Не уверен в ответе?
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Как найти емкость конденсатора через формулу Томпсона? Очень прошу …» по предмету 📙 Физика, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы
Емкостный показатель является одной из основных характеристик не только батареек и аккумуляторных элементов, но и конденсаторных устройств. Любому человеку, работающему с электросхемами, необходимо знать, от чего зависит эта величина, может ли она уменьшиться или увеличиться под влиянием внешних факторов (как, например, период времени, зарядка элемента или частота напряжения), и как выглядит выражающая емкость конденсатора формула для разных типов элементов.
Расчёт конденсаторов
В общем случае емкостной показатель С определяется по формуле:
C=q/U,
где q – заряд конденсатора на одной из его пластин, U – значение напряжения на конденсаторе.
Из этого выражения можно вывести формулу заряда конденсатора, величину которого можно найти, измерив два других показателя с помощью мультиметра.
Часто возникает вопрос, может ли этот параметр измениться. Он является постоянной величиной, присущей данному элементу и зависящей от его габаритов и устройства. Узнать емкостное значение можно с помощью мультиметра. Пользуясь этими данными, можно рассчитать целевую индуктивность дросселя для колебательного контура или параметры резистора.
В чем измеряется емкость? За измерительную единицу принимается параметр конденсаторного устройства, который можно зарядить 1 Кл до состояния, когда разница потенциалов будет равной 1 вольту. Название этой единицы – фарад (Ф).
Важно! Если сравнить два устройства, идентичных по габаритам, но различающихся тем, что у одного в зазоре между пластинами находится диэлектрический материал, а у другого – воздушное пространство, то при помещении одинаковых зарядов потенциальная разница первой детали будет в Е раз больше. Е – это число, равное диэлектрической проницаемости материала, из которого состоит использованный слой.
Ниже приведены формулы для конденсаторных элементов разной конфигурации. Рассчитанные по ним значения соответствуют идеальным устройствам, но релевантны и для реальных в тех случаях, когда емкостными потерями можно пренебречь.
Формула электрической емкости плоского конденсатора
В основном электрополе пластин плоского конденсатора бывает однородным, за исключением боковых частей, влиянием которых обычно принято пренебрегать. Однако, если пространство между обкладками велико в сопоставлении с их габаритами, краевые искажения нужно учитывать. В общем случае, чтобы высчитать, сколько фарад составит емкость плоского конденсатора, пользуются выражением:
C=E*E0*S/d, где S – площадь меньшей обкладки, E0 – электрическая константа, d – длина пространства между пластинами.
Формула электрической емкости цилиндрического изделия
Такой компонент состоит из пары разных по размеру коаксиальных цилиндрических элементов проводника, в пространстве между которыми расположили диэлектрический материал. В этом случае для нахождения емкостной величины не нужно узнавать значение заряда на обкладках конденсатора. Можно воспользоваться следующей формулой емкости:
С=2 π *E*E0*l / ln(R2/R1).
Здесь R1 и R2 – радиусы, соответственно, внутреннего и наружного цилиндров, l – их высота (она одинакова, в то время как радиальные параметры отличаются).
Формула для сферического изделия
Сферическая деталь состоит из двух проводниковых сфер с диэлектрическим слоем между ними. Вот как найти емкость круглого конденсатора:
C=4 π *E*E0* R1* R2 / R2 — R1.
Буквами R обозначены, как и в предыдущем примере, радиусы компонентов.
Ёмкость одиночного проводника
Это характеристика способности твердого проводникового компонента к удержанию электрозаряда. Она определяется особенностями средового окружения (в частности, диэлектрической проницаемостью), взаиморасположением тел, имеющих на себе заряд, размерами детали. От силы тока и величины заряда она не зависит.
Схемы соединения конденсаторов — расчет емкости
В закладки
В данной статье приведены различные схемы соединения конденсаторов, а так же формулы их расчета с примером.
-
Последовательное соединение конденсаторов
Если условно разделить выводы каждого из конденсаторов на первый и второй выводы последовательное соединение конденсаторов будет выполняется следующим образом: второй вывод первого конденсатора соединяется с первым выводом второго конденсатора, второй вывод второго конденсатора, соединяется с первым выводом третьего и так далее. Таким образом мы получим группу (блок) последовательно соединенных конденсаторов с двумя свободными выводами — первым выводом первого конденсатора в блоке и вторым выводом последнего конденсатора, через которые данный конденсаторный блок и подключается в электрическую цепь.
Схема последовательного соединения конденсаторов будет иметь следующий вид:
Фактически последовательное соединение конденсаторов имеет следующий вид:
При данной схеме соединения заряды на конденсаторах будут одинаковы:
Qобщ=Q1=Q2=Q3,
где: Q1, Q2, Q3 — соответственно заряд на первом, втором, третьем и т.д. конденсаторах
Напряжение на каждом конденсаторе при такой схеме зависит от его емкости:
U1=Q/C1; U2=Q/C2; U3=Q/C3, где:
- U1, U2, U3 — соответственно напряжение на первом, втором, третьем конденсаторах
- C1, C2, C3 — соответственно емкости первого, второго, третьего конденсаторов
При этом общее напряжение составит:
Uобщ=U1+U2+U3+…+Un
Рассчитать общую емкость конденсаторов при последовательном соединении можно по следующим формулам:
- При последовательном соединении двух конденсаторов:
Собщ=C1*C2/C1+C2
- При последовательном соединении трех и более конденсаторов:
1/Собщ=1/C1+1/C2+1/C3+…+1/Cn
-
Параллельное соединение конденсаторов
Если условно разделить выводы каждого из конденсаторов на первый и второй выводы параллельное соединение конденсаторов будет выполняется следующим образом: первые выводы всех конденсаторов соединяются в одну общую точку (условно — точка №1) вторые выводы всех конденсаторов соединяются в другую общую точку (условно — точка №2). В результате получается группа (блок) параллельно соединенных конденсаторов подключение которой к электрической цепи производится через условные точки №1 и №2.
Схема параллельного соединения конденсаторов будет иметь следующий вид:
Таким образом параллельное соединение конденсаторов будет иметь следующий вид:
При данной схеме напряжение на всех конденсаторах будет одинаково:
U=U1=U2=U3
Заряд же на каждом из конденсаторов будет зависеть от его емкости:
Q1=U*C1; Q2=U*C2; Q3=U*C3
При этом общий заряд цепи будет равен сумме зарядов всех параллельно подключенных конденсаторов:
Qобщ=Q1+Q2+Q3…+…Qn.
Рассчитать общую емкость конденсаторов при параллельном соединении можно по следующей формуле:
Собщ=C1+C2+C3+…+Cn
-
Смешанное соединение конденсаторов
Схема в которой присутствует две и более группы (блока) конденсаторов с различными схемами соединения называется схемой смешанного соединения конденсаторов.
Приведем пример такой схемы:
Для расчетов такие схемы условно разделяются на группы одинаково соединенных конденсаторов, после чего расчеты ведутся для каждой группы по формулам приведенным выше.
Для наглядности приведем пример расчета общей емкости данной схемы.
-
Пример расчета
Условно разделив схему на группы получим следующее:
Как видно из схемы на первом этапе мы выделили 3 группы (блока) конденсаторов, при этом конденсаторы в первой и второй группе соединены последовательно, а конденсаторы в третьей группе — параллельно.
Произведем расчет каждой группы:
- Группа 1 — последовательное соединение трех конденсаторов:
1/C1,2,3 = 1/C1+1/C2+1/C3 = 1/5+1/15+1/10=0,2+0,067+0,1 = 0,367 → C1,2,3 = 1/0,367 = 2,72 мкФ
- Группа 2 — последовательное соединение двух конденсаторов:
С4,5 = C4*C5/C4+C5 = 20*30/20+30 = 600/50 = 12 мкФ
- Группа 3 — параллельное соединение трех конденсаторов:
С6,7,8 = C6+C7+C8 = 5+25+30 = 60 мкФ
В результате расчета схема упрощается:
Как видно в упрощенной схеме осталась еще одна группа из двух параллельно соединенных конденсаторов, произведем расчет ее емкости:
- Группа 4 — параллельное соединение двух групп конденсаторов:
С1,2,3,4,5 = C1,2,3+C4,5 = 2,72+12 = 14,72 мкФ
В конечном итоге получаем простую схему из двух последовательно соединенных групп конденсаторов:
Теперь можно определить общую емкость схемы:
Собщ = C1,2,3,4,5*C6,7,8/C1,2,3,4,5+C6,7,8 = 14,72*60/14,72+60 = 883,2/74,72 = 11,8 мкФ
Была ли Вам полезна данная статья? Или может быть у Вас остались вопросы? Пишите в комментариях!
Не нашли на сайте статьи на интересующую Вас тему касающуюся электрики? Напишите нам здесь. Мы обязательно Вам ответим.
↑ Наверх
5
Способы соединения элементов
Емкость конденсатора: единица измерения
Монтаж изделия на плату может быть вертикальным или горизонтальным. При использовании нескольких изделий они могут быть соединены между собой разными способами.
Параллельное соединение
Для его организации нужно подключить группу деталей к электроцепи так, чтобы обкладки всех деталей были подсоединены напрямую к местам включения. Поскольку все компоненты получают заряд от одного источника тока, у них будет одинаковая разность потенциалов. Но так как заряд копится на каждом изделии отдельно, количество электричества на группе можно выразить как сумму количеств на ее деталях. Это справедливо и для емкостных данных – значение для конфигурации равно сумме значений каждой единицы. Поэтому такую группу можно считать равной одному конденсатору, емкостной параметр которого равен сумме таковых для всех частей.
Последовательное соединение
Эта схема подразумевает соединение устройств одно за другим, когда к местам подключения к цепи подсоединены только два крайних изделия. Количество электричества для каждой детали будет одинаковым. При этом, чем менее емкое устройство, тем большее значение напряжения на нем будет наблюдаться.
Важно! Емкостной показатель такой системы будет еще меньше, чем у устройства, обладающего наименьшим его значением. Соотношение выглядит так: 1/С = 1/С1 + 1/С2 + 1/С3 + … Опираясь на него, можно произвести вывод непосредственно формулы С. Для двух элементов: С = С1*С2 / С1+С2.
Смешанное соединение
Такая сложная конструкция содержит фрагменты с двумя вышеприведенными типами соединений. Чтобы подсчитать полную емкость, схему делят на простые блоки, состоящие только из деталей, соединенных каким-то одним образом. Находят эквивалентные значения для каждого блока и затем рисуют схему заново в упрощенном виде. Рассчитывают данные для получившейся системы.
Чтобы суметь подобрать подходящий конденсаторный набор, нужно уметь узнавать емкостные данные. Важно также знать, как рассчитывается показатель для конфигурации из нескольких деталей, соединенных между собой тем или иным образом.
Идеальный колебательный контур. Формула Томсона
На прошлом уроке мы с вами познакомились с электромагнитными колебаниями. Напомним, что так называют периодические изменения со временем электрических и магнитных величин в электрической цепи.
Рассмотрев качественную сторону теории процессов в колебательном контуре, перейдём к её количественной стороне. Для этого рассмотрим идеальный колебательный контур, то есть контур, активное сопротивление которого пренебрежимо мало.
В таком контуре, как мы показали ранее, полная электромагнитная энергия в любой момент времени равна сумме энергий электрического и магнитного полей, и она не меняется с течением времени:
А раз энергия контура неизменная, то производная полной энергии по времени равна нулю:
Напомним, что в записанной формуле заряд и сила тока в цепи являются функцией времени.
Чтобы понять физический смысл этого уравнения, перепишем его так:
Из такой записи видно, что скорость изменения магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля.
А знак минус в формуле показывает на то, что увеличение энергии магнитного поля происходит за счёт убыли энергии поля электрического.
Вычислим производные в записанном уравнении, воспользовавшись для этого формулой вычисления производной сложной функции.
А теперь вспомним, что производная заряда по времени есть сила мгновенного тока (то есть сила тока в данный момент времени):
Поэтому предыдущее уравнение можно переписать так, как показано на экране:
Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому, как производная скорости по времени (то есть ускорение) есть вторая производная координаты по времени:
Перепишем предыдущее равенство с учётом этой поправки:
Разделив левую и правую части этого уравнения на «Эль И» (Li
), получим
основное уравнение, описывающее свободные гармонические электрические колебания в контуре:
Данное уравнение аналогично уравнению, описывающему гармонические механические колебания:
Отсюда видно, что величина, обратная квадратному корню из произведения индуктивности и ёмкости, является циклической частотой свободных электрических колебаний:
Зная циклическую частоту колебаний, нетрудно найти и их период, то есть минимальный промежуток времени, через который процесс в колебательном контуре полностью повторяется:
Эта формула впервые была получена английским физиком Уильямом Томсоном 1853 году, и в настоящее время носит его имя.
Из формулы видно, что период колебательного контура определяется параметрами составляющих его элементов: индуктивностью катушки и ёмкостью конденсатора.
Из формулы Томсона также следует, что, например, при уменьшении ёмкости или индуктивности период колебаний должен уменьшиться, а их частота — увеличиться и наоборот.
Но вернёмся к уравнению свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре. Его решением является уравнение, выражающее зависимость заряда конденсатора от времени:
В записанной формуле qm
— это
начальное (или амплитудное) значение заряда
, сообщённому конденсатору. Из этой формулы следует, что заряд на конденсаторе изменяется со временем по гармоническому закону.
Если взять первую производную заряда конденсатора по времени, то мы получим уравнение, описывающее изменение силы тока в контуре:
Величина, равная произведению максимального заряда конденсатора и циклической частоты колебаний, является амплитудным значением силы тока:
Перепишем уравнение для силы тока с учётом последнего равенства, а также воспользовавшись формулой приведения:
Из такой записи хорошо видно, что сила тока в колебательном контуре также совершает гармонические колебания с той же частотой, но по фазе она смещена на π
/2 относительно колебаний заряда.
Для закрепления материала, решим с вами такую задачу. Конденсатор ёмкостью 2 мкФ зарядили до напряжения 100 В, а затем замкнули на катушку с индуктивностью 5 мГн. Определите заряд конденсатора через 0,025π мс после замыкания.
В заключение отметим, что в реальных колебательных контурах всегда имеется активное сопротивление, поэтому часть энергии контура всегда превращается во внутреннюю проводников, которая выделяется в виде излучения. Кроме того, часть энергии теряется на перемагничивание сердечника и изменение поляризации диэлектрика. Поэтому полная энергия контура с течением времени уменьшается, в результате уменьшается и амплитуда колебаний. Следовательно, реальные электромагнитные колебания в контуре являются затухающими.
Колебательный контур и формула Томсона
Чтобы в электрической цепи возникали периодические изменения электрического и магнитного полей, необходимо устройство, в котором происходит перекачка электрической энергии, хранимой в одном из элементов, в другой, в котором также запасается энергия магнитного поля. Простейшей системой подобного рода является колебательный контур, впервые в истории рассчитанный в 1853 году британским физиком Уильямом Томсоном.
История открытия колебательного контура
С момента открытия электрического тока ученые обнаружили, что стальную иголку можно намагнитить, поместив ее внутрь индуктора (намотанной металлическим проводником катушки) и разрядив на индуктор лейденскую банку (прототип электрического конденсатора). Неожиданностью явилось то, что игла могла намагнититься в произвольном направлении: положение на ней северного и южного магнитных полюсов оказывалось непредсказуемым, при этом полярность электрического напряжения на лейденской банке оставалась неизменной.
В 1826 году французскому физику Феликсу Савари удалось доказать, что при разряде лейденской банки на катушку (индуктивность) ток в ней протекает в направлении, определяемом полярностью напряжения на лейденской банке, лишь в первый момент времени, а затем в ней может возникнуть затухающее колебание, со сменой намагниченности иглы. Остаточная намагниченность определится направлением еще достаточно сильного тока через катушку, способного перемагнитить иглу, что непредсказуемо.
В 1842 году независимо от Савари подобный вывод сделал американский физик Джозеф Генри. В 1853 году английский физик Уильям Томсон, получивший позднее, в 1866 году, рыцарское звание по причинам политического характера, не связанным с его научными достижениями, и ставший лордом Кельвином, доказал путем математического вывода, что разряд конденсатора на индуктивность приводит при определенных условиях к возникновению электрических колебаний. Он впервые вывел формулу зависимости частоты колебаний от параметров колебательного контура. Ее радиотехники используют до сих пор под названием «формула Томсона».
Но выведя формулу, ученый не смог правильно объяснить работу колебательного контура, поскольку в то время было общепризнано, что постоянный ток не в состоянии пройти между разделенными непроводящим диэлектриком пластинами конденсатора. Объяснение было дано позже на основе открытых британским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом законов функционирования электромагнитного поля.
Спустя некоторое время были получены экспериментальные доказательства наличия в колебательном контуре электрических колебаний. Британскому ученому Оливеру Лоджу, которого англичане считают изобретателем радио, удалось получить путем электрического разряда с применением большой емкости и большой индуктивности колебания очень низкой частоты, лежащие в области звуковых (музыкальных) тонов. Немецкий физик Б. Феддерсен в 1857 году сделал фотографии электрической искры, рожденной колебательным контуром, доказав тем самым ее периодичность.
Первые передатчики радиоволн, как и приемники, подобные грозоотметчику российского ученого Александра Попова, колебательных контуров не содержали, но впоследствии, для возможности настройки передатчика и приемника на одну частоту в их схемы стали включать колебательные контуры. Впервые это сделал итальянский изобретатель и предприниматель Гульельмо Маркони в 1900 году, хотя тремя годами раньше Лодж уже запатентовал подобное решение.
Чтобы воспользоваться свойствами контура в своей конструкции 1911 года, Маркони был вынужден купить патент Лоджа.
Вывод формулы Томсона
Используя схему, показанную на рисунке ниже, предварительно нужно зарядить конденсатор от стороннего источника напряжения, после чего перекинуть ключ вправо, и конденсатор начнет разряжаться на катушку с возникновением электрических колебаний.
Вывод формулы частоты колебаний основывается на законах, описанных в 1845 году немецким физиком Густавом Робертом Кирхгофом. Если допустить, что электроэнергия в идеальном колебательном контуре, не содержащем потерь (контуре Томпсона), бесконечно перекачивается между конденсатором и катушкой, а поток электричества через катушку равен потоку через конденсатор, при этом сумма напряжений на конденсаторе и катушке равна 0, то путем решения дифференциального уравнения второго порядка
удается показать, что циклическая частота колебаний в контуре ω равна
Но увы, Томсон, выведя формулу для частоты колебательного контура, не смог правильно оценить роль индуктивности и в его первоначальном варианте наряду со «статической» емкостью конденсатора C, взамен индуктивности была подставлена некая «динамическая» емкость конденсатора A.
Воспользовавшись открытым позднее явлением резонанса в идеальном колебательном контуре, возникающем на частоте его собственных колебаний, и тем, что условием резонанса в колебательном контуре является равенство (по модулю) реактивных сопротивлений конденсатора и катушки на частоте резонанса, выведем искомую формулу, приравняв сопротивление конденсатора к сопротивлению индуктивности:
Циклическая частота ω выражается через частоту колебаний f выражением ω = 2πf, откуда:
Поскольку период колебаний равен T =1/f, то другое выражение формулы Томсона может быть записано как:
Формула демонстрирует, что период колебательного контура зависит от параметров входящих в него элементов, то есть, от индуктивности и емкости. При их уменьшении период колебаний также уменьшается, а частота увеличивается и наоборот.
Видео по теме
Что такое плоские конденсаторы
Определение
Конденсатор — это устройство для накопления заряда и энергии электрического поля.
Определение
Плоский конденсатор — конденсатор, который представляет собой две параллельные проводящие плоскости (обкладки), которые разделяет небольшой промежуток, заполненный диэлектриком. На обкладках сосредоточены равные по модулю и противоположные по знаку заряды.
Емкость конденсатора не слишком велика, но энергия при разрядке отдается почти мгновенно. Свойство конденсаторов быстро выдавать импульс большой мощности находит применение в лампах-вспышках для фотографирования, электромагнитных ускорителях, импульсных лазерах.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Примером может служить генератор Ван де Граафа, позволяющий создавать в лабораторных условиях напряжение в миллионы вольт, чтобы моделировать разряды молний. Также конденсаторы используют в радиотехнике.
Описание и технические характеристики
Конденсатор состоит из двух проводников, разделенных слоем диэлектрика.
Простейший конденсатор — две металлические пластины-обкладки, расположенные параллельно, с тонкой прослойкой воздуха между ними. Когда заряды пластин противоположны по знаку, электрическое поле оказывается сосредоточено внутри конденсатора и почти не взаимодействует с внешним миром, что позволяет накапливать на пластинах заряд.
Конденсатор обладает следующими техническими параметрами:
- номинальной и реальной емкостью — заявленной и фактической способностью накапливать заряд;
- удельной емкостью — отношением емкости к массе или объему диэлектрика;
- плотностью энергии;
- номинальным напряжением;
- полярностью — электролитические конденсаторы требуют корректной полярности напряжения для безопасной работы;
- электрическим сопротивлением изоляции диэлектрика;
- временем самостоятельной потери заряда;
- эквивалентным последовательным сопротивлением — внутренним электрическим сопротивлением диэлектрика, материала обкладок, выводов, контактов;
- эквивалентной последовательной индуктивностью и собственной частотой резонанса;
- температурным коэффициентом емкости — относительным изменением емкости при изменении температуры окружающей среды;
- диэлектрической абсорбцией — поглощением и сохранением части заряда при быстрой разрядке;
- пьезоэффектом — генерацией напряжения на обкладках при механических деформациях.
Как найти его емкость, формулы
Определение
Электрическая емкость — мера способности проводника накапливать заряд.
В СИ напряжение измеряется в вольтах, его обозначение — В.
Емкость измеряется в фарадах и обозначается Ф. Один фарад равен одному кулону, деленному на один вольт. Это очень большая единица: один фарад — примерная электроемкость уединенного металлического шара, радиус которого равен 13 радиусам Солнца.
В системе СГС емкость измеряется в сантиметрах или статфарадах, сокращенно обозначаемых статФ. За единицу измерения берется емкость шара радиусом 1 см в вакууме.
(x = {-b pm sqrt{b^2-4ac} over 2a}1 Ф = 8,9875517873681764;times;10^{11} статФ)
Емкость плоского конденсатора можно вычислить по формуле
(С;=;frac{varepsilon;times;varepsilon_0;times;S}d)
Где S — площадь каждой из пластин, d — расстояние между ними, (varepsilon) — коэффициент диэлектрической проницаемости среды между пластинами, (varepsilon_0) — электрическая постоянная, равная (8,854187817;times;10^{-12};frac Фм).
Таким образом, емкость плоского конденсатора легко изменить, погрузив его в жидкость или иную среду с нужной диэлектрической проницаемостью.
Способы расчета по току и напряжению
Конденсатор — это два проводящих тела, которые разделены диэлектриком. Они несут равные по величине и противоположные по знаку заряды (q_1) и (q_2 ) имеют потенциалы (varphi_1) и (varphi_2).
Электроемкость изолированного проводника С равна отношению изменения заряда q к изменению потенциала проводника (varphi.) Их зависимость выражается формулой:
(С;=;frac qU)
Где U — разность потенциалов тел, т. е. обкладок конденсатора, или напряжение на конденсаторе.
Если порции заряда малы, для простоты расчетов можно предположить, что напряжение между пластинами не меняется. Оно вычисляется по формуле:
( U;=;varphi2;-;varphi_1)
Заряд измеряется в кулонах. Заряд и сила тока связаны следующим соотношением: один кулон равен величине заряда, прошедшего через проводник за одну секунду при силе тока в один ампер. Таким образом, зная силу тока и время зарядки конденсатора в секундах, можно произвести вычисление по формуле:
(q;=;I;times;t)
Когда конденсатор включен в колебательный контур, то, зная период электромагнитных колебаний T и индуктивность катушки контура L, можно вычислить емкость, воспользовавшись формулой Томсона:
(T;=;2mathrmpisqrt{mathrm{LC}})
При решении задач часто требуется вычислить емкости каждого конденсатора в цепи параллельно или последовательно соединенных, а также напряжение на каждом из них. Чтобы составить необходимые уравнения, нужно воспользоваться формулами для вычисления общей емкости цепи.
При параллельном соединении:
({mathrm С}_{mathrm{общ};};=;{mathrm С}_1;+;{mathrm С}_2;+;{mathrm С}_{3;}+;…;+;{mathrm С}_{mathrm n})
При последовательном:
(frac{1;}{{mathrm С}_{mathrm{общ};}}=;frac1{{mathrm С}_1};+;frac1{{mathrm С}_2};+;frac1{{mathrm С}_{3;}}+;…;+;frac1{{mathrm С}_{mathrm n}})
Примечание
Эти формулы справедливы для любого конденсатора, не только для плоского.
На прошлом уроке мы с вами познакомились с электромагнитными
колебаниями. Напомним, что так называют периодические изменения со временем
электрических и магнитных величин в электрической цепи.
Рассмотрев качественную сторону теории процессов в
колебательном контуре, перейдём к её количественной стороне. Для этого рассмотрим
идеальный колебательный контур, то есть контур, активное сопротивление
которого пренебрежимо мало.
В таком контуре, как мы показали ранее, полная
электромагнитная энергия в любой момент времени равна сумме энергий
электрического и магнитного полей, и она не меняется с течением времени:
А раз энергия контура неизменная, то производная полной
энергии по времени равна нулю:
Напомним, что в записанной формуле заряд и сила тока в цепи
являются функцией времени.
Чтобы понять физический смысл этого уравнения, перепишем его
так:
Из такой записи видно, что скорость изменения магнитного
поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля. А знак
минус в формуле показывает на то, что увеличение энергии магнитного поля
происходит за счёт убыли энергии поля электрического.
Вычислим производные в записанном уравнении, воспользовавшись
для этого формулой вычисления производной сложной функции.
А теперь вспомним, что производная заряда по времени есть
сила мгновенного тока (то есть сила тока в данный момент времени):
Поэтому предыдущее уравнение можно переписать так, как показано
на экране:
Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая
производная заряда по времени, подобно тому, как производная скорости по
времени (то есть ускорение) есть вторая производная координаты по времени:
Перепишем предыдущее равенство с учётом этой поправки:
Разделив левую и правую части этого уравнения на «Эль И» (Li),
получим основное уравнение, описывающее свободные гармонические
электрические колебания в контуре:
Данное уравнение аналогично уравнению, описывающему
гармонические механические колебания:
Отсюда видно, что величина, обратная квадратному корню из
произведения индуктивности и ёмкости, является циклической частотой свободных
электрических колебаний:
Зная циклическую частоту колебаний, нетрудно найти и их
период, то есть минимальный промежуток времени, через который процесс в
колебательном контуре полностью повторяется:
Эта формула впервые была получена английским физиком Уильямом
Томсоном 1853 году, и в настоящее время носит его имя.
Из формулы видно, что период колебательного контура
определяется параметрами составляющих его элементов: индуктивностью катушки и
ёмкостью конденсатора. Из формулы Томсона также следует, что, например, при
уменьшении ёмкости или индуктивности период колебаний должен уменьшиться, а их
частота — увеличиться и наоборот.
Но вернёмся к уравнению свободных электромагнитных колебаний
в идеальном колебательном контуре. Его решением является уравнение, выражающее
зависимость заряда конденсатора от времени:
В записанной формуле qm — это начальное
(или амплитудное) значение заряда, сообщённому конденсатору. Из этой формулы
следует, что заряд на конденсаторе изменяется со временем по гармоническому
закону.
Если взять первую производную заряда конденсатора по времени,
то мы получим уравнение, описывающее изменение силы тока в контуре:
Величина, равная произведению максимального заряда
конденсатора и циклической частоты колебаний, является амплитудным значением
силы тока:
Перепишем уравнение для силы тока с учётом последнего
равенства, а также воспользовавшись формулой приведения:
Из такой записи хорошо видно, что сила тока в колебательном
контуре также совершает гармонические колебания с той же частотой, но по фазе
она смещена на π/2 относительно колебаний заряда.
Для закрепления материала, решим с вами такую задачу. Конденсатор
ёмкостью 2 мкФ зарядили до напряжения 100 В, а затем замкнули на катушку с
индуктивностью 5 мГн. Определите заряд конденсатора через 0,025π мс после
замыкания.
В заключение отметим, что в реальных колебательных контурах всегда
имеется активное сопротивление, поэтому часть энергии контура всегда превращается
во внутреннюю проводников, которая выделяется в виде излучения. Кроме того,
часть энергии теряется на перемагничивание сердечника и изменение поляризации
диэлектрика. Поэтому полная энергия контура с течением времени уменьшается, в
результате уменьшается и амплитуда колебаний. Следовательно, реальные
электромагнитные колебания в контуре являются затухающими.