Как найти емкость системы конденсаторов по рисунку

Задачи с конденсаторами: сборная солянка

В эту статью вошли задачи всех типов: здесь и определение эквивалентных емкостей, и напряжений между определенными точками схемы, и бесконечные цепочки, и даже исчезновение конденсаторов из схем (бесследное и без последствий).

Задача 1.

Плоский конденсатор разрезают на равные части вдоль плоскостей, перпендикулярных обкладкам. Полученные конденсаторов соединяют последовательно. Чему равна емкость полученной батaреи конденсаторов, если емкость исходного конденсатора мкФ?

Площадь исходного конденсатора:

Площадь нового конденсатора (одного)  — в 4 раза меньше исходного (так как площадь меньше):

Теперь соединяем последовательно:

Ответ: 1 мкФ.

Задача 2.

Два плоских конденсатора, емкостью каждый, соединили параллельно. В один из них вставили диэлектрическую пластину с проницаемостью , заполнившую весь объем конденсатора. Какой емкости и как необходимо подключить третий конденсатор, чтобы емкость системы стала равной ?

Так как первые два конденсатора соединены параллельно, то их емкости надо сложить, чтобы получить эквивалентную емкость:

После введения пластины емкость такого конденсатора стала равна , а эквивалентная емкость стала равна

Теперь к этой конструкции будем присоединять еще один конденсатор. Попробуем присоединить параллельно, тогда

Так как , то , .

Теперь присоединяем последовательно, тогда:

Решим неравенство:

Решение — — это решение не имеет смысла, .

Ответ: , при , параллельно.

, при , последовательно.

Задача 3.

Разность потенциалов между точками А и В равна . Емкости конденсаторов известны. Определить заряды конденсаторов и разность потенциалов между точками А и D.

Так как емкости и соединены параллельно, то напряжение на них одинаковое. Кроме того, заряды на емкостях и системе конденсаторов одинаковы, так как они соединены последовательно. Поэтому

Эквивалентная емкость , поэтому эквивалентная емкость всей схемы – произведение на сумму — .

Тогда заряд

Но вследствие (1)

Тогда

Находим :

Определим заряды и :

Ответ: , , , .

Задача 4.

Определить емкость батареи конденсаторов, показанной на рисунке, если мкФ, мкФ, мкФ.

Сначала два конденсатора подключены параллельно, при этом емкости складываются: . В конце параллельное соединение и : . Теперь имеем последовательное соединение емкостей , и . Тогда

Можно подставить числа и довести решение до конца:

Ответ: мкФ.

Задача 5.

Найти емкость системы конденсаторов, изображенной на рисунке.

На рисунке a) емкость оказывается незаряженной, так как схема совершенно симметрична и , поэтому .

Поэтому конденсатор не заряжен – разность потенциалов на его выводах нулевая. Следовательно, имеем две веточки, включенные в параллель: в каждой последовательное соединение и .

Сопротивление одной ветки (емкость двух последовательно включенных конденсаторов – произведение, деленное на сумму):

А двух таких веток в параллель (емкости, включенные параллельно, складываются): .

На рисунке б) – если приглядеться, та же самая ситуация:

Так что, аналогично первой схеме, сопротивление одной ветки с двумя последовательно включенными конденсаторами — , а две такие емкости в параллель дадут .

Ответ: а) ; б) .

Задача 6.

Определить емкость Сх бесконечно длинной системы одинаковых конденсаторов, емкостью С каждый, соединенных друг с другом, как показано на рисунке.

Выделим в этой цепи повторяющийся элемент:

Эти элементы соединены параллельно. Так как емкость цепи бесконечна, то от нее не убудет, если мы один элемент удалим, или выделим. Тогда справа от выделенного элемента цепь с емкостью , и слева – тоже.

Можем записать для последовательно включенных емкостей:

Задача 7.

Найти разность потенциалов между точками А и В в схеме, изображенной на рисунке. Емкость мкФ, мкФ, мкФ. Напряжение источника В.

Емкость верхней ветки:

Емкость нижней ветки:

Заряд верхней ветви (мкКл):

Заряд нижней ветви (мкКл):

Но соединен последовательно с , поэтому , и

Аналогично в нижней ветви:

В сумме .

Найдем разность потенциалов между точками и :

Ответ: B.

Содержание:

1. Последовательное соединение конденсаторов
2. Параллельное соединение конденсаторов
3. Смешанное соединение конденсаторов
4. Пример расчета

В данной статье приведены различные схемы соединения конденсаторов, а так же формулы их расчета с примером.

1. Последовательное соединение конденсаторов

Если условно разделить выводы каждого из конденсаторов на первый и второй выводы последовательное соединение конденсаторов будет выполняется следующим образом: второй вывод первого конденсатора соединяется с первым выводом второго конденсатора, второй вывод второго конденсатора, соединяется с первым выводом третьего и так далее. Таким образом мы получим группу (блок) последовательно соединенных конденсаторов с двумя свободными выводами — первым выводом первого конденсатора в блоке и вторым выводом последнего конденсатора, через которые данный конденсаторный блок и подключается в электрическую цепь.

Схема последовательного соединения конденсаторов будет иметь следующий вид:

Фактически последовательное соединение конденсаторов имеет следующий вид:

При данной схеме соединения заряды на конденсаторах будут одинаковы:

Q_общ=Q₁=Q₂=Q₃, 

где: Q₁, Q₂, Q₃ — соответственно заряд на первом, втором, третьем и т.д. конденсаторах

Напряжение на каждом конденсаторе при такой схеме зависит от его емкости:

U₁=Q/C₁; U₂=Q/C₂; U₃=Q/C₃, где:

• U₁, U₂, U₃ — соответственно напряжение на первом, втором, третьем конденсаторах
• C₁, C₂, C₃ — соответственно емкости первого, второго, третьего конденсаторов

При этом общее напряжение составит:

U_общ=U₁+U₂+U₃+…+U_n

Рассчитать общую емкость конденсаторов при последовательном соединении можно по следующим формулам:

• При последовательном соединении двух конденсаторов:

С_общ=(C₁*C₂)/(C₁+C₂)

• При последовательном соединении трех и более конденсаторов:

1/С_общ=1/C₁+1/C₂+1/C₃+…+1/C_n

1. Параллельное соединение конденсаторов

Если условно разделить выводы каждого из конденсаторов на первый и второй выводы параллельное соединение конденсаторов будет выполняется следующим образом: первые выводы всех конденсаторов соединяются в одну общую точку (условно — точка №1) вторые выводы всех конденсаторов соединяются в другую общую точку (условно — точка №2). В результате получается группа (блок) параллельно соединенных конденсаторов подключение которой к электрической цепи производится через условные точки №1 и №2.

Схема параллельного соединения конденсаторов будет иметь следующий вид:

Таким образом параллельное соединение конденсаторов будет иметь следующий вид:

При данной схеме напряжение на всех конденсаторах будет одинаково:

U=U₁=U₂=U₃

Заряд же на каждом из конденсаторов будет зависеть от его емкости:

Q₁=U*C₁; Q₂=U*C₂; Q₃=U*C₃

При этом общий заряд цепи будет равен сумме зарядов всех параллельно подключенных конденсаторов:

Q_общ=Q₁+Q₂+Q₃…+…Q_n.

Рассчитать общую емкость конденсаторов при параллельном соединении можно по следующей формуле:

С_общ=C₁+C₂+C₃+…+C_n

1. Смешанное соединение конденсаторов

Схема в которой присутствует две и более группы (блока) конденсаторов с различными схемами соединения называется схемой смешанного соединения конденсаторов.

Приведем пример такой схемы:

Для расчетов такие схемы условно разделяются на группы одинаково соединенных конденсаторов, после чего расчеты ведутся для каждой группы по формулам приведенным выше.

Для наглядности приведем пример расчета общей емкости данной схемы.

1. Пример расчета

Условно разделив схему на группы получим следующее:

Как видно из схемы на первом этапе мы выделили 3 группы (блока) конденсаторов, при этом конденсаторы в первой и второй группе соединены последовательно, а конденсаторы в третьей группе — параллельно.

Произведем расчет каждой группы:

• Группа 1 — последовательное соединение трех конденсаторов:

1/C_1,2,3 = 1/C₁+1/C₂+1/C₃ = 1/5+1/15+1/10=0,2+0,067+0,1 = 0,367 → C_1,2,3 = 1/0,367 = 2,72 мкФ

• Группа 2 — последовательное соединение двух конденсаторов:

С_4,5 = (C₄*C₅)/(C₄+C₅)= (20*30)/(20+30) = 600/50 = 12 мкФ

• Группа 3 — параллельное соединение трех конденсаторов:

С_6,7,8 = C₆+C₇+C₈ = 5+25+30 = 60 мкФ

В результате расчета схема упрощается:

Как видно в упрощенной схеме осталась еще одна группа из двух параллельно соединенных конденсаторов, произведем расчет ее емкости:

• Группа 4 — параллельное соединение двух групп конденсаторов:

С_1,2,3,4,5 = C_1,2,3+C_4,5 = 2,72+12 = 14,72 мкФ

В конечном итоге получаем простую схему из двух последовательно соединенных групп конденсаторов:

Теперь можно определить общую емкость схемы:

С_общ = (C_1,2,3,4,5*C_6,7,8)/(C_1,2,3,4,5+C_6,7,8) = 14,72*60/14,72+60 = 883,2/74,72 = 11,8 мкФ

---

---

Была ли Вам полезна данная статья? Или может быть у Вас остались вопросы? Пишите в комментариях!

Не нашли на сайте ответа на интересующий Вас вопрос? Задайте его на форуме! Наши специалисты обязательно Вам ответят.

↑ Наверх

2018-05-14   

Найти емкость системы одинаковых конденсаторов между точками А к В, которая показана:

а) на рис. а; б) на рис. б.

Решение:

(а) Так как $phi_{1} = phi_{B}$ и $phi_{2} = phi_{A}$

Расположение конденсаторов, показанных в задаче, эквивалентно расположению, показанному на рис. и, следовательно, емкость между А и В,

$C = C_{1} + C_{2} + C_{3}$

(б) Из симметрии задачи разность потенциалов между D и E равна нулю. Таким образом, комбинация сводится к простой компоновке, показанной на рисунке, и, следовательно, к чистой емкости,

$C_{0} = frac{C}{2} + frac{C}{2} = C$

Исправления Сакович А.Л. (ноябрь 2006)

В статье разобраны примеры задач повышенного и углубленного уровня на расчет электрических цепей постоянного тока с конденсаторами. Приводится краткий теоретический материал по данной теме.

Расчет электрических цепей, в которых конденсаторы соединены последовательно или параллельно, производится по известным формулам.

Если в цепи нет участков с последовательно или параллельно соединенными конденсаторами, но есть точки с одинаковыми потенциалами, то их можно либо соединять, либо разъединять, не меняя режима работы цепи. Цепь при этом упрощается, и мы приходим к случаю параллельно и последовательно соединенных конденсаторов.

Если в цепи нет параллельно и последовательно соединенных конденсаторов и нет точек с одинаковыми потенциалами, то для ее расчета используются следующие положения.

1. Сумма зарядов всех обкладок, соединенных с одним из полюсов источника тока, равна заряду источника (закон сохранения заряда):

                                                      (1)

Например, для цепи, изображенной на рисунке 1, .

Рис. 1.

2. Если пластины нескольких конденсаторов соединены в один узел, не связанный непосредственно с источником тока, то алгебраическая сумма зарядов на этих пластинах равна нулю (закон сохранения заряда):

                                                      (2)

Например, для цепи, представленной на рисунке 2, .

Рис. 2.

Рис. 3.

Это соотношение справедливо и тогда, когда перед конденсаторами имеются источники ЭДС (рис. 3): .

3. Алгебраическая сумма разностей потенциалов на всех конденсаторах и источниках тока, встречающихся при обходе любого замкнутого контура, равна нулю (закон сохранения энергии):

                                   (3)

4. Если на каком-либо из участков цепи 1–2 (рис. 4) имеется конденсатор и источник ЭДС, т.е. участок цепи неоднородный, то заряд конденсатора определяется ЭДС источника и разностью потенциалов на концах участка :

                               (4)

Если источника ЭДС на участке нет , то

                                              (5)

Рис. 4.

Этот факт обусловливает необходимость учитывать выбор знаков в каждом конкретном случае:

а) Если , т.е. разность потенциалов  направлена в ту же сторону, что и ЭДС (см. рис. 4), то следует пользоваться формулой (4).

б) Если , то формулу (4) лучше записать в таком виде:

                                       (6)

где .

В этом случае разность потенциалов «противодействует» ЭДС. Если же при этом , то для определения заряда формулу (4) следует записать в таком виде:

                                (7)

Правило для определения знаков зарядов на обкладках конденсатора: поле между обкладками конденсатора направлено в ту сторону, в которую направлена сумма ЭДС и разности потенциалов .

В приведенном примере (см. рис. 4) при  и  поле конденсатора направлено влево (левая обкладка заряжена отрицательно, правая – положительно);

Если , то поле между обкладками конденсатора направлено в сторону меньшего потенциала, т.е. со стороны меньшего потенциала будет обкладка с отрицательным зарядом.

в) В случае, когда величина потенциалов j₁ и j₂ неизвестна, следует пользоваться одним из рассмотренных вариантов по своему усмотрению.

Если несколько источников ЭДС и конденсаторов соединены последовательно, то заряд конденсатора определяется из соотношения

                                           (8)

где  – алгебраическая сумма ЭДС, С – общая емкость конденсаторов.

                                                               (9)

Правила знаков те же, что и приведенные ранее.

Задача 1. Конденсаторы соединены так, как показано на рисунке 5. Чему равна емкость всей батареи, если емкость каждого конденсатора равна С?

Рис. 5.

Решение. Упростим последовательно цепь (рис. 6).

 

а                                     б

 

        в                            г

Рис. 6.

Задача 2. Из проволоки сделан куб, в каждое ребро которого включено по одному конденсатору емкостью С. Найдите емкость батареи (рис. 7).

Рис. 7.

Решение. Соединяем точки с одинаковыми потенциалами 1, 2, 3 и 4, 5, 6 . Получим (рис. 8):

а

б

Рис. 8.

Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть случаи, когда цепь присоединена к источнику тока точками а3 и а6.

Задача 3. В цепи, изображенной на рисунке 9, С₁ = С₃ = С; С₂ = С₄ = С₅ = 2С. Найдите емкость батареи конденсаторов.

Рис. 9.

Решение. а) Из условия следует, что , поэтому конденсатор С₅ можно «выбросить» (рис. 10, а). Получим:

а

б

Рис. 10.

б) Но точки с одинаковыми потенциалами можно также соединить (рис. 11):

а

б

Рис. 11.

Задача 4. Определите заряд батареи конденсаторов, изображенной на рисунке 12, если к клеммам АВ приложено напряжение U= 100 B, а емкости конденсаторов C₁ = 2 мкФ, С₂ = 1 мкФ.

Рис. 12.

Решение. Заменим эту схему эквивалентной (рис. 13, а):

а

б

Рис. 13.

Мы видим, что эта задача аналогична задаче 3. И в этой цепи  и конденсатор С₂ можно «выбросить». Тогда получим цепь (рис. 13, б). Общая емкость этой батареи .

Находим заряд батареи: , q = 2∙10^–4 Кл.

Точки 2, 3 можно было и соединить, как в задаче 3. Получили бы тот же результат.

Задача 5. Найдите емкость батареи одинаковых конденсаторов (рис. 14). Емкость отдельного конденсатора С считать известной.

Рис. 14.

Решение. Общая емкость батареи

                                                      (1)

где q – заряд батареи, U – напряжение на ней.

Запишем уравнения для контуров и узлов. Контуры обходим против часовой стрелки. Если при этом мы идем от «–» к «+» на обкладках конденсатора, то соответствующая разность потенциалов берется со знаком «+», если от «+» к «–», то со знаком «–». Выбор направления обхода контура условен: его можно обходить и по часовой стрелке.

Контур 217832:

                                             (2)

Контур 87658:

                                            (3)

Контур 38543:

                                                      (4)

Для узла 8:

                                                        (5)

Для узла 3:

                                                        (6)

                                                        (7)

                                              (8)

                                              (9)

Решая эту систему уравнений, получим

Следовательно, .

Эту же задачу можно решить иначе.

Пусть .

Потенциалы точек 8 и 3 – .

Для определенности будем считать, что . Тогда

Кроме того, так как , то

                                (10)

                                (11)

Из этой системы получим

Заряд батареи

Задача 6. Батарея конденсаторов заряжена до разности потенциалов U₀ = 200 В, после чего ее отключили от источника напряжения (рис. 15). Как изменится при этом энергия батареи при замыкании ключа К, если С₁ = С₂ = С₃ = С₅ = 1 мкФ; С₄ = 0,5 мкФ?

Рис. 15.

Решение. При отключении батареи от источника тока ее заряд не изменится независимо от положения ключа К, а емкость ее после замыкания ключа изменится. Пусть С₀, С – емкости батареи до замыкания и после замыкания соответственно, W₀, W – соответствующие энергии, q₀ = q – заряд батареи.

                             (1)

где q₀ = C₀∙U₀; q = C∙U; U– напряжение на батарее конденсаторов после замыкания ключа (источник напряжения отключен). До замыкания ключа К

                                             (2)

Найдем емкость батареи после замыкания ключа.

Узел 3:

                                         (3)

Узел а:

                                              (4)

Узел b:

                                              (5)

Контур а43ba:

                                           (6)

Контур 5ab65:

                                           (7)

Контур 5a4215:

                                             (8)

Из приведенной системы уравнений (1)–(8) находим С₀, q, U. Затем из соотношения  определяем С, а из уравнения (1) DW.

Расчеты дают С₀ = 0,38 мкФ; Q = 0,85U; С = 0,85 мкФ; DW = –0,39 мДж.

Таким образом, при замыкании ключа энергия батареи уменьшилась. Заметим, что заряд ее не изменился, а емкость увеличилась. Уменьшение энергии обусловлено выделением в цепи теплоты (перераспределение зарядов между конденсаторами сопровождалось возникновением электрического тока в соединительных проводах) и излучением электромагнитных волн при изменении силы тока.

Задача 7. Найдите электродвижущую силу источника тока в схеме, изображенной на рисунке 16. Заряды на конденсаторах 2С и С соответственно 3qи 2q. Внутреннее сопротивление источника не учитывать.

Рис. 16.

Решение. Заряды на обкладках конденсаторов определяются из соотношений:

                                                (1)

                                                   (2)

где

                                            (3)

                                          (4)

                                                (5)

С учетом (3), (4), (5) соотношения (1) и (2) примут вид:

                                               (6)

                                               (7)

Делим почленно (1) и (2), получим: ;

                                                      (8)

С учетом (3) и (4) имеем:

                                                (9)

Тогда соотношения (6) и (7) примут вид:

                     (10)

Проверим результат по (7):

                              (11)

Задача 8. Какое количество теплоты выделится в цепи (рис. 17) при размыкании ключа?

Рис. 17.

Решение. Мы указали на схеме предположительные знаки зарядов на обкладках конденсаторов.

По второму правилу Кирхгофа:

.                                            (1)

По закону сохранения заряда , т.е. ,

                                                   (2)

Решив систему, получим:

Выделившаяся в цепи теплота

                    (3)

Задача 9. В цепи (рис. 18)  = 1 В,  = 2 В,  = 3 В, С₁ = 20 мкФ, С₂ = 30 мкФ, С₃ = 60 мкФ. Найдите напряжение на каждом конденсаторе.

Рис. 18.

Решение. Так как конденсаторы соединены последовательно, то их общая емкость

, C = 10 мкФ.

Следовательно,

, q = 2∙10^–5 Кл.

При последовательном соединении заряды всех конденсаторов одинаковы. Тогда

, U₁ = 1 В, U₂ =  В, U₃ =  В.

Задача 10. Два конденсатора с емкостями C₁ и С₂ присоединены к двум источникам с и (рис. 19). Определите напряжение на каждом конденсаторе и разность потенциалов между точками а и b. Внутреннее сопротивление источников не учитывать.

Рис. 19.

Решение. Найдем общую емкость этих двух конденсаторов:

                                        (1)

Заряды на них одинаковы (конденсаторы соединены последовательно): .·Заряд на каждом конденсаторе равен заряду на эквивалентной емкости С, т.е.

                                           (2)

Напряжение на конденсаторах:

            (3)

                                   (4)

Для нахождения U_ab рассмотрим участок цепи adb (рис. 20):

Рис. 20.

Из рисунка видно, что

Из этих соотношений получаем (вычитая из первого второе):

Задача 11. Какое количество теплоты выделится в цепи при переключении ключа К из положения 1 в положение 2 (рис. 21)?

Рис. 21.

Решение. При переключении ключа через батарею  протечет некоторый заряд Dq. Работа батареи равна . Эта работа может частично пойти на увеличение энергии, запасенной в конденсаторе, частично – на выделение теплоты в цепи.

Как видно из рис. 21, заряд и, следовательно, энергия, запасенная в конденсаторе, не изменяются при переключении ключа. Меняются лишь знаки зарядов на обкладках. Следовательно, при переключении ключа К через батарею протечет заряд  и в цепи выделится количество теплоты .

Задача 12. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U₀ = , подключается через резистор с большим сопротивлением к источнику тока с ЭДС 5 (рис. 22). Определите количество теплоты, которое выделяется в цепи при зарядке конденсатора до напряжения U = 5.

Рис. 22.

Решение. Энергия конденсатора до подключения к источнику тока . При подключении конденсатора к источнику тока происходит подзарядка его до напряжения 5. При этом через источник тока протечет заряд , а энергия конденсатора увеличится и станет равной . Источник совершит работу .

Часть этой работы затрачивается на увеличение энергии конденсатора, а оставшаяся часть выделится в виде теплоты:

отсюда

Задача 13. Какое количество теплоты выделится в цепи при переключении ключа К из положения 1 в положение 2 (рис. 23), если емкость каждого конденсатора равна С?

Рис. 23.

Решение. При переключении ключа К емкость цепи не меняется. Напряжение на системе конденсаторов тоже неизменно и равно . Следовательно, энергия системы не изменяется и вся произведенная батареей работа переходит в теплоту. Для подсчета этой работы необходимо определить заряд, протекший через батарею. До переключения на этом конденсаторе С₁ была половина заряда системы, т.е.  (емкость системы равна ). После переключения заряда на конденсаторе С₁ удвоится. Значит, через батарею протечет заряд , и, следовательно, батарея произведет работу . Выделившееся количество теплоты .

1. Балаш В.А. Задачи по физике и методы их решения. – М., 1983.

2. Буховцев Б.Б. и др. Сборник задач по элементарной физике. – М., 1987.

3. Гладкова Р.А. Сборник вопросов и задач по физике. – М., 1986.

4. Коган Б.Ю. Задачи по физике. – М., 1971.

5. Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Минск, 1988.

6. Сборник задач по физике / под ред. С.М. Козела. – М., 1990.

7. Электроемкость
проводников и конденсаторов

(примеры решения задач)

Уединенный проводник

Пример 7.1.

Найдите емкость
шарового проводника радиуса R₁,
окруженного прилегающим к нему
концентрическим слоем диэлектрика
проницаемости   и
наружного радиуса R₂ .

Решение.

Способ 1. Сообщим проводнику заряд

и найдем напряженность электрического
поля в окружающем пространстве. Величина
поля электрического смещения равна

для
,
поэтому:

.

Напряжение проводника

представим следующим выражением:

.

Величину емкости получим по определению
из выражения:

.

Способ 2. Проводящий шар, окруженный
диэлектриком, рассмотрим как систему
последовательно соединенных сферических
конденсаторов (см. рисунок). Используя
результат упражнения 7.4, для величин
емкостей получим:
,
.
Емкость всей системы определится
выражением

,

которое, конечно же, совпадает с
результатом, полученным в 1 способе.

Плоский конденсатор

Пример 7.2.

Пространство
между обкладками плоского конденсатора
заполнено диэлектриком, проницаемость
которого зависит от расстояния x
до одной из обкладок по закону
,
где ₁ — постоянная,
d — расстояние
между обкладками. Площадь каждой обкладки
S.
Найдите емкость конденсатора.

Решение.

Представим конденсатор, заполненный
неоднородным диэлектриком, как бесконечную
систему последовательно соединенных
элементарных конденсаторов, емкость
которых равна
.
Емкость всей системы определится
выражением:

,
из которого получим:

.

Сферический конденсатор

Пример 7.3.

Найдите емкость
сферического конденсатора, радиусы
обкладок которого a
и b,
причем a < b,
если пространство между обкладками
заполнено диэлектриком, проницаемость
которого зависит от расстояния r
до центра конденсатора как
,
где
.

Решение.

Способ 1.

Как и в предыдущем примере, сферический
конденсатор с неоднородным, но сферически
симметричным распределением диэлектрика
можно представить как систему
последовательно соединенных элементарных
сферических конденсаторов с емкостями

и найти емкость системы как
.

Способ 2.

Величина поля электрического смещения
при этом будет равна,
а напряженность этого поля определится
выражением

Величина напряжения, при этом, будет
равна
,
а величина емкости
.

Цилиндрический конденсатор

Пример 7.4.

Найдите емкость
цилиндрического конденсатора длины l,
радиусы обкладок которого a
и b,
причем a < b,
если пространство между обкладками
заполнено диэлектриком, проницаемость
которого зависит от расстояния r
до оси конденсатора как
,
где
.

Решение.
Представим цилиндрический
конденсатор, как последовательно
соединенные элементарные конденсаторы
с емкостью
.
Величина емкости всей системы элементарных
конденсаторов найдется из соотношения

.
Отсюда окончательно получим ответ:

.

Пример 7.5.

Цилиндрический конденсатор имеет
диаметр внешней обкладки
.Каким
должен быть диаметр внутренней обкладки
,
чтобы при заданном напряжении на
конденсаторе
напряженность
электрического поля на внутренней
обкладке
была
минимальной?

Решение. Величину напряженности
электрического поля на внутренней
обкладке
найдем
из следующих соотношений
.
Подстановка величины емкости
цилиндрического конденсатора (см.
упражнение 7.5), приводит к выражению:

.

Для нахождения экстремума найдем
производную знаменателя (т.к. величина
числителя имеет фиксированное значение)

.

Приравнивая ее нулю, найдем
.
В том, что это соответствует минимуму
,
можно убедиться, взяв вторую производную
и определив ее знак при
.

Соединение конденсаторов

Пример 7.6.

Четыре конденсатора с емкостями
и
соединены
так, как показано на рисунке. Какому
соотношению должны удовлетворять
емкости конденсаторов, чтобы разность
потенциалов между точками

и

была равна нулю?

Решение. Так как на последовательно
соединенных конденсаторах 1 и 2 заряд
одинаков, то выполняется соотношение

.

Аналогичное соотношение должно
выполняться для конденсаторов 3 и 4:

.

Для того, чтобы между точками

и
отсутствовала
разность потенциалов, необходимо, чтобы
осуществлялись равенства

и
.
Разделив почленно соотношения выражающие
равенства зарядов и сокращая на равные
разности потенциалов, получим

.

Взаимная емкость

Пример 7.7.

Очень далеко
друг от друга находятся два проводника.
Емкость одного из них C₁,
его заряд Q₁.
Емкость второго проводника C₂,
заряд Q₂.
Первоначально незаряженный конденсатор
емкостью С
подключают тонкими проводами к этим
проводникам. Найдите заряд q
конденсатора C.

Решение.
После подключения конденсатора и
установления электростатического
равновесия заряды и потенциалы проводников
и обкладок конденсатора будут такими
как показано на рисунке. Потенциалы
удаленных проводников будут связаны с
зарядами на них соотношениями:
,
.
Для напряжения на конденсаторе запишем
соотношение:

,

из которого
величина заряда конденсатора может
получена алгебраически и представлена
в виде:

.

93

Соседние файлы в папке Примеры решений

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #