Как найти экстремальные точки функции

Содержание:

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции то либо не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть — критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную в самой точке . Если то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

Так как то критические точки функции и Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Площадь площадки равна Пусть у — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). откуда Поскольку — единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При значит, в точке функция S имеет максимум. Значение функции

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Мы знаем объем цилиндра Значит, Находим производную этой функции:следовательно,

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки  называется любой промежуток, для которого  является внутренней точкой.

Точка  называется точкой минимума (максимума) функции  если для всех  из некоторой окрестности точки  выполняется неравенство 

Точки минимума и максимума обозначают  соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их: 

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции  точка  является точкой максимума (рис. 77). Её максимум: 

Для функции  точка  является точкой минимума (рис. 78). Её минимум: 

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки:  — точки максимума;  и  — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция  непрерывна на промежутке  и  — её критическая точка,  Тогда: точка  при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции  отрицательная, то при переходе через точку  возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае  — точка максимума. Если же при переходе через точку  убывание функции изменяется на возрастание, то  — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке  равна нулю, а слева и справа от  производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то  не является точкой экстремума.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №552

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции 

Решение:

 

Критические точки функции:  При переходе через точку  производная меняет знаке  поэтому  —точка максимума. При переходе через точку  производная меняет знак с  поэтому  — точка минимума (рис. 82).

Ответ.

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

1. найти область определения функции;
2. исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
3. найти точки пересечения графика функции с осями координат;
4. исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
5. найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
6. найти асимптоты графика функции;
7. построить график функции.

Пример №553

Исследуйте функцию  и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме  Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение  не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось  Ось  он пересекает в точке с ординатой 

Критические точки: 

Составим и заполним таблицу.

На промежутках  функция возрастает, на промежутках   функция убывает.  — точка максимума,    —точка минимума,  

Область значений функции: 

График функции имеет вертикальную асимптоту  так как 

График этой функции изображён на рисунке 83.

Пример №554

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке  А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки  функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки  Чётная функция может. Например, функция 

Пример №555

Существуют ли такие числа  при которых имеет экстремум функция 

Решение:

При любых действительных значениях  В каждой точке производная данной функции неотрицательная. Функция возрастает на  поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Пример №556

Исследуйте функцию  и постройте её график.

Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке 

3) если  — график пересекает оси координат только в точке 

4) Найдём производную функции:

Очевидно, что  для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков  и не имеет максимумов и минимумов.

Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:

График функции имеет вертикальные асимптоты  и  (Убедитесь самостоятельно.)

График функции изображён на рисунке 84.

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок № 16. Экстремумы функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку  х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

2) Найти f’ (x).

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

экстремума.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

• Точку х = х₀ называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀).
• Точку х = х₀ называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х² -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

2x-8=0

х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t² − 48t + 15, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени. 

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc

Ответ: V=12 мc

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3

Экстремумы функции.

Точка х₀называетсяточкой максимума(минимума)
функцииf(х), если в некоторой
окрестности точки х₀выполняется
неравенствоf(х) ≤f(х₀)
(f(х) ≥f(х₀)).

Значение функции в
этой точке называется соответственно
максимумомилиминимумомфункции.
Максимум и минимум функции объединяются
общим названиемэкстремумафункции.

Экстремум функции в
этом смысле часто называют локальным
экстремумом, подчеркивая тот факт,
что это понятие связано лишь с достаточно
малой окрестностью точки х₀. На
одном и том же промежутке функция может
иметь несколько локальных максимумов
и минимумов, которые не обязательно
совпадают сглобальным максимумомилиминимумом(т.е. наибольшим или
наименьшим значением функции на всем
промежутке).

Необходимое
условие экстремума. Для того,
чтобы функция имела экстремум в точке,
необходимо, чтобы ее производная в этой
точке равнялась нулю или не существовала.

Для дифференцируемых
функций это условие вытекает из теоремы
Ферма. Кроме того, оно предусматривает
и случай, когда функция имеет экстремум
в точке, в которой она не дифференцируема.

Точки, в которых
выполнено необходимое условие экстремума,
называются критическими(илистационарнымидля дифференцируемой
функции). Эти точки должны входить в
область определения функции.

Таким образом, если в
какой-либо точке имеется экстремум, то
эта точка критическая (необходимость
условия). Заметим, что обратное утверждение
неверно. Критическая точка вовсе не
обязательно является точкой экстремума,
т.е. сформулированное условие не является
достаточным.

Первое
достаточное условие экстремума.
Если при переходе через некоторую точку
производная дифференцируемой функции
меняет свой знак с плюса на минус, то
это точка максимума функции, а если с
минуса на плюс, — то точка минимума.

Доказательство этого
условия вытекает из достаточного условия
монотонности (при изменении знака
производной происходит переход либо
от возрастания функции к убыванию, либо
от убывания к возрастанию).

Второе
достаточное условие экстремума.
Если первая производная дважды
дифференцируемой функции в некоторой
точке равна нулю, а вторая производная
в этой точке положительна, то это точка
минимума функции; а если вторая производная
отрицательна, то это точка максимума.

Доказательство этого
условия также основано на достаточном
условии монотонности. В самом деле, если
вторая производная положительна, то
первая производная является возрастающей
функцией. Поскольку в рассматриваемой
точке она равна нулю, следовательно,
при переходе через нее она меняет знак
с минуса на плюс, что возвращает нас к
первому достаточному условию локального
минимума. Аналогично если вторая
производная отрицательна, то первая
убывает и меняет знак с плюса на минус,
что является достаточным условием
локального максимума.

Исследование
функции на экстремумв
соответствии со сформулированными
теоремами включает следующие этапы:

1. Найти первую
производную функции f`(x).

2. Проверить выполнение
необходимого условия экстремума, т.е.
найти критические точки функции f(x),
в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Проверить выполнение
достаточного условия экстремума, т.е.
либо исследовать знак производной слева
и справа от каждой критической точки,
либо найти вторую производную f«(x) и определить ее знак
в каждой критической точке. Сделать
вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы
(экстремальные значения) функции.

Нахождение
глобального максимума и минимума функциина некотором промежутке также имеет
большое прикладное значение. Решение
этой задачи на отрезке основано на
теореме Вейерштрасса, в соответствии
с которой непрерывная функция принимает
на отрезке свои наибольшее и наименьшее
значения. Они могут достигаться как в
точках экстремума, так и на концах
отрезка. Поэтому решение включает
следующие этапы:

1. Найти производную
функции f`(x).

2. Найти критические
точки функции f(x),
в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Найти значения
функции в критических точках и на концах
отрезка и выбрать из них наибольшее и
наименьшее.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью