Как найти электрическую емкость батареи конденсаторов

Содержание:

Электроемкость:

Сообщая телу определенный заряд, мы изменяем его потенциал. Это изменение непосредственно связано со значением заряда, сообщаемого телу.

Для исследования зависимости потенциала тела от его заряда проведем опыт с электрометром, корпус которого соединен с поверхностью Земли. ‘Гикая система может измерять потенциал тела относительно Земли. Укрепим на стержне этого электрометра пустотелый металлический шар и будем сообщать ему заряд с помощью маленького металлического шарика на изоляционной ручке. Если коснуться заряженным шариком внутренней поверхности металлического шара, то весь его заряд перейдет на шар, а стрелка электрометра покажет увеличение потенциала шара. Последовательно повторяя опыт с переносом заряда на большой шар, заметим, что каждый раз его потенциал увеличивается (рис. 1.28).

Применяя более точные способы измерения заряда и потенциала, можно установить, что потенциал возрастает пропорционально возрастанию заряда. Потенциал пропорционален заряду шара. Результаты одного из таких опытов отражены на графике (рис 1.29).

Если ни стержне электрометра укрепим шар большего (меньшего) диаметра и продолжим опыты (рис. 1.31), то увидим, что скорость зарядки изменилась, соответственно уменьшилась (увеличилась).
Процесс электризации шара большего диаметра отображен графиком на рисунке 1.32.

Сопоставив графики, которые иллюстрируют процессы зарядки шаров различных диаметров (рис. 1.30 и 1.32), увидим, что графики имеют различный наклон относительно горизонтальной оси. Это свидетельствует о том, что при одинаковых значениях заряда шары разных диаметров будут иметь разные потенциалы. Оказывается, что на князь между зарядом и потенциалом шара существенно влияют геометрические размеры шаров.

Рис. 130. Электризация шара большего диаметра

Потенциал металлического шара пропорционален его заряду; коэффициент пропорциональности для различных шаров разный.

Анализируя результаты опытов и соответствующие графики, можно сделать выводы:

1. потенциал каждого шара пропорционален его заряду: 
2. для тел различных размеров коэффициент пропорциональности разный.

Установлено, что этот коэффициент для каждого тела имеет вполне определенное значение, что отражает способность тела накапливать электрический заряд. Физическая величина, равная отношению электрического заряда, сообщенного телу, к его потенциалу, называется электроемкостью тела.

где C — электроемкость проводника; Q — заряд; φ — потенциал.

Для измерения электроемкости в физике применяют единицу, которую называют фарад (Ф).

Тело имеет электроемкость в 1 фарад, если при изменении его заряда на 1 кулон потенциал изменяется па 1 вольт:

Электроемкость 1 фарад имеют тела, у которых при изменении заряда на 1 кулон потенциал изменяется на 1 вольт.

• 1Ф — довольно большое значение электроемкости. Например, электроемкость Земли, имеющей радиус 6400 км, составляет всего 7 ∙ 10⁴ Ф. Поэтому на практике используют единицу электроемкости, кратную фараду:
• 1 микрофарад = 1 мкФ = 10^-5 Ф.
• 1 пикофарад = 1 пФ = 10^-12 Ф.

Пример:

Два шара, электроемкости которых 50 мкф и 80 мкФ, а потенциалы 120 В и 50 В соответственно, соединяют проводом. Найти потенциал шаров после соединения.

Дано:  C1 = 50 мкФ, C2 = 80 мкФ, φl = 120 В, φ2 = 50 В.	Решение Заряд каждого шара соответственно равен: Q1 = C1φ1. Q2=c2φ2∙
φ-?

После соединения шаров произойдет перераспределение зарядов между ними так, что их потенциалы станут одинаковыми. Согласно закону сохранения электрических зарядов

Отсюда

или

Подставив значения физических величин и произведя расчеты, получим:

Ответ: после соединения шары будут иметь потенциал 77 В.

Конденсатор

Чтобы экспериментально определить электроемкость проводника, как и его потенциал, нужно создать условия, исключающие влияние всех окружающих тел, которые, влияя па тело, изменяют его потенциал и электроемкость.

Это утверждение можно проверить опытом.
Укрепим на стержне электрометра металлический шар и сообщим ему определенный заряд. Стрелка прибора отклонится от положения равновесия и покажет определенное значение потенциала относительно земли.

Поднесем к шару металлическую пластину, соединенную проводником с землей (рис. 1.32).

Pиc. 132. Заземленная металлическая пластина влияет на электроемкость шара

Показания стрелки электрометра уменьшатся. Поскольку заряд шара в опыте не изменялся, то уменьшение потенциала свидетельствует об увеличении электроемкости шара. Изменение потенциала и соответственно электроемкости шара будет наблюдаться и в случае изменения расстояния между шаром и пластиной.

Таким образом, определяя электроемкость тела, необходимо учитывать также наличие окружающих тел. Поскольку на практике это сделать трудно, то применяют систему из двух или более проводников произвольной формы, разделенных диэлектриком. В этом случае электрические свойства такой системы проводников и диэлектрика не зависят от окружающих тел. Такую систему называют конденсатором. Простейшим для изучения и расчетов является конденсатор из двух металлических пластин, разделенных диэлектриком.

Электроемкость конденсатора, в отличие от обособленного тела, определяется по разности потенциалов между пластинами:

где Q — заряд одной пластины; (φ_l— φ₂) и ∆φ — разность потенциалов между пластинами.

Слово конденсатор обозначает накопитель. В электричестве понимают как «накопитель электрических зарядов».

Пример:

Какую электроемкость имеет конденсатор, если на его обкладках накапливается заряд 50 нКл при разности потенциалов 2,5 кВ?

Дано: Q = 50 нКл, Аφ = 2,5 кВ.	Решение Используем формулу емкости конденсатора:
С-?

Подставим значения физических величин:

Ответ: электроемкость данного конденсатора 20 пФ.

Первый конденсатор был создан в 1745 г. голландским ученым Питером ван Мушенбруком, профессором Лейденского университета. Проводя опыты по электризации различных тел, он опустил проводник от кондуктора электрической машины в стеклянный графин с водой (рис. 1.33).

Питер ван Мушенбрук (1692-1781) — голландский физик; работы посвящены электричеству, теплоте, оптике; изобрел первый конденсатор — лейденскую банку и провел опыты с ней.

Pиc. 133. Из истории открытия простейшего конденсатора лейденской банки

Случайно коснувшись пальцем этого проводника, ученый ощутил сильный электрический удар. В дальнейшем жидкость заменили металлическими проводниками, укрепленными на внутренней и внешней поверхностях банки. Такой конденсатор назвали лейденской банкой. В таком первозданном виде она использовалась в лабораториях более 200 лет.

Более совершенные конденсаторы применяются в современной электротехнике и радиоэлектронике. Их можно найти в преобразователях напряжения (адаптерах), питающих постоянным электрическим током электронные приборы, в радиоприемниках и радиопередатчиках как поставные части колебательных контуров. Они применяются практически во всех функциональных узлах электронной аппаратуры. В фотовспышках конденсаторы накапливают большие заряды, необходимые для действия вспышки.

В электротехнике конденсаторы обеспечивают необходимый режим работы электродвигателей, автоматических и релейных приборов, линий электропередач и т. п.

Во многих широкодиапазонных радиоприемниках конденсаторы переменной емкости (рис. 1.34) позволяют плавно изменять собственную частоту колебательного контура н процессе поиска передачи определенной радиостанции.

Рис. 134. Конденсатор переменной емкости с воздушным диэлектриком

Весьма распространены конденсаторы варикапы, электроемкость которых можно изменять электрическим способом. Конструктивно они весьма схожи с полупроводниковыми диодами.

Конденсаторы могут быть плоскими, трубчатыми, дисковыми. В качестве диэлектрика в них используют парафинированную бумагу, слюду, воздух, пластмассы, керамику (рис. 1.35).

Рис. 1.35. Различные типы конденсаторов

Искусственно созданные диэлектрические материалы позволяют создавать конденсаторы больших емкостей при небольших размерах.

Электроемкость плоского конденсатора

Плоским конденсатором обычно называют систему плоских проводящих пластин — обкладок, разделенных диэлектриком. Благодаря простоте конструкции такого конденсатора легко рассчитывать его емкость и получать значения, подтверждаемые опытами. Для этого достаточно знать его геометрические параметры и электрические свойства диэлектрика между его пластинами. Зависимость электроемкости плоского конденсатора от указанных параметров можно исследовать в школьной лаборатории.

Создадим плоский конденсатор из двух плоских пластин. Для этого одну пластину укрепим на стержне электрометра, я другую — па изоляционной подставке, присоединив ее проводником к корпусу электрометра (рис. 1.36.). В такой системе электрометр будет измерять разность потенциалов между пластинами, образующими плоский конденсатор.

При постоянном значении заряда на пластинах уменьшение разности потенциалов свидетельствует об увеличении электроемкости конденсатора, и наоборот.

Сообщим пластинам некоторый заряд и отметим показания стрелки прибора. Когда начнем сближать пластины, уменьшая расстояние между ними, показания стрелки начнут уменьшаться. Это будет свидетельством того, что при уменьшении расстояния между пластинами электроемкость конденсатора будет увеличиваться. При увеличении расстояния между пластинами показания стрелки будут увеличиваться, что свидетельствует об уменьшении электроемкости.

Электроемкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между его обкладками.

где d — расстояние между обкладками.

Эту, зависимость можно изобразить на графике как обратно пропорциональную зависимость (рис. 1.37).

Электроемкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между его обкладками.

Pиc. 137. График зависимости электроемкости и плоского конденсатора от расстояния между пластинами

Будем смещать одну пластину относительно другой в параллельных плоскостях, не изменяя расстояния между ними. При атом площадь перекрытия между пластинами будет изменяться (рис. 1.38). Изменение разности потенциалов, отмеченное электрометром, засвидетельствует изменение электроемкости.

Pиc. 138. При расчетах электроемкости плоского конденсатора учитывают площадь перекрытия пластин

Увеличение площади перекрытия приведет к увеличению электроемкости, при уменьшении — наоборот.

Электроемкость плоского конденсатора пропорциональна площади пластин, которые перекрываются.

где S — площадь пластин, которые перекрываются.

Электроемкость плоского конденсатора пропорциональна площади пластин, которые перекрываются.

Эту зависимость можно изобразить графиком прямой пропорциональной зависимости (рис. 1.39).

Pиc. 139. График зависимости электроемкости плоского конденсатора от площади его пластин

Возвратив пластины в первоначальное положение, внесем в пространство между обкладками пластину из диэлектрика. Электрометр отметит уменьшение разности потенциалов между пластинами, что свидетельствует об увеличении электроемкости. Если внести пластину из другого диэлектрика (другая диэлектрическая проницаемость), то изменение электроемкости будет другим.

Электроемкость плоского конденсатора зависит от диэлектрической проницаемости диэлектрика между обкладками.

где ε — диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Эта зависимость изображена графиком на рисунке 1.40.

Рис. 1.40. График зависимости электроемкости плоского конденсатора от диэлектрической проницаемости диэлектрика

Результаты описанных выше исследований можно обобщить формулой электроемкости плоского конденсатора

где ε — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика; ε₀— электрическая постоянная; d — расстояние между пластинами; S — площадь пластины.

Электроемкость плоского конденсатора зависит от диэлектрической проницаемости диэлектрика.

Соединение конденсаторов в батареи

Для получения необходимых значений электроемкости конденсаторы соединяют в батареи. На практике встречается параллельное, последовательное и смешанное соединение конденсаторов.

При параллельном соединении конденсаторов все обкладки соединяются в две группы, в каждую из которых входит по одной обкладке каждого конденсатора. На рисунке 1.41 приведена схема такого соединения. При таком соединении каждая группа обкладок имеет одинаковый потенциал.

Pиc 1.41. Схема параллельного соединения конденсаторов

Если батарею параллельно соединенных конденсаторов зарядить, то между обкладками каждого конденсатора будет одинаковая разность потенциалов. Общий заряд батареи будет равен сумме зарядов каждого из конденсаторов, входящих в батарею:

Если учесть, что  то

или

Электроемкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме электроемкостей всех конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов соединяются между собой только две пластины разных конденсаторов. Если в каждом конденсаторе пластины обозначить буквами А и В, то при последовательном соединении пластина B₁ будет соединена с пластиной A₂, пластина B₂ -с пластиной А₃ и т. д. (рис. 1.43).

Если цепочку последовательно соединенных конденсаторов присоединить к источнику тока, то об-
кладка A₁ и обкладка B₁ будут иметь одинаковые по значению заряды +Q и -Q. Благодаря этому все обкладки внутри цепочки будут иметь такие же, но попарно противоположные по знаку заряды:

Pиc. 1.42. Последовательное соединение конденсаторов

Вместе с тем общая разность потенциалов на концах цепочки будет равна сумме разностей потенциалов на каждом конденсаторе:

Учитывая, что  будем иметь

Разделим левую и правую части равенства на Q:

При последовательном соединении конденсаторов обратное значение электроемкости цепочки равно сумме обратных значений электроемкостей каждого из конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов обратное значение электроемкости цепочки равно с

При последовательном соединении конденсаторов обратное значение электроемкости цепочки равно сумме обратных значений электроемкостей каждого из конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов разной электроемкости C₁, C₂, C₃, … С_n общая электроемкость С будет меньше электроемкости самого меньшего конденсатора.
Если C₁ < C₇ < C₉ < … < C_n, то C < C₁.

Электроемкость

То, что деньги хранят в банках, знает даже первоклассник. А вот где хранят заряды? И зачем вообще хранить заряды?

Что такое электроемкость

Электроемкость характеризует способность проводника или системы проводников накапливать электрический заряд. Различают электроемкость уединенного проводника и электроемкость системы проводников (например, конденсатора). Уединенным называют проводник, расположенный вдали от других тел так, что они не оказывают на этот проводник никакого влияния.

Электроемкость уединенного проводника (C) — физическая величина, характеризующая способность проводника накапливать заряд и равная отношению электрического заряда q проводника к его потенциалу М:

Единица электроемкости в Си — фарад: [C] = 1 Ф (названа в честь М. Фарадея).

1 Ф — это электроемкость такого проводника, потенциал которого равен 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл;

1 Ф — очень большая единица емкости, поэтому используют дольные единицы:

Что такое конденсатор

Конденсатор — устройство, представляющее собой систему из двух проводящих обкладок, разделенных тонким слоем диэлектрика (рис. 44.1).

Рис. 44.1. Школьный воздушный конденсатор: а — вид; б — устройство; в — обозначение на схемах

Обкладкам конденсатора передают одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды, что способствует накоплению зарядов: разноименные заряды притягиваются, а значит, располагаются на внутренних поверхностях обкладок.

Обычно для зарядки конденсатора обе его обкладки соединяют с полюсами батареи аккумуляторов: на обкладках появляются равные по модулю, но противоположные по знаку заряды. Результат не изменится, если соединить с полюсом батареи только одну обкладку, заземлив вторую: вследствие электростатической индукции на заземленной обкладке тоже появится заряд, равный по модулю заряду на другой обкладке, но имеющий противоположный знак.

Зарядом конденсатора называют модуль заряда одной из обкладок. Отношение заряда q данного конденсатора к разности потенциалов () между его обкладками не зависит ни от значения q, ни от разности потенциалов (), а значит, может служить характеристикой конденсатора. Такую характеристику называют электроемкостью (емкостью) конденсатора:

где U — напряжение между обкладками: .

Как показывают исследования, емкость конденсатора увеличится, если увеличить площадь поверхности обкладок или приблизить обкладки друг к другу. На емкость конденсатора влияет также диэлектрик: чем больше его диэлектрическая проницаемость, тем большую емкость имеет конденсатор.

Конденсатор, состоящий из двух параллельных металлических пластин (обкладок), разделенных слоем диэлектрика, называют плоским (см. рис. 44.1). Электроемкость плоского конденсатора вычисляют по формуле:

где Ф/м — электрическая постоянная; ε — диэлектрическая проницаемость диэлектрика; S — площадь пластины конденсатора; d — расстояние между пластинами.

Поле между пластинами плоского конденсатора однородно, поэтому напряженность Е поля связана с напряжением U на конденсаторе формулой U=Ed.

Как рассчитывают электроемкость батареи конденсаторов

Конденсаторы характеризуются емкостью и максимальным рабочим напряжением Umax. Если напряжение, поданное на конденсатор, значительно превысит Umax, произойдет пробой — между обкладками возникнет искра, которая разрушит изоляцию.

Чтобы получить необходимую электроемкость при определенном рабочем напряжении, конденсаторы соединяют в батареи, применяя параллельное, последовательное и смешанное соединения. Рассмотрим батарею из трех конденсаторов электроемкостями

При параллельном соединении конденсаторов положительно заряженные обкладки всех конденсаторов соединяют в один узел, а отрицательно заряженные — в другой узел (рис. 44.2). В таком случае общий заряд q батареи конденсаторов равен алгебраической сумме зарядов отдельных конденсаторов:

Соединенные в один узел обкладки представляют собой один проводник, поэтому потенциалы обкладок, а следовательно, и разность потенциалов (напряжение) между обкладками всех конденсаторов одинаковы:

Таким образом, при параллельном соединении конденсаторов допустимое рабочее напряжение батареи определяется рабочим напряжением одного конденсатора.

Поскольку то следовательно, электроемкость батареи из трех параллельно соединенных конденсаторов равна:

При последовательном соединении конденсаторы соединяют друг с другом разноименно заряженными обкладками (рис. 44.3). В этом случае заряды всех конденсаторов будут одинаковы и равны заряду батареи:

Напряжение на батарее последовательно соединенных конденсаторов равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах:

Таким образом, допустимое рабочее напряжение батареи последовательно соединенных конденсаторов больше допустимого рабочего напряжения отдельного конденсатора. Электроемкость батареи последовательно соединенных конденсаторов вычисляют по формуле:

При последовательном соединении конденсаторов емкость батареи меньше, чем емкость конденсатора с минимальной емкостью.

Приведенные соотношения можно обобщить для любого количества конденсаторов.

Обратите внимание!

• Если батарея содержит n параллельно соединенных конденсаторов электроемкостью C′ каждый, то: C=nC′
• Если батарея содержит n последовательно соединенных конденсаторов электроемкостью C′ каждый, то:

Энергия заряженного конденсатора

Заряженный конденсатор, как и любая другая система заряженных тел, обладает энергией.

Убедимся в этом с помощью простого эксперимента. Присоединим к обкладкам заряженного конденсатора лампочку. Замкнем ключ — лампочка загорится. Теперь измерим напряжение на обкладках конденсатора — оно равно нулю, то есть конденсатор разрядился, а это означает, что заряженный конденсатор обладал энергией, которая частично превратилась в энергию света.

Вычислим энергию заряженного до напряжения конденсатора емкостью С, на котором накоплен заряд . Эту энергию точнее было бы назвать энергией электростатического поля, которое существует между обкладками заряженного конденсатора, поскольку энергия любых заряженных тел сосредоточена в электрическом поле, создаваемом этими телами.

При разрядке конденсатора напряжение U на его обкладках изменяется прямо пропорционально заряду q конденсатора: поэтому график зависимости U(q) имеет вид, представленный на рис. 44.4.

Рис. 44.4. К определению работы, которую совершает электрическое поле заряженного конденсатора при его разрядке

Мысленно разделим весь заряд конденсатора на маленькие «порции» Dq и будем считать, что при потере каждой такой «порции» напряжение на конденсаторе не изменяется. Таким образом получим ряд полос. Площадь S′ каждой полосы равна произведению двух ее сторон: , где U′ — напряжение, при котором конденсатор терял данную «порцию» заряда ; A′ — работа, которую совершило поле при потере конденсатором заряда . Полная работа, которую совершило поле при уменьшении заряда конденсатора от до 0, определяется площадью выделенного на рис. 44.4 треугольника.

Следовательно,. Учитывая, чтополучим: С другой стороны, данная работа равна уменьшению энергии электрического поля конденсатора от до нуля: A= − 0 = W. Таким образом, энергия заряженного до напряжения U конденсатора, имеющего электроемкость С и заряд q, равна:

Для чего нужны конденсаторы

В современной технике сложно найти отрасль, где не применялись бы конденсаторы. Без них не обходятся радио­ и телеаппаратура (настройка колебательных контуров), радиолокационная и лазерная техника (получение мощных импульсов), телефония и телеграфия (разделение цепей переменного и постоянного токов, тушение искр в контактах), электроизмерительная техника (создание образцов емкости). И это далеко не полный перечень.

В современной электроэнергетике конденсаторы тоже имеют широкое применение: они присутствуют в конструкциях люминесцентных светильников, электросварочных аппаратов, устройств защиты от перенапряжений. Конденсаторы применяют и в других, не электротехнических, областях техники и промышленности (в медицине, фототехнике и т. д.).

Разнообразие областей применения обусловливает большое разнообразие конденсаторов. Наряду с миниатюрными конденсаторами, имеющими массу меньше грамма, а размеры порядка нескольких миллиметров, существуют конденсаторы массой несколько тонн и высотой больше человеческого роста. Емкость современных конденсаторов может составлять от долей, а рабочее напряжение может быть в пределах от нескольких вольт до нескольких сотен киловольт. Конденсаторы можно классифицировать по следующим признакам и свойствам:

• по назначению — постоянной и переменной емкости;
• по форме обкладок — плоские, сферические, цилиндрические и др.;
• по типу диэлектрика — воздушные, бумажные, слюдяные, керамические, электролитические и др.

Выводы:

• Энергию заряженного конденсатора можно вычислить по формулам:
• Конденсаторы классифицируют по назначению (постоянной и переменной емкости); по форме обкладок (плоские, сферические, цилиндрические и др.); по типу диэлектрика (воздушные, бумажные, слюдяные, керамические, электролитические и др.).

Элементы цепи могут быть подключены двумя способами:

1. последовательно
2. параллельно

Проиллюстрируем данные подключения на примере двух конденсаторов (рис. 1).

• последовательное соединение конденсаторов

Логическая зарядка конденсаторов происходит как показано на рис.1. Приходя из цепи, электрон останавливается на левой обкладке (пластине) конденсатора. При этом, благодаря своему электрическому полю (электризация через влияние), он выбивает другой электрон с правой обкладки, уходящий дальше в цепь (рис. 1.1). Этот образовавшийся электрон приходит на левую обкладку следующего конденсатора, соединённого последовательно. И всё повторяется снова. Таким образом, в результате «прохождения» через последовательную цепь конденсаторов «одного» электрона, мы получаем заряженную систему с одинаковыми по значению зарядами на каждом из конденсаторов (рис. 1.2).

Кроме того, напряжение на последовательно соединённой батареи конденсаторов есть сумма напряжений на каждом из элементов (аналог последовательного сопротивления проводников).

Часть задач школьной физики касается поиска общей электроёмкости участка цепи, логика такого поиска: найти такую электроёмкость, которым можно заменить цепь, чтобы параметры напряжения и заряда остались неизменными (рис. 2). Пусть заряд на обоих конденсаторах —  (помним, что они одинаковы), электроёмкости — ,  и соответствующие напряжения —  и .

Учитывая определение электроёмкости:

 (1)

Тогда:

 (2)

• где

 (3)

• где

 (4)

• где

Памятуя о том, что конденсаторы соединены последовательно, получаем:

 (5)

Тогда:

 (6)

Или в общем виде:

(7)

• где

Для цепи из двух последовательных соединений:

(8)

•  параллельное соединение конденсаторов

Параллельное подключение конденсаторов представлено на рисунке 3. При внесении электрона в систему, у него есть выбор: пойти на верхний или нижний конденсатор. При большом количестве электронов заполнение обкладок конденсатора происходит прямо пропорционально электроёмкости конденсаторов.

Опять попробуем решить задачу по поиску полной ёмкости конденсаторов (рис. 4). Помним, что при параллельном подключении напряжения на элементах одинаковы, тогда:

(9)

• где

(10)

• где

(11)

• где

С учётом того, что , получим:

(12)

Сокращаем:

(13)

Или в общем виде:

(14)

• где

Вывод: в задачах, в которых присутствует цепь, необходимо рассмотреть, какое конкретно соединение рассматривается, а потом использовать соответствующую логику рассуждений:

• для последовательного соединения
• для параллельного соединения

Если двум, находящимся на некотором расстоянии друг от друга, проводникам сообщить электрические заряды (q1 и q2), между ними появится электрическое поле. Разность потенциалов (Δφ) в нём будет определяться величинами сообщённых зарядов и формой, которую имеют проводники. Разность потенциалов между 2 точками постоянного во времени и однородного электрического поля называют напряжением (U).

Заряды, сообщённые проводникам, могут быть оба положительными, оба отрицательными или иметь разные знаки. Последний случай при равных абсолютных значениях зарядов нашёл в физике и электротехнике наибольшее применение и поэтому нам особенно интересен.

Электроемкость

В подавляющем большинстве случаев его толщина много меньше размеров обкладок.

В системе СИ электроёмкость измеряют в Фарадах. Один Фарад равен электроемкости конденсатора, при которой заряд, равный 1 Кулону, создаёт между его пластинами напряжение в 1 Вольт.

[1 Phi=frac{1 mathrm{~Kл}}{1 mathrm{~B}}]

Ёмкость в 1 Фарад – величина очень большая. На практике чаще всего используют мили фарады (одна тысячная фарада), микрофарады (одна миллионная), нанофарады (одна миллиардная), пикофарады (10 в минус 12-й степени).

Обычно такое поле не велико и при решении многих (но далеко не всех) задач его наличием можно пренебречь.

Абсолютную величину напряжённости каждой из обкладок можно выразить формулой:

[E_{1}=frac{sigma}{2 varepsilon_{0}}].

Где σ это плотность электрического заряда на плоскости. По принципу суперпозиции полная величина напряжённости поля конденсатора равна сумме напряжённостей полей от каждой из его обкладок.

[vec{E}=overrightarrow{E^{+}}+overrightarrow{E^{-}}]

Т. к. между пластинами векторы [overrightarrow{E^{+}} text {и } overrightarrow{E^{-}}] параллельны, полную напряжённость можно вычислить по формуле [E=2 E_{1}=frac{sigma}{varepsilon_{0}}].

Вне пластин поля каждой из них компенсируют друг друга, и потому общая их напряжённость равна нулю.

Как вычислить электроемкость плоского конденсатора

Вспомним, как ёмкость зависит от заряда пластин и разности потенциалов между ними. Это формула [mathrm{C}=(mathrm{q} / Delta varphi) . text { Заряд } mathrm{q}=sigma * mathrm{~S}, mathrm{~S}] – площадь одной обкладки.

Разность потенциалов в однородном электростатическом поле равна напряжению и вычисляется по формуле [Delta varphi=mathrm{E}^{*} mathrm{~d}]

Подставляем эти значения в формулу для ёмкости. В результате получаем:

[C=left(sigma^{*} Sright) /left(E^{*} dright)]

Т. к. электрическая постоянная ε0 равна σ/E в итоге получаем [C=frac{q}{Delta varphi}=frac{sigma cdot S}{E cdot d}=frac{varepsilon_{0} S}{d}].

Теперь давайте определим электроемкость конденсатора в форме сферы и цилиндра.

Сферический конденсатор

[varphi_{1}-varphi_{2}=int E d x=int frac{k Q d r}{r^{2}}=k Qleft(frac{1}{R_{1}}-frac{1}{R_{2}}right)] т. к. [C_{c Phi}=frac{Q}{k Qleft(frac{1}{R_{1}}-frac{1}{R_{2}}right)}=frac{4 pi varepsilon varepsilon_{0} R_{1} R_{2}}{R_{2}-R_{1}}]

У нас R2 -R1 << R1. Это значит, что R1 и R2 можно принять равными R, тогда произведение радиусов в формуле можно будет считать квадратом R.

R2 – R1=d

Исходя из того что [C_{c Phi}=frac{4 pi varepsilon varepsilon_{0} R^{2}}{d}] и [S_{c Phi}=4 pi R^{2}].

В итоге получаем [C=frac{varepsilon varepsilon_{0} S}{d}=frac{4 pi varepsilon varepsilon_{0} R^{2}}{R_{2}-R_{1}}].

Цилиндрический конденсатор

Для упрощения расчётов расположим их на одной оси.

Если пренебречь краевыми эффектами, то [varphi_{1}-varphi_{2}=frac{lambda}{2 pi varepsilon varepsilon_{0}} ln left(frac{r_{2}}{r_{1}}right)=frac{q}{2 pi varepsilon varepsilon_{0} l} ln left(frac{r_{2}}{r_{1}}right)]

[C=frac{q}{varphi_{1}-varphi_{2}}=frac{2 pi varepsilon_{0}}{ln left(frac{r_{2}}{r_{1}}right)}].

Теперь вы знаете, чему равна электроемкость конденсатора, давайте рассмотрим их соединения в электрической цепи.

Расчёт электроемкости батареи конденсаторов

У параллельно соединённых конденсаторов одинакова разность потенциалов между обкладками Q1= С1 (φА- φВ), Q2= С2 (φА- φВ), Q3 = С3 (φА- φВ). Заряд батареи складывается из зарядов каждого из отдельных конденсаторов, в неё входящих. Поэтому легко понять почему

[Q=sum_{i-1}^{N} Q_{i}=sum_{i=1}^{N} C_{i}left(varphi_{mathrm{A}^{-}} varphi_{mathrm{B}}right)]

Суммарная ёмкость батареи при таком раскладе равна

[C_{text {парал }}=frac{Q}{varphi_{A}-varphi_{B}}=sum_{i=1}^{N} C_{i}]

Выходит, что при параллельном соединении ёмкости просто складываются.

При последовательном соединении конденсаторов ситуация будет совершенно другой.

В этом случае заряды обкладок всех входящих в батарею конденсаторов равны по абсолютной величине. Разность потенциалов на её концах равняется сумме разностей потенциалов на каждом из них. В виде формулы можно записать таким образом Dj=Dj1 + Dj2 + ….+ Dj.

Для каждого из конденсаторов батареи справедливы соотношения:

[Delta varphi_{mathrm{i}}=mathrm{q} / mathrm{C}_{mathrm{i}}, text { но } Delta varphi=mathrm{Q} / mathrm{C}=mathrm{Q} sum_{i=1}^{N} frac{1}{C_{i}} mathrm{p}]

[frac{1}{C_{text {посл }}}=Q sum_{i=1}^{N} C_{i}].

Из этого следует однозначный вывод, что при последовательном соединении ёмкость батареи всегда меньше ёмкости любого из её конденсаторов.

Электроемкость конденсатора колебательного контура

Мы для вычисления ёмкости будем рассматривать упрощённую его схему, состоящую только из конденсатора и катушки. Сопротивление соединяющих их проводников положим равным нулю. Сопротивлением катушки и излучением электромагнитных волн тоже пренебрегаем. Такой контур называют идеальным.

Придадим обкладкам конденсатора заряды –Q и +Q. В начальный момент времени электроемкость конденсатора контура будет [W_{C}=frac{Q^{2}}{2 C}].

Это максимальное значение ёмкости конденсатора в контуре. Выше него никак не будет.

Если замкнуть конденсатор на катушку, он начнёт разряжаться, возникнет электрический ток. В катушке появится и станет возрастать магнитное поле. В максимуме, когда конденсатор полностью разрядится, энергия порождённого током поля будет [W_{L}=frac{1}{2} L I^{2}].

Полная энергия системы останется постоянной и равна [W_{text {полн}}=frac{1}{2}left(frac{Q^{2}}{C}+L I^{2}right)=mathrm{const}].

Электроемкость конденсатора, энергия которого известна, из приведённых формул вычисляется достаточно легко:

C=Q²/(2W-LI²)

В контуре станут происходить гармонические колебания, общее их уравнение [ddot{Q}+frac{1}{L C} Q=0].

Его решение: [Q(t)=Q_{m} cos omega_{0} t]

Для силы тока и напряжения получим

[I=frac{d Q}{d t}=-omega_{0} Q_{m} sin omega_{0} t=I_{m} cos left(omega_{0} t+frac{pi}{2}right)], [U_{C}=frac{Q}{C}=frac{Q_{m}}{C} cos omega_{0} t=U_{m} cos omega_{0} t].

Чтобы получить формулу электроемкости конденсатора колебательного контура в любой момент времени, следует обе части

[U_{C}=frac{Q}{C}=frac{Q_{m}}{C} cos omega_{0} t]

Умножить на C и поделить на Uc.

В результате получим: [C=frac{Q_{m}}{U_{C}} cos omega_{0} t].

Электроемкость

• Электроемкость характеризует способность проводников или системы из нескольких проводников накапливать электрические заряды, а, следовательно, и электроэнергию, которая в дальнейшем может быть использована, например, при фотосъемке (вспышка) и т.д.

• Еще в середине XVIII в. считалось, что электричество — это особая жидкость, содержащаяся в любом заряженном теле. Если заряд тела уменьшался, то это объясняли «испарением» этой жидкости. Для уменьшения «испарения» (сохранения заряда) предлагали поместить заряженное тело в какую-нибудь емкость — электроемкость.

Различают электроемкость уединенного проводника, системы проводников (в частности, конденсаторов).

Электроемкость уединенного проводника

• Уединенным называется проводник, расположенный вдали от других заряженных и незаряженных тел так, что они не оказывают на этот проводник никакого влияния.

• Электроемкость уединенного проводника — физическая величина, равная отношению электрического заряда уединенного проводника к его потенциалу:

(~C = dfrac{q}{varphi}) или (~C = dfrac{Delta q}{Delta varphi}).

В СИ единицей электроемкости является фарад (Ф).

• 1 Ф — это электроемкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл.

Поскольку 1 Ф очень большая единица емкости, применяют дольные единицы:

1 пФ (пикофарад) = 10^-12 Ф, 1 нФ (нанофарад) = 10^-9 Ф, 1 мкФ (микрофарад) = 10^-6 Ф и т.д.

Электроемкость проводника не зависит от рода вещества и заряда, но зависит от его формы и размеров, а также от наличия вблизи диэлектрика.

Если уединенным проводником является заряженная сфера, то потенциал поля на ее поверхности

(~varphi = dfrac{q}{4 pi cdot varepsilon_0 cdot varepsilon cdot R} = dfrac{k cdot q}{varepsilon cdot R}),

где R — радиус сферы, ε — диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится проводник. Тогда электроемкость уединенного сферического проводника

(~C = dfrac{q}{varphi} = 4 pi cdot varepsilon_0 cdot varepsilon cdot R = dfrac{varepsilon cdot R}{k}.)

• Электроемкость сферы размерами с Землю равна всего 709 мкФ.

  Электроемкость сферы равна 1 Ф, если радиус сферы в 1400 раз больше радиуса Земли, т.е. R = 9⋅10¹² м.

Электроемкость двух проводников

Обычно на практике имеют дело с двумя и более проводниками. Рассмотрим два проводника произвольной формы, находящиеся в однородном диэлектрике. Сообщим им заряды +q и –q. При этом между проводниками установится некоторая разность потенциалов (напряжение): φ₁ – φ₂ = U.

Эксперимент показывает, что увеличение заряда каждого проводника, например, в 2 раза приводит к увеличению напряжения между ними также в 2 раза, т.е. отношение (dfrac{q}{U}) для данной пары проводника остается постоянным:

(dfrac{q_1}{U_1} = dfrac{q_2}{U_2} = ldots = const = C.)

• Электроемкость двух проводника — физическая величина, равная отношению электрического заряда одного из проводников к разности потенциалов (напряжению) между ними

(~C = dfrac{q}{varphi_1 — varphi_2} = dfrac{q}{U}. )

Электроемкость двух проводников зависит от формы и размеров проводников, от их взаимного расположения и относительной диэлектрической проницаемости среды, заполняющей пространство между ними.

Конденсаторы

Для практического использования электрической энергии необходимо уметь ее накапливать. Для этого используют специальные устройства — конденсаторы.

• Конденсаторы — это устройства, которые состоят из двух или более проводников, разделенных тонким слоем диэлектрика.

Проводники, из которых состоит конденсатор, называются обкладками.

Как правило, при зарядке конденсатора заряды его обкладок равны по величине и противоположны по знаку. Под зарядом конденсатора понимают значение заряда положительно заряженной обкладки.

• Термин «конденсатор» от латинского слова condensare — сгущать ввел А.Вольта (итальянский физик) в 1782 г. Первые электрические конденсаторы были изготовлены Э.Клейстом и П. Ван Мушенбреком в 1745 г. По имени города Лейдена, где работал Мушенбрек, французкий физик Жан Нолле назвал их лейденскими банками.

При небольших размерах конденсатор отличается значительной емкостью, не зависящей от наличия вблизи него других зарядов или проводников.

• Электроемкостью конденсатора называют физическую величину, численно равную отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

(~C = dfrac{q}{varphi_1 — varphi_2}) или (~C = dfrac qU .)

• Из этой формулы видно, что чем больше напряжение между обкладками конденсатора, тем больше на них заряд. Но для каждого конденсатора существует предельное (максимальное) напряжение, выше которого диэлектрик начнет разрушаться. При этом заряды обкладок конденсатора мгновенно нейтрализуются, происходит пробой, т.е. конденсатор выходит из строя.

Виды конденсаторов

Конденсаторы можно классифицировать по следующим признакам и свойствам:

• по форме обкладок различают конденсаторы плоские, сферические, цилиндрические и др.;
• по типу диэлектрика (рис. 1) —бумажные (а), воздушные (б), слюдяные, керамические, электролитические (в) и т.д.;
• по рабочему напряжению — низковольтные (напряжение пробоя до 100 В) и высоковольтные (выше 100 В);
• по возможности изменения своей емкости — постоянной емкости (см. рис. 1, а, в), переменной емкости (см. рис. 1, б), подстроечные (рис. 2).

• 

  а

• 

  б

• 

  в

Рис. 1

• 

  Рис. 2

• 

  Рис. 3

Другие виды конденсаторов показаны на рисунке 3.

См. так же Wikipedia Классификация конденсаторов

Электроемкость плоского конденсатора C зависит от площади обкладок S, расстояния между ними d и диэлектрической проницаемости диэлектрика ε, заполняющего пространство между обкладками конденсатора, но не зависит от материала, из которого эти пластины изготовлены

(~C = dfrac{varepsilon_0 cdot varepsilon cdot S}{d},)

где ε₀ — электрическая постоянная.

*Вывод формулы

Поле плоского конденсатора можно рассматривать как совокупность полей двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей (рис. 2, а и б). Напряженность поля (рис. 2, в) можно найти по принципу суперпозиции:

(vec{E}=vec{E}_{1} +vec{E}_{2},)

где ( E_{1} = E_{2} =dfrac{sigma }{2varepsilon _{0} cdot varepsilon } =dfrac{q}{2varepsilon _{0} cdot varepsilon cdot S}) — напряженности электрических полей каждой из обкладок конденсатора, σ — поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора. Тогда в проекциях на ось 0Х:

справа и слева от пластин — (E_х = 0);

между пластин — (E=2E_{1} =dfrac{q}{varepsilon _{0} cdot varepsilon cdot S}.)

• 

  а

• 

  б

• 

  в

Рис. 4

Электроемкость плоского конденсатора (~C = dfrac qU), где (U = E cdot d,) d — расстояние между пластин. Следовательно,

(C =dfrac{q}{Ecdot d} = dfrac{q}{d} cdot dfrac{1}{E} = dfrac{q}{d} cdot dfrac{varepsilon _{0} cdot varepsilon cdot S}{q} = dfrac{varepsilon _{0} cdot varepsilon cdot S}{d}.).

Применение конденсаторов

Конденсаторы находят широкое применение во многих областях радио- и электротехники.

• При быстром разряде конденсатора можно получить импульс большой мощности, например, в фотовспышках, электромагнитных ускорителях, импульсных лазерах и т. п.
• Так как конденсатор способен длительное время сохранять заряд, то его можно использовать в качестве элемента памяти или устройства хранения электрической энергии.
• Емкость конденсатора заметно изменяется при малейших изменениях параметра конденсатора. Так малое изменение расстояния между обкладками учитывается в измерителях малых перемещений, изменение состава диэлектрика при изменении влажности фиксируется в измерителях влажности, учет изменения высоты диэлектрика между обкладками конденсатора позволяет измерять уровень жидкости и т.п.
• Конденсаторы (совместно с катушками индуктивности и/или резисторами) используются для построения различных цепей с частотно-зависимыми свойствами, в частности, фильтров, цепей обратной связи, колебательных контуров и т. п.

Соединения конденсаторов

Для получения необходимой емкости конденсаторы соединяют между собой в батареи, применяя при этом параллельное, последовательное и смешанное соединения.

Параллельное соединение

При параллельном соединении конденсаторов одни обкладки всех конденсаторов соединяются в один узел, другие — в другой узел (рис. 5).

Общий заряд равен алгебраической сумме зарядов каждой из обкладок отдельных конденсаторов:

(~q = q_1 + q_2 + q_3.)

Так как соединенные обкладки представляют собой один проводник, то потенциалы всех соединенных в один узел обкладок одинаковы и разность потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинакова:

(~U_1 = U_2 = U_3.)

Так как q = C∙U, q₁ = C₁∙U, q₂ = C₂∙U, q₃ = C₃∙U, то (~C cdot U = C_1 cdot U + C_2 cdot U + C_3 cdot U Rightarrow)

(~C = C_1 + C_2 + C_3, C = sum_{i=1}^n C_i .)

Емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

Если параллельно соединяют n одинаковых конденсаторов, то

(~C = n cdot C_1 .)

Последовательное соединение

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 6) потенциал соединенных между собой обкладок конденсаторов одинаков.

Если сообщить одной из обкладок первого конденсатора заряд +q, то у второй обкладки будет заряд —q, у соседней обкладки второго конденсатора заряд +q и т.д. Следовательно,

(~q = q_1 = q_2 = q_3.)

Напряжение на батарее равно сумме напряжений на всех конденсаторах:

(~U = U_1 + U_2 + U_3.)

Так как (~U = dfrac qC) ; (~U_1 = dfrac{q}{C_1}) ; (~U_2 = dfrac{q}{C_2}) ; (~U_3 = dfrac{q}{C_3}) , то (~dfrac{q}{C} = dfrac{q}{C_1} + dfrac{q}{C_2} + dfrac{q}{C_3} Rightarrow)

(~dfrac{1}{C} = sum_{i=1}^n dfrac{1}{C_i} .)

Величина, обратная емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов, равна сумме величин, обратных емкостям отдельных конденсаторов.

Если последовательно соединены n одинаковых конденсаторов, то (~C = dfrac{C_1}{n}).

Энергия электростатического поля

Если к пластинам заряженного конденсатора присоединить лампочку, то она вспыхнет, а конденсатор разрядится, и электростатическое поле между его пластинами исчезнет. Следовательно, электростатическое поле конденсатора обладает энергией, которая и превратилась в световую.

Рассчитаем энергию заряженного конденсатора, заряд которого q, напряжение на конденсаторе U, емкость С.

В процессе разрядки конденсатора разность потенциалов между обкладками равномерно убывает от U до нуля, среднее же значение разности потенциалов равно (~ leftlangle U rightrangle = dfrac U2).

Тогда работа A, совершаемая электрическим полем при разряде конденсатора,

(~A = q cdot leftlangle U rightrangle = dfrac{q cdot U}{2} = dfrac{C cdot U^2}{2} = dfrac{q^2}{2C} ,)

а энергия, которой обладает заряженный конденсатор, равна этой работе.

Этой энергией обладает электростатическое поле конденсатора. Выразим ее через характеристики поля. Подставив в формулу (~W_e = dfrac{C cdot U^2}{2}) выражение (~C = dfrac{varepsilon_0 cdot varepsilon cdot S}{d}) , а также U = E∙d, имеем

(~W_e = dfrac{C cdot E^2 cdot d^2}{2} = dfrac{varepsilon_0 cdot varepsilon cdot S cdot E^2 cdot d^2}{2d} = dfrac{varepsilon_0 cdot varepsilon cdot E^2}{2} cdot S cdot d = dfrac{varepsilon_0 cdot varepsilon cdot E^2}{2} cdot V .)

Энергия однородного поля пропорциональна объему, занимаемому полем. В связи с этим говорят об энергии единицы объема поля (объемной плотности энергии — ω_e). (~omega_e = dfrac{W_e}{V}). В СИ единицей объемной плотности энергии является джоуль на кубический метр (Дж/м³).

Тогда

(~omega_e = dfrac{varepsilon_0 cdot varepsilon cdot E^2}{2} .)

Полученная формула справедлива не только для однородного электростатического поля, но и для любого другого электростатического поля, а также и для переменного электрического поля.

Литература

1. Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 236-237, 240-242, 245.
2. Жилко, В. В. Физика: учеб. пособие для 11-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) /В. В. Жилко, Л. Г. Маркович. — 2-е изд., исправленное. — Минск: Нар. асвета, 2008. — С. 105-115.