или последовательно.
Внутреннее сопротивление аккумуляторов, изготовленных по одной технологии, примерно обратно пропорционально емкости аккумулятора. Поэтому т.к.при параллельном соединении емкость аккумуляторной батареи равна сумме емкостей входящих в нее аккумуляторов, т.е увеличивается, то внутреннее сопротивление уменьшается.
При расчёте электрических цепей грамотно проведённые преобразования позволяют уменьшить число уравнений, описывающих работу схемы. Далее приведены основные эквивалентные преобразования.
Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.
- Последовательное соединение пассивных элементов
- Параллельное соединение пассивных элементов
- Параллельное соединение большого количества ветвей
- Параллельное соединение ветвей с источниками ЭДС
- Преобразование источника ЭДС в источник тока
- Преобразование источника тока в источник ЭДС
- Преобразование звезды сопротивлений в треугольник
- Калькулятор преобразования звезды сопротивлений в треугольник
- Преобразование треугольника сопротивлений в звезду
- Калькулятор преобразования треугольника сопротивлений в звезду
Последовательное соединение пассивных элементов
Пример схемы приведён на рис. 1.
Рис. 1. Преобразование последовательно соединённых элементов
Эквивалентное сопротивление определяется по формуле
$$ underline{Z}={{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}. $$
В общем случае при последовательном соединении N элементов
$$ underline{Z}=sumlimits_{i=1}^{N}{{{underline{Z}}_{i}}}. $$
Параллельное соединение пассивных элементов
Пример схемы приведён на рис. 2.
Рис. 2. Преобразование параллельно соединённых элементов
Эквивалентное сопротивление определяется по формуле
$$ underline{Z}=frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{2}}}{{{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}}. $$
Параллельное соединение большого количества ветвей
Пример схемы приведён на рис. 3.
Рис. 3. Преобразование параллельно соединённых ветвей
Эквивалентное сопротивление определяется по формуле
$$ underline{Z}=frac{1}{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{1}{{{underline{Z}}_{i}}}}}. $$
Параллельное соединение ветвей с источниками ЭДС
Пример схемы приведён на рис. 4.
Рис. 4. Преобразование параллельно соединённых ветвей с источниками ЭДС
Эквивалентное сопротивление определяется по формуле
$$ underline{Z}=frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{2}}}{{{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}}. $$
Эквивалентная ЭДС определяется по формуле
$$ underline{E}=frac{{{underline{E}}_{1}}{{underline{Z}}_{2}}+{{underline{E}}_{2}}{{underline{Z}}_{1}}}{{{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}}. $$
В общем случае при параллельном соединении N ветвей с источниками ЭДС эквивалентное сопротивление определяется по формуле
$$ underline{Z}=frac{1}{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{1}{{{underline{Z}}_{i}}}}}. $$
Эквивалентная ЭДС при параллельном соединении N ветвей определяется по формуле
$$ underline{E}=frac{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{{{underline{E}}_{i}}}{{{underline{Z}}_{i}}}}}{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{1}{{{underline{Z}}_{i}}}}}. $$
Преобразование источника ЭДС в источник тока
Пример схемы приведён на рис. 5.
Рис. 5. Преобразование источника ЭДС в источник тока
Сила тока источника тока определяется по формуле
$$ underline{J}=frac{underline{E}}{underline{Z}}. $$
Проводимость ветви, параллельной источнику току, определяется по формуле
$$ underline{Y}=frac{1}{underline{Z}}. $$
Преобразование источника тока в источник ЭДС
Пример схемы приведён на рис. 6.
Рис. 6. Преобразование источника тока в источник ЭДС
ЭДС определяется по формуле
$$ underline{E}=frac{underline{J}}{underline{Y}}. $$
Сопротивление определяется по формуле
$$ underline{Z}=frac{1}{underline{Y}}. $$
Преобразование звезды сопротивлений в треугольник
Пример схемы приведён на рис. 7.
Рис. 7. Преобразование звезды в треугольник
Сопротивления треугольника определяются по формулам
$$ {{underline{Z}}_{12}}={{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}+frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{2}}}{{{underline{Z}}_{3}}}, $$
$$ {{underline{Z}}_{23}}={{underline{Z}}_{2}}+{{underline{Z}}_{3}}+frac{{{underline{Z}}_{2}}cdot {{underline{Z}}_{3}}}{{{underline{Z}}_{1}}}, $$
$$ {{underline{Z}}_{31}}={{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{3}}+frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{3}}}{{{underline{Z}}_{2}}}. $$
Калькулятор преобразования звезды сопротивлений в треугольник
$ underline{Z}_1 = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_2 = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_3 = $ $ textrm{Ом} $
Преобразование треугольника сопротивлений в звезду
Пример схемы приведён на рис. 8.
Рис. 8. Преобразование треугольника в звезду
Сопротивления звезды определяются по формулам
$$ {{underline{Z}}_{1}}=frac{{{underline{Z}}_{31}}cdot {{underline{Z}}_{12}}}{{{underline{Z}}_{12}}+{{underline{Z}}_{31}}+{{underline{Z}}_{23}}}, $$
$$ {{underline{Z}}_{2}}=frac{{{underline{Z}}_{23}}cdot {{underline{Z}}_{12}}}{{{underline{Z}}_{12}}+{{underline{Z}}_{31}}+{{underline{Z}}_{23}}}, $$
$$ {{underline{Z}}_{3}}=frac{{{underline{Z}}_{31}}cdot {{underline{Z}}_{23}}}{{{underline{Z}}_{12}}+{{underline{Z}}_{31}}+{{underline{Z}}_{23}}}. $$
Калькулятор преобразования треугольника сопротивлений в звезду
$ underline{Z}_{12} = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_{23} = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_{31} = $ $ textrm{Ом} $
Список использованной литературы
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.
Правило Кирхгофа
1 Найти разность потенциалов между точками а и b в схеме, изображенной на рис. 118. Э. д. с. источников тока ε1= 1 В и ε1 =1,3 В, сопротивления резисторов R1 = 10 Ом и R2 = 5 Ом.
Решение:
Поскольку ε2>ε1 то ток I будет идти в направлении, указанном на рис. 118, при этом разность потенциалов между точками а и b
2 Два элемента с э. д. с. ε1 = 1,5 B и ε2 = 2 В и внутренними сопротивлениями r1=0,6 Ом и r2 = 0,4 Ом соединены по схеме, изображенной на рис. 119. Какую разность потенциалов между точками а и b покажет вольтметр, если сопротивление вольтметра велико по сравнению с внутренними сопротивлениями элементов?
Решение:
Поскольку ε2>ε1, то ток I будет идти в направлении, указанном на рис. 119. Током через вольтметр пренебрегаем ввиду
того, что его сопротивление велико по сравнению с внутренними сопротивлениями элементов. Падение напряжения на внутренних сопротивлениях элементов должно равняться разности э. д. с. элементов, так как они включены навстречу друг другу: 
отсюда
Разность потенциалов между точками а и b (показание вольтметра)
3 Два элемента с э. д. с. ε1=1.4B и ε2 = 1,1 В и внутренними сопротивлениями r =0,3 Ом и r2 = 0,2 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис. 120). Найти напряжение на зажимах элементов. При каких условиях разность потенциалов между точками а и b равна нулю?
Решение:
4 Два источника тока с одинаковыми э. д. с. ε = 2 В и внутренними сопротивлениями r1 =0,4 Ом и r2 = 0,2 Ом соединены последовательно. При каком внешнем сопротивлении цепи R напряжение на зажимах одного из источников будет равным нулю?
Решение:
Ток в цепи
(рис.361). Напряжения на зажимах источников тока
Решая первые два уравнения при условии V1=0, получим
Условие V2=0 неосуществимо, так как совместное решение первого и третьего уравнений приводит к значению R<0.
5 Найти внутреннее сопротивление r1 первого элемента в схеме, изображенной на рис. 121, если напряжение на его зажимах равно нулю. Сопротивления резисторов R1 = 3 Ом, R2 = 6 0м, внутреннее сопротивление второго элемента r2 = 0,4 Ом, э. д. с. элементов одинаковы.
Решение:
Ток в общей цепи
где внешнее сопротивление цепи
По условию задачи напряжение на зажимах первого элемента
отсюда
6 При каком соотношении между сопротивлениями резисторов R1, R2, R3 и внутренними сопротивлениями элементов r1, r2 (рис. 122) напряжение на зажимах одного из элементов будет равно нулю? Э. д. с. элементов одинаковы.
Решение:
7 Два генератора с одинаковыми э. д. с. ε = 6 В и внутренними сопротивлениями r1 =0,5 Ом и r2 = 0,38 Ом включены по схеме, изображенной на рис. 123. Сопротивления резисторов R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 7 Ом. Найти напряжения V1 и V2 на зажимах генераторов.
Решение:
Ток в общей цепи
где внешнее сопротивление цепи
Напряжения на зажимах первого и второго генератора
напряжение на зажимах второго генератора
8 Три элемента с э. д. с. ε1 = 2,2 В, ε2 = 1,1 В и ε3 = 0,9 В и внутренними сопротивлениями r1 = 0,2 Ом, r2 = 0,4 Ом и r3 = 0,5 Ом включены в цепь последовательно. Внешнее сопротивление цепи R=1 Ом. Найти напряжение на зажимах каждого элемента.
Решение:
По закону Ома для полной цепи ток
Напряжение на зажимах каждого элемента равно разности э. д. с. и падения напряжения на внутреннем сопротивлении элемента:
Напряжение на зажимах батареи элементов равно падению напряжения на внешнем сопротивлении цепи:
Напряжение на зажимах третьего элемента оказалось отрицательным, так как ток определяется всеми сопротивлениями цепи и суммарной э.д.с, а падение напряжения на внутреннем сопротивлении r3 больше, чем э.д.с. ε3.
9 Батарея из четырех последовательно включенных в цепь элементов с э. д. с. ε = 1,25 В и внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом питает два параллельно соединенных проводника с сопротивлениями R1 = 50 Ом и R2 = 200 Ом. Найти напряжение на зажимах батареи.
Решение:
10 Сколько одинаковых аккумуляторов с э. д. с. ε = 1,25B и внутренним сопротивлением r = 0,004 Ом нужно взять, чтобы составить батарею, которая давала бы на зажимах напряжение V=115 В при токе I=25 А?
Решение:
Напряжение на зажимах батареи
Следовательно,
11 Батарея из n= 40 последовательно включенных в цепь аккумуляторов с э. д. с. ε = 2,5 В и внутренним сопротивлением r = 0,2 Ом заряжается от сети с напряжением V=121 В. Найти зарядный ток, если последовательно в цепь введен проводник с сопротивлением R = 2 Ом.
Решение:
12 Два элемента с э. д. с. ε1 = 1,25 В и ε2 = 1,5 В и одинаковыми внутренними сопротивлениями r = 0,4 Ом соединены параллельно (рис. 124). Сопротивление резистора R= 10 Ом. Найти токи, текущие через резистор и каждый элемент.
Решение:
Падение напряжения на резисторе, если токи текут в направлениях, указанных на рис. 124,
Учитывая, что I=I1+I2, находим
Заметим, что I1<0. Это значит, что направление тока противоположно указанному на рис. 124.
13 Два элемента с э. д. с. ε1 =6 В и ε2 = 5 В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом и r2 = 20м соединены по схеме, изображенной на рис. 125. Найти ток, текущий через резистор с сопротивлением R= 10 Ом.
Решение:
Выбрав направления токов, указанные на рис. 362, составим уравнения Кирхгофа. Для узла b имеем I1+I2-I=0; для контура abef (обход по часовой стрелке)
и для контура bcde (обход против часовой стрелки)
Из этих уравнений найдем
14 Три одинаковых элемента с э. д. с. ε = 1,6 В и внутренним сопротивлением r=0,8 Ом включены в цепь по схеме, изображенной на рис. 126. Миллиамперметр показывает ток I=100 мА. Сопротивления резисторов R1 = 10Ом и R2 = 15 0м, сопротивление резистора R неизвестно. Какое напряжение V показывает вольтметр? Сопротивление вольтметра очень велико, сопротивление миллиамперметра пренебрежимо мало.
Решение:
Внутреннее сопротивление элементов
Сопротивление параллельно включенных резисторов
Общая э. д. с. элементов e0=2e Согласно закону Ома для полной цепи
15 Сопротивления резисторов R1 и R2 и э. д. с. ε1 и ε2 источников тока в схеме, изображенной на рис. 127, известны. При какой э.д.с. ε3 третьего источника ток через резистор R3 не течет?
Решение:
Выберем направления токов I1, I2 и I3 через резисторы R1, R2 и R3, указанные на рис. 363. Тогда I3=I1+I2. Разность потенциалов между точками а и b будет равна
Если
Исключая I1 находим
16 Цепь из трех одинаковых последовательно соединенных элементов с э.д.с. ε и внутренним сопротивлением r замкнута накоротко (рис. 128). Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к зажимам одного из элементов?
Решение:
Рассмотрим ту же схему без вольтметра (рис. 364). Из закона Ома для полной цепи находим
Из закона Ома для участка цепи между точками а и b получим
Подключение вольтметра к точкам, разность потенциалов между которыми равна нулю, ничего не может изменить в цепи. Поэтому вольтметр будет показывать напряжение, равное нулю.
17 Источник тока с э.д.с. ε0 включен в схему, параметры которой даны на рис. 129. Найти э.д.с. ε источника тока и направление его подключения к выводам а и b, при которых ток через резистор с сопротивлением R2 не идет.
Решение:
Подключим источник тока к выводам а и b и выберем направления токов, указанные на рис. 365. Для узла е имеем I=I0+I2. При обходе контуров aefb и ecdf по часовой стрелке получим
Используя условие I2 = 0, находим
Знак минус показывает, что полюсы источника тока на рис. 365 нужно поменять местами.
18 Два элемента с одинаковыми э.д.с. ε включены в цепь последовательно. Внешнее сопротивление цепи R = 5 Ом. Отношение напряжения на зажимах первого элемента к напряжению на зажимах второго элемента равно 2/3. Найти внутренние сопротивления элементов r1 и r2, если r1=2r2.
Решение:
19 Два одинаковых элемента с э.д.с. ε=1,5 В и внутренним сопротивлением r = 0,2 Ом замкнуты на резистор, сопротивление которого составляет в одном случае R1=0,2 Oм, В другом — R2 = 20 Ом. Как нужно соединить элементы (последовательно или параллельно) в первом и во втором случаях, чтобы получить наибольший ток в цепи?
Решение:
При параллельном соединении двух элементов внутреннее сопротивление и э.д.с. равны r/2 и ε при последовательном соединении они равны 2r и 2ε. Через резистор R при этом текут токи
Отсюда видно, что I2>I1, если R/2+r<R+r/2, т. е. если r1=r; следовательно, токи при параллельном и последовательном соединениях одинаковы. Во втором случае R2>r.Поэтому ток больше при последовательном соединении.
20 Два элемента с э.д.с. ε1=4В и ε2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 0,25 Ом и r2 = 0,75 Ом включены в схему, изображенную на рис. 130. Сопротивления резисторов R1 = 1 Ом и R2 = 3 Ом, емкость конденсатора С=2 мкФ. Найти заряд на конденсаторе.
Решение:
21 К батарее из двух параллельно включенных элементов с э.д.с. ε1 и ε2 и внутренними сопротивлениями r1 и r2 подключен резистор с сопротивлением R. Найти ток I, текущий через резистор R, и токи I1 и I2 в первом и втором элементах. При каких условиях токи в отдельных цепях могут быть равными нулю или изменять свое направление на обратное?
Решение:
Выберем направления токов, указанные на рис. 366. Для узла b имеем I-I1-I2=0. При обходе контуров abef и bcde по часовой стрелке получим
Из этих уравнений находим
Ток I=0 тогда, когда изменена полярность включения одного из элементов и, кроме того, выполнено условие
Ток I1=0 при
а ток I2 = 0 при
Токи I1 и I2 имеют направления, указанные на рис.366, если
Они меняют свое направление при
22 Батарея из n одинаковых аккумуляторов, соединенных в одном случае последовательно, в другом— параллельно, замыкается на резистор с сопротивлением R. При каких условиях ток, текущий через резистор, в обоих случаях будет один и тот же?
Решение:
При n(R-r) = R-r. Если R=r, то число элементов произвольно; если R№r, задача не имеет решения (n=1).
23 Батарея из n = 4 одинаковых элементов с внутренним сопротивлением r=2 Ом, соединенных в одном случае последовательно, в другом — параллельно, замыкается на резистор с сопротивлением R=10Ом. Во сколько раз показание вольтметра н одном случае отличается от показания вольтметра в другом случае? Сопротивление вольтметра велико по сравнению с R и r.
Решение:
где V1 — показание вольтметра при последовательном соединении элементов, V2-при параллельном.
24 Как изменится ток, текущий через резистор с сопротивлением R = 2 Ом, если n =10 одинаковых элементов, соединенных последовательно с этим резистором, включить параллельно ему? Э.д.с. элемента ε = 2 В, его внутреннее сопротивление r = 0,2 Ом.
Решение:
25 Батарея составлена из N=600 одинаковых элементов так, что n групп соединены последовательно и в каждой из них содержится т элементов, соединенных параллельно. Э.д.с. каждого элемента ε = 2 В, его внутреннее сопротивление r = 0,4 Ом. При каких значениях n и m батарея, будучи замкнута на внешнее сопротивление R = 0,6 Ом, отдаст во внешнюю цепь максимальную мощность? Найти при этом ток, текущий через сопротивление R.
Решение:
Общее число элементов N=nm (рис. 367). Ток во внешней цепи
где r/m— внутреннее сопротивление группы из т параллельно соединенных элементов, а nr/m — внутреннее сопротивление n групп, соединенных последовательно. Максимальная мощность отдается во внешнюю цепь при равенстве сопротивления R внутреннему сопротивлению батареи элементов nr/m, т. е. 
При этом через сопротивление R течет точек I=46 А.
26 Емкость аккумулятора Qo=80А⋅ч. Найти емкость батареи из n = 3 таких аккумуляторов, включенных последовательно и параллельно.
Решение:
При последовательном соединении через все аккумуляторы батареи течет один и тот же ток, поэтому все они разрядятся в течение одного и того же времени. Следовательно, емкость батареи будет равна емкости каждого аккумулятора: 
При параллельном соединении n аккумуляторов через каждый из них течет 1/n часть общего тока; поэтому при том же разрядном токе в общей цепи батареи будет разряжаться в n раз дольше, чем один аккумулятор, т. е. емкость батареи в п раз больше емкости отдельного аккумулятора:
Заметим, однако, что энергия
отдаваемая батареей в цепь, и при последовательном и при параллельном соединении n аккумуляторов в n раз больше энергии, отдаваемой одним аккумулятором. Это происходит потому, что при последовательном соединении э. д. с. батареи в n раз больше э. д. с. одного аккумулятора, а при параллельном соединении э.д.с. батареи остается той же, что и для каждого аккумулятора, но Q увеличивается в n раз.
27 Найти емкость батареи аккумуляторов, включенных по схеме, изображенной на рис.131. Емкость каждого аккумулятора Q0=64 А⋅ч.
Решение:
Каждая группа из пяти аккумуляторов, включенных последовательно, имеет емкость
Три параллельно включенные группы дают общую емкость батареи
28 Мост для измерения сопротивлений сбалансирован так, что ток через гальванометр не идет (рис. 132). Ток в правой ветви I=0,2 А. Найти напряжение V на зажимах источника тока. Сопротивления резисторов R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 1 Ом.
Решение:
29 Найти токи, протекающие в каждой ветви цепи, изображенной на рис. 133. Э.д.с. источников тока ε1 = 6,5 В и ε2 = 3,9 В. Сопротивления резисторов R1=R2=R3=R4=R5=R6=R=10 Ом.
Решение:
Составляем уравнения Кирхгофа в соответствии с направлениями токов, указанными на рис. 133: I1 + I2 — I3 = 0 для узла b;
I3 — I4 — I5 =0 для узла h; I5 — I1 — I6 = 0 для узла f: при этом
Для контура abfg (обход по часовой стрелке),
Для контура bcdh (обход против часовой стрелки) и
для контура hdef (обход по часовой стрелке). Решая эту систему уравнений с учетом, что все сопротивления одинаковы и равны R=10 Ом, получим
Отрицательные значения токов I2, I4 и I6 показывают, что при данных э.д.с. источников и сопротивлениях резисторов эти токи текут в стороны, противоположные указанным на рис. 133.
|
Содержание |
|
|
Введение |
4 |
|
Раздел 1 Линейные цепи постоянного |
5 |
|
Глава 1 Основные понятия и законы электрических |
5 |
|
Глава 2 Расчёт простых электрических |
19 |
|
Глава 3 Законы Кирхгофа |
25 |
|
Глава 4 Работа и мощность тока |
30 |
|
Глава 5 Метод контурных токов |
32 |
|
Глава 6 Метод узловых напряжений (узловых |
36 |
|
Глава 7 Метод эквивалентного источника |
41 |
|
Раздел 2 Линейные цепи переменного |
44 |
|
Глава 1 Основные понятия переменного |
44 |
|
Глава 2 Активные и реактивные элементы |
47 |
|
Глава 3 Цепи с соединением R, L, C |
55 |
|
Глава 4 Мощность в цепи переменного |
64 |
|
Глава 5 Резонанс |
70 |
|
Глава 6 Расчёт цепей символическим |
77 |
|
Список использованной литературы |
79 |
Введение
Расчёт электрических цепей является
одной из основных задач при изучении
электротехники, а впослед-ствии – и
электроники.
Наиболее простыми и распространёнными
являются линейные цепи, то есть цепи с
вольт-амперной характери-стикой в виде
прямой.
Сначала изучается расчёт цепей постоянного
тока, затем, более сложные цепи –
переменного (синусо-идального) тока.
Под переменным током обычно понимают
ток синусоидальной формы. В электроснабжении,
в промышленных сетях это – основной
вид тока, поэтому знание законов
переменного тока и расчёта цепей
переменного тока является необходимым
для инженера.
Расчёт электрических цепей переменного
тока более сложен, чем цепей постоянного
тока. В этом случае, кроме активного
сопротивления, появляются реактивные
элементы: катушка индуктивности и
конденсатор. В параметрах тока и
напряжения, кроме амплитуды в расчётах
необходимо учитывать также частоту и
начальную фазу. Это значительно усложняет
расчёты. В расчётах используются
представление синусоидальных величин
в виде векторов либо в виде комплексных
чисел. Рекомендация студентам: иметь
для расчётов инженер-ный калькулятор.
Глава 1 Основные понятия и законы линейных электрических цепей постоянного тока
Для анализа и расчёта реальное
электромагнитное устройство с
происходящими в нём процессами заме-няется
некоторым расчётным эквивалентом –
электриче-ской цепью.
Фактически изучаются не реальные
устройства, а их эквиваленты, которые,
с определённой степенью точно-сти,
являются отражением их реальных свойств.
Электрическая цепь – это
совокупность соединён-ных друг с другом
источников энергии и нагрузок, по которым
может протекать электрический ток.
Изображение электрической цепи называется
схемой замещения электрической цепи
или просто электрической схемой.
Рассмотрим характерные участки цепи:
— Ветвь – участок электрической
цепи, в котором ток имеет одно и то же
значение. Элементы ветви соединены
между собой последовательно;
— Узел – место соединения трёх
или более ветвей;
Место соединения ветвей обозначается
точкой (обязательно – если ветви
пересекаются).
— Контур – любой замкнутый путь в
цепи.
Например, в схеме на рисунке 1.1, пять
ветвей, три узла, шесть контуров. Убедитесь
в этом самостоятельно, проверьте себя.
Закон
Ома. Сопротивление и проводимость
Вспомните хорошо известные из школьного
курса физики понятия.
Электрический ток (или сила
тока) — количество заряда, проходящего
через поперечное сечение проводника в
единицу времени или производная заряда
по времени i(t) = dq/dt.
Единица измерения тока – Ампер – А =
Кл/с
Для цепей постоянного тока i(t)
= const = I
Напряжение – разность электрических
потенциалов между двумя точками цепи
u(t) = φ1 — φ2.
В цепях постоянного тока u(t) = const
= U.
Единица измерения напряжения – Вольт
(В).
Одной из основных характеристик элемента
цепи является зависимость тока от
напряжения I = f (U),
называемая вольт-амперная характеристика
(ВАХ). Пример графиков двух ВАХ
показан на рисунке 1.2.
ВАХ бывают линейные (если график
– прямая линия) и нелинейные.
На рисунке 1.2 характеристики 1 и 3 –
линейные, а 2 – нелинейная. Соответственно,
элементы цепи с линейной ВАХ называются
линейными, а с нелинейной – нелинейными.
Линейная цепь — это цепь, состоящая
только из линейных элементов. Если хотя
бы один элемент цепи имеет нелинейную
ВАХ, то цепь уже является нелинейной.
Важным параметром элемента цепи является
его сопротивление R – коэффициент
пропорциональности между током и
напряжением.
В линейной цепи сопротивление элемента
при любом напряжении постоянно и не
зависит ни от напряжения, ни от тока.
Зависимость тока от напряжения
определяется законом Ома:
U = IR, где R =
const.
Сопротивление R легко
определить по графику ВАХ по любым двум
точкам. R = ΔU/ΔI.
Определите: на какой из линейных ВАХ на
рисунке 2 сопротивление больше: 1 или 3?
В нелинейной цепи сопротивление в каждой
точке ВАХ различно. В данном разделе
будем рассматривать только более
простые, линейные цепи. Нелинейные цепи
будут рассматриваться в последующих
главах.
Сопротивление R является характеристикой
провод-ника и определяется следующим
образом:
R =
,
где l – длина проводника, ρ – удельное
со-противление, характеризующее материал
проводника, S – площадь
поперечного сечения.
Теоретически любой элемент цепи обладает
сопро-тивлением, но на практике в расчётах
цепь идеализирует-ся, и сопротивлением
проводов пренебрегают и считают, что
всё сопротивление заключается в
нагрузках.
Элемент цепи, обладающий сопротивлением,
назы-вают резистором, на схеме обозначается
так:
Р
азмеры
резистора – 4х10.
Часто удобно использовать величину,
обратную сопротивлению, и называемую
проводимость G.
G = 1/R
Единицей проводимости называется Сименс
(См).
1 См = 1/1 Ом.
Закон Ома в этом случае выглядит: I = GU
G =
,
где γ = 1/ ρ – удельная проводимость.
Рассмотрим участок ветви с резистором
R (смотреть рисунок 1.3) и полярности
величин.
Очевидно,
всегда R > 0
Uab
= φa
— φb
Если φa
> φb
то Uab
> 0 – напряжение положительно.
Ток считается положительным, если
направление тока совпадает с направлением
положительного напряжения и отрицательным,
если его направление противоположно
направлению положительного напряжения.
Рассмотрим теперь источник ЭДС (рисунок
1.4)
Стрелка источника ЭДС показывает
направление положительного тока, который
вызывает источник. Интересно, что
направление напряжения на самом источнике
ЭДС противоположно току.
Рассмотрим участок ветви, содержащий
источник ЭДС и резистор (рисунок 1.5).
Некоторые студенты испытывают затруднения
при анализе данной цепи. При данном
направлении ЭДС, правильная формула:
Uab = UR
– E = IR – E
Проанализируйте схему и запишите
самостоятельно формулы при различных
вариантах направлений напряжений, токов
и источника.
Соединение
сопротивлений
Во многих случаях расчёт электрической
цепи можно упростить, путём преобразования
её из сложного вида в более простой. При
этом уменьшается число узлов, ветвей
либо и то и другое.
Необходимое условие преобразования:
токи и напряжения в остальных частях
схемы, не подвергающих-ся преобразованию,
не изменяются. Такое преобразование
называется эквивалентным.
а) Последовательное
соединение сопротивлений
П
оследовательное
соединение – это такое, при ко-тором
во всех элементах цепи течёт одинаковый
ток. Элементы ветви соединены
последовательно (рис. 1.6).
Такую ветвь можно заменить одним
резистором с сопротивлением Rэкв,
равным сумме сопротивлений всех
резисторов.
Rэкв =
=
R1+R2+R3+…+Rn
Эквивалентное сопротивление при таком
соедине-нии всегда больше сопротивления
любого из элементов. Если все сопротивления
равны
R1=
R2=
R3=…=
R, то Rэкв
= nR
Для проводимостей G формула будет
выглядеть так:
Напряжение на зажимах ab равно сумме
напряжений на каждом элементе ветви.
б) Параллельное
соединение сопротивлений
Параллельное соединение
сопротивлений – это такое соединение,
при котором ко всем элементам цепи
приложено одинаковое напряжение.
Параллельно соединены элементы между
двумя узлами (рисунок 1.7).
Ток I в неразветвлённой
части равен сумме токов в каждом элементе.
I = I1= I2+ I3+…+ In
Эквивалентная проводимость в этом
случае равна сумме проводимостей всех
элементов:
G
экв
=
=
G1+ G2+
G3+…+ Gn
Для сопротивлений R формула будет
выглядеть так:
Как видите, формулы симметричны: при
последова-тельном соединении складываются
сопротивления, а при параллельном –
проводимости.
Эквивалентное сопротивление при таком
соедине-нии всегда меньше сопротивления
любого из элементов.
Если все сопротивления равны R1=
R2= R3=…= R, то
Rэкв = R/n
Ток в любой ветви пропорционален
проводимости этой ветви.
в)
Смешанное соединение сопротивлений
Смешанное соединение сопротивлений
– это такое соединение, которое можно
представить в виде параллельного и
последовательного.
Н
а
первый взгляд кажется, что любую схему
соединения элементов можно представить
в виде смешанного соединения и найти
эквивалентное сопротивление путём
преобразования параллельных и
последовательных участков. Однако
бывают случаи, когда соединение элементов
не является смешанным. Примером такого
случая может служить распространённая
в электронике мостовая схема,
показанная на рисунке 1.8.
Как найти сопротивление между точками
a и d? После нескольких
попыток упростить схему, легко убе-диться,
что здесь нет участков ни с последовательным,
ни с параллельным соединением. Для этого
нужно приме-нить преобразование,
описанное в следующем параграфе.
г)
Преобразование «Звезда-треугольник»
С
уществует
возможность эквивалентного преобра-зования
треугольника сопротивлений, показанного
на ри-сунке 1.9, в трёхлучевую звезду
(рисунок 1.10).
При преобразовании одной схемы в другую,
напря-жения и токи, как при любом
эквивалентном преобразова-нии, не
изменяются.
Формулы для преобразования из треугольника
в звезду:
Формулы для преобразования из звезды
в треугольник:
Rab
= Ra+
Rb+
RaRb/Rс
Rac
= Ra+
Rc+
RaRc/Rb
Rbc
= Rc+
Rb+
RcRb/Ra
Если все сопротивления равны, то легко
убедиться, что сопротивления в треугольнике
в три раза больше, чем в звезде.
Теперь вернёмся к мостовой схеме на
рисунке 8. Можно преобразовать в ней
треугольник abc в звезду. Получим схему
на рисунке 1.11.
В этой схеме сопротивления треугольника
R1, R2, R3 преобразованы
в звезду Ra, Rb,
Rc.
Теперь не вызывает затруднения найти
сопротивле-ние Rad. Для этого нужно
найти последовательные соеди-нения
Rb-R4 и Rc-R5,
затем параллельное соединение двух
получившихся и затем — последовательное
соедине-ние с Ra.
Также и в других подобных случаях
преобразование «звезда-треугольник»
может быть незаменимым.
Источник
ЭДС и источник тока
Источник энергии представляет собой
источник ЭДС, имеющий внутреннее
сопротивление r. К клеммам источника
подключена нагрузка сопротивлением
R. Источник ЭДС также называется: источник
напряжения или генератор.
Схема источника энергии и подключённая
к ней нагрузка показаны на рисунке 1.12.
Она хорошо известна из курса физики
средней школы.
В соответствии с законом Ома для полной
цепи:
E = I
(R+r) = IR + Ir = U + Ir
I = E/(R+r)
Напряжение на нагрузке U
меньше напряжения ЭДС Е на величину Ir.
Таким образом, на внутреннем сопро-тивлении
r теряется полезная мощность.
Важными являются два состояния цепи.
1)R→ ∞ => I=0=>U=E–
режим холостого хода (ХХ).
2)R→0 => U =
0 , I = Е/r =
Iкз – режим короткого
замыкания (КЗ), ток Iкз
называется ток короткого замыкания.
В обоих случаях мощность на нагрузке
не выделяется.
В подавляющем большинстве случаев
потребитель использует выходное
напряжение U, поэтому, чтобы на внутреннем
сопротивлении r не терялась мощность,
желательно выполнение условия r « R, т.
е. сопротивление нагрузки R
должно быть велико.
Схему реального источника ЭДС можно
заменить эквивалентной схемой источника
тока, как показано на рисунке 1.13.
Источник тока J даёт ток, который не
зависит от сопротивления нагрузки и
всегда равен J. Рассмотрим, как преобразовать
схему 1.12 в схему 1.13.
Как было показано раньше, E = U + Ir. Разделим
обе части на r. Получим:
E/r = U/r + I.
В схеме на рис. 13: J = I0
+ I
Таким образом, схемы будут эквивалентны,
если
J = E/r = Iкз
Чтобы уменьшить потери энергии на
внутреннем сопротивлении r, нужно
выполнение условия r »R.
Идеальный
источник ЭДС обладает следующими
свойствами:
1) Внутреннее сопротивление равно нулю:
r = 0;
2) Напряжение на зажимах идеального
источника ЭДС всегда равно Е и не зависит
от сопротивления нагрузки R;
3) Ток через источник ЭДС определяется
только сопротивлением нагрузки R: I =
E/R;
4) Для идеального источника ЭДС невозможен
режим короткого замыкания (т. к. при r =
0, I = ∞);
5) Идеальный источник ЭДС невозможно
преобра-зовать в идеальный источник
тока.
Идеальный источник тока
Свойства идеального источника тока:
1) Внутреннее сопротивление идеального
источника тока бесконечно: r = ∞;
2) Ток через идеальный источник тока
всегда равен J и не зависит
от сопротивления нагрузки R;
3) Напряжение на нагрузке определяется
только сопротивлением нагрузки R: U
= JR;
4) Для идеального источника тока невозможен
режим холостого хода (т. к. при r = ∞, U=
Jr = ∞);
5) Идеальный источник тока невозможно
преобразо-вать в идеальный источник
ЭДС.
Идеальных источников тока и напряжения
не существует, однако, во многих случаях,
источник энергии можно считать идеальным.
При r « R можно считать источник идеальным
источником ЭДС, а при r » R
– идеальным источником тока.
Соединение
источников ЭДС
Несколько последовательно соединённых
источников ЭДС можно заменить одним
эквивалентным источником, как показано
на рисунке 1.14.
Внутреннее сопротивление эквивалентного
источ-ника Rэкв, как обычно при
последовательном соединении, равно
сумме внутренних сопротивлений всех
источников.
Rэкв = R1 + R2+ R3
Напряжение эквивалентного источника
ЭДС равно алгебраической сумме источников.
При совпадении направлений – знак «+»,
в противном случае – знак «-». В данном
случае:
Еэкв = Е1 — Е2 + Е3
В случае идеальных источников ЭДС,
очевидно, все сопротивления равны нулю
и Rэкв= 0.
Параллельное соединение идеальных
источников ЭДС невозможно по определению.
В случае реальных ис-точников аналогично:
несколько параллельно соединён-ных
источников ЭДС можно заменить одним
эквива-лентным источником, как показано
на рисунке 1.15.
Рисунок 1.15 — Параллельное соединение
нескольких источников ЭДС
Внутреннее сопротивление эквивалентного
источ-ника Rэкв, определяется как
обычно при параллельном соединении.
Эквивалентная проводимость равна сумме
проводимостей всех источников.
Gэкв =
=
G1+ G2+
G3, Rэкв =
1/ Gэкв
Эквивалентная ЭДС определяется по
следующей формуле (в математике обычно
используется термин «средневзвешенное
значение»):
Соединение
идеальных источников тока
Источники тока применяются достаточно
редко, поэтому ограничимся рассмотрением
только идеальных источников тока.
Последовательное соединение идеальных
источни-ков тока по определению
невозможно.
При параллельном соединении несколько
источни-ков можно заменить одним
эквивалентным, ток J которо-го равен
алгебраической сумме токов источников.