Как найти экстремум функции двух переменных онлайн

Экстремум функции двух переменных

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор используется для нахождения в онлайн режиме наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных (см. пример). Решение оформляется в формате Word.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Для функции трех переменных можно использовать матрицу Гессе.

Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум

Функция z = f(x,y) имеет максимум в точке M0(x0;y0), если f(x0;y0) > f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x0;y0) и отличных от неё. Функция z = f(x,y) имеет минимум в точке M0(x0;y0), если f(x0;y0) < f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x0;y0) и отличных от неё. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.

1. Находят частные производные dz/dx и dz/dy.

2. Решают систему уравнений:

и таким образом находят критические точки функции.

3. Находят частные производные второго порядка:

4. Вычисляют значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 критических точках M(x0;y0).

5. Делаю вывод о наличии экстремумов:

а) если AC – B2 > 0 и A < 0 , то в точке M имеется максимум;

б) если AC – B2 > 0 и A > 0 , то в точке M имеется минимум;

в) если AC – B2 < 0, то экстремума нет;

г) если AC – B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;

Пример №1. Найти экстремумы функции f(x,y)=x3+xy2+x2+y2 и определить по критерию Сильвестра их тип.

Решение.

1. Найдем первые частные производные.





2. Решим систему уравнений.

3x2+2x+y2=0

2xy+2y=0

Получим:

а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:

x = -1

y2+1=0

Данная система уравнений не имеет решения.

б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:





или





или

Откуда x1 = -2/3; x2 = 0; x3 = -2/3; x4 = 0

Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y1 = 0; y2 = 0; y3 = 0; y4 = 0

Количество критических точек равно 2: M1(-2/3;0), M2(0;0)

3. Найдем частные производные второго порядка.







4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).

Вычисляем значения для точки M1(-2/3;0)







AC — B2 = -4/3 < 0, то глобального экстремума нет.

Вычисляем значения для точки M2(0;0)







AC — B2 = 4 > 0 и A > 0 , то в точке M2(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0

Вывод: В точке M2(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0

Пример №2. Исследовать функцию на экстремум классическим методом: Z=8x2+2xy-5x+6.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Источник
bold{mathrm{Basic}} bold{alphabetagamma} bold{mathrm{ABGamma}} bold{sincos} bold{gedivrightarrow} bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} bold{sumspaceintspaceproduct} bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx}
ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square}
left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec
alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu
nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega
A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M
N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega
sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech
arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech
begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge
(square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} — twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil
overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset
vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete
int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod
lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{»} frac{partial}{partial x}
(2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5)
(1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1)
mathrm{Радианы} mathrm{Степени} square! ( ) % mathrm{очистить}
arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div
arccos cos ln 4 5 6 times
arctan tan log 1 2 3 —
pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Подписаться

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

  • extreme:f(x,y)=3x^{2}y+y^{3}−3x^{2}−3y^{2}+2

  • extreme:f(x,y)=x^{2}+y^{2}

Описание

Шаг за шагом найдите экстремальные и седловые точки функций с несколькими переменными

multi-var-function-extreme-points-calculator

ru

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

  • Advanced Math Solutions – Ordinary Differential Equations Calculator, Exact Differential Equations

    In the previous posts, we have covered three types of ordinary differential equations, (ODE). We have now reached…

    Read More

    • Введите Задачу

    Сохранить в блокнот!

    Войти

    Источник

    Ключевые слова: калькулятор экстремумов, найти экстремум функции двух переменных, частные производные первого и второго порядков, стационарные точки, калькулятор частных производных.

    Пример 1. Исследовать на экстремум функцию:

    Алгоритм решения следующий:

    1) находим частные производные первого порядка:

    Примечание: найти частные производные онлайн  (первого и второго порядка) можно с помощью калькулятора.

    2). Решаем систему уравнений:

    и таким образом находим стационарные точки функции.

    Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками.

    Для данного примера  получаем систему уравнений:

    стационарная точка: (-1;1)

    3) Находим вторые частные производные

    Вычисляем значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 стационарных точках M(x0;y0).

    Для данного примера, получаем

    4) Делаем вывод о наличии экстремумов:
    а) если AC – B2 > 0 и A < 0 , то в точке M имеется максимум;
    б) если AC – B2 > 0 и A > 0 , то в точке M имеется минимум;
    в) если AC – B2 < 0, то экстремума нет;
    г) если AC – B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;

    Тогда в точке    x=-1, y=1

    Следовательно в точке x=-1, y=1 функция имеет локальный минимум

    Ответ: min{z}=0

    Проверить правильность решения можно с помощью калькулятора «экстремум функции».

    Источник

    Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

    Экстремум функции двух переменных

    Как найти?

    Постановка задачи

    Найти экстремум функции двух переменных $ z = z(x,y) $

    План решения

    Экстремумы функции двух переменных возможны в стационарных точках функции. Стационарными точками называются точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)… $, в которых первые частные производные функции равны нулю: $ z(x,y) = 0 $

    Для нахождения стационарных точек (подозрительных на экстремум) составляем систему:

    $$ begin{cases} z’_x = 0 \ z’_y = 0 end{cases} $$

    Решая систему получаем точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)… $, каждую из которых нужно проверить на экстремум.

    Проверку осуществляется с помощью подстановки точек в выражение, называемое достаточным условием существования экстремума:

    $$ A = z»_{xx} cdot z»_{yy} — (z»_{xy})^2 $$

    Если в точке $ M(x_1,y_1) $:

    1. $ A>0 $ и $ z»_{xx} > 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка минимума
    2. $ A >0 $ и $ z»_{xx} < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка максимума
    3. $ A < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ не является точкой экстремума
    4. $ A = 0 $, то требуется дополнительное исследование (по определению)

    Итак, необходимо выполнить действия:

    1. Найти частные производные первого порядка. Приравнять их к нулю и решить систему уравнений. Получить точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $
    2. Найти частные производные второго порядка в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $
    3. Используя достаточное условие существования экстремума делаем вывод о наличии экстремума в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $

    Примеры решений

    Пример 1
    Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x^2 -xy +y^2 $
    Решение

    Находим частные производные первого порядка:

    $$ z’_x = 2x — y $$ $$ z’_y = -x + 2y $$

    Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему двух уравнений:

    $$ begin{cases} 2x-y = 0 \ -x + 2y = 0 end{cases} $$

    Решив систему получаем стационарную точку (подозрительные на экстремум):

    $$ M (0,0) $$

    Далее вычисляем значения частных производных второго порядка в точке $ M $:

    $$ z»_{xx} Big |_M = 2 $$ $$ z»_{yy} Big |_M= 2 $$ $$ z»_{xy} Big |_M = -1 $$

    Подставляя найденные значения в достаточное условие экстремума функции, проводим исследование знаков:

    $$ A = Big |_M = z»_{xx} Big |_M cdot z»_{yy} Big |_M — (z»_{xy} Big |_M)^2 = 2 cdot 2 — (-1)^2 = 3 $$

    Так как получили $ A > 0 $ и $ z»_{xx} > 0 $, то получается $ M(0,0) $ точка минимума.

    Наименьшее значение находится в минимуме и равно:

    $$ z_{min} (0,0) = 0^2 — 0 cdot 0 + 0^2 = 0 $$

    Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
    Ответ
    В точке $ M(0,0) $ находится минимум функции; $ z_{min} = 0 $
    Пример 2
    Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x^3 + y^3 — 15xy $
    Решение

    Составляем систему уравнений из частных производных первого порядка:

    $$ begin{cases} z’_x = 3x^2 — 15y = 0 \ z’_y = 3y^2 — 15x =0 end{cases} $$

    Получаем стационарные точки $ M_1(0,0) $ и $ M_2(5,5) $, которые необходимо проверить через достаточное условие экстремума.

    Вычисляем значение частных прозводных второго порядка в точке $ M_1 $:

    $$ z»_{xx} Big |_{M_1} = 6x Big |_{M_1} = 0 $$

    $$ z»_{yy} Big |_{M_1} = 6y Big |_{M_2} = 6y Big |_{M_2} = 0 $$

    $$ z»_{xy} Big |_{M_1} = -15 $$

    Подставляем данные значения в формулу достаточного условия экстремума:

    $$ A Big |_{M_1} = 0 cdot 0 — (-15)^2 = -225 $$

    Так как $ A < 0 $, то в точке $ M_1(0,0) $ экстремума нет.

    Получаем значения частных производных 2 порядка в $ M_2 $:

    $$ z»_{xx} Big |_{M_2} = 6x Big |_{M_2} = 6 cdot 5 = 30 $$

    $$ z»_{yy} Big |_{M_2} = 6y Big |_{M_2} = 6 cdot 5 = 30 $$

    $$ z»_{xy} Big |_{M_2} = -15 $$

    Вычисляем значение выражения достаточного условия экстремума:

    $$ A = 30 cdot 30 — (-15)^2 = 900 — 225 = 675 $$

    Получили $ A > 0 $ и $ z»_{xx} > 0 $, то значит, $ M_2(5,5) $ точка минимума.

    Наименьшее значение функции $ z = x^3 + y^3 — 15xy $ равно:

    $$ z_{min} |_{M_2} = 5^3 + 5^3 — 15 cdot 5 cdot 5 = 125 + 125 — 375 = -125 $$
    Ответ
    В $ M_1 (0,0) $ экстремума нет, в $ M_2(5,5) $ минимум функции $ z_{min}=-125 $ 
    Источник

    Экстремум функции двух переменных. Примеры исследования функций на экстремум.

    Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Говорят, что $(x_0,y_0)$ – точка (локального) максимума, если для всех точек $(x,y)$ некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ выполнено неравенство $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)> f(x_0,y_0)$, то точку $(x_0,y_0)$ называют точкой (локального) минимума.

    Точки максимума и минимума часто называют общим термином – точки экстремума.

    Если $(x_0,y_0)$ – точка максимума, то значение функции $f(x_0,y_0)$ в этой точке называют максимумом функции $z=f(x,y)$. Соответственно, значение функции в точке минимума именуют минимумом функции $z=f(x,y)$. Минимумы и максимумы функции объединяют общим термином – экстремумы функции.

    Алгоритм исследования функции $z=f(x,y)$ на экстремум

    1. Найти частные производные $frac{partial z}{partial x}$ и $frac{partial z}{partial y}$. Составить и решить систему уравнений $
      left { begin{aligned}
      & frac{partial z}{partial x}=0;\
      & frac{partial z}{partial y}=0.
      end{aligned} right.$. Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными.
    2. Найти $frac{partial^2z}{partial x^2}$, $frac{partial^2z}{partial xpartial y}$, $frac{partial^2z}{partial y^2}$ и вычислить значение $Delta=frac{partial^2z}{partial x^2}cdot frac{partial^2z}{partial y^2}-left(frac{partial^2z}{partial xpartial y} right)^2$ в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:
      1. Если $Delta > 0$ и $frac{partial^2z}{partial x^2} > 0$ (или $frac{partial^2z}{partial y^2} > 0$), то в исследуемая точка есть точкой минимума.
      2. Если $Delta > 0$ и $frac{partial^2z}{partial x^2} < 0$ (или $frac{partial^2z}{partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
      3. Если $Delta < 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
      4. Если $Delta = 0$, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя; требуется дополнительное исследование.

    Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть

    Пример №1

    Исследовать на экстремум функцию $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$.

    Решение

    Будем следовать указанному выше алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:

    $$
    frac{partial z}{partial x}=8x-6y-34; frac{partial z}{partial y}=-6x+10y+42.
    $$

    Составим систему уравнений $ left { begin{aligned}
    & frac{partial z}{partial x}=0;\
    & frac{partial z}{partial y}=0.
    end{aligned} right.$:

    $$
    left { begin{aligned}
    & 8x-6y-34=0;\
    & -6x+10y+42=0.
    end{aligned} right.
    $$

    Сократим каждое уравнение этой системы на $2$ и перенесём числа в правые части уравнений:

    $$
    left { begin{aligned}
    & 4x-3y=17;\
    & -3x+5y=-21.
    end{aligned} right.
    $$

    Мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Мне в этой ситуации кажется наиболее удобным применение метода Крамера для решения полученной системы.

    $$ begin{aligned}
    & Delta=left| begin{array} {cc} 4 & -3\ -3 & 5 end{array}right|=4cdot 5-(-3)cdot (-3)=20-9=11;\
    & Delta_x=left| begin{array} {cc} 17 & -3\ -21 & 5 end{array}right|=17cdot 5-(-3)cdot (-21)=85-63=22;\
    & Delta_y=left| begin{array} {cc} 4 & 17\ -3 & -21 end{array}right|=4cdot (-21)-17cdot (-3)=-84+51=-33.end{aligned} \
    x=frac{Delta_{x}}{Delta}=frac{22}{11}=2; ; y=frac{Delta_{y}}{Delta}=frac{-33}{11}=-3.
    $$

    Значения $x=2$, $y=-3$ – это координаты стационарной точки $(2;-3)$. Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

    $$
    frac{partial^2 z}{partial x^2}=8; frac{partial^2 z}{partial y^2}=10; frac{partial^2 z}{partial x partial y}=-6.
    $$

    Вычислим значение $Delta$:

    $$
    Delta=frac{partial^2z}{partial x^2}cdot frac{partial^2z}{partial y^2}-left(frac{partial^2z}{partial xpartial y} right)^2=
    8cdot 10-(-6)^2=80-36=44.
    $$

    Так как $Delta > 0$ и $frac{partial^2 z}{partial x^2} > 0$, то согласно алгоритму точка $(2;-3)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $(2;-3)$:

    $$
    z_{min}=z(2;-3)=4cdot 2^2-6cdot 2 cdot (-3)-34cdot 2+5cdot (-3)^2+42cdot (-3)+7=-90.
    $$

    Ответ: $(2;-3)$ – точка минимума; $z_{min}=-90$.

    Пример №2

    Исследовать на экстремум функцию $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$.

    Решение

    Будем следовать указанному выше алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:

    $$
    frac{partial z}{partial x}=3x^2+3y^2-15; frac{partial z}{partial y}=6xy-12.
    $$

    Составим систему уравнений $ left { begin{aligned}
    & frac{partial z}{partial x}=0;\
    & frac{partial z}{partial y}=0.
    end{aligned} right.$:

    $$
    left { begin{aligned}
    & 3x^2+3y^2-15=0;\
    & 6xy-12=0.
    end{aligned} right.
    $$

    Сократим первое уравнение на 3, а второе – на 6.

    $$
    left { begin{aligned}
    & x^2+y^2-5=0;\
    & xy-2=0.
    end{aligned} right.
    $$

    Если $x=0$, то второе уравнение приведёт нас к противоречию: $0cdot y-2=0$, $-2=0$. Отсюда вывод: $xneq 0$. Тогда из второго уравнения имеем: $xy=2$, $y=frac{2}{x}$. Подставляя $y=frac{2}{x}$ в первое уравнение, будем иметь:

    $$
    x^2+left(frac{2}{x} right)^2-5=0;\
    x^2+frac{4}{x^2}-5=0;\
    x^4-5x^2+4=0.
    $$

    Получили биквадратное уравнение. Делаем замену $t=x^2$ (при этом имеем в виду, что $t > 0$):

    $$
    t^2-5t+4=0;\
    begin{aligned}
    & D=(-5)^2-4cdot 1 cdot 4=9;\
    & t_1=frac{-(-5)-sqrt{9}}{2}=frac{5-3}{2}=1;\
    & t_2=frac{-(-5)+sqrt{9}}{2}=frac{5+3}{2}=4.end{aligned}
    $$

    Если $t=1$, то $x^2=1$. Отсюда имеем два значения $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Если $t=4$, то $x^2=4$, т.е. $x_3=2$, $x_4=-2$. Вспоминая, что $y=frac{2}{x}$, получим:

    begin{aligned}
    & y_1=frac{2}{x_1}=frac{2}{1}=2;\
    & y_2=frac{2}{x_2}=frac{2}{-1}=-2;\
    & y_3=frac{2}{x_3}=frac{2}{2}=1;\
    & y_4=frac{2}{x_4}=frac{2}{-2}=-1.
    end{aligned}

    Итак, у нас есть четыре стационарные точки: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. На этом первый шаг алгоритма закончен.

    Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

    $$
    frac{partial^2 z}{partial x^2}=6x; frac{partial^2 z}{partial y^2}=6x; frac{partial^2 z}{partial x partial y}=6y.
    $$

    Найдём $Delta$:

    $$
    Delta=frac{partial^2z}{partial x^2}cdot frac{partial^2z}{partial y^2}-left(frac{partial^2z}{partial xpartial y} right)^2=
    6xcdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2).
    $$

    Теперь будем вычислять значение $Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(1;2)$. В этой точке имеем:

    $$Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108.$$

    Так как $Delta(M_1) < 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

    Исследуем точку $M_2(-1;-2)$. В этой точке имеем:

    $$Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108.$$

    Так как $Delta(M_2) < 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

    Исследуем точку $M_3(2;1)$. В этой точке получим:

    $$
    Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;;; left.frac{partial^2 z}{partial x^2}right|_{M_3}=6cdot 2=12.
    $$

    Так как $Delta(M_3) > 0$ и $left.frac{partial^2 z}{partial x^2}right|_{M_3} > 0$, то согласно алгоритму $M_3(2;1)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:

    $$
    z_{min}=z(2;1)=2^3+3cdot 2cdot 1^2-15cdot 2-12cdot 1+1=-27.
    $$

    Осталось исследовать точку $M_4(-2;-1)$. В этой точке получим:

    $$
    Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;;; left.frac{partial^2 z}{partial x^2}right|_{M_4}=6cdot (-2)=-12.
    $$

    Так как $Delta(M_4) > 0$ и $left.frac{partial^2 z}{partial x^2}right|_{M_4} < 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

    $$
    z_{max}=z(-2;-1)=(-2)^3+3cdot (-2)cdot (-1)^2-15cdot (-2)-12cdot (-1)+1=29.
    $$

    Исследование на экстремум завершено. Осталось лишь записать ответ.

    Ответ:

    • $(2;1)$ – точка минимума, $z_{min}=-27$;
    • $(-2;-1)$ – точка максимума, $z_{max}=29$.

    Примечание

    Вычислять значение $Delta$ в общем случае нет необходимости, потому что нас интересует лишь знак, а не конкретное значение данного параметра. Например, для рассмотренного выше примера №2 в точке $M_3(2;1)$ имеем $Delta=36cdot(2^2-1^2)$. Здесь очевидно, что $Delta > 0$ (так как оба сомножителя $36$ и $(2^2-1^2)$ положительны) и можно не находить конкретное значение $Delta$. Правда, для типовых расчётов это замечание бесполезно, – там требуют довести вычисления до числа :)

    Пример №3

    Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$.

    Решение

    Будем следовать алгоритму. Для начала найдём частные производные первого порядка:

    $$
    frac{partial z}{partial x}=4x^3-4x+4y; frac{partial z}{partial y}=4y^3+4x-4y.
    $$

    Составим систему уравнений $ left { begin{aligned}
    & frac{partial z}{partial x}=0;\
    & frac{partial z}{partial y}=0.
    end{aligned} right.$:

    $$
    left { begin{aligned}
    & 4x^3-4x+4y=0;\
    & 4y^3+4x-4y=0.
    end{aligned} right.
    $$

    Сократим оба уравнения на $4$:

    $$
    left { begin{aligned}
    & x^3-x+y=0;\
    & y^3+x-y=0.
    end{aligned} right.
    $$

    Добавим к второму уравнению первое и выразим $y$ через $x$:

    $$
    y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\
    y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x.
    $$

    Подставляя $y=-x$ в первое уравнение системы, будем иметь:

    $$
    x^3-x-x=0;\
    x^3-2x=0;\
    x(x^2-2)=0.
    $$

    Из полученного уравнения имеем: $x=0$ или $x^2-2=0$. Из уравнения $x^2-2=0$ следует, что $x=-sqrt{2}$ или $x=sqrt{2}$. Итак, найдены три значения $x$, а именно: $x_1=0$, $x_2=-sqrt{2}$, $x_3=sqrt{2}$. Так как $y=-x$, то $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=sqrt{2}$, $y_3=-x_3=-sqrt{2}$.

    Первый шаг решения окончен. Мы получили три стационарные точки: $M_1(0;0)$, $M_2(-sqrt{2},sqrt{2})$, $M_3(sqrt{2},-sqrt{2})$.

    Теперь приступим ко второму шагу алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

    $$
    frac{partial^2 z}{partial x^2}=12x^2-4; frac{partial^2 z}{partial y^2}=12y^2-4; frac{partial^2 z}{partial x partial y}=4.
    $$

    Найдём $Delta$:

    $$
    Delta=frac{partial^2z}{partial x^2}cdot frac{partial^2z}{partial y^2}-left(frac{partial^2z}{partial xpartial y} right)^2=
    (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\
    =4(3x^2-1)cdot 4(3y^2-1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1).
    $$

    Теперь будем вычислять значение $Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(0;0)$. В этой точке имеем:

    $$Delta(M_1)=16cdot((3cdot 0^2-1)(3cdot 0^2-1)-1)=16cdot 0=0.$$

    Так как $Delta(M_1) = 0$, то согласно алгоритму требуется дополнительное исследование, ибо ничего определённого про наличие экстремума в рассматриваемой точке сказать нельзя. Оставим покамест эту точку в покое и перейдём в иным точкам.

    Исследуем точку $M_2(-sqrt{2},sqrt{2})$. В этой точке получим:

    begin{aligned}
    & Delta(M_2)=16cdot((3cdot (-sqrt{2})^2-1)(3cdot (sqrt{2})^2-1)-1)=16cdot 24=384;\
    & left.frac{partial^2 z}{partial x^2}right|_{M_2}=12cdot (-sqrt{2})^2-4=24-4=20.
    end{aligned}

    Так как $Delta(M_2) > 0$ и $left.frac{partial^2 z}{partial x^2}right|_{M_2} > 0$, то согласно алгоритму $M_2(-sqrt{2},sqrt{2})$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_2$:

    $$
    z_{min}=z(-sqrt{2},sqrt{2})=(-sqrt{2})^4+(sqrt{2})^4-2(-sqrt{2})^2+4cdot (-sqrt{2})sqrt{2}-2(sqrt{2})^2+3=-5.
    $$

    Аналогично предыдущему пункту исследуем точку $M_3(sqrt{2},-sqrt{2})$. В этой точке получим:

    begin{aligned}
    & Delta(M_3)=16cdot((3cdot (sqrt{2})^2-1)(3cdot (-sqrt{2})^2-1)-1)=16cdot 24=384;\
    & left.frac{partial^2 z}{partial x^2}right|_{M_3}=12cdot (sqrt{2})^2-4=24-4=20.
    end{aligned}

    Так как $Delta(M_3) > 0$ и $left.frac{partial^2 z}{partial x^2}right|_{M_3} > 0$, то согласно алгоритму $M_3(sqrt{2},-sqrt{2})$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:

    $$
    z_{min}=z(sqrt{2},-sqrt{2})=(sqrt{2})^4+(-sqrt{2})^4-2(sqrt{2})^2+4cdot sqrt{2}(-sqrt{2})-2(-sqrt{2})^2+3=-5.
    $$

    Настал черёд вернуться к точке $M_1(0;0)$, в которой $Delta(M_1) = 0$. Согласно алгоритму требуется дополнительное исследование. Под этой уклончивой фразой подразумевается «делайте, что хотите» :). Общего способа разрешения таких ситуаций нет, – и это понятно. Если бы такой способ был, то он давно бы вошёл во все учебники. А покамест приходится искать особый подход к каждой точке, в которой $Delta = 0$. Ну что же, поисследуем поведение функции в окрестности точки $M_1(0;0)$. Сразу отметим, что $z(M_1)=z(0;0)=3$. Предположим, что $M_1(0;0)$ – точка минимума. Тогда для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) > z(M_1) $, т.е. $z(M) > 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) < 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

    Рассмотрим точки, у которых $y=0$, т.е. точки вида $(x,0)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:

    $$
    z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4xcdot 0-2cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x^2-2)+3.
    $$

    В всех достаточно малых окрестностях $M_1(0;0)$ имеем $x^2-2 < 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

    Но, может быть, точка $M_1(0;0)$ – точка максимума? Если это так, то для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) < z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) > 3$? Тогда в точке $M_1$ точно не будет максимума.

    Рассмотрим точки, у которых $y=x$, т.е. точки вида $(x,x)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:

    $$
    z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4xcdot x-2cdot x^2+3=2x^4+3.
    $$

    Так как в любой окрестности точки $M_1(0;0)$ имеем $2x^4 > 0$, то $2x^4+3 > 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z > 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой максимума.

    Точка $M_1(0;0)$ не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Вывод: $M_1$ вообще не является точкой экстремума.

    Ответ: $(-sqrt{2},sqrt{2})$, $(sqrt{2},-sqrt{2})$ – точки минимума функции $z$. В обеих точках $z_{min}=-5$.

    Источник

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить маршрут автодороги
  • Как найти определители матрицы пример
  • Как найти длину хорды через диаметр
  • Как найти хост на планшете
  • Как составить отчет по реализуемому товару