Как найти элементарные события в дереве вероятностей

Отказ

системы

б)

ПУСК

в)

Рис.9.7. Дерево решений для двухэлементной схемы (работа насоса): а) – принципиальная схема; б) – дерево решений; в) — диаграмма решений.

Вероятность безотказной работы системы 0,98 × 0,95 = 0.931. Вероятность отказа 0.98 × 0.05 + 0.02 = 0,069, и суммарная вероятность двух состояний системы равна единице.

Этот результат можно получить другим способом с помощью таблицы истинности (табл.9.2).

Таблица 9.2

Методы анализа деревьев – наиболее трудоемки, они применяются для анализа проектов или модернизации сложных технических систем и производств и требуют высокий квалификации исполнителей.

9.4. Качественная и количественная оценка дерева отказов

Излагаемый ниже подход основан на использовании так называемых минимальных сечений дерева неисправностей.

Сечение определяется как множество элементарных событии, приводящих к нежелательному исходу. Если из множества событий, принадлежащих некоторому сечению, нельзя исключить ни одного и в то же время это множество событий приводит к нежелательному исходу, то в этом случае говорят о наличии минимального сечения. Выявление минимальных сечений требует больших затрат времени, и для их нахождения требуется машинный алгоритм. Пример качественной оценки дерева неисправностей представлен на рис. 9.8.

Количественная оценка производится на основании информации о таких количественных показателях надежности для завершающего события, как вероятность отказа, интенсивность отказов или интенсивность восстановлений. Вначале вычисляют показатели надежности элемента, затем находят критический путь и. наконец, оценивают завершающее событие.

Количественная оценка дерева осуществляется либо статического моделирования, либо аналитическим методом.

D =E1E2(E3+E4)

Рис. 9.8. Дерево неисправностей для гипотетического случая. Примечание. Промежуточный отказ может появиться только в том случае, когда имеют место оба события Е1 и Е2. Что касается промежуточного события С, то оно может произойти только при появлении события Е3 или Е4. Завершающее событие наступает только при появлении одновременно промежуточных событий В и С.

В первом случае дерево неисправностей моделируется на ЭВМ обычно для нескольких тысяч или даже миллионов циклов функционирования системы. При этом основными этапами моделирования являются:

—задание показателей надежности для элементарных событий;

—представление всего дерева неисправностей на цифровой ЭВМ;

—составление перечня отказов, приводящих к завершающему событию, и перечня соответствующих минимальных сечении;

—вычисление требуемых конечных результатов.

Во втором случае используют существующие аналитические методы.

9.5. Аналитический вывод для простых схем дерева отказов

Для того чтобы дерево неисправностей отвечало своему назначению в нем используются схемы, показывающие логические связи, между отказами основных элементов системы и завершающим событием. Для представления этих логических схем в математической форме применяются основные законы булевой алгебры.

Схема ИЛИ изображается символом или «+». Любой из этих символов показывает объединение событий связанных со схемой ИЛИ. Математическое описание схем ИЛИ с двумя событиями на входе дано на рис. 9.9.

В0 = В1+B2

В1 В2

Рис.9.9. Схема ИЛИ с двумя входами.

В0 = В1 B2

В1 В2

Рис.9.10. Схема И с двумя входами.

Событие Во на выходе схемы ИЛИ записывается в булевой алгебре как

Bо = B1 + B2,

где В1 и В2 — события на входе.

Схема И изображается символом * или ∩. Этот символ обозначает пересечение событий. Схема И с двумя входами показана на рис.9.10. Событие В0 на выходе схемы И записывается в булевой алгебре как

В0 = В1 . В2.

Схема И с приоритетом логически эквивалентна схеме И, но отличается от нее тем, что события на ее входе должны происходить в определенном порядке. Схема И с приоритетом, имеющая два входа, показана на рис. 9.11. В данном случае предполагается, что событие А1 должно наступить раньше события А2.

А0

А1 А2

Рис. 9.11. Приоритетная схема И с двумя входами.

9.6. Дерево с повторяющимися событиями

Характерная конфигурация такого дерева неисправностей показана на рис. 9.12.

Т

В0

С

Рис. 9.12. Дерево отказов в случае повторяющихся событий: A1, A2, A3 и С — элементарные события; В1, В2 , В3 — промежуточные события; Т — завершающее событие.

ва булевой алгебры, в противном случае будут получены ошибочные количественные оценки.

9.7. Вероятностная оценка дерева отказов

Схема ИЛИ. Для пояснения вероятностного аспекта работы этой схемы проанализируем схему ИЛИ с двумя входами, изображенную на рис.9.14. Для этой схемы вероятность появления завершающего события имеет вид

Р(Т) = Р(a) + Р(b) — Р(а . b).

Если а и b — статистически независимые события и произведение Р(а).Р(b) очень мало, то полученное выражение можно приближенно записать как

Р(Т) ≈ Р(а) + Р(b).

В случае схемы ИЛИ с n входами имеем

Р(а + b + с + …) ≈ Р(а) + Р(b) + Р(с)+ … .

Это приближенное выражение дает хорошие результаты, если вероятности появления элементарных событий Р(а), Р(b), Р(с), … очень малы, и точный результат, если события а, b, с, … являются несовместными.

Т = а+ b

Рис. 9.14. Схема ИЛИ с двумя входами

Схема И. В случае схемы И с двумя входами (рис.9.15) события а и b статистически независимы и для получения вероятности появления завершающего события применяется правило умножения вероятностей: Р(аb) = Р(а) . Р(b).

Для схемы И с n входами данное выражение можно записать в общем виде:

Р(а . b . с …) = Р(а) . Р(b) . Р(с) ….

Т = а b

Рис. 9.15. Схема И с двумя входами.

Пример 9.8. Требуется вычислить вероятность появления завершающего события дерева неисправностей, изображенного на рис. 9.16.

Т0

Т1 Т2

A B

Рис. 9.16. Гипотетическое дерево событий.

Допустим, что основные события А, В, C, D и Е статистически независимы и что Р(А) = Р(В) = Р(С) = Р(D) = Р(Е) = 1/4. В данном случае дерево не содержит повторяющихся элементарных событий, поэтому можно вычислить вероятность конкретных событий на выходе каждой логической схемы. Однако если бы в ветвях дерева неисправ-

ностей присутствовали повторяющиеся события, то прежде чем вычислять вероятности тех или иных событий на выходе каждой логической схемы, необходимо было бы исключить повторяющиеся событий (т.е. получить минимальные сечения).

Для данного дерева неисправностей решение может быть получено следующими двумя методами.

Метод 1. Запишем выражение для завершающего события через элементарные события т. е.

Т0 = Т1 + Т2.

Поскольку T2 = CD, T1 = T3E, Т3 = А + В, то To = E(A + B) + CD, и, следовательно,

Р(Т0) = Р(ЕА + EB + CD).

Раскрывая полученное выражение, можно получить формулу для вероятности появления завершающего события. При допущении о статистической независимости событий (отказов) можно найти количественную оценку вероятности появления завершающего события.

Метод 2. Этот метод определения численного значения вероятности появления завершающего события основан на вычислении вероятностей появления промежуточных событий. В данном случае предполагается, что события (отказы) статистически независимы. Используя правило умножения вероятностей, получаем следующие количественные результаты для вероятностей появления промежуточных событий и завершающего события:

Р(Т3) = Р(А) + Р(В) — Р(А).Р(В) = 1/4 + 1/4 — 1/16 = 7/16, Р(Т2) = P(С).Р(D) = 1/4 . 1/4 = 1/16,

Р(Т1) = Р(Т3).Р(Е) = 7/16 . 1/4 = 7/64, Р(Т0) = Р(Т1) + Р(Т2) — Р(Т1).Р(Т2)= 7/64 + 1/16 — 7/64 . 1/16 = 169/1024.

Пример 9.9. Допустим, что в дереве неисправностей, изображенном на рис. 9.16, событие Е заменяется событием D (рис. 9.17). Для получения вероятности появления завершающего события нового дерева, изображенного на рис. 9.17, применим метод 1 из предыдущего примера. Выражение, связывающее завершающее событие с основными событиями (включая повторяющееся событие D), имеет вид

Вероятность появления завершающего события определяется по формуле

Р(DA + BD + CD) = P(DA) + Р(BD) + P(CD) —

—Р(DABD) — Р(DACD) — Р(BDCD) + Р(DABDCD).

Вслучае неповторяющихся статистически независимых событий

P(DA + BD + CD) = P(А).Р(D) + Р(В).Р(D) +P(C).P(D) — P(D).P(A).P(B) —

— P(A).P(C) .P(D) — P(B).P(C).P(D) +P(A).P(B).P(C).P(D).

Следовательно, вероятность появления завершающего события равна

Р(DA + BD + СD) = 1/16 + 1/16 + 1/16 — 1/64 — 1/64 — 1/64 + 1/256 = 37/256.

Однако если вначале исключаются повторяющиеся события, то дерево неисправностей, представленное на рис. 9.17, приводится к дереву, показанному на рис. 9.18. Выражение для завершающего события этого дерева неисправностей принимает вид

T0 = DT1,

где T1 = A + B + C.

Т0

Т1 Т2

A B

Рис. 9.17. Дерево неисправностей в случае повторяющегося события.

В случае статистически независимых событий вероятность появления завершающего события равна

Р(DT1) = Р(D).P(Т1) = 37/64 . 1/4 = 37/256,

где Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) — Р(А).Р(В) — Р(А).Р(С) — Р(В).Р(С) + Р(А).Р(В).Р(С) = 37/64.

Заметим, что, если вероятности появления элементарных отказов очень малы, существование зависимости событий не вносит большой погрешности в конечный результат. Однако, прежде чем находить окончательное значение вероятности, необходимо попытаться исключить все случаи зависимости событий в дереве неисправностей.

• Сейчас обучается 142 человека из 49 регионов

• Сейчас обучается 41 человек из 29 регионов

• Сейчас обучается 137 человек из 43 регионов