Как найти эластичность функции по труду

Рассмотренные
в предыдущем подразделе экономические
понятия имеют размерность, что не вполне
удобно для анализа взаимосвязи
относительных изменений переменных.
Вводят понятия: эластичность
выпуска по труду E_L
и эластичность выпуска по капиталу E_K,
определяемые формулами

E_L
=;
(2.6)

E_K
=.
(2.7)

Безразмерные
показатели E_L
и E_K
показывают, на сколько процентов
произойдет относительное увеличение
выпуска при относительном увеличении
соответствующего ресурса на 1%.

Сумма
значений эластичности выпуска по всем
ресурсам называется эластичностью
производства:

E
= E_K
+ E_L.
(2.8)

Для
эластичности
_KL
предельной
нормы замещения труда капиталом
справедливо соотношение:

_KL
=.
(2.9)

Эффективность
производственного процесса (эффект от
масштаба производства) можно оценить
математически, увеличив одновременно
все ресурсы в t
раз. Если
использовать более общую аппроксимирующую
формулу Кобба—Дугласа
Q
= AK^L^,
получаем: Q
(tK,
tL)
= AK^t^L^t^
= t^t^
Q
(K,
L)
= t^+
Q
(K,
L).
Отсюда вытекает, что если 
и 
в сумме превышают единицу, то говорят,
что производственная функция имеет
возрастающий эффект от масштаба
производства (если ресурсы K
и L увеличиваются
в некоторой пропорции, то выпуск Q
растет в большей пропорции). Если их
сумма меньше, чем единица, то имеет место
убывающий эффект от масштаба производства.

В
своей первой статье Ч. Коббс и П. Дуглас
описывали производственную функцию в
виде (2.1), предполагающем постоянную
отдачу от масштаба: 
и 
в сумме точно составляют единицу.
Впоследствие они ослабили это допущение,
предпочитая оценивать степень отдачи
от масштаба производства. Как указывалось
нами ранее, при обработке исходных
данных, использованных Ч. Коббсом и П.
Дугласом, методом наименьших квадратов,
получаем значения 
= 0,23 и 
= 0,81. Сумма 
и ,
равная 1,04, лишь несколько превышает
единицу, т.е. первоначальное предположение
Ч. Коббса и П. Дугласа о постоянной отдаче
от масштаба было вполне оправдано.

Пример
4. Рассчитать
эластичность выпуска по труду и капиталу
для производственной функции Q
= K^1/4L^3/4
в точке K
= 2, L
= 3. Оценить эффект от масштаба производства.

Решение.
Эластичность выпуска по труду определяется
формулой (2.6). Так как предельный продукт
труда
==3/4,
получаем:

E_L
===(3/4)
= (L /
K^1/4L^3/4)(3/4)
= 3/4.

Эластичность
выпуска по капиталу определяется
формулой (2.7). Так как предельный продукт
капитала
==1/4,
получаем:

E_K
===(1/4)
= (K
/ K^1/4L^3/4)(1/4)
= 1/4.

Таким
образом, эластичность выпуска по труду
и капиталу в случае производственной
функции Кобба—Дугласа
вида Q
= AK^L^
не зависит от точки производства и равна
показателям степени при соответствующих
переменных 
= 0,75 и 
= 0,25 соответственно.

Сумма
значений эластичности выпуска по всем
ресурсам (эластичность производства)
равна 
+ 
= 1, т.е. в данном случае имеет место
постоянная отдача от масштаба производства.

Для
эластичности _KL
предельной нормы замещения труда
капиталом в общем случае производственной
функции вида
Q = AK^L^
получаем:

_KL
===
1,

т.е.
для функции Кобба—Дугласа
эластичность предельной нормы замещения
труда капиталом постоянна и равна
единице. Это важнейшее свойство функции
Кобба—Дугласа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Примеры решений задач: производственная функция

Производственная функция — экономико-математическая количественная зависимость между величиной выпуска (объемом продукции фирмы) и факторами производства, такими как затраты ресурсов, уровень технологий.

Наиболее известные примеры производственных функций: функция Кобба-Дугласа вида $Y=Acdot L^{alpha}cdot K^{beta}$, в которой предполагается постоянные эластичности ($alpha$ и $beta$) выпуска по факторам производства $K$ и $L$ соответственно (капитал и трудовые затраты); линейная производственная функция: $Y=aK+bL$, функция Леонтьева и т.д.

В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи, касающиеся производственной функции (в том числе модели Кобба-Дугласа).

Производственная функция: задачи с решениями

Задача 1. Производственная функция коммерческого предприятия имеет вид $f=10sqrt{x_1}cdot sqrt{x_2}$, где $f$ — товарооборот, тыс. руб.; $x_1$ — производственная площадь, м ; $x_2$ — численность работников, сотни человек. Рассмотрите изокванту уровня $y_0$ и найдите точку $C_1$ и точку $C_2$. Сделайте вывод о возможности замены ресурсов. Полученные результаты изобразите графически.

Задача 2. Исходные данные. Фирма, производящая продукцию при заданной рынком системе цен по технологии, отображающейся производственной функцией $Q = 20 L^{0,5}$, может продавать любой объем своей продукции по цене Р = 6. Фирма может использовать любое количество труда по цене w = 40.
1. Какой тип производственной функции представлен в задании? В чем ее особенность? Приведите пример подобного производства. Изобразите график заданной производственной функции, а также графики среднего и предельного продуктов переменного фактора (труда).
2. На основе представленных данных выведите функции общих, средних и предельных затрат фирмы, функцию индивидуального предложения фирмы и определите объем предложения при заданной цене блага.
3. Дайте характеристику статуса фирмы на товарном и факторном рынках в представленном примере. Раскройте различия в поведении фирмы-совершенного конкурента и фирмы-монопсониста на рынке фактора. Приведите примеры подобного поведения фирм на рынке труда.
4. Выведите функцию спроса фирмы на труд, если цена блага P = 6 и остается неизменной. Определите объем спроса на труд при w = 40. Решение сопроводите графиком. Укажите несколько факторов (не менее трех), влияющих на спрос фирмы на труд.

Задача 3. Процесс производства некоторого товара описывается с помощью производственной функции $q=f(x_1, x_2)=54x_1^{1/2}x_2^{2/3}$. Для плана (2,5) найти первый второй предельные продукты. Дайте экономическую интерпретацию полученным результатам. Выясните, характеризуется ли ПФ той или иной разновидностью эффекта масштаба. Предполагая, что производитель приобретает ресурсы по ценам (2,7) найдите функцию переменных издержек $C_v(q)$.

Модель Кобба-Дугласа: задачи с решениями

Задача 4. Производственная функция фирмы имеет вид: $Q = К^{0,5}cdot L^{0,5}$. Предположим, что в день затрачивается 4 часа труда (L = 4) и 4 часа работы машин (К = 4).
Определить:
1) максимальное количество выпускаемой продукции;
2) средний продукт труда;
3) допустим, что фирма увеличила затраты обоих факторов в два раза. Каков будет объем выпускаемой продукции?

Задача 5. Задана производственная функция Кобба-Дугласа
Изобразить изокванту, соответствующую плану (36,27). Какое количество продукта выпускается при этом плане?
Найти первый, второй предельные продукты для плана (36,27) и дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
Каким эффектом от расширения масштабов производства характеризуется производственная функция
Каковы затраты производителя на покупку ресурсов при плане производства (36,27) и заданном векторе цен на ресурсы (3,4)?
Найти самый дешевый (оптимальный) план по ресурсам, обеспечивающий выпуск такого же количества продукции, что и для плана (36,27). Найти аналитически решение этой задачи
методом Лагранжа
методом подстановки.
Сделать геометрическую иллюстрацию решения задачи, изобразив ОДР и целевую функцию линиями уровня.

Задача 6. На основании представленных в таблице ниже данных построить ПФ типа Кобба-Дугласа. Сделать прогноз объема производства отрасли на 2000 год, если планируются увеличение основных фондов на 20% и одновременное уменьшение трудовых ресурсов на 5% относительно предыдущего года. Пусть заданы агрегированные основные показатели некоторой отрасли за четыре года:

Задача 7. Для построенной в самостоятельной работе производственной функции рассчитать предельные производительности, предельные нормы замещения ресурсов в 1993 и 1999 годах, сделать сравнительный экономический анализ. При расчетах предположить, что ресурсы в исследуемом году заданы, объем производства вычисляется.

Задача 8. Пусть производственная функция имеет вид $Y = 0.94 cdot K^{1.17}cdot L^{1.57}$. Для базового года $K_0 = 727$ млн ден. ед., $L_0 = 97.7$ тыс. человек. Для отчётного года $K_1 = 977$ млн ден. ед., $L_1 = 127.7$ тыс. человек. Подсчитать индексы изменения характеристик, масштаб и экономическую эффективность производства. Дать экономическую интерпретацию.

Задача 9. Производственная функция фирмы, выпускающая линолеум, имеет вид $Y=177 K^{0.356} L^{0.644}$.
Здесь $Y$ – сотни м*м, $K$ – тыс. ден. ед., $L$ – сотня рабочих (сот. р.).
Стоимость ресурсов W=5,13 тыс. ден. ед./сот. раб.
q = 10 тыс. ден. ед./тыс. ден. ед.
Издержки производства ограничены суммой C = 1770 тыс. ден. ед.
Найти максимальный выпуск продукции, оптимальное количество рабочих и стоимость капитальных фондов.
Построить график изокванты и изокосты. Отметить оптимальную точку.
Оценить, как изменится выпуск продукции, если:
а) увеличить заработную плату на 8%;
б) уменьшить цену на фонды в два раза;
в) ввести дополнительные инвестиции в производство в количестве 57,7 тыс. ден. ед.

Задача 10. Найти объем продукции, произведенной за период $[0;52]$, если функция Кобба-Дугласа имеет вид: $f(t)=(364+7t)e ^{1/104 t}$

Задача 11. 1. Выпуск продукции фирмой описывается функцией Кобба-Дугласа $Y=AK^{alpha}L^{1-alpha}$. Ставка заработной платы равна $p_L$, норма процента на используемый капитал — $p_K$.
2. По заданному уровню выпуска продукции $Y$ определить объемы факторов $K$ и $L$, при которых общие издержки будут минимальны, и величину этих издержек.
3. По известной величине общих издержек $TC$ определить объем факторов $K$ и $L$, обеспечивающие максимальный выпуск продукции, и соответствующий объем выпуска.

Задача 12. На основании следующих данных построить производственную функцию Кобба-Дугласа.
Здесь $Y_i$ — производственный национальный доход (млрд. руб.), $K_i$ — среднегодовые основные производственные фонды (млрд. руб.), $L_i$ — среднегодовая численность занятых в материальном производстве (млн. чел.). Имеется прогноз на 1997 год: основных производственных фондов $K_{1996}cdot N$ млн. руб. и трудовых ресурсов $L_{1996}cdot N$, где $N$ (номер) млн. чел. На основании полученной производственной функции сделать точечный прогноз национального дохода на 1997 год.

Задача 13. Производственная функция задается формулой $Q = 150 K^{0,9}L^{0,5}$, где Q — выпуск, K – капитал, L — труд.
Найти:
a) Предельные продукты труда и капитала при K=16, L=125.
б) Коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу и объяснить их экономический смысл для полученных значений.

Может быть интересно:

Экономический анализ деятельности предприятия на основе производственной функции Кобба-Дугласа

Содержание:

1. Эластичность функции
2. Определение и свойства эластичности функций
3. Свойства эластичности функции
4. Эластичность спроса относительно цены
5. Эластичность предложения относительно цены

Эластичность функции

В экономических исследованиях приросты тех или иных показателей, характеризующих экономические процессы, чаще всего выражают в процентах к базовым значениям. Поэтому и изменение величин, которые связаны с ними функциональной зависимостью, также выражают в процентах. Для этого используют понятие эластичности функции, которое выражается через производную функции.

Определение и свойства эластичности функций

Пусть задана функция y = f (x). Если аргумент x получил приращение Δx и при этом функция y получила приращение Δy, то  называют относительным приращением аргумента, а — относительным приращением функции.

Определение. Предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если существует, называется эластичностью функции.

Обозначают эластичность функции y = f (x) относительно переменной x   E_x(y). То есть,

Итак, если в точке x функция имеет производную, то эластичность определяется формулой  
Эластичность выражает приближенный процент приращения функции, который соответствует 1 % приращения аргумента.

Пример. Найти эластичность функции  y = x² – 4 x +7  и вычислить ее при x = 1,  x = 2,  x = 5.

Решение.

Итак, если x  вырастет на 1 % с 1 до 1,01, то y снизится на 0,5 %. Если x вырастет на 1 % с 2 до 2,02, то значение переменной y практически не изменится. Если x вырастет на 1 % с 5 до 5,05, то y вырастет на 2,5 %.

Свойства эластичности функции

ТЕОРЕМА 1. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичности сомножителей:
E_x (U ⋅ V) = E_x (U) + E_x (V).

Доказательство. По определению эластичности

ТЕОРЕМА 2. Эластичность частного двух функций равна разности показателей эластичности делимого и делителя:

Доказательство. По определению эластичности

Эластичность спроса относительно цены

В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса и предложения.

Пусть p цена одного изделия, а Q — количество изделий, произведенных и проданных через некоторое время, что определяет спрос. Величина Q зависит от цены, т. е. Q является функцией от p: Q = f (p).

Пусть приращение цены Δp вызывает приращение ΔQ. тогда относительные приращения цены и спроса будут соответственно     и   
Отношение   показывает относительное изменение спроса, если цена изделия возросла на 1 %.

Эластичностью спроса относительно цены называется предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при условии, что приращение цены стремится к нулю.

Эластичность спроса относительно цены приближенно определяет, как меняется спрос на данное изделие, если его цена возрастает на 1 %.

Так, например, если рост цены на 5 % вызывает падение спроса на 8 %, то эластичность будет  
Если эластичность спроса η = –0,5, то 10 % роста стоимости товара вызывает падение спроса на (–0,5) 10% = –5%.

Определение. Если процент изменения спроса больше процента изменения цены (η < 1), то спрос называют эластичным, если процент изменения спроса меньше процента изменения цены (-1 < η < 0), то спрос называют не эластичным, а если процент изменения спроса равен проценту изменения цены (η = 1), то спрос называют нейтральным.

Пример. Установлено, что количество произведенных и проданных изделий Q по цене p определяется по формуле Q = 10000 – 500p (0 < p < 20). Определить, при какой цене спрос эластичный, нейтральный, не эластичный.

Решение. Эластичность спроса относительно цены

Спрос будет эластичным, если η < –1,  Отсюда, учитывая, что 20 – p > 0, имеем      p > 20 — p;   2 p > 20;   p > 10.   Итак, спрос эластичен при цене  10 < p < 20 (руб.).

Спрос нейтральный при цене p = 10 (руб.). Спрос будет не эластичный, когда -1 < η < 0.

Итак, спрос не эластичный при цене меньшей 10 руб. за изделие.

Пример 2. Установить связь между доходом предприятия и эластичностью спроса от цены.

Решение. Доход определяется как произведение стоимости каждого изделия на количество произведенных и проданных изделий Q :   D (Q) = p⋅ Q.

Найдем маржинальный доход, учитывая, что Q есть функция от p.

Если η ≤ –1, то 1 + η < 0, а   И поэтому доход падает при росте p, когда спрос эластичен.
Если –1 < η < 0, то 1 + η > 0,   а    
То есть функция D (Q) дохода растет с ростом цены p,  когда спрос не эластичный.

Эластичность предложения относительно цены

Понятие эластичности можно применять и к другим функциям экономического содержания.

Рассмотрим понятие эластичности предложения S в зависимости от цены товара p. Под предложением понимают количество некоторого товара, который предлагается на продажу за единицу времени. Как правило, предложение какого-либо товара является возрастающей функцией цены. Но бывают случаи, когда предложение повышается со снижением цены. Величина S является функцией от цены товара. То есть, S = S (p).

Пусть Δp — приращение цены, а ΔS — соответствующее приращение предложения. Тогда относительные приращения цены и предложения будут соответственно   и  .
Эластичностью предложения относительно цены называется предел отношения относительного приращения предложения к относительному приращению цены при условии, что приращение цены стремится к нулю.

Эластичность предложения относительно цены приближенно определяет процент приращения предложения на 1 % приращения цены.

Пример 3. Функция предложения некоторого товара   . Определить эластичность предложения при цене p = 2.