Как найти эмпирическая частота - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Теоретические и эмпирические частоты. Критерии согласия.

Эмпирические
частоты
получают в результате опыта (наблюдения).
Теоретические частоты рассчитывают по
формулам. Для нормального закона
распределения их можно найти следующим
образом:

,
(_*)

где
–
сумма эмпирических (наблюдаемых) частот;
–
разность между двумя соседними вариантами
(то есть длина частичного интервала);
–
выборочное среднее квадратическое
отклонение;
;

–
выборочная средняя арифметическая;
–
середина
-го
частичного интервала; значения функции

находят по таблице (см. приложения).

Обычно эмпирические
и теоретические частоты различаются.
Возможно, что расхождение случайно и
связано с ограниченным количеством
наблюдений; возможно, что расхождение
неслучайно и объясняется тем, что для
вычисления теоретических частот
выдвинута статистическая гипотеза о
том, что генеральная совокупность
распределена нормально, а в действительности
это е так. Распределение генеральной
совокупности, которое она имеет в силу
выдвинутой гипотезы, называют
теоретическим.

Возникает
необходимость установить правило
(критерий), которое позволяло бы судить,
является ли расхождение между эмпирическим
и теоретическим распределениями
случайным или значимым. Если расхождение
окажется случайным, то считают, что
данные наблюдений (выборки) согласуются
с выдвинутой гипотезой о законе
распределения генеральной совокупности
и, следовательно, гипотезу принимают.
Если же расхождение окажется значимым,
то данные наблюдений не согласуются с
выдвинутой гипотезой, и её отвергают.

Критерием
согласия
называют критерий, который позволяет
установить, является ли расхождение
эмпирического и теоретического
распределений случайным или значимым,
то есть согласуются ли данные наблюдений
с выдвинутой статистической гипотезой
или не согласуются.

Имеются несколько
критериев согласия: критерий

(Пирсона), критерий Колмогорова, критерий
Романовского и др. Ограничимся описанием
того, как критерий

применяется к проверке гипотезы о
нормальном распределении генеральной
совокупности^¹
(предлагаем студентам
написать рефераты по различным критериям
согласия и их применению).

Допустим, что в
результате

наблюдений получена выборка:

Значения признака			. . .
Эмпирические частота			. . .
причём

Выдвинем
статистическую гипотезу: генеральная
совокупность, из которой извлечена
данная выборка, имеет нормальное
распределение. Требуется установить,
согласуется ли эмпирическое распределение
с этой гипотезой. Предположим, что по
формуле (_*)
вычислены теоретические частоты
.
Обозначим

среднее арифметическое квадратов
разностей между эмпирическими и
теоретическим частотами, взвешенное
по обратным величинам теоретических
частот:

Чем больше
согласуются эмпирическое и теоретическое
распределения, тем меньше различаются
эмпирические и теоретические частоты
и тем меньше значение
.
Отсюда следует, что

характеризует близость эмпирического
и теоретического распределений. В разных
опытах

принимает различные, заранее неизвестные
значения, то есть является случайной
величиной. Плотность вероятности этого
распределения (для выборки достаточно
большого объёма) не зависит от проверяемого
закона распределения, а зависит от
параметра
,
называемого числом степеней свободы.
Так при проверке гипотезы о нормальном
распределении генеральной совокупности

,
где
–
число групп, на которые разбиты данные
наблюдений. Существуют таблицы (см.
приложения), в которых указана вероятность
того, что в результате влияния случайных
факторов величина

примет значение не меньше вычисленного
по данным выборки
.

Для определённости
примем уровень значимости 0,01. Если
вероятность, найденная по таблицам,
окажется меньше 0,01, то это означает, что
в результате влияния случайных причин
наступило событие, которое практически
невозможно. Таким образом, тот факт, что

приняло значение
,
нельзя объяснить случайными причинами;
его можно объяснить тем, что генеральная
совокупность не распределена нормально
и, значит, выдвинутая гипотеза о нормальном
распределении генеральной совокупности
должна быть отвергнута. Если вероятность,
найденная по таблицам, превышает 0,01, то
гипотеза о нормальном распределении
генеральной совокупности согласуется
с данными наблюдений и поэтому может
быть принята. Полученные выводы
распространяются и на другие уровни
значимости.

На практике надо,
чтобы объём выборки был достаточно
большим ()
и чтобы каждая группа содержала 5 – 8
значений признака.

Для проверки
гипотезы о нормальном распределении
генеральной совокупности нужно:

вычислить
теоретические частоты по формуле (_*);
вычислить
,
где
–
соответственно частоты эмпирические
и теоретические;
вычислить число
степеней свободы
,
где
–
число групп, на которые разбита выборка;
выбрать уровень
значимости;
найти по таблице
(см. приложения) по найденным

и

вероятность
,
причём, если эта вероятность меньше
принятого уровня значимости, то гипотезу
о нормальном распределении генеральной
совокупности отвергают; если же
вероятность больше уровня значимости,
то гипотезу принимают.

ПРИМЕР 5.
Проверить, согласуются ли данные выборки
со статистической гипотезой о нормальном
распределении генеральной совокупности,
из которой извлечена выборка:

варианта	15	20	25	30	35	40	45	50	55
частота	6	13	38	74	106	85	30	10	4

Решение.
Вычислим выборочное среднее и выборочную
дисперсию:

;

Далее, вычислим
теоретические частоты по формуле (_*):


15	6	– 19,7	– 2,67	0,0113	3
20	13	– 14,7	– 1,99	0,0551	14
25	38	– 9,7	– 1,31	0,1691	42
30	74	– 4,7	– 0,63	0,3271	82
35	106	0,3	0,05	0,3984	99
40	85	5,3	0,73	0,3056	76
45	30	10,3	1,41	0,1476	37
50	10	15,3	2,09	0,0449	11
55	4	20,3	2,77	0,0086	2

Найдём
.
Вычислим число степеней свободы,
учитывая, что число групп выборки
.
Уровень значимости примем равным 0,01.
По таблице (см. приложения) при

и

находим вероятность
;
при

вероятность
.
Используя линейную интерполяцию,
получаем приближённое значение искомой
вероятности 0,16 > 0,01.

Следовательно,
данные наблюдений согласуются с гипотезой
о нормальном распределении генеральной
совокупности.

1
Интервал

имеет случайные концы (их называют
доверительными границами). Действительно,
в разных выборках получаются различные
значения
.
Следовательно от выборки к выборке
будут изменяться и концы доверительного
интервала, то есть доверительные границы
сами являются случайными величинами
– функциями от
.
Так как случайной величиной является
не оцениваемый параметр
,
а доверительный интервал, то более
правильно говорить не о вероятности
попадания

в доверительный интервал, а о вероятности
того, что доверительный интервал покроет
.

1
Обычно при выполнении пп. 4 – 7 используют
статистику с нормальным распределением,
статистику Стьюдента, Фишера.

2
То есть – с математическим ожиданием.

1
Критерий применяется аналогично и для
других распределений

Соседние файлы в папке Теор.вер. (лекции)

Источник

Критерии согласия. Теоретические и эмпирические частоты

Эмпирические частоты получают в результате опыта (наблюдения). Теоретические частоты рассчитывают по формулам. Для нормального закона распределения их можно найти следующим образом:

$n_i=frac{varphi(t_i),h}{sigma_text{v}}sumlimits_{j=1}^{n}m_j$

где $sumlimits_{j=1}^{n}m_j$ — сумма эмпирических частот; — разность между двумя соседними вариантами; $sigma_text{v}$ — выборочное среднеквадратическое отклонение; $t_i=frac{x_i-overline{x}_text{v}}{sigma_text{v}}$ ; $overline{x}_text{v}$ — выборочная средняя арифметическая; varphi(t) — см. прил. 1.

Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются. Возможно, что расхождение случайно и связано с ограниченным количеством наблюдений; возможно, что расхождение неслучайно и объясняется тем, что для вычисления теоретических частот выдвинута статистическая гипотеза о том, что генеральная совокупность распределена нормально, а в действительности это не так. Распределение генеральной совокупности, которое она имеет в силу выдвинутой гипотезы, называют теоретическим.

Возникает необходимость установить правило (критерий), которое позволяло бы судить, является ли расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями случайным или значимым. Если расхождение окажется случайным, то считают, что данные наблюдений (выборки) согласуются с выдвинутой гипотезой о законе распределения генеральной совокупности и, следовательно, гипотезу принимают; если же расхождение окажется значимым, то данные наблюдений не согласуются с гипотезой, и ее отвергают.

Критерием согласия называют критерий, который позволяет установить, является ли расхождение эмпирического и теоретического распределений случайным или значимым, т. е. согласуются ли данные наблюдений с выдвинутой статистической гипотезой или не согласуются.

Имеется несколько критериев согласия: критерий хи-квадрат chi^2 (Пирсона), критерий Колмогорова, критерий Романовского и др. Ограничимся описанием того, как критерий chi^2 применяется к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий применяется аналогично и для других распределений).

Допустим, что в результате наблюдений получена выборка:

значение признака x_1~~~x_2~~~cdots~~~x_s ;

эмпирическая частота m_1~~~m_2~~~cdots~~~m_s .

Выдвинем статистическую гипотезу: генеральная совокупность, из которой извлечена данная выборка, имеет нормальное распределение. Требуется установить, согласуется ли эмпирическое распределение с этой гипотезой. Предположим, что по формуле (11.3) вычислены теоретические частоты n_1,n_2,ldots,n_s .Обозначим chi_q^2 среднее арифметическое квадратов разностей между эмпирическими и теоретическими частотами, взвешенное по обратным величинам теоретических частот:

$chi_q^2=sumlimits_{i=1}^{s}frac{(m_i-n_i)^2}{n_i}.$

Чем больше согласуются эмпирическое и теоретическое распределения, тем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты и тем меньше значение chi_q^2 . Отсюда следует, что chi_q^2 характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. В разных опытах chi_q^2 принимает различные, наперед неизвестные значения, т. е. является случайной величиной. Плотность вероятности этого распределения (для выборки достаточно большого объема) не зависит от проверяемого закона распределения, а зависит от параметра , называемого числом степеней свободы. При проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности k=s-3 , где — число групп, на которые разбиты данные наблюдений. Существуют таблицы (прил. 6), в которых указана вероятность того, что в результате влияния случайных факторов величина chi^2 примет значение не меньше вычисленного по данным выборки chi_q^2 .

Для определенности примем уровень значимости 0,01. Если вероятность, найденная по таблицам, окажется меньше 0,01, то это означает, что в результате влияния случайных причин наступило событие, которое практически невозможно. Таким образом, тот факт, что chi^2 приняло значение chi_q^2 нельзя объяснить случайными причинами; его можно объяснить тем, что генеральная совокупность не распределена нормально и, значит, выдвинутая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности должна быть отвергнута. Если вероятность, найденная по таблицам, превышает 0,01, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности согласуется с данными наблюдений и поэтому может быть принята. Полученные выводы распространяются и на другие уровни значимости.

На практике надо, чтобы объем выборки был достаточно большим (ngeqslant50) и чтобы каждая группа содержала не менее 5-8 значений признака.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности нужно:

1) вычислить теоретические частоты по формуле (11.3);

2) вычислить $chi_q^2=sumlimits_{i=1}^{s}frac{(m_i-n_i)^2}{n_i}$ , где m_i,n_i — соответственно частоты эмпирические и теоретические;

3) вычислить число степеней свободы k=s-3 , где — число групп, на которые разбита выборка;

4) выбрать уровень значимости;

5) найти по таблице прил. 6 по найденным и chi_q^2 вероятность $P{chi^2geqslantchi_q^2}$ причем если эта вероятность меньше принятого уровня значимости, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергают; если вероятность больше уровня значимости, то гипотезу принимают.

Пример 5. Проверить, согласуются ли данные выборки со статистической гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой извлечена эта выборка:

$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} hline{x_i}&15&20&25&30&35&40&45&50&55\ hline{m_i}&6&13&38&74&106&85&30&10&4\ hlineend{array}$

Решение. Вычислим выборочное среднее и выборочную дисперсию по формулам из первой главы этой части: $overline{x}_text{v}=34,!7;~D_text{v}=7,!38$ . Вычислим теоретические частоты по формулам (11.3)

$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} hline{x_i}&{m_i}&overline{x}_i-overline{x}_text{v}&t_i&varphi(t_i)&n_i\hline 15&6&hfill-19,!7&hfill-2,!67&0,!0113&3\ 20&13&hfill-14,!7&hfill-1,!99&0,!0551&14\ 25&38&hfill-9,!7&hfill-1,!31&0,!1691&42\ 30&74&hfill-4,!7&hfill-0,!63&0,!3271&82\ 35&106&hfill0,!3&hfill0,!05&0,!3984&99\ 40&85&hfill5,!3&hfill0,!73&0,!3056&76\ 45&30&hfill10,!3&hfill1,!41&0,!1476&37\ 50&10&hfill15,!3&hfill2,!09&0,!0449&11\ 55&4&hfill20,!3&hfill2,!77&0,!0086&2\ hline{}&sum{m_i=366}&{}&{}&{}&sum{n_i=366}\hline end{array}$

Найдём chi_q^2 . Вычислим число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки s=9;~k=s-3=6. Уровень значимости alpha примем равным 0,01. По таблице прил. 6 при k=6 и chi_q^2=9 находим вероятность P=0,!1736 ; при chi_q^2=10 вероятность P=0,!1247 . Используя линейную интерполяцию, получаем приближённое значение искомой вероятности 0,!16>0,!01 .

Следовательно, данные наблюдения согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Эмпирические и выравнивающие частоты

Дискретное распределение.

Рассмотрим дискретную случайную величину , закон распределения которой неизвестен. Пусть произведено испытаний, в которых величина приняла раз значение , раза — значение раз — значение , причем

Определение 5. Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты .

Предположим, что у нас имеются основания предположить, что изучаемая величина распределена по некоторому определенному закону. Для того, чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, то есть находят теоретически сколько раз величина должна была принять каждое из наблюдаемых значений, если она распределена по наблюдаемому закону.

Определение 6. Выравнивающими (теоретическими), в отличии от фактически наблюдаемых эмпирических частот, называют частоты , найденные теоретически (вычислениями). Их находят по соотношению

где: число испытаний;

вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что имеет предполагаемое распределение.

Непрерывное распределение.

В случае непрерывного распределения, вероятности отдельных возможных значений равны нулю. Поэтому весь интервал возможных значений делят на непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности попадания в й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаний на эти вероятности.

Итак, выравнивающие частоты непрерывного распределения находят по соотношению:

где: число испытаний;

вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что имеет предполагаемое распределение.

В частности, если имеются основания предположить, что случайная величина (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле

(IV.6)

где: число испытаний (объем выборки);

длина частичного интервала;

выборочное среднее квадратическое отклонение;

середина го частичного интервала

Замечание: Как известно, дифференциальная функция (функция плотности распределения вероятностей) общего нормального распределения имеет следующий вид

(IV.7)

При и получим дифференциальную функцию нормированного распределения

или, заменив обозначение аргумента

Далее, положив, имеем

(IV.8)

Сравнивая (IV.7) и (IV.8), можно сделать заключение, что

Если математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение неизвестны, то в качестве оценок этих параметров принимают соответственно выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение Тогда

где

Пусть середина го частичного интервала (на которые разбита совокупность всех наблюдаемых значений нормально распределенной случайной величины ) длиною Тогда вероятность попадания в этот интервал приближенно равна произведению длины интервала на значение дифференциальной функции в любой точке интервала и, в частности, при

Следовательно, выравнивающая частота

где

Таким образом, формула (IV.5) получена.

Источник

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Проверка дискретного распределения на нормальность

Пусть
эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих
вариант и соответствующих им частот:

			…
			…

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить
гипотезу о том, что генеральная совокупность

распределена нормально.

Для того,
чтобы при заданном уровне значимости

проверить гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить
выборочную среднюю

и выборочное среднее квадратическое отклонение

2.
Вычислить теоретические частоты

где

– объем выборки,

— шаг (разность между двумя соседними
вариантами)

3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты
с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а)
составляют расчетную таблицу (см. пример), по которой находят наблюдаемое
значение критерия

б) по
таблице критических точек распределения

, по заданному уровню
значимости

и числу степеней свободы

(

– число групп выборки) находят критическую
точку

правосторонней критической области.

Если

– нет оснований отвергнуть гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности. Если

— гипотезу отвергают.

Проверка интервального распределения на нормальность

Пусть
эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов

и соответствующих им частот

Требуется,
используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная
совокупность

распределена нормально.

Для того,
чтобы при уровне значимости

проверить гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности, надо:

1.
Вычислить выборочную среднюю

и выборочное среднее квадратическое отклонение

, причем в качестве вариант

принимают среднее арифметическое концов
интервала:

2.
Пронормировать

, то есть перейти к
случайной величине

и
вычислить концы интервалов:

причем
наименьшее значение

, то есть

полагают равным

, а наибольшее, то есть

полагают равным

3. Вычислить теоретические
частоты:

где

– объем выборки

– вероятности попадания

в интервалы

– функция Лапласа.

4. Сравнить эмпирические и
теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а)
составляют расчетную таблицу (см. пример), по которой находят наблюдаемое
значение критерия

б) по
таблице критических точек распределения

, по заданному уровню
значимости

и числу степеней свободы

(

– число групп выборки) находят критическую
точку

правосторонней критической области.

Если

– нет оснований отвергнуть гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности. Если

— гипотезу отвергают.

Замечание.

Малочисленные частоты

следует объединить, в этом случае и
соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось
объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле

следует в качестве

принять число групп выборки, оставшихся после
объединения частот.

Примеры решения задач

Пример 1

Используя
критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, проверить, согласуется ли гипотеза
с нормальным распределением генеральной совокупности X с заданным эмпирическим
распределением:

x_i	-4.5	-3.5	-2.5	-1.5	-0.5	0.5	1.5	2.5	3.5	4.5
n_i	1	4	21	30	63	59	34	18	5	2

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Вычислим
характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу.

Выборочная средняя:

Средняя
квадратов:

Выборочная
дисперсия:

Среднее квадратическое
отклонение:

Вычислим
теоретические частоты.

Вероятность
попадания в соответствующий интервал:

Теоретические
частоты:

где

-объем выборки

Составим
расчетную таблицу:

Проверим
степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию
Пирсона. Объединяем малочисленные частоты (

Из
расчетной таблицы

Уровень
значимости

Число
степеней свободы

По
таблице критических точек распределения:

Нет
оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной
совокупности.

Пример 2

Из большой партии по схеме случайной
повторной выборки было проверено 150 изделий с целью определения процента
влажности древесины, из которой изготовлены эти изделия. Получены следующие
результаты:

Процент влажности, x_i	11-13	13-15	15-17	17-19	19-21
Число изделий, n_i	8	42	51	37	12

На уровне значимости 0,05 проверить
гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий χ² — Пирсона.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Составим расчетную таблицу

Средняя:

Средняя квадратов:

Дисперсия:

Исправленная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое
отклонение:

Вычислим теоретические частоты.

Составим расчетную таблицу:

Вероятность попадания в
соответствующий интервал:

, где

— функция Лапласа

Теоретические частоты:

, где

-объем выборки

Составим расчетную таблицу:

Проверим степень согласия
эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек
распределения:

Нет оснований отвергать гипотезу о
распределении случайной величины по нормальному закону.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Выборка X
объемом n=100 задана таблицей:

	0.8	1.1	1.4	1.7	2	2.3	2.6
	5	13	25	25	19	10	3

1) Построить
полигон относительных частот

2) Вычислить
среднее выборочное

, выборочную дисперсию

и среднее квадратическое отклонение

3) Вычислить
теоретические частоты

. Построить график

на одном рисунке с полигоном.

4) С помощью
критерия χ² проверить гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности при уровне значимости α=0.05.

Задача 2

Построить
нормальную кривую по опытным данным. Рассчитать теоретические (выравнивающие) частоты
и сравнить с опытным распределением.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 3

Выборка X
объемом N=100 измерений задана таблицей:

	0.6	1.5	2.4	3.3	4.2	5.1	6
	5	13	26	24	19	10	3

а)
Построить полигон относительных частот

б)
вычислить среднее выборочное

, выборочную дисперсию

и среднее квадратическое отклонение

;

в) по
критерию χ² проверить гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α=0.05.

Задача 4

Для
изучения количественного признака

из генеральной совокупности извлечена выборка

объема n, имеющая данное
статистическое распределение.

а)
Построить полигон частот по данному распределению выборки.

б) Найти
выборочное среднее

, выборочное среднее
квадратическое отклонение

и исправленное среднее квадратическое
отклонение

в) При
данном уровне значимости

проверить по критерию Пирсона гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности.

г) В
случае принятия гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
найти доверительные интервалы для математического ожидания

и среднего квадратического отклонения σ при
данном уровне надежности γ=1-α; α=0.05

	4	8	12	16	20	24	28	32
	5	9	15	19	20	16	10	6

Задача 5

Для выборки
объема N=100, представленной вариационным рядом

	-1	0	1	2	3	4	5
	3	8	11	19	37	17	5

построить
полигон относительных частот и гистограмму накопленных частот. Найти выборочное
среднее

и выборочное среднее квадратичное отклонение

. Определить доверительный интервал с
доверительной вероятностью β=0,95 для оценки математического ожидания
генеральной совокупности в предположении, что среднее квадратическое отклонение
генеральной совокупности σ равно исправленному выборочному среднему s. Проверить
гипотезу о нормальности закона распределения генеральной совокупности,
используя критерий Пирсона с уровнем значимости α=0,05.

Задача 6

Для случайной величины X составить интервальный
вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать
теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим
критерием Пирсона при α=0,05.

7	4	4	15	1	1	7	15	19	4
0	4	8	14	10	0	1	11	8	2
6	2	5	3	12	2	9	6	2	5
13	5	7	3	3	10	0	11	17	11
9	6	11	7	20	1	14	6	7	4

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 7

Данные о
продолжительности телефонных разговоров, отобранные по схеме
собственно-случайной бесповторной выборки, приведены в таблице:

Время, мин	1.5-2.5	2.5-3.5	3.5-4.5	4.5-5.5	5.5-6.5	6.5-7.5	7.5-8.5	8.5-9.5	9.5-10.5	Итого
Число разговоров	3	4	9	14	37	12	8	8	5	100

Используя χ²-критерий Пирсона при уровне
значимости α=0.05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X —
продолжительность телефонных разговоров — распределена по нормальному закону.
Построить на одном чертеже гистограмму и соответствующую нормальную кривую.

Задача 8

Распределение
случайной величины X – заработной платы сотрудников на фирме (в у.е.) –
задано в виде интервального ряда:

Найти:

. Построить теоретическое
нормальное распределение и сравнить его с эмпирическим с помощью критерия
согласия Пирсона χ² при α=0,05.

Задача 9

Записать для выборки интервальное
распределение, построить гистограмму относительных частот. По критерию Пирсона
проверить гипотезу нормальном распределении.

7.81	3.15	2.27	32.64	4.72	5.33	8.51	7.72	30.23	20.12
9.83	8.33	9.61	31.83	8.52	27.22	27.22	8.43	15.91	25.46
24.82	26.54	46.73	17.31	13.05	53.24	5.23	18.28	40.93	17.44
32.34	28.26	9.75	3.72	8.16	22.91	0.74	12.97	12.05	1.53
43.15	45.57	2.02	32.23	8.67	4.83	9.12	6.77	6.48	19.22
36.42	47.81	40.64	5.45	0.21	26.51	17.36	3.62	15.57	23.21
58.73	62.52	10.15	38.36	35.55	6.10	3.04	4.54	1.95	5.24
64.71	67.63	1.21	0.81	2.03	10.17	5.51	8.35	43.76	8.74
4.72	17.54	17.32	29.43	5.91	6.92	4.72	16.04	57.54	15.46
13.31	36.45	3.45	16.15	15.77	2.43	14.24	2.25	15.63	23.72

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 10

Результаты наблюдений над случайной
величиной

оказались
лежащими на отрезке

и были
сгруппированы в 10 равновеликих интервалов. Значения

и частоты
попадания в интервалы приведены в таблице. Построить: гистограмму частот,
эмпирическую функцию распределения, найти медиану. Найти выборочное среднее

и исправленное
среднеквадратическое отклонение

. Указать 95-процентные доверительные интервалы для

. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о
нормальном (с параметрами

) законе распределения (уровень значимости α=0.02

Задача 11

В таблице приведены результаты
измерения роста (см.) случайно отобранных 100 студентов:

Интервалы
роста

154-158

158-162

162-166

166-170

170-174

174-178

178-182

Число
студентов,

С помощью критерия Пирсона при
уровне значимости α=0.05 проверить правдоподобие гипотезы о нормальном
распределении роста студентов.

Задача 12

При массовых стрельбах из пушек для
одинаковых общих условий были зафиксированы продольные ошибки (м) попадания
снарядов в цель:

На уровне значимости 0,05 проверить
гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) L, используя критерий χ²— Пирсона.

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

7	4	4	15	1	1	7	15	19	4
0	4	8	14	10	0	1	11	8	2
6	2	5	3	12	2	9	6	2	5
13	5	7	3	3	10	0	11	17	11
9	6	11	7	20	1	14	6	7	4

7	4	4	15	1	1	7	15	19	4
0	4	8	14	10	0	1	11	8	2
6	2	5	3	12	2	9	6	2	5
13	5	7	3	3	10	0	11	17	11
9	6	11	7	20	1	14	6	7	4

Теоретические и эмпирические частоты. Критерии согласия.

Критерии согласия. Теоретические и эмпирические частоты

Эмпирические и выравнивающие частоты

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Краткая теория

Проверка дискретного распределения на нормальность

Проверка интервального распределения на нормальность

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Задачи контрольных и самостоятельных работ

7	4	4	15	1	1	7	15	19	4
0	4	8	14	10	0	1	11	8	2
6	2	5	3	12	2	9	6	2	5
13	5	7	3	3	10	0	11	17	11
9	6	11	7	20	1	14	6	7	4