Как найти экстремумы функции многих переменных

(circ) Пусть, например, существует (displaystylefrac{partial f}{partial x_{1}} (x^{0})). Рассмотрим функцию одной переменной
$$
varphi(x_{1}) = f(x_{1}, x_{2}^{0}, ldots, x_{n}^{0}).nonumber
$$

Так как (x^{0}) — точка экстремума (пусть, например, минимума), то существует шар (S_{delta}(x^{0})) такой, что (f(x) geq f(x^{0})) для всех точек этого шара. В частности, для любого (x_{1} in (x_{1}^{0} — delta, x_{1}^{0} + delta)) должно быть выполнено неравенство
$$
varphi(x_{1}) = f(x_{1}, x_{2}^{0}, ldots, x_{n}^{0}) geq f(x_{1}^{0}, ldots, x_{n}^{0}) = varphi(x_{1}^{0}).nonumber
$$
Функция одной переменной (varphi(x_{1})) имеет в точке (x_{1}^{0}) минимум. Поэтому
$$
frac{dvarphi}{dx_{1}} (x_{1}^{0}) = 0, mbox{то есть} frac{partial f}{partial x_{1}} (x^{0}) = 0. bulletnonumber
$$

(vartriangle) Так как (df (x, y) = y dx + x dy), то (df(0, 0) = 0) и (0, 0) есть стационарная точка функции (f(x, y)). Но для любого (delta > 0) точки ((delta, delta)) и ((delta, -delta)) лежат в круге (S_{2delta}(0, 0)) и
$$
f(delta, delta) = delta^{2} > f(0, 0) = 0,quad f(delta, -delta) = -delta^{2} < f(0, 0) = 0.nonumber
$$

Поэтому (0, 0) не есть точка экстремума функции (f(x, y)). График функции (z = xy) изображен на рис. 59.1. (blacktriangle)

(circ) Пусть (t = 0) является точкой минимума функции (varphi(t)). Тогда найдется число (varepsilon > 0) такое, что для всех (|t| < varepsilon) выполняется неравенство (varphi(t) — varphi(0) geq 0). Применяя разложение функции (varphi(t)) по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получаем, воспользовавшись тем, что в точке минимума (varphi'(0) = 0):
$$
0 leq frac{varphi(t) — varphi(0)}{t^{2}} = frac{1}{t^{2}} left[varphi'(0)t + varphi″(0)frac{t^{2}}{2} + o(t^{2})right] = frac{1}{2} varphi″(0) + o(1)label{ref1}
$$
при (t rightarrow 0).

Переходя в этом неравенстве к пределу при (t rightarrow 0), получаем, что (varphi″(0) geq 0). (bullet)

(Необходимое условие минимума).

Пусть функция (f(x)) имеет в окрестности точки минимума (x^{0} in boldsymbol{R}^{n}) непрерывные частные производные первого и второго порядка. Тогда
$$
df(x^{0}) = 0,quad d^{2}f(x^{0}) = sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n} frac{partial^{2}f}{partial x_{i} partial x_{j}} (x^{0}) dx_{i} dx_{j} geq 0.label{ref2}
$$

(Достаточные условия экстремума).

Пусть функция (f(x)) имеет в окрестности точки (x^{0} in boldsymbol{R}^{n}) непрерывные частные производные второго порядка, и пусть (df(x^{0}) = 0). Тогда если второй дифференциал (d^{2}f(x^{0})) есть положительно определенная квадратичная форма (см. формулу eqref{ref2}), то (x^{0}) — точка строгого минимума функции (f(x)), если (d^{2}f(x^{0})) — отрицательно определенная квадратичная форма, то (x^{0}) — точка строгого максимума функции (f(x)), если (d^{2}f(x^{0})) — неопределенная квадратичная форма, то функция (f(x)) не имеет экстремума в точке (x^{0}).

(circ) Воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (m = 2). Учитывая, что (df(x^{0}) = 0), получаем
$$
f(x) — f(x^{0}) = frac{1}{2} d^{2}f(x^{0}) + o(|Delta x|^{2}) mbox{при} |Delta x| rightarrow 0,label{ref6}
$$
где
$$
|Delta x|^{2} = Delta x_{1}^{2} + ldots + Delta x_{n}^{2}.nonumber
$$
Пусть
$$
d^{2}f(x^{0}) = sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n} frac{partial^{2}f(x^{0})}{partial x_{i} partial x_{j}}  Delta x_{i} Delta x_{j}nonumber
$$
есть положительно определенная квадратичная форма. В силу леммы 2 существует такое положительное число (gamma), что
$$
d^{2}f(x^{0}) geq gamma |Delta x|^{2}.nonumber
$$
Применяя это неравенство к формуле eqref{ref6}, получаем
$$
f(x) — f(x^{0}) = frac{gamma}{2} |Delta x|^{2} + o(|Delta x|^{2}) = frac{gamma}{2} |Delta x|^{2} (1 + alpha(Delta x)),label{ref7}
$$
где (alpha(Delta x) rightarrow 0) при (Delta x rightarrow 0), откуда следует, что найдется шар (S_{delta}(x^{0})) такой, что (forall x in S_{delta}(x^{0})) выполнено неравенство (|alpha(Delta x)| < displaystylefrac{1}{2}).

Тогда из формулы eqref{ref7} следует, что (forall x in dot{S}_{delta}(x^{0})) выполнено неравенство
$$
f(x) — f(x^{0}) geq frac{gamma}{2} |Delta x|^{2} (1 — |alpha(Delta x)|) geq frac{gamma}{4} |Delta x|^{2} > 0.
$$
Следовательно, (x^{0}) — точка строгого минимума функции (f(x)).

Аналогично доказывается, что в том случае, когда (d^{2}f(x^{0})) есть отрицательно определенная квадратичная форма, (x^{0}) — точка строгого максимума функции (f(x)).

Если (d^{2}f(x^{0})) есть неопределенная квадратичная форма, то не выполняется необходимое условие минимума (d^{2}f(x^{0}) geq 0) (см. теорему 2). Поэтому (x^{0}) не есть точка минимума функции (f(x)). Аналогично доказывается, что (x^{0}) не есть точка минимума функций (-f(x)), то есть точка максимума функции (f(x)). (bullet)

(vartriangle) Найдем стационарные точки функции (f(x, y, z)). Они определяются из системы уравнений
$$
frac{partial f}{partial x} = 2x + 2y + 4z = 0,quad frac{partial f}{partial y} = 2x + 10y + 8z = 0,quad frac{partial f}{partial z} = 4x + 8y + 18z = 0.nonumber
$$
Определитель этой системы
$$
begin{vmatrix}2&2&4\2&10&8\4&8&18end{vmatrix} = 8begin{vmatrix}1&1&2\1&5&4\2&4&9end{vmatrix} = 8 cdot 16 > 0.nonumber
$$
Поэтому единственное решение однородной системы есть (x = y = z = 0).

Итак, функция (f(x, y, z)) имеет единственную стационарную точку (0,0,0). Найдем (d^{2}f(0, 0, 0)). Имеем
$$
d^{2}f(0, 0, 0) = 2 dx^{2} + 4 dx dy + 8 dx dz + 16 dy dz + 10 dy^{2} + 18 dz^{2}.nonumber
$$
Так как
$$
Delta_{1} = 2 > 0,quad Delta_{2} = begin{vmatrix}2&2\2&10end{vmatrix} > 0,quad Delta_{3} = begin{vmatrix}2&2&4\2&10&8\4&8&18end{vmatrix} = 8 cdot 16 > 0,nonumber
$$
то в силу критерия Сильвестра квадратичная форма (d^{2}f(0, 0, 0)) положительно определена. Точка (0,0,0) является точкой строгого минимума функции (f(x, y, z)). (blacktriangle)