Как найти еще несколько точек параболы

Home » 8 класс » Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax2+bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax2+bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а<0 то ветви параболы направлены вниз.
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

парабола

парабола

2 ) Вершина параболы, ее находят по формуле x=(-b)/2a, найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y;

Вершина параболы

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax2+bx+c=0;

   Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax2+bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

Как решать квадратные уравнения посмотреть тут.

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x2+4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2)2+4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x2+4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
y=x^2+4x+3 парабола
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x2+4x+3 значения
y=(-4)2+4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2+4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x2+4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1<0.
a=-1 b=4 c=0 x=(-b)/2a=(-4)/(2*(-1))=2 y=-(2)2+4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x2+4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
y=-x^2+4x
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x2+4x значения
y=02+4*0=0
y=-(1)2+4*1=-1+4=3
y=-(3)2+4*3=-9+13=3
y=-(4)2+4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x2-4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0)2-4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x2-4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x2=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x2-4 значения
y=(-2)2-4=4-4=0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=22-4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

This is a mathematical educational video on how to find extra points for a parabola. In the first two examples there is no need for finding extra points as they have five points and have zeros of the parabola. In example 3 we need to find extra points. The equation is y=4xsquare-4x+4. You can take x= -1 and get the value for y. You will get a point now. Similarly you can substitute -2 for x in the same equation and get the value for y. Now you get another point. Now you can draw the parabola.

Want to master Microsoft Excel and take your work-from-home job prospects to the next level? Jump-start your career with our Premium A-to-Z Microsoft Excel Training Bundle from the new Gadget Hacks Shop and get lifetime access to more than 40 hours of Basic to Advanced instruction on functions, formula, tools, and more.

Buy Now (97% off) >

Other worthwhile deals to check out:

  • 97% off The Ultimate 2021 White Hat Hacker Certification Bundle
  • 98% off The 2021 Accounting Mastery Bootcamp Bundle
  • 99% off The 2021 All-in-One Data Scientist Mega Bundle
  • 59% off XSplit VCam: Lifetime Subscription (Windows)
  • 98% off The 2021 Premium Learn To Code Certification Bundle
  • 62% off MindMaster Mind Mapping Software: Perpetual License
  • 41% off NetSpot Home Wi-Fi Analyzer: Lifetime Upgrades

График квадратичной функции




График квадратичной функции y=ax²+bx+c, (где a, b, c — числа, причём a≠0) — парабола. При a>0 ветви параболы направлены вверх, при a<0 — вниз.

Как и в частном случае — y=±x²+bx+c — существуют различные способы построения графика функции y=ax²+bx+c. Рассмотрим два из них.

I способ — по точкам.

1) Ищем координаты вершины параболы.

2) Находим точки пересечения графика с осями координат.

3) Для более точного изображения графика подбираем дополнительные точки. Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси Ox, является осью симметрии параболы. Поэтому в качестве дополнительных точек можно взять несколько точек либо справа, либо слева от вершины (где проще находить y), после чего построить симметричные им точки.

Примеры.

1) Построить график функции y=0,25x²+0,5x-4,75.

Решение:

y=0,25x²+0,5x-4,75 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (так как a=0,25>0). Координаты вершины параболы

    [{x_o} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 0,5}}{{2 cdot 0,25}} = - 1,]

    [{y_o} = 0,25cdot{( - 1)^2} + 0,5cdot( - 1) - 4,75 = - 5.]

Первая точка графика — (-1; -5).

Ищем точки пересечения параболы с осями координат. В точке пересечения с осью Ox y=0, то есть нужно решить уравнение 0,25x²+0,5x-4,75=0. Его дискриминант равен 5, искать корни смысла нет, поскольку положение точек в этом случае можно найти только приближенно.

В точках пересечения с осью Oy x=0, поэтому y(0)=0,25∙0²+0,5∙0-4,75=-4,75.

Вторая точка графика — (0; -4,75).

Прямая x= -1, проходящая через вершину параболы параллельно оси Ox, является осью симметрии параболы.

В качестве дополнительных берем точки справа от оси симметрии (проще вычислять y).

Найдём значение функции при x=1, x=3, x=5 и x=7 (удобнее брать нечётные значения x, поскольку в этом случае получаем целые значения y).

y(1)=0,25∙1²+0,5∙1-4,75=-4, точка (1; -4);

y(3)=0,25∙3²+0,5∙3-4,75=-1, точка (3; -1);

y(5)=0,25∙5²+0,5∙5-4,75=4, точка (5; 4);

y(7)=0,25∙7²+0,5∙7-4,75=11, точка (7; 11).

Найденные точки отмечаем на координатной плоскости. Строим точки, симметричные отмеченным относительно прямой x= -1. Через полученные точки проводим параболу:

grafik-kvadratichnoj-funkcii

График квадратичной функции y=0,25x²+0,5x-4,75

2) Построить график функции y= -2x²+12x-10.

Решение:

y= -2x²+12x-10 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх (так как a=-2<0).

Координаты вершины параболы

    [{x_o} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - 12}}{{2 cdot ( - 2)}} = 3,]

    [{y_o} = - 2 cdot {3^2} + 12 cdot 3 - 10 = 8.]

(3; 8) — вершина, x=3 — ось симметрии параболы.

В точках пересечения графика с осью Ox y=0, то есть решаем уравнение -2x²+12x-10=0. Его корни — x=1 и x=5. Получили точки графика (1; 0) и (5; 0).

В точке пересечения графика с осью Oy x=0:

y= -2∙0²+12∙0-10= -10. Точка графика — (0; -10).

Дополнительную точку возьмём справа от оси симметрии: x=2.

y= -2∙2²+12∙2-10= 6, (2; 6).

Найденные 5 точек отмечаем на координатной плоскости. Находим еще две точки, симметричные относительно прямой x=3 точкам (0; -10) и (2; 6). Через эти семь точек проводим параболу:

postroit-grafik-kvadratichnoj-funkcii

График квадратичной функции y=-2x²+12x-10

3) Построить график функции

    [y = frac{1}{3}{x^2} - x + 2]

Решение:

    [y = frac{1}{3}{x^2} - x + 2]

— квадратичная функции. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (так как a=1/3>0). Координаты вершины параболы

    [{x_o} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{{ - ( - 1)}}{{2 cdot frac{1}{3}}} = frac{3}{2} = 1,5,]

    [{y_o} = frac{1}{3} cdot {(frac{3}{2})^2} - frac{3}{2} + 2 = frac{5}{4} = 1,25.]

Первая точка графика — вершина (1,5; 1,25) — найдена.

Чтобы найти точки пересечения графика с осью Ox, надо решить уравнение

    [frac{1}{3}{x^2} - x + 2 = 0]

Его дискриминант — число отрицательное. Значит, уравнение не имеет корней, а график функции не пересекает ось абсцисс.

Чтобы найти точку пересечения графика с осью Oy, находим значение функции при x=0:

    [y(0) = frac{1}{3} cdot {0^2} - 0 + 2 = 2.]

Вторая точка графика — (0; 2).

Прямая x=1,5, проходящая через вершину параболы — её ось симметрии. Найдем пару точек графика слева от оси симметрии.

    [y( - 1) = frac{1}{3} cdot {( - 1)^2} - ( - 1) + 2 = 3frac{1}{3},]

    [y( - 3) = frac{1}{3} cdot {( - 3)^2} - ( - 3) + 2 = 8.]

Таким образом, получили ещё две точки

    [( - 1;3frac{1}{3});( - 3;8).]

На координатной плоскости отмечаем найденные точки, затем — точки, симметричные им относительно оси симметрии, и проводим через них параболу:

kak-postroit-grafik-kvadratichnoj-funkcii

График квадратичной функции y=(1/3) x²-x+2

В алгебре с построением графиков, в том числе, графиков квадратичных функций, приходится иметь дело при решении заданий из самых разных разделов. Вот почему важно вовремя успешно овладеть навыками построения квадратичной параболы.

Другой способ построения графика квадратичной функции рассмотрим в следующий раз.

       

На прошлых уроках мы подробно рассмотрели частные случаи квадратичной функции: игрек равен а икс в квадрате, игрек равен а икс в квадрате плюс эн и игрек равен а умножить на квадрат икс минус эм. При этом последние два получаются параллельным переносом из первого случая. Игрек равен а икс в квадрате плюс эн сдвигом вдоль оси игрек на эн единиц вверх, если эн больше нуля, или на эн единиц вниз, если эн меньше нуля. Функция игрек равен а умножить на квадрат икс минус эм получается с помощью сдвига вдоль оси икс на эм единиц вправо, если эм больше нуля, или на эм единиц влево, если эм меньше нуля.
Так же мы получили график функции игрек равен а умножить на квадрат икс минус эм плюс эн с помощью двух параллельных переносов, который можно производить в любом порядке.
Известно, что графиком любой квадратичной функции является парабола. При изображении графика важно знать координаты вершины параболы.
Мы говорили, что парабола игрек равен а умножить на квадрат икс минус эм плюс эн имеет вершину с координатами эм, эн. Как же определить координаты вершины параболы, которая является графиком квадратичной функции, записанной формулой общего вида?
Так как мы умеем находить вершину параболы игрек равен а умножить на квадрат икс минус эм плюс эн, то попробуем привести квадратичную функцию к данному виду. Запишем правую часть и выделим из неё квадрат двучлена. Вынесем а за скобки. Второе слагаемое в скобках представим в виде удвоенного произведения. Тогда второе выражение равно бэ делённое на два а. Добавим и отнимем квадрат второго выражения. Выделим квадрат суммы. После упрощения получаем выражение.
Мы получили формулу вида а умножить на квадрат икс минус эм плюс эн. Значит можем записать следующие равенства: эм равно минус бэ делённое на два а. Эн равно минус дробь в числителе которой бэ в квадрате минус четыре а цэ, в знаменателе четыре а.
Значит, график квадратичной функции есть парабола, которую можно получить из графика функции игрек равен а икс в квадрате с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси икс и сдвига вдоль оси игрек. Вершина параболы имеет координаты эм, эн. При этом эм равно минус бэ делённое на два а. Эн равно минус дробь в числителе которой бэ в квадрате минус четыре а цэ, в знаменателе четыре а.
Осью симметрии параболы служит прямая икс равен эм, параллельная оси игрек.
Найдём координаты вершины параболы игрек равен минус два икс в квадрате плюс пять икс минус три. Для удобства выпишем коэффициенты квадратного трёхчлена. Вычислим значение эм, подставляя соответствующие значения в формулу минус бэ делённое на два а. Получим эм равно одной целой одной четвёртой. Вычислим эн по формуле. Подставим значения коэффициентов и получим эн равно одной восьмой.
Таким образом, получили координаты вершины параболы: одна целая одна четвёртая, одна восьмая.
Так как прямая икс равен эм является осью симметрии параболы, то ординату вершины параболы можно вычислить без формулы для эн. Подставим значение эм в функцию. Получим, значение игрек равно одной восьмой. Оно совпадает со значением эн.
Значит для того, чтобы найти координаты вершины параболы надо вычислить эм по формуле минус бэ делённое на два а и подставить полученное значение в функцию. Получим значение ординаты вершины.
Запишем алгоритм построения графика квадратичной функции. Первый шаг – определить направление ветвей параболы. Ветви направлены вверх, если коэффициент а положительный. Ветви параболы направлены вниз, если коэффициент а отрицательный. Второй шаг — найти координаты вершины параболы и отметить её на координатной плоскости. Третьим шагом определить ось симметрии икс равен эм. Четвёртый шаг — построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе. То есть составить таблицу значений функции с учётом оси симметрии. Последний пятый шаг – соединить полученные точки плавной линией.
Построим график квадратичной функции игрек равен икс в квадрате плюс шесть икс плюс один, придерживаясь полученного алгоритма. Сначала определим направление ветвей параболы. А равно единице, это больше нуля. Значит, ветви параболы направлены вверх. Найдём координаты вершины эм, эн. Вычислим эм по формуле минус бэ делённое на два а. Подставим коэффициенты квадратичной функции. Эм равно мину трём. Вычислим эн, подставив вместо икс в формулу полученное значение эм. Эн равно минус восьми. Отметим на координатной плоскости вершину с координатами минус три, минус восемь. Определим ось симметрии. Это прямая икс равен минус трём. Теперь составим таблицу значений, чтобы получить ещё несколько точек параболы. Возьмём значения икс минус шесть, минус пять, минус четыре, минус два, минус один, нуль. Выбранные значения симметричны относительно оси симметрии. Подставим их в формулу. Получим значения игрек один, минус четыре, минус семь, минус семь, минус четыре и один. Отметим полученные точки на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Получили параболу, которая является графиком функции игрек равен икс в квадрате плюс шесть икс плюс один.

Содержание:

Квадратичная функция:

  • В этом параграфе вы повторите и расширите свои знания о функции и ее свойствах.
  • Научитесь, используя график функции у = f (х), строить графики функций у = kf (x), у = f (х) + b, у = f(x + а).
  • Узнаете, какую функцию называют квадратичной, какая фигура является ее графиком, изучите свойства квадратичной функции.
  • Научитесь применять свойства квадратичной функ­ции при решении неравенств
  • Расширите свои знания о системах уравнений с дву­мя переменными, методах их решения, приобретете новые навыки решения систем уравнений.

Функция

Перед изучением этого пункта рекомендуем повторить со­держание пунктов 31-37 на с. 291-294.

В повседневной жизни нам часто приходится наблюдать процессы, в которых изменение одной величины (незави­симой переменной) влечет за собой изменение другой ве­личины (зависимой переменной). Изучение этих процессов требует создания их математических моделей. Одной из таких важнейших моделей является функция. С этим понятием вы ознакомились в 7 классе. Напомним и уточним основные сведения.

Пусть X — множество значений независимой переменной. Функция — это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной.

Обычно независимую переменную обозначают буквой х, зависимую — буквой у, функцию (правило) — буквой f. Говорят, что переменная у функционально зависит от пере­менной х. Этот факт обозначают так: у = f (x).

Независимую переменную еще называют аргументом функции.

Множество всех значений, которые принимает аргумент, называют областью определения функции и обозначают D (f) или D (у).

Так, областью определения обратной пропорциональности Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В функциональной зависимости каждому значению ар­гумента х соответствует определенное значение зависимой переменной у. Значение зависимой переменной еще назы­вают значением функции и для функции f обозначают f (х). Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называют областью значений функции и обо­значают Е (f) или Е (у). Так, областью значений функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функцию считают заданной, если указана ее область определения и правило, с помощью которого можно по каж­дому значению независимой переменной найти значение зависимой переменной.

Функцию можно задать одним из следующих способов:

  • описательно;
  • с помощью формулы;
  • с помощью таблицы;
  • графически.

Чаще всего функцию задают с помощью формулы. Такой способ задания функции называют аналитическим. Если при этом не указана область определения, то считают, что областью определения функции является область опреде­ления выражения, входящего в формулу. Например, если функция задана формулой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то ее областью определения является область определения выражения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения , т. е. промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В таблице приведены функции, которые вы изучали в 7 и 8 классах.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Когда сделаны уроки

История развития функции

Определение функции, которым вы пользуетесь на дан­ном этапе изучения математики, появилось сравнительно недавно — в первой половине XIX века. Оно формировалось более 200 лет под влиянием бурных споров выдающихся математиков нескольких поколений.

Исследованием функциональных зависимостей между величинами начали заниматься еще ученые древности. Этот поиск нашел отражение в открытии формул для вычисления площадей и объемов некоторых фигур. Примерами таблич­ного задания функций могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и арабов.

Однако лишь в первой половине XVII века своим откры­тием метода координат выдающиеся французские матема­тики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) заложили основы для возникновения понятия функции.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В своих работах они исследовали изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.

Важную роль в формировании понятия функции сыграли рабо­ты великого английского ученого Исаака Ньютона (1643-1727). Под функцией он понимал ве­личину, которая изменяет свое значение с течением времени.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Термин «функция» (от латин­ского functio — совершение, вы­полнение) ввел немецкий матема­тик Георг Лейбниц (1646-1716).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Он и его ученик, швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748) под функцией понимали формулу, связываю­щую одну переменную с другой, то есть отождествляли функцию с одним из способов ее задания.

Дальнейшему развитию понятия функции во многом способствовало выяснение истины в многолетнем споре выдающихся математиков Леонарда Эйлера (1707-1783) и Жана Лерона Д’Аламбера (1717-1783), одним из предметов которого было выяснение сути этого понятия. В ре­зультате был сформирован более общий взгляд на функцию как зависимость одной переменной величины от другой, в котором это понятие жестко не связывалось со способом задания функции.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В 30-х годах XIX века идеи Эйлера получили дальней­шее развитие в работах выдающихся ученых: русского ма­тематика Николая Лобачевского (1792-1856) и немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805-1859). Именно тогда появилось такое определение: переменную величину у называют функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное значение величины у.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Такое определение функции можно и сегодня встретить в школьных учебниках. Однако более современный под­ход — это трактовка функции как правила, с помощью ко­торого по значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.

Когда на рубеже XIX и XX веков возникла теория мно­жеств и стало ясно, что элементами области определения и области значений совсем не обязательно должны быть числа, то под функцией стали понимать правило, которое каждому элементу множества X ставит в соответствие единственный элемент множества У.

Свойства функции

Часто о свойствах объекта можно судить по его изобра­жению: фотографии, рентгеновскому снимку, рисунку и т. п.

«Изображением» функции может служить ее график. Покажем, как график функции позволяет определить не­которые ее свойства.

На рисунке 18 изображен график некоторой функции y=f(x)

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ее областью определения является промежуток [-4; 7], а областью значений — промежуток [-4; 4].

При х = -3, х = 1, х = 5 значение функции равно нулю.

Определение: Значение аргумента, при котором значе­ние функции равно нулю, называют нулем функции.

Так, числа -3, 1, 5 являются нулями данной функции.

Заметим, что на промежутках [-4; -3) и (1; 5) график функции расположен над осью абсцисс, а на промежут­ках (-3; 1) и (5; 7] — под осью абсцисс. Это означает, что на промежутках [-4; -3) и (1; 5) функция принимает по­ложительные значения, а на промежутках (-3; 1) и (5; 7] — отрицательные.

Каждый из указанных промежутков называют проме­жутком знакопостоянства функции f.

Определение: Каждый из промежутков, на котором функция принимает значения одного и того же знака, на­зывают промежутком знакопостоянства функции f.

Отметим, что, например, промежуток (0; 5) не является промежутком знакопостоянства данной функции.

Замечание. При поиске промежутков знакопосто­янства функции принято указывать промежутки макси­мальной длины. Например, промежуток (-2; -1) является промежутком знакопостоянства функции f (рис. 18), но в ответ следует включить промежуток (—3; 1), содержащий промежуток (-2; -1).

Если перемещаться по оси абсцисс от -4 до -1, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. Говорят, что на промежутке [-4; -1] функция убывает. С увеличением х от -1 до 3 график функ­ции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. Говорят, что на промежутке [-1; 3] функция возрастает.

Определение: Функцию f называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух зна­чений аргумента и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения из этого промежутка таких, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, выполняется неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Функцию f называют убывающей на не­котором промежутке, если для любых двух значений аргумента Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения из этого промежутка таких, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениявыполняется неравенствоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Часто используют более короткую формулировку.

Определение: Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргу­мента соответствует большее значение функции.

Определение: Функцию называют убывающей на не­котором промежутке, если для любых значений аргу­мента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей. Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей.

Например, на рисунке 19 изображен график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияЭта функция является возрастающей. На рисун­ке 20 изображен график убывающей функции у = -х. На рисунке 18 изображен график функции, не являющей­ся ни возрастающей, ни убывающей.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №1

Докажите, что функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияи Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — произвольные значения аргумента из промежутка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Покажем, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть большему значению аргумента соответствует мень­шее значение функции.

Имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Обе части последнего неравен­ства являются неотрицательными числами. Тогда по свой­ству числовых неравенств можно записать, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что в подобных случаях говорят, что промежу­ток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является промежутком убывания функции у = х2. Аналогично можно доказать, что промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияявляется промежутком возрастания функции у = х2.

В задачах на поиск промежутков возрастания и убывания функции принято указывать промежутки максимальной длины.

Пример №2

Докажите, что функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — убывает на каждом из промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — произвольные значения аргумента из промежуткаКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Тогда по свойству числовых неравенств —Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, данная функция убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично доказывают, что функция f (x) убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что нельзя утверждать, что данная функция убывает на всей области определения, то есть является убы­вающей. Действительно, если, например, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то из неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не следует, что — Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №3

Докажите, что линейная функция f (х) = kx + b является возрастающей при k > 0 и убывающей при k < 0.

Решение:

Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — произвольные значения аргумента, при­чем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Имеем:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Следова­тельно, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения данная функция является возрастающей.

Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следо­вательно, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения данная функция является убывающей.

Как построить график функции у = kf (х), если известен график функции у = f (x)

В 8 классе вы ознакомились с функцией Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и узна­ли, что ее графиком является фигура, которую называют параболой (рис. 26).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Покажем, как с помощью гра­фика функции у = х2 можно по­строить график функции

у = ах2, где а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Построим, например, график функции у = 2х2.

Составим таблицу значений функций у = х2 и у = 2х2 при одних и тех же значениях аргу­ментах:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Эта таблица подсказывает, что каждой точке гра­фика функции у = х2 соответствует точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения графика функции у = 2х2. Иными словами, при любом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значение функции у = 2х2 в 2 раза больше соответствующего значения функции у = х2. Следовательно, все точки графика функции у = 2х2 можно получить, заменив каждую точку графика функции у = х2 на точку с той же абсциссой и с ординатой, умноженной на 2 (рис. 27). Используя график функции у = х2, построим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, что каждой точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияграфика функции

у = х2 соответствует единственная точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, все точки графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить, заменив каждую точку гра­фика функции у = х2 на точку с той же абсциссой и орди­натой, умноженной на — Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 28).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотренные примеры подсказывают, как, используя график функции у = f (х), можно построить график функ­ции у = kf (х), где k > 0.

График функции у = kf (х), где k > 0, можно получить, заменив каждую точку графика функции у = f (x) на точ­ку с той же абсциссой и ординатой, умноженной на k.

На рисунках 29, 30 показано, как «работает» это прави­ло для построения графиков функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Говорят, что график функции у = kf (x) получен из гра­фика функции у = f (х) в результате растяжения в k раз от оси абсцисс, если k > 1, или в результате сжатия в Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения раз к оси абсцисс, если 0 < k < 1.

Рассмотрим функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Каждой точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияграфика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения со­ответствует точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения гра­фика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Иными словами, при любом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения зна­чения функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения являются противоположны­ми числами. Следовательно, все точки графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить, за­менив каждую точку графи­ка функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на точку с той же абсциссой и ординатой, умноженной на -1 (рис. 31).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Теперь понятно, что пра­вило построения графика функции у = kf (x), где k < 0, такое же, как и для случая, когда k > 0.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Например, на рисунке 32 показано, как можно с помо­щью графика функции у = х2 построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рисунок 33 иллюстрирует, как с помощью графика функ­ции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно построить графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения нули функций у = f (х) и у = kf (х) совпадают. Следовательно, графики этих функций пересе­кают ось абсцисс в одних и тех же точках (рис. 34).

На рисунке 35 изображены графики функций у = ах2 при некоторых значениях а. Каждый из этих графиков, как и график функции у = х2, называют параболой.

Точка (0; 0) является вершиной каждой из этих парабол.

Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, если а < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Часто вместо высказывания «Дана функция у = ах2» употребляют «Дана парабола

у = ах2».

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В таблице приведены свойства функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Как построить графики функций y = f(x) + b и у = f(x + а), если известен график функции у = f(x)

Покажем, как, используя график функции у = х2, по­строить график функции у = х2 + 2. Составим таблицу значений этих функций при одних и тех же значениях аргумента.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Эта таблица подсказывает, что каждой точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения гра­фика функции у = х2 соответствует точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения графика функции у = х2 + 2. Иными словами, при любом х значение функции у = х2 + 2 на 2 боль­ше соответствующего значения функции у = х2. Следовательно, все точки графика функции у = х2 + 2 можно получить, заменив каждую точку графи­ка функции у = х на точку с той же абсциссой и с ордина­той, увеличенной на 2 (рис. 40).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Позднее на уроках геометрии вы более подробно ознакомитесь с парралельным переносом.

Говорят, что график функ­ции у = х2 + 2 получен в резуль­тате параллельного переноса графика функции у = х2 на две единицы вверх.

Аналогично график функ­ции у = х2 — 4 можно получить в результате параллельного переноса графика функции у = х2 на 4 единицы вниз (рис. 41).

Очевидно, что в результате параллельного переноса полу­чаем фигуру, равную фигуре, являющейся графиком ис­ходной функции. Например, графиками функций у = х2 + 2 и у = х — 4 являются парабо­лы, равные параболе у = х2.

Рассмотренные примеры подсказывают, как можно, используя график функции у = f (х), построить график функции у = f (x) + b.

График функции у = f (х) + b можно получить в ре­зультате параллельного переноса графика функции у = f (х) на b единиц вверх, если b > 0, и на — b единиц вниз, если b < 0.

На рисунках 42, 43 показано, как «работает» это прави­ло для построения графиков функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Покажем, как можно с помощью графика функции у = х2 построить график функции у = (х + 2)2. Пусть точка (х0; у0) принадлежит графику функции у = х2, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Докажем, что точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежит графику функции у = (х + 2)2. Найдем значение этой функ­ции в точке с абсциссой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, все точки графика функции у = (х + 2)2 можно получить, заменив каждую точку графика функции у = х2 на точку с той же ординатой и абсциссой, уменьшен­ной на 2 (рис. 44).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Также говорят, что график функции у = (х + 2)2 полу­чен в результате параллельного переноса графика функции у = х2 на две единицы влево. Рассмотрим еще один пример. Построим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Легко показать (сделайте это самостоятельно), что каждой точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения графика функции у = х2 соот­ветствует точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения графика функции у = (х — 2)2. Следовательно, график функции у = (х — 2)2 получают в ре­зультате параллельного переноса графика функции у = х2 на 2 единицы вправо (рис. 45).

Ясно, что в результате описанного параллельного переноса получаем фигуру, равную фигуре, являющейся графиком исходной функции. Например, графиками функций

у = (х + 2)2 и у = (х — 2)2 являются параболы, равные параболе у = х2.

Эти примеры подсказывают, как можно, используя график функции у = f (x), построить график функции у = f(х + а).

График функции у = f (х + а) можно получить в резуль­тате параллельного переноса графика функции у = f (x) на а единиц влево, если а > 0, и на -а единиц вправо, если а < 0.

На рисунках 46, 47 показано, как «работает» это прави­ло для построения графиков функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

  1. Построим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения
  2. Параллельно перенесем график функции у = х2 на 1 еди­ницу вправо. Получим график функции у = (х — 1)2 (рис. 48).
  3. Параллельно перенесем график функции у = (х — 1)2 на 3 единицы вверх. Получим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 48).

Описанный алгоритм построения представим в виде та­кой схемы:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №5

Постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

  1. Построим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 49).
  2. Параллельно перенесем график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 3 единицы влево. Получим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 49).
  3. Параллельно перенесем график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияна 1 единицу вниз.

Получим искомый график. Схема построения имеет такой вид:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из описанных преобразований следует, что графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является парабола с вершиной в точке (-3; -1), равная параболе Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из этого примера становится понятным алгоритм по­строения графика функции

у = kf (х + а) + b, в частности у = k (х + а)2 + b.

Графиком функции у = k (х + а)2 + b, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является парабола, равная параболе Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, вершина которой на­ходится в точке (—а; b).

Пример №6

Постройте график функции у = -2х2 — 20х — 47.

Решение:

Имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Мы представили формулу, задающую данную функцию, в виде у = kf (х + а) + b, где

f (х) = х2, k = -2, а = 5, b = 3.

Схема построения имеет такой вид:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Построенный график является параболой с вершиной в точке (-5; 3), которая равна параболе Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 50).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция, ее график и свойства

Определение: Функцию, которую можно задать форму­лой вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения где х — независимая перемен­ная, а, b и с — некоторые числа, причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, называют квадратичной.

Квадратичная функция не является для вас новой. Так, в 8 классе вы изучали ее частный случай, а именно, функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функциональная зависимость площади S круга от его радиуса r определяет квадратичную функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениякоторая, в свою очередь, является частным видом функции у = ах2.

На уроках физики вы ознакомились с формулой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения которая задает зависимость высоты h тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения от времени движения t. Эта формула задает квадратичную функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Покажем, как график квадратичной функции у = ах2 + bх + с можно получить из графика функции у = ах2.

Вы уже строили графики функций вида у = ах2 + bх + с, выделяя квадрат двучлена. Используем этот прием в общем виде. Имеем:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Введем обозначения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда формулу Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно представить в виде: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, схема построения искомого графика такова:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является парабола с вершиной в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения равная параболеКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Понятно, что ветви параболы у = ах2 + bх + с направлены так же, как и ветви параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, если а < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Общее представление о графике квадратичной функции дают координаты вершины параболы и направление ее ветвей. Это представление будет тем полнее, чем больше точек, принадлежащих графику, мы будем знать. Поэтому, не используя параллельных переносов, можно построить график квадратичной функции по такой схеме:

  1. найти абсциссу вершины параболы по формуле Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения
  2. найти ординату вершины параболы по формуле Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения где D — дискриминант квадратного трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и отметить на координатной пло­скости вершину параболы;
  3. определить направление ветвей параболы;
  4. найти координаты еще нескольких точек, принадле­жащих искомому графику (в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют);
  5. отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.

Пример №7

Постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Используя график функции, найдите область ее значений, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наименьшее и наибольшее значения функции.

Решение:

Данная функция является квадратичной функцией

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения -Ее графиком является Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияпарабола, ветви которой направлены вверх (а > 0).

Абсцисса вершины параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения орди­ната вершины Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, точка (—2; —9) — вершина параболы.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках (-5; 0) и (1; 0).

* Формулу Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения запоминать необязательно. Достаточно вычислить пересечение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в точке с абсциссой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Найдем точку пересечения параболы с осью ординат: f (0) = -5. Парабола пересекает ось ординат в точке (0; -5).

Отметим найденные четыре точки параболы на коорди­натной плоскости (рис. 60).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Теперь понятно, что удобно найти значения данной функ­ции в точках —1, —3, —4 и, отметив соответствующие точки на координатной плоскости, провести через все найденные точки график данной функции.

Имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Искомый график изображен на рисунке 61.

Область значений функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция возрастает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Наименьшее значение функции равно -9, наибольшего значения не существует.

О некоторых преобразованиях графиков функций

Как построить график функции у = f (—х), если известен график функции у = f (х)

Заметим, что если точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежит графику функции у = f (x), то точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежит графику функции у = f (-x). Действительно, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, все точки графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияможно получить, заменив каждую точку графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на точку с такой же ординатой и противоположной абсциссой.

На рисунке 66 показано, как с помощью графика функ­ции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияпостроен график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Позднее на уроках геометрии вы узнаете, что описанное преобра­зование графика функции у = f (х) называют осевой симметрией.

Как построить график функции у = f (| х |), если известен график функции у = f (х)

Воспользовавшись определением модуля, запишем:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда делаем вывод, что график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения совпадает с графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения а при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — с графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда построение графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно проводить по такой схеме:

  1. построить ту часть гра­фика функции у = f (x), все точки которой имеют неот­рицательные абсциссы;
  2. построить ту часть гра­фика функции у = f (—x), все точки которой имеют отрица­тельные абсциссы.

Объединение этих двух частей и составит график функции у = f ( | х | ).

На рисунке 68 показано, как с помощью графика функ­ции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения построен график функции у = ( | х | — 2)2.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Как построить график функции у = | f (х) |, если известен график функции у = f (х)

Для функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияможно записать: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует, что график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при всех х, для которых Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения совпадает с графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а при всех Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, для которых Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, — с графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда строить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно по та­кой схеме:

  1. все точки графика функ­ции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияс неотрицатель­ными ординатами оставить без изменений;
  2. точки с отрицательными ординатами заменить на точ­ки с теми же абсциссами, но противоположными ордина­тами.

На рисунке 69 показано, как с помощью графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения построен график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №8

Постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Построение искомого графика можно представить в виде такой схемы :

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

(рис.70.)

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

Постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Построение искомого графика можно представить в виде такой схемы:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

(рис. 71).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение квадратных неравенств

На рисунке 72 изображен график некоторой функции у = f (х), областью определения которой является множество действительных чисел.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

С помощью этого графика легко определить промежутки знакопостоянства функции f, а именно: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на каждом из промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на каждом из промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Определив промежутки знакопостоянства функции f, мы тем самым решили неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Промежутки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияи Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вместе составляют множе­ство решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения В таких случаях гово­рят, что множество решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является объединением указанных промежутков. Объединение про­межутков записывают с помощью специального символа Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Тогда множество решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно записать так:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Множество решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно запи­сать так:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Такой метод решения неравенств Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения с по­мощью графика функции у = f (х) называют графическим.

Покажем, как с помощью этого метода решают квадрат­ные неравенства.

Определение: Неравенства вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениягде Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — переменная, а, b, и с — некоторые числа, причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияназывают квадратными.

Выясним, как определить положение графика квадратич­ной функции

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения относительно оси абсцисс.

Наличие и количество нулей квадратичной функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияопределяют с помощью дискриминанта D квадратного трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения если D > 0, то нулей у функции два, если D = 0, то нуль один, если D < 0, то нулей нет.

Знак старшего коэффициента квадратного трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения определяет направление ветвей параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ветви направлены вверх, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — вниз.

Схематическое расположение параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения относительно оси абсцисс в зависимости от знаков чисел a и D отображено в таблице ( Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — нули функции, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — абсцисса вершины параболы):

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Разъясним, как эту таблицу можно использовать для решения квадратных неравенств.

Пусть, например, надо решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Этим условиям соответствует ячейка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

таблицы. Тогда ясно, что ответом будет промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, на котором график соответствующей квадратичной функции расположен над осью абсцисс.

Пример №10

Решите неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Для квадратного трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Этим условиям соответствует ячейка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения таблицы. Решим уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияПолучим Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда схематически график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно изобразить так, как показано на рисунке 73.

Из рисунка 73 видно, что соответ­ствующая квадратичная функция при­нимает положительные значения на каж­дом из промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №11

Решите неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Этим условиям соответствует ячей­ка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениятаблицы. Устанавливаем, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда схема­тически график функции

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно изобразить так, как показано на рисунке 74.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из рисунка 74 видно, что решениями неравенства являются все числа, кроме Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что это неравенство можно решить другим спо­собом. Перепишем данное неравенство так: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда получаем тот же результат.

Ответ: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №12

Решите неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Этим условиям соответ­ствует ячейка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения таблицы. В этом случае график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеет точек с отрицательными ордина­тами.

Ответ: решений нет.

Пример №13

Решите неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то данному случаю соответству­ет ячейка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения таблицы, причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Но в этом случае квадратичная функция принимает только неотрицательные значения. Следовательно, данное неравенство имеет един­ственное решение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: -5.

Системы уравнений с двумя переменными

В 7 классе вы ознакомились с графическим методом решения систем уравнений. Напомним, что его суть за­ключается в поиске координат общих точек графиков уравнений, входящих в систему. На уроках геометрии вы узнали, что графиком уравненияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является окружность радиуса R с центром Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияВы также научились строить график квадратичной функции. Все это расширяет возможности применения графического метода для решения систем уравнений.

Пример №14

Решите графически систему уравнений: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Первое уравнение системы равно­сильно такому: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Его графиком является парабола, изобра­женная на рисунке 79.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Графиком второго уравнения яв­ляется прямая, которая пересекает построенную параболу в двух точках: (1; 0) и (4; 3) (рис. 79).

Как известно, графический метод не гарантирует того, что полученный результат является точным. Поэтому найденные решения следует прове­рить. Проверка подтверждает, что пары чисел (1; 0) и (4; 3) действительно являются решениями данной системы.

Заметим, что эта система является «удобной» для гра­фического метода: координаты точек пересечения графиков оказались целыми числами. Понятно, что такая ситуация встречается далеко не всегда. Поэтому графический метод эффективен тогда, когда нужно определить количество ре­шений или достаточно найти их приближенно.

Рассмотренную систему можно решить, не обращаясь к графикам уравнений. Готовясь к изучению этой темы, вы повторили метод подстановки решения систем линей­ных уравнений. Этот метод является эффективным и для решения более сложных систем, в которых только одно уравнение является линейным, и для некоторых систем, в которых вообще линейных уравнений нет.

Решим систему Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияметодом подста­новки.

Выразим переменную Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения через Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения во втором уравнении системы: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Подставим в первое уравнение вместо у выражение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Получили уравнение с одной переменной. Упростив его, получим квадратное уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Значения у, которые соответствуют найденным значени­ям х, найдем из уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №15

Определите количество решений системы уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Графиком первого уравнения системы является окруж­ность с центром (0; 0) радиуса 3.

Второе уравнение равносильно такому:Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Графиком этого уравнения является гипербола.

Изобразим окружность и гиперболу на одной коорди­натной плоскости (рис. 80). Мы видим, что графики пере­секаются в четырех точках. Следовательно, данная система имеет четыре решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рисунок 80 также позволяет приближенно определить решения данной системы.

Не обращаясь к графическому методу, можно найти точные значения решений этой системы.

Готовясь к изучению этой темы, вы повторили метод сложения для решения систем линейных урав­нений. Покажем, как этот метод «работает» и при решении более сложных систем.

Умножим второе уравнение рассматриваемой системы на 2. Получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Сложим почленно левые и правые части уравнений: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ясно, что для решения данной системы достаточно ре­шить две более простые системы.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, что найти такое решение графическим методом невозможно.

В 8 классе вы ознакомились с методом замены пере­менных при решении уравнений. Этот метод применяется и для решения целого ряда систем уравнений.

Пример №16

Решите систему уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Теперь первое уравнение системы можно записать так: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для решения исходной системы достаточно решить две более простые системы.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №17

Решите систему уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Заметим, что данная система не изменится, если заме­нить Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияна Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. В таких случаях может оказаться эффективной замена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Запишем данную систему так:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Выполним указанную замену. Получим систему:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ее можно решить методом подстановки (сделайте это самостоятельно). Получаем:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Остается решить две системы:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Каждую из них можно решить методом подстановки. Однако здесь удобнее воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Так, для системы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияможно считать, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — корни квадратного уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, пары (1; 2) и (2; 1) являются решениями этой системы.

Используя этот метод, легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что система Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения решений не имеет.

Ответ: (1; 2); (2; 1).

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Рассмотрим задачи, в которых системы уравнений второй степени используются как математические модели реальных ситуаций.

Пример №18

Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились через 2 ч. С какой скоростью шел каждый турист, если для прохождения всего расстояния между пунктами одному из них нужно на 54 мин больше, чем другому?

Решение:

Пусть скорость первого туриста равна Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения км/ч, а вто­рого — Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения км/ч, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения До встречи первый турист прошел Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения км, а второй — Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения км. Вместе они прошли 18 км. Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Все расстояние между пунктами первый турист проходит за Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ч, а второй заКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ч. Так как первому туристу для прохождения этого расстояния нужно на Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения = Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения = Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения больше, чем второму, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Получаем систему уравнений: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решив второе уравнение последней системы, получаем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Корень -36 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 4 км/ч, 5 км/ч.

Пример №19

Два работника могут вместе выполнить производственное задание за 10 дней. После 6 дней совместной работы одно­го из них перевели на другое задание, а второй продолжал работать. Через 2 дня самостоятельной работы второго ока­залось, что сделано Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения всего задания. За сколько дней каждый работник может выполнить это производственное за­дание, работая самостоятельно?

Решение:

Пусть первый работник может выполнить все задание заКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениядней, а второй — за Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения дней. За 1 день первый работник выполняет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения часть задания, а за 10 дней Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения часть задания. Второй работник за 1 день выполняет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения часть задания, а за 10 дней Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения часть задания. Так как за 10 дней совместной работы они выполняют все задание, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Первый работник работал 6 дней и выполнил Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения часть задания, а второй работал 8 дней и выполнил Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения часть задания. Так как в результате было выполнено Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения задания, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Получили систему уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

решением которой является пара чисел Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, первый работник может выполнить задание за 15 дней, а второй — за 30 дней.

Ответ: 15 дней, 30 дней.

Пример №20

При делении двузначного числа на произведение его цифр получим неполное частное 5 и остаток 2. Разность этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 36. Найдите это число.

Решение:

Пусть искомое число содержит Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения десятков и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения единиц. Тогда оно равно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Так как при делении этого числа на число Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияполучаем неполное частное 5 и остаток 2, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Число, полученное перестановкой цифр данного, равно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. По условию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияПолучаем систему уравнений

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

решениями которой являются две пары чисел: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Но вторая пара не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, искомое число равно 62.

Ответ: 62.

Определение квадратичной функции

Моделируя реальные процессы при помощи функций, довольно часто приходят к так называемой квадратичной функции, частичным случаем которой является уже изученная функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

В этом параграфе мы изучим: что такое квадратичная функция, каковы се свойства и график: что такое квадратичное неравенство, как решать квадратичные неравенства, исходя из свойств квадратичной функции.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В 7 классе мы начали изучать одно из важнейших понятий математики — понятие функции.

Что такое функция

Напомним, что переменную у называют функцией от переменной х, если каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. При этом переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную узависимой переменной, или функцией (от аргумента х).

Если переменная у является функцией от аргумента х, то записывают: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (читают: у равно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияот х). Значение функции при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения обозначают через Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Так, если функция задана формулой у = 2х — 3, то можно записатьКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда, например, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Область определения и область значений функции

Множество значений, которые принимает независимая переменная (аргумент), называют областью определения функции; множество значений, которые принимает зависимая переменная (функция), называют областью значений функции.

Область определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения обозначают Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а область значений — Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Так, областью определения линейной функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является множествен всех действительных чисел, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Множеством значений этой функции также являйся множество всех действительных чисел: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Если функция задана формулой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и не указано, какие значения может принимать ар1умспт, то считают, что областью определения функции является множество всех действительных чисел, при которых выражение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет смысл.

Если выражениеКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является многочленом, то областью определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является множество всех действительных чисел; еслиКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — рациональная дробь, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме тех значений х, при которых знаменатель дроби равен нулю; если функция задана формулой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения , то областью определения функции является множество всех действительных чисел, при которых выполняется неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим, например, функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ВыражениеКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет

смысл при всех значениях х, кроме х = 3. Поэтому областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, кроме х = 3, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

График функции

Графиком функции называют фигуру, состоящую из всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графики функций, которые мы изучали в 7 и 8 классах, а также их области определения и области значений приведены в таблице.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 18 изображен график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, областью определения которой является промежутокКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Точка М(2; 4) принадлежит графику. Это значит, что при х = 2 значение функции равно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Очевидно, что наименьшее значение функции равно -1. Это наименьшее значение функция принимает при х = 4. Наибольшее значение функции равно 5 и достигается при х = 0. Областью значений функции является промежуток [-1; 5].

Задание функции несколькими формулами

Существуют функции, которые па отдельных частях области определения задаются разными формулами. Например, если функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения задана в виде

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

то это значит, что при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениязначения функции нужно искать по формуле Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — по формуле Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — по формулеКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Так, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Чтобы построить график такой функции (см. рис. 19), достаточно на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения построить график функции у = 2x + 3, на промежуткеКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения— график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — график функции у = 4.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Описанным способом можно задать и функцию у = |х|:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

График функции у = |х| изображен на рисунке 20.

График функции, формула которой содержит аргумент под знаком модуля

Построим график функции у = |х — 1| + |х + 1|.

Найдем значения х, при которых значения выражений х — 1 и х + 1, стоящих под знаком модуля, равны нулю:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Значения х = -1 и х = 1 разбивают координатную прямую на три промежутка (см. рис. 21).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая определение модуля числа, получим: если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Чтобы получить график заданной функции, строим на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, на промежутке [-1; 1) — график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения— график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Искомый график изображен на рисунке 22.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №21

Найти область определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Область определения функции образуют тe значения х, при которых выражение 4 — 2х принимает неотрицательные значения, а выражение 2х — положительные значения. Следовательно, нужно решить систему неравенствКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Получим:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Свойства функций

Нули функции. Промежутки знакопостоянства

Рассмотрим функциюКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, график которой изображен на рисунке 24. При х = -1, х = 4 или х = 6 значения функции равны нулю. Такие значения аргумент а а называют нулями функции.

Определение: Значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, называют нулями функции.

Нулем функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является только одно значение х, а именно: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, так как значение функции равно нулю только при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Чтобы найти нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, нужно решить уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Рис. 24

ФункцияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, график которой изображен на рисунке 24. на промежутках |-3; -1) и (4: 6) принимает только отрицательные значения, а на промежутках (-1; 4) и (6; 7| — только положительные значения. Все эти промежутки называют промежутками знакопостоянства функцииКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Возрастание, убывание функции

Рассмотрим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на рисунке 24. На промежутке [-3; 2| График «идет вверх»: при увеличении значений х из этого промежутка соответствующие значения функции увеличиваются. Например, возьмем значения аргумента Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияи Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Так какКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения тоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Большему значению аргументаКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения соответствует большее значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Говорят, что на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает (или является возрастающей). Такова же она и на промежутке [5; 7].

Па промежутке [2; 5] график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения «идет вниз»: при увеличении значений аргумента соответствующие значения функции уменьшаются. Говорят, что на этом промежутке функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения убывает (или является убывающей).

Определение: Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией; если же функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей функцией.

Например, на рисунке 25 изображен график функции, областью определения которой является промежуток |-1; 5|. Эта функция является возрастающей, так как она возрастает на всей области определения. Функция, график которой изображен на рисунке 26. является убывающей, так как она убывает на всей области определения — промежутке [-1; 5].

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Возрастающими, например, являются функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (их графики всегда «идут вверх»), а убывающими — функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (их графики всегда «идут вниз»). Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, график которой изображен на рисунке 24, не является ни возрастающей, ни убывающей. Она только возрастает или убывает на отдельных промежутках.

Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, убывает на каждом из промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения но не является убывающей. Действительно, она не убывает на всей области определения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, гак как при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 27) имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Четные и нечетные функции

Рассмотрим функциюКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, ее график изображен на рисунке 28. Так как для любою значения х выполняем равенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют четной.

Определение: ФункциюКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют четной, если для любою значения х из определения области ее определения значение х также принадлежит области определения и выполняется равенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Область определения четной функции симметрична относительно начала координат, так как вместе со значением х она содержит и значение х.

График четной функции симметричен относительно оси у (см., например, рис. 28). поэтому для построения графика четной функции достаточно построить часть графика для Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а потом симметрично отобразить эту часть относительно оси у.

На рисунке 29 изображен график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Так как для любою значения х выполняется равенствоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения . Функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют нечетной.

Определение: Функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияназывают нечетной, если для любого значения х из области ее определения значение х также принадлежит области определения и выполняется равенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Область определения и график нечетной функции симметричны относительно начала координат. Поэтому для построения трафика нечетной функции достаточно построить часть графика для Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а потом симметрично отобразить эту часть относительно начала координат.

Рассмотрим функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Область ее определения — множество всех действительных чисел — симметрична относительно начала координат. Для этой функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Равенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не выполняются для всех значений х, например, дня Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Эта функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, также не является ни четной, ни нечетной, так как область определения функции (промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не симметрична относительно начата координат.

Итог. Чтобы исследовать функциюКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на четность, нужно:

1) найти область определении функции и выяснить, симметрична ли она относительно начала координат;

2) если обметь определенна симметрично относительно начала координат, то находим Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения:

а) если для любого значения х из области определения функции выполняется равенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то функция является четной;

б) если Оля нового значения х из области определения функции выполняется равенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то функция является нечетной:

в) если хотя бы для одного значения д из области определения функции ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной;

3) если область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример №22

Найти нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Решим уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, функция имеет два нуля: х = 2 и х = 6.

Ответ. 2; 6

Пример №23

Доказать, что функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

ПустьКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — два произвольных значения аргумента из промежутка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, a Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — соответствующие им значения функции, то естьКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Покажем, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Для этого рассмотрим разность

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принадлежат промежутку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (поскольку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения) и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Большему значению аргумента из промежутка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения соответствует большее значение функции. Следовательно, функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает.

Пример №24

Четной или нечетной является функция: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Областью определения каждой из данных функций является множество всех действительных чисел. Поэтому область определения каждой функции симметрична относительно начала координат. Для любого значения х имеем:

a) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияфункция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияявляется нечетной;

б ) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является четной;

в) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Возьмем х = 1 н найдем:Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияВидим, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияне является ни четной, ни нечетной.

Ответ. а) Нечетная: б) четная; в) ни четная, ни нечетная.

Преобразование графиков функций

График функции y=f(x)±n, где n > 0

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пусть имеем график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а нужно построить графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для любого значения х значение функцииКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 2 больше соответствующего значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 3 меньше соответствующего значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. (Из таблицы это легко увидеть для выбранных значений х.)

Поэтому график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить при помощи параллельного переноса графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдоль оси у на 2 единицы вверх (см. рис. 33). График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить при помощи параллельного переноса графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдоль оси у на 3 единицы вниз.

Если функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения записать в виде Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будут функциями вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а именно: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Вообще, график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх: график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вниз.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

График функции y=f(x±m), где m > 0

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пусть имеем график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а нужно построить графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из таблицы видно, что график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи параллельного переноса вдоль оси х на 3 единицы вправо (рис. 34).

График функцииКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи параллельного переноса вдоль оси х на 2 единицы влево (рис. 34).

Если функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения записать в виде Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будут функциями вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а именно: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Вообще, график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо; график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, можно получить из графика функцииКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи параллельного переноса вдоль оси х на m единиц влево.

График функции y=f(x±m)+n, где m > 0 и n > 0

График функцииКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Еe график можно получить, если осуществить параллельный перенос график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдоль оси х на 2 единицы вправо, а потом вдоль оси у на 1 единицу вниз (рис. 35).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

График функции y=-f(x)

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пусть имеем график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения а нужно построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения противоположны соответствующим значениям функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому каждая точка графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения симметрична соответствующей точке графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения относительно оси х. Например, точка (2;-4) графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения симметрична точке (2; 4) графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения относительно оси х. Следовательно, график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить из трафика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи симметрии относительно оси х (рис. 36).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения записать в виде Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет функцией вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Вообще, график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить ш графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи симметрии относительно оси х.

График функции y=af(x), где a > 0

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пусть имеем график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а нужно построить графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для любого значения х значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в два раза больше соответствующего значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения , а значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в два раза меньше соответствующего значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. (Из таблицы это легко увидеть для выбранных значений х.)

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, растянув последний or оси х в два раза, а график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения сжав последний к оси х в два раза (см. рис. 37).

Гели функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения записать в виде Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияи

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будут функциями вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где а > 0, а именно: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения .

Вообще, график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, растянув последний от оси х в а раз при а > 1, и сжав его до оси х в Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения раз при 0 Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 1.

График функции y= [f(x)]

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

По определению модуля числа имеем:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения равны, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то значения этих функций являются противоположными числами. Поэтому график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить так: строим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и ту его часть, которая находится ниже оси х, симметрично отображаем относительно этой оси.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 38 изображен график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Сравните его с гpaфиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 35).

График функции y= f([x])

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим два свойства данной функции.

  1. Функция является четной. Действительно, из тождества Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения следует, что для любою значения х из области ее определения выполняется равенствоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, трафик функции симметричен относительно оси у.
  2. Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, тоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения совпадает с графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно построить так: строим часть графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения для Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; выполнив симметрию построенной части относительно оси у, получаем вторую часть графика для Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

На рисунке 39 изображен график функции у = (|л| 2)2 — 1. Сравните его с трафиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 35).

Пример №25

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Строим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Параллельно переносим его вдоль оси х на 2 единицы влево, а потом вдоль оси у па 1 единицу вверх. Получаем искомый график (рис. 40).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №26

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Последовательно строим графики следующих функций:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения изображен на рисунке 41.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №27

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Последовательно строим графики следующих функций:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения изображен на рисунке 42.

Функция y=ax2

Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим пример. Пусть тело свободно надает. Путь S, пройденный телом за время и можно найти по формуле

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

где g — ускорение свободного падения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Перейдя к принятым обозначениям аргумента и функции, получим функцию, которая задается формулой вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Нa рисунках 44 и 45 изображены графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, которые являются частными случаями функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при а равно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, как и график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют параболой.

Функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, имеет такие свойства:

  1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел.
  2. При а > 0 областью значений функции является промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; при а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 0 — промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения
  3. График функции — парабола.
  4. Если х = 0, то у = 0. График проходит через точку (0; 0). Эту точку называют вершиной параболы.
  5. При а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 0 все точки параболы, кроме ее вершины, расположены выше оси х; при а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 0 — ниже этой оси. Говорят: при а > 0 ветви параболы направлены вверх; при а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 0 — вниз.
  6. При а> 0 функция возрастает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения При а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 0 функция возрастает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения
  7. Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияявляется четной, так как для любого значения х выполняется равенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. График функции симметричен относительно оси у.

Докажем, что функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при а> 0 возрастает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — два произвольных неотрицательных значения аргумента, причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — соответствующие им значения функции, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Покажем, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Для этого рассмотрим разность:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Учитывая, что а > 0, имеем:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при а > 0 функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает.

То, что функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при а > 0 убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения доказывается аналогично.

Вычисление квадратичной функции

Рассмотрим пример. Пусть тело движется прямолинейно вдоль оси х с ускорением Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Если в начальный момент времени оно имело скорость Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, и находилось в точке с координатой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то координату х тела в момент времени г можно найти по формуле

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В частности, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, тоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Формула Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениязадает функцию, которую называют квадратичной.

Определение: Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где х — независимая переменная, a, b и с — некоторые числа, причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Так, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — квадратичные функции.

График квадратичной функции

Выясним сначала, что является графиком квадратичной функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Для этого преобразуем квадратный трехчлен Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения так:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Записав квадратный трехчлен Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в виде Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, говорят, что из данного квадратного трехчлена выделили квадрат двучлена х — 2.

Вообще, выделить из квадратного трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения квадрат двучлена значит записать его в виде Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где m и nнекоторые числа.

Итак, квадратичную функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно задать формулой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому ее график можно получить, если график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения параллельно перенести вдоль оси x на 2 единицы вправо, а потом вдоль оси у на 1 единицу вниз (рис. 46).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим общий случай. Пусть имеется квадратичная функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Выделим из квадратного трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения квадрат двучлена:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи двух параллельных переносов вдоль осей координат (см. рис. 47). Графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является парабола.

Точку (m;n), где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, называют вершиной этой параболы. Ее осью симметрии является прямая х = m. При а> 0 ветви параболы направлены вверх, при а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 0 — вниз.

Координаты вершины параболы можно найти по формулам

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения,

или по формулам

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

(ордината n вершины параболы является значением квадратичной функции при х = m).

Построение графика квадратичной функции

Рассмотрим квадратичную функцию

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то график этой функции можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи двух параллельных переносов: вдоль оси х па 2 единицы влево и вдоль оси у на 1 единицу вниз (см. рис. 48).

Параболу, являющуюся графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, можно построить и так:

1) находим координаты вершины параболы:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения— абсцисса вершины;

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения— ордината вершины.

2) находим значения функции при нескольких целых значениях х близких к абсциссе вершины:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. Получаем искомую параболу (рис. 49).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Положение графика квадратичной функции

В таблице показано положение графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D квадратного трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

При D > 0 парабола пересекает ось x в двух точках; при D = 0 — касается этой оси; при D Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения О — не имеет с осью х общих точек.

Пример №28

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Используя график, найти:

а) область значений функции;

б) промежуток, па котором функция возрастает; убывает.

Решение:

Найдем координаты вершины параболы:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Составим таблицу’ значений функции для нескольких значений х:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметив точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получаем искомый график (рис. 50).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из графика следует: а) областью значений функции является промежутокКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; б) функция возрастает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №29

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Графиком данной функции является парабола. Нулями функцииКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения являются Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Нули параболы симметричны относительно ее оси, поэтому абсцисса ее вершины равнаКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения(середине отрезка с концами в нулях функции).

Находим ординату вершины: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Ось у парабола пересекает в точке (0; 3). График функции изображен на рисунке 51.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Доказать, что функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает только положительные значения, и найти наименьшее значение функции.

Находим координаты вершины параболыКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения—абсцисса вершины; Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения —ордината вершины.

Так как ветви параболы направлены вверх, то значение квадратичной функции при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является наименьшим. Это наименьшее значениеКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения положительно, поэтому квадратичная функция принимает только положительные значения.

Неравенства второй степени с одной переменной

Неравенства вида

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

где х— — переменная, а, Ь, с — некоторые числа, причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют неравенствами второй степени с одной переменной (или квадратными неравенствами).

Например, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — квадратные неравенства. Решение квадратных неравенств можно свести к нахождению промежутков, на которых квадратичная функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает положительные, неположительные, отрицательные или неотрицательные значения. Рассмотрим примеры.

Пример №30

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рассмотрим квадратичную функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, пересекает ли парабола ось х. Для этого решим уравнениеКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Его корнями являются Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Итак, парабола пересекает ось х в двух точках с абсциссами Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Схематически изображаем параболу на координатной плоскости (рис. 53). Из построенного графика видим, что функция принимает положительные значения, если х принадлежит промежутку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или промежутку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения(на этих промежутках парабола расположена выше оси х. Следовательно, множеством решений заданного неравенстваКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Используя схематическое изображение параболыКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 53), можно записать и множества решений следующих неравенств.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №31

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Графиком функцииКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является парабола, ветви которой направлены вниз. Решив уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Поэтому парабола пересекает ось х в точках с абсциссамиКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и 4. Схематически изображаем данную параболу (рис. 54). Функция принимает неотрицательные значения, если х принадлежит промежутку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Этот промежуток и является множеством решений неравенства.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №32

Решить неравенство: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является парабола, ветви которой направлены вверх. Уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения=0 не имеет корней, так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, парабола не пересекает ось х. Схематически изображаем эту параболу (рис. 55). Функция при всех значениях х принимает положительные значения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому множеством решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является множество всех действительных чисел, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения решений не имеет.

Отвез, а)Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; б) решений нет.

Итог. Чтобы решить неравенство вида

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно рассмотреть квадратичную функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и:

1) найти нули функции;

2) если квадратичная функция имеет два нуля, то отметить их точками на оси х и через эти точки схематически провести параболу Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 0;

если квадратичная функция имеет один нуль, то отметить его точкой на оси х и схематически провести параболу, которая касается оси х в этой точке; ветви параболы направлены вверх при а > 0 и вниз при а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 0;

если квадратичная функция не имеет нулей, то схематически провести параболу, расположенную в верхней полуплоскости ветвями вверх при а > О, в нижней полуплоскости ветвями вниз при а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 0;

3) найти на оси х промежутки, на которых значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияудовлетворяют соответствующему неравенству.

Пример №33

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Перенесем слагаемые из правой части неравенства в левую, изменив их знаки на противоположные, и упростим полученное в левой части выражение:Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Разделим обе части последнего неравенства на -4, получим неравенствоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Графиком квадратичной функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является парабола, ветви которой направлены вверх. Уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет корни Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияи Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, парабола пересекает ось х в точках с абсциссамиКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Изображаем схематически эту параболу (рис. 56). Множеством решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения а значит, и заданного в условии неравенства, является промежутокКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №34

Найти область определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Область определения функции образуют те значения х при которых подкоренное выражение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает неотрицательные значения.

Решим неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является парабола, ветви которой направлены вниз. Уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет корни: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, парабола пересекает ось х в точках с абсциссами 0 и 2. Изображаем схематически эту параболу (рис.57). НеравенствоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения выполняется, если х принадлежит промежутку [0; 2). Это и есть искомая область определения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. [0; 2].

Пример №35

Найти область определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Область определения функции образуют те значения х, которые являются решениями системы неравенств

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Корнями уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения являются числа -4 и 1. Так как ветви параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения направлены вверх, то множеством решений первого неравенства системы является множество Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решим второе неравенство системы: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения множество решений второго неравенства.

Отметим на координатной прямой множества решений обоих неравенств.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Общие решения неравенств системы образуют множество Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №36

Решить неравенствоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Выражение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет смысл приКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому решения данного неравенства должны принадлежать промежутку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Так как множительКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает только неотрицательные значения, а именно: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения приКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то рассмотрим два случая:

1) х = 1. Тогда получим верное неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, х = 1 —решение неравенства.

2) х > 1. Тогда множитель Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — положительный, и данное неравенство будет выполняться, если второй множитель неотрицательный. Имеем систему неравенств: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Решив эту систему, найдем решения: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №37

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Дробь в левой части неравенства имеет смысл при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Так как при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения знаменатель дроби положителен, то данное неравенство будет выполняться, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Множеством решений квадратичного неравенства является промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Исключив из него число 2, получим множество решений данного неравенства: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Метод интервалов

Решим неравенство

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для этого рассмотрим функцию

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

и найдем значения х при которых она принимает положительные значения. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, а нулями — числа -1, 2 и 4. Нули разбивают область определения па четыре промежутка: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. На каждом из этих промежутков каждый из множителей произведения (х + 1 )(х — 2)(х — 4) имеет определенный знак. Знаки множителей и знаки произведения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения представлены в таблице.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает положительные значения на промежуткахКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Поэтому множеством решений неравенств Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Отметим на координатной прямой нули функцииКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и ее знаки на промежутках Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 61). На каждом из этих промежутков функция сохраняет знак, а при переходе через значения -1, 2 и 4 (нули функции) ее знак поочередно меняется. На крайнем справа промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения как видно из таблицы, функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает положительные значения. Поэтому знаки функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на промежутках можно было найти так: отмечаем знаком «+» знак функции на крайнем справа промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения а потом, используя свойство чередования знаков, определяем знаки функции на остальных промежутках, двигаясь справа налево.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Описанным способом можно найти знаки функции вила

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — некоторые попарно различные числа, на промежутках, которые определяются нулями этой функции. Зная знаки функции на промежутках, можно записать множества решений неравенств

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №38

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Отметим на координатной прямой нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — числа -3, -2 и 6. Отметим далее знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа — знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, они чередовались).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Множеством решений неравенства является объединение промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и (-2; 6).

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотренный в примере метод решения неравенств называют методом интервалов.

Чтобы решить неравенство вида (1) методом интервалов, нужно:

  1. отметить на координатой прямой нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения
  2. отметать знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа— знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, эти знаки чередовались);
  3. выбрав промежутки, на которых функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает значения соответствующего знака, записать множество решений неравенства.

Метод интервалов можно применить при решении не только неравенств вида (1), но и неравенств, которые путем преобразований сводятся к одному из неравенств этого вида. Рассмотрим пример.

Пример №39

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Приведем данное неравенство к виду (1). Для этого в выражении 1 — 2х вынесем за скобки множитель -2, а квадратный трехчлен Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения разложим на множители:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Разделив обе части неравенства на -2, получим неравенство вида (1):

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим на координатной прямой нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и ее знаки на образованных промежутках.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

На промежутках Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает положительные значения, а при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — значение 0. Поэтому Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения если х принадлежит промежутку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или промежуткуКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если в неравенствах (1) не все числа Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения являются попарно различными, то рассмотренный алгоритм определения знаков функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения применять нельзя. Способ решения таких неравенств показан в следующем примере.

Пример №40

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Отметим на координатной прямой нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияи ее знаки на образованных промежутках.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

На крайнем справа промежуткеКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения все множители произведения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения являются положительными, поэтому на этом промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Двигаясь справа налево при переходе через значение х = 3, функция меняет знак, та как меняет знак множитель Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияявляющийся нечетной степенью двучлена х — 3. При переходе через значение х = I знак функции не меняется, так как не меняется знак множителя Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, являющегося четной степенью двучлена х — 1. При переходе через значение х = -0,5 функция меняет знак, так как меняет знак множитель х + 0,5 — нечетная (первая) степень двучлена х + 0,5.

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение дробных рациональных неравенств

Метод интервалов можно применять и при решении дробных неравенств.

Решим неравенство

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

  1. Найдем область определения функции: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения
  2. Найдем нули функции: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения
  3. Отметим на координатной прямой точки, соответствующие числам -1, 2 и 4.

Знаки частного Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияна промежутках Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения определяем так же, как и знаки произведения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает положительные значения на промежутках (-1; 2) и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Поэтому множеством решений неравенства (2) является Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №41

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Приведем данное неравенство к неравенству, левой частью которого является дробь, а правой — нуль:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Нулем функцииКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является х = 1; при х = -2 эта функция не определена. Отмстим на координатной прямой точки, соответствующие числам -2 и 1, а также знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа — знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, эти знаки чередовались).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

На промежутках Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает положительные значения, а при х — 1 — значение 0. Поэтому множеством решений неравенства является объединение промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Системы уравнений с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными

Пусть известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см. Если длину одного из катетов обозначить через х см, а второго — через у см, то получим равенство

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

содержащее две переменные х и у. Такое равенство, как известно, называют уравнением с двумя переменными (или уравнением с двумя неизвестными).

Уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения также являются уравнениями с двумя переменными.

Левой частью уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является многочлен второй степени, а правой — нуль. Такое уравнение называют уравнением второй степени с двумя переменными.

УравненияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения являются соответственно уравнениями первой, второй и четвертой степеней.

Напомним, что решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых уравнение превращается в верное числовое равенство. Так, уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при х = 3, у = 4 превращается в верное числовое равенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Поэтому пара значений переменных х = 3, у = 4 является решением уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Это решение записывают еще и так: (3; 4). Решениями уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения являются также пары (-3; 4), (4; 3), (0; 5), (-5; 0) и т. п.

Если на координатной плоскости отметить все точки, координаты которых являются решениями некоторою уравнения с двумя переменными, то получим график этого уравнения.

Так, графиком уравнения 2х — 5у = 1 является прямая, (графиком уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения— окружность радиуса 5 с центром в начале координат (рис. 62). Уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения равносильны уравнениям Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому их графиками являются соответственно парабола и гипербола.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Графический способ решения систем уравнений

В 7 классе мы рассматривали разные способы решения систем линейных уравнений: графический способ, способы подстановки, сложения. Пусть нужно решить систему оба уравнения которой являются уравнениями второй степени.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Построим в одной системе координат графики обоих уравнений системы (рис.63). Графиком уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является окружность, а графиком уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения -парабола. Эти графики имеют 3 общих точки: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Легко проверить, что координаты каждой из этих точек являются решениями как первого, так и второго уравнений системы. Поэтому система имеет 3 решения: (0: 5), (-3; -4) и (3; -4).

Чтобы решить систему уравнений с двумя переменными графическим способом, нужно построить графики уравнений системы в одной системе координат и найти координаты оби/их точек этих графиков.

Решение систем уравнений

Если в системе уравнений с двумя переменными одно из уравнений является уравнением первой степени, то такую систему можно решить способом подстановки.

Пример №42

Решить систему уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Выразим из первого у равнения переменную у через переменную х:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Подставим во второе уравнение вместо у выражение Зх — 2 и решим полученное уравнение с одной переменной х:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

По формуле Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения находим:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Итак, система имеет два решения: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решая систему уравнений способом подстановки, нужно:

  1. выразить из некоторого уравнения системы одну переменную через другую;
  2. подставить полученное выражение в другое уравнение вместо соответствующей переменной;
  3. решить полученное уравнение с одной переменной;
  4. найти соответствующее значение другой переменной.
Пример №43

Решит систему уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым уравнением, получим:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Итак, возможны два случая.

1) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения— решения системы.

2) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — решения системы.

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Замечания.

  1. Систему из примера 2 можно решать способом подстановки, выразив из второго уравнения переменную у через переменную Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения
  2. Решая систему уравнений вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения где а и b — некоторые известные числа, можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Так, решая пример 2 мы получили систему Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. На основании упомянутой теоремы числа х и у являются корнями квадратного уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Решив уравнение, найдем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда пары чисел (1: 3) и (3; 1) — решения данной системы.
Пример №44

Решить систему уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Положим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Получим систему линейных уравнений

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

решением которой является Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Возвращаясь к замене, получим:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решив последнюю систему способом подстановки, найдем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения-2.

Ответ. (2; 2), (-2; -2).

Пример №45

Решить систему уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Запишем данную систему так: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияРазделим почленно второе уравнение на первое (так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и на ху х делить можно). Получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, откуда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Подставим эти значения у в первое уравнение системы:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №46

Построить график уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как при допустимых значениях х выражение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияпринимает неотрицательные значения, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Поэтому данное уравнение равносильно таким двум условиям: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, графиком уравнения является полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат, находящаяся в верхней полуплоскости (рис. 64).

Пример №47

Построить график уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Если модуль числа равен 2, то этим числом является 2 или -2. Итак, 2ху = 2 или 2х — у = -2. Поэтому графиком уравнения являются две прямые, заданные уравнениями Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 65).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №48

Решить систему уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, откуда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Подставив вместо х выражениеКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения во второе уравнение системы, получим:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение задач при помощи систем уравнений

Рассмотрим примеры.

Пример №49

Из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 ч. Найти скорость движения каждой группы, если первой для преодоления всего пути между пунктами требуется времени на 0,9 ч больше, чем второй.

Решение:

Пусть скорость первой группы туристов х км/ч, а второй— у км/ч. Группы встретились через 2 ч, поэтому до встречи первая группа проплыла путь 2х км, а вторая — 2у км. Вместе они прошли 18 км. Получаем уравнение 2х + 2у = 18.

Чтобы пройти весь путь длиной 18 км, первой группе нужно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияч, а второй Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияч. Так как первой группе на это нужно времени на 0,9 ч больше, чем второй, то: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Получаем систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

По условию задачи х > 0 и у > 0. Поэтому, умножив обе части второго уравнения на ху, получим:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если х = 45, то у = 9 — 45 = -36 — не удовлетворяет неравенству у > 0.

Ответ. 4 км/ч; 5 км/ч.

Пример №50

Сад и огород имеют прямоугольную форму. Длина сада на 30 м меньше длины огорода, при этом его ширина на 10 м больше ширины огорода. Найти размеры сада, если его площадь Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а площадь огорода—Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По условию задачи составляем таблицу.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Получаем систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решим чту систему:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Значение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не удовлетворяет условию задачи (ширина сада не может выражаться отрицательным числом). Поэтому: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 30 м; 30 м.

Напоминаю:

Парабола имеет ряд интересных свойств. Представим себе, что парабола может отражать световые лучи. Если на параболу будет падать пучок лучей параллельно ее оси симметрии, то после отражения они пройдут через одну точку, которую называют фокусом параболы (на рисунке — это точка F). Наоборот, если в фокусе параболы поместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси симметрии.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

На этом свойстве параболы основано строение параболических зеркал. Поверхность такого зеркала получают вследствие вращения параболы вокруг своей оси. Параболические зеркала используют при создании прожекторов, телескопов, автомобильных фар и т. п.

При определенных условиях камень, брошенный под углом к горизонту, движется «по параболе». То же можно сказать и о пушечном снаряде.

Парабола

Рассмотрим уравнение

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения рассматривать как координаты точки, то уравнение (1) определит некоторое геометрическое место точек. Исследуем вид этого геометрического места. Заметим, что наше исследование будет неполным, так как останутся вопросы, которые нами пока не будут выяснены. Чем дальше мы будем продвигаться в изученйи математики, тем полнее будут проводиться исследования.

1) Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при любом значении Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения всегда неотрицательно, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, определяемое уравнением (1), всегда неотрицательно. Значит, любая точка, принадлежащая изучаемому геометрическому месту, не будет лежать ниже оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 18).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Так как и для —хи для х после возведения в квадрат получается одно и то же число, то точки, принадлежащие геометрическому месту и соответствующие значениям Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, имеют одну и ту же ординату и поэтому расположены симметрично относительно оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 19).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

3) Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения положительно, то, чем больше Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, тем больше и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому по мере возрастания абсолютной величины абсциссы величина ординаты тоже возрастает. Следовательно,точки геометрического места удаляются от начала координат вправо вверх и влево вверх.

Геометрическое место, определяемое уравнением Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, называется параболой и имеет вид, изображенный на рис. 20. Эту кривую линию называют также графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Точка (0, 0) принадлежит геометрическому месту, поэтому можно сказать, что парабола проходит через начало координат. Эту точку называют вершиной параболы. Часть параболы, расположенная в первой четверти, и часть параболы, расположенная во второй четверти, называются ее ветвями.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Теперь рассмотрим уравнение

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Оно определяет геометрическое место точек. Сравнивая уравнения (1) и (2), замечаем, что при одном и том же Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения отличаются только знаками, именно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, полученный из уравнения (2), всегда неположителен. Поэтому уравнение (2) тоже определяет параболу, вершина которой также находится в точке (0, 0), но ветви этой параболы идут от начала координат вниз вправо и вниз влево. График функции (2) изображен на рис. 21.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Перейдем к рассмотрению уравнения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Сравним его с уравнением (1).

Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения положительно и больше единицы, то очевидно, что при одном и том же значении Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения величина Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения из уравнения (3) будет больше, чем величина Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, взятая из уравнения (1). Отсюда можно заключить, что кривая, определяемая уравнением (3), отличается от параболы (1) только тем, что ординаты ее точек растянуты в Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения раз. Таким образом, кривая, определяемая уравнением (3), является более сжатой, чем парабола Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Эту кривую тоже называют параболой.

Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то получим параболу более раскрытую, чем парабола Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Для а отрицательного получаем аналогичные выводы, которые ясны из рис. 22.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Теперь покажем, что кривая, определяемая уравнением Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, является параболой, только ее расположение относительно координатных осей другое, чем в разобранных случаях. Предварительно рассмотрим параллельный перенос осей координат.

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости дана система координат Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 23). Рассмотрим новую систему координат Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Предположим, что новая ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения параллельна старой оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и новая ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения параллельна старой оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Начало координат новой системы— точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Масштаб и направление осей одинаковы в старой и новой системах координат.

Обозначим координаты нового начала Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения относительно старой системы координат через Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, так что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Возьмем произвольную точку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на плоскости; пусть ее координаты в старой системе будут Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а в новой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и (на основании формулы (2) из § 1 гл. 1)

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Переход от старой системы координат к указанной новой называется параллельным переносом или параллельным сдвигом осей координат. Приходим к выводу:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

При параллельном сдвиге осей координат старая координата точки равна новой координате той же точки плюс координата нового начала в старой системе.

Исследование функции y=ax2+bx+c

Исследование функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция, определенная уравнением

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

называется квадратичной функцией. Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, рассмотренная выше, является частным случаем квадратичной функции. Поставим перед собой цель—выяснить, как изменится уравнение (1), если перейти к новым координатам. Возьмем новые оси координат так, чтобы они были параллельны старым, т. е. ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет параллельна оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения—оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Масштаб и направление осей такие же, как и у старых. Пусть координаты нового начала в старой системе будут Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Подставим в уравнение (5) вместо Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения их выражения через новые координаты: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения,Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения .Получим Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Разрешив это уравнение относительно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, будем иметь

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Координаты нового начала находятся в нашем распоряжении, поэтому их можно выбрать так, чтобы выполнялись условия

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В этих уравнениях два неизвестных: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Найдем их:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если взять новое начало в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения,то в уравнении (2) скобки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияи Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения сделаются равными нулю, т. е. уравнение (2) примет вид

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Полученное уравнение имеет вид, рассмотренный выше. Таким образом, уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения относительно новой системы координат определяет ту же параболу, что и уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения*. Приходим к выводу:

Уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения определяет параболу, вершина которой находится в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияи ветви которой направлены вверх, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, и вниз, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Тот же вывод можно высказать по-другому:

График квадратической функции есть парабола с вершиной в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, ветви которой направлены вверх, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, и вниз, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №51

Выяснить вид и расположение параболы, заданной уравнением

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Переносим начало координат в точку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, координаты которой пока неизвестны. Старые координаты Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения выражаются через новые Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения по формулам

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Подставляя эти выражения в уравнение (4), получим:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Выберем координаты нового начала так, чтобы соблюдались равенства

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решая полученную систему уравнений, будем иметь:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, перенося начало координат в точку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, преобразуем уравнение (4) в новое уравнение, которое имеет вид

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, уравнение (4) определяет параболу, имеющую вершину в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, ветви параболы направлены вверх (рис. 24).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Приведем пример применения квадратичной функции в механике.

Пример №52

Найти траекторию тела, брошенного под углом к горизонту. Угол бросания Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, скорость бросания Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Решение:

Выберем оси координат так: ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения—вертикальная прямая, проведенная в точке бросания, ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — горизонтальная прямая, начало координат—точка бросания (рис. 25).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если бы не действовала сила притяжения Земли, то тело, брошенное под углом к горизонту, по инерции двигалось бы по прямой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. За Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения сек оно прошло бы расстояние Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и, стало быть, находилось бы в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Но под действием силы притяжения Земли это тело, как свободно падающее, за Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения сек пройдет вниз путь Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, тело фактически будет в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Вычислим координаты точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Найдем уравнение, связывающее Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения с Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Для этого из уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения найдем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и подставим это выражение в уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и, следовательно,

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

или

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Мы получили уравнение траектории тела. Как мы видим, это есть квадратичная функция рассмотренного вида, следовательно, тело, брошенное под углом к горизонту, движется в безвоздушном пространстве по параболе, расположенной вершиной вверх, поскольку коэффициент при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения отрицателен.

Какова наибольшая высота подъема тела над Землей? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти вершину параболы. Как было выведено, вершина параболы имеет координаты

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В нашей задаче Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения поэтому координаты вершины равны

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Найдем теперь дальность полета тела, т. е. абсциссу точки падения. Для этого приравняем в уравнении Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения нулю, получим уравнение

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

решая которое найдем два значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; первое из них дает точку бросания, а второе—искомую абсциссу точки падения. Все эти рассуждения относятся к безвоздушному пространству; в воздухе и высота и дальность будут значительно меньше.

Квадратичная функция в высшей математике

При любом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения квадратичная функция принимает вид Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Ее график показан на рисунке. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

График функции y=ya2

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Исследуйте таблицу значений для функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения,Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Определите, к какой функции относится каждый график на рисунке.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если увеличить ординату каждой точки параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в 2 раза, не меняя абсциссу, то получатся точки графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

То есть, график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения получается растяжением параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения от оси абсцисс в два раза.

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения получается сжатием параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения к оси абсцисс в два раза.

Парабола Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения «шире» параболы, соответствующей функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Парабола Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения получается от параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияпреобразованием симметрии относительно оси абсцисс. Подобным образом параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения симметричны относительно оси абсцисс.

График квадратичной функции

Графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является парабола с вершиной в начале координат и осью симметрии Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

• При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ветви параболы направлены вверх, а при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ветви параболы направлены вниз.

• При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения парабола, растягиваясь от оси абсцисс в вертикальном направлении, становится «уже» параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

• При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения парабола, сжимаясь к оси абсцисс в вертикальном направлении, становится «шире» параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

График функции y=x2+n

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2.

Функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения представлены в виде таблицы и графика. Начертите таблицу и график в тетради. Выясните, как изменится график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в зависимости от значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Построим параболу Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и сдвинем ее на 1 единицу вверх вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Вершиной параболы будет точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения останется осью симметрии. Абсцисса каждой точки останется прежней, а ордината увеличится на одну единицу. То есть, ордината точки с абсциссой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения новой параболы будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Парабола, соответствующая функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения получается сдвигом параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 1 единицу вверх вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Вершина параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Сравним параболы, соответствующие функциям Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Парабола, соответствующая функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получается сдвигом параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 2 единицы вниз. Вершина параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, расположение параболы по отношению к Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения меняется но вертикали вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Важно правильно отметить точку вершины параболы.

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения получается сдвигом параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

• Парабола сдвигается на Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения единиц вниз вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а вверх если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

• Вершина параболы находится в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример 3. Функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения представлены в виде таблицы и графика. Начертите таблицу и график в тетради. Исследуйте, как изменится график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в зависимости от значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

График функции y=(x m)+2

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Сдвинем параболу Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 3 единицы влево. Точкой вершины параболы будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на сдвиженной параболе получается сдвигом на три единицы точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на данной параболе. Поэтому абсцисса точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а ордината будет такой же как и ордината точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Так как ордината произвольной точки на данной параболе равна квадрату абсциссы, то получим Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения То есть, для точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на сдвиженной параболе будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если параболу Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения сдвинем на 3 единицы влево, то получится парабола Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если параболу Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения сдвинем на 2 единицы вправо, то получится парабола, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Число Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения меняет положение параболы вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (по горизонтали).

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения получается сдвигом параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения единиц вдоль оси абсцисс.

• Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, парабола сдвигается вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вправо, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения -влево.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения соответствует абсциссе точки вершины параболы. Точкой вершины параболы будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

• Прямая Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является осью симметрии параболы.

График функции y=a(x-m)2+n

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обобщив рассмотренные построения, покажем построение параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения по графику функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Сначала рассмотрим примеры.

Пример 4. Исследуйте построение графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при помощи сдвига параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

1. Постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, направление ветвей параболы не меняется. Поскольку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, парабола «расширяется», потому что при одинаковом значении Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет в 3 раза меньше. Например, точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения данная на графике Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения , для данной функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

3. Отметьте точку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения симметричную точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения относительно оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

4. Начертите параболу, проходящую через точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Это график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

5. Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения сдвиньте данную параболу на 5 единиц вправо и 4 единицы вниз. Полученная парабола является графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Точка с координатами Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — вершина параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Осью симметрии этой параболы является прямая Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример 5. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

• Постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

• Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, ветви параболы функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения направлены вниз. График этой функции будет «уже» параболы, соответствующей функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Потому что при соответствующих значениях Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения по модулю будет в 2 раза больше. Например: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметьте эти точки и постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, соединив их сплошной кривой.

• Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то при сдвиге параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх получится график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Вершина параболы будет в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

• Прямая Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является осью симметрии параболы.

Представление квадратичной функции в разных формах и ее графики

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Во всех случаях, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ветви параболы направлены вверх; если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ветви параболы направлены вниз.

Точка вершины параболы и точки пересечения с осями координат важные точки параболы.

Шаги построения параболы:

1. Находится точка вершины и отмечается на координатной плоскости.

2. Находятся точки пересечения с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (если есть) и осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

3. Определяется ось симметрии

4. Отмечаются несколько точек на параболе относительно оси симметрии.

5. Строится парабола, проходящая через отмеченные точки.

Пример 1. Построим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, ветви параболы направлены вниз.

1. Отметим точку вершины параболы: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениято есть, парабола пересекает ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

3. Начертим ось симметрии Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и отметим точку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениянаходящуюся на параболе .

4. Отметим точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения симметричные точкам Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения относительно прямой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

5. Построим параболу, проходящую через отмеченные точки.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2. Построим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — точки пересечения с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

• Ось симметрии проходит через точку, находящуюся на одинаковом расстоянии от этих точек: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

• Абсцисса вершины параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, ордината Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Отметим точку вершины Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияна координатной плоскости.

• Проведем ось симметрии Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Отметим две точки, симметричные относительно оси симметрии. Например, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения То есть, отметим точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

• Построим параболу, проходящую через отмеченные точки.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример 3. Выразите функцию, заданную графически и по кординатам вершины Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

1. Как видно из рисунка, вершина параболы находится в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Так как ветви параболы направлены вверх, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Учитывая значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, функцию можно записать в виде Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

3. Записав координаты любой точки графика, например, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, в формулу функции, можно найти Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Учтем точку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Формулой функции является Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Нули квадратичной функции

Пересечение графика квадратичной функции с осью абсцисс.

В точках графика, которые находятся на оси абсцисс значение функции равно 0. Значения аргумента, при которых функция равна нулю, называются нулями функции. Определим число нулей для функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения по значениям Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

• По значению Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно определить, направлены ли ветви параболы вверх или вниз.

• По значению Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно определить, находится ли точка вершины параболы выше, ниже или на оси абсцисс.

По точке вершины параболы и направлению ее ветвей вниз или вверх определим число точек пересечения графика с осью абсцисс на примерах.

Пример 1. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример 3. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Общий вид квадратичной функции

Любая квадратичная функция вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения может быть представлена в виде Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения выделением полного квадрата.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обозначив Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Осью симметрии параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является прямая Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Точкой вершины будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Здесь, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример 1: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если в уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вписать значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то данная функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения примет вид: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Свойства квадратичной функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно обобщить нижеследующим образом.

При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ветви параболы, являющейся графиком квадратичной функции, направлены вверх, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ветви параболы направлены вниз.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Абсциссой точки вершины параболы будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения , а уравнением оси симметрии Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Парабола пересекается с осью ординат в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Значение ординаты (т.е. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения) точки вершины графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет наименьшим значением (НмЗ) функции, а при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет наибольшим значением (НбЗ) функции. Эти значения также называются максимальными и минимальными значениями функции.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Множество значений, принимаемых аргументом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, является областью определения функции. Областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел. Значения, принимаемые функцией Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, образуют множество значений функции. Множеством значений функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является множество всех действительных чисел, меньших или равных максимальному значению функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения множество всех действительных чисел, больших или равных минимальному значению функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Если график «поднимается вверх» слева направо, то функция возрастает. Если график «опускается вниз» слева направо, то функция убывает. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение задач с применением квадратичной функции

Пример:

Каковы должны быть измерения хлева прямоугольной формы с периметром 200 м, чтобы площадь его была наибольшей?

Решение:

1. Допустим, что длина хлева с периметром 200 м равна Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Запишем выражение, определяющее зависимость между шириной и длиной хлева

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Напишем функцию, определяющую зависимость площади хлева от его длины.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

3. Выделим полный квадрат функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

4. Запишем координаты точки вершины и исследуем задачу.

Вершины находится в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, эта точка является максимумом функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. То есть, функция получает максимальное значение при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, и это значение равно 2500. Отсюда видно, что площадь прямоугольного хлева с периметром 200 м будет равна Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, если его длина будет равна 50 м, ширина также равна 50 м (т.е. он должен иметь форму квадрата).

Пример:

Группа студентов открыла компанию по производству компьютерных деталей. Прибыль, полученную от производства, можно выразить функцией Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Здесь Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения показывает число деталей, произведенных за неделю.

a) Найдите координаты точек пересечения графика данной функции с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Какую реальную информацию отражают эти координаты?

b) Найдите координаты точек пересечения графика данной функции с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Какую реальную информацию отражают эти координаты?

c) Для функции, выражающей прибыль, найдите координаты точки вершины графика. Какую реальную информацию отражают эти координаты?

d) Представьте в виде графика функцию, выражающую прибыль.

Решение:

а) В точках пересечения графика с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения точки пересечения графика с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Ординаты этих точек показывают, что прибыль равна нулю. То есть, если число деталей 10 или 40, то прибыль равна нулю. В экономике эту точку называют точкой «поворота».

b) Точка пересечения с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Точка пересечения с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения То есть, если компания не будет производить никаких деталей, то еженедельные потери будут составлять 800 ман.

c) Абсцисса точки вершины графика функции:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ордината: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Координаты точки вершины: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Эти данные показывают, что компания может получать максимальный доход 450 ман. в неделю. А это возможно в случае производства 25 деталей.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Если цена одной спортивной рубашки 8 руб, то магазин продаст 10 рубашек вдень. Владелец магазина считает, что снижение цены одной рубашки каждый раз на 2 руб может привести к ежедневному увеличению продажи рубашек на 5 штук. Какова должна быть цена рубашки, чтобы поступление от продажи было максимальным?

1. Примем число снижений цен на 2 руб за Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Тогда цена одной рубашки будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

2. Количество рубашек, проданных ежедневно будет Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

3. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения выражает поступление от продажи.

Координаты точек вершин этой функции: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения координаты точки вершины. Значит, если одна спортивная рубашка продается за Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения руб., то ежедневное поступление от продажи будет максимальным и составит 90 руб (если расчеты владельца магазина верны).

Полезные знания:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Трос (провод), поддерживающий вес моста, прикреплен к двум столбам, расстояние между которыми 370 м. Самая нижняя точка провода, являющегося по форме параболой, находится на расстоянии 25 м от земли. Высота каждого столба 50м. На какой высоте от земли находится точка на проводе крепления, расположенная на расстоянии 60 м по горизонтали, от одного из столбов.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияНарисуйте схематично соответствующую параболу. Отметьте на ней данные из задачи. Расположите начало координат Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в точке вершины параболы, в самой низкой точке. Данные, соответствующие расстоянию от начала координат до столбов и высоте столбов: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияФорму провода крепления можно выразить формулой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения По точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения найдите Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияТочка, находящаяся на расстоянии 60 м от одного из столбов, будет

находится на расстоянии Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения от точки вершины параболы. Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то указанная точка находится на расстоянии приблизительно 36,4 м от земли.

Функция y=[x] и ее график

Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и ее график

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Исходя из этих графиков, можно подвести нижеследующие обобщения.

Основные свойства функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

• График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения получается сдвигом графика Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения единиц горизонтально (при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения направо, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения налево) и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения единиц вертикально (при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вверх, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вниз).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — точка вершины графика, симметричного относительно прямой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

• При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения лучи, образующие график, направлены вверх, а при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения направлены вниз.

Пример №53

Постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

1. Отметьте точку вершины графика Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на координатной плоскости.

2. Отметьте какую-либо другую точку, например, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, соответствующую функции.

3. Отметьте точку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, симметричную точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения относительно оси симметрии Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

4. Учитывая, что лучи направлены вниз, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, постройте график по трем отмеченным точкам.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №54

Напишите соответствующую функцию по графику и данным точкам.

Решение:

1. Вершина графика находится в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

2. В уравнении Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вместо Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения напишем соответственно значение 0 и 3: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Запишем координаты точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в формуле: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция, соответствующая графику будет: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияПроверка: Постройте график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Обратите внимание на то, что ветви графика направленные вверх, более сжаты к оси ординат, чем у графика Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Расстояние между двумя точками

На числовой оси

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

На координатной плоскости

Расстояние между точками Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть длину отрезка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, можно найти из Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, применяя теорему Пифагора. Так как длины катетов Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения равны соответственно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения,то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Это формула расстояния между двумя точками. При решении задач на расстояние между двумя точками часто используется формула координат средней точки отрезка.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Область определения квадратичной функции

В 7 классе вы начали изучать одно из важнейших математических понятий — понятие функции. Напомним,что функцией (или функциональной зависимостью) называют такую зависимость, при которой каждому значению независимой переменной из некоторого множества соответствует единственное значение зависимой переменной.

Независимую переменную еще называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента (или просто функцией). Например, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является функцией аргумента Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Зависимость переменной Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения от переменной Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения записывают в виде: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (читают: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения равно Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения от Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения»). Символом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения обозначают значение функции для значения аргумента, равного Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №55

Рассмотрим функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Можно записать, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Найдем, например, значение функции для Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть найдем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Найдем значение этой функции в точках, которые равны 0; Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, — 1. Получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что в записи Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вместо Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно использовать и другие буквы: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и т. п.

Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Наибольшим значением функции называют наибольшее число из области значений функции, а наименьшим значением функции — соответственно наименьшее такое число.

Область определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения обычно обозначают Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а область значений — Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Если функция задана формулой и при этом не указана ее область определения, то будем считать, что эта область состоит из всех значений аргумента, при которых формула функции имеет смысл.

Пример №56

Найти область определения функции:

1) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

2) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Выражение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет смысл при любом значении Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, поэтому область определения функции -множество всех чисел, т. е. промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

2) Выражение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет смысл при любом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, кроме числа 8, поэтому областью определения функции является множество Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 1)Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; 2) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ можно было записать еще и так:

1) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; 2) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №57

Найти область определения и область значений функции: 1) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; 2) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

1) Областью определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Чтобы найти область значений функции, оценим выражение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения для всех значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Имеем:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при любом значении Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть областью значений функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

2) Область определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения состоит из таких значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, при которых выражения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения одновременно принимают неотрицательные значения. Следовательно, чтобы найти эти значения, надо решить систему неравенств:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения откуда получим, чтоКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, что решением системы является число 2, а значит, область определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения содержит лишь число 2. Чтобы найти область значений этой функции, достаточно вычислить Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 1) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; 2) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Отметим, что наибольшим значением функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является число 2, а наименьшего значения у нее не существует.

Напомним,что

графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Пример №58

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. По графику найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

Областью определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является множество всех чисел. По определению модуля числа имеем: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно записать в виде:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

График этой функции на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения совпадает с графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — с графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения изображен на рисунке 34. Очевидно, что наименьшим значением этой функции является число 0, а наибольшего значения не существует.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Наименьшее значение функции — 0, наибольшего не существует.

Свойства квадратичной функции

Рассмотрим функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, график которой изображен на рисунке 37. При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения илиКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значение функции равно нулю, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. В таком случае значения аргумента называют нулями функции. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

Очевидно, что нули функции являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью абсцисс, а ординаты этих точек равны нулю, так как точки лежат на оси абсцисс.

Следовательно, чтобы найти нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения , нужно решить уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №59

Найти нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Решим уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, -2 и 4 — нули функции.

Ответ. -2; 4.

График, изображенный на рисунке 37, пересекает ось абсцисс в точках Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Этот график пересекает также и ось ординат в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Абсцисса этой точки равна нулю, ведь точка лежит на оси ординат. Следовательно, ордината точки пересечения графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения с осью ординат равна числу Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть значению функции для значения аргумента, равного нулю.

Пример №60

Найти точки пересечения графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения с осями координат.

Решение:

Так как -2 и 4 — нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то ее график пересекает ось абсцисс в точках Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения пересекает ось ординат в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 37) разбивают ее область определения — промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения— на три промежутка: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Для значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения из промежутка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения точки графика лежат выше оси абсцисс, а для значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения из промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — ниже оси абсцисс. Следовательно, на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция принимает положительные значения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а на каждом из промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — отрицательные значения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Промежуток, на котором функция сохраняет свой знак, называют промежутком знакопостоянства функции.

Промежутки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения являются промежутками знакопостоянства функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, график которой изображен на рисунке 37.

Рассмотрим, как меняется (увеличивается или уменьшается) значение этой функции при изменении значений х от -4 до 4.

Из графика видим, что с увеличением значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения от -4 до 2 значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения увеличиваются (график «стремится» вверх), а с увеличением значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения от 2 до 4 значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения уменьшаются (график «стремится» вниз). Говорят, что на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция возрастает (или является возрастающей), а на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция убывает (или является убывающей).

Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Следовательно, по определению, функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения из этого промежутка, таких, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет место неравенство: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Нa рисунке 38 изображен график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, возрастающей на Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. При этом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют промежутком возрастания функции.

Аналогично, по определению, функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют убывающей на некотором промежутке, если для любых Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения из этого промежутка, таких, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, имеет место неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Нa рисунке 39 изображен график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, убывающей на Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. При этом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют промежутком убывания функции.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Выясним, какими свойствами обладают некоторые из ранее изученных функций.

Пример №61

Рассмотрим свойства функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 40 и 41).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

1) Областью определения и областью значений функции является множество всех чисел. 2) Найдем нули функции, решив уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения— единственный нуль функции.

3) Найдем промежутки знакопостоянства функции. Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Решив неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решив неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Решив неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решив неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

4) Проверим функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на возрастание и убывание. Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция на Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает.

Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция на Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения убывает.

5) Наибольшего и наименьшего значений у функции нет.

Пример №62

Рассмотрим свойства функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 42 и 43).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

1) Областью определения и областью значений функции является множество всех чисел, за исключением нуля.

2) Поскольку уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, решений не имеет, то у функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения нет нулей.

3) Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

4) При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения убывает на каждом из промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. При Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает на каждом из промежутков Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

5) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Пример №63

Рассмотрим свойства функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 44).

1) Область определения функции — множество всех чисел. Область значений — промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

2) Уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет единственное решение: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, число 0 — единственный нуль функции. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения 3) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Отметим, что не существует таких значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, при которых Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, поскольку неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеет решений.

4) Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и возрастает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

5) Наименьшее значение функции равно нулю, наибольшего — не существует.

Пример №64

Рассмотрим свойства функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 45).

1) Область определения и область значений функции -промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

2) Уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет единственное решение — число 0, которое является нулем функции.

3) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Нет таких значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, чтобы имело место неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, так как неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияне имеет решений.

4) Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения возрастает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

5) Наименьшее значение функции — число 0, наибольшего — не существует. Систематизируем свойства этих функций в таблицу. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Простейшие преобразования графиков квадратичной функций

Раньше вы строили только графики функций вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим некоторые преобразования графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, которые значительно расширят перечень функций, графики которых мы сможем построить.

1. Построение графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №65

Построить в одной системе координат графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Сначала составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента:Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из таблицы ясно, что для одного и того же значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 2 меньше, а значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 3 больше соответствующего значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно построить путем переноса каждой точки графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 2 единицы вниз, а график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — путем переноса каждой точки графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 3 единицы вверх (рис. 48).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Замечание. Вместо переноса графика функции вверх (вниз), можно переносить ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на то же расстояние в противоположном направлении.

2. Построение графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №66

Построить в одной системе координат графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Сначала составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента:Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Для каждого Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения равно значению функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. В таблице это соответствие показано стрелками для значений функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения соответственно.

Следовательно, если все точки графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения перенести вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 2 единицы вправо, то получим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 49).

Пример №67

Построить в одной системе координат графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Сначала составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента:Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Рассуждая, как в примере 2, придем к выводу, что график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить путем переноса графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 1 единицу влево (рис. 50).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Замечание. Вместо переноса графика функции влево (вправо) можно перенести ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на то же расстояние в противоположном направлении.

3. Построение графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №68

Построить в одной системе координат графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Сначала составим таблицу значений данных функций для нескольких значений аргумента:Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Из таблицы видим, что значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения для одних и тех же значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения противоположны соответствующим значениям функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Графики этих функций изображены на рисунке 51.

Если провести отрезки, соединяющие точки графиков функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения для одного и того же значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (на рис. 51 они показаны пунктиром для Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения), то ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения будет их срединным перпендикуляром. В таком случае говорят, что графики симметричны относительно оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения называют симметричными относительно прямой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, если прямая Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является срединным перпендикуляром отрезка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 52).

Следовательно, графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения симметричны относительно оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

4. Построение графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №69

Построить в одной системе координат графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Сначала составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента:Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

При любом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в 2 раза меньше соответствующего значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в 2 раза больше соответствующего значения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияможно получить путем сжатия графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдвое вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 53), а график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — путем растяжения графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдвое вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 54).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, для построения графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, достаточно график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения растянуть вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения раз, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, или сжать его вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения раз, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Выполняя последовательно два и более преобразований, можно строить графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, и другие.

Пример №70

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить путем переноса графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 2 единицы вправо, а затем — вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения на 3 единицы вверх. График изображен на рисунке 55.

Пример №71

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Построим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Растянув его вдвое вдоль оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Графики функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения симметричны относительно оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Построение изображено на рисунке 56.Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

5. Построение графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

По определению модуля числа имеем:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, для тех значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, при которых Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, соответствующие значения функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения равны, а потому для таких значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения графики этих функций совпадают. Для тех значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, при которых Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, соответствующие значения функций Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения являются противоположными числами, поэтому для таких значений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения графики этих функций симметричны относительно оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Для построения графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения достаточно построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и ту его часть, которая лежит ниже оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, симметрично отобразить относительно этой оси.

Пример №72

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Построим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Затем ту его часть, которая лежит ниже оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, симметрично отобразим относительно этой оси. График изображен на рисунке 57.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Функция y=ax2+bx+c,a≠0. ее график и свойства

Функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. ее график и свойства

Одной из важнейших функций в курсе математики является квадратичная функция.

Функцию вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, называют квадратичной функцией.

Математические модели многих реальных процессов в разнообразных сферах деятельности человека являются квадратичными функциями. В первую очередь это касается науки, в частности физики и экономики, а также техники.

Например, тело движется с ускорением Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и к началу отсчета времени Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения прошло расстояние Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, имея в этот момент скорость Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Тогда зависимость расстояния Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (в метрах), пройденного телом, от времени Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (в секундах) при равноускоренном движении задается формулой:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Тогда, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №73

Зависимость между площадью использованной земли и валовым доходом из расчета на 10 гектаров сельскохозяйственных угодий в фермерском хозяйстве лесостепной полосы можно выразить функцией Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — площадь сельскохозяйственных угодий (в га), Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — валовой доход на 10 гектаров сельскохозяйственных угодий (в тыс. грн). С какой площади хозяйство будет иметь наибольшую прибыль? Какова будет эта прибыль?

Решение:

В формуле функции выделим полный квадрат:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

таким образом, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Полученное выражение принимает наибольшее значение при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, хозяйство получит наибольшую прибыль с площади в 3 гектара.

Размер прибыли — значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (тыс. грн). Следовательно, наибольшая прибыль составит 22,5 тыс. грн.

Ответ. 3 га; 22,5 тыс. грн.

Рассмотрим свойства квадратичной функции и ее график. Начнем с ее частного случая.

Пусть в формуле квадратичной функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, тогда имеем функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Графиком функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 61), и вниз, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 62). Значение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения для функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является наименьшим, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, и наибольшим, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Систематизируем свойства в виде таблицы.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Теперь рассмотрим функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Выделим из трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения квадрат двучлена: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Обозначив Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения можно получить из графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения с помощью двух преобразований — переносов вдоль координатных осей.

График функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — парабола с вершиной в точке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения(рис. 63).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, ветви параболы направлены вверх, если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — вниз. Ветви параболы симметричны относительно прямой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. В этом случае говорят, что прямая Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является осью симметрии параболы (рис. 63).

Отметим, что абсциссу вершины параболы удобно находить по формуле Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а ординату Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — подставив найденное значение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решениявместо Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в формулу Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, таким образом Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

При построении графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения следует соблюдать такую последовательность действий:

  1. найти координаты вершины параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решенияи обозначить ее на координатной плоскости;
  2. построить еще несколько точек параболы и столько же точек, симметричных им относительно прямой Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения;
  3. соединить полученные точки плавной линией.

Систематизируем свойства в виде таблицы.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №74

Построить график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и описать ее свойства.

Решение:

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — вершина параболы. Тогда прямая Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является осью симметрии параболы.

Составим таблицу значений функции для нескольких пар точек параболы, симметричных относительно ее оси симметрии (благодаря симметрии ординаты в каждой такой паре будут одинаковы).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Отметим вершину параболы и точки из таблицы на координатной плоскости. Соединим их плавной линией и получим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 64).

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Опишем свойства этой функции:

  1. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения;
  2. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения;
  3. нули функции: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения;
  4. 4Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения;
  5. функция возрастает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и убывает на промежутке Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения;
  6. наименьшее значение функции: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №75

Вершиной параболы Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является точка Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Найти коэффициенты Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Мы знаем, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а по условию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, откуда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Так как график функции проходит через точку Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то, подставив координаты точки в формулу функции, получим верное равенство: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, откуда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратные неравенства

Неравенства вида Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, называют квадратными неравенствами (или неравенствами второй степени с одной переменной).

Например, квадратными являются неравенства: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решения квадратных неравенств можно рассматривать как промежутки, на которых квадратичная функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает положительные (для неравенств Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения), неотрицательные (для неравенств Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения), отрицательные (для неравенств Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения) и неположительные (для неравенств Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения) значения. Следовательно, чтобы решить квадратное неравенство, достаточно найти соответствующие промежутки знакопостоянства квадратичной функции.

Пример №76

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Рассмотрим функцию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Графиком ее будет парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, пересекает ли парабола ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, решив уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — нули функции, то есть парабола пересекает ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в точках с абсциссами 1 и -4. Строим схематически график данной функции, зная ее нули и направление ветвей (рис. 65). По графику определяем, что функция принимает отрицательные значения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, множеством решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №77

Решить неравенство: 1) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; 2) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; 3) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Рассмотрим схематическое изображение графика функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 65).

1) Неравенству Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют те же значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, что и неравенству Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а также числа -4 и 1 — нули функции, то есть те значения аргумента, при которых значение функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения равно нулю. Значит, множеством решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является промежуток Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. 2) Из рисунка 65 видим, что функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения принимает положительные значения при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Множеством решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является объединение этих промежутков, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. 3) Неравенству Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют те же значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, что и неравенству Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, включая нули функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть числа -4 и 1. Таким образом, множеством решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 1) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; 2) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения;

3) Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Отметим, что для предложенного способа решения ни положение вершины параболы, ни расположение параболы относительно оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения значения не имеют. Важно лишь знать абсциссы точек пересечения параболы с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (нули функции) и направление ее ветвей (вверх или вниз).

Таким образом, решать квадратные неравенства следует в такой последовательности:

  1. находим корни квадратного трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (если они существуют);
  2. если у неравенства строгий знак (Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения), то корни квадратного трехчлена отмечаем на оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения «выколотыми» точками (они будут исключены из множества решений неравенства); если — нестрогий (Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения), то корни отмечаем закрашенными точками (они будут включены в множество решений неравенства);
  3. схематически строим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, учитывая направление ветвей параболы и точки ее пересечения с осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения(если они существуют);
  4. находим на оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения промежутки, на которых функция Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет данному неравенству;
  5. записываем ответ.

Пример №78

Найти область определения функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Областью определения данной функции является множество решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

1) Корни квадратного трехчлена Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — числа 0 и 3.

2) Отмечаем корни на оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения закрашенными точками, так как знак неравенства — нестрогий.

3) Схематически строим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Это парабола, пересекающая ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в точках 0 и 3, ветви которой направлены вниз (рис. 66).

4) Неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения имеет место при Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №79

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

1) Корень уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — число 3.

2) Отмечаем точку 3 на оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения «выколотой», потому что знак неравенства — строгий.

3) Схематически строим график функции Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Это парабола с вершиной на оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, ее ветви направлены вверх (рис. 67). С осью Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения она имеет единственную общую точку -точку 3 (говорят, что парабола касается оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения).

4) Из рисунка 67 видим, что функция принимает положительные значения при любом значении Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, кроме Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Имеем множество решений неравенства: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №80

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения корней не имеет, так как Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, парабола Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не пересекает ось Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Ветви параболы направлены вниз (рис. 68).

Так как все точки параболы лежат ниже оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то множеством решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является множество всех чисел: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Пример №81

Решить неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Из рисунка 68 видим, что ни одна из точек параболы не лежит выше оси Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и не принадлежит ей, поэтому неравенство Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не имеет решений.

Ответ. Нет решений.

Пример №82

Решить систему неравенств:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Решениями системы неравенств являются общие решения неравенств системы. Следовательно, чтобы найти решения системы, нужно решить отдельно каждое из неравенств и найти их общие решения.

Множеством решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Множеством решений неравенства Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения является Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (решите эти неравенства самостоятельно).

Изобразим на координатной прямой полученные множества решений (рис. 69). Множеством решений системы будет их пересечение, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

В 7 классе вы решали системы двух линейных уравнений с двумя переменными, то есть системы, в которых оба уравнения имеют видКвадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — числа, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — переменные. Таковой, например, является система:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Напомним, что решением системы уравнении с двумя переменными называют такую пару значении переменных. при которых каждое из уравнении системы обращается в верное числовое равенство. Так, решением вышеприведенной системы является пара чисел Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Действительно: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — верные числовые равенства.

Уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения при условии, что хотя бы один из коэффициентов Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не равен нулю, называют уравнением первой степени с двумя переменными. Его можно заменить равносильным ему уравнением Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, левая часть которого — многочлен стандартного вида первой степени с двумя переменными, а правая — равна нулю.

Так можно определить степень любого уравнения с двумя переменными (а также и с большим количеством переменных). Для этого достаточно заменить уравнение равносильным ему уравнением, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а правая — нуль. Степень многочлена и будет степенью уравнения.

Так, например, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения— уравнение второй степени. Уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения равносильно уравнению Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и, следовательно, является уравнением третьей степени.

Рассмотрим системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения являются уравнениями второй степени, и способы решения таких систем.

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными графически

Системы уравнений второй степени с двумя переменными графически решают так же, как и системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Напомним последовательность действий для решения системы уравнений графически:

  1. построить графики уравнений в одной системе координат;
  2. найти координаты их точек пересечения или убедиться, что графики не имеют общих точек;
  3. если координаты точек пересечения — целые числа, то выполнить проверку; если нет — найти решения системы приближенно;
  4. записать ответ.

В отличие от линейного уравнения, графиком которого является прямая, графики уравнений второй степени довольно разные. Так, например, график уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (или равносильного ему уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения) — парабола, график уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (или равносильного ему уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения) — гипербола, а график уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — окружность.

Пример №83

Решить графически систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Построим в одной системе координат графики уравнений Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения (рис. 72). График первого уравнения — окружность с центром в начале координат и радиусом 4. График уравнения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения — прямая, проходящая через точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Графики имеют две общие точки Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Проверкой убеждаемся, что эти пары чисел — решения системы. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными способом подстановки

Если в системе уравнений с двумя переменными одно из уравнений является уравнением первой степени, то такую систему легко решить способом подстановки. Напомним последовательность действий этого способа:

  1. выразить в уравнении первой степени одну переменную через другую;
  2. подставить полученное выражение во второе уравнение системы вместо соответствующей переменной;
  3. решить полученное уравнение с одной переменной;
  4. найти соответствующие значения второй переменной;
  5. записать ответ.

Пример №84

Решить систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Выразим переменную Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения через переменную Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения из второго уравнения: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Подставим полученное выражение в первое уравнение вместо Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения получим уравнение с переменной Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

После упрощений получим уравнение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, корни которого Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

По формуле Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения найдем значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, соответствующие полученным значениям Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, система имеет два решения:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Оформить решение в тетради можно так:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными способом сложения

Как и для систем двух линейных уравнений с двумя переменными, этот способ используют, если в результате почленного сложения уравнений системы получается уравнение с одной переменной.

Пример №85

Решить систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Сложим почленно уравнения системы, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Подставив найденное значение Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, например, в первое уравнение системы, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Оформить решение в тетради можно так:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №86

Решить систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Умножим второе уравнение на -2:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Сложим почленно уравнения системы, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Имеем уравнение: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, корни которого: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Найдем соответствующие им значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, подставив найденные значения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения во второе уравнение исходной системы:

1) пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения;

2) пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то есть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными с помощью замены переменных

Некоторые системы уравнений второй степени (а также системы, которые содержат уравнение высших степеней) удобно решать, используя замену переменных.

Пример №87

Решить систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Введем замену: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Получим систему уравнений второй степени с переменными Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решив эту систему способом подстановки (сделайте это самостоятельно), получим Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Вернемся к переменным Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения: 1) если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Решив эту систему, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения; 2) если Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения то Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Имеем еще две пары чисел: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №88

Площади двух своих квадратов я сложил и получил Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Сторона второго квадрата равна Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения стороны первого и еще 5. Найти стороны этих квадратов.

Система уравнений к задаче в современной записи имеет вид:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы ее решить, автор возводит в квадрат левую и правую части второго уравнения:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

и подставляет найденное значение выражения Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения в первое уравнение: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения Далее автор решает это уравнение, находя Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, а затем Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Диофант, не имея обозначений для нескольких неизвестных, при решении задачи выбирал неизвестную величину так, чтобы привести решение системы к решению единственного уравнения.

Пример №89

Записать два числа, если известно, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208.

Современные математики свели бы эту задачу к системе:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Но Диофант в качестве неизвестной величины выбирал половину разности искомых чисел и получал (в современных обозначениях) систему:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Сначала складывая эти уравнения, а затем вычитая первое из второго, Диофант получал, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, и подставлял найденные выражения во второе уравнение исходной системы: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения чтобы получить уравнение с одной переменной: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, откуда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. (Диофант рассматривал лишь неотрицательные числа, поэтому корня Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения не получил).

Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

В XVII—XVIII вв. приемы решения систем линейных уравнений в общем виде с помощью метода исключения неизвестных рассматривали математики Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж и другие.

Благодаря методу координат, который предложили в XVII в. Ферма и Декарт, появилась возможность решать системы уравнений графически.

Система двух уравнений с двумя переменными как математическая модель текстовых и прикладных задач

Напомним, что в 7 классе вы решали текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений в такой последовательности, которую можно использовать и для решения более сложных задач:

  1. обозначить некоторые две неизвестные величины переменными (например, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения);
  2. в соответствии с условием задачи составить систему уравнений;
  3. решить полученную систему;
  4. проверить соответствие найденных значений переменных условию задачи, ответить на вопрос задачи;
  5. записать ответ.

Рассмотрим один из самых простых примеров, в котором система уравнений с двумя переменными является математической моделью текстовой задачи.

Пример №90

Сумма двух чисел равна 8, а их произведение равно 15. Найти эти числа.

Решение:

Обозначим неизвестные числа через Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Имеем систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решив систему (сделайте это самостоятельно), получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения или Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, искомые числа — это 3 и 5.

Ответ. 3 и 5.

Отметим, что эту задачу, как и некоторые последующие в этом параграфе, можно решить и с помощью уравнения с одной переменной.

Система уравнений с двумя переменными может служить математической моделью прикладной задачи. Напомним, что прикладные задачи — это задачи, которые содержат нематематические понятия, но могут быть решены методами математики.

Напомним также, что прикладную задачу целесообразно решать в такой последовательности:

  1. сформулировать задачу языком математики, то есть построить математическую модель задачи;
  2. решить полученную математическую задачу;
  3. проанализировать ответ и сформулировать его на языке исходной прикладной задачи.

Пример №91

Площадь земельного участка прямоугольной формы равна 60 Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Если длину этого участка уменьшить на 1 , а ширину увеличить на 2 , то получим земельный участок площадью 72 Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Найти длину ограждения данного участка.

Решение:

Пусть длина данного участка равна Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения м, а ширина — Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения м. Тогда по условию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. После уменьшения длины на 1 м она станет равна Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения м, а после увеличения ширины на 2 м она станет равна Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения м. По условию: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Составим систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Преобразуем второе уравнение системы:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Так как из первого уравнения системы известно, что Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, то во второе уравнение вместо Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения подставим число 60. Получим:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Упростим первое уравнение системы: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Его корни: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Число -3 не удовлетворяет условию задачи, так как длина участка не может быть отрицательной. Таким образом, длина участка равна 10 м, и можем найти его ширину: 2 • 10 — 14 = 6 (м). Теперь найдем длину ограждения: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 32 м.

Пример №92

Из пункта Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения вышел пешеход. Через 50 мин после этого оттуда же в том же направлении выехал велосипедист и догнал пешехода на расстоянии 6 км от пункта Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Найти скорость пешехода и скорость велосипедиста, если велосипедист за 1 ч преодолевает на 1 км больше, чем пешеход за 2 ч.

Решение:

Пусть Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения км/ч — скорость пешехода, Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения км/ч -велосипедиста. Тогда пешеход преодолел 6 км за Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ч, а велосипедист — за Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения ч. По условию пешеход был в дороге на Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения больше, чем велосипедист, поэтому Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Велосипедист за 1 ч преодолевает Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения км, а пешеход за 2 ч — Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения км. По условию Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения. Получаем систему уравнений:

Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Решив ее (сделайте это самостоятельно) и учтя, что по смыслу задачи Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения и Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения, получим: Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Скорость пешехода — 4 км/ч, велосипедиста — 9 км/ч.

  • Тригонометрические функции
  • Производные тригонометрических функции
  • Производная сложной функции
  • Пределы в математике
  • Комплексные числ
  • Координаты на прямой
  • Координаты на плоскости
  • Линейная функция

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти строение атомов элементов
  • Задачи как найти собаку
  • Как найти силу взаимодействия между брусками
  • Как найти телефон владельца по вин
  • Как найти где работает бывший муж