Как найти энергию электростатического поля в конденсаторе - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Конденсатор. Энергия электрического поля

Темы кодификатора ЕГЭ: электрическая ёмкость, конденсатор, энергия электрического поля конденсатора.
Ёмкость уединённого проводника
Ёмкость плоского конденсатора
Энергия заряженного конденсатора
Энергия электрического поля

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: электрическая ёмкость, конденсатор, энергия электрического поля конденсатора.

Предыдущие две статьи были посвящены отдельному рассмотрению того, каким образом ведут себя в электрическом поле проводники и каким образом — диэлектрики. Сейчас нам понадобится объединить эти знания. Дело в том, что большое практическое значение имеет совместное использование проводников и диэлектриков в специальных устройствах — конденсаторах.

Но прежде введём понятие электрической ёмкости.

к оглавлению ▴

Ёмкость уединённого проводника

Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во внимание. В таком случае проводник называется уединённым.

Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение varphi , которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать 1/C , так что

$varphi = frac{displaystyle q}{displaystyle C vphantom{1^a}}.$

Величина называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда проводника к его потенциалу:

$C = frac{displaystyle q}{displaystyle varphi }.$ (1)

Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:

$varphi = frac{displaystyle kq}{displaystyle R vphantom{1^a}}=frac{displaystyle q}{displaystyle 4 pi varepsilon_0R vphantom{1^a}},$

где — заряд шара, — его радиус. Отсюда ёмкость шара:

(2)

Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , то его потенциал уменьшается в раз:

$varphi = frac{displaystyle q}{displaystyle 4 pi varepsilon_0 varepsilon R vphantom{1^a}}.$

Соответственно, ёмкость шара в раз увеличивается:

(3)

Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним при рассмотрении конденсаторов.

Из формул (2) и (3) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлектрической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и формой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник. От вещества проводника ёмкость также не зависит.

В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно, больший заряд требуется поместить для этого на проводник.

Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости (1) видно, что Ф = Кл/В.

Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус считаем приближённо равным 6400 км.

$C = 4 pi varepsilon_0 R approx 4 cdot 3,14 cdot 8,85 cdot 10^{-12} cdot 6400 cdot 10^3 approx 712$ мкФ.

Как видите, Ф — это очень большая ёмкость.

Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозначении размерности диэлектрической постоянной . В самом деле, выразим из формулы (2):

$varepsilon_0 = frac{displaystyle C} {displaystyle 4 pi R vphantom{1^a}}.$

Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м:

$varepsilon_0 = 8,85 cdot 10^{-12}$ Ф.

Так легче запомнить, не правда ли?

к оглавлению ▴

Ёмкость плоского конденсатора

Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях проводники не являются уединёнными. Заряженный проводник взаимодействует с окружающими телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принципу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника. В таком случае уже нельзя утверждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.

Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем снова говорить о ёмкости — но на сей раз о ёмкости этой системы проводников.

Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных размеров.

Для начала рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками находится воздух

Пусть заряды обкладок равны и . Именно так и бывает в реальных электрических схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина — заряд положительной обкладки — называется зарядом конденсатора.

Пусть — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем пространстве.

Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каждой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной плоскости:

$E_+ = E_-=frac{displaystyle sigma }{displaystyle 2 varepsilon_0 vphantom{1^a}}.$

Здесь E_+ — напряжённость поля положительной обкладки, E_- — напряженность поля отрицательной обкладки, sigma — поверхностная плотность зарядов на обкладке:

$sigma =frac{displaystyle q}{displaystyle S vphantom{1^a}}.$

На рис. 1 (слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх областях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.

Рис. 1. Электрическое поле плоского конденсатора

Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля vec{E} имеем:

$vec{E} = vec{E}_+ + vec{E}_-$

Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок погашают друг друга):

Внутри конденсатора поле удваивается:

$E = E_+ + E_-= frac{displaystyle sigma }{displaystyle varepsilon_0},$

или

$E = frac{displaystyle q}{displaystyle varepsilon_0 S vphantom{1^a}}.$ (4)

Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис. 1 справа. Итак:

Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость которого находится по формуле (4). Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что конденсатор не взаимодействует с окружающими телами.

Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто обкладки являются бесконечными плоскостями. На самом деле их размеры конечны, и вблизи краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного и проникает в наружное пространство конденсатора. Но в большинстве ситуаций (и уж тем более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так, словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.

Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно . Поскольку поле внутри конденсатора является однородным, разность потенциалов между обкладками равна произведению на (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):

$U=Ed=frac{displaystyle qd}{displaystyle varepsilon_0 S vphantom{1^a}}.$ (5)

Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна заряду конденсатора. Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о ёмкости. Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

$C=frac{displaystyle q}{displaystyle U vphantom{1^a}}.$ (6)

Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность потенциалов между его обкладками увеличилась на В. Формула (6), таким образом, является модификацией формулы (1) для случая системы двух проводников — конденсатора.

Из формул (6) и (5) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора:

$C=frac{displaystyle varepsilon_0 S}{displaystyle d vphantom{1^a}}.$ (7)

Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и расстояния между ними.
Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Как изменится ёмкость конденсатора?

Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в раз, так что вместо формулы (4) теперь имеем:

$E=frac{displaystyle q}{displaystyle varepsilon_0 varepsilon S vphantom{1^a}}.$ (8)

Соответственно, напряжение на конденсаторе:

$U=Ed=frac{displaystyle qd}{displaystyle varepsilon_0 varepsilon S vphantom{1^a}}.$ (9)

Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком:

$C=frac{displaystyle varepsilon_0 varepsilon S}{displaystyle d vphantom{1^a}}.$ (10)

Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор.

Важное следствие формулы (10): заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ёмкость.

к оглавлению ▴

Энергия заряженного конденсатора

Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится.

Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг к другу.

Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое понимание происхождения энергии заряженного конденсатора.

Начнём с плоского воздушного конденсатора. Ответим на такой вопрос: какова сила притяжения его обкладок друг к другу? Величины используем те же: заряд конденсатора , площадь обкладок .

Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд q_0 этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой

где E_1 — напряжённость поля первой обкладки:

$E_1=frac{displaystyle sigma }{displaystyle 2 varepsilon _0 vphantom{1^a}}=frac{displaystyle q}{displaystyle 2varepsilon_0 S vphantom{1^a}}.$

Следовательно,

$F_0=frac{displaystyle q_0q}{displaystyle 2 varepsilon_0 S vphantom{1^a}}.$

Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).

Результирующая сила притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил F_0 , с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды q_0 второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все q_0 и дадут . В результате получим:

$F=frac{displaystyle q^2}{displaystyle 2 varepsilon_0 S vphantom{1^a}}.$ (11)

Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины d_1 до конечной величины d_2 . Сила притяжения пластин совершает при этом работу:

Знак правильный: если пластины сближаются , то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины , то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.

С учётом формул (11) и (7) имеем:

$A=frac{displaystyle q^2}{displaystyle 2 varepsilon_0 S vphantom{1^a}}left ( d_1-d_2 right )=frac{displaystyle q^2d_1}{displaystyle 2varepsilon_0 S vphantom{1^a}}-frac{displaystyle q^2d_2}{displaystyle 2varepsilon_0 S vphantom{1^a}}=frac{displaystyle q^2}{displaystyle 2C_1 vphantom{1^a}}-frac{displaystyle q^2}{displaystyle 2C_2 vphantom{1^a}}=W_1-W_2,$

где
$W_1=frac{displaystyle q^2}{displaystyle 2C_1 vphantom{1^a}},$
$W_2=frac{displaystyle q^2}{displaystyle 2C_2 vphantom{1^a}}$

Это можно переписать следующим образом:

где

$W=frac{displaystyle q^2}{displaystyle 2C vphantom{1^a}}.$ (12)

Работа потенциальной силы притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины . Это как раз и означает, что — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора.

Используя соотношение q = CU , из формулы (12) можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!):

$W=frac{displaystyle qU}{displaystyle 2 vphantom{1^a}},$ (13)

$W=frac{displaystyle CU^2}{displaystyle 2 vphantom{1^a}}.$ (14)

Особенно полезными являются формулы (12) и (14).

Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Сила притяжения обкладок уменьшится в раз, и вместо (11) получим:

$F=frac{displaystyle q^2}{displaystyle 2 varepsilon_0 varepsilon S vphantom{1^a}}.$

При вычислении работы силы , как нетрудно видеть, величина войдёт в ёмкость , и формулы (12) — (14) останутся неизменными. Ёмкость конденсатора в них теперь будет выражаться по формуле (10).

Итак, формулы (12) — (14) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.

к оглавлению ▴

Энергия электрического поля

Мы обещали, что после вычисления энергии конденсатора дадим более глубокое истолкование происхождения этой энергии. Что ж, приступим.

Рассмотрим воздушный конденсатор и преобразуем формулу (14) для его энергии:

$W=frac{displaystyle CU^2}{displaystyle 2 vphantom{1^a}}=frac{displaystyle varepsilon_0 S}{displaystyle d vphantom{1^a}} cdot frac{displaystyle (Ed)^2}{displaystyle 2 vphantom{1^a}}=frac{displaystyle varepsilon_0 E^2}{displaystyle 2 vphantom{1^a}}Sd.$

Но Sd = V — объём конденсатора. Получаем:

$W=frac{displaystyle varepsilon_0 E^2}{displaystyle 2 vphantom{1^a}}V.$ (15)

Посмотрите внимательно на эту формулу. Она уже не содержит ничего, что являлось бы специфическим для конденсатора! Мы видим энергию электрического поля , сосредоточенного в некотором объёме .

Энергия конденсатора есть не что иное, как энергия заключённого внутри него электрического поля.

Итак, электрическое поле само по себе обладает энергией. Ничего удивительного для нас тут нет. Радиоволны, солнечный свет — это примеры распространения энергии, переносимой в пространстве электромагнитными волнами.

Величина — энергия единицы объёма поля — называется объёмной плотностью энергии. Из формулы (15) получим:

$omega =frac{displaystyle varepsilon_0 E^2}{displaystyle 2 vphantom{1^a}}.$ (16)

В этой формуле не осталось вообще никаких геометрических величин. Она даёт максимально чистую связь энергии электрического поля и его напряжённости.

Если конденсатор заполнен диэлектриком, то его ёмкость увеличивается в раз, и вместо формул (15) и (16) будем иметь:

$W =frac{displaystyle varepsilon_0 varepsilon E^2}{displaystyle 2 vphantom{1^a}}V.$ (17)

$omega =frac{displaystyle varepsilon_0 varepsilon E^2}{displaystyle 2 vphantom{1^a}}.$ (18)

Как видим, энергия электрического поля зависит ещё и от диэлектрической проницаемости среды, в которой поле находится.
Замечательно, что полученные формулы для энергии и плотности энергии выходят далеко за пределы электростатики: они справедливы не только для электростатического поля, но и для электрических полей, меняющихся во времени.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Конденсатор. Энергия электрического поля» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Энергия
заряженного конденсатораравна
работе внешних сил, которую необходимо
затратить, чтобы зарядить конденсатор.

Процесс
зарядки конденсатора можно представить
как последовательный перенос достаточно
малых порций заряда Δq > 0 с одной
обкладки на другую. При этом одна
обкладка постепенно заряжается
положительным зарядом, а другая –
отрицательным. Поскольку каждая порция
переносится в условиях, когда на
обкладках уже имеется некоторый заряд
q, а между ними существует некоторая
разность потенциалов
,
при переносе каждой порции Δq внешние
силы должны совершить работу

(С – емкость)

Энергия We
конденсатора емкости C, заряженного
зарядом Q, может быть найдена путем
интегрирования этого выражения в
пределах от 0 до Q:

Энергия
заряженного плоского конденсатора Eк
равна работе A, которая была затрачена
при его зарядке, или совершается при
его разрядке.

=Eк

Поскольку
напряжение на конденсаторе может быть
рассчитано из соотношения:

U=E*d,

где E- напряженность поля между обкладками
конденсатора,d- расстояние
между пластинами конденсатора, то
энергия заряженного конденсатора
равна:

где V- объем пространства между обкладками
конденсатора.

Энергия
заряженного конденсатора сосредоточена
в его электрическом поле.

Объемная
плотность энергии
электростатического поля (энергия
единицы объема)

18. Электрический ток. Сила и плотность тока.

Ток —
направленное движение электрически
заряженных частиц. Величина тока
измеряется так называемой силой тока,
которая в системе СИ измеряется в
амперах.

Токбывает постоянный и переменный.
Постоянный ток — это ток, имеющий
постоянную величину. Переменный ток
периодически изменяет направление
своего движения по синусоиде с
определенной частотой, измеряемой в
герцах (Гц). Переменный ток высокой
частоты вытесняется на поверхность
проводника

Материал,
в котором течёт ток, называется
проводником

Сила тока
в проводнике — скалярная величина,
численно равная заряду, протекающему
в единицу времени через сечение
проводника. Обозначается буквой :I

I=q/t

Плотность
тока — векторная величина, имеющая
смысл силы тока, протекающего через
единицу площади. Например, при равномерном
распределении плотности jтока по сечениюSпроводника
|j|=I/S

19.Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение.

Сторонние
силы —силы неэлектрической
природы, вызывающие перемещение
электрических зарядов внутри источника
постоянного тока.

Сторонними
считаются все силы отличные от кулоновских
сил.

Электродвижущая
сила

(эдс), физическая
величина, характеризующая действие
сторонних (непотенциальных) сил в
источниках постоянного или переменного
тока; в замкнутом проводящем контуре
равна работе этих сил по перемещению
единичного положительного заряда вдоль
контура.

ЭДС можно
выразить через напряжённость
электрического поля сторонних сил
(Eex). В замкнутом контуре (L) тогда ЭДС
будет равна:

где dl — элемент длины контура.

Напряжение
(разность потенциалов) между точками
A и B — это отношение работы электрического
поля при переносе пробного электрического
заряда из точки A в точку B к величине
пробного заряда.

Ф1-Ф2=U12

При этом
считается, что перенос пробного заряда
не изменяет распределения зарядов на
источниках поля.

Альтернативное
определение (для электростатического
поля) —

(интеграл от
проекции поля на траекторию между
точками AиBвдоль любой траектории, идущей изAвB)

Единицей
измерения напряжения в системе СИ
является Вольт.

Соседние файлы в предмете Физика

Источник

Печатать книгу

Сайт:	Профильное обучение
Курс:	Физика. 10 класс
Книга:	§ 24. Энергия электростатического поля конденсатора
Напечатано::	Гость
Дата:	Четверг, 25 Май 2023, 07:41

Процесс зарядки конденсатора можно представить как перенос заряда q с одной обкладки на другую, в результате чего одна из них приобретает заряд –q, а другая — +q. Работа, совершённая при этом внешней силой, равна энергии электростатического поля заряженного конденсатора.

Рис. 125

Убедиться в том, что заряженный конденсатор обладает энергией, можно на опыте. Соберём электрическую цепь, состоящую из источника тока, конденсатора и электрической лампы. Схема цепи представлена на рисунке 125. Зарядим конденсатор, подсоединив его к источнику тока. Затем, отключив конденсатор от источника тока, подсоединим его к лампе. При этом наблюдаем кратковременную вспышку света. В данном случае во время разрядки конденсатора энергия, запасённая им при зарядке, превращается во внутреннюю энергию спирали лампы, часть этой энергии расходуется на излучение света. При прохождении электрического тока по цепи с источником тока конденсатор заряжался, т. е. на его обкладках накапливались электрические заряды. При этом в окружающем конденсатор пространстве возникло электростатическое поле. Суммарный электрический заряд обеих обкладок конденсатора до его зарядки, во время зарядки и после разрядки конденсатора равен нулю. Единственное изменение, которое произошло при разрядке конденсатора, заключается в том, что исчезло электростатическое поле, которое создавалось зарядами обеих обкладок конденсатора. Следовательно, энергией обладало электростатическое поле, образованное зарядами обкладок заряженного конденсатора.

Рис. 125.1

Если форма и размеры обкладок конденсатора, а также расстояние между ними и диэлектрические свойства среды, заполняющей пространство между обкладками, остаются неизменными, то напряжение на конденсаторе прямо пропорционально модулю заряда его обкладок (рис. 125.1). Чтобы увеличить модуль заряда на обкладках от q_i до q_i + δq, внешней силе необходимо совершить работу по перемещению бесконечно малой положительной порции заряда δq с отрицательной обкладки на положительную. Этой работе на рисунке 125.1 соответствует площадь заштрихованного столбика. Полная же работа А_внеш по зарядке конденсатора до напряжения U равна сумме площадей всех аналогичных столбиков, т. е. площади фигуры под графиком зависимости U(q). В данном случае — площади треугольника, равной половине произведения его основания на высоту:

$A subscript внеш equals fraction numerator q U over denominator 2 end fraction.$

Приращение энергии электростатического поля заряженного конденсатора равно работе, совершённой внешней силой при его зарядке:

$increment W equals W minus 0 equals A subscript внеш equals fraction numerator q U over denominator 2 end fraction.$

Учитывая, что q = CU, формулу для определения энергии электростатического поля заряженного конденсатора можно записать в виде:

$W equals fraction numerator C U squared over denominator 2 end fraction$ , или $W equals fraction numerator q squared over denominator 2 C end fraction$ .

Энергию электростатического поля заряженного плоского конденсатора можно выразить через напряжённость поля, сосредоточенного между его обкладками (рис. 125.2). Электроёмкость плоского конденсатора $C equals fraction numerator εε subscript 0 S over denominator d end fraction$ , напряжение между обкладками U = Ed. Следовательно,

$W equals fraction numerator εε subscript 0 S U squared over denominator 2 d end fraction equals fraction numerator εε subscript 0 E squared over denominator 2 end fraction S d equals fraction numerator εε subscript 0 E squared over denominator 2 end fraction V comma$

где V = Sd — объём пространства между обкладками конденсатора.

От теории к практике

Как изменится энергия электростатического поля заряженного конденсатора при увеличении расстояния между его обкладками, если: а) конденсатор отключён от источника тока; б) конденсатор подключён к источнику тока?

Применение конденсаторов. Конденсаторы находят широкое применение в электротехнике, радиотехнической и телевизионной аппаратуре, радиолокационной технике, телефонии, технике счётно-решающих устройств, лазерной технике, электроэнергетике (например, для улучшения коэффициента мощности промышленных установок, регулирования напряжения в распределительных сетях, в устройствах освещения люминесцентными лампами), металлопромышленности (например, для плавки и термической обработки металлов), добывающей промышленности (например, в электровзрывных устройствах), медицинской технике (например, в рентгеновской аппаратуре, приборах электротерапии), фототехнике (для получения вспышки света при фотографировании).

В связи с этим наряду с миниатюрными конденсаторами (рис. 126, а), имеющими массу менее грамма и размеры порядка нескольких миллиметров, существуют конденсаторы с массой в несколько тонн (рис. 126, б).

Рис.

Рис. 126

1. Какие факты позволяют сделать вывод, что электростатическое поле обладает энергией?

2. Как можно убедиться в том, что заряженный конденсатор обладает энергией?

3. Как можно рассчитать энергию электростатического поля заряженного конденсатора?

4. Объясните, как, используя график зависимости напряжения между обкладками конденсатора от модуля заряда на них, можно вычислить работу при зарядке конденсатора.

Примеры решения задач

Пример 1. Определите, как и во сколько раз изменится энергия электростатического поля заряженного плоского воздушного конденсатора, если пространство между его обкладками заполнить керосином, диэлектрическая проницаемость которого ε₂ = 2. Рассмотрите случаи: а) конденсатор отключён от источника тока; б) конденсатор подключён к источнику тока.

Дано:
ε₁ = 1
ε₂ = 2

— ?

Решение: Электроёмкость воздушного конденсатора $C subscript 1 equals fraction numerator straight epsilon subscript 1 straight epsilon subscript 0 S over denominator d end fraction equals fraction numerator straight epsilon subscript 0 S over denominator d end fraction$ . Электроёмкость этого конденсатора после заполнения пространства между обкладками керосином $C subscript 2 equals fraction numerator straight epsilon subscript 2 straight epsilon subscript 0 S over denominator d end fraction$ . Следовательно, .

В случае а) конденсатор отключён от источника тока, поэтому q₂ = q₁. Тогда, если энергия электростатического поля воздушного конденсатора $W subscript 1 equals fraction numerator q squared over denominator 2 C subscript 1 end fraction$ , то энергия электростатического поля этого конденсатора, заполненного керосином:

$W subscript 2 equals fraction numerator q squared over denominator 2 C subscript 2 end fraction equals fraction numerator q squared over denominator 2 straight epsilon subscript 2 C subscript 1 end fraction equals W subscript 1 over epsilon subscript 2.$

Таким образом, энергия электростатического поля уменьшилась в 2 раза.

В случае б) конденсатор не отключён от источника тока, поэтому напряжение между его обкладками равно напряжению между полюсами источника тока U₂ = U₁ = U. Тогда, если энергия электростатического поля воздушного конденсатора $W subscript 1 equals fraction numerator C subscript 1 U squared over denominator 2 end fraction$ , то энергия электростатического поля этого конденсатора, заполненного керосином:

$W subscript 2 equals fraction numerator C subscript 2 U squared over denominator 2 end fraction equals fraction numerator straight epsilon subscript 2 C subscript 1 U squared over denominator 2 end fraction equals straight epsilon subscript 2 W subscript 1.$

Таким образом, энергия электростатического поля увеличилась в 2 раза.

Ответ: а) энергия электростатического поля уменьшилась в 2 раза; б) энергия электростатического поля увеличилась в 2 раза.

Пример 2. Плоский воздушный конденсатор, площадь перекрытия обкладок которого S = 100 см², поместили в керосин с диэлектрической проницаемостью ε = 2,0 и подключили к источнику тока с напряжением на полюсах U = 120 В. Определите минимальную работу, которую необходимо совершить внешней силе, чтобы после отключения конденсатора от источника тока медленно увеличить расстояние между его обкладками от d₁ = 1,0 см до d₂ = 2,0 см.

Дано:
S = 100 см² = 1,00 · 10^–2 м²
ε = 2,0
U = 120 В
d₁ = 1,0 см = 1,0 · 10^–2 м
d₂ = 2,0 см = 2,0 · 10^–2 м

— ?

Решение: Модуль заряда каждой из обкладок конденсатора

$q equals C subscript 1 U equals fraction numerator εε subscript 0 S U over denominator d subscript 1 end fraction.$

Энергия электростатического поля конденсатора до изменения расстояния между его обкладками

$W subscript 1 equals fraction numerator q U over denominator 2 end fraction equals fraction numerator εε subscript 0 S U squared over denominator 2 d subscript 1 end fraction.$

После отключения конденсатора от источника тока заряды на его обкладках не изменяются.

Энергию электростатического поля конденсатора после увеличения расстояния между его пластинами определим следующим образом:

$W subscript 2 equals fraction numerator q squared over denominator 2 C subscript 2 end fraction equals fraction numerator open parentheses εε subscript 0 S U close parentheses squared d subscript 2 over denominator 2 d subscript 1 squared εε subscript 0 S end fraction equals fraction numerator εε subscript 0 S U squared d subscript 2 over denominator 2 d subscript 1 squared end fraction.$

Минимальная работа, которую необходимо совершить внешней силе, чтобы увеличить расстояние между обкладками конденсатора, равна приращению энергии электростатического поля конденсатора, так как при медленном увеличении расстояния между обкладками конденсатора их кинетическая энергия остаётся близкой нулю.

$A subscript внеш superscript min equals W subscript 2 minus W subscript 1 equals fraction numerator εε subscript 0 S U squared d subscript 2 over denominator 2 d subscript 1 squared end fraction minus fraction numerator εε subscript 0 S U squared over denominator 2 d subscript 1 end fraction equals fraction numerator εε subscript 0 S U squared over denominator 2 d subscript 1 end fraction open parentheses d subscript 2 over d subscript 1 minus 1 close parentheses.$

$A subscript внеш superscript min equals fraction numerator 2 comma 0 times 8 comma 85 times 10 to the power of negative 12 end exponent space begin display style fraction numerator Кл squared over denominator straight Н times straight м squared end fraction end style times 1 comma 00 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м squared times 120 squared space straight В squared over denominator 2 times 1 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м end fraction times open parentheses fraction numerator 2 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м over denominator 1 comma 0 times 10 to the power of negative 2 end exponent space straight м end fraction minus 1 close parentheses equals 1 comma 3 times 10 to the power of negative 7 end exponent space Дж equals 0 comma 13 space мкДж.$

Ответ: .

Упражнение 18

1. Определите энергию электростатического поля конденсатора электроёмкостью C = 0,20 мкФ, если напряжение на нём U = 200 В.

2. Модуль напряжённости однородного электростатического поля между обкладками плоского воздушного конденсатора . Определите расстояние между обкладками, если площадь их перекрытия S = 100 см², а энергия электростатического поля конденсатора W = 35,4 мкДж.

3. Энергия электростатического поля заряженного плоского конденсатора W₁ = 5 мкДж, если между его обкладками находится керосин, диэлектрическая проницаемость которого ε₁ = 2. Определите энергию поля этого конденсатора, если пространство между его обкладками будет заполнено маслом, диэлектрическая проницаемость которого ε₂ = 2,5.

4. Плоский конденсатор, площадь перекрытия обкладок которого S = 40 см², а расстояние между ними d = 8,0 мм, заполнен трансформаторным маслом с диэлектрической проницаемостью ε = 2,5. Определите энергию и модуль напряжённости электростатического поля конденсатора, если напряжение на нём U = 200 В.

5. Плоский конденсатор подключили к источнику тока и зарядили до напряжения U₁ = 220 В. Отключив конденсатор от источника тока, увеличили расстояние между его обкладками от d₁ = 1,0 см до d₂ = 3,0 см. Определите модуль напряжённости электростатического поля и напряжение между обкладками конденсатора после того, как их раздвинули.

6. Плоский воздушный конденсатор подключён к источнику тока. Как изменятся электроёмкость, напряжение и потенциальная энергия взаимодействия зарядов на обкладках конденсатора, если увеличить расстояние между его обкладками? К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго.

Физическая величина

Изменение величины

А. Электроёмкость

Б. Напряжение

В. Потенциальная энергия

1. Увеличится

2. Уменьшится

3. Не изменится

7. К конденсатору электроёмкостью С₁ = 0,10 мкФ, напряжение между обкладками которого U = 1,6 · 10² В, параллельно подключили первоначально незаряженный конденсатор электроёмкостью С₂ = С₁ = 0,10 мкФ. Определите энергию батареи после соединения конденсаторов.

Источник

Определите энергию электростатического поля конденсатора

Задача. Определите энергию электростатического поля конденсатора электроёмкостью мкФ, если напряжение на нём displaystyle U=100 В.

Дано:

displaystyle C=0,30 мкФ
displaystyle U=100 В

Найти:
displaystyle W — ?

Решение

Думаем: энергию электростатического поля конденсатора при заданных условиях легче представить через (1).

$displaystyle W=frac{C{{U}^{2}}}{2}$ (1)

Считаем: решать нечего, по-этому считаем, учитывая единицы СИ.

$displaystyle W=frac{0,30*{{10}^{-6}}*{{100}^{2}}}{2}=1,5*{{10}^{-3}}$ Дж

Ответ: $displaystyle W=1,5*{{10}^{-3}}$ Дж.

Ещё задачи на тему «Плоский конденсатор. Электроёмкость»

Источник

На прошлых уроках мы с вами вспоминали о том, что вещества, в
которых имеется значительное число свободных носителей зарядов, называются
проводниками. Проводники и системы, состоящие из нескольких проводников,
обладают одним очень важным свойством: они способны накапливать электрический
заряд, а, значит, и энергию, которая может быть использована в дальнейшем.

Ещё в девятом классе мы с вами говорили о том, что система,
состоящая из двух или более проводников и способная накапливать и отдавать
электрические заряды называется конденсатором.

А способность конденсатора накапливать электрические
заряды характеризуется скалярной физической величиной, называемой электрической
ёмкостью. Она равна отношению заряда конденсатора к разности потенциалов (или напряжению)
между его обкладками:

Простейший конденсатор представляет собой два проводника,
называемые обкладками, разделённые слоем диэлектрика, толщина которого мала по
сравнению с размерами проводников.

Если обкладки конденсатора подсоединить к полюсам источника
тока, то на его обкладках накопятся противоположные по знаку электрические
заряды, модули которых равны. При этом внешние силы совершат работу по переносу
заряда с одной обкладки конденсатора на другую. Эта работа равна энергии
электростатического поля заряженного конденсатора.

Убедиться в том, что заряженный конденсатор обладает энергией
достаточно просто. Достаточно соединить заряженный конденсатор с простой
лампочкой. При этом мы наблюдаем кратковременную вспышку света.

В данном случае во время разрядки конденсатора его энергия
превращается во внутреннюю энергию спирали лампы, часть этой энергии
расходуется на излучение света.

При прохождении электрического тока по цепи́ конденсатор
заряжался. При этом в окружающем конденсатор пространстве возникло
электростатическое поле.

Суммарный электрический заряд обеих обкладок конденсатора до
зарядки, во время зарядки и после разрядки равен нулю. Единственное изменение,
которое произошло при разрядке конденсатора, заключается в том, что исчезло электростатическое
поле. Следовательно, энергией обладало именно электростатическое поле,
образованное зарядами на обкладках заряженного конденсатора.

Давайте рассчитаем энергию заряженного конденсатора, заряд
которого равен q, ёмкость — С, а
напряжение между обкладками — U.

Чтобы увеличить модуль заряда на обкладках внешней силе
необходимо совершить работу по перемещению бесконечно малой положительной
порции заряда с отрицательной обкладки на положительную. Этой работе на рисунке
соответствует площадь заштрихованного столбика.

Полная же работа по зарядке конденсатора равна сумме площадей
всех аналогичных столбиков, то есть площади фигуры под графиком зависимости напряжения
конденсатора от его заряда. В данном случае — это площадь треугольника. А, как
мы знаем из математики, площадь треугольника равна половине произведения его
основания на высоту:

Приращение же энергии электростатического поля заряженного
конденсатора равно работе, совершённой внешней силой при его зарядке:

Учитывая, что ,
получим ещё две формулы для определения энергии электростатического поля
заряженного конденсатора:

Когда мы с вами знакомились с теорией близкодействия, то
говорили о том, что вся энергия взаимодействия заряженных тел сосредоточена в их
электрическом поле. Следовательно, энергия может быть выражена через основную
характеристику поля — напряжённость. Как мы знаем, напряжённость электростатического
поля прямо пропорциональна разности потенциалов. Тогда энергия поля
конденсатора прямо пропорциональна квадрату напряжённости электростатического
поля внутри его:

И давайте ещё получим формулу для определения энергии электростатического
поля плоского конденсатора. Для этого вспомним, что ёмкость такого конденсатора
зависит от площади пластин, расстояния между ними и свойств внесённого
диэлектрика:

Подставим это выражение в предыдущую формулу:

Обратите внимание вот на этот множитель — это есть не что
иное, как объём пространства между обкладками конденсатора. Тогда получается,
что энергия однородного электростатического поля плоского конденсатора пропорциональна
объёму, занимаемому полем:

Для закрепления материала, решим с вами такую задачу. Плоский
воздушный конденсатор, состоящий из двух обкладок площадью 150 см²
каждая, поместили в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 2,2 и
подключили к источнику тока, напряжение на полюсах которого равно 160 В.
Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы после отключения
конденсатора от источника увеличить расстояние между его обкладками от 1,5 см
до 2,0 см.

В заключении урока отметим, что в настоящее время
конденсаторы находят широкое применение в электротехнике, радиотехнической и
телевизионной аппаратуре, радиолокационной технике и телефонии. Применяются конденсаторы
и в электроэнергетике, например, для улучшения коэффициента мощности
промышленных установок, регулирования напряжения в распределительных сетях и
так далее. В металлопромышленности их используют для плавки и термической
обработки металлов. В добывающей промышленности — в электровзрывных устройствах.
В медицинской технике — в рентгеновской аппаратуре, приборах электротерапии. Используют
конденсаторы и в фототехнике для получения вспышки света при фотографировании.

Конденсаторы так же используют в схемах кодирования некоторых
клавиатур компьютера. Под каждой клавишей такой клавиатуры находится
конденсатор, электроёмкость которого изменяется при нажатии на клавишу.
Микросхема, подключённая к каждой клавише, при изменении электроёмкости выдаёт
кодированный сигнал, соответствующий данной букве.

В связи с этим наряду с миниатюрными конденсаторами, имеющими
массу менее грамма и размеры порядка нескольких миллиметров, существуют промышленные
конденсаторы с массой в несколько тонн.

Источник

Конденсатор. Энергия электрического поля

Темы кодификатора ЕГЭ: электрическая ёмкость, конденсатор, энергия электрического поля конденсатора.

Ёмкость уединённого проводника

Ёмкость плоского конденсатора

Энергия заряженного конденсатора

Энергия электрического поля

18. Электрический ток. Сила и плотность тока.

19.Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение.

Оглавление