Как найти экстремум функции формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции то либо не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть — критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную в самой точке . Если то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

Так как то критические точки функции и Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Площадь площадки равна Пусть у — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). откуда Поскольку — единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При значит, в точке функция S имеет максимум. Значение функции

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Мы знаем объем цилиндра Значит, Находим производную этой функции:следовательно,

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки называется любой промежуток, для которого является внутренней точкой.

Точка называется точкой минимума (максимума) функции если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

Точки минимума и максимума обозначают соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их:

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции точка является точкой максимума (рис. 77). Её максимум:

Для функции точка является точкой минимума (рис. 78). Её минимум:

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: — точки максимума; и — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция непрерывна на промежутке и — её критическая точка, Тогда: точка при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции отрицательная, то при переходе через точку возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае — точка максимума. Если же при переходе через точку убывание функции изменяется на возрастание, то — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке равна нулю, а слева и справа от производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то не является точкой экстремума.

Заказать решение задач по высшей математике

Пример №552

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции

Решение:

Критические точки функции: При переходе через точку производная меняет знаке поэтому —точка максимума. При переходе через точку производная меняет знак с поэтому — точка минимума (рис. 82).

Ответ.

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

найти область определения функции;
исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
найти точки пересечения графика функции с осями координат;
исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
найти асимптоты графика функции;
построить график функции.

Пример №553

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось Ось он пересекает в точке с ординатой

Критические точки:

Составим и заполним таблицу.

На промежутках функция возрастает, на промежутках функция убывает. — точка максимума, —точка минимума,

Область значений функции:

График функции имеет вертикальную асимптоту так как

График этой функции изображён на рисунке 83.

Пример №554

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки Чётная функция может. Например, функция

Пример №555

Существуют ли такие числа при которых имеет экстремум функция

Решение:

При любых действительных значениях В каждой точке производная данной функции неотрицательная. Функция возрастает на поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Пример №556

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение.

2) Функция — нечётная, поскольку

Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке

3) если — график пересекает оси координат только в точке

4) Найдём производную функции:

Очевидно, что для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков и не имеет максимумов и минимумов.

Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:

График функции имеет вертикальные асимптоты и (Убедитесь самостоятельно.)

График функции изображён на рисунке 84.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Скалярное произведение и его свойства
Векторное и смешанное произведения векторов
Преобразования декартовой системы координат
Определитель матрицы
Критерий совместности Кронекера-Капелли
Формулы Крамера
Матричный метод

Источник

Что такое функция

Как обычно, начнем мы с самого начала: с определения слова «функция».

Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Под функцией понимают правило, формулу, уравнение, которое описывает зависимость одной переменной от другой (например, у от х). Если изучить функцию, мы поймем:

как изменится одна переменная, если другая увеличится;
что произойдет с аргументом, если мы уменьшим функцию;
что будет, если мы отобразим эту зависимость графически.

Спойлер: если изобразить зависимость в координатной системе, мы получим график! Давайте рассмотрим некоторые виды функций и графики, которые им соответствуют.

Важное напоминание: функция — это зависимая переменная величина (чаще у), аргумент — независимая переменная (чаще х).

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Возрастание и убывание функции

В исследовании функции особое значение уделяют ее поведению в системе координат — монотонности функции. Функции бывают монотонными, немонотонными и постоянными.

Монотонная функция — функция, которая возрастает или убывает на всем промежутке области определения.

Функцию считают немонотонной, если на промежутке области своего определения она чередует возрастание и убывание.

Постоянная функция, как ясно из названия, постоянна на всем промежутке и представляет собой прямую, параллельную оси x.

Теперь к теме раздела: приведем определение возрастающей и убывающей функции.

Функция называется возрастающей, когда при увеличении аргумента увеличивается и сама функция.

Проще говоря, здесь работает правило «чем больше, тем больше»: чем больше значение х, тем больше и значение у.

Функция считается убывающей, когда при увеличении аргумента функция уменьшается: чем больше х, тем меньше у.

Теперь вы знаете, как понять, что функция возрастает или убывает. Давайте решим пару задач, чтобы разобраться во всем наглядно.

Задача 1

Определите, возрастающая или убывающая функция y = 2x + 3.

1) Найдем область определения функции: х ∈ R.

2) Найдем координаты нескольких точек, которые ей принадлежат.

Мы видим, что функция убывает при любом значении х ≠ 0. Это можно записать так: функция убывает при х∈ (– ∞ ;0) ∪ (0; + ∞). Подытожим эту информацию небольшой схемой.

Возрастание и убывание функции на интервале

Мы еще не закончили с возрастающими и убывающими функциями — эх, если бы все было так просто! Дело в том, что нас, математиков, интересуют вот какие вопросы:

Как найти промежутки возрастания и убывания функции по графику?
Что делать, если просят определить характер на числовом промежутке?
Как определить поведение функции без построения?

Давайте разбираться! Сначала узнаем, как определить характер функции на промежутке:

Подставим значение х из промежутка в функцию.
Проанализируем полученные значения у.
Если при увеличении х увеличивается и у — это промежуток возрастания функции.
Если у уменьшается при увеличении х — это промежуток убывания функции.

Достаточно просто, правда?

Пример

Возьмем функцию y = 4x – 6 и определим ее характер на промежутке [0;2]. Подставим числа из промежутка вместо х в функцию:

у(0) = –6
у(1) = -2
у(2) = 2

Мы видим, что при возрастании х возрастает и значение у, т. е. на этом промежутке функция возрастает.

Точки экстремума, экстремумы функции

Не пугайтесь этих страшных слов! Сейчас разберем их подробнее — это проще, чем кажется.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

На графике выше y min — минимальное значение функции, точка минимума.

Точка минимума — это значение переменной х, при которой функция минимальна.

На том же графике y мах — максимальное значение функции, точка максимума.

Точка максимума — это значение переменной х, при которой функция максимальна.

Иначе точки минимума и максимума в математике принято называть точками экстремума, а значения функции, которые соответствуют точкам экстремума — экстремумами функции.

В точках экстремума функция меняет свой характер. Обратите внимание на рисунок ниже: функция стремительно возрастала до точки максимума, но после нее начала также стремительно уменьшаться. И наоборот, после прохождения точки минимума функция снова начинает возрастать.

Здесь вам может стать интересно: наибольшее/наименьшее значение функции на промежутке — это то же самое или нет. Отвечаем: к сожалению, нет. Эти значения иногда могут совпадать, но часто определяются разными точками.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

У нас есть две новости: хорошая и не очень. Начнем с первой: если использовать достаточные условия возрастания/убывания, можно определить промежутки монотонности функции. И для этого даже не придется строить график! Но здесь нам пригодится производная.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента.

Иначе говоря, производная функции показывает, как быстро увеличивается функция при бесконечно малом увеличении х.

К сожалению, в рамках этой статьи мы не будем долго останавливаться на производных. Как это сделать с помощью таблицы и правил дифференцирования, мы уже разбирали в статье «Таблица производных функций». Советуем почитать!

Достаточные признаки возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала, то функция возрастает на этом интервале;
если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала, то функция убывает на этом интервале.

Составим алгоритм действий, который поможет найти интервалы возрастания и убывания функции:

Найдем область определения функции.
Найдем производную функции.
Решим неравенства ƒ`(x) > 0 и ƒ`(x) < 0 на области определения.
К полученным промежуткам добавим граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.
Проверим достаточные признаки возрастания и убывания функции, подставив значения из промежутков.

Задача 3

Укажите промежутки возрастания и убывания функции у = х² + 5х + 6

Решение

Область определения функции: х ∈ R
Найдем производную функции: y’ = 2х + 5
Решим неравенство: 2х + 5 > 0

2х+5 >0
2x>-5
x> –2,5
Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой.

Ответ: Функция убывает при х∈ (– ∞; –2,5], возрастает при х∈ [–2,5; +∞)

Задача 4

Определите интервалы возрастания и убывания функции у = х³ – 18х.

Решение

Область определения функции: х ∈ R.
Найдем производную функции: y’ = 3x² + (–18).
Решим неравенство:

3x² + (–18) > 0
3 (x²–9) > 0
3(x – 3)(x + 3) > 0
Исследуем знаки производной с помощью числовой прямой. Чтобы определить знак на каждом промежутке, подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Ответ: Функция убывает при х∈ [–3;3], возрастает при х∈ (–∞;—3] ∪ [3; +∞).

Первое достаточное условие экстремума

Пусть для функции у = f(x) определены следующие условия:

Функция непрерывна в окрестности точки x0 (нет разрыва).
ƒ′(x0) = 0 или ƒ′(x0) не существует;
Производная ƒ′(x) при переходе через точку x0 меняет свой знак.

Тогда в точке x = x0 функция y = f(x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная в точке x0 не меняет свой знак, то в этой точке нет экстремума.

Итак, точки 1 и 4 — точки максимума, точка 3 — точка минимума. В точке 2 экстремума нет.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Теперь разберемся, как найти точки экстремума функции. Для этого пройдем по этим шагам:

Найдем область определения функции.
Найдем производную функции на этой области.
Определим нули и точки, где функция не существует.
Определим знак производной на интервалах.
Выберем точки, где функция меняет знак.
Найдем точки минимума/максимума и экстремумы функции.

Задача 5

Найдите экстремумы функции у = –x² + 8x – 7.

Решение

Область определения функции: х ∈ R.
Производная функции: y’ = –2x + 8
Решим неравенство:

–2x + 8 > 0
–2x > –8
x < 4
Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

В точке х = 4 функция меняет свой знак с «+» на «–», значит, точка х = 4 — это точка максимума.

Ответ: у(4) = 9 — экстремум функции.

Задача 6

Найдите экстремумы функции у = ⅓ x³ + 2x² – 12x + 6.

Решение

Область определения функции: х ∈ R.
Производная функции: y’ = x² + 4x – 12.
Решим неравенство:

x² + 4x – 12 > 0
(x – 2)(x + 6) > 0
Определим знак производной на числовой прямой. Чтобы это сделать, на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так на интервале (–∞; –6) и (2; +∞) производная положительна — на них функция возрастает. На интервале (–6;2) производная отрицательна — функция убывает.

Ответ: x = 2 — точка минимума, у(2) = –7 ⅓ — экстремум функции; х = –6 — точка максимума, у(–6) = 78 — экстремум функции.

Как можно запомнить переход знаков для точек максимум или минимум:

Когда функция возрастает, а потом убывает, мы будто поднимались на вершину горы — значит, посетили точку максимума.
Когда функция убывает, а потом возрастает, мы будто спускались в овраг и выбрались из него — а значит, были в точке минимума.

Второе достаточное условие экстремума

x₀ — это точка экстремума функции f(x), если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f »(x) ≠ 0). Причем, если вторая производная больше нуля (f »(x) > 0), то точкой минимума, а если вторая производная меньше нуля (f »(x) < 0), то точкой максимума.

Рассмотрим это условие экстремума на примере из задачи 6 — функции у = ⅓ x³ + 2x² – 12x + 6:

Ее первая производная равна y’= x² + 4x – 12.
Определим нули производной — значение х, при котором производная обращается в ноль: x^{2 + 4x – 12 = 0 при х = 2 и х = –6.}
Возьмем вторую производную функции y’’= 2х + 4.
Подставим значения х = 2 и х = –6 во вторую производную и определим, являются ли эти точки максимумом или минимумом:

y’’(2) = 8, y’’ > 0, значит, х = 2 является точкой минимума,
y’’(–6) = –8, y’’ < 0, значит, х = –6 является точкой максимум.

В этом условии есть два важных замечания:

Если в точке x0 и первая, и вторая производные обращаются в ноль, то в этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции, по второму признаку нельзя судить о наличии или отсутствии экстремумов.
Второй достаточный признак нельзя применять, когда в стационарной точке (нуле производной) первая производная не существует. Ведь тогда не существует и вторая производная.

Третье достаточное условие экстремума

Это условие не используется в школьной программе, так как требует большого количества вычислений и логических размышлений. Мы все равно познакомим вас с ним — возможно, вам захочется изучить это усaловие самостоятельно и блеснуть знаниями перед учителем. Что ж, мы только за!

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в ε-окрестности точки x0 и производные до n+1-го порядка в самой точке x0. Пусть
ƒ′(x₀) = ƒⁿ(x₀) = ƒ^m(x₀) = … = ƒ⁽ⁿ⁾(x₀) = 0 и ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) ≠ 0.

Тогда,

если n – четное, то x₀ — точка перегиба;
если n – нечетное, то x₀ — точка экстремума, причем

если ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) > 0, то x₀ — точка минимума;
если ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) < 0, то x₀ — точка максимума.

Думаем, вы убедились, что тема «Возрастание и убывание функции» достаточно интересна. В то же время, она требует умения исследовать графики, находить первую и вторую производную функции, определять знаки по числовым прямым. Получить практический опыт решения таких заданий можно на курсах по профильной математике в школе Skysmart! Там мы сможем закрепить полученные знания, подготовиться к контрольным работам и даже к ОГЭ! Заинтригованы? Тогда мы ждем вас на занятиях!

Источник

Как найти точки минимума и максимума функции

Содержание:

Минимум и максимум функции
- Точка минимума, минимум функции
- Точка максимума, максимум функции
Исследование функций на экстремумы
Примеры задач

Минимум и максимум функции

Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом:

(y_{min}, y_{max}) — минимум, максимум функции или экстремумы;
(x_{min}, x_{max}) — точки минимума, максимума функции;
(y_{наиб}, y_{наим}) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.

Точка минимума, минимум функции

Точка минимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)geq f(x_0))

Минимум функции — значение функции в точке минимума (x_0)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.

Точка максимума, максимум функции

Точка максимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)leq f(x_0))

Максимум функции — значение функции в точке максимума (x_0)

Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.

Точки максимума и минимума на графике:

Точка экстремума

Источник: school-collection.edu.ru

Исследование функций на экстремумы

Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке (x=x_0,) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.

Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:

Найти область определения функции — D(y).
Определить производную — f ‘(x).
Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f ‘(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: (f^,(x)=frac1{2sqrt x}), производной не существует при x = 0).
Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).
Вычислить значения функции в точках экстремума.

Примеры задач

Задача 1

Исследовать на экстремумы функцию (f(x)=x^3-3x^2.)

Решение задачи по алгоритму:

1) (D(y): xin(-infty;+infty)), т.е. x — любое число.

2) Производная: (f'(x)=3x^2-6x) .

3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:

Приравниваем f ‘(x) к 0, решаем квадратное уравнение (3x^2-6x=0), получаем (x_1=0),(;x_2=2.)

4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала ((-infty;0)) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда (f'(x)=3{(-1)}^2-6(-1)=3+6=9). Получаем f ‘(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале ((2;+infty)) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 — точка максимума, а x=2 — минимума.

5) Найдем значение экстремумов функции.

(f(0)=0-3times0=0)

(f(2)=2^3-3times2^2=8-12=-4)

Ответ: (x_{min}=2,;y_{min}=-4;;x_{max}=0,;y_{max}=0) или (0;0) — минимум функции, (2;-4) — максимум.

Задача 2

Найти промежутки монотонности функции (f(x)=frac x{x^2-4}).

1) (D(y): xinmathbb{R},;)кроме(;pm2)

2) (f'(x)=frac{1(x^2-4)-xtimes2x}{{(x^2-4)}^2}=-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2})

3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f ‘(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство (-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2}leq0) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.

Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.

Ответ: f(x) убывает на промежутке ((-infty;-2)cup(-2;2)cup(2;+infty)).

Задача 3

Докажите, что функция (f(x)=x^5+2x^3-4) возрастает на всех числовой прямой.

1) (D(y): xinmathbb{R}), значит критических точек нет.

2) (f'(x)=5x^4+6x)

3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках ((-infty;0)) и ((0;+infty)). Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.

Утверждение доказано

Источник

Содержание:

Необходимое условие экстремума
Первое достаточное условие экстремума
Второе достаточное условие экстремума

Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность
этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности
выполняется неравенство: $f(x) leq fleft(x_{0}right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой
точки, что для всех $x$ из этой окрестности
$f(x) geq fleft(x_{0}right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума —
локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
максимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет справедливо
строгое неравенство $f(x) lt fleft(x_{0}right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
минимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет
справедливо строгое неравенство $f(x)>fleft(x_{0}right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке
$x_{0}$, то ее производная
$f^{prime}left(x_{0}right)$ либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: $f^{prime}(x)=0$,
называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются
критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения
уравнения $f^{prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная
$f^{prime}(x)$ не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
$f^{prime}left(x_{0}right)=0$ или $f^{prime}left(x_{0}right)$ не существует;
производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.

Тогда в точке $x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если
при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой
знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$
производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку
$x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке
$x=x_{0}$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$
на экстремум, необходимо:

найти производную $f^{prime}(x)$;
найти критические точки, то есть такие значения $x$,
в которых $f^{prime}(x)=0$ или
$f^{prime}(x)$ не существует;
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^{4}-1$ на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

$y^{prime}=left(x^{4}-1right)^{prime}=4 x^{3}$

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^{prime}(x)=0$:

$y^{prime}=4 x^{3}=0 Rightarrow x=0$

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку
$x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и
исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное
значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку $x=0$ производная
сменила свой знак с «-» на «+», то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем
$y_{min }=y(0)=0^{4}-1=-1$.

Замечание. Также можно определить интервалы
монотонности функции: так как на интервале
$(-infty ; 0)$ производная
$y^{prime}(x) lt 0$, то на этом интервале функция
$y(x)=x^{4}-1$ является убывающей; на интервале
$(0 ;+infty)$ производная
$y^{prime}(x)>0$, значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$

Второе достаточное условие экстремума

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
первая производная $f^{prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
$f^{prime prime}(x) neq 0$ в точке $x_{0}$ .

Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум,
причем, если $f^{prime prime}left(x_{0}right)>0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет минимум; если
$f^{prime prime}left(x_{0}right) lt 0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ достигает максимум.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

$y^{prime}(x)=left(frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}right)^{prime}=frac{2 xleft(x^{2}+1right)-left(x^{2}-1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}$

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

$y^{prime}(x)=0 Rightarrow frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=0 Rightarrow x=0$

Вторая производная заданной функции:

$y^{prime prime}(x)=left(frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}right)^{prime}=frac{4left(x^{2}+1right)^{2}-4 x cdot 2left(x^{2}+1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{4}}=$

$=-frac{4left(3 x^{2}-1right)}{left(x^{2}+1right)^{3}}$

В стационарной точке $x=0$ вторая производная
$y^{prime prime}(0)=-frac{4 cdot(-1)}{1^{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает
минимум, причем $y_{min }=y(0)=frac{0^{2}-1}{0^{2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Что подразумевается под понятием «экстремум»?

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в
момент достижения им минимального или максимального показания. Под
понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается
значение функции (у).

Точка экстремума – что это такое?

Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами,
максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта
точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при
достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и,
наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой
максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или
минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются
минимальные или максимальные значения.

Что имеется в виду под понятием «точка минимума функции»?

Любая точка x₀ будет определена в качестве точки минимума функции y = f(x)
при соблюдении условия о том, что имеется такая V, представляющая собой
окрестность (x₀ — V; x₀+V) упомянутой ранее точки, из которой для каждого
значения x <> x₀ действительно следующее неравенство:

f(x)>f(x₀).

Как описать точку минимума функции?

Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой
функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений,
приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это
означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки,
прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и
представляет собой точку ее минимума.

Каким образом можно вычислить значение функции y=x⁴-4x³+6x²-4x, которого она
достигает в точке своего минимума?

Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной
функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать
следующим образом:

y’ = 4x³ — 12x² + 12x – 4

Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно
переписать равенство в следующем виде:

4x³ — 12x² + 12x — 4 = 0

Сократим данное уравнение на 4:

x³ — 3x² + 3x — 1 = 0

Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после
перемены местами слагаемых:

(x³ — 1) + (-3x² + 3x) = 0

Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:

(x — 1)(x² + x + 1) -3x(x — 1) = 0

Это же уравнение может выглядеть так:

(x -1)(x² + x + 1- 3x) = 0

Произведем сложение слагаемых х и -3х:

(x — 1) (x² -2x + 1) = 0

Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:

(x — 1)(x-1)² = 0

Получившееся равенство:

(x — 1)³ = 0

В этом случае х = 1

-∞ 1 +∞

Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.

После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является
точкой минимума функции:

у = 1⁴- 4*1³ + 6*1² — 4*1 = 1 — 4 +6 — 4 = -1

Какие расчеты нужно произвести, для того чтобы вычислить точку максимума для
функции y = -x/x²+484?

Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная
начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к
поиску точки максимума для функции, указанной в задании.

Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:

(U/V)’ = (U’V — UV’)/V²

Подставляем приведенные в задании значения и получаем:

y’ = (-(x² + 484) — 2x)/(x² + 484)² = (-x²-484 -2x)/(x² +484)²

Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся
уравнение:

(-x²-484 -2x)/(x² +484)² = 0

Упростим уравнение и получим:

(-x²-484 -2x) = 0

(x² +484)² ≠ 0

-x²-484 -2x = 0

Избавимся от минусов в уравнении:

x² + 2x +484 = 0

D < 0

В результате вычислений стало ясно, что корней нет. Это значит, что
невозможно поставить их на числовой прямой, для того чтобы проверить знаки
производной по соседству с этими точками. На основании этого можно сделать
вывод о том, что указанная в задании функция не имеет точек экстремума.

Что представляет собой точка максимума функции?

Под точкой максимума функции понимается та точка, в которой она достигает
значения, являющегося наибольшим среди тех значений, что достигаются ею в
соседних точках. Это означает, что в точке, при пересечении которой
функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее
максимум.

Имеется график производной функции. Каким образом можно вычислить точки ее
максимума и минимума?

В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется
определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого
графика производной с осью Ох. По-другому они называются «нулями»
производной. В случае, когда, пересекая конкретную точку, график
производной восходит из области со знаком «-» в область со знаком «+», и в
это время производная меняет свой знак на противоположный, функция также
изменяется с убывания на рост. В этом случае данная точка, которая
пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если
же при пересечении графиком производной какой-либо точки он идет из
положительной в отрицательную область, а функция из возрастания меняется
на убывание, то речь идет о точке ее максимума.

Как можно вычислить экстремумы и точки экстремума функции y=4x⁴+2x²+1?

Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, сначала нужно
приравнять функцию к 0:

у = 0

Это же означает, что:

4X⁴ + 2X² + 1 = 0

Введем обозначения:

Х2 = А, при этом А больше 0.

С учетом введенных обозначений равенство будет иметь следующий вид:

4A² + 2A + 1 = 0

D = 4 — 4 = 0 ; √ D = 0

A = (- 2) : 4 = (- 0,5) (< 0) 1

Очевидно, что корней нет.

Ответ: х = 0, у = 1.

Дана функция y = x² -3x+2. Как можно вычислить экстремум этой функции?

Имеется функция y = x² -3x+2, которую также можно переписать в следующем
виде:

у = -0,25+ (x-1,5)²

Отсюда следует, что:

miny = — 0,25 при условии, что х-1,5 = 0

Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.

Запишем производную данной функции:

y ‘= (x² -3x+2)’ =2x -3

А затем приравняем ее к 0:

y ‘ = 0, значит:

2x -3 = 0.

Это позволяет сделать вывод о том, что:

x = 3/2.

Получается, что, если x < 3/2, то производная y’ < 0, и при этом функция убывает.

Если же x >3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.

x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой
минимума.

miny =(1,5)² -3*1,5+2 = -0,25.

Как раскрыть понятие «критическая точка функции»?

Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с
которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не
существует.

Возможно ли привести доказательства того, что функция f(x) =2x — 3/x не
может иметь критической точки?

Для начала нужно определить, что под критической точкой функции
подразумевается та точка, при пересечении с которой производная
приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует
в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно
дифференцировать.

Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:

f ‘(x) =(sin2x — 3x)’ = 2sin2x-3

Приравняем производную функции к 0:

f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.

Следовательно:

sin2x= 3 2 не имеет решения

Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых
х.

Каким способом можно определить критические точки функции y=|x|/1+x²?

Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее
производная равна 0 или вовсе не существует.

В задании дана функция:

y=|x|/(1+x²)

Предположим, что x<0, тогда:

y=-x/(1+x²)

Запишем производную функции и приравняем ее к 0:

y`=(-1-x²+2x²)/(1+x²)²=(x²-1)/(1+x²)²=(x-1)(x+1)/(1+x²)²=0

х = 1 не соответствует условию, значит х = -1.

Теперь предположим, что x≥0.

Снова записываем производную имеющейся функции и приравниваем ее к 0:

y`=(1+x²-2x²)/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=(1-x)(x+1)/(1+x²)²=0

х = — 1 не отвечает условию, значит х = 1.

Ответ: х = 1, х = -1.

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

Источник

Простой алгоритм нахождения экстремумов. Учимся находить с bugaga.net.ru.

Находим производную функции
Приравниваем эту производную к нулю
Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

https://bugaga.net.ru/ege/math/ekstremum.html bugaga.net.ru

Рассмотрим пример

Находим производную и приравниваем её к нулю:

Полученные значения переменных наносим на
координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну
например, для первого возьмём -2,
тогда производная будет равна -0,24,
для второго возьмём 0, тогда
производная будет 2 , а для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

Смотрите также:

Решение ЕГЭ по математике (часть B)
Как найти экстремум (точки максимума и минимума) функции
Формулы логарифмов
Таблица со значениями синусов, косинусов
Таблица производных

Еще больше материалов для подготовки к ЕГЭ

Источник