Как найти элемент последовательности с наименьшим значением - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

Различают:

постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1…
возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

Аналитически или, проще говоря, формулой.
Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Последовательность может иметь только один предел.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Источник

Содержание:

Предел последовательности

С понятием последовательности вы ознакомились ещё в основной школе, когда изучали арифметическую и геометрическую прогрессии. Несколько последовательностей рассматривались. А именно:

1) бесконечная последовательность рациональных приближений числа

2) последовательность степеней с основанием 3, показателями которых являются рациональные приближения числа с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:

Числовой последовательностью называется функция которая задана на множестве натуральных чисел. При таком задании — соответственно первый, второй,…, … члены числовой последовательности.

Обозначают числовые последовательности

Числовые последовательности задают описательно, перечнем членов, либо с помощью формулы члена или рекуррентной).

Например:

В курсе геометрии, чтобы вывести формулы длины окружности и площади круга, рассматривают последовательности вписанных в круг и описанных вокруг круга многоугольников. При этом отмечают, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника его периметр всё ближе и ближе приближается к длине окружности (рис. 41).

Так получают первое интуитивное понятие предела числовой последовательности. В курсе математического анализа — это одно из важнейших понятий. Рассмотрим его подробнее.

Пусть задано числовую последовательность Вычислим её первые пять членов и изобразим их на координатной прямой (рис. 42). Имеем:

Как видим, с увеличением номера члена последовательности сами члены последовательности всё ближе и ближе приближаются к числу 1. Поскольку расстоянием между точками, которые соответствуют числам на координатной прямой, есть модуль разности этих чисел, то можно утверждать, что для данной последовательности

Очевидно, что при росте числа члены заданной последовательности всё меньше и меньше будут отличаться от числа 1. Например:

В данном случае для любого достаточно малого числа (эпсилон) можно найти такое число (номер члена последовательности), что для всех последующих членов этой последовательности будет выполняться неравенство

Например, в рассмотренной выше последовательности для таким членом будет поскольку а для таким членом ( проверьте).

В этом случае говорят, что число 1 является пределом заданной числовой последовательности.

Число называют пределом числовой последовательности если для любого существует номер члена последовательности такой, что для всех выполняется неравенство

Обозначают: Читают: предел числовой последовательности при стремящемся к бесконечности, равен

Пример №503

Вычислите предел последовательности

Решение:

Запишем несколько членов заданной последовательности: Как видим, ее члены стремятся к числу 1. Проверим наше предположение. По определению предела надо найти такое число что для всех будет выполняться неравенство: Имеем: Следовательно, такое число существует. Например, при последнее неравенство будет иметь вид То есть, начиная с 100-го члена последовательности расстояние между любым членом последовательности и числом 1 будет меньше 0,01.

Следовательно,

Докажите самостоятельно и запомните, что

Если числовая последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей:

Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
Предел постоянной последовательности равен значению любого члена этой последовательности, то есть
Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) пределов этих последовательностей, то есть:
Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей, т.е.
Если последовательности — сходящиеся, то числовая последовательность выполняется равенство тоже сходящаяся и выполняется равенство

Пример №504

Найдите предел последовательности

Решение:

Эту последовательность можно представить в виде суммы двух сходящихся последовательностей (проверьте). На основании свойств 2 и 3 имеем:

Для вычисления предела последовательности, которая задается как отношение двух многочленов используют следующее правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности, которая задаётся как отношение двух многочленов (одной переменной степеней соответственно), каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо каждый член заданных многочленов разделить на наивысшую степень п и выяснить, к чему стремится каждый из полученных членов заданного отношения.

Пример №505

Вычислите

Решение:

Здесь Предел каждого многочлена равен бесконечности. Поскольку то делим каждый член многочленов на и выясняем, к чему стремится каждый из полученных членов.

Пример №506

Вычислите:

Решение:

Заметим, что здесь не происходит деление на ноль, поскольку знаменатель лишь стремится к нулю, но ему не равен.

Проанализируем полученные ответы. В примере 3 степень числителя меньше степени знаменателя. Это означает, что знаменатель стремится к бесконечности быстрее, чем числитель, а следовательно, предел их отношения будет равняться нулю. В примере 4, в задании а) степени числителя и знаменателя одинаковы и в результате получили отношение коэффициентов при старших степенях. В задании б) степень числителя больше степени знаменателя. Это означает, что числитель стремится к бесконечности быстрее, чем знаменатель, а потому предел их отношения равен бесконечности. Итак, имеем еще такое правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности при которая задаётся как отношение двух многочленов (одной переменной степеней соответственно), каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо сравнить эти степени. Если:

Пример №507

Пользуясь определением предела числовой последовательности, докажите, что

Решение:

Нужно доказать, что существует такое что для всех выполняется неравенство Преобразуем выражение, стоящее в левой части:

Пусть тогда Для любого можем найти соответствующее например

Итак, пределом заданной последовательности является число 2.

Пример №508

Вычислите:

Решение:

а) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряжённое.

б) Разделим числитель и знаменатель дроби на Имеем:

Предел числовой последовательности

Общее понятие функции. Числовые последовательности

Определение 2.1. Пусть X, Y —два произвольных множества. Функцией f с областью определения X и множеством значений из Y называется такое соответствие между X и Y, при котором любому соответствует ровно один . Множество X называется областью определения функции (обозначается ); множество элементов , которые соответствуют некоторым , называется множеством значений функции (обозначается ). Величина называется аргументом функции f.

Отмстим, что , но не обязано совпадать с Y. Возможно, различным х соответствует один и тот же у, но каждому х — ровно один у (см. рис. 2.1).

Пример 2.1. X — множество человек, присутствующих на лекции; Y = N. Функция у = f(x) определяется как год рождения х. Ясно, что , но не совпадает с Y. Многим х может соответствовать один и тот же у, но каждому х — ровно один у.

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется функция с областью определения N и множеством значений, принадлежащим . Обычно аргумент записывается в виде индекса: и т.д.

Определение 2.3. Пусть . Функция f называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу) на множестве X, если её множество значений ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу). Точная верхняя и нижняя грани называются точной верхней и нижней гранями f на X (обозначаются ). Числовая последовательность называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если множество её значений ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу). Точная верхняя и нижняя грани этого множества называются точной верхней и нижней гранями (обозначаются ).

Пример 2.2. Последовательность ограничена, так как для всех n выполняется неравенство . Отмстим, что : поэтому (в дальнейшем такие последовательности мы будем называть строго возрастающими). Отсюда следует, что последовательность имеет наименьший член по лемме (достигается). Докажем, что (не достигается). В самом деле, для всех п выполняется неравенство . Докажем, что для каждого числа найдётся номер п такой, что . Неравенство перепишем в виде (здесь использовано то, что ). Такой номер п найдётся по принципу Архимеда. Доказано, что

Лемма 2.1. Функция f ограничена на множество найдётся такое положительное число С, что для всех выполняется неравенство

□ Неравенство равносильно Так как это двойное неравенство выполняется для всех , то это и означает, что множество значений f ограничено.

Так как для любого выполняется неравенство , то отсюда следует, что , где С — наибольшее из чисел .

Следствие. Последовательность ограничена найдётся такое положительное число С, что для всех п выполняется неравенство

Подобные утверждения, формулировка которых содержит логический знак («тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»), часто будут встречаться в нашем курсе. Доказательство их, как правило, будет состоять из двух частей: — достаточность, — необходимость. Лемма 2.1, например, может быть сформулирована так: для того чтобы функция f была ограничена на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы нашлось положительное число С такое, что для всех выполняется неравенство .

Определение и простейшие свойства предела последовательности

Определение 2.4. -окрестностью точки а называется интервал

Обозначение: ; это множество точек, удаленных от точки а на числовой прямой на расстояние, меньшее, чем

Определение 2.5 (геометрическое определение предела). Число а называется пределом последовательности , если вне любой окрестности точки а содержится не более конечного числа членов (обозначение:).

Ясно, что вне содержится не более конечного числа —это всё равно, что в содержатся все члены, начиная с некоторого номера. Определение предела можно сформулировать так.

Определение 2.5′. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство

На языке кванторов это можно записать так:

Любая подобная запись, где квантор существования стоит после квантора общности , означает функциональную зависимость: здесь , следовательно,

Напишем на языке кванторов отрицание последнего определения (число а не является пределом последовательности ):

Здесь уже нельзя считать, что ; здесь

Пример 2.3.

□ Докажем требуемое равенство по определению предела. Нужно, чтобы Последнее неравенство имеет вид и выполняется при .

По принципу Архимеда найдётся натуральное число , а при всех по нужное неравенство и подавно выполняется. ■

Попробуем явно записать функциональную зависимость . Для этого применим функцию («целая часть х»). Она определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х. График этой функции изображён на рис. 2.2. Для всех «ступенек» крайняя левая точка принадлежит графику, крайняя правая — нет.

Ясно, что в качестве натурального числа можно взять ; для всех нужное неравенство выполняется.

Определение 2.6. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Лемма 2.2. Сходящаяся последовательность имеет ровно один предел.

□ Пусть : для определённости, a < b.

Зафиксируем такое, что

По определению предела:

Тогда если — наибольший из номеров и , то при имеем включение — противоречие. ■

Для доказательства большинства утверждений в теории пределов последовательностей достаточно представить себе геометрическую картинку (в данном случае рис. 2.3). После этого, как правило, уже несложно привести аккуратное доказательство.

Часто бывает удобно в качестве области определения последовательности рассматривать не всё множество N, а множество целых чисел, не меньших некоторого фиксированного целого числа . Например, последовательность определена (как последовательность) при можно определить при

В силу геометрического определения предела, сходимость последовательности и величина предела не зависят от конечного числа членов (конечное число членов можно выбросить, добавить, заменить — сходимость и величина предела не изменятся). При исследовании сходимости можно считать, что хп определена при , где — фиксированное целое число.

Лемма 2.3. Если последовательность ограничена при (т.е. ), и определена при всех , то она ограничена.

□ Вне отрезка [m, М] имеется не более конечного числа членов (разве что ). Рассмотрим ; . Тогда для всех натуральных п выполняются неравенства , т.е. ограничена. ■

Лемма 2.4. Сходящаяся последовательность ограничена.

□ Пусть . По определению предела (е = 1): По лемме 2.3 ограничена. ■

Обратное неверно. Ограниченная последовательность не обязана сходиться.

Пример 2.4. Рассмотрим последовательность при чётном при нечетном n). Так как при всех выполняются неравенства , то ограничена. Докажем, что расходится.

□ Пусть сходится и . Тогда по определению предела :

Рассмотрим

Но одно из чисел равно 1, другое равно — 1. Поэтому , т.е. одновременно 0 < а < 2 и —2 < а < 0. Противоречие. ■

Мы будем часто использовать обозначение sign [ (читается «сигнум», что по латыни означает «знак»). По определению

График функции у = sign ж изображён на рис. 2.4.

Лемма 2.5. Если , то найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство причем sign x_n = sign а. Иными словами:

если a > 0, то найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство

если a < 0, то найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство

□ Пусть a > 0. Рассмотрим в определении предела Тогда откуда следует, что (см. рис. 2.5). Случай a < 0 рассматривается аналогично (в определении предела берётся см. рис. 2.6). ■

Отсюда моментально следует

Лемма 2.6 (о сохранении знака). Если , то найдётся номер такой, что при всех знаки и a совпадают. Иными словами, если a > 0, то найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство ; если a < 0, то найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство

Определение 2.7. Последовательность an называется бесконечно малой, если

Лемма 2.7. где — бесконечно малая последовательность.

□ Пусть Тогда

■

Отметим, что если при (постоянная последовательность), то ; это следует из того, что — очевидно, бесконечно малая последовательность.

Лемма 2.8. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

□ Пусть — бесконечно малые. Поэтому

Тогда при , где , выполняется неравенство

т.е. — бесконечно малая. ■

Лемма 2.9. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой.

□ Если последовательность ограничена, то

Если — бесконечно малая, то

Тогда при выполняется неравенство т.е. — бесконечно малая. ■

Следствие 1. Если — бесконечно малая последовательность, то — бесконечно малая.

□ Следует из того, что постоянная последовательность ограничена. ■

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

□ Следует из того, что одну из этих последовательностей можно рассматривать просто как имеющую предел, следовательно, ограниченную. ■

Пример 2.5. , так как —произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую

Теорема 2.1 (об арифметических операциях с пределами). Пусть Тогда

□ — бесконечно малые последовательности.

1) где — бесконечно малая, поэтому

2) где — бесконечно малая, так как все три слагаемые являются бесконечно малыми по следствиям из леммы 2.9, поэтому Отметим, что лемма 2.8 по индукции распространяется на случай суммы любого конечного фиксированного числа бесконечно малых последовательностей.

3)Так как , то по лемме 2.6 найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство , и последовательность определена при всех . Она может быть не определена при некоторых значениях , но, как мы уже отмечали, при исследовании сходимости последовательность может быть определена лишь при , где — фиксированное целое число. В условии теоремы нет необходимости требовать, чтобы ; достаточно потребовать . Имеем

Последовательность — бесконечно малая по лемме 2.8 и следствию 1 из леммы 2.9. Так как то по лемме 2.5 откуда следует, что Последовательность ограничена при . По лемме 2.3 эта последовательность ограничена (она может быть не определенной при конечном числе номеров тех, где =0, но на наличие предела это не влияет). Тогда по лемме 2.9 последовательность — бесконечно малая, и

Следствия. В условиях теоремы 2.1

Теорема 2.2 (предельный переход в неравенстве).

Если , причем найдётся номер такой, что при всех выполнено неравенство , то

□ Пусть a > b. Рассмотрим такое, что (например, ) Тогда:

При выполняется неравенство , что противоречит условию (см. рис. 2.7). ■

Следствие. Если найдётся номер такой, что при всех члены и , то

Замечание. Если и при всех выполнено неравенство то (возможно, ). Например:

Теорема 2.3. Если . и найдется номер такой, что при всех выполнено неравенство , то

Тогда при всех выполняются неравенства т.е Значит

В официальной литературе теорема 2.3 называется теоремой о трёх последовательностях или теоремой о зажатой переменной. Тем не менее на студенческом жаргоне и в различных внутривузовских изданиях она обычно называется «теоремой о двух милиционерах». В самом деле, если два представителя силовых структур ведут задержанного в отделение внутренних дел так, что всё время находится между , то придёт туда же. Аналогичные названия этого утверждения имеются и в других языках («теорема о двух карабинерах» и т.д.), так что переименование милиции в полицию вряд ли что-нибудь здесь изменит.

Лемма 2.10. Если , то

1) При = 0 утверждение очевидно.

2) Пусть 0 < q < 1. Тогда . В элементарной алгебре хорошо известно неравенство Бернулли , справедливое при ; его несложно доказать, например, по индукции. Тогда (учитывая, что у нас а > 0)

Так как , то , и, по теореме 2.3, 0

3) Пусть -1 < q < 0. Тогда рассмотрим 1. Так как по только что доказанному, — также бесконечно малая последовательность, как произведение ограниченной на бесконечно малую ■

Доказанные утверждения позволяют вычислять некоторые простые пределы.

Пример 2.6

(и вообще, предел последовательности отношения двух многочленов от одинаковой степени равен отношению их старших коэффициентов).

Пример 2.7

(здесь использована лемма 2.10).

Пример 2.8

Последовательность представляет собой сумму п слагаемых, предел каждого из которых равен 0. Но было бы ошибкой на основании леммы о сумме бесконечно малых заявить, что . Лемма 2.8 была доказана для двух слагаемых и, как было отмечено, справедлива для конечного фиксированного числа слагаемых. В нашем же случае число слагаемых равно (неограниченно растёт). Оценим последовательность сверху и снизу; воспользуемся тем, что самое большое слагаемое в сумме — первое, самое маленькое — последнее. Поэтому

Аналогично примеру 2.6, . Поэтому по теореме 2.3 (не равен нулю!).

Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса

Определение 2.8. Последовательность называется строго возрастающей, если для всех номеров n выполняется неравенство строго убывающей, если для всех n выполняется неравенство нестрого возрастающей, если для всех п выполняется неравенство ; нестрого убывающей, если для всех п выполняется неравенство . Все такие последовательности называются монотонными.

Применяем обозначения: для возрастаютцих последовательностей (строго или нестрого), для убывающих последовательностей (строго или нестрого). Последовательность может быть монотонной, начиная с некоторого номера. Например, последовательность является строго убывающей, начиная с номера , если и т.д.

Теорема 2.4 (Вейерштрасса). Если последовательность возрастает (вообще говоря, нестрого) и ограничена сверху, то существует предел последовательности , равный её точной верхней грани. Если последовательность убывает (вообще говоря, нестрого) и ограничена снизу, то существует предел последовательности , равный ее точной нижней грани.

Докажем первую часть теоремы; вторая доказывается аналогично. По теореме 1.5 последовательность имеет точную верхнюю грань sup = а. Тогда

Удобно обозначить

В силу возрастания последовательности, для всех выполняется неравенство , но при этом

Итак:

а отсюда следует, что (см. рис. 2.8). Значит,

Теорема Вейерштрасса — чистая теорема существования. Она не даст непосредственной возможности вычислять значение предела.

Пример 2.9. Рассмотрим последовательность

(символ означает ). Ясно, что эта последовательность строго возрастает, так как Далее, при выполняется оценка

поэтому

Последовательность возрастает и ограничена сверху, поэтому она сходится. Значение совпадает с , но мы не можем найти ни то, ни другое. Можно показать, что но это доказательство нам пока недоступно.

Пример 2.10. Рассмотрим последовательность Докажем, что последовательность строго возрастает и для всех n выполняется неравенство . Отсюда будет следовать, что существует . Этот предел обозначается буквой е. Число е иррациональное, е = 2,718281828459045… Это число играет исключительную роль в математическом анализе.

□ Напомним формулу бинома Ньютона:

—так называемые биномиальные коэффициенты. Напомним также, что n! (n факториал) — это произведение всех натуральных чисел от ; по дополнительному определению, 0! = 1. Легко видеть, что при ; и т.д.

Имеем

Нетрудно заметить, что при

Поэтому так как при последнее слагаемое положительно, то . Значит, последовательность строго возрастает. Далее,

поэтому и при всех n

Иногда теорема Вейерштрасса позволяет установить сходимость последовательности, после чего, переходя к пределу в рекуррентном соотношении, можно вычислить значение предела.

Пример 2.11. Докажем, что если , то

□ Если , то и по теореме 2.3

Пусть теперь а > 1. Тогда . Напишем определение предела при в силу положительности последнее неравенство даст . Значит, последовательность убывает при ; при этом . Так как конечное число членов последовательности не влияет на сходимость, то по теореме Вейерштрасса последовательность сходится; обозначим

Мы уже видели, что последовательность удовлетворяет рекуррентному соотношению

Последовательность — та же последовательность, что и (если выбросить ): поэтому . Переходя к пределу в (2.1), получим

■

Теорема Кантора о вложенных отрезках

Если проанализировать изложенный выше материал, то можно заметить, что только три утверждения: теорема 1.4 Дедекинда, теорема 1.5 о точных верхней и нижней гранях и теорема 2.4 Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности — характерны именно для действительных чисел и выражают свойство их полноты (непрерывности). Все остальные утверждения имели бы место и во множестве рациональных чисел. Например, если то существует А вот если последовательность рациональных чисел возрастает и ограничена сверху, то она может не иметь рационального предела (и соответственно рациональной точной верхней грани). В качестве примера можно рассмотреть последовательность десятичных приближений снизу какого-нибудь иррационального числа а. Эта последовательность имеет предел а (мы сейчас докажем это полезное утверждение), но не имеет рационального предела; если бы она имела рациональный предел то у неё было бы два разных действительных предела а и что противоречит лемме 2.2.

Лемма 2.11. Пусть — последовательности десятичных приближений снизу и сверху действительного числа а. Тогда

□Как известно, для любого п выполняется неравенство

Тогда

Значит, , по теореме 2.3 Аналогично доказывается вторая часть утверждения. ■

Приведём ещё одну очень важную теорему, выражающую свойство полноты действительных чисел.

Теорема 2.5 (Кантора о вложенных отрезках). Если (бесконечная последовательность вложенных отрезков), то существует точка общая для всех отрезков (т.е. для всех п выполняется неравенство )- Если при этом последовательность длин отрезков стремится к нулю , то такая точка единственна, при этом

□Так как для всех n

то для любых натуральных n и m выполняется неравенство . Рассмотрим множества и . При любом фиксированном m = множество А ограничено сверху числом значит, существует ; при этом по лемме 1.3 для любого m выполняется неравенство . Аналогично множество В ограничено снизу и существует и для любого n выполняется неравенство Из последнего неравенства и леммы 1.3 следует, что . Итак, для любого n выполняются неравенства Ясно, что точки (и весь отрезок , если ) принадлежат всем отрезкам . Первая часть теоремы доказана. Отметим, что здесь нигде не использовалось понятие предела.

Пусть теперь . Тогда

(мы учли, что). Так как , то из леммы 1.5 следует, что . Обозначим их общее значение . Тогда . В силу монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности по теореме Вейерштрасса . Аналогично .

Если существует ещё одна точка такая, что для всех n выполняется неравенство , то по лемме 1.5 Единственность общей точки доказана. ■

Пример 2.12. ; это — последовательность вложенных отрезков, для которой Существует единственная общая точка 0.

Пример 2.13. : это — последовательность вложенных отрезков, для которой и . Общие точки заполняют целый отрезок .

Пример 2.14. Для последовательности вложенных интервалов теорема теряет силу. Пусть . Эта последовательность вложенных интервалов не имеет общих точек, при этом

Бесконечно большие последовательности

Наряду с окрестностями конечных чисел рассмотрим окрестности символов

Определение 2.9. При

Определение 2.10. Говорят, что , если

Говорят, что , если

В последнем случае последовательность называется бесконечно большой.

В определении конечного предела по существу малые (если для малых е, то и подавно для больших). В определениях бесконечных пределов по существу большие е; из эстетических соображений лучше вместо е писать большую букву Е.

Очевидно, что если или то — бесконечно большая. Обратное неверно; для бесконечно большой последовательности не обязательно или

Пример 2.15.

□. Неравенство n > Е выполняется для всех , где ; напомним, что там, где квантор существования стоит после квантора общности, имеет место функциональная зависимость .

Пример 2.16. (аналогично).

Пример 2.17. . Так как , то , но знаки чередуются: поэтому неверно ни то, что , ни то, что

Очевидно, что тогда и только тогда, когда бесконечно большая и тогда и только тогда, когда бесконечно большая и

Лемма 2.12. Бесконечно большая последовательность является неограниченной.

□ неограничена:

бесконечно большая:

Ясно, что бесконечно большая последовательность неограничена.

Обратное неверно. Неограниченная последовательность не обязана быть бесконечно большой.

Пример 2.18. Рассмотрим последовательность

Она неограничена, но не является бесконечно большой.

□Последовательность неограничена за счёт четных номеров. — четное: . Это верно, так как чётное (например, ).

За счёт нечётных номеров последовательность не является бесконечно большой:

Это верно. Возьмём, например, Е = 1. Для любого номера найдётся нечётное натуральное число , например, при этом

Схема, изображённая на рис. 2.9, должна помочь разобраться в понятиях, связанных со сходимостью, ограниченностью и т.д., а также усвоить связь между этими понятиями.

Лемма 2.13. 1) Если последовательность является бесконечно большой, то последовательность — бесконечно малая.

2) Если последовательность бесконечно малая и найдётся номер такой, что для всех выполняется неравенство , то последовательность бесконечно большая.

□1). Тогда при выполнено неравенство ; последовательность определена, и не нужно делать дополнительную оговорку, как во второй части леммы. Для любого числа рассмотрим . Тогда , значит, , т.е. — бесконечно малая.

2) Доказательство аналогично.

Лемму 2.13 символически можно записать так: . Но отсюда вовсе не следует, что . Бесконечные символы — это не числа, с ними нельзя «вольно» обращаться, т.е. автоматически переносить на них формальные правила операций с действительными числами. Выражение называется «неопределённостью», так как в зависимости от конкретных бесконечно малой и бесконечно большой предельное поведение последовательности может быть самым разнообразным. Произведение может быть: а) бесконечно малым; б) бесконечно большим; в) иметь конечный ненулевой предел; г) не иметь предела — ни конечного ни бесконечного.

Пример 2.19. Во всех случаях :

ограничена, но расходится.

Традиционно принято рассматривать 7 типов неопределённостей: , для каждого из которых можно построить примеры типа а-г. Классическим типом неопределенности является предел

Теоремы об арифметических действиях с пределами нельзя автоматически переносить на бесконечные символы. Если в каком-то случае такой перенос имеет место, то нужно доказать соответствующее утверждение.

Лемма 2.14. Если , то (символическая запись: .

□Достаточно провести доказательство для случая, когда ограничена снизу Так как то (строго говоря, это верно при но если , неравенство и подавно верно). Итак,

значит

Можно привести ещё немало символических записей с участием бесконечных символов, которые фактически применяются в различных рассуждениях. При этом нужно уметь аккуратно формулировать и доказывать возникающие утверждения (аналогично лемме 2.14). Например:

Лемма 2.15. 1) Если

2) если то

□1) Так как то Пусть . Тогда а это значит, что

2)Доказательство аналогично.

Эта лемма является аналогом теоремы 2.3 для случая бесконечно больших последовательностей.

Пример 2.20.

□Так как , то по лемме 2.13, (с учётом того, что ). Остаётся заметить, что и применить лемму 2.15.

Теорема 2.6 (аналог теоремы Вейерштрасса для неограниченных последовательностей). Если последовательность возрастает (вообще говоря, нестрого) и неограничена сверху, то . Если последовательность убывает (вообще говоря, нестрого) и неограничена снизу, то

□Докажем первую часть теоремы, вторая доказывается аналогично. Так как неограничена сверху, то

(естественно, можно считать, что Е > 0, при Е 0 неравенство и подавно верно). В силу возрастания последовательности при всех выполняется неравенство , поэтому

Значит,

В отличие от теоремы Вейерштрасса 2.4 эта теорема имеет место и во множестве рациональных чисел, она не является характерной именно для действительных чисел.

Для неограниченной сверху последовательности мы считаем по определению, что , а для неограниченной снизу . Поэтому для любой нестрого возрастающей последовательности , а для любой нестрого убывающей

Односторонние пределы

Введём символы а + 0 и а — 0 («а справа» и «а слева»), , и определим -окрестности этих символов.

Определение 2.11. При

Определение 2.12. Говорят, что , если

(т.е. ).

Говорят, что , если

(т.е. ).

Ясно, что в обоих этих случаях . А вот если предел последовательности равен а, то не обязательно он равен а + 0 или а — 0.

Пример 2.21. = +0 (вместо 0 + 0 обычно пишут +0); = -0 (вместо 0 — 0 обычно пишут —0). А вот но этот предел не равен ни +0, ни -0, так как последовательность всё время меняет знак.

Очевидно, что тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда

В дальнейшем под словами «6 стандартных предельных символов (СПС)» будем понимать

Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение 2.13. Пусть — числовая последовательность, a — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность (с индексом к) называется подпоследовательностью последовательности .

Определение 2.14. Число называется частичным пределом (предельной точкой) последовательности , если существует такая строго возрастающая последовательность индексов , что

Пример 2.22. Рассмотрим последовательность . Она расходится, но имеет сходящиеся подпоследовательности . Таким образом, она имеет частичные пределы 1 и —1.

Условие строгого возрастания последовательности в определении 2.13 является достаточным (но не необходимым) условием для того, чтобы В самом деле, и т.д. По индукции нетрудно доказать, что при Но (пример 2.20); по лемме 2.15, При отказе от этого условия может оказаться так, что последовательность ограничена, и ни о каком поведении при не может быть речи (например, при последовательность не имеет никакого отношения к предельному поведению последовательности ).

Лемма 2.16. Если , где а — один из 6 СПС, то для любой последовательности также

□По геометрическому определению предела, сохраняющемуся для любого СПС а, вне любой , имеется не более конечного числа членов Так как все пд. различны, то вне любой и подавно имеется не более конечного числа значит,

Следствие. Если , то а — единственный частичный предел

Под частичными пределами можно понимать также символы . Таким образом, частичными пределами могут быть не все 6 СПС, а только три:

Если , то по лемме 2.16 единственным частичным пределом последовательности является . Если , то единственным частичным пределом последовательности является

Теорема 2.7 (критерий частичного предела). Пусть a — один из символов Тогда а является частичным пределом в любой -окрестности а содержится бесконечно много членов .

Если а — частичный предел , то существует подпоследовательность такая, что Тогда для любого вне содержится не более конечного числа членов , а внутри — все , начиная с некоторого номера , а значит, бесконечно много членов .

Сначала рассмотрим случай Возьмём — некоторый член . Возьмём теперь Так как в содержится бесконечно много членов , то выберем так что и т.д. Пусть построены где . Так как в бесконечно много , то выберем так, что . Таким образом, построена бесконечная последовательность , причём т.е. По теореме 2.3 , т.е. а — частичный предел .

Для или доказательство аналогично. Например, для нужно брать выбирать таким, что т.е. Тогда по лемме 2.15

Заметим, что если в любой содержится бесконечно много , то отсюда ещё не следует, что вне не более конечного числа (вне тоже может быть бесконечно много ). Этим и отличается частичный предел от предела последовательности. В популярных изданиях для школьников раньше предел последовательности иногда назывался «ловушкой», а частичный предел — «кормушкой». Кормушек может быть много, а ловушка — только одна.

В примере 2.22 других частичных пределов, кроме 1 и — 1, последовательность не имеет. В самом деле, если , или , то существует окрестность а, в которой вообще нет членов .

Пример 2.23. (см. пример 2.18). Так как , то частичными пределами последовательности являются 0 и . Других частичных пределов последовательность не имеет (для других а существует окрестность, в которой вообще нет членов ).

Пример 2.24. , т.е. Так как то частичными пределами последовательности являются и ; других частичных пределов последовательность не имеет.

Пример 2.25. Пусть — последовательность, в которую каким-то образом занумерованы все рациональные числа (это можно сделать в силу счетности множества Q). Так как в любой окрестности любого действительного числа а содержится бесконечно много рациональных чисел (если , то возьмём если , то ; в любом случае и в любой содержатся все при , т.е. бесконечно много членов ), то а — частичный предел . Аналогично, для возьмём , для возьмём . Итак, частичными пределами являются все действительные числа, а также символы .

Как мы знаем, ограниченная последовательность может расходиться, но при этом иметь частичные пределы (пример 2.22). Это не случайно, имеет место

Теорема 2.8 (Больцано-Вейерштрасса). Любая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность (т.е. имеет конечный частичный предел).

□Пусть для всех выполняется неравенство . Разобьём отрезок на 2 равных отрезка : выберем ту половину , где содержится бесконечно много членов (и там, и там конечного числа быть не может, так как тогда их всего было бы конечное число). Если и там, и там бесконечно много , то —любая из половинок. В отрезке выберем половину , где бесконечно много (аналогично), в — половину , где бесконечно много и т.д. На к-м шагу в выберем половину , где бесконечно много . Имеем последовательность вложенных отрезков , причём длина n-го отрезка равна — стремится к нулю по лемме 2.10.

По теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам . Пусть . Так как длина , то при отрезок целиком принадлежит (см. рис. 2.10), значит, в бесконечно много членов . По теореме 2.7 с — частичный предел .

Теорема 2.9 (аналог теоремы Больцано-Вейерштрасса для неограниченных последовательностей).

Если последовательность неограничена сверху, то она имеет частичный предел . Если последовательность неограничена снизу, то она имеет частичный предел .

□Докажем первую часть теоремы: вторая доказывается аналогично. Зафиксируем Е > 0. Так как неограничена сверху, то В качестве нового Е в определении неограниченности сверху рассмотрим . Тогда Аналогично, и т.д. Мы выбрали бесконечно много различных членов последовательности таких, что . По теореме 2.7 — частичный предел .

Итак, любая последовательность имеет частичный предел: ограниченная — конечный, неограниченная — равный или .

Отмстим, что теорема Больцано-Вейерштрасса характерна именно для действительных чисел и выражает свойство их полноты (непрерывности). Её аналог — теорема 2.9 — выполняется и во множестве рациональных чисел.

Теорема 2.10 (о единственном частичном пределе). Пусть последовательность ограничена и имеет единственный частичный предел а. Тогда последовательность сходится к числу а.

□Пусть для любого номера n выполняется неравенство . Так как для некоторой последовательности предел , и для всех к, то по теореме 2.2 . Докажем, что существует

Если это не так, то найдётся , вне которой имеется бесконечно много членов . Пусть для определённости бесконечно много членов имеется правее , т.е. на (см. рис. 2.11).

На тоже может быть бесконечно много . а может быть и нет. Не исключено даже, что . По теореме Больцано-Вейерштрасса, на существует частичный предел , отличный от а, что противоречит единственности частичного предела. Полученное противоречие показывает, что

Определение 2.15. Предельным множеством последовательности называется множество всех сё частичных пределов (включая символы , если они являются частичными пределами).

Определение 2.16. Верхним пределом последовательности (обозначается ) называется точная верхняя грань её предельного множества, нижним пределом — точная нижняя грань её предельного множества. Если предельное множество содержит символ (соответственно ). Если предельное множество состоит из единственного символа , то (соответственно ).

Пример 2.26. Если (или , или ), то (соответственно , или ). Если Если , то Если то

Лемма 2.17. Для любой последовательности выполняются неравенства При этом формально считается, что , и для любого действительного числа а выполняются неравенства .

□Неравенство следует из определения 2.16. Если последовательность неограничена сверху, то , и неравенство очевидно. Если ограничена сверху и , то для любой подпоследовательности при выполняется неравенство . По теореме 2.2 для любого частичного предела a выполняется неравенство , и по лемме 1.3

Неравенство доказывается аналогично. ■

Лемма 2.18. 1) Последовательность ограничена сверху (т.е. конечен или равен );

2) последовательность ограничена снизу (т.е. конечен или равен ).

□Докажем первую часть леммы, вторая доказывается аналогично. Если ограничена сверху, то , и утверждение леммы следует из леммы 2.17. Если неограничена сверху, то по теореме 2.9 она имеет частичный предел ; значит,

Теорема 2.11. Пусть конечны и совпадают. Тогда последовательность сходится к их общему значению.

□Из леммы 2.18 следует, что последовательность ограничена сверху и снизу. Так как предельное множество состоит из единственного числа (по теореме Больцано-Вейерштрасса предельное множество непусто и никакого другого частичного предела, кроме а, быть не может), то ограничена и имеет единственный частичный предел а. По теореме 2.10 существует

Пример 2.27. Рассмотрим последовательность . Так как , то , последовательность имеет частичные пределы 1 и —1. Легко видеть, что при всех п выполняется неравенство . С другой стороны, для любого числа найдётся нечетное число такое, что (последнее неравенство имеет вид

можно взять Значит (не достигается). Так как , то

Далее при всех выполняется неравенство При нечётных n значения , поэтому наибольший член последовательности равен . Значит, Никакое число, большее 1, не может быть частичным пределом , так как в достаточно малой окрестности этого числа либо совсем нет членов последовательности, либо содержится единственный член (само это число). Поэтому

В нашем случае

Теорема 2.12. Верхний и нижний пределы числовой последовательности являются частичными пределами (таким образом, конечный верхний (нижний) предел является наибольшим (соответственно наименьшим) частичным пределом).

□ Пусть сначала где X — предельное множество последовательности. Тогда

Рассмотрим произвольное 0 и выберем Возьмем соответствующее такое, что Если р = а, то а — частичный предел, и всё доказано. Если же , то выберем такое, что (см. рис. 2.12). В содержится бесконечно много членов , так как р — частичный предел. Поэтому на интервале бесконечно много , значит, в — бесконечно много . Так как 0 — произвольно, то по критерию частичного предела а — частичный предел. Если , то по лемме 2.18 последовательность неограничена сверху. По теореме 2.9 последовательность имеет частичный предел .

Наконец, если , то из определения 2.16 видно, что предельное множество содержит единственный символ , т.е. является частичным пределом (и просто пределом)

Случай нижнего предела рассматривается аналогично. ■

Критерий Коши сходимости последовательности

Определение 2.17. Последовательность называется фундаментальной, если (для любого положительного числа найдётся номер по такой, что для любых двух номеров и выполняется неравенство .

Теорема 2.13 (критерий Коши). Последовательность сходится фундаментальна.

Пусть Тогда

Тогда для любых выполняется неравенство

значит, последовательность фундаментальна.

Пусть — фундаментальная последовательность. Докажем сначала, что она ограничена. При = 1 имеем

Зафиксируем . Тогда при выполнено неравенство

Таким образом, последовательность ограничена при . По лемме 2.3 последовательность ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность имеет конечный частичный предел. В силу теоремы 2.10 о единственном частичном пределе достаточно доказать, что других частичных пределов последовательность не имеет. Пусть это не так, и последовательность имеет два различных частичных предела а и b (для определённости, а < b). Возьмём в определении фундаментальности (так, чтобы не только не пересекались, но ещё имели между собой зазор ширины ):

Но в содержится бесконечно много членов (по теореме 2.7). Значит, Аналогично

Тогда (см. рис. 2.13) .

Полученное противоречие показывает единственность частичного предела. ■

На практике критерий Коши удобно использовать для доказательства расходимости последовательности.

Пример 2.28. Докажем, что последовательность расходится.

□Отрицание определения фундаментальности звучит так:

В самом деле, рассмотрим = 2. Для любого номера возьмём Тогда одно из чисел и равно 1, другое равно — 1, поэтому Последовательность не является фундаментальной, значит, расходится. ■

Рассмотрим другую форму записи определения фундаментальности. Ясно, что можно считать входят в определение симметрично, а при имеем для любого > 0). Тогда

Последовательность сходится

Последовательность расходится

Пример 2.29. (сходимость этой последовательности была установлена в примере 2.9 при помощи теоремы Вейерштрасса; теперь применим критерий Коши).

□Имеем

Это выражение меньше при , т.е. при 1.

Итак, Последовательность сходится.

Отмстим, что номер должен зависеть только от и ни в косм случае не должен зависеть от р.

Пример 2.30. Хотя внешне эта последовательность мало отличается от предыдущей, но она расходится.

□Имеем

(в сумме р слагаемых, самое маленькое равно Возьмём Тогда

Итак, Последовательность расходится.

В качестве предостережения приведём неверное «доказательство» того, что эта последовательность сходится.

Имеем при всех

Отсюда нельзя сделать вывод о фундаментальности последовательности , так как номер такой, что при выполняется неравенство , зависит не только от , но и от р.

Пример 2.31. Если р — фиксированное натуральное число, В частности, Верно ли, что из выполнения для любого равенства следует сходимость ?

Ответ: нет (рассмотреть последовательность из примера 2.30).

Доказательство критерия Коши (необходимость) сохраняется во множестве рациональных чисел, доказательство (достаточность) характерно именно для действительных чисел. Сходимость фундаментальной последовательности выражает полноту (непрерывность) множества действительных чисел. Любая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу, но не обязана сходиться к рациональному числу. Таким образом, фундаментальные последовательности рациональных чисел в теории действительных чисел играют ту же роль, что и сечения. Если фундаментальная последовательность рациональных чисел не имеет рационального предела, то она является такой же «дыркой» во множестве рациональных чисел, как и сечение III типа. Наличие таких дырок говорит о неполноте множества рациональных чисел. А вот во множестве действительных чисел таких «дырок» уже нет — любая фундаментальная последовательность сходится.

Заказать решение задач по высшей математике

Пределы числовых последовательностей

Определение 2.1. Пусть Х и Y – множества произвольной природы
и каждому элементу x X поставлен в соответствие некоторый элемент
y Y. Такое соответствие называется функцией. Обозначим его f,
или f:X →Y , или . При этом множество Х называется
областью определения (f )D функции f , D(f )=X, а множество называется областью значений
рис. 2.1.

П р и м е р 2.1
– множество всех неотрицательных чисел из R.

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется произвольная функция f : N →R. При этом числа из области значений E(f) обозначаются: Число называется n-м членом последовательности. Для задания последовательности достаточно задать .
П р и м е р 2.2
Подставив n=1, 2, 3, … получим

Определение 2.3. Число a называется пределом числовой последовательности
существует число , такое что выполняется неравенство Более коротко будем записывать это определение в видеПоследовательности, имеющие предел, называются сходящимися, а не имеющие предела – расходящимися.
П р и м е р 2.3
Доказать, что
Доказательство
Пусть Рассмотрим цепочку эквивалентных неравенств

Пусть N – натуральное число, большее , например тогда N удовлетворяет соотношению (2.1), что и требовалось доказать.
У п р а ж н е н и е 2.1.

Доказать, что
Геометрически равенство означает, что все члены последовательности , начиная с номера, попадают в –
окрестность точки а (рис. 2.2).

Например, для последовательности из примера 2.3, если

Определение 2.4. Последовательность называется ограниченной,
если , такое что
Теорема 2.1. (необходимый признак сходимости последовательности).
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство
Из соотношений (2.1) следует, что все члены сходящейся последова-
тельности после номера N лежат в интервале, далее доказательство очевидно.
Определение 2.5. Последовательность называется бесконечно большой, если
Говорят, что бесконечно большая последовательность имеет предел , и пишут
Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся положительными, то есть то пишут
Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся отрицательными, то есть

то пишут

П р и м е р 2.4

Бесконечно большие последовательности не являются сходящимися и отличаются по своим свойствам от свойств сходящихся последовательностей.
Определение 2.6. Числовая последовательность называется возрастающей
(убывающей), если

Возрастающие (убывающие) последовательности называются строго монотонными.
Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если

Неубывающие (невозрастающие) последовательности называются
монотонными.

Теорема 2.3. Пусть последовательности сходятся и  – постоянное число. Тогда
Доказательство
Докажем, например, формулу  Так как последовательность
сходится, то она ограничена, то есть число , такое что . Пусть

Так как последовательность сходится, то , такой что при
Так как последовательность сходится, то  такой что при
(считаем, что 0≠ b; если 0= b, то второго слагаемого в формуле (2.3) нет).
Пусть . Тогда из (2.3) при n >N следует  что и требовалось доказать.
Определение 2.8. Пусть тогда последовательность называется бесконечно малой. Пусть – бесконечно малые последовательности. Тогда называется неопределенностью вида. Вычисление таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично определяются неопределенности вида

П р и м е р 2.7

П р и м е р 2.8

П р и м е р 2.9

П р и м е р 2.10

Теорема 2.4. а. Пусть последовательность – бесконечно малая Тогда последовательность – бесконечно большая

б. Пусть последовательность – бесконечно большая тогда последовательность – бесконечно малая.
П р и м е р 2.11

Определение 2.9. Последовательность имеет предел при , если

Легко видеть, что число а в определении 2.9 единственно, поэтому
определения 2.3 и 2.9 эквивалентны.
Из определения 2.9 следует, что последовательность – расходящаяся
(не имеет предела), если (2.4)

——

Числовая последовательность и ее предел

Понятие числовой последовательности

Определение 2.1. Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие число то говорят, что задана числовая последовательность или просто последовательность

Числа — элементы или члены последовательности, — общий или й член последовательности. Последовательность обозначают как или или задают с помощью го члена.

Частным случаем последовательности являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Пример 2.1.

Определение 2.2. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа и что при всех выполняются неравенства

При этом говорят, что число ограничивает последовательность снизу, a — сверху.

Определение 2.2′. Последовательность называется ограниченной, если такое, что для

Заметим, что не всякая последовательность ограничена.

Пример 2.2. Последовательность ограничена снизу 0, сверху последовательность ограничена снизу 1.

Определение 2.3. Последовательность называется неограниченной, если для

Пример 2.3. Последовательность не ограничена.

Если изображать члены последовательности точками координатной прямой, то все члены ограниченной последовательности лежат на некотором отрезке. Для неограниченной последовательности вне любого отрезка найдутся члены этой последовательности.

Определение 2.4. Если из некоторого бесконечного подмножества членов последовательности образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в то она называется подпоследовательностью и обозначается причем

Определение 2.5. Суммой, разностью, произведением, отношением последовательностей и называют последовательности члены которых образованы по следующим правилам:

Произведением последовательности на число называется последовательность

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение 2.6. Последовательность называется бесконечно большой последовательностью (ББП), если для (сколь бы большим его ни взяли) такой номер, что для

Заметим, что если последовательность бесконечно большая, то она является неограниченной, но не наоборот, т. е. неограниченная последовательность не обязательно будет ББП.

Определение 2.7. Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (БМП), если для такой номер, что для

Пример 2.4. — ББП, — БМП.

Теорема 2.1. Если последовательность — ББП, и все ее члены отличны от нуля то последовательность будет БМП; и обратно, если — БМП, то последовательность — ББП.

Доказательство.

Пусть — ББП. Рассмотрим и положим Согласно определению ББП, для этого будет такой номер, что для Тогда

т. е. для что А это и означает, что

— БМП.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Свойства БМП

1. Алгебраическая сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

2. Произведение любого конечного числа БМП есть БМП.

3. Произведение ограниченной последовательности на БМП есть БМП.

Следствие 2.1*. Произведение БМП иа число есть БМП.

Сходящиеся последовательности

Определение 2.8. Число называется пределом числовой последовательности если для такой, что

(2.1)

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Из (2.1) рассмотрим условие

Последние неравенства означают, что при элемент последовательности должен находиться в интервале Напомним, что данный интервал называется окрестностыо точки

Определение 2.8′. Число называется пределом числовой последовательности если для начиная с которого все члены последовательности принадлежат окрестности точки Геометрический смысл предела последовательности: если вне любой окрестности точки а имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

Пример 2.5. Доказать, что

Решение. Согласно условию, требуется доказать, что число «1» является пределом последовательности для нужно указать номер начиная с которого для всех членов последовательности будет выполнено т. е.

Из неравенства получаем Таким образом, для полагая получаем, что для будет выполнено Заметим, что величина представляет собой целую часть выражения тогда

Поэтому для выполнения условия при полагаем

Теорема 2.2. Числовая последовательность имеет своим пределом число «а» тогда только тогда, когда

где — члены БМП

Доказательство.

Необходимость. Пусть Обозначим Получим т. е. — БМП.

Достаточность. Пусть где — БМП. Тогда т. e.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

2. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Если последовательность имеет предел то, начиная с некоторого номера выполняется неравенство т. е. члены последовательности сохраняют знак числа

5. Пусть и, начиная с некоторого номера

выполняется неравенство тогда

6. Пусть для последовательностей и выполнены неравенства Тогда

7. Если последовательности и сходятся и

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

Таким образом, согласно свойству 7, арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

На основании свойства 2 можно получить условие расходимости последовательности.

Следствие 2.2*. Если из последовательности можно выделить две подпоследовательности и сходящиеся к и то не имеет предела.

Пример 2.6. Доказать, что последовательность не имеет предела.

Решение. Выделим из исходной последовательности две подпоследовательности :

Так как то исходная последовательность не имеет предела.

Замечание 2.1. Обратное к свойству 3, вообще говоря, не верно, т. е. ограниченная последовательность может не быть сходящейся.

Определение 2.9. Последовательность называется:

— возрастающей, если

— неубывающей, если

— убывающей, если

— невозрастающей, если

Все указанные последовательности называются также монотонными, а возрастающая и убывающая последовательности — строго монотонными.

Теорема 2.3. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Доказательство.

Необходимость. Согласно свойству 3, всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Достаточность. Пусть монотонно неубывающая ограниченная сверху последовательность, т. е. и такое, что

Рассмотрим числовое множество состоящее из элементов данной последовательности. Это множество ограничено сверху и непусто. Поэтому имеет точную верхнюю грань Тогда, по определению Так как — точная верхняя грань множества элементов последовательности то для такой, что и так как последовательность неубывающая, то при

Таким образом, т. е. А это и означает, что число — предел последовательности

Аналогично доказывается случай монотонно невозрастающей последовательности.

Замечание 2.2. На основании данной теоремы можно доказать существование предела последовательности а именно

где (число Эйлера) — иррациональное число,

Теорема 2.4* (Больцапо-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение 2.10. Совокупность отрезков образует систему вложенных отрезков, если выполнены следующие условия:

(2.2)

Система вложенных отрезков будет системой стягивающихся отрезков, если

(2.3)

Теорема 2.5 (Кантора). Всякая последовательность вложенных стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку, принадлежащую всем отрезкам.

Доказательство.

Из (2.2) следует, что монотонные последовательности концов отрезков и сходятся, причем из равенства (2.3):

Тогда

Из теоремы 2.3 следует, что общей точкой, принадлежащей отрезкам является

Пример 2.7. Найти предел
Решение.

Ответ.

Пример 2.8. Найти предел

Решение.

Ответ. 0.

Пример 2.9. Найти предел

Решение.

Ответ: 4

Пример 2.10. Найти предел

Решение.

Ответ:

—-

Предел последовательности и функция

Число называют пределом числовой последовательности если для любого существует номер члена последовательности такой, что для всех выполняется неравенство

Если числовая последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

Число называется пределом функции в точке если для любого положительного числа можно указать такое положительное число что для всех значений из промежутка кроме, возможно, самой точки выполняется неравенство

Если каждая из функций имеет предел в точке то в этой точке существуют пределы функций

и имеют место равенства:

Сформулированные свойства правильны также для пределов последовательностей и для предела на бесконечности.

— первый замечательный предел.

Функция называется непрерывной в точке если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция в этой точке называется разрывной.

Теорема (Больцано—Коши). Если функция непрерывна на и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на интервале обязательно существует точка такая что

Производной функции f(x) в точке называют предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует,

Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
Функции, их свойства и графики
Параллельность в пространстве
Перпендикулярность в пространстве
Квадратные корни
Квадратные уравнения
Неравенства
Числовые последовательности

Источник

Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Рассмотрим
множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4,
…..n,…

Пусть каждому
натуральному числу по некоторому правилу
или закону поставлено в соответствие
действительное число х₁, х₂,
х₃, … х_n, …
Тогда говорят, что на множестве натуральных
чисел задана числовая последовательность
{x_n}.

Числовая
последовательность считается заданной,
если указано правило, по которому может
быть вычислен любой член последовательности,
если только известен его номер. Это
правило называется формулой n
членапоследовательности.

Например:
х_п
= n²

Предел последовательности

Число а называется
пределомпоследовательности
{x_n},
если для всякого ε > 0 найдётся числоN(ε) такое, что для всехn>Nвыполняется неравенство
│х_п— а│< ε. Обозначают
.

Последовательности
имеющие предел называются сходящимися.

Неравенство │х_n-a│< ε равносильно
неравенству а – ε < х_n<a+ ε, то есть точки х_n€
(a– ε,a+ ε
) или ε – окрестности точки а. Учитывая
это замечание определение предела
последовательности можно сформулировать
так:

Число а называется
пределомпоследовательности,
если для любого ε>0 найдется такое
числоN(ε), что все члены
последовательности с номерамиn>Nпопадут в ε –
окрестность точки а. Вне этой окрестности
либо не имеется точек х_п, либо
имеется конечное их число.

Теорема
1. Если
последовательность имеет предел, то он
единственный.

Доказательство:

Пусть последовательность
имеет два различных предела а и b.
Рассмотрим окрестности точек а иbтакой малой величины, что они не
пересекаются. Воспользуемся вторым
определением предела последо-вательности.
Поскольку число а является пределом
последовательности, то существует такая
окрестность точки а, что все члены
последовательности за исключением
может быть их конечного числа попадут
в ε – окрестность точки а. Так как числоbявляется пределом
последовательности, то все члены
последовательности за исключением лишь
их конечного числа попадут в ε –
окрестность точкиb. Таким
образом, все члены одного бесконечного
множества попали в окрестности двух
различных точек, чего быть не может.
Получили противоречие. Следовательно,
предел единственный и теорема верна.

Основные свойства пределов

Предел
алгебраической суммы конечного
числа последовательностей равен
алгебраической сумме пределов
последовательностей слагаемых, если
последние пределы существуют.

Предел
произведенияконечного числа
последовательностей равен произведению
пределов последовательностей
сомножителей, если последние пределы
существуют.

Предел частногопоследовательностей равен частному
пределов числителя и знаменателя, если
последние пределы существуют и предел
последовательности знаменателя отличен
от нуля.

Докажем, например,
первое утверждение.

Пусть имеются две
последовательности {x_n}
и {y_n}
и их сумма {x_n+y_n}.
Требуется доказать, что

Воспользуемся
определением предела последовательности.

Пусть
,
.
Это значит, что для любого ε>0 существует
число N,
такое что│x_n
-a│<
и│y_n
— b│<
.

Составим модуль
разности между nчленом
последовательности суммы и числом (а+b) и воспользуемся для
него свойствами модуля и указанными
выше неравенствами.

Будем иметь

│(x_n-y_n) – (a+b)│=
│(x_n–a) + (y_n–b)│<│x_n-a│+│y_n-b│<+=ε

Тогда по определению
предела последовательности, утверждение
о пределе суммы последовательностей
верно.

Аналогично доказываются остальные
утверждения.

Предел
функции.

Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точкиа
за исключением может быть лишь самой
точки а.
Рассмотрим поведение функции при
стремлении аргумента х
к значению а.

Определение
1. Число А
называется пределом
функции
при стремлениих
к а,
если для любой последовательности
значений аргументов
из области определения функции стремящейся
ка,
соответствующая последовательность
значений функции
стремится кА.

Обозначают
это так:

Если
последовательность значений функции
стремится килипри стремлениик значениюа,
то говорят, что предел функции равен
или.

Обозначают
это так:

или

Предел
функции
при стремленииможно определить по-другому.

Определение
2. Число А
называется пределом
функции
в точкеа,
если для
,
существуеттакое, что для всехх,
удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство.

Легко
доказать, что оба определения предела
функции эквивалентны.

Графически
определение предела можно представить
так:

Как
только значения аргумента х
попадают в
–окрестность
точкиа,
соответствующие значения у
попадают в
–окрестность
точкиА,
при этом для существования предела
функции при
:

необязательно,
чтобы функция была определена в точке
а;
–окрестность
точки а
должна удовлетворять условиям
симметричности, а
–окрестность
точкиА
при заданной
не обязательно должна удовлетворять
этому требованию.

Определение
3. Число А
есть предел функции
приесли длясуществует некоторое числоМ
такое что неравенство
выполняется для всехх
удовлетворяющих неравенству

Соседние файлы в папке Мат_Анализ

Источник

Что такое предел и как его найти
- Числовая последовательность и ее предел
- Предел числовой последовательности
- Комплексные числовые последовательности
  - Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- Основные теоремы о пределах
Вычисление пределов
- Арифметические операции над пределами
- Неопределенности
  - Рекомендации по раскрытию неопределенностей
  - Предельный переход в неравенствах
- Лемма о вложенных отрезках
- Лемма Больцано-Вейерштрасса
- Критерий Коши
Определение понятия предела
- Различные типы стремления к пределу
- Признак Вейерштрасса
- Бесконечно малые
  - Свойства бесконечно малых
Свойства пределов
- Бесконечно большие
Примеры вычисления пределов
- Функция Дирихле
Дополнение к пределу в математике
- Некоторые свойства бесконечно малых величин
- Ещё о свойствах предела
Теория пределов с примерами и решением
- Абсолютная величина и соотношения, связанные с ней
- Последовательность. Характер изменения переменной величины
- Бесконечно малая величина
- Бесконечно большая величина
- Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой
- Понятие о пределе переменной
- Свойства бесконечно малых величин
- Теоремы о пределах
- Предел функции
- Эквивалентные бесконечно малые величины
- Натуральные логарифмы
Решение пределов на все темы с вычислением
- Понятие предела последовательности
- Понятие предела функции
- Понятие непрерывности функции в точке
Теория пределов, формулы и примеры
- Числовые последовательности
- Предел числовой последовательности
- Предел функции
  - Предел функции при х → х₀.
- Односторонние пределы
  - Теоремы об ограниченных функциях
- Решение заданий на тему: Теория пределов
- Бесконечно малые функции
- Бесконечно большие функции
  - Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций
- Основные теоремы о пределах
- Решение заданий на тему: Нахождения пределов
- Сравнение бесконечно малых функций
  - Эквивалентность бесконечно малых функций
  - Приемы раскрытия неопределенностей
- Решение заданий на тему: Сравниние бесконечно малых величин
Пределы и как их решать — подробная инструкция
- Определения предела
- Свойства пределов
- Непрерывные функции
- Решение задач на нахождение пределов

Задачи, приводящие к возникновению понятия предела:

До сих пор мы встречались преимущественно с такими задачами, для решения которых достаточно было выполнить только несколько действий над числами. Например, чтобы определить цену смеси двух сортов кофе, достаточно было выполнить пять действий (два раза умножение, два раза сложение и один раз деление).

Приведем еще один такой же пример. Известно, что свободное падение тела в безвоздушном пространстве происходит по закону

где g — ускорение силы тяжести
t — время в секундах;
s — путь в метрах, пройденный за t секунд.

Поставим такую задачу: найти среднюю скорость свободного падения за промежуток времени, например, с момента t = 10 до момента t = 15.

Путь, пройденный за этот промежуток времени, будет равен

Средняя же скорость за этот промежуток времени будет равна

или

или, наконец, (приближенно )

Средняя скорость за промежуток времени с момента t = 10 до t = 11 будет равна

Средняя скорость за промежуток времени с момента t = 10 до t = 10,1 равна

Мы, видим, что задача определения средней скорости также решается выполнением нескольких действий (выполняется два раза возведение в степень, несколько раз умножение, два раза пычитание и один раз деление).

Теперь поставим задачу иного характера.

Задача:

Определить скорость свободно падающего тела в тот или иной выбранный момент времени.

Мы предполагаем, что читатель имеет представление о скорости механического движения. Например, он знает, что скорость тела, сброшенного с различных высот, в момент падения на землю различна. Он имеет представление о наибольшей скорости самолета и о той его скорости, с которой он приземляется.

Здесь мы покажем, как математически найти скорость свободно падающего тела в любой момент времени при условии, что уравнение движения

нам известно.

Найдем сначала скорость, например, в момент t = 10. Средняя скорость за промежуток времени с момента t = 10 до момента t = 10+h будет равна

или

или же

Но эта средняя скорость будет тем ближе к скорости в момент t =10, чем ничтожнее или чем ближе к нулю будет величина h.

Таким образом, чтобы получить скорость в момент t = 10, необходимо определить ту величину, к которой неограниченно стремится величина средней скорости

когда величину h мы делаем все более и более ничтожной, все более и более приближающейся к нулю. Очевидно, что выражение

при этих условиях будет неограниченно стремиться к величине т. е. к величине 10g.

Значит, скорость в момент t = 10 будет равна 10g м/сек. Постоянную величину 10g называют пределом переменной величины— при условии, что величина h стремится к нулю, приближаясь к нему неограниченно.

Обратим внимание на то, что для решения последней задачи недостаточно было выполнить несколько действий над числами, а надо было, кроме того, определить ту постоянную величину, к которой неограниченно приближается переменная величина при стремлении величины h к нулю, т. е. надо было, как принято говорить, отыскать предел переменной величины .

Решим последнюю задачу в общем виде, т. е. найдем скорость для произвольно выбранного момента времени t.

Средняя скорость за промежуток времени с момента t до момента t+h будет:

Оставляя t неизменным и приближая h к нулю, получим, что скорость в момент t будет равна gt м/сек.

Например, скорость
в конце 1-й секунды будет g м/сек
в конце 2-й — 2g м/сек
в конце 3-й — 3g м/сек и т. д.

Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой опять потребуется отыскание предела переменной величины.

Задача о касательной:

К параболе в ее точке М(2; 1) проведена касательная АВ. Найти тангенс угла x между осью ОХ и этой касательной (рис. 136).

Возьмем на параболе точку и проведем Тогда

Проведем секущую и обозначим буквой угол между осью ОХ и этой секущей.

Очевидно, что

или

Если теперь мы станем точку приближать вдоль параболы к точке М, то секущая станет поворачиваться вокруг неподвижной точки М, стремясь все ближе и ближе к положению касательной АВ. При этом h будет приближаться к нулю, а величина будет приближаться к величине а.

Значит, tg a будет равняться той величине, к которой неограниченно приближается величина когда мы станем величину h неограниченно приближать к нулю, т. е. оказывается, что tg a=1.

Решим эту же задачу в общем виде.

Пусть к параболе проведена касательная АВ в произвольно взятой на ней точке . Найти тангенс угла a между осью ОХ и этой касательной (рис. 137).

Возьмем на параболе точку и проведем Тогда

Проведем секущую и обозначим буквой угол между осью ОХ и этой секущей. Очевидно, что

Если теперь станем точку приближать вдоль параболы к точке М, то секущая станет поворачиваться вокруг неподвижной точки М, стремясь все ближе и ближе к положению касательной АВ. При этом h будет приближаться к нулю, а величина — к величине а.

Значит, tg a будет равняться той величине, к которой неограниченно приближается переменная сумма когда мы станем h приближать как угодно близко к нулю, т. е. окажется, что

Hапример:

и т. д.

Вычисление пределов переменных величин является операцией, необходимой для решения очень многих разнообразных и весьма важных задач. Но не следует думать, что вычисление пределов осуществляется всегда так легко и просто, как в только что разобранных примерах. Для иллюстрации приведем хотя бы один пример.

Пример:

Найти предел дроби

при условии, что h стремится к нулю.

Этот предел обнаружить непосредственно нельзя, так как и числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю.

Если же числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то о том, к чему будет стремиться сама дробь, ничего нельзя сказать наперед.

Поэтому, чтобы найти искомый предел, мы данную дробь предварительно преобразуем следующим образом:

Но последняя дробь при h, стремящемся к нулю, стремится к числу , т. е. к числу 3.

Следовательно, предел первоначальной дроби равен 3.

Что такое предел и как его найти

Понятие предела является одним из фундаментальных понятий во многих математических дисциплинах. Появление и развитие теории пределов имело решающее значение в задаче строгого обоснования математического анализа. В этой главе изучаются основные положения этой теории.

Числовая последовательность и ее предел

Изучение теории пределов начнем с рассмотрения понятия предела числовой последовательности.

Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вещественное число . Тогда говорят, что определена числовая последовательность или просто последовательность . При этом символ называется общим элементом последовательности. Числовая последовательность может быть записана в развернутом виде:

Примеры числовых последовательностей:

В этих примерах формула общего элемента определяется просто: например, для последовательности (5.2) имеем

Сложнее записывать формулу общего элемента следующих последовательностей:

Здесь, соответственно, имеем

Эти элементы могут быть записаны и одним равенством. Например, для последовательности (5.5) имеем (запишите одним равенством общий элемент последовательности (5.4)!).

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если такое, что Если последовательность является одновременно ограниченной и сверху и снизу, то она называется ограниченной.

Естественным образом определяется понятие неограниченной последовательности.

Рассмотренная выше последовательность (5.1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху, а последовательности (5.2)-(5.5) являются ограниченными.

Очевидно, приведенное определение является простым перефразированием аналогичного определения для числовых множеств (с. 13). Следующее понятие характерно уже только для последовательностей, так как связано с понятием порядка их элементов.

Последовательность называется возрастающей, если:

и убывающей, если:

Последовательность называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая.

Последовательности (5.1) и (5.2) являются, очевидно, монотонными, а последовательности (5.3), (5.4) и (5.5) таковыми не являются. Отметим последовательность (5.2), а также последовательность

как пример того, что монотонно возрастающая (убывающая) последовательность может быть ограничена сверху (снизу).

В последующих построениях важную роль играет следующее понятие. Пусть даны вещественные числа и , причем . Интервал называется -окрестностью числа (см. рис. б).

Предел числовой последовательности

Рассмотрим последовательность (5.2). Нетрудно заметить, что с возрастанием номера элементы этой последовательности «приближаются» к числу 1, отличаясь от него сколь угодно мало. То же можно сказать и о последовательности (5.6), которая «приближается» к числу 0. В то же время, например, последовательности (5.1) или (5.3), очевидно, не приближаются ни к какому числу. Придадим отмеченному свойству числовых последовательностей строгий смысл.

Пример:

Тот факт, что элементы последовательности (5.2) «приближаются» к 1, может быть отмечен в следующей форме. Покажем, что каким бы ни было положительное число , найдется номер такой, что числа , при всех попадут в -окрестность числа 1, т. е. при всех выполнено неравенство . Другими словами, какой бы ни была -окрестность числа 1 все элементы последовательности (5.2), начиная с некоторого номера, попадут в эту окрестность. Для нахождения такого номера решим неравенство :

Отсюда получим и, следовательно, исходное неравенство выполняется при всех — целая часть числа . Например, если и, следовательно, все элементы последовательности (5.2), начиная с номера попадут в -окрестность числа 1.

Приведенный пример позволяет дать определение предела числовой последовательности (используемую при этом фразеологию обычно называют «языком »).

Число называется пределом числовой последовательности если для такой, что при всех выполнено неравенство

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся — в противном случае.

Непосредственно из определений предела последовательности и -окрестности числа вытекает следующий важный факт.

Число является пределом последовательности если, какой бы ни была е-окрестность числа , все элементы последовательности , начиная с некоторого номера, попадут в эту окрестность (так что вне ее может остаться лишь конечное число этих элементов).

Точка о на числовой оси является как бы точкой сгущения точек, изображающих значения (см. рис. 7).

Тот факт, что число является пределом последовательности обозначают:

В равенстве (5.7) символ lim — это сокращенное выражение латинского слова limites («предел»).

В рассмотренном выше примере 5.1 было показано, что последовательность является сходящейся, причем

Приведем теперь пример расходящейся последовательности.

Пример:

Покажем, что последовательность (5.3) расходится. В предположении противного она сходится, т. е. у нее предел, равный некоторому числу . Тогда для все числа этой последовательности, начиная с некоторого номера , содержатся в -окрестности числа . В качестве возьмем число

Тогда должно быть выполнено неравенство

Но числа поочередно принимают значения 1 и -1; поэтому одновременно должны быть выполнены неравенства Отсюда и из неравенства (2.2) получим

Полученное противоречие доказывает, что последовательность (5.3) расходится.

Комплексные числовые последовательности

Выше рассматривались числовые последовательности, элементы которой являются вещественными числами. Аналогично определяют и числовые последовательности с комплексными элементами. Несложно сформулировать и понятие предела для таких последовательностей. При этом следует иметь в виду, что -окрестностью комплексного числа будет круг радиуса с центром в точке на комплексной плоскости . Предоставляем читателю сформулировать определение предела для комплексных последовательностей.

В дальнейшем для простоты изложения рассматриваются только вещественные числовые последовательности, хотя многие факты и утверждения остаются верными (при соответствующих изменениях в формулировках) и для комплексных последовательностей.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

| Если последовательность сходится и то говорят, что последовательность является бесконечно малой.

Распространенными примерами бесконечно малых являются последовательности

Важность изучения бесконечно малых последовательностей подчеркивается тем фактом, что каждая сходящаяся последовательность приводится к бесконечно малой. А именно, верна

Теорема:

Для того чтобы последовательность сходилась к пределу , необходимо и достаточно, чтобы последовательность где являлась бесконечно малой.

Справедливость этой теоремы непосредственно следует из определения предела последовательности и понятия бесконечно малой последовательности .

Например, последовательность имеет предел 1 (см. пример 5.1); следовательно, последовательность является бесконечно малой (покажите это независимо от примера 5.1!). Из теоремы 5.1 получим очевидное

Следствие:

Последовательность сходится к пределу тогда и только тогда, когда

Бесконечно малым последовательностям противопоставляются бесконечно большие последовательности.

Последовательность называется бесконечно большой, если, каким бы ни было число найдется номер такой, что для всех

Ясно, что бесконечно большая последовательность расходится. Примерами бесконечно больших последовательностей может служить последовательность

или последовательность Распространенными примерами бесконечно больших являются последовательности

Если бесконечно большая последовательность начинал с некоторого номера сохраняет знак то говорят, что последовательность имеет предел или, что тоже самое, она стремится к ; при этом пишут

Вместо часто пишут

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями устанавливает очевидная

Теорема:

Если последовательность является бесконечно большой, то последовательность является бесконечно малой. Обратно, если последовательность является бесконечно малой и при этом то последовательность является бесконечно большой.

Докажите это утверждение!

Основные теоремы о пределах

Рассмотрим сначала последовательность с, с, …, с, …, элементы которой при всех значениях принимают одно и то же значение с; такую последовательность назовем постоянной (стационарной). Очевидна

Теорема:

Предел постоянной равен самой себе:

Пусть числовая последовательность сходится, т. е. она имеет некоторый предел . Единственен ли этот предел? Или последовательность может одновременно сходиться к нескольким различным пределам? Ответ на эти вопросы дает

Теорема:

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

► В предположении противного некоторая сходящаяся последовательность имеет два предела и , Тогда для такие, что при выполнено неравенство — неравенство Положим Тогда указанные неравенства выполнены при всех , т. е. числа при одновременно содержатся в -окрестности числа и в -окрестности числа . Но эти -окрестности не пересекаются, если, например, взять Полученное противоречие доказывает теорему.

Важным свойством сходящихся последовательностей является их ограниченность. А именно, справедлива

Теорема:

Сходящаяся последовательность ограничена.

► Пусть последовательность сходится к . Зададимся числом тогда такой, что при выполнено неравенство и, следовательно, Положим

Тогда

Заметим, что обратное к теореме 6.3 утверждение не верно, т. е. ограниченные последовательности могут оказаться расходящимися. Иллюстрацией этого факта являются последовательности (5.3) (см. пример 5.2) и (5.4). Исключением являются монотонные последовательности.

Теорема:

Монотонная и ограниченная последовательность сходится.

► Пусть — монотонная ограниченная последовательность. Для определенности будем считать, что эта последовательность является возрастающей, т. е. В силу теоремы 2.1 главы 1 множество имеет супремум; обозначим Покажем, что Действительно, в силу теоремы 2.2 для такой, что Тогда для имеем следовательно, В силу произвольности последнее означает, что

6.1. число е

В первой главе (с. 11) было обращено внимание на иррациональное число е, играющее особую роль в математике. Существует несколько способов строгого определения этого числа. Один из них состоит в рассмотрении последовательности

Чуть ниже показывается, что эта последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной. Отсюда и из теоремы 6.4 следует, что она имеет конечный предел, обозначаемый (следуя Л. Эйлеру) буквой е, т.е.

Тот факт, что последовательность (6.1) является монотонно возрастающей и ограниченной может быть установлен с использованием формулы бинома Ньютона

где

Применяя эту формулу, получим

Отсюда сразу же следует оценка для любого номера Далее, так как

то получим

Таким образом, для любого номера

Теперь покажем, что последовательность (6.1) возрастает. С этой целью в вышеприведенной формуле для заменим на , т. е. запишем формулу для Сравнивая и заметим, что в на одно положительное слагаемое больше, к тому же и каждое слагаемое (начиная со второго) больше соответствующего слагаемого в Это означает, что для любого номера п, т. е. последовательность (6.1) возрастает.

Вычисление пределов

Арифметические операции над пределами

Перейдем к рассмотрению вопросов, связанных с вычислением пределов. Основной в этих вопросах является

Теорема:

Пусть последовательности и сходятся. Тогда имеют место равенства

а если то и равенство

► Ограничимся доказательством равенства (7.1) (равенства (7.2) и (7.3) доказываются аналогично). Пусть и — пределы последовательностей и соответственно. Равенство (7.1) будет доказано, если показать, что или, другими словами, показать, что для такое, что при будет выполнено неравенство Так как то для числа такие, что при будет выполнено неравенство а при — неравенство Положим тогда при имеем

что и требовалось доказать.

Пример:

Применим теорему 7.1 для вычисления предела

Теорема 7.1 позволяет вычислять пределы арифметических выражений от последовательностей и в предположении, что каждая из них сходится. Если же хотя бы одна из этих последовательностей расходится, то вопрос существования предела остается открытым. Однако в одном важном случае ответ может быть получен. А именно, верна

Лемма:

Если — ограниченная последовательность, а — бесконечно малая последовательность, то последовательность является бесконечно малой.

► Так как последовательность ограничена, то такие, что выполнено Положим тогда

Для доказательства леммы следует показать, что для такое, что Так как последовательность бесконечно мала, то для числа такой, что Тогда для указанных значений имеем

Пример:

Вычислить предел: Положим тогда Очевидно, что последовательность ограничена а последовательность является бесконечно малой (см. приведенные на с. 29 формулы (5.9)). Поэтому из леммы 7.1 следует, что

Неопределенности

Укажем теперь случаи, когда вопрос о сходимости последовательности не решается на основе теоремы 7.1 или леммы 7.1. Эти случаи классифицируются так называемыми неопределенностями вида

Например, неопределенность возникает при вычислении предела частного в предположении, что В этом случае частное может иметь различные характеры сходимости в зависимости от конкретных видов последовательностей Например, если то их отношение также стремится нулю. Если же то отношение стремится к Если, наконец, то их отношение стремится к (так как равно для ). Для того, чтобы характеризовать указанную особенность, говорят, что при выражение представляет неопределенность вида .

Для исследования неопределенностей вида (7.4) приходится учитывать конкретный вид последовательностей и Подобное исследование получило название раскрытия неопределенностей.

Предельный переход в неравенствах

Если элементы сходящихся последовательностей и связаны неравенством то естественно ожидать аналогичного соотношения и для их пределов. Это подтверждает

Теорема:

Пусть начиная с некоторого номера Тогда

Допустим противное, т. е. Положим Так как то начиная с некоторого номера получим Имеем

что противоречит условию теоремы.

Следствие:

Пусть начиная с некоторого номера Тогда

Приведем теперь очевидную лемму, полезную во многих последующих построениях.

Лемма:

Пусть последовательности и таковы, что (начиная с некоторого номера Тогда

Докажите это утверждение!

Лемма 8.1 позволяет установить более общее утверждение (названное математиками «леммой о двух милиционерах»).

Лемма:

Пусть пусть последовательность такова, что (начиная с некоторого номера

► Так как и, следовательно, Тогда

Но по условию следовательно (см. следствие 5.1), Отсюда и из леммы 8.1 получим

Лемма о вложенных отрезках

Приведем утверждение, являющееся следствием теорем 6.4 и 8.1 и играющее важную роль в последующих построениях. Пусть дана последовательность отрезков

таких, что т. е. каждый последующий содержится в предыдущем. Другими словами,

Такую последовательность называют последовательностью вложенных отрезков.

Лемма:

Последовательность вложенных отрезков (8.1) имеет по крайней мере одну общую точку: найдется число с такое, что для всех номеров

► Из неравенств (8.2) следует, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху (она ограничена, например, числом ). Аналогично, последовательность является монотонно убывающей и ограниченной снизу. Поэтому в силу теоремы 6.4 обе эти последовательности имеют пределы; положим Так как в силу (8.2) выполнено то из теоремы 8.1 следует неравенство Следовательно, для номера Возможны два случая: а < b или а = b. В первом случае отрезок [а, b] содержится во всех вложенных отрезках (8.1), и, следовательно, в качестве числа с можно взять любое число отрезка [a, b]. Во втором случае следует положить с=а.

Из лемм 8.2 и 8.3 вытекает

Следствие:

Пусть последовательность вложенных отрезков (8.1) такова, что Тогда найдется единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности, при этом

Лемма Больцано-Вейерштрасса

Пусть дана некоторая последовательность

Из нее можно выбирать подпоследовательности, т. е. последовательности вида

где — некоторая последовательность натуральных чисел (здесь роль номера играет уже не а k) такая, что Например, из последовательности можно выбрать подпоследовательность только с четными номерами

или только с нечетными номерами

и т. п.

Ясно, что если последовательность (8.3) имеет предел, то и любая ее подпоследовательность (8.4) имеет тот же предел. Если же последовательность (8.3) не имеет предела, то некоторые ее подпоследовательности (8.4) могут иметь предел (как это имеет место, например, для только что рассмотренной последовательности Вопрос: из любой ли последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность?

Ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицателен. Например, из последовательности очевидно, нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность. Заметим, что эта последовательность неограничена. Если же последовательность ограничена, то ответ на поставленный вопрос положителен. А именно, верно утверждение, называемое леммой Болъцано-Вейерштрасса.

Лемма:

Из любой ограниченной последовательности (8.3) можно выбрать сходящуюся к конечному пределу подпоследовательность.

► Так как последовательность (8.3) ограничена, то числа такие, что для имеем Разделим отрезок пополам; тогда хотя бы в одной половине содержится бесконечно много элементов последовательности (8.3). Через обозначим именно такую половину (если обе половины таковы, то возьмем любую из них). Разделив далее отрезок на две половины, снова выберем ту из них, что содержит бесконечно много элементов последовательности (8.3). Эту половину обозначим через Продолжим этот процесс до бесконечности. Тогда получим последовательность вложенных отрезков вида (8.1). При этом по построению, очевидно, имеем и следовательно, Отсюда и из следствия 8.2 получим существование единственной точки такой, что

Теперь выберем нужную нам подпоследовательность. В качестве возьмем любой из элементов последовательности (8.3), содержащийся в отрезке В качестве возьмем любой из элементов последовательности (8.3), содержащийся в отрезке и имеющий номер, больший чем Этот процесс продолжим до бесконечности. Ясно, что указанный процесс ни на каком номере не прервется, так как каждый из отрезков содержит бесконечно много элементов последовательности (8.3). Полученная подпоследовательность обладает, очевидно, следующим свойством

Таким образом,

Отсюда и из леммы 8.2 получим равенство

Критерий Коши

Применим лемму Больцано-Вейерштрасса для доказательства критерия Коши сходимости числовой последовательности. Этот критерий указывает внутренние свойства последовательности, обеспечивающие ее сходимость или расходимость.

Теорема:

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для

такой, что при каждом неравенство выполнялось для всех р= 1,2,…

Другими словами, свойство сходимости последовательности равносильно тому, что каким бы ни было число найдется такой номер что разница между любыми двумя элементами последовательности, следующими за этим номером, будет меньше

Ценность критерия Коши в том, что для него, в отличие от введенного выше определения сходимости числовой последовательности, не требуется информации о численном значении предела.

Необходимость:

Пусть последовательность (8.3) сходится и с — ее предел. Тогда для Пусть тогда при всех р = 1,2,… имеем

Достаточность:

Зададимся произвольным Тогда такой, что при неравенство верно для всех р = 1,2,… Положим тогда для всех р = 1,2,…, т. е. последовательность ограничена. В силу леммы Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность (8.4), которая сходится к некоторому Покажем, что и сама последовательность (8.3) сходится к этому с. С этой целью выберем k настолько большим, чтобы, во-первых, и, во-вторых, Тогда при получим

Пример:

Используя критерий Коши, докажем сходимость числовой последовательности

Имеем

при По теореме 9.1 имеет конечный предел.

Определение понятия предела

Определение:

Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если для всякого наперед заданного положительного числа е можно указать такой момент, начиная с которого разность х—а сделается и будет оставаться по абсолютной величине меньше числа , как бы мало оно ни было.

Примечание:

Число не имеет ничего общего с величиной h, которая встречалась в предыдущих примерах. Здесь есть число постоянное, a h мы рассматривали как величину переменную, стремящуюся к нулю.

Примечание:

Если бы было известно, что сама разность х— а меньше, скажем 0,000001, то отсюда нельзя было бы еще заключить, что х близко к а. Например, 7 —1000 < 0,000001, но число 7 не является близким к 1000. Поэтому в определении предела надо требовать, чтобы выполнялось неравенство

а не только неравенство

Пусть точка А изображает на числовой оси число а, а точка X—число х (рис. 138). Если х будет изображать числовое значение некоторой переменной величины, то x в процессе изменения этой переменной будет принимать бесконечное множество значений. При этом точка X будет изменять свое положение на числовой оси, как-то перемещаясь по оси .

Возьмем на числовой оси отрезок, левый конец которого есть точка, изображающая число а — , а правый конец — число a + (рис. 138).

Если постоянная а есть предел переменной х, то это значит, что как бы мало ни было положительное число , перемещающаяся точка X с некоторого момента окажется внутри отрезка PQ, т. е. отрезка и будет с этого момента оставаться внутри этого отрезка все время.

Пример:

Рассмотрим выражение при условии, что показатель корня n будет натуральным неограниченно возрастающим числом. При этих условиях выражение будет представлять собой величину переменную (изменяющуюся скачкообразно).

Докажем, что пределом этой переменной будет единица.

Пусть есть любое наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Возьмем Тогда получим, что , или Но в таком случае и подавно будет так как .

Из неравенства следует, что , или или, наконец,

Итак, оказалось, что при всяком значении n, большем дроби , абсолютная величина разности между переменной величиной и постоянной величиной единицей становится и остается меньше произвольно заданного сколь угодно малого положительного числа . Следовательно, число единица является пределом переменной величины .

Чтобы указать, что пределом переменной величины х служит число а, пишут так:

limx = a (читается: предел x равен а), либо так: (читается: х стремится к а, как к своему пределу).

Знак lim происходит от латинского слова «limes», что значит граница, предел.

Различные типы стремления к пределу

Переменная величина может стремиться к своему пределу весьма разнообразными способами.

Приведем примеры.

1. Площадь S вписанного в круг правильного многоугольника при неограниченном возрастании числа его сторон стремится к своему пределу, к площади круга К, все время возрастая. В этом случае разность S — K остается все время отрицательной.

2. Площадь S описанного около круга правильного многоугольника при неограниченном возрастании числа его сторон стремится к своему пределу, к площади круга К, все время убывая. В этом случае разность S—К остается все время положительной.

3. Пусть n есть неограниченно возрастающее натуральное число. Тогда дробь будет величиной переменной, имеющей своим пределом нуль. В этом случае переменная будет становиться то больше, то меньше своего предела, смотря по тому, четно или нечетно число n.

Во всех этих трех примерах переменная никогда не достигает своего предела.

4. При неограниченном возрастании числа х дробь будет переменной величиной, имеющей своим пределом число нуль. Но здесь переменная величина в процессе своего изменения бесконечно много раз будет становиться равной своему пределу. Это будет происходить всякий раз, как только x будет принимать значение, равное произведению целого числа на

Действительно,

и т.д.

Приближаясь к своему пределу, равному нулю, переменная будет принимать и положительные и отрицательные значения, т. е. будет становиться то больше, то меньше своего предела, а в некоторые отдельные моменты, как уже отмечалось, может принимать и значения, равные ее пределу.

Этими примерами далеко не исчерпывается все многообразие видов стремления переменной к своему пределу. Могут быть процессы приближения переменной к своему пределу, происходящие еще более сложными способами.

Из самого определения понятия предела следует, что одна и та же переменная величина никогда не может иметь двух различных пределов.

Не следует думать, что всякая переменная величина обязательно имеет предел. Например, при неограниченном возрастании х переменная величина sin х ни к какому пределу не стремится.

Также ни к какому пределу не стремится и переменная величина при неограниченном возрастании натурального числа n.

Условимся говорить, что пределом постоянной величины является сама эта постоянная. Например, lim a = а, если а есть величина постоянная.

Результаты полученные ранее, можно записать так:

(Запись означает, что натуральное число n неограниченно возрастает.)

Эти же результаты можно было бы записать еще и так:

Признак Вейерштрасса

В предыдущем параграфе было показано, что переменная величина может иметь, а может и не иметь предел.

При решении теоретических и практических вопросов встречаются случаи, когда предел переменной величины найти невозможно, да и не нужно, а нужно лишь только знать, что переменная имеет предел. В подобных случаях пользуются, где это удается, особыми признаками, позволяющими судить о существовании предела.

Один из таких признаков, наиболее простой и часто применяемый, называется признаком Вейерштрасса и состоит в следующем.

Неубывающая, в частности, возрастающая переменная х, остающаяся меньше одного и того же числа А, обязательно имеет предел а, причем а будет либо меньше, либо равно А. (Доказательство этой теоремы сложно, поэтому оно здесь не приводится.)

Пример:

Пусть требуется выяснить, имеет ли предел сумма

при неограниченном возрастании натурального числа n. Эта сумма представляет собой возрастающую переменную величину.

Рассмотрим другую вспомогательную сумму:

Обратим внимание на то, что каждое слагаемое суммы (II) можно представить в виде разности двух дробей, а именно:

Благодаря этому сумма (II) примет следующий вид:

Легко видеть, что эта сумма будет равна . Следовательно, предел суммы (II) будет равен пределу разности при , т. е. единице.

Легко заметить, что каждое слагаемое суммы (I) меньше, чем соответствующее слагаемое суммы (II). Но сумма (II) при всяком значении натурального числа n меньше своего предела, т. е. меньше, чем 1. Значит, сумма (I) и подавно будет оставаться меньше единицы при всяком значении натурального числа n.

Итак, мы установили два факта: I) сумма (I) есть возрастающая переменная и 2) что эта сумма остается при всяком значении натурального числа n меньше, чем единица.

На основании признака Вейерштрасса мы можем заключить, что сумма (I) есть переменная, имеющая предел, и что этот предел будет либо меньше, либо равен единице. Таким образом, хотя мы и не нашли предела суммы (I), но все же доказали, что он существует и не превосходит единицы.

Легко убедиться, что этот предел не только не превосходит единицы, но что он меньше единицы. Действительно, как мы уже доказали, предел суммы (II) равен единице. Но из сравнения хотя бы первых членов сумм (I) и (II) видно, что предел суммы (I) меньше, чем предел суммы (II), т. е. меньше единицы.

Итак, мы доказали, что предел суммы (I) существует и является числом, меньшим единицы.

В признак Вейерштрасса входит признак существования предела и для невозрастающих переменных величин.

2. Невозрастающая, в частности, убывающая переменная х, остающаяся больше одного и того же числа q, обязательно имеет предел Q, причем число Q будет либо больше, либо равно q.

Бесконечно малые

Определение:

Переменная величина а называется бесконечно малой, если она имеет своим пределом нуль.

Следовательно, если lim a = 0, то это означает следующее: для всякого наперед заданного числа можно указать такой момент, начиная с которого переменная а становится и остается по абсолютной величине меньше, чем , как бы мало ни было это число .

Пусть точка X изображает собой на числовой оси величину а. При изменении числа а будет изменяться и положение точки X на числовой оси.

Возьмем на числовой оси (рис. 139) отрезок, левый конец которого есть точка, изображающая число —, а правый конец— число +.

Если а есть бесконечно малая, то это значит, что, как бы мало, ни было положительное число , движущаяся точка X с некоторого момента окажется внутри отрезка PQ и останется там с этого момента все время.

Здесь число нуль играет такую же роль, как и число а в начале § 2, т. е. постоянное число нуль является пределом переменной о так же, как раньше постоянная а являлась пределом переменной величины х.

Так как неравенство

выполняется при всяком положительном значении , как бы малым оно ни было, то мы условимся считать нуль также величиной бесконечно малой, но такой, что ее значение все время остается равным нулю.

По своему существу всякая бесконечно малая величина есть величина переменная. Поэтому никакая постоянная величина, не равная нулю, как бы мала она ни была, не будет являться величиной бесконечно малой.

Например, есть число ничтожно малое, тем не менее оно не является бесконечно малой величиной. Среди постоянных только нуль, как было объяснено выше, может считаться величиной бесконечно малой.

Замечание:

Во всех предыдущих рассуждениях мы буквой в обозначали любое наперед заданное как угодно малое положительное число. Значит, обозначает собой всякий раз число постоянное, не равное нулю. Значит, в во всех предыдущих рассуждениях не являлась величиной бесконечно малой.

Замечание:

Если х есть переменная, имеющая своим пределом число а, то, как уже было сказано раньше, правильными будут следующие записи:

или

и неправильной будет запись х = а.

Запись х = а будет правильной лишь в том случае, если величина х будет такой, что ее значения неизменно остаются равными числу а.

Замечание:

Если х есть переменная, имеющая своим пределом число а, то правильной будет еще и следующая запись

где — величина бесконечно малая.

Таким образом, разность между переменной и ее пределом всегда есть величина бесконечно малая.

Из равенства х — а = а следует, что х = a + , т. е. переменная равна своему пределу плюс величина бесконечно малая. Последняя бесконечно малая может принимать как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от характера приближения переменной х к своему пределу а.

Свойства бесконечно малых

1. Сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

2. Произведение конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

3. Произведение постоянного числа на величину бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Остановимся для примера лишь на доказательстве первого свойства.

Пусть —бесконечно малые величины и пусть есть произвольное положительное число.

Тогда, начиная

с некоторого момента будет выполняться неравенство

Поэтому, начиная с самого позднего из этих моментов, будет выполняться неравенство:

Но

Следовательно, с указанного выше самого позднего момента будет выполнятся и подавно неравенство

а это и означает, что сумма

есть величина бесконечно малая.

Итак, мы доказали, что сумма конечного числа бесконечно малых есть также величина бесконечно малая.

Замечание:

О частном двух бесконечно малых ничего определенного сказать нельзя. В каждом конкретном случае такое частное надо изучить и исследовать в отдельности.

Например, при

Свойства пределов

1. Предел суммы конечного числа переменных равен сумме пределов этих переменных при условии, что каждое слагаемое имеет предел

2. Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных при условии, что предел каждого множителя существует:

3. Предел частного двух переменных равен частному их пределов, когда эти пределы существуют и предел знаменателя отличен от нуля:

если lim х и lim у существуют и

Остановимся для примера лишь на доказательстве первого свойства.

Пусть — переменные величины, имеющие своим пределом соответственно числа т. е. пусть

Тогда

где — величины бесконечно малые.

Отсюда

Сумма есть какая-то переменная; сумма есть величина постоянная; сумма есть величина бесконечно малая.

Если же какая-либо переменная величина х равна постоянной А, сложенной с бесконечно малой то пределом этой переменной х будет постоянная А.

Поэтому

или

что и требовалось доказать.

Бесконечно большие

Определение:

Переменная величина х называется положительной бесконечно большой величиной, если для всякого наперед заданного сколь угодно большого положительного числа М можно указать такое состояние процесса изменения х, начиная с которого переменная величина х становится и остается больше, чем М, т. е. выполняется неравенство х > М.

Никакое постоянное число, сколь бы большим оно ни было, не является бесконечно большой величиной. Например, число не есть бесконечно большая величина.

Для того чтобы величина могла бы быть бесконечно большой, необходимо, чтобы она была прежде всего величиной переменной.

Если х есть положительная бесконечно большая величина, то говорят, что х неограниченно возрастает. При этом принято писать так:

(читают: предел х равен плюс бесконечности), или

(читают: х стремится к плюс бесконечности).

Символ называется «положительной бесконечностью» и числом не является.

Запись lim х = мы употребляем условно. Здесь символ не есть предел в настоящем смысле этого слова. В настоящем смысле слова предел переменной есть определенное число, а символ , как уже отмечалось, не является числом.

Таким образом, запись

мы должны понимать так: переменная х предела не имеет, но она есть неограниченно возрастающая переменная.

Определение:

Переменная х называется отрицательной бесконечно большой величиной, если для всякого наперед заданного отрицательного числа —N(N>0), каким бы большим ни было N. можно указать такое состояние процесса изменения х, начиная с которого величина х становится и остается меньше, чем — N, т. е. выполняется неравенство

Если х есть отрицательная бесконечно большая величина, то говорят, что х неограниченно убывает. При этом обычно пишут так:

(читают: предел х равен минус бесконечности), или

(читают: х стремится к минус бесконечности).

Определение:

Если переменная величина х не прекращает принимать и положительные и отрицательные значения и если при этом ее абсолютная величина неограниченно возрастает, то она называется бесконечно большой величиной.

Если х есть бесконечно большая величина, то пишут:

(читают: предел х равен бесконечности), или

(читают: х стремится к бесконечности).

Символы и также не являются числами, как и символ .

Замечание:

Если х есть переменная бесконечно большая, то будет переменной бесконечно малой:

Если есть переменная бесконечно малая, то будет переменной бесконечно большой:

Примеры вычисления пределов

9. Вычислить . Из рисунка 140 видно, что пл. пл. сектора (1)

Обозначив радиус круга через R и центральный угол, выраженный в радианах, через х, получим из неравенств (I):

или

Заметив, что по условию задачи можем принять, что Разделив все члены неравенств на положительное число sin х, получим:

При крайние члены последних неравенств имеют одинаковый предел, равный единице. Поэтому

Равенство остается справедливым и тогда, когда число х, стремясь нулю, принимает отрицательные значения.

Доказательство:

Пусть х<0, т.е. х = — у, где у > 0. Тогда

Замечание. Легко видеть, что так же равен единице.

Действительно,

Пользуясь тем, что легко можно получить еще и следующие формулы:

(Последней формулой мы воспользуемся в конце гл. XL III при выводе формулы Эйлера.)

Действительно,

2) Далее, положим, что у = arcsin х; отсюда sin у = х и при будет также и .

Теперь имеем:

3) Положим, у = arctg х; отсюда tg у = х и при будет и . Поэтому

Применения формулы в более сложных случаях

Равенство можно сформулировать так:

Предел отношения синуса любой бесконечно малой величины к этой же бесконечно малой величине всегда есть единица.

Например:

Примеры:

ТЕОРЕМЫ О ПРИ А > 1 И ПРИ

Лемма:

Если x > 0 и n > 1 (n — натуральное число), то

Доказательство:

Но произведение, стоящее в правой части последнего равенства, после раскрытия скобок будет содержать выражение 1 + nx и еще ряд других положительных членов. Поэтому

что и требовалось доказать. (Этой леммой мы пользовались в § 2 при

доказательстве равенства .)

Теорема:

Если А>1, то

Доказательство:

По условию A> 1, следовательно.

А — 1 > 0.

Подставляя в только что доказанное неравенство

вместо положительного числа х положительное число А — 1, получим:

Обозначим через М произвольное положительное число. Тогда, для того чтобы оказалось выполненным неравенство

достаточно взять большим, чем .

Итак, при всяком n, удовлетворяющем неравенству

будет выполняться неравенство

а в силу неравенства (I) и подавно окажется, что

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Может показаться, что доказывать эту теорему не было надобности ввиду ее очевидности. Но это не так.

Изложенное доказательство не является излишним, так как оно дает нам абсолютную уверенность в справедливости не только равенства, например,

но и равенства, например,

Последнее равенство далеко не очевидно.

Теорема:

Если , то

(n—натуральное число).

Доказательство:

Обозначим буквой А отношение Тогда получим, что А > 1 и что .

Отсюда

(по предыдущей лемме ).

Из того, что , вытекает, что и

что и требовалось доказать.

Функция Дирихле

Доказать, что функцию Дирихле можно представить аналитически так:

где m и n — натуральные числа, а символ m! обозначает произведение натуральных чисел от 1 до m включительно, т. е.

Доказательство:

Пусть х есть рациональное число. Тогда произведение m!х, начиная с некоторого значения N натурального числа m, сделается целым числом и будет продолжать принимать целые значения и при всех значениях m , больших числа N. При этих условиях произведение будет являться числом кратным числу , а поэтому абсолютное значение будет сохранять неизменно значение, равное единице. Следовательно, выражение

где m>N, и будет сохранять неизменно значение, равное единице при всяком n.

Поэтому

при всяком m > N.

Отсюда следует, что

Итак, доказано, что функция (А) при всяком рациональном значении х принимает значение, равное единице.

Пусть теперь х есть число иррациональное, a m — любое натуральное число. Тогда произведение m!х не будет целым числом, а потому будет некоторым положительным числом, меньшим единицы. При этих условиях по теореме 2 из § 10 следует, что (при всяком значении натурального числа m.).

Отсюда следует, что и

т. е. что функция (А) при всяком иррациональном значении х принимает значение, равное нулю.

Итак, доказано, что функция (А) является одним из аналитических выражений функции Дирихле.

Дополнение к пределу в математике

Определение:

Возьмём сумму первых n членов такой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Сумма эта при неограниченном увеличении числа членов увеличивается, приближаясь к постоянному числу 2 так, что разность

при достаточном увеличении числа слагаемых делается меньше любого данного положительного числа (например, меньше 0,000001) и при дальнейшем увеличении числа слагаемых остаётся всегда меньше этого числа.

При этих условиях мы говорим, что сумма , если число слагаемых в ней увеличивается неограниченно, имеет предел 2.

В этом примере переменная величина (сумма членов прогрессии), приближаясь к своему пределу, остаётся меньше его. Но могут быть случаи, когда переменная величина, приближаясь к своему пределу, остаётся больше его. Например, если предположим, что в сумме значение х положительно и неограниченно увеличивается, то сумма эта будет приближаться к пределу 1, оставаясь всегда больше 1.

Может также случиться, что переменная величина так изменяется, что она делается то больше, то меньше своего предела. Такой случай мы уже видели, когда говорили о пределе суммы n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Предел этот равен и суммы двух, трёх, четырёх и т. д. членов прогрессии принимают значения, которые попеременно то больше, то меньше своего предела:

После этих примеров будет понятно следующее определение предела:

Если переменная величина х при своём изменении приближается к постоянной величине а так, что абсолютная величина разности а — х (или х — а) может быть сделана и в дальнейшем остаётся меньше любого положительного числа, то эта постоянная величина а называется пределом переменной х.

Вместо того чтобы говорить: „величина х имеет предел а«, часто говорят короче: „х стремится к а“ и письменно выражают это так: х → а (или предел х равен а).

Если переменная величина увеличивается неограниченно, то условно говорят, что она стремится κ+∞; если же переменная величина остаётся отрицательной, но её абсолютная величина увеличивается неограниченно, то говорят, что она стремится к—∞.

Переменная величина, стремящаяся к ∞, часто называется бесконечно большой, а переменная величина, стремящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Следует, однако, помнить, что эти названия не означают очень большой величины или очень малой величины, они характеризуют процесс изменения величины: величина, называемая „бесконечно большой», изменяется так, что она делается и остаётся (по абсолютной величине) больше любого данного числа, а величина, называемая „бесконечно малой», изменяется так, что она делается и остаётся (по абсолютной величине) меньше любого данного положительного числа.

Если воспользоваться в этом смысле названием „бесконечно малая величина», то определение предела можно высказать короче так:
Постоянная величина а называется пределом переменной х, если разность х—а есть бесконечно малая величина.

Некоторые свойства бесконечно малых величин

1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин бесконечно мала (если число слагаемых не увеличивается беспредельно).

Возьмём, например, три бесконечно малых α, β и γ (они могут быть положительные и отрицательные). Чтобы показать, что сумма их α+β+γ бесконечно мала, надо убедиться, что абсолютная величина этой суммы делается и остаётся меньше всякого данного положительного числа, например меньше одной миллионной. Действительно, так как величины α, β и γ бесконечно малы, то при своём изменении абсолютная величина каждого из них делается и остаётся меньше любого данного числа, в том числе и меньше миллионной; значит, тогда абсолютная величина суммы α+β+γ делается и остаётся меньше миллионной, т. е. меньше одной миллионной.

Заметим, что если одновременно с уменьшением абсолютной величины слагаемых число их будет неограниченно возрастать, то сумма их может оказаться и не бесконечно малой. Возьмём, например, такую сумму:
(n слагаемых)

и предположим, что числом неограниченно возрастает; тогда, несмотря на то, что с увеличением знаменателя n слагаемые уменьшаются неограниченно, сумма их остаётся неизменной (она равна 1).

2) Произведение бесконечно малой величины на постоянное число бесконечно мало.

Например, произведение 100а, в котором а—какая-нибудь бесконечно малая величина, делается и остаётся (по абсолютной величине) меньшим любого данного положительного числа, например меньшим одной миллионной, так как а делается и остаётся меньшим всякого данного положительного числа, в том числе меньшим и одной стомиллионной.

3) Произведение бесконечно малой величины на другую бесконечно малую величину бесконечно мало.

Если произведение бесконечно малой величины на постоянное число делается и остаётся как угодно малым, то произведение бесконечно малой величины на другую бесконечно малую величину и подавно обладает этим свойством.
4) Частное от деления бесконечно малой величины на постоянное число бесконечно мало.

Например, частное бесконечно мало, так как оно равно произведению а·10, т. е. произведению бесконечно малой величины на постоянное число.

Замечание. Частное от деления бесконечно малой величины на другую бесконечно малую величину может иногда равняться постоянному числу, иногда бесконечно малой и иногда бесконечно большой величине; всё зависит от того, по какому закону уменьшается делимое и по какому закону уменьшается делитель. Возьмём, например, таких три частных:

Положим, что а есть бесконечно малая величина. Тогда первое частное, всегда равное 2, есть число постоянное; второе частное, равное а, есть величина бесконечно малая и третье частное, равное дроби , есть величина бесконечно большая, так как дробь, у которой числитель — постоянное число, а знаменатель неограниченно уменьшается, увеличивается беспредельно.

Ещё о свойствах предела

1) Переменная величина не может иметь более одного предела.

Предположим противное, а именно, что переменная величина х стремится к двум различным пределам, например к 5 и 5,1. Тогда согласно определению предела разности х—5 и х—5,1 должны быть бесконечно малые величины (положительные и отрицательные). Пусть х—5=a и х—5,1 =β; тогда:
x = 5+α и x=5,l+β
и, следовательно,
5+a = 5,l+β, откуда а—β=0,l.

Но это равенство невозможно, так как разность a—β, представляющая собой алгебраическую сумму бесконечно малых величин, бесконечно мала и, следовательно, она не может равняться постоянному числу, отличному от нуля. Значит, нельзя допустить, чтобы число х имело два различных предела.

2) Если разность двух переменных величин (х и у) бесконечно мала (или равна нулю) и одна из них имеет предел, то и другая имеет тот же предел.

Допустим, например, что величина х имеет предел 2. Тогда можно принять, что x=2+a, где a — бесконечно малая величина. Допустим, кроме того, что разность х—у равна бесконечно малой величине β (или нулю).

Тогда:
(2+a)-y=β, откуда 2—y=β-а.

Так как разность β-а есть величина бесконечно малая, то из последнего равенства видно, что 2 есть предел числа у.

3) Обратная теорема. Если две переменные величины (х и у) имеют общий предел, то их разность бесконечно мала (или равна 0).

Положим, например, что величины х и у имеют один предел 10. Тогда x=10+a и y=10+β, где а и β — бесконечно малые величины. Следовательно:
х—y=(10+a)-(10+β)=a-β.

Так как разность a — β бесконечно мала или равна 0, то и левая часть равенства, т. е. разность х—у, бесконечно мала или равна 0.

4) Предел алгебраической суммы переменных величин равен алгебраической сумме пределов этих величин (если число слагаемых не бесконечно велико).

Положим, мы имеем сумму трёх переменных величин x+y+z, и пусть х → 3, y→2 и z→-5. Тогда можно написать равенства:
x = 3+α; y=2+β; z=-5+γ,
где a, β и γ—бесконечно малые величины.
Следовательно:
x+y+z=(3+α)+(2+β)+(-5+γ)=(3+2-5)+(α+β+γ),
откуда:
(x+y+z)-(3+2-5)=a+β+γ.

Правая часть этого равенства есть сумма конечного числа бесконечно малых слагаемых, а потому она сама бесконечно мала; а из этого следует, что переменная сумма x+y+z стремится к пределу 3+2-5, т. е. к алгебраической сумме пределов.

Это рассуждение можно повторить о четырёх, пяти и более слагаемых, лишь бы число их не возрастало беспредельно (в противном случае сумма α+β+γ+ … могла бы оказаться и не бесконечно малой величиной).

5) Предел произведения переменных величин равен произведению пределов этих величин.

Пусть имеем произведение ху двух переменных величин, из которых первая стремится, например, к пределу 2, а вторая — к пределу З. Тогда:
x= 2+а и y=3+β.

Следовательно:
xy=(2+a) (3+β) = 2∙3+3β+2β+aβ,
откуда:
ху-2∙3=3a+2β+aβ.

Произведения 3a, 2β и aβ — бесконечно малые величины, поэтому и сумма их бесконечно мала, а это означает, что xy→2∙3, т. е. пред, ху = (пред. х) ∙ (пред. у).

Этот вывод можно обобщить на произведение трёх, четырёх и более сомножителей. Так, рассматривая произведение xyz как произведение только двух сомножителей ху и z, мы можем написать: пред, (xyz)= (пред. ху) (пред. z) = (пред. х) (пред. у)-(пред. z).

6) Предел частного от деления переменных величин равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю.

Пусть x→2, y→3; тогда x=2+a и y=3+β, где а и β — бесконечно малые величины. Следовательно:

В дроби, стоящей в правой части этого равенства, числитель— бесконечно малая величина, так как он есть алгебраическая сумма двух бесконечно малых величин; знаменатель же, имея пределом число 32, не равное нулю, не может стремиться к нулю. Если же числитель дроби бесконечно мал, а знаменатель не бесконечно мал, то такая дробь бесконечно мала.

Значит, из написанного выше равенства мы должны заключить, что

7) Предел степени, у которой основание есть переменная величина, а показатель—постоянное число, равен той же степени предела основания.

Ограничимся случаем, когда показатель степени есть число целое, положительное. В этом случае теорема представляет собой простое следствие теоремы о пределе произведения. Так:
пред. (х³)=пред. (ххх)=(пред. х) (пред, х) (пред. х) = (пред. х)³.

Добавим ещё без доказательства следующие два положения о пределах.

Если переменная величина возрастает, оставаясь, однако, меньше какого-нибудь постоянного числа, то она имеет предел.

Возьмём, например, приближённые значения, взятые с недостатком и вычисленные с точностью сначала до , потом до 1, затем и т. д. Мы получим тогда бесконечный ряд чисел:
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421 и т. д.

Числа эти по мере удаления от начала ряда увеличиваются, но остаются всегда меньше некоторого постоянного числа, например меньше 1,5; при этих условиях мы должны допустить, что числа взятого нами ряда по мере его продолжения стремятся к какому-то определённому пределу (этот предел есть иррациональное число).

9) Если переменная величина убывает, оставаясь, однако, больше какого-нибудь постоянного числа, то она имеет предел.

Возьмём для примера ряд приближённых значений , взятых с избытком, с точностью до 1, до, до и т. д.:
2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422 и т. д.

По мере удаления от начала ряда числа эти уменьшаются, но остаются постоянно больше 1,4; при этих условиях мы должны допустить, что числа данного ряда стремятся к пределу (он равен иррациональному числу ).

Пример:

Найти предел, к которому стремится дробь , если x→1.

Решение:

Если x→1, то числитель и знаменатель данной дроби стремятся к 0. Но так как есть неопределённое выражение, то мы остаёмся в неизвестности, к какому пределу стремится данная дробь (и даже стремится ли она к какому бы то ни было пределу), если x→1.

Поступим так: предположим, что х равен не 1, а какой-нибудь переменной величине, приближающейся к 1. Например, пусть x = 1+h, где h— какая-нибудь положительная величина, стремящаяся к нулю. Тогда величина данной дроби будет:

(сократить дробь на h мы имеем право, так как h≠ 0).

Предположим теперь, что h → 0 и, следовательно, h → 1:

Тот же самый предел мы найдём, если допустим, что х = 1 — h, где h — какая-нибудь положительная величина, стремящаяся к нулю. Таким образом, будет ли х приближаться к единице, оставаясь больше 1 или оставаясь меньше 1, предел данной дроби будет один и тот же, именно 3.

Пример:

Найти предел, к которому стремится дробь, если к числителю и знаменателю её будем прибавлять одну и ту же величину, неограниченно возрастающую; другими словами, найти предел

Решение:

Таким образом, будет ли дробь правильная (a<b), предел дроби, когда m→∞, оказывается один и тот же, именно 1. Отсюда следует, что правильная дробь, приближаясь к 1, увеличивается, а неправильная уменьшается.

Дополнительный материал о пределе в высшей математике:

Решение задач по высшей математике

Теория пределов с примерами и решением

Абсолютная величина и соотношения, связанные с ней

В дальнейшем изложении курса нам встретится необходимость рассматривать соотношения между абсолютными величинами некоторых выражений. Поэтому напомним определение абсолютной величины числа и соотношения, связанные с этим понятием.

Определение:

Абсолютной величиной положительного числа называется само это число; абсолютной величиной отрицательного числа называется это число, взятое с противоположным знаком.

Абсолютная величина числа а обозначается так: |а|.

Таким образом,

1. Абсолютная величина алгебраической суммы меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых.

Например:

следовательно,

т.е.

2. Абсолютная величина разности двух чисел больше или равна разности абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого.

Например:

т.е.

3. Абсолютная величина произведения конечного числа сомножителей равна произведению их абсолютных величин.

Например:

т. е.

4. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин делимого и делителя.

Например:

т. е.

т.е.

Последовательность. Характер изменения переменной величины

I. Пусть дано множество чисел, расположенных в определенном порядке, например,

тогда каждому числу этого множества можно приписать номер места, которое оно занимает. Так, число 8 занимает третье место, 32 — пятое, и т. д.

Определение:

Числовой последовательностью или просто последовательностью называется занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.

Совокупность чисел (1) служит примером последовательности. Обычно последовательность записывают в общем виде так:

где называется общим членом последовательности.

Зная формулу общего члена последовательности, можно найти любой ее член. Например, десятый член последовательности (1)

Пример:

Найти восьмой член последовательности

Решение:

Пример:

Найти седьмой член последовательности

Решение:

ІІ. Мы знаем, что в математике и ее приложениях встречаются величины постоянные и величины переменные.

На координатной оси Ох (рис. 61) постоянной величине а соответствует неподвижная точка А, а переменной величине х — движущаяся вправо или влево точка М.

Переменная величина может изменяться весьма разнообразно: возрастать, убывать, переходить от возрастания к убыванию и т. д. Закон изменения переменной величины можно задать последовательностью числовых значений, которые она принимает. Пусть, например, переменная х принимает числовые значения последовательности (1). Закон изменения здесь состоит в том, что каждое новое значение переменной х вдвое больше предыдущего.

Как видно, переменная в этом примере изменяется скачкообразно; однако очень часто рассматриваются переменные, изменяющиеся непрерывно; например, время, путь, проходимый телом, и т. п.

Переменная величина, которая в процессе изменения постоянно возрастает или постоянно убывает, называется монотонной. Примером такой величины служит переменная, принимающая значения (1).

Всякая величина, меняющаяся не монотонно, называется колеблющейся. Например, переменная величина, изменяющаяся по закону последовательности

члены которой попеременно увеличиваются вдвое и уменьшаются втрое, является колеблющейся.

Переменные величины по характеру изменения еще делятся на ограниченные и неограниченные.

Определение:

Переменная величина у называется ограниченной, если, начиная с некоторого ее значения, выполняется неравенство

где М — какое-либо постоянное положительное число.

Например, tg х — ограниченная переменная в промежутке значений аргумента от х = — 45° до х = 45°, так как в этом случае

Наряду с ограниченными переменными величинами встречаются и такие, которые не удовлетворяют вышеуказанному определению. Возьмем, например, tg х в промежутке значений аргумента от 0 до 90°. Какое бы большое положительное число N мы ни взяли, найдется в первой четверти дуга х, для которой tg х > N. Такая переменная величина называется неограниченной.

Бесконечно малая величина

Возьмем переменную величину а, принимающую последовательно значения:

или

По мере увеличения номера места, занимаемого членами этих последовательностей, абсолютная величина а уменьшается, и какое бы малое положительное число мы ни выбрали, в каждой из указанных последовательностей найдется число, начиная с которого абсолютная величина значений а будет меньше выбранного . Пусть, например, = 0,001. В соответствующем удалении от начала каждой из данных последовательностей найдем число, по абсолютной величине меньшее чем 0,001, причем абсолютное значение членов, следующих за найденным, остается меньше этой дроби. Если возьмем еще меньшую дробь, например, = 0,0001, то и в последовательности (1) и в последовательности (2), если достаточно удалиться от их начала, найдется число по абсолютному значению меньшее, чем 0,0001, причем последующие члены тоже будут меньше чем 0,0001.

В этом случае говорят, что величина а неограниченно приближается к нулю или, иначе, стремится к нулю.

Этот факт записывают так:

Геометрически процесс изменения величины а, принимающей значения последовательности (1), можно представить изменением абсциссы точки А, перемещающейся по координатной оси в направлении, указанном стрелками на рис. 62.

Какое бы малое положительное число мы ни взяли, наступит момент, когда абсцисса точки А станет и в дальнейшем останется меньше выбранного числа.

Процесс изменения величины а, принимающей значения последовательности (2), представится изменением абсциссы точки В, перемещающейся по координатной оси в направлении, указанном на рис. 62. И в этом случае абсцисса точки В по абсолютной величине сделается и останется меньше наперед заданного положительного числа, как бы мало оно ни было.

Определение:

Бесконечно малой величиной называется переменная а, которая при последовательном изменении по абсолютному значению становится и при дальнейшем изменении остается меньше любой наперед заданной как угодно малой положительной величины , т. е.

Не следует смешивать бесконечно малую величину с ничтожно малой. Так, например, при сравнении длины в 1 см с расстоянием Земли от Солнца (150 000 000 км) первую величину по отношению ко второй можно считать ничтожно малой, но назвать ее бесконечно малой нельзя, так как она не меняет своего значения, между тем как бесконечно малая величина — переменная.

Как видно, никакая постоянная величина не может быть бесконечно малой, так как она по абсолютной величине не может сделаться меньше любой наперед заданной как угодно малой величины. Однако нуль составляет исключение из всех постоянных величин; нуль всегда меньше любого сколь угодно малого положительного числа. Поэтому нуль относят к бесконечно малым величинам.

Пример:

Переменная

при

получает значения:

Какое бы малое положительное число мы ни взяли, в данной последовательности найдется число, меньшее взятого. Выберем,

например, дробь При n = 10 будем иметь:

Таким образом, переменная при указанных выше значениях n есть бесконечно малая величина.

Пример:

Возьмем окружность радиуса, равного единице (рис. 63).

Обозначив угол АОМ в радианной мере через a, будем иметь:

По, как видно из рисежа,

или

Поэтому

Если а неограниченно приближается к нулю, то тем более sin а стремится к нулю. Следовательно, sin а при — бесконечно малая величина.

Тот же вывод получим, если угол имеет отрицательное значение — а. В этом случае при абсолютная величина sin (— а) также стремится к нулю, а потому sin (— а ) при —— величина бесконечно малая.

Пример:

Давление газа р и его объем v связаны функциональной зависимостью

где с = const. Как видно, с увеличением объема v давление р уменьшается. Если объем v увеличивать неограниченно, то давление р будет неограниченно уменьшаться. Какое бы малое положительное число мы ни взяли, можно подобрать величину v настолько большой, что дробь станет меньше .

Следовательно, давление газа р — величина бесконечно малая, если объем его v неограниченно растет.

Бесконечно большая величина

Пусть переменная величина у принимает последовательно значения:

или

Как видно, с увеличением номера места, занимаемого членами написанных последовательностей, абсолютная величина у возрастает. Положим, что этот процесс возрастания идет неограниченно; тогда какое бы большое положительное число N мы ни взяли, в каждой из указанных последовательностей найдется член, начиная с которого все последующие члены по абсолютному значению больше N. Зададим, например, число N = 1000. В последовательностях (1) и (2) найдем число, абсолютная величина которого больше 1000, причем последующие члены также больше 1000.

Геометрически изменение величины у можно представить изменением абсциссы точки, удаляющейся в бесконечность по координатной оси:

в первом случае направо от начала О (рис. 64),

во втором » налево » » » (рис. 64).

Определение:

Бесконечно большой величиной называется переменная у, которая при последовательном изменении по абсолютной величине становится, а в дальнейшем и остается больше наперед заданной положительной величины N, как бы велико N ни было.

Бесконечно большую величину не следует смешивать с очень большим числом, так как последнее постоянно, бесконечно большая же величина — переменная.

Если у— бесконечно большая величина, то условились записывать

и читать: «игрек стремится к бесконечности».

Необходимо помнить, что символ бесконечности не выражает определенного числа, а указывает только на характер изменения переменной величины, а именно на его неограниченный рост. Поэтому с символом бесконечности нужно обращаться осторожно, чтобы не впасть в ошибку.

Пример:

Рассмотрим изменение переменной

при

Взяв окружность радиуса

R = 1 (рис. 65), можем написать:

Если дуга х, находясь в первой четверти, приближается к

, то АМ,

а следовательно, tg х неограниченно растут. Действительно, какое бы большое положительное число N мы ни выбрали, найдется в первой четверти дуга, тангенс которой будет больше N , а потому tg х останется и подавно больше N , если дуга увеличится.
Итак, tg х при бесконечно большая величина.
Пример:

Переменная величина

при

принимает соответственно значения:

Если х неограниченно уменьшается ,

то у неограниченно возрастает, т. е. будет бесконечно большой величиной, так как какое бы большое положительное число N мы ни взяли, найдется такое малое значение х, при котором у > N.

Возьмем, например, N=1000. Тогда, подобрав

получим у = 1001 > N.

Чтобы истолковать геометрически рассмотренную бесконечно большую величину, напомним, что уравнение при положительных значениях х определяет ветвь равносторонней гиперболы, расположенную в первом координатном

угле (рис. 66). Из рисежа видно, что с неограниченным приближением абсциссы точки М к нулю значение ординаты ее неограниченно возрастает, т. е. представляет бесконечно большую величину.

Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой

Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует связь, а именно:

если у — бесконечно большая величина, то обратная ей величина

бесконечно малая

если а—бесконечно малая величина, неравная нулю, то обратная ей величина бесконечно большая.

Не доказывая этих утверждений, поясним их на примерах.

1.Пусть у — бесконечно большая величина, принимающая значения:

тогда получит соответственно значения:

т. е. будет бесконечно малой величиной.

2. Пусть а — бесконечно малая величина, принимающая значения:

тогда примет соответственно значения

т. е. будет бесконечно большой величиной.

Понятие о пределе переменной

Пусть переменная х, изменяясь, неограниченно приближается к числу 3 и при этом принимает значения:

или

В этих случаях абсолютная величина разности х—3 стремится к нулю. В самом деле, при указанных выше значениях переменной х

т. е. разность х — 3 есть величина бесконечно малая.

Число 3 в нашем примере называется пределом переменной х.

Предел обозначается символом lim (от французского слова limite, что значит предел). Таким образом, в нашем случае можно написать:

lim х = 3.

Употребляют также и такую запись:

Определение:

Постоянная а называется пределом переменной х, если разность между нами есть бесконечно малая величина а, т. е.

lim х = а, если х — а = а.

На основании этого определения можно записать:

Отсюда следует, что предел бесконечно малой величины равен нулю, т. е.

Если переменная х неограниченно возрастает, то говорят, что она стремится к бесконечности; в этом случае условились писать:

Пример:

В треугольнике АБС (рис. 67)

положим

тогда

откуда

Если вершина В движется равномерно и безостановочно по прямой, параллельной AD, то углы х и а становятся переменными, причем а будет бесконечно малой. Таким образом, в равенстве (2) разность между постоянной величиной 2d и переменной х стремится к нулю, а потому согласно определению предела

Пример:

В окружность вписан правильный n-угольник (рис 68).

Обозначив

имеем из треугольника АОК:

или

Будем неограниченно увеличивать число n сторон этого многоугольника. Тогда и станут переменными величинами,

причем будет бесконечно малой. В самом деле, сторона правильного

n — угольника

При неограниченном возрастании n дробь бесконечно малая величина , — постоянный множитель. Будет доказано, что произведение постоянной величины на бесконечно малую— также бесконечно малая; поэтому

т. е. и, следовательно, — бесконечно малые величины.

Из неравенства (3) следует, что в таком случае разность также будет бесконечно малой величиной, а потому согласно определению предела имеем:

Примечание:

Всякая переменная величина, имеющая конечный предел, в частности, бесконечно малая, является ограниченной переменной.

Свойства бесконечно малых величин

Первое свойство. Произведение бесконечно малой величины а на постоянную а есть величина бесконечно малая.

Для доказательства возьмем произвольное положительное число . Так как а — бесконечно малая величина, то |а| при изменении а может сделаться и остаться меньше любой положительной дроби, а следовательно, и меньше т.е. с некоторого момента будет

или

Значит, произведение — бесконечно малая величина.

Рассмотренное свойство справедливо и в случае а = 0, как будет показано в этой лекции.

Пример:

Умножив бесконечно малую величину

на —8, получим:

Произведение — 8 также бесконечно малая величина, так как какое бы малое положительное число мы ни взяли, в последовательности (1) найдется дробь, абсолютное значение которой меньше . Например, абсолютная величина — 8 может сделаться меньше 0,0001; 0,00001; 0,000001 и т. д.

Следствие:

Произведение ограниченной переменной на бесконечно малую величину есть бесконечно малая.

Так как ограниченная переменная меньше некоторой постоянной , доказанное свойство бесконечно малых можно распространить и на случай произведения ограниченной переменной величины на бесконечно малую.

Это следствие справедливо и для произведения двух бесконечно малых величин, а также для произведения нуля на бесконечно малую, так как бесконечно малые величины относятся к ограниченным переменным , а нуль есть частный случай бесконечно малой.

Второе свойство. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Возьмем произвольное положительное число . Так как и

— величины бесконечно малые, то и каждая в отдельности с некоторого момента сделается и будет оставаться

меньше любого положительного числа и даже т. е., начиная с некоторого момента, будет

Сложив эти неравенства, получим:

Но на основании , (1)

Поэтому, начиная с некоторого момента, будет

Следовательно, — величина бесконечно малая.

Пример:

Сложим две бесконечно малые величины:

получим:

Результат сложения — тоже бесконечно малая величина, так как какое бы малое положительное число мы ни взяли, среди членов последовательности (2) найдется дробь, абсолютная величина которой меньше ; например, может сделаться меньше 0,0001; 0,00001; 0,000001 и т. д.

Следствие:

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Пусть требуется сложить бесконечно малые величины

Согласно второму свойству, имеем:

— бесконечно малая

— бесконечно малая, ч. т. д.

Нужно помнить, что это свойство доказано нами только для того случая, когда количество бесконечно малых слагаемых конечное, хотя бы и очень большое. Если же нужно сложить бесконечно большое число бесконечно малых величин, то указанное свойство может оказаться неверным. Так, например, при неограниченном удвоении числа сторон правильного вписанного в окружность многоугольника длины этих сторон будут бесконечно малыми , однако их сумма, в пределе равная длине окружности, не есть бесконечно малая величина.

Теоремы о пределах

Теорема:

Переменная величина не может иметь двух различных пределов.

Доказательство:

Допустим, что переменная х имеет два разных предела А и В. В таком случае согласно определению предела разность между переменной и ее пределом должна быть бесконечно малой, т. е.

где и — бесконечно малые величины.

Вычтя из первого равенства второе, получим:

или

Левая часть этого равенства как разность двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая; правая же часть — величина постоянная. Но бесконечно малая величина может равняться постоянной только в том случае, если эта постоянная равна нулю; следовательно, В — А = 0, отсюда А = В, т. е. переменная величина имеет один предел.

Следствие:

Если две переменные величины, имеющие пределы, при всех своих изменениях равны между собой, то равны и их пределы.

В самом деле, каждая из переменных по доказанному имеет по одному пределу, но так как переменные равны между собой при всех изменениях, то они и стремятся к одинаковой постоянной, т. е. имеют равные пределы.

Теорема:

Предел суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен сумме пределов этих переменных.

Доказательство:

Возьмем две переменные величины х и у, имеющие пределами соответственно А и В, т. е.

Согласно определению предела разности х — А и у — В суть бесконечно малые величины, т. е.

где и — бесконечно малые величины. Сложив эти равенства, получим:

В левой части последнего равенства имеем разность между переменной х + у и постоянной А + В, в правой же части бесконечно малую величину . Следовательно, согласно определению предела имеем:

Учитывая равенства (1), можем написать:

Точно так же можно доказать эту теорему для трех, четырех и любого конечного числа переменных.

Теорема:

Предел разности переменных, имеющих пределы, равен разности пределов этих переменных.

Как известно, разность можно рассматривать как алгебраическую сумму, а потому теорему ІІ можно распространить и на разность.

Теорема:

Предел произведения конечного числа переменных, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.

Доказательство:

Возьмем две переменные величины х и у, имеющих пределами соответственно А и В, т. е.

По определению предела , можем написать:

где и — бесконечно малые величины. Перемножив эти равенства, получим:

откуда

В левой части последнего равенства имеем разность между переменной ху и постоянной AB, в правой же части каждое слагаемое — бесконечно малая величина , а потому сумма их — также величина бесконечно шалая. Таким образом, разность ху — AB — бесконечно малая величина, а потому, по определению предела,

или

Эту теорему можно доказать для любого конечного числа переменных сомножителей.

Следствие:

Предел произведения постоянной величины на переменную, имеющую предел, равен произведению постоянной на предел переменной, т. е.

где а — постоянная, а х — переменная.

Если а — постоянная величина, то, очевидно,

Поэтому согласно теореме IV получим:

Следствие:

Предел степени переменной, имеющей предел, равен той же степени предела переменной, т. е.

В самом деле, можно представить как произведение m одинаковых сомножителей; тогда

Выведенное следствие, как доказывается в подробном курсе анализа, справедливо для любого значения m .

Пользуясь этим, можно сказать, что предел корня из переменной, имеющей предел, равен корню этой же степени из предела переменной, m. е.

Действительно, представив в виде степени , получим:

Теорема:

Предел частного от деления двух переменных имеющих пределы, равен частному от деления пределов делимого и делителя при условии, что предел делителя не равен нулю.

Доказательство:

Пусть

и причем Примем без доказательства существование предела ввиду сложности этого вопроса; докажем только, что он равен частному от деления пределов х и у. Положим

откуда

Приняв во внимание, что х, у и z имеют пределы, применим теорему о пределе произведения:

или

откуда

Согласно равенствам (2) и (3) имеем:

при условии

Предел функции

Пусть дана функция

О пределе функции можно говорить только при условии задания предела, к которому стремится ее аргумент х; без этого условия вопрос о пределе функции не имеет смысла.

Положим, что посмотрим, существует ли при этом условии предел данной функции и если существует, то какой*).

*) В полных курсах анализа дается определение понятия предела функции. Ввиду сложности этого определения мы не находим возможным здесь его приводить.

Говоря о пределе переменной , мы показали, что эта переменная может стремиться к своему пределу, изменяясь разными способами.

Пусть в нашем примере х принимает такую последовательность значений:

тогда функция (1) получит соответственно значения:

Мы видим, что данная функция при имеет предел, равный 5. Это записывают так:

Если в равенстве (1) аргументу дать значения:

то и в этом случае предел нашей функции будет тот же, в чем легко убедиться соответствующими вычислениями. Итак, функция (1) имеет предел при .

Показанный выше способ нахождения предела функции громоздок, поэтому на практике он не применяется. Доказанные нами теоремы о пределах позволяют упростить решение этой задачи.

Пример:

Найти

Решение:

Применяя теорему III и следствие 2 теоремы IV о пределах, получим:

Этот предел равен ранее найденному нами для функции

Пример:

Найти .

Решение:

Прежде чем применить теорему о пределе частного, нужно узнать, не будет ли предел делителя равен нулю при . Пользуясь теоремой II и следствием 1 теоремы IV о пределах, найдем:

Предел делителя не равен нулю, поэтому теорема V о пределах может быть применена к нашей функции. Таким образом,

Но

Следовательно,

Подставив в выражения функций в последних примерах вместо х его предельное значение, мы получим те же результаты. В полных курсах анализа доказывается законность такой подстановки при условии, что к функции, предел которой находится, применимы теоремы о пределах.

В дальнейшем мы будем пользоваться этим приемом, так как он значительно ускоряет процесс отыскания предела функции.

II. Разберем примеры, в которых предел делителя равен нулю и, следовательно, теорема о пределе частного неприменима; при этом может представиться два случая.

а) Предел делимого не равен нулю.

Пример:

Найти

Решение:

Найдем предел делителя, заменяя х его предельным значением:

Как видно, теорему о пределе частного в данном примере использовать нельзя (деление на 0 недопустимо). Мы знаем, что если

то 2х — 6 есть бесконечно малая величина, а обратная ей величина есть бесконечно большая. Поэтому при следовательно, и произведение — бесконечно большая величина, т. е.

б) Предел делимого равен нулю.

Пример:

Найти

Решение:

Предел делителя

и предел делимого

В этом случае получим выражение , не имеющее смысла.

Однако отсюда не следует, что данная функция не имеет предела; для его нахождения нужно предварительно преобразовать функцию, разделив числитель и знаменатель на х, что возможно, так как до перехода к предельному значению , т. е.

К выражению теорема о пределе частного применима, так как предел его делителя не равен нулю. Найдем предел

дроби

Приняв во внимание равенство (2) и следствие теоремы I будем иметь:

Этот результат можно подтвердить и вычислением значений данной функции при значениях аргумента, близких к нулю, например при

Следующая таблица показывает характер изменения функции

при

Пример:

Найти

Решение:

И в данном случае пределы делимого и делителя равны нулю, поэтому функцию необходимо предварительно преобразовать, сократив ее на х—3, что допустимо, так как до перехода к предельному значению

Итак,

Пример:

Найти

Решение:

Как и в предыдущих примерах, данная функция должна подвергнуться преобразованию. Для этой цели освободим числитель от иррациональности, умножив оба члена дроби на и сделаем необходимые упрощения:

III. Разберем примеры отыскания предела функции при .

Пример:

Найти

Решение:

Делитель 3х + 2 при неограниченно растет, т. е. представляет бесконечно большую величину; обратная же ей величина — бесконечно малая.

Следовательно, произведение стремится к нулю, если :

Пример:

Найти

Решение:

Делимое и делитель данной функции при бесконечно большие величины, а их отношение не имеет смысла. Поэтому преобразуем данное выражение, разделив делимое и делитель на х;

Но и при — бесконечно малые величины, а потому пределы делимого и делителя будут соответственно равны 3 и 4, а предел функции 0,75.

Процесс нахождения предела данной функции запишется

так:

Пример:

Найти

Решение:

Разделив оба члена дроби на , получим:

При отношения и стремятся к нулю, а 2х неограниченно растет; следовательно,

а вся дробь

Итак,

Предел отношения при Так как в данном случае то для нахождения предела отношения при нельзя применить теорему о пределе частного; нельзя также сделать никаких преобразований для вычисления предела данного отношения. Поэтому используем геометрические соображения.

Возьмем окружность радиуса R и центральный угол х, выраженный в радианной мере (рис. 69).

Проведем хорду АМ и касательную АN, пересекающую продолжение радиуса ОМ в точке N. Из рисежа видно: Площ. АОМ < площ, сектора АОМ < площ. АОN. Выражая площади треугольников и сектора по формулам, можем переписать

после сокращения на получим:

Разделим все члены последних неравенств на R:

Но

поэтому неравенства (1) принимают вид:

sin х < л: < tg х,

или

Так как х — острый угол, то sin х — величина положительная;

разделив полученные неравенства на sin х, найдем:

или

Положим теперь, что ; тогда

Но так как отношение согласно неравенствам (2) заключено между единицей и cos х, то оно и подавно стремится к единице.

Это стремление отношения к единице хорошо выясняется, если величины, содержащиеся в неравенствах (2), представить на координатной оси (рис. 70).

Итак,

Эквивалентные бесконечно малые величины

Эквивалентными называются бесконечно малые величины, предел отношения которых равен единице.

Был рассмотрен предел отношения двух бесконечно малых величин sin х и х, причем этот предел оказался равным единице; поэтому sin х и х — эквивалентные бесконечно малые при

Можно указать и на другие эквивалентные бесконечно малые величины, например tg x и х при В самом деле,

В подробных курсах анализа доказывается, что при отыскании предела отношения двух бесконечно малых величин каждую из них можно заменить ей эквивалентной.

Пример:

Найти

Решение:

Мы уже показали, что sinх и х при эквивалентные бесконечно малые величины; поэтому в данном выражении можно заменить его аргументом . Сделав это, получим:

Пример:

Найти

Решение:

При также и поэтому sin ах и sin bx — бесконечно малые величины. Заменяя sin ал; и sin ^лг эквивалентными бесконечно малыми величинами соответственно ах и bх, получим:

Предел выражения при .

В подробных курсах анализа доказывается, что предел

при со существует, что он больше 2 и меньше 3 и выражается иррациональным числом. Для пояснения сказанного составим следующую таблицу значений выражения при возрастающих значениях n:

Из таблицы видно, что по мере возрастания n выражение также возрастает, замедляясь в росте.

Предел при , равный приближенно 2,718,

принято обозначать буквой е. Итак,

Натуральные логарифмы

В высшей математике число е имеет очень важное значение, которое можно сравнить со значением в геометрии. Число е принимают за основание натуральных, или неперовых *), логарифмов, имеющих большое применение в математическом анализе, так как с их помощью многие формулы можно представить в более простом виде, чем при пользовании десятичными логарифмами. Для натурального логарифма установлен символ ln.

*) Натуральные логарифмы названы неперовымн по имени шотландского математика Непера, впервые применившего логарифмические вычисления.

Натуральный и десятичный логарифмы одного и того же числа связаны простым соотношением, позволяющим переходить от десятичного логарифма числа к натуральному, и наоборот.

Для вывода этого соотношения возьмем число N и представим его в виде двух степеней, приняв за основания их числа 10 и е:

где x и у, как известно, называются логарифмами числа N, причем x — десятичным, у — натуральным. Из написанниых равенств следует

Прологарифмировав обе части этого равенства по основанию 10, получим:

пли

откуда

Заменяя х и у соответственно через Ig N и In N , напишем:

В таблице логарифмов найдем:

Поэтому

т. е. натуральный логарифм числа равен произведению десятичного логарифма этого числа на множитель, равный 2,303.

Отсюда следует, что натуральный логарифм числа больше десятичного в 2,303 раза. Из равенства (1) находим:

т. е. десятичный логарифм числа равен произведению натурального логарифма этого числа на множитель, равный 0,4343.

Пример:

Найти In 2.

Решение:

Решение пределов на все темы с вычислением

При изучении предлов вы познакомитесь на примерах
с понятиями предела последовательности, предела и непрерывности
функции в точке, научитесь вычислять различные пределы, используя теоремы о пределах, эквивалентные бесконечно малые и специальные приемы.

Понятие предела последовательности

Постановка задачи. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

План решения.

1.По определению число а называется пределом числовой последовательности если

Это означает, что неравенство имеет решение

2.Найдем, при каких n справедливо неравенство

т.е. решим это неравенство относительно n.

3.Если решение имеет вид то а — предел числовой
последовательности

Замечание. Если решение неравенства нельзя представить в виде то число а не является пределом последовательности

Пример:

Пользуясь определением предела последовательности,
доказать, что

Решение:

1.По определению число 2 называется пределом числовой последовательности если

2.Найдем, при каких n справедливо неравенство

т.е. решим это неравенство относительно n.

3.Неравенство имеет решение Следовательно, 2 — предел числовой последовательности

Ответ.

3.2. Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где

План решения. Здесь — многочлен степени к (бесконечно
большая последовательность порядка ) и — многочлен степени m (бесконечно большая последовательность порядка

1.Вынесем в числителе множитель , получим
где

2.Вынесем в знаменателе множитель получим
где

3.Имеем

4.Получаем:
если k >m, то

если k < m, то

если k = m, то по теореме о пределе частного

Пример:

Вычислить предел

Решение. Здесь — многочлен второй степени (бесконечно большая последовательность порядка и
— многочлен второй степени (бесконечно большая последовательность порядка .

1.Вынесем в числителе множитель получим

2.Вынесем в знаменателе множитель получим

3.Имеем

4.Сокращая и используя теорему о пределе частного, получаем

Ответ.

Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где f(n) — бесконечно большая последовательность порядка и
д(п) — бесконечно большая последовательность порядка

План решения.

1.Вынесем в числителе множитель , получим где

2.Вынесем в знаменателе множитель , получим
где

3.Имеем

4.Получаем:
если то

если то

если то по теореме о пределе частного

Пример:

Вычислить предел

Решение. Числитель — бесконечно большая
последовательность порядка и знаменатель —
бесконечно большая последовательность порядка .

1.Вынесем в числителе множитель , получим

2.Вынесем в знаменателе множитель , получим

3.Имеем

4.Сокращая и используя теоремы о пределах, окончательно
получаем

Замечание. В данном случае было использовано свойство корня,
в силу которого и

Ответ.

Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел последовательности

где

План решения.

1.Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел, т.е. выделим единицу:

где a(n) = u(n) — 1 — бесконечно малая последовательность при
Так как при то

2.Если и то

Следовательно, если существует предел

то окончательно имеем

Пример:

Вычислить предел

Решение:

1.При выражение под знаком предела представляет собой
степень, основание которой стремится к единице:

а показатель — к минус бесконечности:

Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать
второй замечательный предел:

Так как

при , то

2.Так как

то окончательно имеем

Ответ,

Понятие предела функции

Постановка задачи. Пользуясь определением предела функции
в точке, доказать, что

План решения.

1.Число А называется пределом функции f(x) в точке х = а, если

Это значит, что неравенство имеет решение

2.Для того чтобы найти сначала найдем множество М такое,
что

т.е. решим неравенство Затем найдем такое, что

Тогда будем иметь

Это означает, что

Записываем ответ в виде:

Пример:

Доказать, что

Решение:

1.Число 8 называется пределом функции в
точке х = 1/3, если

2.Для того чтобы найти сначала найдем множество М такое,
что

т.е. решим неравенство

Затем найдем такое, что

Тогда будем иметь

3.Решаем неравенство:

(так как в определении предела функции в точке т.е.
то можно сократить дробь на множитель х — 1/3). Таким образом,

Следовательно, если

то

т.е.

Ответ.

Понятие непрерывности функции в точке

Постановка задачи. Пользуясь определением, доказать, что
функция f(x) непрерывна в точке а.
План решения.

1.Вычисляем f(а).
Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если

Это значит, что неравенство имеет решение

2.Для того чтобы найти сначала найдем множество М такое,
что

т.е. решим неравенство . Затем найдем такое, что

Тогда будем иметь

Это означает, что f(x) непрерывна в точке x=a.

Записываем ответ в виде:

Пример:

Пользуясь определением, доказать, что функция
непрерывна в точке а = 8.

Решение:

1.Вычисляем f(x) = 325.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = 8, если

Это значит, что неравенство имеет решение

2.Для того чтобы найти сначала найдем множество М такое, что т.е. решим неравенство затем найдем такое, что Тогда будем иметь

3.Решаем неравенство (считая, что

Таким образом,

Следовательно, если

то

т.е. непрерывна в точке х = 8.

Ответ.

Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где

План решения.

1.Если то функция непрерывна в точке а

Если то

Если то, разлагал многочлены на множители, получаем

где

2.Поскольку в определении предела функции при аргумент
не может принимать значение, равное а, то в последнем случае можно сократить множитель х — а. Получаем

Замечание:

Если а является кратным корнем многочленов
и то и

где

Пример:

Вычислить предел

Решение:

1.Выражение под знаком предела (рациональная дробь) является
отношением двух бесконечно малых функций при

Разложим числитель и знаменатель на множители:

2.Поскольку в определении предела функции при
аргумент не может принимать значение, равное 3, то можно сократить множитель Получаем

Ответ.

Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где f(x) u g(x)— бесконечно малые функции в точке х = 0.

План решения.

Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, можно заменить на им эквивалентные (табличные).

Если — бесконечно малые функции в точке х=0 такие, что в точке х=0, и существует то существует причем

Пример:

Вычислить предел

Решение:

Выражение под знаком предела является отношением
двух бесконечно малых в точке х = 0, так как

Бесконечно малые, стоящие в числителе и знаменателе, заменяем на
эквивалентные:

Таким образом,

Ответ.

Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где f(x) и g(x) — бесконечно малые функции в точке х = а.

План решения.

1.Нужно заменить f(x) и д(х) на эквивалентные им бесконечно
малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки х = 0. Поэтому сначала сделаем замену
переменной х — а = t и будем искать предел при

2.Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в
произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Пример:

Вычислить предел

Решение:

1.Поскольку

то выражение под знаком предела является отношением двух
бесконечно малых функций при Нужно заменить эти бесконечно малые функции эквивалентными. Для этого сначала сделаем замену переменной

2.Используя тригонометрические формулы и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными, получим

Ответ.

Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где

План решения.

1.Преобразуем выражение под знаком предела:

2.Поскольку показательная функция непрерывна, то можно
перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

3.Вычисляем предел показателя

заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.

4.Записываем окончательный ответ.

Пример:

Вычислить предел

Решение. При выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:

а показатель — к бесконечности:

1.Преобразуем выражение под знаком предела:

2.Поскольку показательная функция непрерывна, то можно
перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

3.Вычисляем предел показателя

Преобразуя выражение под знаком предела к виду

и заменяя бесконечно малые функции эквивалентными, имеем

Окончательно получаем

Ответ.

Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где

План решения.

1.Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых,
сделаем замену переменной t = х — а (тогда при ) и
преобразуем выражение под знаком предела:

2.Поскольку показательная функция непрерывна, то можно
перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

3.Вычисляем предел показателя

заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.

4.Записываем окончательный ответ.

Пример:

Вычислить предел функции

а показатель — к бесконечности:

1.Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых,
сделаем замену переменной t = х — 1 (тогда при ) и
преобразуем выражение под знаком предела:

2.Поскольку показательная функция непрерывна, то можно
перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

3.Вычислим предел показателя, заменяя бесконечно малые функции эквивалентными:

4.Окончательно получаем

Ответ.

3.12. Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где F(x) непрерывна на непрерывна в точке х = а, и(х) —
бесконечно малая функция в точке х = а и v(x) — функция, ограниченная в некоторой окрестности точки х = а.

План решения.

Так как F(x) непрерывна на то по теореме о переходе к
пределу под знаком непрерывной функции имеем

2.Поскольку u(х) — бесконечно малая функция в точке х = а и
v(x) — функция, ограниченная в некоторой окрестности точки х = а,
то u(x)v(x) — бесконечно малая функция в точке х = а, т.е.

3.Так как f(x) непрерывна в точке а, то

Используя основные свойства предела функции в точке, получаем

Пример:

Вычислить предел

Решение:

1.Так как функция непрерывна при всех х, то, переходя
к пределу под знаком непрерывной функции, получаем

2.Так как х — бесконечно малая функция в точке х = 0, а
2 +sin (1/х) — функция, ограниченная в окрестности точки х = 0, то
х B + sin (1/х)) — бесконечно малая функция в точке х = 0, т.е.

3.Так как cos ж непрерывна в точке х = 0, то

и, используя свойства предела функции в точке, получаем

Ответ.

Теория пределов, формулы и примеры

Числовые последовательности, предел последовательности, прогрессии, предел функции, односторонние пределы, ограниченные функции.

Числовые последовательности

Определение:

Функция у = f(n), областью определения которой является множество натуральных чисел N, называется функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью.

Члены числовой последовательности располагаются в порядке возрастания аргумента:
y₁ = f(1), y₂ = f(2), у₃ = f(3),…., = f(n),….

y₁ = f(1) — первый член последовательности, у₂ = f(2) — второй, = f(n) — n-й член последовательности, или общий член последовательности. Последовательности кратко обозначают {}∙ Примеры числовых последовательностей :

Пример:

1,1/2,1/3,… ,1/n,… или {1/n}.

Пример:

-1,1,-1,1,…,(-1)ⁿ,… или {(-1)ⁿ}.

Пример:

1,3,5,…, 2n -1,… или {2n — 1}.

Пример:

0,l/2,2/3,…,(n-l)/n,… или {(n — l)/n}.

Характер изменения членов последовательности различен. Из представленных примеров видно, что последовательность может быть возрастающей < (примеры 7.3 и 7.4), убывающей > (пример 7.1), ограниченной снизу (пример 7.1), ограниченной сверху (пример 7.4), неограниченной (пример 7.3). Понятия возрастающей, убывающей, ограниченой функции были даны ранее в лекции 3.

Предел числовой последовательности

Очевидно, что элементы возрастающей или убывающей, но ограниченной последовательности неограниченно приближаются (сходятся) к некоторым ограниченным числовым значениям b, т.е. имеют предел.

Определение 7.2. Число b называется пределом числовой последовательности {}, если для любого положительного сколь угодно малого числа ε найдется такое натуральное число N, что для всех п > N выполняется неравенство | — b| < ε.

Символическая запись предела последовательности
(7.1)
(ε > 0) Ǝ N (n > N) ⇒ ∣ — b| < ε.

Поскольку неравенство ∣ — b| < ε равносильно b — ε < < b + ε, то геометрический смысл предела последовательности можно представить следующим образом: если последовательность имеет пределом число b, то каково бы ни было ε > 0, найдется такое N, что все точки, изображающие члены последовательности с номерами n > N, попадут в полосу, ограниченную прямыми у = b — ε, у = b + ε (рис. 81).

7.3. Прогрессии. Частным случаем последовательности являются прогрессии. Общий член арифметической прогрессии: = a₁ + d(n — 1). Характеристическое свойство арифметической прогрессии: = ( +). Сумма k-членов арифметической прогрессии = a₁+a₂+…+ =(a₁+ )k = (2a₁ +d (k-1))k.

Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число q, называемое знаменателем геометрической прогрессии ⇒ b₁ = b(b ≠ 0); = ‧ q(q ≠ 0).

Рис. 81. Геометрический смысл предела последовательности

Общий член геометрической прогрессии: = b₁ ∙ .

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:
||=

Формула суммы k членов геометрической прогрессии:
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии |q| < 1 и сумма

Предел функции

Выше мы рассмотрели предел последовательности , но = f(n) есть функция натурального аргумента, значит мы фактически имеем дело с пределом функции натурального аргумента. Теперь введем понятие предела функции от непрерывного аргумента. В отличие от предела последовательности определение предела функции зависит от условий стремления аргумента функции (х → ∞, х → — ∞, х → х₀ и т.д.). Рассмотрим некоторые из них.

7.4.1. Предел функции при х → + ∞. Проследим характер изменения функции у = f(x) = 2 — при возрастании значения аргумента х:

и построим ее график (рис. 82).

Рис. 82. График функции у = 2 —

Пусть M(x,y) — текущая точка графика функции у = 2 — . Тогда расстояние MN от этой точки до прямой у = 2 можно определить как

Совершенно очевидно,что с ростом значения аргумента х расстояние d уменьшается. Если х > , то |f(x) — 2| = < ε, следовательно, функция неограниченно приближается к числу 2, или при бесконечно возрастающем х (х → ∞) имеет пределом число 2.

Определение:

Число b называется пределом функции у = f(x) при х → ∞, если каково бы ни было положительное число ε, можно найти такое число N, что для всех х > N выполняется неравенство
|f(x) — b| < ε.

Символическая запись предела функции при х → ∞:

(ε > 0) Ǝ N (x > N) ⇒ |f(x) — b∣ < ε.

Замечание:

Сравнив определение предела последовательности и предела функции при х → ∞, можно сделать вывод о том, что они подобны. При этом предел последовательности является частным случаем предела функции при х → ∞. Следовательно, все сформулированные ниже теоремы о пределах функции при п → ∞ переносятся на пределы последовательности при n →.

C учетом того, что неравенство |f(x) — b| < ε эквивалентно двойному неравенству b — ε < f(x) < b + ε, геометрический смысл предела функции при х → ∞ можно проиллюстрировать (рис. 83).

Рис. 83. Геометрический смысл предела функции при х → ∞

Аналогично пределу функции при х → ∞ можно ввести понятие предела функции при х → -∞.

Предел функции при х → х₀.

Определение:

Число b является пределом функции у = f(x) при х → x₀, если каково бы ни былое,можно найти такие числа N и M (N < x₀ < M ),что для всех х, лежащих в интервале (N∙, М) (за исключением, быть может, точки x₀), выполняется неравенство
|f(x)-b| < ε,

Символическая запись предела функции при х → x₀:
(7.3)

Геометрический смысл этого предела легко понять из графика на рис. 84.

Определение предела функции можно дать в несколько ином виде.

Определение 7.5. Число b является пределом функции у = f(x) при х → x₀, если для любого ε > 0 существует δ = δ (ε) >0, такое, что |f(x) — b| < ε при 0 < |х — x₀|< δ

Число δ определяет собой некоторую δ — окрестность точки x₀ — интервал (х — δ, x + δ), содержащий точку x₀. Оба определения предела функции при х → x₀ (7.4 и 7.5) равносильны.

Односторонние пределы

Рассмотрим сперва случай, когда независимая переменная х приближается к x₀ слева.

Рис. 84. Геометрический смысл предела функции при х → x₀

Определение:

Число b называется пределом функции у = f(х) при х → х₀ слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число N (меньше хо), что для всех х, лежащих между N и x₀ (N < х < х₀), выполняется неравенство | f(x) — b| < ε.

Предел функции при х → х₀ слева обозначают так:

Символ х → х₀ — 0 означает, что х стремится к х₀ слева.

Геометрический смысл предела функции при х → х₀ — 0 заключается в следующем: каково бы ни былое ε > 0, найдется такое число N(N < х₀),что для всех х, заключенных между N и х₀, график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми y=b-ε и y=b+ε (рис. 85).

Аналогично пределу функции при х → х₀ слева вводится понятие предела при х → х₀ справа.

Определение:

Число b называется пределом функции у = f(x) при х → х₀ справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число M (большее хо), что для всех X, лежащих между х₀ и M (х₀ < х < М), выполняется неравенство |f(x) —b| < ε.

Предел функции при х → х₀ справа обозначают так:
Если функция у = f(х) при х → х₀ справа имеет пределом число b, то геометрически это означает, что график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми y=b-ε и y = b + ε для всех х, заключенных между х₀ и M (рис. 86).

Рис. 85. Геометрический смысл предела функции при x→ х₀- 0

Рис. 86. Геометрический смысл предела функции при x→ х₀ + 0

Пределы функции при х → х₀ слева (х → х₀ — 0) и при х → х₀ справа (х → х₀ + 0) называют односторонними пределами.

Если оба односторонних предела существуют и равны между собой, то говорят, что функция f(x) имеет двухсторонний предел при х → х₀, или
просто имеет предел при х → х₀.

Замечание:

Можно доказать, что если функция имеет предел, то он единственный.

Теоремы об ограниченных функциях

Следующие две теоремы устанавливают связь между понятиями ограниченной функции и функции, имеющей предел. Для определенности рассмотрим случай предела функции при х → ∞.

Теорема:

Если функция у = f(х) имеет предел при х →∞, то она ограничена на некотором бесконечном интервале (N,∞).

Дано: f(x) = b, т.е. функция имеет предел.

Доказать, что |f(x)| ≤ С, т.е. f(x) функция ограниченная.

Доказательство:

Так как f(x) = b, то |f(x) — b| < ε при х → ∞ (по определению предела функции). По свойству абсолютных величин |f(x) — b| ≥ |f(x)| — |b|, а следовательно,
|f(х) — b| ≥ |f(x)| — |b| < ε или |f(x)| < |b| + ε = С.

Это и означает, что функция у = f(x) ограничена на исследуемом интервале.

Теорема:

Если функция у = f(x) имеет предел, отличный от нуля (при х → ∞), то функция у = ограничена на некотором бесконечном интервале (N, ∞).

Дано: f(x) = b и b ≠ 0, т.е. функция имеет предел.

Доказать, что ≤ С, т.е. функция ограничена.

Доказательство:

Так как f(x) = b и b ≠ 0, то на основании определения предела и с учетом свойств абсолютных величин будем иметь:
|f(x) — b| = |b —f(x)| ≥ |6| — |f(x)| < ε или
|f(x)| > |b| — ε ≠ 0 или = < = С.

Таким образом, теорема доказана.

Теорема:

Всякая возрастающая (убывающая) ограниченная функция (последовательность)имеет предел.

Теорема приводится без доказательства.

В качестве примера на применение этой теоремы рассмотрим последовательность, общий член которой . Покажем,что последовательность возрастает и ограничена.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона(см. лекцию 20):

Полагая а = 1, b= , получим

Замечая, что

получим

C увеличением номера n дроби и т.д. уменьшаются, а разности и т.д. увеличиваются. Следовательно, и последовательность — последовательность возрастающая.

Если в разложении отбросить в скобках дроби и т.д., то каждое слагаемое, начиная с третьего, увеличится, и мы получим сумму, большую первоначальной:

Но

Поэтому

Сумму найдем по формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (n → ∞) :

Откуда , а, следовательно, данная последовательность ограничена.

На основании теоремы 7.3 делаем вывод,что данная возрастающая и ограниченная последовательность имеет предел. Его называют числом е.

Итак,
(7.4)

Иногда данный предел называют вторым замечательным пределом.

Число е иррациональное. Его приблизительное значение с точностью до 10⁻⁸ : е = 2,71828182. Аналогично, предел функции

Обозначив , этот же предел можно записать в виде
(7.5)

Предел 7.4 играет большую роль в математике. Показательная функция с основанием е, т.е. , называется экспоненциальной, или экспонентой. Логарифмы с основанием е называются натуральными логарифмами, причем вместо принято писать In х.

Решение заданий на тему: Теория пределов

Для закрепления пройденного теоретического материала рассмотрим подробно процесс решения следующих примеров.

Пример:

Для приведенных ниже последовательностей записать формулу общего члена последовательности.

Рекомендация. После анализа первых членов последовательности необходимо установить закономерность получения каждого члена последовательности в зависимости от номера члена последовательности n, где
n =1, 2, 3, 4.

Пример:

Последовательность уп задана формулой общего члена последовательности . Найти .

Решение:

Для вычисления соответствующего члена последовательности необходимо в формулу общего члена последовательности подставить соответствующий номер.

Пример:

Найти предел последовательности
0,2; 0,23; 0,233; 0,2333;… .

Решение:

Общий член заданной последовательности можно записать в виде:
= 0,2+ [0,03+ 0,003+ 0,0003 + …] = 0,2 + S.

Выражение в квадратной скобке образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = 0,1 и первым членом последовательности b₁ = 0,03. Сумма первых n ее членов (n-я частичная сумма) . Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел и вычисляется по формуле . Предел последовательности в таком случае будет равен

Пример:

Найти предел последовательности

Решение:

Числители дробей образуют арифметическую прогрессию: 1 + 2 + 3 + …+ n-1. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Поэтому

Пример:

Найти предел последовательности

Решение:

Слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, n-я частичная сумма которой равна . Следовательно:

Пример:

Найти предел последовательности

Решение:

Разделим числитель и знаменатель на наибольшее выражение при n → ∞ → 3 ⁿ⁺¹:

(т. к. показательная функция с основанием при n→∞ стремится нулю.)

Пример:

Найти односторонние пределы:

Решение:
1)Если x → 3 — 0, x — 3→ -0 и → -∞как частное от деления ограниченной величины на бесконечно малую отрицательную, следовательно

2)Если x → 3 + 0, то x — 3 → + 0 и → ∞, следовательно,

Бесконечно малые функции

Определение:

Функция у = f(x) называется бесконечно малой при х → a (x → ∞, х → —∞ и т.д.), если ее предел при х → а равен нулю.

На основании понятия предела имеем для бесконечно малых функций Iim f(x) = 0 или | f (x) — δ∣ = | f (x) — 0| = | f (x)| < ε.

Определение:

Функция у = f(x) называется бесконечно малой при х → а (х → ∞, х → — ∞ и т.д.) если каково бы ни было ε > 0, можно найти такое число N, что при всех х > N выполняется неравенство
(8.1) ∣f(x)∣ < ε.

Пример:

Показать, что функция у = является бесконечно малой при х → 0.

Решение:

Чтобы функция была бесконечно малой при х → ∞, необходимо выполнение условия || < ε . Это возможно при < ε или при х > = N. При х → оо это условие выполняется.

Замечание:

Можно показать, что функция ± (где а — любое положительное число) есть бесконечно малая при х → ∞.

Пример:

Показать, что функция у = x⁵ является бесконечно малой при х → 0.

Решение:

Чтобы функция была бесконечно малой при х → 0, необходимо выполнение условия ∣x⁵∣ < ε. Это возможно при всех значениях |x| < или —< х <. При х → 0 это условие выполняется.

Замечание:

Можно показать, что функция у = (где m > 0) бесконечно малая функция при х → 0.

Пример:

Функция у = 2 — не является бесконечно малой при х → ∞, так как (2 — ) = 2 ≠ 0.

Рассмотрим теперь несколько теорем о бесконечно малых функциях. Для определенности проведем доказательства теорем при х →∞.

Теорема:

Если функции ϕ(x) и ψ (х) являются бесконечно
малыми функциями (при х → +∞),то и их сумма ϕ (x)+ ψ (x) также является бесконечно малой функцией (при х →+ ∞).

Дано: ,т.е. ϕ (x) и ψ (х) бесконечно малые

функции при х → ∞. Доказать, что f(x) = ϕ (x) + ψ (х) бесконечно малая
функция при х → ∞, т.е. |f(х)| < ε при х > N, где N наибольшее из N₁
и N₂.

Доказательство:

что и требовалось доказать.

Эта теорема может быть легко обобщена на любое конечное число
бесконечно малых функций’. Кратко ее читают так: сумма нескольких бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Пример:

Функция у = является бесконечно малой функцией при х→ + ∞, так как каждое слагаемое и есть бесконечно малая функция при х → +∞.

Пример:

Функция у = x + x³ + x⁵ есть бесконечно малая функция при х → 0, так как функции у = х, у = x³ и у = х⁵ бесконечно малые при х → 0.

Теорема:

Произведение бесконечно малой функции (при х → ∞) на функцию, ограниченную (при х → +∞), является функцией бесконечно малой.

Дано:
|ϕ (x)| ≤ C при х → ∞ — ограниченная функция;
|ψ (x)| ≤ при х → ∞ — бесконечно малая функция.

Доказать, что f(x) = ϕ(x) ∙ψ(x) бесконечно малая функция при х → ∞, т.e. |f(x)| < ε.

Доказательство:
|f(x)| = |ϕ (x) ∙ ψ (x)∣ = ∣ϕ(x)∣ ∙ ψ(x)∣ < C ∙ = ε,
о что и требовалось доказать.

Пример:

Функция у = является бесконечно малой при х → +∞, так как она является произведением ограниченной функции cos х на бесконечно малую (при х → +∞) функцию у = .

Пример:

Функция у = x(1 + sin x) является бесконечно малой при х → 0, так как она является произведением ограниченной функции 1 + sin х на функцию х, бесконечно малую при х → 0.

Следствие:

Так как всякая бесконечно малая функция ограничена, то из только что доказаной теоремы вытекает, что произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Следствие:

Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая.

Теорема:

Частное от деления функции f(x), бесконечно малой при х → +∞, на функцию ϕ (x), предел которой (при х → + ∞) отличен от нуля, является функцией бесконечно малой.

Доказательство:

Функция может быть представлена в виде произведения бесконечно малой функции f(x) на ограниченную функцию .

Но тогда из теоремы 8.2 вытекает, что частное является бесконечно малой функцией.

Бесконечно большие функции

Определение:

Функция у = f(x) называется бесконечно большой при х → +∞, если для любого положительного числа L можно подобрать такое число N, что для всех значений х > N выполняется неравенство |f(x)| > L.

Так, например, функция у = х² является бесконечно большой при х → +∞. Какое бы положительное число L мы ни взяли, эта функция может быть сделана больше, чем L (для всех значений х > N = √L). Символически бесконечно большая положительная функция записывается в виде:

Если бесконечно большая функция отрицательна, то говорят, что она стремится к —∞ и пишут:

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций

Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует тесная связь, которая устанавливается в следующих теоремах.

Теорема:

Если функция f(x) является бесконечно большой при х → +∞, то функция — бесконечно малая при х → +∞.

Доказательство:

Возьмем произвольное ε > 0. Покажем, что для достаточно больших х выполняется неравенство ∣∣ < ε, а это и означает, что — бесконечно малая функция. Так как по условию f(x) — бесконечно большая функция, то существует такое число N, что ∣f(x)∣ > при х > N. Но тогда || < ε для тех же х. Тем самым теорема доказана.

Пример:

Функция у = х² бесконечно большая при х → +∞. Следовательно, функция является бесконечно малой при х → +∞.

Теорема:

Если функция f(x) не обращающаяся в нуль, есть бесконечно малая при х → +∞, то — бесконечно большая функция при х → +∞.

Теорема приводится без доказательства.

Основные теоремы о пределах

Ниже приводятся основные теоремы о пределах, которые позволяют облегчить определение пределов. При этом формулировки и доказательства теорем для случаев х → ∞, х → — ∞ , х → x₀, х → x₀ — 0, х → x₀ + 0 совершенно аналогичны. Поэтому здесь они предлагаются для общего случая х → а.

Теорема:

Если функция у = f(x) имеет предел (при х → а), равный b, то ее можно представить в виде суммы числа b и бесконечно малой функции а(х) при х → а:
(8.2) f(x)=b + α(x).

Дано: α(x) = 0 — бесконечно малая, f(x) = b — функция имеет предел.

Доказать, что при этом f(x) = b + а(х).

Доказательство:

f(x) = b ⇒ |f(x) — b∣ < ε, а это значит, что (f(x) — b) =0, т.е. f(x) — b = а(х) — бесконечно малая функция, x→a следовательно, f(x) = b + а(х).

Теорема:

Обратная, без доказательства. Если функцию у = f(x) можно представить как сумму числа b и некоторой бесконечно малой функции (при х → а), то число b является пределом функции f(x) (при х → а).

Теорема:

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.

Если ϕ (x) = b и ψ (x) = с, то функции f(x) = ϕ (x) + ψ (x) и f(x) = ϕ (x) — ψ(x) тоже имеют пределы при х → а.
[ϕ (x) ± ψ (x)] = ϕ (x) ± ψ(x).

Дано: ϕ (x) = b, ψ (x) = с
Доказать, что [ϕ (x) + ψ(x)] = ϕ (x) + ψ(x).

Доказательство:
на основании теоремы 8.6
где а(х) и β(x) — бесконечно малые при х → а.

Тогда
f(x) = ϕ(x) + ψ(x) = [b + a(x)] + [c + β(x)] = (b + с) + [a(x) + β(х)],
f(x) = [ϕ (x) + ψ(x)] = {(b + с) + [a(х) + β(х)]} = b + с.

Последнее равенство вытекает из теоремы 8.7.

Следовательно:
f(x) = [ϕ(x) + ψ(x)] = ϕ(x) + ψ(x) .

Аналогично доказывается, что
[ϕ(x) — ψ(x)] = ϕ(x) — ψ(x).

Теорема:

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

Если ϕ(x) = b и ψ(x) = с, то функция f(ɪ) = ϕ(x)=ψ(x) также имеет предел при х → а, причем
[ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x)

Дано: ϕ(x) = b, ψ(x) = с.

Доказать, что [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x)

Доказательство:
на основании теоремы 8.6

где a(x) и β(x) — бесконечно малые при х → а.
f(x) = ϕ(x) ∙ ψ(x) = [b+a(x)]∙[c+β(x)] = (b∙c) + [c∙a(x)+b∙β(x)+a(x)∙β(x)].
(x) = [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = {(b∙c) + [с∙a(x)+b∙β(x) +a(x)∙β(x)]} =
b ∙ c + [c∙a(x) + b∙β(x) + а(х) ∙β (x)] = b ∙ с = ϕ(x) ∙ψ(x).

Здесь [c ∙ a(x) + b ∙ β(x) + а(х) ∙ β(x)] = 0, т.к. все слагаемые бесконечно малые функции.

Следствие:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
[k ∙ ϕ(x)] = k ∙ ϕ(x).

Следствие:

Из теоремы 8.9 вытекает, что предел степени равен степени предела:

Теорема:

Без доказательства. Предел дроби равен отношению предела числителя и знаменателя, если последний не равен нулю.

Если ϕ(x) = b, ψ(x) = с и с ≠ 0, то

Пример:

Найти

Решение:

Воспользуемся теоремами о пределах функции.

Окончательно получим:

Пример:

Найти

Решение:

На основании навыков, приобретенных при решении предыдущего примера находим:

предел числителя (x⁴+3x² + 4) = x⁴ + 3x² + 4 = 1+3 + 4 = 8,
предел знаменателя (x²-2x+3) = x²-2x + 3 = 1-2 + 3 = 2.

Применяя теорему о пределе дроби, получим

Теорема:

О промежуточной функции. Пусть даны три функции, удовлетворяющие неравенствам ϕ(x) ≤ f(x) ≤ g(x) для достаточно больших значений х. Если функции ϕ(x) u g(x) имеют один и тот же предел при х → ∞, то и функция f(x), заключенная между ними, имеет предел, равный пределу функций ϕ(x) и g(x).

В качестве доказательства приведем простую геометрическую интерпретацию условий теоремы (рис. 87):

Рис. 87. Геометрическая интерпретация условий теоремы о промежуточной функции

Теорема:

Если функция у =f(x) ≥ 0 для всех достаточно больших значений х при х → ∞ имеет предел, то этот предел не может быть отрицательным, т.е.f(x) ≥ 0 (без доказательства). x→∞

Пример:

Найти

Решение:

Рассмотрим окружность единичного радиуса. Предположим, что 0 < х < . Дуга AC численно равна центральному углу х, выраженному в радианах, а отрезок AB численно равен sinx. Так как 0 < AB < АС, то 0 < sin x < х. По теореме о пределе промежуточной функции 8.11 при х → 0 sin x должен стремиться к нулю, т. е. sin х = 0. Можно также показать, что cos x = 1.

Рис. 88. Иллюстрация к определению

Как следует из представленного рисунка 88:
S△OAB < SceκтoAC < S△ODC.

Так как

то подставив выражения для площадей в неравенство, получим:

Разделим все члены неравенств на sin х и проведем сокращения:

или

Эти неравенства справедливы, как при х > 0, так и при х < 0. Как показано выше, при х → 0 ⇒cos x = 1. Применив к частному теорему о пределе дроби, получим

Поскольку обе крайние функции последнего неравенства при х → 0 имеют одинаковый предел, равный единице, по теореме о пределе промежуточной функции (основные теоремы о пределах) функция имеет тот же предел при х → 0, т. е.

Данный предел иногда носит название первого замечательного предела.

Пример:

Найти

Решение:

Числитель и знаменатель дроби при х → О одновременно стремятся к нулю. Теорема о пределе дроби здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем данную дробь:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке х = 0 имеем дело с неопределенностью вида . Обозначим arcsin Зх = у, тогда sin у = Зх и х = . При х → 0 и у → 0. Следовательно:

Решение заданий на тему: Нахождения пределов

Теория пределов составляет фундамент математического анализа. Именно поэтому обучающемуся небходимо хорошо владеть приемами нахождения пределов функции. Естественно при этом использовать рассмотренный выше в лекциях теоретический материал. В теории пределов существенное значение имеют теоремы о пределах, применение которых в практических приложениях способствует нахождению пределов различных функций.

Для приобретения практических навыков нахождения пределов рассмотрим несколько примеров. При этом при раскрытии неопределенностей будем использовать замечательные пределы:

Пример:

Найти

Решение:

Вид заданного примера очень похож на первый замечательный предел, однако не равен ему. Для приведения данного предела к замечательному можно использовать два следующих приема: 1)Умножить числитель и знаменатель выражения на 5:

2) Обозначить 5х=у. Тогда х =. При х → 0 и у → 0 :

Пример:

Найти

Решение:

Опять решаем пример, который на первый взгляд очень похож на первый замечательный предел. Однако следует обратить внимание на предельное значение аргумента. Здесь х → 2, а не к бесконечности, как в случае с первым замечательным пределом. При подстановке х = 2 под знак предела получаем:

Пример:

Найти

Решение:

Вспомнив замечания, сделанные в предыдущем примере, мы приходим к выводу, что и этот пример не связан с замечательным пределом = 1. При х → ∞ знаменатель выражения есть бесконечно z→0 x
большая величина (), а числитель — ограниченная (|sin x| ≤ 1), и отношение ограниченной величины к бесконечно большой есть бесконечно малая величина. Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

При х → 0 имеем дело с неопределенностью типа Совершим элементарные преобразования

Известно, что cos 5x = 1, а в примере 8.1 показано, что = 5,
следовательно,

При решении примеров, связанных с нахождением пределов от тригонометрических функций, в некоторых случаях рекомендуется воспользоватся тригонометрическими тождествами, чтобы затем либо вычислить предел непосредственной подстановкой предельного значения аргумента, либо привести полученный предел к первому замечательному пределу .

Пример:

Найти Iim 1-^∙c-⅝⅛. τ→0 ɪ

Решение:

При х → 0 имеет место неопределенность вида так как ( 1 — cos 5x) = 1 — cos 5x =1 — 1 = 0. Воспользуемся тригонометрическим тождеством 1—cos 5x — 2 sin² и перепишем пример в виде:

Выполним необходимые преобразования для того, чтобы привести полученный предел к виду первого замечательного предела. Обозначим , откуда Очевидно, что при х → 0 и у → 0 :

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке х — π под знак предела получим

т.е. неопределенность. Для раскрытия неопределенности обозначим
х — π = у, а значит х = у + π. При х → π, х — π + 0 и, следовательно, y → 0.

Неопределенность сохранилась, но теперь мы сможем воспользоваться формулой .

Обозначим = z, откуда у = 4z. При у → 0, z → 0 :

Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке х=0 под знак предела получаем неопределенность . Применим тригонометрическое тождество cos(mx) — cos(nx) =

Пример:

Найти .

Решение:

По внешнему виду данный пример напоминает второй замечательный предел. Введем переменную отсюда . При .

Пример 8.9. Найти

Решение: Воспользуемся свойством предела функции и совершим следующие элементарные преобразования, разделив числитель и знаменатель на х:

Пример:

Найти

Решение:

Обозначим 2x — 1 = у, откуда х = , 2x + 3 = у + 4. При х → ∞ и у → ∞.

Пример:

Найти (ln(2x + 1) — ln(x + 2))

Решение:

При х → ∞ имеем дело с неопределенностью вида ∞ —∞. Воспользуемся свойством логарифмической функции ln(2x + 1) — ln(x+2) Числитель и знаменатель подлогарифмического выражения разделим на и подставим в исходный пример:

так как при х → и равны нулю.

Сравнение бесконечно малых функций

Определение:

Функции ϕ(x) и ψ(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при х → а, если = b ≠ 0 u ≠ ∞.

Определение:

Функция ϕ(x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем, функция ψ(x) при х → а, если =0.

Определение:

Функция ϕ(x) называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем функция ψ(x) при х → а, если = ∞.

Определение:

Функции ϕ(x) и ψ(x) называются несравнимыми бесконечно малыми при х → а, если не существует и не равен ∞.

Пример:

Сравнить бесконечно малые функции
у = x² и у = Зх при х → 0.

Решение:

Следовательно, функция у = х² бесконечно малая при х → 0 более высокого порядка малости, чем функция у = Зх.

Пример:

Сравнить бесконечно малые функции
у = x² + x — 6 и y= 4 — x² при х → 2.

Решение:

Следовательно, указанные функции являются бесконечно малыми одного порядка малости при х → 2.

Пример:

Сравнить бесконечно малые функции

Решение:

Так как cos x не имеет предела при х →∞, указанные функции являются несравнимыми бесконечно малыми при х → ∞.

Определение:

Функции ϕ(x) и ψ≠(x), бесконечно малые при х → а, называются эквивалентными (равносильными), если предел их отношения = 1.

Тогда для значений х, близких к х = а, имеет место приближенное равенство ≈ 1, или ϕ(x) ≈ ψ(x) , точность которого возрастает с приближением x к а. Если ϕ(x) и ψ(x) —эквивалентные бесконечно малые при х → а, то пишут ϕ(x) ~ ψ(x).

Эквивалентность бесконечно малых функций

Теорема:

Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т. е. если ϕ ~ ϕ₁ а, ψ ~ ψ₁ при х → а, то

Дано: ϕ ~ ϕ₁ а, ψ ~ ψ₁ при х → а.

Доказательство:

Пример:

Найти

Решение:

Так как , то sin 5x ~ 5x,sin Зх ~ Зх при х → 0, и

Теорема:

Бесконечно малые функции ϕ(x) и ψ(x) эквивалентны, если их разность [ϕ(x) — ψ(x)] есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем ϕ(x) и ψ(x).

Дано: — функции ϕ(x) и ψ(x) бесконечно малые при x→α и β→a = ϕ(x) — ψ(x) .

Доказать, что ϕ(x) ~ ψ(x) т. е. .

Доказательство:

Следовательно, β(x) есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем ϕ(x). Аналогично можно доказать, что

Теорема:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Дано: —функции f(x), ϕ(x), ψ(x) бесконечно малые при х → а. Пусть для определенности f(x)—бесконечно малая функция низшего порядка малости по сравнения с остальными слагаемыми, т.е.

Доказать, что , т.е. сумма бесконечно малых функций при х → а эквивалентна в данном случае f(x).

Доказательство:

Пример:

Найти

Решение:

Так как при х → 0 5х + 6х² ~ 5х (по теореме 9.3) и sin 2x ~ 2х (по теореме 9.1), то

Приемы раскрытия неопределенностей

При рассмотрении арифметических операций над пределами предполагается, что обе переменные величины имеют предел, а в случае предела частного оговаривается, что знаменатель не равен нулю.

Существуют случаи, когда эти условия не выполняются. Например, переменные, стоящие в числителе и знаменателе, стремятся одновременно к нулю или бесконечности. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность соответствующего типа: или .

Если сумма бесконечно больших величин одного знака есть величина бесконечно большая, то о пределе разности таких величин заранее ничего сказать нельзя — неопределенность типа ∞ — ∞.

При умножении бесконечно малой величины на бесконечно большую возникает неопределенность типа 0 • ∞.

Раскрыть неопределенность — это значит определить поведение выражения, приводящего к данной неопределенности, и найти его предел.

Рассмотрим несколько приемов раскрытия неопределенностей различного типа.

Пример:

Найти

Решение:

В данном примере числитель и знаменатель — бесконечно большие величины, т.е. имеет место неопределенность типа . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на х. Получим

так как при х → ∞ каждая из дробей и стремится к нулю.

На основании рассмотренного примера можно сделать определенный вывод относительно предела дробно-рациональной функции, записанной в общем виде, при х → ∞:

если степень числителя меньше степени знаменателя (m < n), то предел равен нулю;
если степень числителя больше степени знаменателя (m > n), то предел равен бесконечности;
если степени числителя и знаменателя равны (m = n), то предел равен конечному числу.

Чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при х → x₀ числитель и знаменатель имеют пределы, равные нулю (неопределенность ), надо числитель и знаменатель дроби разделить на (х — x₀) и перейти к вычислению предела. Если же и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при х → х₀, то надо произвести повторное деление на (х — x₀) и т.д., до тех пор, пока не будет получен окончательный результат. В некоторых случаях эту неопределенность можно легко раскрыть, разложив предварительно числитель и знаменатель на сомножители и сократив на (х — х₀).

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения аргумента х = 3 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. Имеет место неопределенность . Разложим выражение в числителе и знаменателе и произведем сокращение на (х — 3):

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют следующие приемы:

введение переменной для получения рационального выражения;
перевод иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот, при этом используются формулы тождественных преобразований алгебраических выражений:

Пример:

Найти

Решение:

Здесь неопределенность типа ∞ — ∞. Умножим и разделим выражение под пределом на сопряженное ему выражение

Пример:

Найти

Решение:

Опять мы имеем дело с неопределенностью типа ∞ — ∞. Устранить эту неопределенность можно, если умножить и разделить исходное выражение на неполный квадрат суммы двух выражений. После этого можно применить формулу разности кубов двух выражений.

Замечание:

При нахождении пределов вида

следует иметь в виду, что:

Пример:

Найти

Решение:

Здесь и (x + 1) = 1. Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

Здесь поэтому

Пример:

Найти

Решение:

Здесь , т.е. имеет место неопределенность . Произведя указанные выше преобразования (ϕ(x) = 1 + a(x)), получим

В данном случае, не прибегая к общему приему, можно найти предел проще:

В дальнейшем полезно помнить, что , или в более общем виде

Решение заданий на тему: Сравниние бесконечно малых величин

Пример:

Сравнить бесконечно малые величины a = t ‧ sin²t и β = 2t ‧ sin t при t → 0.

Решение:

Найдем отношение бесконечно малых функций

т.е. а есть бесконечно малая более высокого порядка чем β.

Пример:

Найти

Решение:

В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке в выражение предельного значения аргумента. Так как при х → 4 → 5x+2=22, то в результате

При отыскании предела отношения двух целых многочленов относительно при х → ∞, т.е. когда имеет место неопределенность вида , оба члена отношения рекомендуется предварительно разделить на , где n — наивысшая степень этих многочленов.

Пример:

Найти

Решение:

При х → ∞ числитель и знаменатель исследуемой
дроби неограниченно возрастают.В этом случае говорят, что имеет
место неопределенность вида . Разделив на х одновременно числитель и знаменатель дроби, получим:

так как при х → ∞ каждая из дробей и стремится к нулю.

Пример:

Найти

Решение:

При х → ∞ мы имеем дело с неопределенностью типа .
Разделим на х² одновременно числитель и знаменатель дроби, получим

так как при x → ∞ каждая из дробей .

Пример:

Найти

Решение:

Поскольку при х → -∞ опять имеем дело с неопределенностью при исследовании предела отношения двух многочленов воспользуемся предложенной выше рекомендацией. Старшая степень рассматриваемых многочленов равна 2, поэтому разделим числитель и знаменатель дроби на х².

Пример:

Найти

Решение:

В данном случае имеем неопределенность . В соответствии с рекомендацией разделим числитель и знаменатель на ,где а — старшая степень многочленов. Учитывая, что в знаменателе х⁴ стоит под квадратным корнем, делим все на х² .

Предел где Р(х) и Q(х) целые многочлены и хотя бы один из
них в точке а ≠ 0 находится непосредственной подстановкой в функцию предельного значения аргумента х = а. Если же Р(а) = Q(a) = 0 и имеет место неопределенность , то дробь рекомендуется сократить один или несколько раз на разность (х — а).

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке x = -1 числитель имеем х³ + 1 = —1³ + 1 = —1 + 1 =0. При подстановке х = — 1 в знаменатель — x² + 1 = -1² + 1 = 1 + 1 = 2. Следовательно,

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке х = 2 имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на сомножители и произведем необходимые сокращения. В результате получим:

Выражения, содержащие иррациональность, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке х = 0 имеем неопределенность вида . Обозначим 1+x=y⁶ для того, чтобы при извлечении квадратного и кубического корней получить целые степени. Учитывая, что при x→0, y→1, имеем:

Прием нахождения последнего предела аналогичен тому, который мы использовали при решении примера 9.8. Для раскрытия неопределенности (при у=1) разложим на множители числитель и знаменатель, произведем необходимые сокращения и в результате получим

Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения является перевод ирациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель. При этом используются формулы тождественных преобразований алгебраических выражений:

Пример:

Найти

Решение:

При x→∞ мы имеем неопределенность вида ∞-∞. Умножим и разделим выражение, стоящее под пределом, на выражение ему сопряженное (на сумму таких же слагаемых). В данном случае на (). После элементарных преобразований получим:

Очевидно, что при x→ ∞ последний предел приводится к неопределенности вида . Разделим числитель и знаменатель одновременно на , где n — старшая степень многочленов. В данном случае на х.

Пример:

Найти

Решение:

В данном случае при x → ∞ имеем неопределенность вида ∞-∞. Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на неполный квадрат суммы слагаемых, чтобы в итоге получить в числителе формулу разности кубов двух чисел:

Пример:

Найти

Решение:

При х = 4 имеем дело с неопределенностью вида . Раскроем эту неопределенность следущим образом: числитель умножим и разделим на выражение, сопряженное числителю , а знаменатель — на выражение, сопряженное знаменателю

При нахождении пределов от разности двух дробей, когда имеет место неопределенность вида ∞-∞, рекомендуется предварительно привести дроби к общему знаменателю.

Пример:

Найти

Решение:

При х = 3 имеем дело с неопределенностью вида ∞-∞. Воспользуемся рекомендацией и приведем дробь к общему знаменателю. После элементарных преобразований получим:

Пределы и как их решать — подробная инструкция

Эту главу мы начнем с примеров, показывающих, в каком смысле будут употребляться слова «стремится», «приближается», «равно», «сделался равным» и какая разница в понятиях, выражаемых этими словами.

Примеры:

Пример:

Поезд идет из Голицина в Москву. В этом случае говорят, что поезд приближается к Москве, или что расстояние поезда от Москвы стремится к нулю, или что расстояние приближается к нулю. Если поезд придет в Москву, то расстояние между поездом и Москвой станет равным нулю.

Пример:

Если химически чистая вода нагревается при нормальном атмосферном давлении, то ее температура повышается и по мере нагревания доходит до 100° С. Вода закипает. После этого температура воды при дальнейшем нагревании не меняется. В этом случае мы будем говорить, что по мере нагревания температура воды увеличивается и приближается к 100°. При достижении этой температуры и во время кипения, несмотря на подачу тепла, температура остается постоянной.

Пример:

Возьмем отрезок, лежащий на оси Ох и имеющий начало в точке О(0), а конец в точке A (1). Пусть точка М(х) выходит из точки О и движется все время по направлению к точке А и, наконец, приходит в нее. Абсцисса точки М при этом все время изменяется. Можно сказать, что абсцисса приближается или стремится к единице, до тех пор пока точка М не придет в точку А. В тот момент, когда, точка М придет в точку А, скажем, что абсцисса х сделалась равной единице или абсцисса достигла значения единицы.

Пример:

Резиновый стержень растягивается при помощи приложенной к нему силы. Пока сила не очень велика, стержень, сохраняя целость, будет увеличиваться в длине. Если же сила увеличится до определенной величины, то стержень разорвется. Здесь будем говорить так: под влиянием растягивающей силы длина стержня увеличивается, стремясь к определенной величине, но эта длина не достигается, так как в тот момент, когда эта длина должна быть достигнута, стержень разорвется, т. е. перестанет существовать.

Пример:

Рассмотрим функцию . Будем давать независимому переменному х различные значения, например: 10, 100, 1000, 10 000 и т. д., т. е. , где n —любое целое положительное число. Тогда у будет принимать следующие значения: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д. Здесь по мере увеличения п значение х будет увеличиваться и при n достаточно большом х может сделаться больше любого числа.

Этот факт будем выражать словами так:

Независимое переменное х неограниченно возрастает.

Так как значения у равны , то при увеличении п у приближается к нулю, или у стремится к нулю. В этом случае мы имеем:

При неограниченном возрастании независимого переменного функция стремится к нулю.

Конечно, х может принимать при возрастании и другие значения, кроме указанных, например: 1, 2, 3, 4, 5, … или 2, 4, 8, 16, 32, …; но функция у при этом все же приближается к нулю.

Пример:

Рассмотрим функцию. Пусть x стремится к нулю, т. е. значения х могут быть выбраны по абсолютной величине как угодно малыми, тогда и будет уменьшаться и приближаться к нулю. Поэтому будет приближаться, или стремиться, к единице.

Все рассмотренные примеры были очень просты, и для их понимания не требовалось почти никаких знаний. Теперь приведем более сложный пример.

Исследование функции при значениях независимого переменного, как угодно малых по абсолютной величине

Прежде всего напомним некоторые сведения из арифметики:

а) Числом, обратным данному, называется число, полученное делением единицы на данное число. Например, число, обратное трем, есть одна треть, число, обратное, есть, число, обратное , есть .

б) Если числа а и b удовлетворяют неравенству 0 < а < b , то числа, им обратные, удовлетворяют неравенству.

в) При неизменном уменьшаемом та разность больше, в которой вычитаемое меньше.

Теперь перейдем к исследованию функции .

Возьмем окружность единичного радиуса и на ней дугу АВ, радианная мера которой равна х (рис. 42).

Проведем линию синусов СВ, линию тангенсов АК и касательную BD. При этом так как

общий и .

Из равенства треугольников следует, что BD = AK, т.е. отрезок BD равен линии тангенсов. Повернем чертеж вокруг линии OD на 180°, тогда будем иметь

и, следовательно, численно будут выполнены равенства

Так как длина хорды меньше, чем длина дуги, стягиваемой этой хордой, то

Поскольку длина ломаной линии, описанной около дуги окружности, больше, чем длина этой дуги, то

Из неравенства (2) получаем

Следовательно, можно сказать, что синус положительного угла всегда меньше своего аргумента.

Из неравенства (3) получаем

Объединяя неравенства (4) и (5), будем иметь

или, деля на sinx,

Вспомнив замечание б), сделанное в начале параграфа, получим

Вычтем из единицы величины 1, , cos x и, вспомнив замечание в), будем иметь

Преобразуем это неравенство, введя синус половинного угла:

Применяя неравенство (4), можно записать

и, следовательно,

Поэтому из неравенства(9) получим

При помощи полученного неравенства (10) можно сделать следующие выводы: 2

Если х достаточно мало, то и тоже мало. Поэтому при небольших значениях независимого переменного х величина разности заключенная между нулем и малой величиной сама также мала.

Этому выводу можно придать и такую форму:

Функция при значениях х, приближающихся к нулю, принимает значения, близкие к нулю.

Будем говорить еще так: функция стремится к нулю при условии, что х стремится к нулю.

Слово «стремится» будем обозначать знаком . Поэтому предыдущее заключение можно записать следующим образом:

при условии, что .

Надо обратить внимание на то, что при х, равном нулю, дробь теряет смысл, так как деление на нуль невозможно.

Если функция, то стремится к единице, следовательно, вывод из всего сказанного в этом параграфе такой:

Функция стремится к единице при условии, что независимое переменное стремится к нулю:

Определения предела

Определение:

Число l называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к а, если разность l—f(x) по абсолютной величине может быть сделана как угодно малой для всех значений х, достаточно мало отличающихся от а.

Замечание:

Часто вместо «предел функции» говорят «предельное значение функции».

Поясним это определение на примере, разобранном в § 2.Здесь функция, число l = 1, число а = 0. Разность поэтому

с другой стороны, , меньше, чем , которое может быть сделано как угодно малым, если выбрать х достаточно малым, т. е. достаточно близким к нулю.

Итак, используя определение, можно сказать, что функция имеет пределом единицу при условии, что х стремится к нулю. Предел обозначается знаком lim, так что

Например,

Это можно сформулировать так:

Предел отношения синуса к его аргументу при уело-вии, что аргумент стремится к нулю, равен единице.

Пример:

Покажем, что функция имеет предел, равный 5, при х, стремящемся к 2.

Для доказательства рассмотрим разность между числом 5 и выражением 2х +1. Преобразуя эту разность, получим

Так как

то, взяв х достаточно близким к 2, получим, что абсолютная величина разности мала, а поэтому и произведение тоже мало.

Таким образом, абсолютная величина разности может быть сделана как угодно малой для всех значений х, близких к 2, а это и значит, что

Этот пример отличается от разобранного в § 2 следующим. Если вычислим значение функции у = 2х+1 при х = 2, то получим 2 x 2 + 1 = 5, т. е. значение функции у = 2х+1 при х = 2 равно пределу этой функции при х, стремящемся к 2. В примере § 2 было иначе. Там значения функции, при х = 0 не существовало, а предел этой функции при х, стремящемся к 0, был равен 1.

Это различие выражают словами так: функция может достигать своего предельного значения (пример 1 этого параграфа), и функция может не достигать своего предела (см. § 2).

В случае неограниченного возрастания независимого переменного дается другое определение предела.

Определение:

Число l называется пределом функции f(х) при неограниченном возрастании независимого переменного, если разность l—f(х) может быть сделана как угодно малой по абсолютной величине для всех достаточно больших значений независимого переменного.

Пример:

Покажем, что предел функции при неограниченном возрастании х равен 4.

Рассмотрим разность и ее абсолютную величину

Если х велико по абсолютной величине, то и тоже велико, следовательно, мало, поэтому разность при х больших будет мала, а это и значит, что предел функции при неограниченном возрастании х равен 4.

Условие «неограниченно возрастает» записывают так: Результат примера 2 может быть записан следующим образом:

Будем говорить, что независимое переменное неограниченно убывает, если оно, оставаясь отрицательным, неограниченно возрастает по абсолютной величине.

Пример:

Если х принимает значения —10, —100, —1000, —10000, …, , то оно неограниченно убывает.

Предел функции при неограниченном убывании независимого переменного определяется аналогично определению 2, только вместо слов «для всех достаточно больших значений» ставятся слова «для всех достаточно малых». При этом слова «достаточно малых» означают, что число отрицательно, а его абсолютная величина велика.

Предел при этом условии записывают так:

Пример:

Покажем, что

Рассмотрим разность , она равна поэтому

Но если х отрицательно и велико по абсолютной величине, то мала по абсолютной величине, а это значит, что 2 есть предел функции при х, неограниченно убывающем.

Применяя указанные обозначения, свойства показательной функции, указанные в гл. IV, § 2, можно записать так:

Замечание:

Во всех определениях предела употреблялась абсолютная величина. Это объясняется тем, что функция может приближаться к пределу, оставаясь меньше его, больше его, и, наконец, колеблясь, т. е. становясь то больше, то меньше предела. Чтобы иметь возможность говорить о всех этих случаях сразу и употребляют абсолютную величину»

Свойства пределов

Во всех примерах, которые были приведены выше, мы не находили пределов, а доказывали, что такое-то число является пределом заданной функции при указанных условиях. Естественно возникает вопрос, как найти то число, относительно которого дальше будем доказывать, что оно является пределом заданной функции. Эта задача почти всегда является очень трудной, особенно если исходить из определения предела. Для облегчения этой задачи обычно используют некоторые свойства пределов, к изложению которых мы и переходим. Приводимые свойства будут поясняться на примерах, а доказательства даваться не будет. Доказательства. можно найти в более полных курсах, например: Пискунов Н. С., «Дифференциальное и интегральное исчисление» или Тарасов Н. П., «Курс высшей математики».

Свойство:

Предел суммы определенного числа функций равен сумме пределов каждой из этих функций, т. е.

В формулировке этого свойства, так же как и в следующих, предполагается, что все пределы вычисляются при одних и тех же условиях.

х^ 4- sin х

Пример:

Найдем зная, что

Так как

то, применяя указанное свойство, получим

Замечание:

В формулировке свойства 1 говорится о сумме, но поскольку разность всегда можно записать в виде суммы, то свойство 1 распространяется и на разности.

Пример:

Найдем предел

Так как

то, применяя свойство 1, получим

Свойство:

Предел функции, сохраняющей одно и то же значение, равен этому значению.

Это свойство формулируют и иначе: предел постоянного равен этому постоянному.

Пример:

Найдем предел

Так как при любых значениях х равно 1, то здесь имеет место случай, когда функция сохраняет постоянное значение, поэтому

Пример:

Найдем предел . Так как 7,5 постоянно и не зависит от х то = 7,5

Свойство:

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

Пример:

Найдем предел

В примере 1 этого параграфа было показано, что

а в § 2, — что . Применяя

Хотя в формулировке свойства 3 говорится только о двух функциях, но этим же свойством можно пользоваться и при большем числе сомножителей.

Пример:

Найти

Это выражение можно представить как произведение двух сомножителей:

Применяя свойство 3, получим

Применим это же свойство к первому сомножителю, получим

Свойство:

Предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя при условии, что предел делителя не равен нулю.

Пример:

Найдем предел

Так как

то по свойству 4 имеем

Если же предел делителя равен нулю, то предел частного может равняться любому числу в зависимости от делимого. Приведем примеры.

Пример:

Рассмотрим предел , где т—целое число > 0. В этом примере предел делителя равен нулю, так как

Разберем возможные частные случаи. Если т = 1, то

(см. пр. 5 § 1, а объяснение знака оо в пр. 2 § 3).

Заметим, что отыскание предела частного двух функций в случае, когда пределы и делителя и делимого одновременно равны нулю, является задачей, наиболее часто встречающейся и теоретически одной из важнейших. Но именно в этом случае свойство 4 не приносит пользы.

Свойство:

Важное свойство предела. Если точка М двигается как угодно по оси Ох, приближаясь к точке Р как к своему пределу и точка Р не совпадает с началом координат, то возможны только два случая:

1) если Р имеет положительную абсциссу, то точка М с некоторых пор имеет также положительную абсциссу;

2) если Р имеет отрицательную абсциссу, то и точка М с некоторого момента имеет отрицательную абсциссу. Отсюда:

Если предел не равен нулю, то с некоторых пор знаки предела и допредельной величины совпадают.

§ 5. Предел Число е.

Рассмотрим функцию Если х стремится к нулю, то содержимое скобки приближается к единице. Если х не равно нулю, то и скобка не будет равна единице; при этом, если х больше нуля, то скобка больше единицы, если х меньше нуля, то скобка меньше единицы.

Рассмотрим Неясно, чему он будет равняться, так как при х > 0 число, большее единицы, возводится в положительную степень, а при х < 0 число, меньшее единицы, возводится в отрицательную степень. Однако можно показать, что этот предел существует. Это доказывается в подробных курсах. Число, равное этому пределу, обозначается буквой е. Таким образом, числом е называется .

Число е является иррациональным числом, его приближенное значение равно (с точностью до одной тысячной) 2,718. Оно встречается в математике столь же часто, как и число я. Оказалось очень удобным взять число е за основание логарифмов. Логарифмы с основанием е называются натуральными логарифмами. Они обозначаются знаком ln. Этими логарифмами пользуются преимущественно в теоретических вопросах.

Пример:

Найдем

Обозначив будем иметь, что при

Пример:

Найдем

Для этого преобразуем

Обозначив ,

будем иметь:

Замечание:

Так как

(см. конец § 3).

Непрерывные функции

Как уже отмечалось, при нахождении пределов могут встретиться две возможности:

1) Предел функции равен значению функции при предельном значении независимого переменного, т. е.

Так было в примере 1 § 3.

2) Предельное значение функции не равнялось значению функции при предельном значении независимого переменного, т. е.

Так было в примере, разобранном в § 2, где не существовало. В связи с этим особо выделяется класс непрерывных функций.

Определение:

Функция f(x) называется непрерывной во всей области ее существования, если для любого а из области существования имеет место равенство

Те точки, в которых это условие не выполняется, называются точками разрыва функции.

Для доказательства непрерывности функции нужно показать справедливость равенства при любом а из области существования функции

Докажем непрерывность некоторых функций.

Так, функция у = х непрерывна, поскольку

Рассмотрим степенную функцию , где п — целое положительное число. Применяя свойство 3 § 5, будем иметь

А это и значит, что степенная функция (с целым и положительным показателем) всюду непрерывна.

Так же легко доказать непрерывность многочлена (применяя свойства 1 и 3 § 5). Конечно, существует бесчисленное множество и других непрерывных функций.

Приведем некоторые наиболее часто встречающиеся функции, непрерывные всюду в области своего существования:

Основное свойство непрерывной функции.

Пусть функция непрерывна, т. е.

при любом а из области существования. По определению предела разность | f(a)—f(x) | может быть сделана сколь угодно малой для всех значений х, достаточно мало отличающихся от а. Иными словами, если х — а стремится к нулю, то и |f(a) — f(x)| = |f(x) — f(a)|стремится к нулю. Ho x — а = h— приращение независимого переменного, а f(x) — f(a) = — приращение функции. Поэтому сказанное ранее можно сформулировать так: для непрерывной функции приращение независимого переменного и приращение функции одновременно стремятся к нулю. В точках разрыва это не выполняется. На рис. 43 в точке А приращения функции и независимого переменного одновременно стремятся к нулю, в то время как в точке В приращение функции не может сделаться меньше ВС (если h > 0), хотя приращение независимого переменного может стремиться к нулю.

Замечание:

Во всех последующих главах, если не указано противное, предполагается, что рассматриваемые функции непрерывны. Каждый раз, когда будут встречаться не непрерывные функции, это будет указано. В некоторых случаях, однако, непрерывность функции будет оговариваться специально.

Итак, каждый раз, когда встречается слово «функция» без оговорок, ее следует считать непрерывной.

Решение задач на нахождение пределов

При решении задач на отыскание пределов следует помнить некоторые пределы, чтобы каждый раз не вычислять их заново. Комбинируя эти известные пределы, будем находить при помощи свойств, указанных в § 4, новые пределы.

Для удобства приведем наиболее часто встречающиеся пределы:

Если известно, что функция непрерывна, то вместо нахождения предела вычисляем значение функции.

Пример:

Найти

Так как многочлен — функция непрерывная, то

Пример:

Найти Сначала находим предел знаменателя:

он не равен нулю, значит, можно применить свойство 4 § 4, тогда

Пример:

Найти Предел знаменателя равен нулю, поэтому свойство 4 § 4 применить нельзя. Так как числитель—постоянное число, а знаменатель

при то вся дробь неограниченно возрастает по абсолютной величине, т. е.

Пример:

Найти . Предел знаменателя равен нулю:

поэтому свойство 4 § 4 неприменимо. Но предел числителя тоже равен нулю:

Итак, пределы числителя и знаменателя одновременно равны нулю.

Однако число 2 является корнем и числителя и знаменателя, поэтому дробь можно сократить на разность х—2 (по теореме Безу). В самом деле,

следовательно,

Пример:

Найти , (п целое, положительное),

Имеем

Так как каждый множитель неограниченно растет, то и произведение также неограниченно растет, т. е.

Пример:

Найти , (п целое, положительное).Имеем

Так как каждый множитель растет по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, то в случае четной степени произведение будет неограниченно расти, оставаясь положительным, т. е.