#статьи
- 19 май 2023
-
0
Что такое факториал и как его вычислить
Статья, после которой вы начнёте щёлкать факториалы как орешки.
Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media
Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.
Даже если вы уже давно окончили школу, факториалы всё равно могут доставить немало приятных флешбэков — например, если вы обучаетесь программированию и знакомитесь с задачками на рекурсию или комбинаторику. Поэтому мы решили максимально просто объяснить, что такое факториал, как его вычислять и зачем он вообще нужен.
Эта статья будет полезна как опытным программистам, которые хотят освежить знания, так и тем, кто ещё учится: школьникам, студентам и совсем зелёным джунам.
Содержание:
- Что такое факториал
- Для чего он нужен
- Основные свойства и формулы
- Шпаргалка: таблица факториалов
- Решаем задачи на факториалы
- Что запомнить
Факториал числа n — это произведение всех натуральных чисел от единицы до n. Обозначается факториал символом восклицательного знака: !.
Это определение из учебника, и оно пока звучит сложновато — неясно, зачем эти факториалы вообще нужны и как они могут пригодиться в науке и технике. Но об этом чуть позже — для начала давайте посмотрим на примеры факториалов:
Чтобы вычислить их, нам нужно перемножить все числа от единицы до числа, стоящего под знаком факториала — так гласит определение. Получаем выражения:
Ещё в математическом определении сказано, что факториал не может быть отрицательным или дробным — то есть вот такие факториалы вычислить нельзя:
Факториалы незаменимы там, где нужно быстро посчитать количество комбинаций и сочетаний разных предметов. В математике этому посвящён даже целый раздел — комбинаторика. Её методы используют много где: от лингвистики до криптографии и анализа ДНК. И во всех этих сферах факториал помогает упрощать сложные вычисления.
Разберём на примере, как это работает.
Допустим, у вас есть пять шоколадок и вы решили раздать их пяти друзьям — каждому по одной. Задача — выяснить, сколько существует способов раздать эти шоколадки. Начинаем размышлять:
- первую шоколадку можно отдать одному из пяти друзей;
- вторую — одному из четырёх друзей, потому что один уже получил свою шоколадку;
- третью — одному из трёх, потому что двое уже наслаждаются своими шоколадками;
- четвёртую — одному из двух;
- пятую — последнему другу.
Получается, что способов раздать первую шоколадку — 5, вторую — 4, третью — 3, четвёртую — 2, а пятую — всего 1. По правилам математики, чтобы выяснить общее количество всех вариантов, нужно перемножить их между собой. Ну а кто мы такие, чтобы с этими правилами спорить?
Смотрим на выражение выше и понимаем: ведь оно идеально вписывается в определение факториала — произведение натуральных чисел от одного до n (в нашем случае n равно 5). Следовательно, это выражение можно коротко и изящно записать в виде факториала:
Выходит, что всего способов раздать пять шоколадок пяти друзьям существует 120. Вот как может выглядеть один из них:
Конечно, в жизни вам вряд ли придётся считать количество способов раздать друзьям шоколадки. Но, например, в статистике, теории вероятностей, матанализе и программировании факториалы используют сплошь и рядом. Так что, если видите себя в будущем на матмехе или, на худой конец, в IT, то лучше познакомиться с ними хотя бы бегло.
Так как факториалы используются в разных областях математики, свойств у них довольно много — каждая область привносит какие-то свои методы вычислений. Одно из свойств вы уже знаете: факториал — это всегда целое положительное число. Вот ещё несколько, которые стоит запомнить:
- Факториал нуля равен единице — 0! = 1.
- Факториал единицы тоже равен единице: 1! = 1.
- Рекурсия: n! = (n – 1)! × n. Это основное свойство факториалов, о нём мы чуть подробнее поговорим дальше.
Мы видим, что каждое свойство описывается какой-то формулой — и некоторые из этих формул могут быть весьма полезны. Они позволяют нам находить факториалы проще и быстрее, чем простым перемножением натуральных чисел. Разберём эти формулы тоже.
Чтобы вычислить факториал, не используя так много операций умножения, придумали формулу Стирлинга. Вот как она выглядит:
Выглядит страшно, но на самом деле она очень полезная. Её используют, когда хотят приблизительно узнать факториал большого числа. Обычным способом это будет сделать сложно даже мощному компьютеру — например, попробуйте посчитать в онлайн-калькуляторе факториал числа 10 024 (спойлер: это может занять несколько часов и даже дней).
Скришнот: «Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн» / Skillbox Media
Давайте попробуем вычислить факториал числа 6 по этой формуле:
Число e примерно равно 2,71, а π — 3,14. Подставляем их в выражение и получаем ответ:
Получили приближённое значение настоящего факториала, который равен 720. Но можно сделать ответ и более точным. Для этого нужно добавить больше знаков после запятой всем переменным — например, если взять 20 знаков, то ответ будет таким:
Это уже больше похоже на правду. Хотя погрешность всё равно есть.
Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал числа n, основываясь на факториале предыдущего числа — (n – 1). Выглядит она так:
В целом рекуррентная формула не приносит нам большой пользы, так как всё равно приходится вычислять факториал предыдущего числа. Если он равен какому-то большому числу (например, 100), то использование формулы теряет смысл — слишком уж много вычислений это потребует.
Рекуррентная формула основана на главном свойстве факториалов — рекурсии: n! = (n – 1)! × n. Это свойство особенно полезно при решении задач по комбинаторике: так мы можем быстро сокращать факториалы и упрощать выражения.
Однако рекуррентная формула хорошо подходит для алгоритмов — в частности, для программирования. Мы можем задать начальное значение: например, что 0! = 1 или 1! = 1, а затем считать следующие факториалы по формуле:
Получим алгоритм для вычисления факториалов. Не очень эффективный, но простой.
Давайте вычислим по этой формуле факториал числа 4. Сначала распишем рекуррентную формулу до базового значения — факториала числа 1:
Можно записать это и в сокращённом виде:
Теперь последовательно подставляем значение факториала, которое мы уже знаем, и вычисляем результат:
Получили ответ — 24. Ничего сложного, просто перемножаем числа.
Кстати, всю эту формулу можно обернуть в реально работающую функцию на языке Python:
def factorial(n): # Определяем функцию if n == 0 or n == 1: # Базовый случай return 1 else: # Рекуррентный случай return factorial(n-1) * n # Вызываем эту же функцию, но с меньшим аргументом print(factorial(4)) # Печатаем факториал 4 # Вывод: # 24
Можете попробовать запустить её в онлайн-интерпретаторе и посмотреть, как работает. Тут есть один нюанс: Python не даст вам посчитать факториал числа больше 998, так как у него есть ограничение на количество вызовов функции — в программировании это называется глубиной рекурсии.
Чтобы быстро находить, чему равен факториал, можно запомнить или сохранить в заметки вот такую табличку. Она рассчитана всего на 12 чисел, но для большинства учебных задач этого хватит.
1! | 1 |
2! | 2 |
3! | 6 |
4! | 24 |
5! | 120 |
6! | 720 |
7! | 5040 |
8! | 40 320 |
9! | 362 880 |
10! | 3 628 800 |
11! | 39 916 800 |
12! | 479 001 600 |
С теорией вроде разобрались — теперь попробуем решить несколько задач с факториалами, чтобы закрепить знания на практике.
Задача: перемножить два факториала.
Решение:
Сперва нужно вычислить значения факториалов, а затем перемножить полученные значения:
Обратите внимание: во второй строке мы применили рекуррентную формулу, чтобы быстрее вычислить факториал числа 7.
Задача: вычесть из одного факториала другой.
Решение:
Используем тот же подход, что и в предыдущей задаче: сначала вычисляем факториалы, а затем получаем ответ на всё выражение.
Вроде бы ничего сложного, главное — не запутаться в умножении.
Задача: умножить один факториал на другой:
Решение:
Вычисляем факториалы, потом перемножаем их значения:
Во второй строке мы воспользовались таблицей выше и быстро нашли значение факториала от числа 8.
Задача: сократить дробь и вычислить её значение.
Решение:
Здесь мы воспользуемся рекуррентной формулой для вычисления факториала и разложим верхний факториал на множители:
В первой строке мы применили рекуррентную формулу два раза, а во второй — просто сократили одинаковые факториалы в числителе и в знаменателе.
Задача: сократить дробь.
Решение:
Хотя здесь нет конкретных чисел, но принцип решения остаётся таким же: используем рекуррентную формулу и сокращаем одинаковые значения в числителе и знаменателе.
Главное — не запутаться и правильно применить рекуррентную формулу.
- Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа. Например, факториал числа 5 будет равен 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
- Его используют во многих областях науки — например, комбинаторике, теории вероятностей и математическом анализе.
- Помимо стандартной формулы для вычисления факториала можно использовать формулы Стирлинга и рекуррентную формулу.
- Формула Стирлинга нужна для того, чтобы посчитать факториал без большого числа операций умножения.
- Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал на основе предыдущего факториала.
Научитесь: Профессия Data Scientist
Узнать больше
Как найти факториал натурального числа по формуле — примеры решения задач
Определение факториала
Факториал — это математическая функция, которая применяется к положительным целым числам, равная произведению всех натуральных чисел от единицы до вычисляемого числа.
Факториал обозначается «n!».
Для представления факториала, приведем простой его пример: (5!;=;1cdot2cdot3cdot4cdot5;=;120.)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Для нахождения факториала необходимо просто по очереди перемножить все положительные натуральные числа от единицы до вычисляемого числа включительно.
Факториал математически выглядит следующим образом:
(n!;=;1cdot2cdot3cdot…cdot n;=;prod_{k=1}^nk.)
Факториал применяется в различных разделах математики, но активно он используется, когда речь заходит о комбинациях, перестановках, теории чисел, комбинаторике, математическом анализе и так далее.
В комбинаторике факториал числа n обозначает количество перестановок множества из n элементов.
Формула факториала
Из определения факториала следует формула:
Важно 3
((n;-;1)!;=;frac{n!}n.)
Расшифровав формулу, можно сделать вывод, что если мы знаем факториал числа, то можно найти факториал предыдущего числа путем деления значения факториала на само число.
Также из формулы следует, что при n=1 факториал 0!=1.
Примеры задач с решениями
Задача 1
В комнате стоит стол, вокруг которого стоят четыре стула. В комнату заходят четыре человека. Вычислите количество вариантов для рассаживания четырех человек вокруг стола.
Решение: так как количество стульев и людей совпадают, мы можем вычислить количество вариантов с помощью факториала.
(n;=;4,\4!;=;1cdot2cdot3cdot4;=;24)
Ответ: всего 24 варианта рассаживания четырех человек.
Задача 2
Вычислите (frac{3!-2!}4.)
Решение:
(frac{2!cdot(3-1)}4=frac{2!cdot2}4=frac44=1.)
Ответ: 1.
Задача 3
В расписании 11 класса на понедельник должно быть 5 предметов: алгебра, русский язык, литература, физика и геометрия. Сколько существует способов для составления расписания на этот день?
Решение:
(n;=;5,\5!;=;1cdot2cdot3cdot4cdot5;=;120.)
Ответ: 120 способов.
Задача 4
Сколько существует способов для составления указанного выше расписания из тех же 5 предметов, если требуется, чтобы урок геометрии был последним?
Решение:
(n;=;4,\4!;=;1cdot2cdot3cdot4;=;24.)
Ответ: 24 способа.
Задача 5
Сколько существует способов для составления расписания из указанных выше 5 предметов, в котором алгебра и русский язык стояли бы рядом?
Решение:
(n;=;4,\4!cdot2=;(1cdot2cdot3cdot4)cdot2;=;48.)
Ответ: 48 способов.
Задача 6
Вычислите (frac{5!-3!}{3!}.)
Решение:
(frac{3!cdot(4cdot5-1)}{3!}frac{6cdot19}6=frac{114}6=19.)
Ответ: 19.
Задача 7
Вычислите (С_4^2.)
Решение:
(С_n^m;=;frac{n!}{m!cdot(n-m)!})
(C_4^2;=;frac{4!}{2!cdot(4-2)!}=frac{4!}{2!cdot2!}=frac{4!}{2!cdot2!}=frac{2!cdot3cdot4}{2!cdot2!}=frac{12}2=6.)
Ответ: 6.
Задания для самостоятельной работы
Задача 8
Вычислите (frac{8!-6!}{55}.)
Задача 9
Вычислите (frac{121!-120!}{120!}).
Задача 10
Вычислите (С_5^3.)
Задача 11
Вычислите (С_{12}^{11})
Задача 12
Шесть друзей приобрели билеты в кино на 1-е, 2-е, 3-е места в третьем ряду, и на 1-е, 2-е, 3-е места в четвертом ряду. Сколько существует способов рассадки друзей на эти шесть мест в кинотеатре?
Задача 13
Сколько существует способов выбрать четырех дежурных из класса, в котором 20 человек?
Подсказка: используйте формулу (С_n^m;=;frac{n!}{m!cdot(n-m)!}.)
Задача 14
Вычислите 4!-3!.
Факториал натурального числа n пишется как n! и считается как произведение всех натуральных чисел от 1 до n (включительно).
Для n > 0:
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 … ⋅ n
Для n = 0:
0! = 1
- Формула для определения факториала
- Рекуррентная формула факториала
- Формула Стирлинга
- Таблица факториалов
Формула для определения факториала
Примеры:
- 1! = 1
- 2! = 1 ⋅ 2 = 2
- 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6
- 4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅4 = 24
- 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120
Рекуррентная формула факториала
Примеры:
- 5! = 5 ⋅ (5 – 1)! = 5 ⋅ 4! = 5 ⋅ 24 = 120
- 7! = 7⋅ (7 – 1)! = 7 ⋅ 6! = 5 ⋅ 720 = 5040
Формула Стирлинга
Используется для приблизительного нахождения факториала.
Пример:
Таблица факториалов
Число n | Факториал n! |
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40320 |
9 | 362880 |
10 | 3628800 |
11 | 3,991680×107 |
12 | 4,790016×108 |
13 | 6,227021×109 |
14 | 8,717829×1010 |
15 | 1,307674×1012 |
16 | 2,092279×1013 |
17 | 3,556874×1014 |
18 | 6,402374×1015 |
19 | 1,216451×1017 |
20 | 2,432902×1018 |
microexcel.ru
A factorial is a mathematical operation that you write like this: n!
. It represents the multiplication of all numbers between 1 and n.
So if you were to have 3!
, for example, you’d compute 3 x 2 x 1 (which = 6). Let’s see how it works with some more examples.
Definition of a Factorial
The factorial of a number is the multiplication of all the numbers between 1 and the number itself. It is written like this: n!
. So the factorial of 2 is 2!
(= 1 × 2).
To calculate a factorial you need to know two things:
0! = 1
n! = (n - 1)! × n
The factorial of 0 has value of 1, and the factorial of a number n
is equal to the multiplication between the number n
and the factorial of n-1
.
For example, 5!
is equal to 4! × 5
.
Here the first few factorial values to give you an idea of how this works:
Factorial | Multiplication | Result |
---|---|---|
0! | 1 | 1 |
1! | 1 | 1 |
2! | 1 × 2 | 2 |
3! | 1 × 2 × 3 | 6 |
4! | 1 × 2 × 3 × 4 | 24 |
5! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 | 120 |
6! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 | 720 |
7! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 | 5040 |
8! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 | 40,320 |
9! | 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 | 362,880 |
What is a Factorial Used For?
Practically speaking, a factorial is the number of different permutations you can have with n
items: 3 items can be arranged in exactly 6 different ways (expressed as 3!
).
For example, let’s see all the arrangements you can have with the three items, A, B and C:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
And in fact, 3! = 6
.
How to Calculate the Factorial of 0
Looking at the factorial from this point of view, what’s the factorial of 0?
Well, how many different ways can you arrange 0 elements?
There is exactly 1 way to arrange zero elements. And that’s making a sequence of zero elements.
Factorial Use Cases
You typically use a factorial when you have a problem related to the number of possible arrangements. Let’s look at some example problems.
Factorial example problem 1: the letters in the word «camper»
How many different ways can you arrange the letters of the word camper
?
The word camper
has 6 letters, so the number of possible arrangements is given by the factorial of 6: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
. That would have been a pretty big number of arrangements to find by hand, wouldn’t it?
Factorial example problem 2: drawing colored balls from a bag
Let’s say there are three balls in a bag – one green, one blue, and one yellow.
If you draw the three balls in sequence, what chance is there that you’ll get the yellow first, the green one second, and the blue one last?
Maybe now you are wondering what chances have to do with factorials – well, in a moment you will see.
There are 6 possible sequences in which the balls can be drawn: 3! = 6.
There is a chance of 1 over the total number of possibilities to get the yellow-green-blue sequence, so that is 1/(3!)
or 1/6
or 16.7%
chance to get the desired outcome.
How to Calculate a Factorial Programmatically with JavaScript
There are two ways to calculate factorials programmatically in JavaScript:
How to calculate a factorial in JS with recursion
Let’s get back to the two things to know when calculating a factorial – that is 0! = 1
and n! = (n - 1)! × n
. We can use the first one to create the base case of the recursive function, because in that case we know the result already.
function factorial(n) {
if (n === 0) {
return 1;
}
}
The second thing to know about how to calculate a factorial, n! = (n - 1)! × n
, can be the recursive case.
function factorial(n) {
if (n === 0) {
return 1;
} else {
return factorial(n-1) * n;
}
}
How to calculate a factorial with a JavaScript while
loop
We said before that 0! = 1
. So, to calculate the factorial of a number with a loop, we can initialize a variable to 1
, and multiply the numbers from n
to 1
by the variable inside the loop.
In this way, if the input is higher than 1, the output will easily be 1.
function factorial(n) {
let result = 1;
for (n > 1) {
result *= n;
n--;
}
return result;
}
Conclusion
The factorial is a pretty important operator to know if you are interested in statistics and probabilities.
In this article you have learned a how to calculate a factorial, a simple application, and you have seen how to calculate it using JavaScript.
Have fun with it!
Learn to code for free. freeCodeCamp’s open source curriculum has helped more than 40,000 people get jobs as developers. Get started
Факториал
Факториа́л — это функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел.
Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий.
Факториал натурального числа “n” обозначается n!
, произносится эн факториа́л.
Факториал натурального числа n
определяется как произведение всех натуральных чисел от 1
до n
включительно:
Например,
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
Натурáльные чи́сла (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.
Це́лые чи́сла — расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью в общем случае вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего. Введение нуля и отрицательных чисел делает вычитание такой же полноценной операцией, как сложение.
Для n = 0
принимается в качестве соглашения, что
Где используется факториал?
Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция n^(n)
растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например e^(e^(n))
:
Пример значений факториала для n от 0 до 20
n | n! |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40320 |
9 | 362880 |
10 | 3628800 |
11 | 39916800 |
12 | 479001600 |
13 | 6227020800 |
14 | 87178291200 |
15 | 1307674368000 |
16 | 20922789888000 |
17 | 355687428096000 |
18 | 6402373705728000 |
19 | 121645100408832000 |
20 | 2432902008176640000 |
Свойства факториала
Рекуррентная формула
Так как факториал n
— это произведение всех натуральных чисел от 1
до n
включительно, то можно вывести рекуррентную формулу.
Для примера возьмём 4!
:
Можно сгруппировать и представить в виде:
4! = (1 * 2) * 3 * 4 = 2! * 3 * 4 = (2! * 3) * 4 = 3! * 4
Или так:
4! = (1 * 2 * 3) * 4 = 3! * 4
Поэтому факториал n!
может быть задан следующей рекуррентной формулой:
n | n! |
---|---|
n = 1 | n! = 1 |
n > 1 | n! = (n — 1)! * n |
Как следствие:
n! = (n + m)! / (n + m) / (n + (m - 1)) / ... / (n + 1)
2! = 4! / 4 / 3
Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа n
интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n
элементов.
Один элемент можно упорядочить одним способом. Два элемента — множество (A,B) — двумя перестановками:
AB | |
---|---|
AB | BA |
Например, для множества (A,B,C,D) из 4-х элементов существует 4! = 24
перестановки:
ABCD | |||
---|---|---|---|
ABCD | BACD | CABD | DABC |
ABDC | BADC | CADB | DACB |
ACBD | BCAD | CBAD | DBAC |
ACDB | BCDA | CBDA | DBCA |
ADBC | BDAC | CDAB | DCAB |
ADCB | BDCA | CDBA | DCBA |
Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1
, т.к. пустое множество упорядочено единственным способом.
Остальные свойства и способы применения факториала в данной статье не рассматриваются.
Историческая справка
Термин факториал ввел в 1800 году французский математик Аргобаст Луи Франсуа Антуан.
Обозначение n!
придумал чуть позже немецкий математик Кристиан Крамп в 1808 году, хотя факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике.
Значительный вклад в развитие комбинаторики и изучение факториала внесли такие учёные как Леонард Эйлер, Абрахам де Муавр, Джеймс Стирлинг.
Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год).
Интересное
Интересные факториалы:
145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120
40 585 = 4! + 0! + 5! +8! + 5! = 24 + 1 + 120 + 40320 + 120