Как найти энергию магнитного поля создаваемого катушкой

Магнитное поле, связанное с электрическим током, характеризуется определенной энергией.

Если через проводник или катушку проходит ток, то часть электроэнергии расходуется на преодоление сопротивления проводника и превращается в тепло, а часть образует магнитное поле, в котором накапливается некоторая часть энергии, превращается в потенциальную энергию.

Определение магнитной энергии

Магнитная энергия и электростатическая потенциальная энергия связаны уравнениями Максвелла. Потенциальная энергия магнитного момента mm в магнитном поле BB определяется как механическая работа магнитной силы (фактически магнитного момента) на повторное выравнивание вектора магнитного дипольного момента и равна:

E=−m⋅BE = — m cdot B

в то время как энергия, запасенная в катушке индуктивности (с индуктивностью LL) при прохождении через нее тока II, определяется как:

E=1/2LI2E = 1/2 LI^2

Это выражение лежит в основе сверхпроводящего накопления магнитной энергии.

Энергия также хранится в магнитном поле. Энергия на единицу объема в области пространства проницаемости μ0μ0, содержащей магнитное поле BB, равна:

U=B2/2μ0U = B^2/2μ_0

В более широком смысле, если мы предположим, что среда является парамагнитной или диамагнитной и существует линейное определяющее уравнение, связывающее BB, то можно показать, что магнитное поле хранит энергию

E=12∫HBdV,E=frac{1}{2}int{HBdV},

где интеграл оценивается по всей области, где существует магнитное поле.

Аналогично энергию магнитного поля тока можно определить также через работу тока против ЭДС самоиндукции, которая выполняется при замыкании цепи.

Сравнивая выражение энергии магнитного поля через индукцию и силу тока с формулой для определения кинетической энергии, делаем вывод, что индуктивность в электромагнитных явлениях играет такую же роль, как масса в механических явлениях, и является мерой инертности электрической цепи.

Энергия магнитного поля соленоида

Определим энергию магнитного поля соленоида, индуктивность которого LL:

L=μμ0n02VL=mu {{mu }_{0}}n_{0}^{2}V

Wm=12μμ0n02I2V{{W}_{m}}=frac{1}{2}mu {{mu }_{0}}n_{0}^{2}{{I}^{2}}V.

Индукция магнитного поля внутри соленоида:

B=μμ0n0IB=mu {{mu }_{0}}{{n}_{0}}I

откуда

I=Bμμ0n0I=frac{B}{mu {{mu }_{0}}{{n}_{0}}}

Из данных формул получаем

Wm=12B2Vμμ0,{{W}_{m}}=frac{1}{2}frac{{{B}^{2}}V}{mu {{mu }_{0}}},

где VV –объем соленоида.

Поскольку поле соленоида однородно и почти полностью локализовано в его объеме, можно определить плотность энергии магнитного поля, то есть энергию, рассчитанную на единицу объема поля:

wm=WmV=12B2μμ0=BH2=μμ0H22{{w}_{m}}=frac{{{W}_{m}}}{V}=frac{1}{2}frac{{{B}^{2}}}{mu {{mu }_{0}}}=frac{BH}{2}=frac{mu {{mu }_{0}}{{H}^{2}}}{2}

Плотность энергии магнитного поля как характеристику поля относят к любой точке поля, в которых заданы векторы BB или HH.

Зная энергию магнитного поля, можно по теории относительности найти подходящую массу поля:

m=Wmc2m=frac{{{W}_{m}}}{{{c}^{2}}}

Итак, как электрическое, так и магнитное поля имеют не только энергию, но и массу. Эти поля так же материальны, как и вещества.

Тест по теме «Энергия магнитного поля»

Подробности

Обновлено 03.07.2018 17:41

Просмотров: 1453

Задачи по физике — это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Задача 2

В катушке из 150 витков течет ток 7,5 А, и при этом создается магнитный поток 20 мВб.
Какова индуктивность катушки?

Задача 3

Через соленоид, индуктивность которого 0,4 мГн и площадь поперечного сечения 10 см², проходит ток 0,5 А.
Какова индукция поля внутри  соленоида, если он содержит 100 витков?

Задача 4

Определить индуктивность контура с током 1,2 А, если контур ограничивает  площадь 20 см², а магнитная индукция поля равна 0,8 Тл, причем вектор магнитной индукции направлен под углом  30^o к плоскости контура.

Задача 6

Определить энергию магнитного поля катушки, если ее индуктивность 0,2 Гн, а ток в ней 12 А.

Задача 7

Какой должна быть сила тока в катушке с индуктивностью 0,5 Гн, чтобы энергия магнитного поля оказалась равной 1 Дж?

Задача 8

Найти энергию магнитного поля соленоида, индуктивность которого 0,02 Гн, а магнитный поток через него составляет 0,4 Вб.

Содержание:

• Расчет индуктивности
• Определение энергии магнитного поля катушки индуктивности

Самоиндукция возникает за счёт взаимосвязи переменных электрического и магнитного полей. Если по контуру идёт переменный ток, то он создаёт переменное магнитное поле. Оно в свою очередь обуславливает изменение потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром. Изменяющийся поток, согласно закону электромагнитной индукции вызывает появление ЭДС (электродвижущей силы)

При этом, магнитный поток контура Φ находится в прямой зависимости от величины тока. Выполняется соотношение: Φ=LI.

Расчет индуктивности

ЭДС самоиндукции имеет зависимость не только от скорости приращения или убывания магнитного потока, но и от того как быстро происходит изменение тока, протекающего в проводящем контуре.

В случае подключения катушки, созданное ею магнитное поле играет роль накопителя энергии. Проверить это утверждение не трудно, достаточно включить в схему параллельно катушке лампу. При отключении схемы от питания, лампа ненадолго зажжётся — это убывающее магнитное поле создало ЭДС, сгенерировало непродолжительный электрический ток.

В целом же энергия запасаемая катушкой и вовсе никуда не исчезает. Согласно закону сохранения энергии она превращается во внутреннюю энергию, вызывая нагрев. Пусть R сопротивление системы, а Δt время передачи тепловой энергии, тогда верно следующее выражение:

$triangle Q = I^{2}Rtriangle t$

Для электротока:

$I=frac{delta_L}{R} = — frac{L}{R}frac{triangle I}{ triangle t}$

Изменение тепла $ triangle Q $:

$triangle Q = − L ⋅ I ⋅ triangle I = − Φ ( I ) triangle I $

Очевидно, что изменение тока $ triangle I < 0 $;

При передаче энергии происходит уменьшение электротока от $I_0$ до нулевого значения. Интегрируя по электротоку получим выражение для тепловой энергии, которая выделится при отключении катушки от питания:

$ Q = frac {L I_0^2}{2} $

Определение энергии магнитного поля катушки индуктивности

Зависимость магнитного потока Φ от электротока I, то получим прямую, направленную под углом из центра координат. Попробуем с помощью такого графика определить энергию магнитного поля. Здесь вся, выделившаяся в виде тепла, энергия будет представлена в виде площади прямоугольного треугольника, катетами которого станут значения потока и элетротока. Тогда используя выражение

Φ=LI

получим для энергии $ W_м $ магнитного поля катушки, имеющей индуктивность L, проходящий ток I, следующее выражение:

$ W_м = frac {Φ I} {2} = frac {L I^2}{2} = frac {Φ^2} (2 L) $

Применим здесь выведенное в первом примере выражение и получим формулу:

$ W_м = frac {μ_0 μ n^2 I^2}{2} V = frac {B^2} {2 μ_0 μ} V $, где

$ L_μ $ — самоиндукция;

В — индукция магнитного поля;

I — величина силы тока;

V — объем соленоида.

Формула наглядно показывает характер распределения энергии магнитного поля. Он не сосредоточена в витках или в сердечнике — она равномерно распределена по всему объёму соленоида.

Энергия магнитного поля

Магнитное
поле, подобно электрическому, является
носителем энергии. Естественно
предположить, что энергия магнитного
поля равна работе, которая затрачивается
источником тока на создание этого поля.

Рассмотрим
цепь, содержащую катушку индуктивностью
L
и сопротивлением R_к,
источник тока ε
с внутренним сопротивлением r
(рис. 125). Полное сопротивление цепи

R
= R_к
+ r.

При
замыкании цепи энергия источника тока
расходуется на преодоление омического
сопротивления и преодоление ЭДС
самоиндукции ε_с,
равной

ε_с
= —

Здесь
i
– мгновенное значение силы тока, который
при включении изменяется от 0 до I.
Очевидно, что

или
ε
= iR – ε_c
= iR +
.

Умножим
обе части равенства на idt

εidt
= i²Rdt
+Lidi.

Здесь
εidt
– работа, совершаемая источником тока
за время dt;
Lidi
– энергия, расходуемая на создание
магнитного поля катушки, обладающей
индуктивностью L,
dW
= Lidi;
i²Rdt
– энергия, расходуемая на нагревание
проводника.

Полная
энергия магнитного поля W,
запасенная в катушке при нарастании
тока от 0 до I
будет

;

Если
потокосцепление катушки Ψ = LI,
то энергия магнитного поля будет

.

Выразим
энергию магнитного поля через его
характеристики В и Н.

Потокосцепление
Ψ = NBS;
напряженность поле в катушке Н = nI
=
,
откуда
.
Тогда,

где
V
=Sl
–объем катушки, в котором сосредоточено
практически все магнитное поле, энергия
которая равна
.

Учитывая,
что B
= μ μ₀H,
получим

.

Объемная
плотность энергии магнитного поля —
отношение энергии поля к объему ==.

Единица
измерения Дж/ м³.

Магнитное поле в веществе.

Все
вещества в той или иной мере обладают
магнитными свойствами. Поэтому все
вещества можно назвать магнетиками,
т.е. веществами, способными приобретать
во внешнем магнитном поле магнитные
свойства, иначе говоря, намагничиваться
и созда­вать собственное магнитное
поле. Магнитные свойства вещества
определяются магнитными свойствами
электронов и атомов веще­ства.

Движение электрона
в атоме по орбите радиуса r
эквива­лентно некоторому замкнутому
контуру с током. Магнитный момент ρ_m
контура с током равен ρ_m
= IS.
Площадь кон­тура S
= πr²,
а ток в нем I
= e
ν, где е – заряд электрона, ν – час­тота
вращения электрона. Тогда ρ_m
= IS
= eνπr²
. Если учесть, что скорость v
вращения электрона v
= 2 πrν,
а

Величина
ρ_m
называется орбитальным
магнитным моментом электрона.

Электрон, движущийся
по орбите, обладает орбитальным
механическим моментом импульса L
= mvr.
Отношение орбиталь­ного магнитного
ρ_m
и механического L
моментов

называют
гиромагнитным
отношением

Знак минус означает,
что вектора ρ_m
и L

противоположны
по направлению (рис. 126).

Кроме орбитального
электрон обладает собственными магнитным
моментом ρ_ms
и механическим L_s
моментами, для которых гиро­магнитное
отношение равно
.
Собственный механический мо­мент
электрона называют спином.
Спин и связанный с ним собст­венный
(спиновый) магнитный момент являются
такими же неотъ­емлемыми свойствами
электрона как его масса и заряд.

Магнитный момент
атома слагается из орбитальных и
соб­ственных моментов входящих в его
состав электронов (а также ядра). При
наложении внешнего магнитного поля
напряженностью Н
происходит определенная ориентация
атомов и молекул веще­ства, что приводит
к упорядоченному направлению векторов
ρ_mi
отдельных атомов и молекул магнетика,
в результате чего объем ΔV
магнетика приобретает определенный
суммарный магнитный момент, который
характеризуется вектором намагничивания
J

,

где n
–число атомов (молекул) в объеме ΔV.
Единица измерения J
[А/м ].

Число ориентированных
молекул и степень их ориентации
относи­тельно поля будут пропорциональны
Н, т.е. J
= χH,
где χ – магнит­ная восприимчивость
магнетика.

Магнитное
поле в веществе создается двумя типами
токов – макротоками и микротоками.
Макротоки – это токи проводимости,
образующиеся вследствие движения
свободных зарядов. Микро­токи – это
токи, обусловленные движением электронов
в атомах, молекулах или ионах. При
внесении магнетика во внешнее магнитное
поле с ин­дукцией В₀
он намагничивается и создает собственное
магнитное поле с индукцией В‘.
Индукция В
результирующего поля после на­ложения
внешнего и собственного полей будет
равна В
= В₀
+ В‘.
В зависимости от значения магнитной
проницаемости μ все вещества разделяют
на 3 группы: диамагнетики, парамагнетики
и ферромагнетики.

Диамагнетики
– это вещества, у которых μ < 1 и χ <
0. При наложении внешнего поля в них
возникает собственное поле, на­правленное
навстречу основному, т.е. векторы В₀
и В‘
имеют про­тивоположное направление.
У диамагнетиков атомы вещества не
обладают магнитным моментом (векторная
сумма орбитальных и спиновых магнитных
моментов электронов в атоме равна нулю).
Однако при наложении на них внешнего
магнитного поля в них на­водится
некоторый магнитный момент, направленный
навстречу внешнему полю, что и приводит
к ослаблению внешнего магнит­ного
поля в объеме диамагнетика.

Парамагнетики
– это вещества, у которых суммарный
маг­нитный момент атомов (векторная
сумма орбитальных и спиновых магнитных
моментов электронов в атоме) отличен
от нуля. В таком веществе внешнее
магнитное поле не только индуцирует
магнит­ный момент, но и ориентирует
магнитные моменты атомов по на­правлению
поля несмотря на то, что тепловое движение
стремится разбросать их равномерно по
всем направлениям. Возникающий вследствии
ориентации атомов положительный
магнитный момент оказывается значительно
больше, чем отрицательный момент
(ин­дуцируемый вследствие прецессии
электронов как у диамагнети­ков).
Поэтому результирующий магнитный момент
оказывается по­ложительным, вещество
ведет себя как парамагнетик, у которого
μ > 1 и χ > 0.

Индукция
В результирующего поля в парамагнетике
будет выше, чем индукция внешнего поля
В₀.
В = В₀
+ В’.

Намагничивание
магнетика характеризуется вектором
на­магничивания J,
который имеет такую же размерность
[А/м], что и напряженность Н. Поэтому для
описания магнитного поля в магне­тиках
часто пользуются выражением

Вектор намагничивания
равен нулю в вакууме, а в веществе он
пропорционален Н.
J
= χH
и
откуда

Безразмерная
величина μ=1+χ называется относительной
маг­нитной проницаемостью среды. Так
как χ может быть положитель­ной и
отрицательной, то μ может быть меньше
единицы (у диамаг­нетиков) и больше
единицы (у парамагнетиков).

Ферромагнетики
– это особый класс веществ, намагничи­вание
которых во много раз (до 10⁶)
превышает намагничивание диа-и
парамагнетиков. К ним относятся Fe,
Co,
Gd
и др., а также их сплавы и соединения.
Ферромагнитные свойства присущи только
кристаллам и объясняются их доменной
структурой.
В кристаллах возникают области,
спонтанного (самопроизвольного)
намагничивания – до­мены. В пределах
домена ферромагнетик спонтанно намагничен
до насыщения и обладает определенным
магнитным моментом. На­правление этих
моментов у различных доменов ориентированы
произвольно, так что в отсутствие
внешнего магнитного моля сум­марный
магнитный момент всего тела равен нулю.
При наложении внешнего магнитного поля
(В₀)
магнитные моменты доменов ори­ентируются
по направлению внешнего магнитного
поля, создавая собственное магнитное
поле, индукция которого В’ на много
больше В₀,
а индук­ция суммарного поля В будет
равна В=В’+В₀≃В’.

Для каждого
ферромагнетика имеется определенная
температура Т_с,
называемая точкой Кюри, при значениях
выше которой области спонтанного
намагничивания (домены) распадаются, а
вещество утрачивает ферромагнитные
свойства. При температуре Т > Т_с
ферромагнетик становится обычным
парамагнетиком, магнитная восприимчивость
которого χ подчиняется закону Кюри-Вейса

,

где с – постоянная
Кюри.

Намагничивание J
слабомагнитных диа-и парамагнетиков
линейно зависит от напряженности Н
внешнего поля. На рис. 127 показана
зависимость J(H)
для случая, когда J(0)
= 0.

Намагничение
достигает насыщения при некотором
значении Н_нас
для данного
магнетика.

У ферромагнетиков
сложная зависимость J(H)
объясняется особенностью их доменной
структуры. По мере нарастания напряженности
внешнего магнитного поля увеличивается
степень ориентации внешних моментов
по направлению внешнего поля. При
достижении Н = Н_нас
векторы магнитных моментов всех доменов
ориентированы параллельно полю и
намагничение дости­гает насыщения.
Для ферромагнетиков характерно наличие
гисте­резиса. Увеличивая напряженность
Н внешнего поля от Н = 0, можно довести
намагничение до насыщения (точка 1 на
рис. 128) при Н = Н_нас.

Если затем уменьшать
напряженность Н, то намагничение будет
изменяться по кривой 1-2 (а не по кривой
0-1 как при увеличении Н). В результате,
когда напряженность внешнего поля Н
станет равной нулю (точка 2), намагничение
не исчезает и характеризуется величиной
В_r,
которая называется остаточной индукцией.
При этом намагничение имеет значение
J_r
и называется остаточным намагничением.
Намагничение обращается в нуль (точка
3) лишь под действием поля Н_с,
имеющего направление противоположное
вызвавшему намагниче­ние. Напряженность
Н_с
называется коэрцетивной силой.
Существо­вание остаточного намагничения
дает возможность изготовления постоянных
магнитов.

Соседние файлы в папке Физика

• #
• #
• #
• #
• #
• #