Как найти фактор группу пример - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Материал из Викиконспекты

Перейти к: навигация, поиск

Факторгруппа

Рассмотрим группу и ее нормальную подгруппу . Пусть — множество смежных классов по . Определим в групповую операцию по следующему правилу.

Определение:

Произведением смежностных классов и назовем смежностный класс .

Утверждение:

Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей и .

Пусть . Докажем, что . Достаточно показать, что .

В самом деле, . Элемент лежит в по свойству нормальности . Следовательно, .

Определение:

Таким образом, множество смежных классов с введенной на нем операцией произведения образует группу, которая называется факторгруппой по . Нейтральным элементом является , обратным к — .

Примеры

Рассмотрим и её нормальную подгруппу , тогда (группы вычетов по модулю ) будет являться факторгруппой G по H.
Рассмотрим группу невырожденных матриц . Отображение является гомоморфизмом . Ядро — группа матриц с единичным определителем . Поэтому является нормальной подгруппой в и факторгруппа .

Утверждение:

В группе перестановок из трех элементов и ее не нормальной подгруппе перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, не будет являться группой.

Рассмотрим группу (перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу (перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок :

класс и ,

класс и .

Это смежные классы для . Теперь рассмотрим произведения:

Противоречие. То есть согласованного с группой умножения нет. не является группой.

Источник

Значение
нормального делителя в теории групп
основано на том, что из смежных классов
по нормальному делителю может быть
построена новая
группа. Для
построения такой группы определим
операцию умножения на множестве смежных
классов. Пусть
,
тогда

(2.64)

Действительно,
для

Пусть
H
– нормальный делитель группы G.
В этом случае произведение двух смежных
классов G
по H
будет смежным классом по H.
Действительно,
имеем:

(2.65)

Таким
образом, в множестве всех смежных классов
по нормальному делителю определена
операция умножения.
Это означает, что фактор-множество

. (2.66)

является
замкнутым относительно операции
умножения смежных классов, а операция
умножения смежных классов является
алгебраической. Равенство (2.65) показывает,
что для нахождения произведения двух
данных смежных классов группы G
по нормальному делителю H
надо в каждом из этих классов выбрать
по одному представителю и потом взять
тот смежный класс, к которому принадлежит
произведение выбранных представителей.

В
случае если
– абелева группа бинарная операция на
фактор-множествевводится соотношением.
Фактор-группучасто называют группойпо модулю.

Теорема. Фактор-множество
смежных классов группыG
по нормальному делителю H
с определенной в нем операцией умножения
является группой. Эта группа называется
фактор-группой группы G
по нормальному делителю H
и обозначается символом
.

Доказательство. Для
доказательства покажем, что в
будут выполнены все аксиомы группы:

ассоциативность
умножения смежных классов следует из
ассоциативности умножения подмножеств
группы;
роль
единицы играет сама подгруппа
– нормальный делитель:
для
смежного класса
обратным является классдействительно:

Выводы. Со
всякой группой G
связан целый набор новых групп – ее
фактор-групп [G/H,
]
по различным нормальным делителям.

Примеры. 1. Пусть
– аддитивная группа целых чисел , а– подгруппа целых чисел, делящихся наm
без остатка. Подгруппа
– нормальный делитель так как– подгруппа аддитивной группы.

Фактор-группа
состоит из смежных классов– классов вычетов по модулю:

Класс
вычетов

Пусть
,
тогда таблица Кэли для фактор-группыимеет вид:

+	[0]₅	[1]₅	[2]₅	[3]₅	[4]₅
[0]₅	[0]₅	[1]₅	[2]₅	[3]₅	[4]₅
[1]₅	[1]₅	[2]₅	[3]₅	[4]₅	[0]₅
[2]₅	[2]₅	[3]₅	[4]₅	[0]₅	[1]₅
[3]₅	[3]₅	[4]₅	[0]₅	[1]₅	[2]₅
[4]₅	[4]₅	[0]₅	[1]₅	[2]₅	[4]₅

Выводы: 1. Фактор-группа
коммутативна – таблица Кэли симметрична
относительно главной диагонали.

2. Фактор-группа
циклическая группа.
Система образующих состоит из одного
элемента – смежного класса,
а все остальные смежные классы совпадают
с его степенями.

2. Пусть
– мультипликативная группа невырожденных
матриц-го
порядка с вещественными коэффициентами,
а– нормальный делитель этой группы,
который состоит из матриц, детерминант
каждой из которых равен единице.
Фактор-группасостоит из смежных классов, каждый из
которых содержит все матрицы, детерминант
которых равен данному числу.

Соседние файлы в папке ЛЕКЦИИ АиГ

Источник

Пусть — группа, и — её нормальная подгруппа , то есть для любого элемента его правый и левый классы смежности совпадают:

Тогда на классах смежности в можно ввести умножение:

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если и то .
Оно определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой по .

Факторгруппа обозначается .

Свойства

Гомоморфный образ группы
(До победы коммунизма)
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма

Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма

{displaystyle G/{rm {Ker}}phi cong phi (G)}

т.е. фактор группы

по ядру

изоморфен её образу

Примеры

Пусть = , = 2, тогда изоморфна ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$ .

Пусть G = UT_n (группа невырожденных верхних треугольних матриц), H = SUT_n (группа верхних унитреугольных матриц), тогда G/H изоморфна группе диагональных матриц.

См. также

Для других алгебраических структур, а также множеств, также определены понятия факторов: фактормножество, факторкольцо, факторалгебра, факторполе.

cs:Faktorová grupa
he:חבורת מנה
nl:Factorgroep
pl:Grupa ilorazowa

Источник