Как найти эллипс зная площадь - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Основные свойства эллипса

Их несколько:

имеются две оси и один центр симметрии;
при равенстве полуосей линия превращается в окружность;
все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);
c – половина фокального расстояния;
M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F₁(-c;0); F₂(c;0)

Согласно определению,

MF₁ + MF₂ = 2a,

поэтому

100

101

После ввода ещё одного обозначения

b² = a² — c²

получается наиболее простой вид уравнения:

a²b² — a²y² — x²b² = 0,

a²b² = a²y² + x²b²,

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b < a) уравнение не изменится, однако, будет выполняться условие

Такое уравнение называется каноническим, то есть наиболее простым.

Каждое слагаемое в левой части не превосходит единицу.

При возрастании значения lxl уменьшается lyl и наоборот.

В случае (a > b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

если b > a, то

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

a – большая полуось, b – малая.

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

, где

(x_o;y₀) – крайняя точка сегмента.

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

r = b.

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

R = a.

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Отмечаются вершины:

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Источник

При помощи нашего калькулятора вы легко сможете узнать площадь эллипса.

Для того, что бы узнать площадь эллипса нам необходимо узнать длину двух полуосей или длину двух осей эллипса (максимальную и минимальную длину эллипса). После того как нам стали известны указанные величины мы можем применить формулу для расчета площади эллипса:

S= πab
формула для вычисления S – площади по полуосям a, b

S= πAB/4
формула для вычисления S – площади осям A, B

Где S – площадь, a и b – полуоси, A и B – оси эллипса, π – число Пи которое всегда примерно равно 3,14.

Источник

Загрузить PDF

Эллипс — это фигура на плоскости, которая похожа на приплюснутый круг. Формула для нахождения площади эллипса напоминает выражение для площади круга. При этом следует помнить, что у эллипса два важных параметра: большая полуось и малая полуось.

1
Определите большую полуось эллипса. Это расстояние от центра эллипса до его самого дальнего края. Большую полуось можно представить себе в качестве максимального радиуса эллипса. Измерьте длину большой полуоси или найдите ее значение в условии задачи. Обозначим эту длину буквой a.
- Большая полуось эллипса является максимальным расстоянием от его центра до края.^[1]
2
Определите малую полуось эллипса. Как можно догадаться по названию, это кратчайшее расстояние от центра эллипса до его края. Обозначим это расстояние латинской буквой b.
- Малая полуось эллипса расположена под прямым углом 90º к его большой полуоси, однако для нахождения площади нет необходимости определять углы.
- Малая полуось эллипса является минимальным расстоянием от его центра до края.
3
Умножьте на число «пи». Площадь эллипса равна a x b x π. Поскольку перемножаются две величины с размерностью длины, в ответе получится длина в квадрате.
- Например, если большая полуось эллипса равна 5 единицам, а малая 3 единицам длины, то получим площадь 5 x 3 x π, или около 47 квадратных единиц длины.
- Если у вас нет под рукой калькулятора или на калькуляторе нет символа π, используйте вместо этого числа значение «3,14».
Реклама

1

Вспомните формулу для площади круга. Вероятно, вы помните, что площадь круга равна πr², то есть π x r x r. Что, если мы попробуем найти площадь круга по формуле для эллипса? В этом случае следует измерить радиус в одном направлении: r. Измерим радиус в перпендикулярном направлении, и тоже получим r. Подставим в формулу для площади эллипса: π x r x r! Таким образом, круг является лишь отдельной разновидностью эллипса.^[2]
2

Представьте, что круг сплющили. Вообразите, что круг сжали до формы эллипса. По мере сжатия один радиус круга будет становиться все короче, а второй — длиннее. При этом площадь круга будет оставаться неизменной, поскольку ничто не покидает его и не добавляется к нему.^[3] Если мы используем в формуле для площади короткий и длинный радиусы, то «сплющивание» и «расширение» уравновесят друг друга, и в результате получится правильный ответ.

Реклама

Советы

Если вам требуется строгое доказательство, его можно получить с помощью интегрирования.^[4]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 34 064 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Эллипс — замкнутая кривая на плоскости, которую можно получить пересечением цилиндра плоскостью. Эллипс определяется как геометрическое место точек М, для которых сумма расстояний до фокусов ${displaystyle F_{1}}$ и ${displaystyle F_{2}}$ постоянна и больше расстояния между фокусами.

${displaystyle |F_{1}M|+|F_{2}M|=2cdot a,}$

причём ${displaystyle |F_{1}F_{2}|<2cdot a.}$

Также эллипс можно определить как:

Фигуру, полученную из окружности путём аффинного преобразования

Ортогональную проекцию окружности на плоскость

Связанные определения

Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.* Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.* Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.* Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.* Расстояния ${displaystyle r_{1}}$ и ${displaystyle r_{2}}$ от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.* Расстояние ${displaystyle c={frac {|F_{1}F_{2}|}{2}}}$ называется фокальным расстоянием.* Величина ${displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ называется эксцентриситетом.* Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.* Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле ${displaystyle r={frac {ab}{sqrt {b^{2}cos ^{2}varphi +a^{2}sin ^{2}varphi }}}={frac {b}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}varphi }}}}$ , где — угол между радиусом и большой полуосью.* Фокальным параметром ${displaystyle p={frac {b^{2}}{a}}}$ называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.* Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: ${displaystyle k={frac {b}{a}}.}$ Величина, равная ${displaystyle (1-k)={frac {a-b}{a}},}$ называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением ${displaystyle k^{2}=1-e^{2}.}$ * Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как ${displaystyle x=pm {frac {p}{eleft(1+eright)}}}$ для фокусов ${displaystyle left(mp {frac {p}{1+e}},,0right)}$ соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно ${displaystyle {frac {p}{e}}.}$

Соотношения между элементами фигуры

${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

${displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}};;;(0leqslant e<1).}$ .

${displaystyle p={frac {b^{2}}{a}}}$

					${displaystyle {boldsymbol {r_{p}}}}$	${displaystyle {boldsymbol {r_{a}}}}$
— большая полуось		${displaystyle a={frac {b}{sqrt {1-e^{2}}}}}$	${displaystyle a={frac {c}{e}}}$	${displaystyle a={frac {p}{1-e^{2}}}}$	${displaystyle a={frac {r_{p}}{1-e}}}$	${displaystyle a={frac {r_{a}}{1+e}}}$
— малая полуось	${displaystyle b=a{sqrt {1-e^{2}}}}$		${displaystyle b={frac {c~{sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$	${displaystyle b={frac {p}{sqrt {1-e^{2}}}}}$	${displaystyle b=r_{p}{sqrt {frac {1+e}{1-e}}}}$	${displaystyle b=r_{a}{sqrt {frac {1-e}{1+e}}}}$
— фокальное расстояние		${displaystyle c={frac {be}{sqrt {1-e^{2}}}}}$		${displaystyle c={frac {pe}{1-e^{2}}}}$	${displaystyle c={frac {r_{p}e}{1-e}}}$	${displaystyle c={frac {r_{a}e}{1+e}}}$
— фокальный параметр	${displaystyle p=a(1-e^{2})}$	${displaystyle p=b~{sqrt {1-e^{2}}}}$	${displaystyle p=c~{frac {1-e^{2}}{e}}}$		${displaystyle p=r_{p}(1+e)}$	${displaystyle p=r_{a}(1-e)}$
${displaystyle {boldsymbol {r}}_{p}}$ — перифокусное расстояние	${displaystyle r_{p}=a(1-e)}$	${displaystyle r_{p}=b~{sqrt {frac {1-e}{1+e}}}}$	${displaystyle r_{p}=c~{frac {1-e}{e}}}$	${displaystyle r_{p}={frac {p}{1+e}}}$	${displaystyle {boldsymbol {r}}_{p}}$	${displaystyle r_{p}=r_{a}{frac {1-e}{1+e}}}$
${displaystyle {boldsymbol {r}}_{a}}$ — апофокусное расстояние	${displaystyle r_{a}=a(1+e)}$	${displaystyle r_{a}=b~{sqrt {frac {1+e}{1-e}}}}$	${displaystyle r_{a}=c~{frac {1+e}{e}}}$	${displaystyle r_{a}={frac {p}{1-e}}}$	${displaystyle r_{a}=r_{p}~{frac {1+e}{1-e}}}$	${displaystyle {boldsymbol {r}}_{a}}$

Координатное представление

=== Эллипс как кривая второго порядка ===Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида: ${displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,}$ при инвариантах и где:: ${displaystyle Delta ={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{12}&a_{22}&a_{23}\a_{13}&a_{23}&a_{33}end{vmatrix}},}$ : ${displaystyle D={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2},}$ : ${displaystyle I=tr{begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22}.}$ Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и ${displaystyle a_{33}=-1}$ ):: ${displaystyle Delta =-{frac {1}{a^{2}}}{frac {1}{b^{2}}},}$ : ${displaystyle D={frac {1}{a^{2}}}{frac {1}{b^{2}}},}$ : ${displaystyle I={frac {1}{a^{2}}}+{frac {1}{b^{2}}}.}$ Шаблон:Hider=== Каноническое уравнение ===Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:: ${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$ Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.^[1]Шаблон:Hider=== Уравнения в параметрической форме ===Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:: ${displaystyle {begin{cases}x=a,cos t\y=b,sin tend{cases}};;;0leqslant tleqslant 2pi ,}$ где — параметр.Только в случае окружности (то есть при ) параметр является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.=== В полярных координатах ===Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид: ${displaystyle rho ={frac {p}{1pm ecos varphi }},}$ где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр.Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.Шаблон:HiderЕсли принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид: ${displaystyle rho ={frac {b}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}varphi }}}={frac {ab}{sqrt {a^{2}sin ^{2}varphi +b^{2}cos ^{2}varphi }}}.}$

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

${displaystyle l=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {left({frac {dx}{dt}}right)^{2}+left({frac {dy}{dt}}right)^{2}}},dt.}$

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

${displaystyle l=int limits _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {a^{2}sin ^{2}t+b^{2}cos ^{2}t}},dt.}$

После замены ${displaystyle b^{2}=a^{2}left(1-e^{2}right)}$ выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

${displaystyle l=aint limits _{t_{1}}^{t_{2}}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}t}},dt,;;;e<1.}$

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:

${displaystyle l=4aint limits _{0}^{pi /2}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}t}},dt=4aE(e)}$

где — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра

${displaystyle Lapprox 4{frac {pi ab+(a-b)^{2}}{a+b}}.}$

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

${displaystyle Lapprox 4cdot left(a^{x}+b^{x}right)^{left(1/xright)}}$ , где ${displaystyle x={frac {ln 2}{ln {frac {pi }{2}}}}.}$

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Еще точней оказалась вторая формула Рамануджана:

${displaystyle Lapprox pi (a+b)left[1+{frac {3left({frac {a-b}{a+b}}right)^{2}}{10+{sqrt {4-3left({frac {a-b}{a+b}}right)^{2}}}}}right]}$

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

${displaystyle L=pi (a+b)left[1+sum limits _{n=1}^{infty }left[{frac {(2n-1)!!}{(2n-1)cdot 2^{n}cdot n!}}left({frac {a-b}{a+b}}right)^{n}right]^{2}right]}$

Альтернативная формула

${displaystyle L={frac {2pi aN(1-e^{2})}{M({sqrt {1-e^{2}}})}},}$

где — Арифметико-геометрическое среднее 1 и ,
а — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.

Площадь эллипса

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки и

${displaystyle S={frac {pi ab}{2}}-{frac {b}{a}}left(x,{sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}arcsin {frac {x}{a}}right).}$

Шаблон:Нет АИ

Если эллипс задан уравнением
${displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}$ , то площадь можно определить по формуле

${displaystyle S={frac {2pi }{sqrt {4AC-B^{2}}}}}$

Другие свойства эллипса

Оптические
- Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
- Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
Если ${displaystyle F_{1}}$ и ${displaystyle F_{2}}$ — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой ${displaystyle (F_{1}X)}$ равен углу между этой касательной и прямой ${displaystyle (F_{2}X)}$ .
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
Эксцентриситет эллипса, то есть отношение ${displaystyle e={frac {c}{a}}={sqrt {1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}}};;;(0leqslant e<1),}$ характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
- Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: ${displaystyle F_{1}F_{2}=0}$ ), то эллипс вырождается в окружность.
Экстремальные свойства^[2]

где

обозначает площадь фигуры

Более того в равенство достигается в том и только в том случае, если ограничено эллипсом.

Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипс имеет максимальную аффинную длину.

Если произвольный эллипс вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение^[3]

${displaystyle {frac {{overline {PA}}cdot {overline {QA}}}{{overline {CA}}cdot {overline {AB}}}}+{frac {{overline {PB}}cdot {overline {QB}}}{{overline {AB}}cdot {overline {BC}}}}+{frac {{overline {PC}}cdot {overline {QC}}}{{overline {BC}}cdot {overline {CA}}}}=1.}$

Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном вышеШаблон:Переход эллипсографе.

Касательная, проходящая через точку ${displaystyle (x_{0},y_{0})}$ , принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:

${displaystyle {frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.}$

↑ Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение:: ${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1.}$ описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.
↑ Фейеш Тот Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве//М., Физматгиз, 1958. 364 с.; глава II, § 4,6
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96, March 2012, 161—165.

Источник

Эллипс, его фокусы и главные оси

Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις «опущение; нехватка, недостаток (эксцентриситета до 1)») — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Определение

Эллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек [math]displaystyle{ F_1 }[/math] и [math]displaystyle{ F_2 }[/math] (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

[math]displaystyle{ |F_1M|+|F_2M|=2cdot a }[/math], причём [math]displaystyle{ |F_1F_2|lt 2cdot a. }[/math]

Другие определения

Эллипс также можно определить как:

фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
ортогональную проекцию окружности на плоскость
пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Связанные определения

Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
Расстояния [math]displaystyle{ r_1 }[/math] и [math]displaystyle{ r_2 }[/math] от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
Расстояние [math]displaystyle{ c=frac{|F_1 F_2|}{2} }[/math] называется фокальным расстоянием.
Величина [math]displaystyle{ e = frac{c}{a} = sqrt{1 — frac{b^2}{a^2}} }[/math] называется эксцентриситетом.
Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле [math]displaystyle{ r=frac{ab}{sqrt{b^2 cos^2varphi + a^2 sin^2varphi}} = frac{b}{sqrt{1 — e^2 cos^2varphi}} }[/math], где [math]displaystyle{ varphi }[/math] — угол между радиусом и большой полуосью.
Фокальным параметром [math]displaystyle{ p=frac{b^2}{a} }[/math] называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: [math]displaystyle{ k = frac{b}{a} }[/math]. Величина, равная [math]displaystyle{ (1-k) = frac{a-b}{a}, }[/math] называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением [math]displaystyle{ k^2=1-e^2. }[/math]
Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как [math]displaystyle{ x = pmfrac{p}{eleft(1-e^2right)} }[/math] для фокусов [math]displaystyle{ left(pmfrac{pe}{1-e^2},,0right) }[/math] соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно [math]displaystyle{ frac{p}{e} }[/math].

Соотношения между элементами эллипса

Части эллипса (описание см. в разделе «Связанные определения»)

[math]displaystyle{ boldsymbol a }[/math] — большая полуось;
[math]displaystyle{ boldsymbol b }[/math] — малая полуось;
[math]displaystyle{ boldsymbol c }[/math] — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
[math]displaystyle{ boldsymbol p }[/math] — фокальный параметр;
[math]displaystyle{ boldsymbol r_p }[/math] — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
[math]displaystyle{ boldsymbol r_a }[/math] — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

[math]displaystyle{ a^2 = b^2 + c^2; }[/math]

[math]displaystyle{ e = frac{c}{a} = sqrt{1 — frac{b^2}{a^2}};;;(0 leqslant e lt 1); }[/math]

[math]displaystyle{ p = frac{b^2}{a}. }[/math]

	[math]displaystyle{ boldsymbol a }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol b }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol c }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol p }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol {r_p} }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol {r_a} }[/math]
[math]displaystyle{ boldsymbol a }[/math] — большая полуось	[math]displaystyle{ boldsymbol a }[/math]	[math]displaystyle{ a = frac{b}{sqrt{1-e^2}} }[/math]	[math]displaystyle{ a = frac{c}{e} }[/math]	[math]displaystyle{ a = frac{p}{1-e^2} }[/math]	[math]displaystyle{ a = frac{r_p}{1-e} }[/math]	[math]displaystyle{ a = frac{r_a}{1+e} }[/math]
[math]displaystyle{ boldsymbol b }[/math] — малая полуось	[math]displaystyle{ b = a sqrt{1-e^2} }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol b }[/math]	[math]displaystyle{ b = frac{c~sqrt{1-e^2}}{e} }[/math]	[math]displaystyle{ b = frac{p}{sqrt{1-e^2}} }[/math]	[math]displaystyle{ b = r_psqrt{frac{1+e}{1-e}} }[/math]	[math]displaystyle{ b = r_asqrt{frac{1-e}{1+e}} }[/math]
[math]displaystyle{ boldsymbol c }[/math] — фокальное расстояние	[math]displaystyle{ c = ae }[/math]	[math]displaystyle{ c = frac{be}{sqrt{1-e^2}} }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol c }[/math]	[math]displaystyle{ c = frac{pe}{1-e^2} }[/math]	[math]displaystyle{ c = frac{r_pe}{1-e} }[/math]	[math]displaystyle{ c = frac{r_ae}{1+e} }[/math]
[math]displaystyle{ boldsymbol p }[/math] — фокальный параметр	[math]displaystyle{ p = a(1-e^2) }[/math]	[math]displaystyle{ p = b~sqrt{1-e^2} }[/math]	[math]displaystyle{ p = c~frac{1-e^2}{e} }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol p }[/math]	[math]displaystyle{ p = r_p (1+e) }[/math]	[math]displaystyle{ p = r_a (1-e) }[/math]
[math]displaystyle{ boldsymbol r_p }[/math] — перифокусное расстояние	[math]displaystyle{ r_p = a(1-e) }[/math]	[math]displaystyle{ r_p = b~sqrt{frac{1-e}{1+e}} }[/math]	[math]displaystyle{ r_p = c~frac{1-e}{e} }[/math]	[math]displaystyle{ r_p = frac{p}{1+e} }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol r_p }[/math]	[math]displaystyle{ r_p = r_afrac{1-e}{1+e} }[/math]
[math]displaystyle{ boldsymbol r_a }[/math] — апофокусное расстояние	[math]displaystyle{ r_a = a(1+e) }[/math]	[math]displaystyle{ r_a = b~sqrt{frac{1+e}{1-e}} }[/math]	[math]displaystyle{ r_a = c~frac{1+e}{e} }[/math]	[math]displaystyle{ r_a = frac{p}{1-e} }[/math]	[math]displaystyle{ r_a = r_p~frac{1+e}{1-e} }[/math]	[math]displaystyle{ boldsymbol r_a }[/math]

Координатное представление

Эллипс как кривая второго порядка

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

[math]displaystyle{ a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0 }[/math]

при инвариантах [math]displaystyle{ D gt 0 }[/math] и [math]displaystyle{ Delta I lt 0 }[/math], где:

[math]displaystyle{ Delta=begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{12} & a_{22} & a_{23} \ a_{13} & a_{23} & a_{33} end{vmatrix}, }[/math]

[math]displaystyle{ D=begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{12} & a_{22}end{vmatrix}=a_{11}a_{22} — a_{12}^2, }[/math]

[math]displaystyle{ I=operatorname{tr}begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{12} & a_{22}end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}. }[/math]

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и [math]displaystyle{ a_{33}=-1 }[/math]):

[math]displaystyle{ Delta = -frac{1}{a^2}frac{1}{b^2}, }[/math]

[math]displaystyle{ D = frac{1}{a^2}frac{1}{b^2}, }[/math]

[math]displaystyle{ I = frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2}. }[/math]

Соотношения

Если переписать общее уравнение в виде

[math]displaystyle{ A X^2 + B X Y + C Y^2 + D X + E Y + F = 0, }[/math]

то координаты центра эллипса:

[math]displaystyle{ h = frac{B E — 2 C D}{4 A C — B^2}, k = frac{B D — 2 A E}{4 A C — B^2}, }[/math]

угол вращения определяется из выражения

[math]displaystyle{ tg(2 Theta) = frac{B}{A — C}. }[/math]

Направления векторов осей:

[math]displaystyle{ begin{pmatrix}
B & (C-A+sqrt{(C-A)^2+B^2})
end{pmatrix}, begin{pmatrix}
B & (C-A-sqrt{(C-A)^2+B^2})
end{pmatrix}, }[/math]

отсюда

[math]displaystyle{ operatorname{tg}Theta = frac{C-A pm sqrt{(C-A)^2+B^2}}{B}. }[/math]

Длины полуосей определяются выражениями

[math]displaystyle{ a=sqrt{frac{2 F’ (sqrt{(A-C)^2+B^2}+A+C)}{4 A C-B^2}}, }[/math]

[math]displaystyle{ b=sqrt{frac{2 F’}{sqrt{(A-C)^2+B^2}+A+C}.} }[/math]

Обратное соотношение — коэффициенты общего уравнения из параметров эллипса — можно получить, подставив в каноническое уравнение (см. раздел ниже) выражение для поворота системы координат на угол Θ и переноса в точку [math]displaystyle{ (x_c,, y_c) }[/math]:

[math]displaystyle{ frac{x’^2}{a^2}+frac{y’^2}{b^2}=1, }[/math]

[math]displaystyle{ x’=(x-x_c) cosTheta + (y-y_c) sinTheta, }[/math]

[math]displaystyle{ y’=-(x-x_c) sinTheta + (y-y_c) cosTheta. }[/math]

Выполнив подстановку и раскрыв скобки, получим следующие выражения для коэффициентов общего уравнения:

[math]displaystyle{ A=a^2 sin^2Theta + b^2 cos^2Theta, }[/math]

[math]displaystyle{ B=2(b^2-a^2) sinTheta cosTheta, }[/math]

[math]displaystyle{ C=a^2 cos^2Theta + b^2 sin^2Theta, }[/math]

[math]displaystyle{ D=-2 A x_c-B y_c, }[/math]

[math]displaystyle{ E=-B x_c-2 C y_c, }[/math]

[math]displaystyle{ F=A x_c^2+C y_c^2+ B x_c y_c-a^2 b^2. }[/math]

Если ввести только угол, а центр эллипса оставить в начале координат, то

[math]displaystyle{ D=0, }[/math]

[math]displaystyle{ E=0, }[/math]

[math]displaystyle{ F=-a^2 b^2. }[/math]

Следует заметить, что в уравнении общего вида эллипса, заданного в декартовой системе координат, коэффициенты [math]displaystyle{ A, B, C, D, E, F }[/math] (или, что то же самое, [math]displaystyle{ a_{11}, 2a_{12}, a_{22}, 2a_{13}, 2a_{23}, a_{33} }[/math]) являются определёнными с точностью до произвольного постоянного множителя, то есть приведённая выше запись и

[math]displaystyle{ A k X^2 + B k X Y + C k Y^2 + D k X + E k Y + F k = 0, }[/math]

где [math]displaystyle{ k ne 0, }[/math] являются эквивалентными. Нельзя ожидать, что выражение

[math]displaystyle{ 1/a^2 + 1/b^2 = A k+C k }[/math]

будет выполняться при любом [math]displaystyle{ k }[/math].

Соотношение между инвариантой [math]displaystyle{ I }[/math] и полуосями в общем виде выглядит следующим образом:

[math]displaystyle{ frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2} = frac{A+C}{F cdot (A cdot h^2+B cdot h cdot k+C cdot k^2 — 1)} = frac{I}{F’}, }[/math]

где [math]displaystyle{ F’ = F cdot (A cdot h^2+B cdot h cdot k+C cdot k^2 — 1) }[/math] — коэффициент [math]displaystyle{ F }[/math] при переносе начала координат в центр эллипса, когда уравнение приводится к виду

[math]displaystyle{ A X^2 + B X Y + C Y^2 + F’ = 0. }[/math]

Другие инварианты находятся в следующих соотношениях:

[math]displaystyle{ -frac{Delta}{F’^3} = frac{D}{F’^2} = frac{1}{a^2}frac{1}{b^2}. }[/math]

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:

[math]displaystyle{ frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1. }[/math]

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат^{[Комм. 1]}.

Соотношения

Для определённости положим, что [math]displaystyle{ 0 lt b leqslant a. }[/math]
В этом случае величины [math]displaystyle{ a }[/math] и [math]displaystyle{ b }[/math] — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса, можно вычислить:

его фокальное расстояние и эксцентриситет [math]displaystyle{ left|F_1F_2right|=2sqrt{a^2-b^2},;;;e=frac{sqrt{a^2-b^2}}{a}lt 1, }[/math]
координаты фокусов эллипса [math]displaystyle{ left(ae,,0right), left(-ae,,0right). }[/math]

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как

[math]displaystyle{ x=frac{a}{e},;;;x=-frac{a}{e}. }[/math]

Фокальный параметр (то есть половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

[math]displaystyle{ p=frac{b^2}{a}. }[/math]

Фокальные радиусы, то есть расстояния от фокусов до произвольной точки кривой [math]displaystyle{ left(x,,yright) }[/math]:

[math]displaystyle{ r_1 = a + ex,;;;r_2 = a — ex. }[/math]

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом [math]displaystyle{ k }[/math]:

[math]displaystyle{ y=-frac{b^2}{a^2k}x. }[/math]

Уравнение касательной к эллипсу в точке [math]displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] имеет вид:

[math]displaystyle{ frac{xx_0}{a^2} + frac{yy_0}{b^2} =1. }[/math]

Условие касания прямой [math]displaystyle{ y=mx+k }[/math] и эллипса [math]displaystyle{ frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 }[/math] записывается в виде соотношения [math]displaystyle{ k^2=m^2a^2 + b^2. }[/math]

Уравнение касательных, проходящих через точку [math]displaystyle{ left(x_1, y_1right) }[/math]:

[math]displaystyle{ frac{y-y_1}{x-x_1}=frac{-x_1y_1 pm sqrt{b^2x_1^2 + a^2y_1^2 — a^2b^2}}{a^2 — x_1^2}. }[/math]

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент [math]displaystyle{ k }[/math]:

[math]displaystyle{ y=kx pm sqrt{k^2a^2 + b^2}, }[/math]

точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса, где касательная имеет угол с тангенсом, равным [math]displaystyle{ k }[/math]):

[math]displaystyle{ x=mpfrac{ka^2}{sqrt{k^2a^2 + b^2}}, y=pmfrac {b^2}{sqrt{k^2a^2 + b^2}}. }[/math]

Уравнение нормали в точке [math]displaystyle{ left(x_1, y_1right): }[/math]

[math]displaystyle{ frac{y-y_1}{x-x_1}=frac{a^2y_1}{b^2x_1}. }[/math]

Уравнения в параметрической форме

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация)

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

[math]displaystyle{ begin{cases} x = a,cos t \ y = b,sin t end{cases};;; 0 leqslant t leqslant 2pi, }[/math]

где [math]displaystyle{ t }[/math] — параметр.

Только в случае окружности (то есть при [math]displaystyle{ a=b }[/math]) параметр [math]displaystyle{ t }[/math] является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

В полярных координатах

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах [math]displaystyle{ left(rho, varphiright) }[/math] будет иметь вид

[math]displaystyle{ rho = frac{p}{1 pm e cos varphi}, }[/math]

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр.
Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.

Вывод уравнения

Пусть r₁ и r₂ — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов.
Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол [math]displaystyle{ varphi }[/math] отсчитывается от направления на второй фокус.
Тогда из определения эллипса следует, что

[math]displaystyle{ r_1 + r_2 = 2a }[/math].

Отсюда [math]displaystyle{ r_2^2=left( 2a — r_1 right)^2 = 4a^2 — 4ar_1 + r_1^2 }[/math].
С другой стороны, из теоремы косинусов

[math]displaystyle{ r_2^2 = r_1^2 + 4c^2 — 4r_1c cos varphi. }[/math]

Исключая [math]displaystyle{ r_2 }[/math] из последних двух уравнений, получаем

[math]displaystyle{ r_1 = frac{a^2-c^2}{a-c cos varphi}=frac{a(1-c^2/a^2) }{1-c/acosvarphi}. }[/math]

Учитывая, что [math]displaystyle{ p = a(1-e^2) }[/math] и [math]displaystyle{ e=frac{c}{a} }[/math], получаем искомое уравнение.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах [math]displaystyle{ left(rho, varphiright) }[/math] будет иметь вид

[math]displaystyle{ rho = frac{b}{sqrt{1-e^2 cos^2 varphi}} = frac{ab}{sqrt{a^2 sin^2 varphi + b^2 cos^2 varphi}}. }[/math]

Длина дуги эллипса (

s) в зависимости от его параметра (

θ)

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

[math]displaystyle{ l = int limits_{t_1}^{t_2} sqrt{left(frac{dx}{dt}right) ^2+left(frac{dy}{dt}right)^2} ,dt. }[/math]

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса, получаем следующее выражение:

[math]displaystyle{ l = int limits_{t_1}^{t_2} sqrt{a^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t},dt. }[/math]

После замены [math]displaystyle{ b^2 = a^2 left(1 — e^2 right) }[/math] выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

[math]displaystyle{ l = a int limits_{t_1}^{t_2} sqrt{1 — e^2 cos^2 t},dt,;;; e lt 1. }[/math]

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода [math]displaystyle{ E left(t,e right) }[/math]. В частности, периметр эллипса равен:

[math]displaystyle{ l = 4a int limits_{0}^{pi/2} sqrt{1 — e^2 cos^2 t},dt = 4aE(e), }[/math]

где [math]displaystyle{ E left(e right) }[/math] — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра

[math]displaystyle{ L approx 4frac{pi ab + (a-b)^2}{a+b}. }[/math]

Максимальная погрешность этой формулы [math]displaystyle{ approx 0{,}63 % }[/math] при эксцентриситете эллипса [math]displaystyle{ approx 0{,}988 }[/math] (соотношение осей [math]displaystyle{ approx1/6{,}5 }[/math]).
Погрешность всегда положительна.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:
[math]displaystyle{ L approx 4 cdot left(a^x+b^xright)^left(1/xright) }[/math], где [math]displaystyle{ x=frac{ln 2}{lnfrac{pi}{2}}. }[/math]
Максимальная погрешность этой формулы [math]displaystyle{ approx 0{,}36 % }[/math] при эксцентриситете эллипса [math]displaystyle{ approx0{,}980 }[/math] (соотношение осей [math]displaystyle{ approx1/5 }[/math])
Погрешность также всегда положительна.

Существенно лучшую точность при [math]displaystyle{ 0{,}05lt a/blt 20 }[/math] обеспечивает формула Рамануджана:
[math]displaystyle{ L approx pileft[ 3(a+b)-sqrt{(3a+b)(a+3b)} right]. }[/math]

При эксцентриситете эллипса [math]displaystyle{ approx0{,}980 }[/math] (соотношение осей [math]displaystyle{ approx1/5 }[/math]) погрешность составляет [math]displaystyle{ approx 0{,}02 % }[/math].
Погрешность всегда отрицательна.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:
[math]displaystyle{ L approx pi (a+b)left [1+frac{3 left (frac{a-b}{a+b} right )^2}{10+sqrt{4-3 left (frac{a-b}{a+b} right )^2}} right ]. }[/math]

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори^[1] и Фридрих Бессель^[2] независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

[math]displaystyle{ L = pi (a+b) left [1+sum limits_{n=1}^{infty} left [ frac{(2n-1)!!}{(2n-1)cdot 2^n cdot n!}left ( frac {a-b}{a+b}right )^n right ]^2right ]. }[/math]

Альтернативная формула

[math]displaystyle{ L = frac{2 pi a N(1-e^2)}{M(sqrt{1-e^2})}, }[/math]

где [math]displaystyle{ M(x) }[/math] — арифметико-геометрическое среднее 1 и [math]displaystyle{ x }[/math],
а [math]displaystyle{ N(x) }[/math] — модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и [math]displaystyle{ x }[/math], которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года^[3].

Площадь эллипса и его сегмента

Площадь эллипса вычисляется по формуле

[math]displaystyle{ S = pi a b. }[/math]

Площадь сегмента между дугой^[en], выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точки [math]displaystyle{ left(x,,yright) }[/math] и [math]displaystyle{ left(x,,-yright), }[/math] можно определить по формуле^[4]:

[math]displaystyle{ S = frac{pi a b}{2} — frac{b}{a} left(x,sqrt{a^2 — x^2} + a^2 arcsin frac{x}{a} right). }[/math]

Если эллипс задан уравнением
[math]displaystyle{ A x^2+ B x y + C y^2 = 1 }[/math], то площадь можно определить по формуле

[math]displaystyle{ S = frac{2pi}{sqrt{ 4 A C — B^2 }}. }[/math]

Другие свойства

Оптические
- Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
- Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
Если [math]displaystyle{ F_1 }[/math] и [math]displaystyle{ F_2 }[/math] — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой [math]displaystyle{ (F_1X) }[/math] равен углу между этой касательной и прямой [math]displaystyle{ (F_2X) }[/math].
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
- Эквивалентная формулировка: через середины двух любых параллельных хорд эллипса проходит какой-либо диаметр эллипса. В свою очередь, любой диаметр эллипса всегда проходит через центр эллипса.
Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
Эксцентриситет эллипса, то есть отношение [math]displaystyle{ e = frac{c}{a} = sqrt{1 — frac{b^2}{a^2}};;;(0 leqslant e lt 1), }[/math] характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
- Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: [math]displaystyle{ F_1 F_2=0 }[/math]), то эллипс вырождается в окружность.
Экстремальные свойства^[5]
- Если [math]displaystyle{ F }[/math] — выпуклая фигура и [math]displaystyle{ T_n }[/math] — вписанный в [math]displaystyle{ F }[/math] [math]displaystyle{ n }[/math]-угольник максимальной площади, то
  
  [math]displaystyle{ S(T_n)ge S(F)cdotfrac{n}{2cdotpi}{sin(2cdotpi/n)}, }[/math]

где [math]displaystyle{ S(F) }[/math] обозначает площадь фигуры [math]displaystyle{ F }[/math].

Более того, равенство достигается в том и только в том случае, если [math]displaystyle{ F }[/math] ограничено эллипсом.

Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину.

Если произвольный эллипс вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение^[6]

[math]displaystyle{ frac{overline{PA} cdot overline{QA}}{overline{CA} cdot overline{AB}} + frac{overline{PB} cdot overline{QB}}{overline{AB} cdot overline{BC}} + frac{overline{PC} cdot overline{QC}}{overline{BC} cdot overline{CA}} = 1. }[/math]

Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше^[⇦] эллипсографе.

Касательная, проходящая через точку [math]displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math], принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:

[math]displaystyle{ frac{x x_0}{a^2}+frac{y y_0}{b^2}=1. }[/math]

Построение эллипса

Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша

Инструментами для рисования эллипса являются:

эллипсограф
две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом. Способ был придуман Джеймсом Максвеллом в возрасте 14 лет и при запросе его отца в Эдинбургское королевское общество оказался ранее неизвестным^[7].

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

Эллипсы, связанные с треугольником

Эллипс Брокара — эллипс с фокусами в точках Брокара
Эллипс Мандарта
Эллипс Штейнера

См. также

Кривая второго порядка
Парабола
Каустика
Эллипсоид
Эллипсограф
Гипербола
Окружность Аполлония
Овал Кассини

↑ Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение

[math]displaystyle{ frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=-1 }[/math]

описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.

Примечания

↑ Ivory J. A new series for the rectification of the ellipsis (англ.) // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1798. — Vol. 4. — P. 177—190. — doi:10.1017/s0080456800030817.
↑ Bessel F. W. Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen (нем.) // Astron. Nachr.. — 1825. — Bd. 4. — S. 241—254. — doi:10.1002/asna.18260041601. — Bibcode: 1825AN……4..241B. В англ. переводе: Bessel F. W. The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825) (англ.) // Astron. Nachr.. — 2010. — Vol. 331. — P. 852—861. — doi:10.1002/asna.201011352. — arXiv:0908.1824.
↑ Adlaj S. An eloquent formula for the perimeter of an ellipse (англ.) // Notices of the AMS. — 2012. — Vol. 76, iss. 8. — P. 1094—1099. — doi:10.1090/noti879.
↑ Корн, 1978, с. 68.
↑ Фейеш Тот Л. Глава II, §§ 4, 6 // Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. — М.: Физматгиз, 1958. — 364 с.
↑ Allaire P. R., Zhou J., Yao H. Proving a nineteenth century ellipse identity (англ.) // Mathematical Gazette. — 2012. — Vol. 96, no. 535. — P. 161—165.
↑ Карцев В. П. Максвелл. — М.: Молодая гвардия, 1974. (Серия «Жизнь замечательных людей»). С. 26—28.

Литература

Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73.
Селиванов Д. Ф. Эллипс // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
И. Бронштейн. Эллипс // Квант, № 9, 1970.
А. И. Маркушевич. Замечательные кривые // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.

Ссылки

S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae (англ.)
Grard P. Michon. Perimeter of an Ellipse (Final Answers) (англ.), 2000—2005. — 20 c.
Видео: Как нарисовать эллипс

Источник

Определение и элементы эллипса

Основные свойства эллипса

Уравнение эллипса

Площадь эллипса

Площадь сегмента эллипса

Длина дуги эллипса

Радиус круга, вписанного в эллипс

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Как построить эллипс

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Связанные определения

Соотношения между элементами фигуры

Координатное представление

Длина дуги эллипса

Приближённые формулы для периметра

Точные формулы для периметра

Площадь эллипса

Другие свойства эллипса

Определение

Другие определения

Связанные определения

Соотношения между элементами эллипса

Координатное представление

Эллипс как кривая второго порядка

Каноническое уравнение

Соотношения

Уравнения в параметрической форме

В полярных координатах

Вывод уравнения

Длина дуги эллипса

Приближённые формулы для периметра

Точные формулы для периметра

Площадь эллипса и его сегмента

Другие свойства

Построение эллипса

Эллипсы, связанные с треугольником

См. также

Комментарии

Примечания

Литература

Ссылки