Как найти энергию системы зарядов расположенных - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

19. Энергия системы зарядов

Энергия системы зарядов. Силы электростатического взаимодействия
являются консервативными силами. Поэтому система взаимодействующих зарядов
обладает потенциальной энергией. Рассмотрим энергию системы. состоящей из двух
точечных зарядов и , находящихся на
расстоянии r друг от друга. Энергия первого заряда, находящегося в поле второго
заряда равна , энергия второго заряда, находящегося в поле
первого заряда равна. Выражая потенциалы на местах
расположения зарядов

и подставляя в выражения для энергии,
получим

Отсюда

Если в системе содержится зарядов,
то их энергия взаимодействия примет вид

,
(18)

где потенциал, создаваемый в точке
расположения заряда всеми зарядами, кроме самого -того
заряда.

Энергия заряженного
уединенного проводника.
Пусть уединенный проводник имеет заряд , потенциал и
электроемкость С. Увеличим заряд
проводника на . Для этого нужно совершить работу по
переносу этого заряда на проводник из бесконечности

Чтобы зарядить проводник от потенциала 0
до потенциала нужно затратить работу

Эта работа равна той энергии, которой
будет обладать заряженный проводник.

.
(19)

Энергия заряженного
конденсатора.
Как любая система заряженных тел, конденсатор обладает энергией. Чтобы найти
энергию заряженного конденсатора, рассмотрим работу, затрачиваемую на зарядку
конденсатора. Пусть заряд на обкладке конденсатора емкостью С равен , напряжение на
конденсаторе . Конденсатор заряжается путем переноса заряда из
обкладки с меньшим потенциалом к обкладке с большим потенциалом. Работа,
совершаемая по преодолению сил электростатического поля при переносе заряда ,
равна

Чтобы зарядить конденсатор от напряжения
0 до напряжения нужно затратить работу

Эта работа равна той энергии, которой
будет обладать заряженный конденсатор

. (20)

Источник

1 Энергия системы точечных зарядов

Формулу
можно рассматривать как взаимную
потенциальную энергию зарядови,
находящихся на расстоянии(рис.1).

Рис.1

Если мы теперь в поле двух зарядов
ивнесем
третий заряд,
то благодаря свойству аддитивности
энергии взаимодействий, получим:

Преобразуем эту сумму следующим образом.
Представим каждое слагаемое
в симметричном виде:,
поскольку.
Тогда

Сгруппируем члены с одинаковыми первыми
индексами:

Каждая сумма в круглых скобках – это
энергия
взаимодействия-го
заряда с остальными зарядами.

Поэтому можно последнее выражение
переписать так:

Обобщим это выражение на систему,
состоящую из
точечных зарядов.
Итак, энергия взаимодействия системы
точечных зарядов

(3.1)

Имея в виду, что
,
где-i-ый заряд системы,— потенциал, создаваемый всеми зарядами,
кроме,
в той точке, где находится заряд,
получим окончательное выражение:

(3.2)

Если заряды распределены непрерывно,
то, разлагая систему зарядов на
совокупность элементарных зарядов
и переходя от суммирования в (3.2) к
интегрированию, получаем

,
(3.3)

где
— потенциал, создаваемый всеми зарядами
системы в элементе объемом.

2 Энергия заряженных проводника и конденсатора

Энергия уединенного проводника.
Пусть проводник имеет заряди потенциал.
Посколькуна поверхности проводника, получим

Учитывая, что

(3.4)

Любое из этих выражений определяет
энергию заряженного проводника.

Энергия заряженного конденсатора.
Предположим, что (+)
и— заряд и потенциал положительно
заряженной обкладки конденсатора, (-)
и— отрицательно заряженной обкладки
(рис. 2).

Рис. 2

Согласно формуле (3.3) интеграл можно
разбить на две части – для одной и другой
обкладок. Тогда

Приняв во внимание, что
,
получим для энергии заряженного
конденсатора три выражения:

(3.5)

3 Энергия и плотность энергии электрического поля

Выразим энергию заряженного плоского
конденсатора через напряженность
электрического поля. Подставим в формулу

выражение,
получим

Поскольку
и(объем между обкладками конденсатора),
то

Как будет показано в следующей главе,
вспомогательной характеристикой поля
в веществе является вектор электрического
смещения
,
который связан с вектором напряженности
электрического полясоотношением.

С учетом этого соотношения полученную
формулу можно представить в виде:

(3.6)

Эти формулы справедливы для однородного
поля, заполняющего объем
.

Энергия распределена по объему
конденсатора равномерно. Следовательно,
в единице объема поля содержится энергия

(3.7)

Выражения (3.7) определяют плотность
энергии электрического поля.

Формулы (3.7) справедливы для любого
электрического поля. Если поле неоднородно,
то плотность энергии в некоторой точке
определяется по формулам (3.7) подстановкой
значений
(или)
ив этой точке.

Зная плотность энергии в каждой точке,
можно найти энергию поля, заключенную
в любом объеме
.
Для этого нужно вычислить интеграл

(3.8)

Примеры решения задач

Задача 1Четыре одинаковых точечных
заряданаходятся
в вершинах тетраэдра с ребром.
Найти энергию взаимодействия зарядов
этой системы.

Решение:

способ. Энергия взаимодействия каждой
пары зарядов здесь одинакова и равна

Как видно из рисунка, всего таких
взаимодействующих пар шесть, поэтому
энергия взаимодействия всех точечных
зарядов данной системы

2. способ.
,
где потенциалв месте нахождения одного из зарядов,
равен.

Поэтому

Задача 2(С.3.114)Точечный заряд= 1 мкКл помещается в центре шарового
слоя из однородного и изотропного
диэлектрика с= 3. Внутренний радиус слоя= 100 мм, внешний= 200 мм. Найти энергию,
заключенную в пределах диэлектрика.

Решение:

Напряженность поля в диэлектрике

Разобьем диэлектрик на шаровые слои
радиуса
и толщины.
Объем слоя.

Плотность энергии в слое

Энергия, заключенная в слое
:

Проинтегрировав это выражение по
в пределах отдо,
найдем энергию, заключенную в диэлектрике:

Дж.

Задача 3Найдем работу, которую надо
совершить против электрических сил,
чтобы удалить диэлектрическую пластинку
из плоского заряженного конденсатора.
Предполагается, что зарядконденсатора
остается постоянным. Емкость конденсатора
без диэлектрика равна.

Решение:

Работа против электростатических сил
в этой системе пойдет на приращение ее
электрической энергии:

,
где

— энергия поля между обкладками
конденсатора при наличии диэлектрика,— при отсутствии диэлектрика. Отсюда

Задача 4(С 3.111)Зарядраспределен равномерно по объему шара
радиусом.
Полагая=1, найти электрическую энергию шара,
а также отношение энергии,
локализованной внутри шара, к энергиив окружающем пространстве.

Решение:

Прежде всего найдем с помощью теоремы
Гаусса поле внутри и вне шара:

();().

Теперь вычислим электрическую энергию
шара:

Отсюда следует:

Тесты

1.
Емкость плоского конденсатора
пропорциональна:

1.
расстоянию между его пластинами. 2.
отношению площади его пластин к расстоянию
между ними. 3. произведению площади его
пластин на расстояние между ними. 4.
заряду пластин. 5. потенциалу пластин.

2.
Напряженность электрического поля
внутри проводника:

1.
определяется объемной плотностью заряда
в проводнике. 2. равняется нулю. 3.
определяется зарядом на поверхности
проводника. 4. определяется потенциалом
проводника. 5. зависит от напряженности
электрического поля в пространстве,
окружающем проводник.

3.
Три конденсатора одинаковой емкости
соединены параллельно. Результирующая
емкость получается

1.
равной емкости каждого из конденсаторов.
2. в три раза меньше емкости каждого из
конденсаторов. 3. в три раза больше
емкости каждого из конденсаторов.

4. Электроемкость проводника зависит
от:

1. формы и размеров, 2. площади
поверхности, 3. массы и рода вещества,
4. заряда и напряжения, 5. свойств
окружающей среды.

1.1., 2., 3. 2. 3., 4., 5. 3. 1., 2., 5.
4. 2., 3., 5.

5. Емкость батареи состоящей из пяти
одинаковых конденсаторов емкостью 1
мкФ, изображенной на рисунке равна:

1. 3,5 мкФ 2. 0,286 мкФ 3. 5 мкФ
4. 0,2 мкФ

6. Взаимной электроемкостью тел называют:

2.

3.
.

7. Плоский воздушный конденсатор
подключили к источнику тока, а затем не
отключая от источника, погрузили в
керосин с диэлектрической проницаемостью,
равной 2. Найти отношение заряда,
первоначально находившегося на обкладках
конденсатора, к конечному заряду.

1. 0,5 2. 1 3. 2 4. 4.

8. Разность
потенциалов между обкладками конденсаторов
емкостьюмкФ
изменилась на 175 В. Определите изменение
заряда конденсатора.

1. Кл
2.Кл
3. Кл
4.0.

9. Указать неправильнуюформулу для
электроемкости плоского конденсатора
.

1.
2.3.4.;

10. Конденсатор имеет емкость
пФ.
Какой заряд находится на каждой из его
обкладок, если разность потенциалов
между нимиВ?

1. Кл 2. Кл
3. Кл
4.эВ.

11. Потенциал φ, заряд qи
емкость
уединенного проводника связаны
соотношением:

1.2.3.4..

12. Изменится ли
заряд конденсатора, подключенного к
источнику напряжения, если раздвинуть
его пластины?

1. заряд конденсатора
увеличится 2. заряд конденсатора не
изменится 3. заряд конденсатора
уменьшится 4. заряд конденсатора
не зависит от его емкости 5. заряд
конденсатора не зависит от
расстояния между пластинами.

13. Вектор напряженности электростатического
поля:

1. ортогонален эквипотенциальной
поверхности 2. направлен по касательной
к эквипотенциальной поверхности 3.
направлен под углом π./4 к эквипотенциальной
поверхности, 4. может иметь любое
направление.

14. Внутри полой проводящей сферы помещен
электрический заряд. Электрическое
поле будет существовать:

1. и вне и внутри сферы 2. только
вне сферы 3. только внутри сферы
4. ни там, ни там.

15. Электроемкость С уединенной сферы
радиуcаRв
среде равна:

1.
2.
3.
4.

16. Между обкладками конденсатора, на
концах которого поддерживается постоянная
разность потенциалов, поместили слой
диэлектрика с диэлектрической
проницаемостью ε. Напряженность поля
в диэлектрике по отношению к напряженности
поля вне его:

1.увеличилась в ε раз 2. уменьшилась
в ε раз 3.обратилась в нуль 4. не
изменилась.

17. Для проводника,
помещенного в электростатическое поле,
характерно:

1. отсутствие поля
внутри проводника 2. усиление поля
внутри проводника 3. ослабление поля
вблизи острия проводника 4. силовые
линии поля направлены по касательной
к поверхности проводника 5. потенциал
проводника максимален на его поверхности.

18. Изменится ли энергия заряженного
воздушного конденсатора, если, при
отключенном источнике, раздвинуть его
пластины?

1. Изменится за счет энергии внешних
сил, совершающих работу по раздвижению
пластин. 2.Не изменится, так как заряд
на конденсаторе не изменяется
3.Нельзя дать однозначный ответ, так как
не известны численные значения исходных
данных 4.Энергия уменьшится.

19. Потенциальная энергия взаимодействия
пластин заряженного плоского конденсатора
(указать неверныйответ):

1.
2.3.4.,

где
и– заряд и потенциал первой пластины,и– заряд и потенциал второй пластины;
5. все перечисленные варианты правильные.

20. Как изменится
энергия заряженного конденсатора, не
отключенного от источника, если уменьшить
расстояние между обкладками в два раза?
.

1. уменьшится в 2
раза 2. увеличится в 2 раза 3. не
изменится 4. увеличится в 4 раза
5. уменьшится в 4 раза.

21. Плотность энергии wэлектростатического поля с напряженностьюEв среде с диэлектрической
проницаемостью ε равна:

1.
2.3.4..

22. Какую из формул нельзя использовать
для расчета энергии заряженного
конденсатора?

1.
2.3.4.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Сила Кулона.

; – диэлектрическая
проницаемость.

;

Потенциальная (электростатическая) энергия
взаимодействия зарядов.

— может быть и
положительной и отрицательной.

Если есть система электрических точечных
зарядов q_i…….q_g, то

Методические указания по решению задач.

Решая задачи целесообразно использовать
следующие методические указания.

Вникнув в условие задачи, сделать краткую
запись условия, выразить все данные в СИ и, где
это только возможно, сделать схематичный чертеж
или рисунок, поясняющий содержание задачи.
Выяснив, какие физические законы лежат в основе
данной задачи, решить ее в общем виде, т.е.
выразить искомую физическую величину через
заданные в задаче величины (в буквенных
обозначениях, без подстановки числовых значений
в промежуточные формулы).
Проверив правильность общего решения,
подставить числа в окончательную формулу и
указать единицу искомой величины, проверив
правильность ее размерности. Проверить
достоверность ответа.

1. Два разноименных заряда q₁= 2*10^-9Кл
и q₂= -3*10^-9Кл находятся на расcтоянии r₁=1м.
Какую работу необходимо совершить, чтобы
раздвинуть эти заряды на r₂= 2м.

2.Четыре точечных положительных заряда
находятся в вершинах квадрата со стороной а.
Найдите потенциальную энергию Wвсей системы.

3. Два отрицательных и два положительных
заряда находятся в вершинах квадрата со стороной
а, как показано на рисунке. Найдите
потенциальную энергию всей системы.

4. Какую работу необходимо совершить, чтобы
три положительных заряда q, находящиеся в
вакууме на одной прямой, на расстоянии а друг
от друга, расположить в вершинах равностороннего
треугольника.

5. Определить работу, которую нужно совершить,
чтобы три положительных заряда q, находящиеся
в вакууме на одной прямой, на расстоянии а
друг от друга, расположить в вершинах
равностороннего треугольника со стороной а/2.

6. Три маленьких положительно заряженных
шарика заряда q каждый удерживаются вдоль
прямой на расстоянии а друг от друга двумя
нитями. Какую максимальную кинетическую энергию
приобретет крайний шарик, если обе нити
одновременно пережечь.

7. Три маленьких положительно заряженных
шарика, массой m и зарядом q каждый
соединены нитями и находятся на расстоянии а
друг от друга. Определить максимальную скорость
крайнего шарика №1, если одну из нитей пережечь.

Дано

Рисунок

Решение

Если продолжить наблюдать

процесс, то увидим колебательную систему.

По закону сохранения импульса
общий импульс системы равен нулю и до и после
пережигания нити:

2m = m,

=2,

По закону сохранения энергии:

Е+Е=Е+Е,

Е=3k, Е=0,

Е=k, Е= 2+ ,

3k + 0 = k+ 2+ ,

k= 3m, =,

= .

Ответ: V

8. Четыре точечных положительных
заряда q расположены на расстоянии а на
одной прямой. Определите полную потенциальную
энергию системы.

Источник

Электростатические силы взаимодействия консервативны; следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией.

Энергия системы неподвижных точечных зарядов

Найдем потенциальную энергию системы двух точечных зарядов Q1 и Q2, находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией:

где φ₁₂ и φ₂₁ — соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q₂ в точке нахождения заряда Q₁ и зарядом Q₁ в точке нахождения заряда Q₂. Потенциал поля точечного заряда равен:

поэтому

W₁=W₂=W

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q₃, Q₄, …, можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(3)

где _i — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i, всеми зарядами, кроме i-го.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Энергия заряженного уединенного проводника

Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С, φ. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до , необходимо совершить работу

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

(4)

Эту формулу можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Полагая потенциал проводника равным , из (3) найдем

где – заряд проводника.

Энергия заряженного конденсатора

Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (4) равна

(5)

где Q — заряд конденсатора, С — его емкость,  — разность потенциалов между обкладками.

Используя выражение (5), можно найти механическую силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется, например, на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу

dA=Fdx

вследствие уменьшения потенциальной энергии системы

F dx = –dW,

откуда

(6)

Подставив в (5) в формулу емкости плоского конденсатора, получим

(7)

Производя дифференцирование при конкретном значении энергии (см. (6) и (7)), найдем искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

Энергия электростатического поля

Преобразуем формулу (5), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воcпользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C = ₀S/d) и разности потенциалов между его обкладками ( = Ed). Тогда получим

(8)

где V = Sd — объем конденсатора. Эта формула показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле,— напряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

Формулы (5) и (8) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации электростатической энергии и что является ее носителем — заряды или иоле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэтому электростатика ответить на поставленные вопросы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положение теории близкодействия о локализации энергии в поле и что носителем энергии является поле.

Источник

2018-05-14

Определить энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной $a$ в системах, которые показаны на рис.

Решение:

(а) Энергия взаимодействия любых двух точечных зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$ задается формулой $frac{q_{1}q_{2} }{4 pi epsilon_{0}r }$ где $r$ является расстоянием между зарядами.

Следовательно, энергия взаимодействия системы,

$U_{а} = 4 frac{q^{2} }{4 pi epsilon_{0}a } + 2 frac{q^{2} }{4 pi epsilon_{0} ( sqrt{2} a ) }$

$U_{б} = 4 frac{-q^{2} }{4 pi epsilon_{0}a } + 2 frac{q^{2} }{4 pi epsilon_{0} ( sqrt{2} a ) }$

и $U_{в} = 2 frac{q^{2} }{4 pi epsilon_{0}a } — frac{2q^{2} }{4 pi epsilon_{0} a } — frac{2q^{2} }{4 pi epsilon_{0} ( sqrt{2} a ) } = — frac{ sqrt{2}q^{2} }{4 pi epsilon_{0} a } $

Источник

19. Энергия системы зарядов

1 Энергия системы точечных зарядов

2 Энергия заряженных проводника и конденсатора

3 Энергия и плотность энергии электрического поля

Примеры решения задач

Энергия системы неподвижных точеч­ных зарядов

Энергия заряженного уединенного проводника

Энергия заряженного конденсато­ра

Энергия электростатического поля

Энергия системы неподвижных точечных зарядов

Энергия заряженного конденсатора