Время на прочтение
3 мин
Количество просмотров 204K
Сегодня я снова хочу вернуться к теме о задаче нахождении фальшивой монеты методом взвешивания на весах без циферблата.
Наиболее распространенные из таких задач — определение количества взвешиваний для выявления фальшивой монеты, если:
1) неизвестно какая она по весу;
2) известно, что она легче/тяжелее остальных.
Или обратная задача: можно ли за определенное количество взвешиваний выявить фальшивую из заданного количества монет.
1. Давайте сначала разберемся с 2 вариантом, который является частным случаем варианта 1.
Некоторое время назад, я на Хабре уже описывал решение такой задачи, но в одном из комментариев было замечание о немного странном первом разделении монет, по-этому предлагаю другой алгоритм решения. Хотя результат будет тот же и формула решения задачи остается та же:
N >= log3A,
где N — максимально необходимое количество взвешиваний, натуральное число, округленное в большую сторону;
A — количество монет.
Которая выведена на основании опытов (за 1 взвешивание можно найти одну фальшивую из 3-х монет, за 2 — из 9, за 3 — из 27 и т.д.)
Сам алгоритм решения простой, и я покажу его на примерах
1) Пусть у нас есть 26 монет. Нужно найти одну, которая легче/тяжелее
Первым действием буде разделение монет на три группы, в двух из которых число монет будет одинаковым, важно только что бы в третьей группе — остатке — было меньше монет, чем в каждой из двух других групп. То есть частое округляется к большему натуральному числу. То есть
A = 2 * B + C,
где A — количество монет;
B — частное от деления количества монет на 3, натуральное число, округленное в большую сторону;
C — остаток.
По условию задачи
26/3 = 8.666(6),
26 = 2 * 9 + 8,
При первом взвешивании будут сравниваться две группы: правая (ПГ) — 9 монет и левая (ЛГ) — 9 монет.
Далее у нас возможны два варианта:
1) фальшивая монета в левой/правой группе (9 монет)
2) фальшивая монета в остатке (8 монет)
для 1 варианта следующее деление на группы будет — 9 = 2 * 3 + 3;
для 2 варианта — 8 = 2 * 3 + 2
Ну и за одно взвешивание можно определить какая из 2 или 3 монет легче/тяжелее
Этот же результат я приведу в таблице
| № взвешивания | Число монет | ЛГ | ПГ | Остаток |
| 1 | 26 | 9 | 9 | 8 |
| 2 | 8 | 3 | 3 | 2 |
| 2 | 9 | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 3 | 1 | 1 | 1 |
по формуле — log326 =2.9656 — соответственно количество взвешиваний — 3.
еще пример:
число монет- 71. По формуле log371 =3.8800 — количество взвешиваний — 4. Проверяем
| № взвешивания | Число монет | ЛГ | ПГ | Остаток |
| 1 | 71 | 24 | 24 | 23 |
| 2 | 23 | 8 | 8 | 7 |
| 2 | 24 | 8 | 8 | 8 |
| 3 | 7 | 3 | 3 | 1 |
| 3 | 8 | 3 | 3 | 2 |
| 4 | 2 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 3 | 1 | 1 | 1 |
Ну с алгоритм решения этих задач, я думаю, понятен.
2. Теперь перейдем к задачам, в которых не известно легче монета или тяжелее.
В данном случае я предлагаю такое первое действие: разделить монеты на четыре группы, три — с максимально одинаковым количеством монет, а в четвертой группе — остаток. Причем в остатке должны быть 1 или 2 монеты. То есть при делении на 3 частное округляется до меньшего натурального числа.
A = 3 * B + C,
где A — количество монет;
B — частное от деления количества монет на 3, натуральное число, округленное в меньшую сторону;
C — остаток.
Например, для 58-ми монет — это будет 58 = 3 * 19 + 1, для 23 = 3 * 7 + 2, для 15 = 3 * 5 + 0 и т. д.
Далее выполняем два взвешивания:
1) первая и вторая группы;
2) первая и третья группы;
и анализируем результат.
Здесь возможны четыре варианта:1, 2, 3 — это первая, вторая или третья группа отличаются по весу от двух остальных, или они равны, тогда нам повезло, так как фальшивая — в остатке. Так же два взвешивания помогают определить определить тяжелее фальшивая монета или легче. Кстати, если в остатке две монеты, то нужно выполнить еще 2 взвешивания для определения фальшивой монеты.
Теперь у нас есть задача: определить одну фальшивую монету из группы, которая легче/тяжелее.
Что касается формулы, то она примет следующий вид
N >= log3B + 2,
где N — максимально необходимое количество взвешиваний, натуральное число;
B — количество монет в группе после второго взвешивания.
А если учесть, что B = A/3, где A — количество всех монет, тогда получим:
log3B = log3A — 1,
N >= log3A + 1
Итог:
1) если известно, что фальшивая монета легче/тяжелее, тогда максимальное число взвешиваний определяется по формуле:
N >= log3A
2) если не известно, какая фальшивая, тогда максимальное число взвешиваний определяется по формуле:
N >= log3A + 1
где N — максимально необходимое количество взвешиваний, натуральное число, округленное в большую сторону;
А — количество монет.
Как найти фальшивую монету двумя взвешиваниями — логическая задача
Загадки на логику
Перед нами логическая задача, чтобы решить которую нужно немного пораскинуть мозгами.
Итак условия задачи следующие:
На столе лежат 9 монет. Известно, что одна из монет фальшивая. Фальшивая монета весит меньше чем остальные. У нас имеются весы для взвешивания.
Вопрос:
Как при помощи двух взвешиваний найти фальшивую монету?
.jpg)
Внимание!
Ниже приведен правильный ответ!
Правильный ответ:
Вначале на каждую чашу весов нужно положить по три монеты.
Если после этого весы приходят в равновесие, значит среди этих монет нет фальшивой, берем две из трех оставшихся монет, кладем на разные чаши весов. Если фальшивая монета среди этих двух, то мы поймем на какой она чаше, эта чаша поднимется выше.
А если весы снова придут в равновесие, значит фальшивая монета осталась на столе.
Если же при первом взвешивании весы не пришли в состояние равновесия, значит фальшивая монета уже находится на весах, берем 2 монеты из тех трех, что оказались легче, кладем по 1 на каждую чашу, если одна чаша поднялась выше, значит фальшивая монета на ней, если чаши уравновесились, значит фальшивая — оставшаяся третья.
Похожие новости
Все загадки
Все загадки
Все загадки
Все загадки
Все загадки
Все загадки
Задача имеет решение, но оно будет актуально только для весов с достаточно вместительной чашей для взвешивания.
Из каждого следующего мешочка с монетами необходимо взять на одну монету больше, чем из предыдущего.
- из первого мешочка одна монета
- из второго мешочка две монеты
- из третьего мешочка три монеты
- из четвертого мешочка четыре монеты
- из пятого 5 монет
- из шестого 6 монет
- из седьмого 7 монет
- из восьмого 8 монет
- из девятого 9 монет
- из десятого десять монет
Итого у нас будет: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 монет
Выкладываем их, не смешивая между собой, на чашу весов. Полученный вес в граммах сообщит нам в каком мешочке лежали фальшивые монеты. Если бы все монеты являлись настоящими, то на весах у нас должно было быть 45*10=450 грамм, любое отклонение в граммах укажет нам номер мешочка с фальшивками.
- 449 грамм — фальшивые монеты в первом мешочке
- 448 грамм — фальшивые монеты во втором мешочке
- 447 грамм -фальшивые монеты в третьем мешочке
- 446 грамм — фальшивые монеты в четвертом мешочке
- 445 грамм — фальшивые монеты в пятом мешочке
- 444 грамм — фальшивые монеты в шестом мешочке
- 443 грамма — фальшивые монеты в седьмом мешочке
- 442 грамма — фальшивые монеты в восьмом мешочке
- 441 грамм — фальшивые монеты в девятом мешочке
- 440 грамм — фальшивки в десятом мешочке
Разминка для мозга: сможете решить задачу про фальшивую монету? Проверьте!
25 августа 2020
Отдых
Есть 12 монет, среди них одна поддельная. Помогите математику обнаружить её всего за три взвешивания.
Анастасия Сукманова
Избранное
За критику налоговой системы император заточил в темницу величайшего математика страны. Но однажды пленнику представился шанс вновь обрести свободу. Один из 12 наместников императора уплатил налог фальшивой монетой, которая уже попала в казну. Император пообещал освободить математика, если тот сумеет найти подделку.
Перед пленником поставили стол, на котором были чашечные весы, карандаш и 12 одинаковых на вид монет. А потом сказали, что фальшивка отличается от остальных денег по весу в большую или меньшую сторону. Взвесить монеты разрешили лишь трижды. Как математику вычислить подделку?
Показать ответ
Скрыть ответ
Читайте также ✅
- Сложная задачка про голубоглазых пленников, которые застряли на острове
- Задача про пленников и колпаки, цвет которых нужно определить
- Задача про тайник Леонардо да Винчи, в который не так-то легко пробраться
Есть 12 монет, одна из которых фальшивая. При этом неизвестно, в какую сторону она отличается от настоящих, т.е. она может быть как легче, так и тяжелее. В вашем распоряжении чашечные весы без гирь, как в аптеке. Нужно за три взвешивания найти фальшивую монету, а также выяснить, тяжелее она или легче.
Решение
Для удобства пронумеруем монеты от 1 до 12.
Первым взвешиванием сравним две группы по четыре монеты: 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8.
Случай I: первое взвешивание показало равенство
Если весы покажут равенство, то фальшивая монета находится среди оставшихся четырёх монет. Тогда вторым взвешиванием мы сравним три монеты 9, 10, 11 с заведомо настоящими 1, 2, 3.
Если и в этот раз весы покажут равенство, то фальшивка — монета номер 12, и третьим взвешиванием мы сравним её с настоящей и узнаем, легче она или тяжелее.
Если же три монеты 9, 10, 11 оказались легче (тяжелее), то третьим взвешиванием сравним друг с другом монеты 9 и 10. Если они равны, то монета 11 — фальшивая, и она легче (тяжелее) настоящей. Иначе заключаем, что из монет 9 и 10 фальшивая та, которая легче (тяжелее) другой.
Случай II: первое взвешивание показало неравенство
Теперь предположим, что первое взвешивание показало, что монеты 1, 2, 3, 4 тяжелее, чем 5, 6, 7, 8. Случай, когда первые монеты оказались легче, симметричен.
Во втором взвешивании на одну чашу поместим монеты 1, 2, 5, а на другую — монеты 3, 4, 9 (монета 9 — заведомо настоящая).
Если второе взвешивание показало равенство, то у нас остаются три монеты 6, 7, 8, одна и которых легче остальных. Третьим взвешиванием сравниваем монеты 6 и 7. Если они равны, то монета 8 легче остальных. Иначе фальшивой является та, которая легче другой.
Теперь предположим, что во втором взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались тяжелее, чем 3, 4, 9. Это означает, что фальшивка находится среди монет 1 и 2, причём она тяжелее остальных. Сравнив в третьем взвешивании эти две монеты друг с другом, мы определим фальшивую.
Предположим, что во втором взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались легче, чем 3, 4, 9. Это означает, что либо монета 5 легче остальных, либо одна из монет 3 и 4 тяжелее остальных. Третьим взвешиванием мы сравним друг с другом монеты 3 и 4 и найдём ответ.