Как найти факториал отрицательного числа

As already noted by @ncmathsadist, the Gamma Function $$Gamma(z)=(z-1)!$$ can be extended to a meromorphic function defined on the complex plane without the non-positive integers.

Here’s an instructive example how to work with negative factorials presented in section $3.6$ of $A=B$ by M. Petkovsek, H. Wilf and D. Zeilberger.

Challenge: Find a closed expression for

begin{align*}
f(n)=sum_{k=0}^{2n}t_k=sum_{k}(-1)^kbinom{2n}{k}binom{2k}{k}binom{4n-2k}{2n-k}
end{align*}

We start with checking if the ratio $frac{t_{k+1}}{t_k}$ gives rise to a known hypergeometric series. Indeed, with
begin{align*}
frac{t_{k+1}}{t_k}&=frac{(-1)^{k+1}binom{2n}{k+1}binom{2k+2}{k+1}binom{4n-2k-2}{2n-k-1}}
{(-1)^kbinom{2n}{k}binom{2k}{k}binom{4n-2k}{2n-k}}
=frac{(k+frac{1}{2})(k-2n)^2}{(k+1)^2(k-2n+frac{1}{2})}
end{align*}
we derive
begin{align*}
f(n)=binom{4n}{2n} {}_{3}F_{2}left(-2n,-2n,frac{1}{2};1,-2n+frac{1}{2};1right)
end{align*}

It turns out, that this hypergeometric series matches Dixon’s identity and

we obtain
begin{align*}
f(n)=binom{4n}{2n}frac{(-n)!(-2n-frac{1}{2})!(n-frac{1}{2})}{(-2n)!n!(-n-frac{1}{2})!(-frac{1}{2})!}tag{1}
end{align*}

At first glance this expression is rather distressing, since it contains factorials of negative integers which are precisely the values, where the gamma function is not defined!

The clou: We have a ratio of two factorials at negative integers and if we can take an appropriate limit, the singularities will cancel leaving a pleasant limiting ratio. As the authors point out, this situation happens fairly frequently when using this approach.

$$$$

We start analysing the ratio
begin{align*}
frac{(-n)!}{(-2n)!}tag{2}
end{align*}

Let’s assume, that $n$ is near a positive integer, but is not equal to a positive integer. Then we can use the reflection formula for the $Gamma$-function
begin{align*}
Gamma(z)Gamma(1-z)=frac{pi}{sin pi z}
end{align*}
once more in the equivalent form
begin{align*}
(-z)!=frac{pi}{(z-1)!sin pi z}
end{align*}

So, when $n$ is near a positive integer, the expression (2) becomes
begin{align*}
frac{(-n)!}{(-2n)!}=frac{pi}{(sin npi)(n-1)!}frac{(sin 2npi)(2n-1)!}{pi}=frac{2(2n-1)!cos npi}{(n-1)!}
end{align*}
and we observe, if $n$ approaches a positive integer
begin{align*}
frac{(-n)!}{(-2n)!}longrightarrow(-1)^nfrac{(2n)!}{n!}
end{align*}
The expression (1) becomes
begin{align*}
f(n)=(-1)^nbinom{4n}{2n}binom{2n}{n}frac{(-2n-frac{1}{2})!(n-frac{1}{2})}{(-n-frac{1}{2})!(-frac{1}{2})!}
end{align*}
Similarly, we find
begin{align*}
frac{(-2n-frac{1}{2})!}{(-n-frac{1}{2})!}=frac{(-1)^n(n-frac{1}{2})!}{(2n-frac{1}{2})!}
end{align*}
and we obtain
begin{align*}
f(n)=binom{4n}{2n}binom{2n}{n}frac{(n-frac{1}{2})!^2}{(2n-frac{1}{2})!(-frac{1}{2})!}tag{3}
end{align*}

For every positive integer $m$,
begin{align*}
(m-frac{1}{2})!&=(m-frac{1}{2})(m-frac{3}{2})cdots(frac{1}{2})(-frac{1}{2})!\
&=frac{(2m-1)(2m-3)cdots 1}{2^m}(-frac{1}{2})!\
&=frac{(2m)!}{4^mm!}(-frac{1}{2})!
end{align*}

This way we can simplify the expression (3) to $f(n)=binom{2n}{n}^2$ and we have shown the identity

begin{align*}
sum_{k}(-1)^kbinom{2n}{k}binom{2k}{k}binom{4n-2k}{2n-k}=binom{2n}{n}^2
end{align*}

Факториал

ЧТО ТАКОЕ ФАКТОРИАЛ

Для нахождения факториала нужно умножить все целые числа от выбранного нами числа до 1.

Факториал обозначается символом «!»

Пример факториалов:

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Обычно говорят 4! как «факториал четырех».

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛА

Можно легко рассчитать факториал, зная значение факториала предыдущего числа:

Можно это записать в виде таблицы:

n	n!
1	1	1	1
2	2 x 1	= 2 x 1!	= 2
3	3 x 2 x 1	= 3 x 2!	= 6
4	4 x 3 x 2 x 1	= 4 x 3!	= 24
5	5 x 4 x 3 x 2 x 1	= 5 x 4!	= 120
6	и так далее	и так далее

Для точного определения факториала любого числа следует воспользоваться таблицей факториалов

• Чтобы вычислить 6!, нужно 5!=120 умножить на 6, получается 720
• Чтобы вычислить 8!, нужно 7!=5040 умножить на 8, получается 40.320

Пример:

9! равно 362.880. Попробуйте посчитать 10!
10! = 9!х10
10! = 362.880 х 10 = 3.628.800

ФОРМУЛА ФАКТОРИАЛА

Существует правило как найти n факториал:

n! = n × (n — 1)!

Которое означает:
«факториал любого числа — это число, умноженное на факториал предыдущего целого числа»
Итак, 12! = 12 × 11!, … и 100! = 100 × 99!, и т. д.

ФАКТОРИАЛ 0

Это очень интересная тема. Принято, что 0! = 1. А почему?

Никакое умножение чисел не приводит к 1, но давайте проследим факториалы в обратном порядке, скажем, от 4!:

И во многих задачах 0! = 1 просто имеет смысл.

ФАКТОРИАЛ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Можем ли мы найти факториалы для чисел меньших нуля?

Нет. Факториалы для таких чисел не определены.

Почему? Легко объяснить на примере.

Пример

Начнем с 3! = 3 × 2 × 1 = 6 и спускаемся вниз:
2! = 3! / 3 = 6 / 3 = 2
1! = 2! / 2 = 2 / 2 = 1
0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1
(поэтому 0! = 1)
(−1)! = 0! / 0 = 1 / 0 = ой, деление на ноль не определено

И с этого момента все целочисленные факториалы не определены.

ФАКТОРИАЛ ДРОБНОГО ЧИСЛА

Можем ли мы найти факториалы для таких чисел, как 0,4 или −8,116?

Да мы можем! Но нам нужно углубиться в тему под названием Гамма-функция, которая выходит за рамки этой страницы.

И они могут быть отрицательными (кроме целых чисел).

Вот несколько значений дробных факториалов:

(-1/2)!	√π
(1/2)!	(1/2)√π
(3/2)!	(3/4)√π
(5/2)!	(15/8)√π

ПРИМЕНЕНИЕ ФАКТОРИАЛА

Факториалы незаменимы для вычисления количества перестановок, сочетаний и размещений.

Пример:

Сколько существует разных способов, с помощью которых 7 человек могут прийти первым, вторым и третьим ?
Список довольно длинный, если 7 человек обозначим как a, b, c, d, e, f и g, то список включает:
abc, abd, abe, abf, abg, acb, acd, ace, acf, … и т. д.
Формула для расчета: 7!/(7−3)! = 7!/4!
Выпишем умножение полностью:
(7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(4 × 3 × 2 × 1) = 7 × 6 × 5
Пояснение: 4 × 3 × 2 × 1 сокращено, т.к. они встречаются в числителе и знаменателе, и осталось только 7 × 6 × 5 . получаем:
7 × 6 × 5 = 210
Итак, есть 210 различных способов, которыми 7 человек могут прийти первым, вторым и третьим.

Решено!

Пример:

Что такое 100! / 98!
Используя наши знания из предыдущего примера, мы можем сразу перейти к следующему:
100!/98! = 100 × 99 = 9900

Другие примеры задач с факториалом и их решение на странице решение факториалов.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ

70! приблизительно 1,197857 … x 10¹⁰⁰ , что чуть больше, чем в Googol (цифра 1, за которой следует сотня нулей).

100 факториал: 100! приблизительно 9,3326215443944152681699238856 x 10¹⁵⁷

200 факториал: 200! приблизительно 7,8865786736479050355236321393 x 10³⁷⁴

Полезные материалы по теме

• Таблица факториалов
• Примеры решения факториалов
• Калькулятор факториалов

Этот простой пример по математике взбудоражил пользователей соцсети: попробуйте найти правильный ответ

«Это математический мем, который на самом деле смешной, а не глупый!» — пишет юзер под ником kj_cheetham, ставший автором завирусившегося в сети твита. Он выложил пост, в котором показал подписчикам простую математическую задачу с ответом. Некоторые из пользователей сочли, что автор записи ошибся в своих подсчётах и начали в комментариях бурное обсуждение ошибок нерадивого математика. Кто же был прав? Попробуйте сами решить эту загадку с подвохом!

Что такое факториал

Чтобы найти факториал числа, нужно умножить все целые числа от 1 до этого числа.

Рассчитать онлайн факториал любого числа можно на этом онлайн калькуляторе.

Факториал обозначается символом «!»

Примеры:

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Выражение 5! = 120 читается так: «пять факториал равно 120» или «факториал пяти равен 120»

Расчет факториала от предыдущего значения

Мы можем легко вычислить факториал из факториала предыдущего числа.

Небольшая таблица для понимания

Число	Факториал числа	Другое разложение	Значение факториала
1	1	1	1
2	1 · 2	1! · 2	2
3	1 · 2 · 3	2! · 3	6
4	1 · 2 · 3 · 4	3! · 4	24
5	1 · 2 · 3 · 4 · 5	4! · 5	120
. . .	и т. д.

• Чтобы получить 6!, умножьте 6 на 5! или на 120, чтобы получить 720
• Чтобы получить 7!, умножьте 7 на 6! или на 720, чтобы получить 5040
• И так далее

Пример:

9! равняется 362880. Попробуйте посчитать 10!

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362880 = 3 628 800

Итак, правило такое:

п! = n × (n − 1)!

которое говорит :

«Чтобы получить факториал любого числа, нужно это число, умножить на факториал предыдущего числа »

Итак, 10! = 10 × 9!, … и 125! = 125 × 124!, и т. д.

Факториал нуля

А существует ли факториал нуля?

Принято считать, что 0! = 1. Таким образом, факториал нуля равен единице. Почему именно так, можно узнать, посетив страницу Факториалы.

Где используется факториал

Одна из областей, в которой факториал часто используется — это раздел математики, который называется комбинаторика, где нужно посчитать количество перестановок, размещений или сочетаний.

Пример:

Сколько существует способов расположить буквы а,б,в,г без повторений.

Для одной буквы — это один способ — а (или 1! способов)

Для двух букв — два способа — аб, ба. (или 2! способов)

Для трех букв — шесть способов — абв, авб, бав, бва, ваб, вба (или 3! способов).

Для четырех букв — 24 или 4! способов (комбинации попробуйте сами)

Факториалы отрицательных чисел

Могут ли быть факториалы для чисел типа -1, -2 и т. д.?

Нет. Факториалы отрицательных целых чисел не определены. Если вам интересно, почему нельзя получить факториалы чисел, меньших нуля, посмотрите Почему нет факториалов отрицательных чисел.

Интересные факты о факториале

Шесть недель — ровно 10! секунд (= 3 628 800)

Есть 52! способа перемешать колоду карт.

Это  8,0658175 … × 10 ⁶⁷ способов

В наблюдаемой вселенной около  60! атомов.

60! составляет около  8,320987 … × 10 ^81, а текущие оценки числа атомов составляют от 10 ⁷⁸до 10 ⁸² .

Факториалы могут быть просты в вычислении и имеют множество практических применений в реальном мире. Например, некоторые компании используют факториал для анализа перестановок и комбинаций в деловых целях, например, для определения количества грузовиков, необходимых для снабжения магазинов в каждом районе. Вы можете использовать математические задачи с факториалами, если вы работаете в сфере логистики или в такой отрасли, как финансы или программное обеспечение.

В этой статье мы обсудим, что такое факториал, как вычислить факториал, приведем примеры факториалов и ответим на часто задаваемые вопросы о факториалах.

Что такое факториал?

Факториал — это функция в математике с символом (!), который умножает число (n) на каждое предшествующее ему число. Проще говоря, функция факториала означает умножение всех целых чисел от выбранного числа до единицы. В более математических терминах факториал числа (n!) равен n(n-1). Например, если вы хотите вычислить факториал для четырех, вы напишете:

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

С помощью факториалов можно найти количество способов расположения (n) предметов. Когда порядок каждого элемента имеет значение, например, когда вы обсуждаете пароль к банковскому ящику, это перестановка. Если порядок не имеет значения, то это комбинация. Например, если вы хотите узнать, сколько комбинаций можно составить с трехзначным числом 725, вы найдете факториал 3!, которое

3! = 3 x 2 x 1 = 6.

Это означает, что существует шесть комбинаций, которые можно составить с числом 725: 725, 752, 572, 527, 275 и 257.

Формула факториала имеет вид:

n! = n*(n -1)!

Как вычислить факториал

Вы можете выполнить следующие шаги для решения факториала:

1. Определите число

Определите число, факториал которого вы хотите найти. Факториал имеет целое положительное число и восклицательный знак. Например, если вы хотите найти факториал для числа 8, математически это будет выглядеть следующим образом:

8!

2. Запишите последовательность

Используя формулу факториала, вы можете выписать последовательность чисел, которые вы будете умножать. Сюда входит число, для которого вы находите факториал, в данном примере это число 8, а также все числа, последовательно убывающие от него до единицы. Математически это будет выглядеть так:

n! = n(n-1) =

8(8 ? 1)(8 ? 2)(8 ? 3)(8 ? 4)(8 ? 5)(8 ? 6)(8 ? 7)

3. Умножьте числа

После того, как вы записали последовательность чисел, вы можете перемножить их вместе. Если вы перемножите все числа в этом примере, 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1, вы получите окончательный ответ 40 320. Математически это выглядит следующим образом:

n! = n(n-1) =

8(8 ? 1)(8 ? 2)(8 ? 3)(8 ? 4)(8 ? 5)(8 ? 6)(8 ? 7) =

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40 320

Вы также можете вычислить факториал с помощью научного калькулятора. На калькуляторе должна быть кнопка с надписью x! знак. Введите число, для которого вы хотите найти факториал, в данном случае число восемь, а затем нажмите кнопку x! кнопка. Калькулятор должен выдать тот же ответ — 40 320.

Примеры

Вот несколько примеров задач, в которых используются факториалы:

Пример 1

Задача: Сколькими способами можно расположить буквы в слове компания не повторяя их?

Для решения этой задачи подсчитайте количество букв в слове компания чтобы найти шесть букв. Затем найдите факториал числа шесть вручную или с помощью научного калькулятора. Если вы решите задачу вручную, она должна выглядеть следующим образом:

n! = n(n-1) =

6(6 ? 1)(6 ? 2)(6 ? 3)(6 ? 4)(6 ? 5) =

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Теперь вы знаете, что максимальное количество способов, которыми можно расположить буквы в слове компания без повторений — 720.

Пример 2

Задача: Какие комбинации можно составить из красного, синего и зеленого цветов??

Для этой задачи найдите факториал для числа три, поскольку существует три цвета, а затем перечислите различные комбинации. Если вы решите эту задачу вручную, она должна выглядеть следующим образом:

n! = n(n-1) =

3(3 ? 1)(3 ? 2) =

3 x 2 x 1 = 6

Шесть комбинаций:

красный, синий, зеленый

красный, зеленый, синий

зеленый, синий, красный

зеленый, красный, синий

синий, красный, зеленый

синий, зеленый, красный

Пример 3

Задача: Найти факториал числа 15.

Хотя эту задачу можно решить вручную, это может занять много времени, потому что 15 — большое число. Проще использовать научный калькулятор. Чтобы решить эту задачу с помощью калькулятора, необходимо:

1. Введите в калькулятор число 15.

2. Нажмите кнопку x! кнопка на калькуляторе.

3. Ответ 1,307,674,368,000 должен появиться на калькуляторе.

Часто задаваемые вопросы о факториалах

Вот некоторые ответы на распространенные вопросы о факториалах:

Можете ли вы найти факториал для числа ноль?

Да, вы можете найти факториал для числа ноль. Математики согласны с тем, что факториал числа ноль равен единице, или 0! =1. Может показаться странным, что 0! =1, но это легко понять, если следовать схеме обратных факториалов. Посмотрите на эту схему, начинающуюся с 4!:

4! = 24

3! = 6

2! = 2

1! = 1

0! = 1

Вы можете заметить, что каждый ответ делится последовательно, и по мере того, как вы следуете шаблону, он предсказывает следующий ответ и показывает, что 0! =1. Последовательные кратные номера выделены жирным шрифтом:

4! = 24, (24 ? 4 = 6)

3! = 6, (6 ? 3 = 2)

2! = 2, (2 ? 2 = 1)

1! = 1, (1 ? 1 = 1)

0! = 1

Можете ли вы найти факториал для отрицательного числа?

Нет, вы не можете найти факториал для отрицательного числа. Чтобы найти факториал отрицательного целого числа, нужно разделить его на ноль. Однако деление на ноль не определено. Таким образом, отрицательные целочисленные факториалы являются неопределенными.

Можете ли вы найти факториал десятичной дроби?

Да, вы можете найти факториал десятичной дроби. Если вы хотите узнать, как найти факториал десятичной дроби, вы можете познакомиться с гамма-функцией, которую также иногда называют гамма-функцией половинные факториалы. Эти задачи быстро усложняются. Например, факториал для одной половины, или .5 — половина квадратного корня из числа пи, или (-12)! = v?.

Что такое первые 15 факториалов?

Как видно из этой диаграммы, факториалы растут очень быстро. Для решения факториальных задач может быть полезно использовать научный калькулятор, особенно при работе с большими числами.

nn!

0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5,040
8	40,320
9	362,880
10	3,628,800
11	39,916,800
12	479,001,600
13	6,227,020,800
14	87,178,291,200
15	1,307,674,368,000