Как найти эластичность производственной функции

Рассмотренные
в предыдущем подразделе экономические
понятия имеют размерность, что не вполне
удобно для анализа взаимосвязи
относительных изменений переменных.
Вводят понятия: эластичность
выпуска по труду E_L
и эластичность выпуска по капиталу E_K,
определяемые формулами

E_L
=;
(2.6)

E_K
=.
(2.7)

Безразмерные
показатели E_L
и E_K
показывают, на сколько процентов
произойдет относительное увеличение
выпуска при относительном увеличении
соответствующего ресурса на 1%.

Сумма
значений эластичности выпуска по всем
ресурсам называется эластичностью
производства:

E
= E_K
+ E_L.
(2.8)

Для
эластичности
_KL
предельной
нормы замещения труда капиталом
справедливо соотношение:

_KL
=.
(2.9)

Эффективность
производственного процесса (эффект от
масштаба производства) можно оценить
математически, увеличив одновременно
все ресурсы в t
раз. Если
использовать более общую аппроксимирующую
формулу Кобба—Дугласа
Q
= AK^L^,
получаем: Q
(tK,
tL)
= AK^t^L^t^
= t^t^
Q
(K,
L)
= t^+
Q
(K,
L).
Отсюда вытекает, что если 
и 
в сумме превышают единицу, то говорят,
что производственная функция имеет
возрастающий эффект от масштаба
производства (если ресурсы K
и L увеличиваются
в некоторой пропорции, то выпуск Q
растет в большей пропорции). Если их
сумма меньше, чем единица, то имеет место
убывающий эффект от масштаба производства.

В
своей первой статье Ч. Коббс и П. Дуглас
описывали производственную функцию в
виде (2.1), предполагающем постоянную
отдачу от масштаба: 
и 
в сумме точно составляют единицу.
Впоследствие они ослабили это допущение,
предпочитая оценивать степень отдачи
от масштаба производства. Как указывалось
нами ранее, при обработке исходных
данных, использованных Ч. Коббсом и П.
Дугласом, методом наименьших квадратов,
получаем значения 
= 0,23 и 
= 0,81. Сумма 
и ,
равная 1,04, лишь несколько превышает
единицу, т.е. первоначальное предположение
Ч. Коббса и П. Дугласа о постоянной отдаче
от масштаба было вполне оправдано.

Пример
4. Рассчитать
эластичность выпуска по труду и капиталу
для производственной функции Q
= K^1/4L^3/4
в точке K
= 2, L
= 3. Оценить эффект от масштаба производства.

Решение.
Эластичность выпуска по труду определяется
формулой (2.6). Так как предельный продукт
труда
==3/4,
получаем:

E_L
===(3/4)
= (L /
K^1/4L^3/4)(3/4)
= 3/4.

Эластичность
выпуска по капиталу определяется
формулой (2.7). Так как предельный продукт
капитала
==1/4,
получаем:

E_K
===(1/4)
= (K
/ K^1/4L^3/4)(1/4)
= 1/4.

Таким
образом, эластичность выпуска по труду
и капиталу в случае производственной
функции Кобба—Дугласа
вида Q
= AK^L^
не зависит от точки производства и равна
показателям степени при соответствующих
переменных 
= 0,75 и 
= 0,25 соответственно.

Сумма
значений эластичности выпуска по всем
ресурсам (эластичность производства)
равна 
+ 
= 1, т.е. в данном случае имеет место
постоянная отдача от масштаба производства.

Для
эластичности _KL
предельной нормы замещения труда
капиталом в общем случае производственной
функции вида
Q = AK^L^
получаем:

_KL
===
1,

т.е.
для функции Кобба—Дугласа
эластичность предельной нормы замещения
труда капиталом постоянна и равна
единице. Это важнейшее свойство функции
Кобба—Дугласа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Назначение производственной функции

Таким образом, это процесс создания товара и услуги, которая обладает определенной полезностью для покупателей. Любая деятельность по производству товаров и услуг является деятельностью направленной на удовлетворения потребностей отдельных индивидов или общества в целом.

Соотношение платежеспособного спроса на товары и предложения определяет цену товара или услуги. Количественной характеристикой предложения или объема производства и стоимости товаров является производственная функция. Производственный процесс оказывает прямое влияние на благосостояние общества в целом: чем выше степень удовлетворения индивидуальных и общественных потребностей и удельный вес среднего класса в общем численности населения, тем выше уровень национального благосостояния и развития.

Задача производственной функции состоит в том, чтобы объяснить рост благосостояния общества в процессе выпуска товаров и услуг.

Функция Кобба-Дугласа в системе производственных функций

Эти модели включают в себя такие показатели как объем производства в натуральном или стоимостном выражении, затраченные объемы ресурсов (факторов производства).

Различают две разновидности производственных функций:

• во-первых, однофакторные, устанавливающие зависимость объема производства от одного фактора. К этой разновидности относятся линейная, параболическая, степенная и показательная функции;
• во-вторых, двухфакторные устанавливающие зависимость объема производства от соотношения двух факторов. К этой разновидности относятся функции Кобба-Дугласа, Леонтьева, Солоу, Аллена.

«Производственная функция Кобба-Дугласа» 👇

Особенности производственной функции Кобба-Дугласа

В качестве двух основных факторов производства выступают капитал и труд. Определенная пропорциональность их сочетания создает условия для получения продукта. Назначение производственной функции Кобба-Дугласа состоит в том, чтобы отражать технологическое соотношение объема труда и капитала, необходимое для производства того или иного товара в необходимом количестве.

Данная производственная функция является двухфакторной. Впервые ее предложил шведский экономист Кнут Векселль, но статистическая проверка была выполнена в период с 1927 по 1947 год двумя учеными – Чарльзом Коббом и Полом Дугласом (в 1928 году вышла их работа под названием «Теория производства»). Именно фамилии этих ученых и дали название производственной функции.

Также термин «производственная функция Кобба-Дугласа» в узком смысле применяется для обозначения постоянной отдачи от масштаба.

Производственная функция, разработанная Коббом и Дугласом, представляет собой первую функцию агрегированного производства. Ее применение позволило осуществлять моделирование не только мелкомасштабных процессов, но и целых отраслей экономики. Статистическое подтверждение данной функции стало началом нового этапа макроэкономического развития, позволяющего дать оценку эффективности производства на уровне национального хозяйства.

Формула производственной функции Кобба-Дугласа

В формуле производственной функции Кобба-Дугласа отражается зависимость объем производства определенного товара от сочетания двух факторов производства – труда и капитала.
В общем виде формула имеет следующий вид:

$Q = A • L^α • K^β$, где:

• $Q$ – показатель объема производства, характеризующий реальную стоимость товаров и услуг, произведенных в определенный период времени;
• $A$ – общий показатель технологической продуктивности факторов. Этот показатель является наиболее трудным для определения и предусматривает с определенным уровнем погрешности возможность несовершенства оценки вклада труда и капитала, а также влияние иных факторов;
• $L$ – затраты труда в производство определенного объема продукции, выражающиеся в количестве человеко-часов, отработанных всеми работниками за указанный период времени;
• $K$ – затраты вложенного капитала в производство определенного объема продукции, выражающиеся в реальной стоимости оборудования и машин, используемых в производстве;
• $α$ – технологическая эластичность труда;
• $β$ – технологическая эластичность капитала.

Основу данной формулы составляют статистические расчеты, свидетельствующие о том, что для развитых стран характерны постоянные доли вкладов труда и капитала на протяжении длительного времени. Однако в настоящее время данное утверждение подвергается сомнению.

Эластичность факторов производства в производственной функции Кобба-Дугласа

Важнейшими показателя производственной функции Кобба-Дугласа являются показатели эластичности факторов производства, которые отражают влияние изменения их соотношения на физический объем производства при иных равных условиях.

Возможны три варианта значений, принимаемых коэффициентами эластичности в рамках формулы:

• $α + β = 1$, данное соотношение характеризует постоянную отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет на те же 100%, то есть в два раза. производственная функция является линейно однородной;
• $α + β > 1$, данное соотношение характеризует возрастающую отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет, допустим, на 120%, то есть более чем в два раза;
• $α + β$

Производственная функция Кобба-Дугласа

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для анализа производственной функции Кобба-Дугласа:

• нахождение средней фондоотдачи и средней производительности труда, вычисление предельной фондоотдачи и предельной производительности труда;
• расчет эластичности продукта и эластичности масштаба производства;
• определение предельной нормы замещения факторов производства, построение изоклины.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Свойства производственной функции

1. Производственная функция должна задаваться положительно определенной, дважды дифференцируемой по всем своим аргументам функцией.
2. Производственная функция обращается в нуль, если отсутствует хотя бы один из ресурсов x₁, x₂, . ,x_n.
   Невозможно полностью заменить один фактор производства комбинацией других факторов. Возможно лишь частичное замещение одного фактора другими в некоторой ограниченной области.
3. С увеличением любого из ресурсов объем производства возрастает dY/dx_i.
4. При увеличении любого из ресурсов предельная эффективность является убывающей функцией.
5. Производство должно обладать свойством масштабируемости: при одновременном увеличении всех затрат в λ раз количество произведенного продукта также должно увеличиться в λ раз.

Пример . Производственные функции, обладающие свойствами 2 – 5, называются неоклассическими.
Y = 2.248K 0.404 L 0.803

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ 1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AY_K равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:


Средняя производительность труда AY_L равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда L:


Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:


Предельную производительность труда, или предельный продукт труда, MY_L определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:


Эластичность продукта по фактору.
Коэффициентом эластичности продукта по i-фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i-фактора на 1%.
Эластичность по i-фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна ε_K = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна ε_L = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства.
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ :

AY_λ = λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:

MY_λ = 0.207 λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:

Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства.
Предельную норму замещения i-фактора производства j-фактором M_ij определим соотношением:

Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде: RST_K,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде: RST_L,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i-го фактора производства j-м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988M_LK • L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений M_LK = 5 и M_LK = 2.

Производственная функция Кобба-Дугласа. Изокванты и изокосты

Факторы производства и производственная функция

В современном мире нам не удастся выжить, орудуя одной лишь «палкой-копалкой», верно служившей нашим далёким предкам. Стол, кресло, компьютер, одежда, посуда, — всё стало настолько сложным, что одному человеку никак не справиться, и одновременно настолько простым, что десятки тысяч этих товаров каждую секунду сходят с конвейеров по всему миру.

Чтобы произвести что-нибудь, нужны ресурсы: сырьё, материалы, оборудование, энергия, информация, деньги, труд людей.

Факторы производства – это используемые в процессе производства ресурсы.

В простейшей модели производства рассматривают два основных фактора:

Результат производства – это некоторое количество Q выпущенного продукта.

Производственная функция – это зависимость количества выпущенного продукта от величины затрат факторов производства:

Пусть $Q = 1,5 sqrt$.

Тогда при затратах K = 100 ед. капитала и L = 16 ед. труда, будет получено $Q = 1,5 cdot sqrt <100 cdot 16>= 1,5 cdot 10 cdot 4 = 60$ ед. продукции.

Степенная производственная функция Кобба-Дугласа

Производственные функции можно строить по-разному.

Часто используется модель, в которой оба фактора – труд и капитал – входят в виде произведения степеней:

где A – технологический коэффициент (зависит от применяемой технологии);

$0 le a le 1$ — коэффициент эластичности.

Такие производственные функции называют функциями Кобба-Дугласа в честь американских исследователей, которые получили:

в 1927 году для обрабатывающей промышленности США.

Свойства производственной функции Кобба-Дугласа:

1. Если K = 0 или L = 0, то Q = 0, т.е. производство невозможно при отсутствии хотя бы одного фактора производства.

2. При увеличении затрат фактора производства, величина выпуска продукции возрастает: $K uparrow Rightarrow Q uparrow, L uparrow Rightarrow Q uparrow$

Тогда при затратах K=81 ед. капитала и L=16 ед. труда, будет получено $Q = 2,5 cdot sqrt[4] <81 cdot 16^3>= 2,5 cdot 3 cdot 8 = 60$ ед. продукции.

Изокванты – линии равного выпуска

Пусть предприятие планирует выпустить $Q_0$ единиц продукции.

В этом случае, мы можем найти зависимость затрат капитала от затрат труда.

Эту зависимость можно изобразить на плоскости LOK в виде кривой.

Для каждого плана выпуска будет отдельная кривая.

Множество точек (L;K) на плоскости LOK, которые соответствуют одному плану выпуска, называют изоквантой или линией равного выпуска .

Построим изокванты для $Q_0 = <25;50;75;100 >$ единиц готовой продукции.

1. Чем больше используется труда, тем меньше нужно капитала для производства заданного количества продукции. И наоборот: чем меньше труда, тем больше капитала. Труд и капитал взаимно заменяют друг друга.

2. Через каждую точку (L;K) проходит единственная изокванта.

3. Изокванты, соответствующие разным количествам продукции $Q_1 neq Q_2$, не пересекаются.

Изокосты – линии равной стоимости

Согласно полученному выше графику, произвести $Q_0$ = 100 единиц продукции можно потратить 50 единиц труда и 20 единиц капитала, или же по 40 единиц труда и капитала, или же множество других сочетаний L и K.

Как нам определить, какое из сочетаний будет самым удачным? Очевидно, исходя из цены каждого ресурса. Пусть r — цена единицы капитала, а w – цена единицы труда. Тогда для некоторого набора ресурсов (L,K ), их общая стоимость:

На плоскости LOK это будет прямая с угловым коэффициентом $k = -frac$.

Множество точек (L;K) на плоскости LOK, которые соответствуют одной величине затрат на ресурсы (бюджету), называют изокостой или линией равной стоимости .

Пусть цена ресурсов r = 5, w = 3.

Построим изокосты для общей суммы затрат C =

$$ frac = frac<3> <5>= 0,6, frac = frac <5>= 0,2C, K = -0,6L+0,2C $$

1. Угловой коэффициент изокосты равен отношению цен на ресурсы $k = -frac$.

2. Изокоста для данного бюджета затрат C проходит через точки $(frac,0)$ и $(0;frac)$.

3. Для заданных цен на ресурсы изокосты для $C_1 neq C_2$ являются параллельными прямыми.

План производства с минимальными затратами на ресурсы

Теперь поставим главную задачу:

При заданном плане производства $Q_0$, известных ценах на ресурсы r и w, найти такое сочетание труда L и капитала K, при котором затраты на эти ресурсы минимальны:

$$ <left< begin Q_0 = A cdot K^a L^ <1-a>\ C = wL+rK rightarrow min end right.> $$

При заданном плане производства $Q_0$, известных ценах на ресурсы r и w, затраты на ресурсы будут минимальными в точке $(L_0,K_0)$, в которой изокоста $C_0 (L_0,K_0)$ является касательной для изокванты $Q_0 (K,L)$, т.е. имеет с ней только одну общую точку.

Величина затрат для оптимальной изокванты:

Оптимальный объем ресурсов:

Пусть $Q = 2,5 cdot K^frac<1> <4>L^frac<3><4>$. План выпуска продукции $Q_0 = 100$ единиц.

Цена ресурсов r = 5, w = 3.

Найти оптимальное отношение труда к капиталу $frac$, при котором затраты на ресурсы будут минимальными.

$$ = 40 cdot 2^2 cdot sqrt[4] <5>= 160 sqrt[4] <5>$$

Оптимальный объем ресурсов:

Объем труда в 5 раз больше объема капитала при оптимальных затратах.

В плоскости LOK:

Таким образом, точка $(40 sqrt[4]<5>;8 sqrt[4]<5>)$ является точкой касания изокосты с минимальным бюджетом затрат $C_0 = 160 sqrt[4]<5>$ и изокванты с планом выпуска $Q_0 = 100$.

Производственная функция Кобба-Дугласа

Вы будете перенаправлены на Автор24

Назначение производственной функции

Производство с точки зрения экономики представляет собой процесс применения технологий и ресурсов для получения продуктов, предназначенных для продажи.

Таким образом, это процесс создания товара и услуги, которая обладает определенной полезностью для покупателей. Любая деятельность по производству товаров и услуг является деятельностью направленной на удовлетворения потребностей отдельных индивидов или общества в целом.

Соотношение платежеспособного спроса на товары и предложения определяет цену товара или услуги. Количественной характеристикой предложения или объема производства и стоимости товаров является производственная функция. Производственный процесс оказывает прямое влияние на благосостояние общества в целом: чем выше степень удовлетворения индивидуальных и общественных потребностей и удельный вес среднего класса в общем численности населения, тем выше уровень национального благосостояния и развития.

Задача производственной функции состоит в том, чтобы объяснить рост благосостояния общества в процессе выпуска товаров и услуг.

Функция Кобба-Дугласа в системе производственных функций

Значение производственных функций выражается в создании экономико-математических моделей, характеризующих зависимость объема производства от его различных факторов или их соотношения в условиях национального хозяйства.

Эти модели включают в себя такие показатели как объем производства в натуральном или стоимостном выражении, затраченные объемы ресурсов (факторов производства).

Различают две разновидности производственных функций:

• во-первых, однофакторные, устанавливающие зависимость объема производства от одного фактора. К этой разновидности относятся линейная, параболическая, степенная и показательная функции;
• во-вторых, двухфакторные устанавливающие зависимость объема производства от соотношения двух факторов. К этой разновидности относятся функции Кобба-Дугласа, Леонтьева, Солоу, Аллена.

Готовые работы на аналогичную тему

Особенности производственной функции Кобба-Дугласа

В качестве двух основных факторов производства выступают капитал и труд. Определенная пропорциональность их сочетания создает условия для получения продукта. Назначение производственной функции Кобба-Дугласа состоит в том, чтобы отражать технологическое соотношение объема труда и капитала, необходимое для производства того или иного товара в необходимом количестве.

Данная производственная функция является двухфакторной. Впервые ее предложил шведский экономист Кнут Векселль, но статистическая проверка была выполнена в период с 1927 по 1947 год двумя учеными – Чарльзом Коббом и Полом Дугласом (в 1928 году вышла их работа под названием «Теория производства»). Именно фамилии этих ученых и дали название производственной функции.

Также термин «производственная функция Кобба-Дугласа» в узком смысле применяется для обозначения постоянной отдачи от масштаба.

Производственная функция, разработанная Коббом и Дугласом, представляет собой первую функцию агрегированного производства. Ее применение позволило осуществлять моделирование не только мелкомасштабных процессов, но и целых отраслей экономики. Статистическое подтверждение данной функции стало началом нового этапа макроэкономического развития, позволяющего дать оценку эффективности производства на уровне национального хозяйства.

Формула производственной функции Кобба-Дугласа

В формуле производственной функции Кобба-Дугласа отражается зависимость объем производства определенного товара от сочетания двух факторов производства – труда и капитала. В общем виде формула имеет следующий вид:

$Q = A • L^α • K^β$, где:

• $Q$ – показатель объема производства, характеризующий реальную стоимость товаров и услуг, произведенных в определенный период времени;
• $A$ – общий показатель технологической продуктивности факторов. Этот показатель является наиболее трудным для определения и предусматривает с определенным уровнем погрешности возможность несовершенства оценки вклада труда и капитала, а также влияние иных факторов;
• $L$ – затраты труда в производство определенного объема продукции, выражающиеся в количестве человеко-часов, отработанных всеми работниками за указанный период времени;
• $K$ – затраты вложенного капитала в производство определенного объема продукции, выражающиеся в реальной стоимости оборудования и машин, используемых в производстве;
• $α$ – технологическая эластичность труда;
• $β$ – технологическая эластичность капитала.

Основу данной формулы составляют статистические расчеты, свидетельствующие о том, что для развитых стран характерны постоянные доли вкладов труда и капитала на протяжении длительного времени. Однако в настоящее время данное утверждение подвергается сомнению.

Эластичность факторов производства в производственной функции Кобба-Дугласа

Важнейшими показателя производственной функции Кобба-Дугласа являются показатели эластичности факторов производства, которые отражают влияние изменения их соотношения на физический объем производства при иных равных условиях.

Возможны три варианта значений, принимаемых коэффициентами эластичности в рамках формулы:

• $α + β = 1$, данное соотношение характеризует постоянную отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет на те же 100%, то есть в два раза. производственная функция является линейно однородной;
• $α + β > 1$, данное соотношение характеризует возрастающую отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет, допустим, на 120%, то есть более чем в два раза;
• $α + β$