Как найти фокус линзы в собирающей линзе

Для введённых нами линз существует два условно разных типа задач:

• задачи на построение в собирающей и рассеивающей линзах
• задачи на формулу для тонкой линзы

Первый тип задач основан на фактическом построении хода лучей от источника и поиска пересечения преломлённых в линзах лучей. Рассмотрим ряд изображений, полученных от точечного источника, который будем помещать на различных расстояниях от линз. Для собирающей и рассеивающей линзу существуют рассмотренные (не нами) траектории распространения луча (рис. 1) от источника .

Для собирающей линзы (рис. 1.1) лучи:

1. синий. Луч, идущий вдоль главной оптической оси, после преломления проходит через передний фокус.
2. зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).
3. красный. Луч, идущий через передний фокус, после преломления распространяется параллельно главной оптической оси.

Пересечение любых из этих двух лучей (чаще всего выбирают лучи 1 и 2) дают изображение ().

Для рассеивающей линзы (рис. 1.2) лучи:

1. синий. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, преломляется так, что продолжения луча проходит через задний фокус.
2. зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).

Пересечение продолжений рассмотренных лучей даёт изображение ().

Аналогично сферическому зеркалу, получим набор изображений от предмета, расположенного на различных расстояниях от зеркала. Введём те же обозначения: пусть  — расстояние от предмета до линзы,  — расстояние от изображения до линзы,  — фокусное расстояние (расстояние от фокуса до линзы).

Для собирающей линзы:

• (источник находится очень далеко от линзы). В этом случае мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 2). Пустим два луча параллельно главной оптической оси линзы.

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходят через фокус, то точка фокуса и является точкой пересечения преломлённых лучей, тогда она же и есть изображение источника (точечное, действительное).

• (источник находится за двойным фокусным расстоянием) (рис. 3).

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Для визуализации изображения введём описание предмета через стрелку. Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (уменьшенное, действительное, перевёрнутое). Положение — между фокусом и двойным фокусом.

• (источник находится ровно в двойном фокусе) (рис. 4).

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (того же размера, действительное, перевёрнутое). Положение — ровно в двойном фокусе.

• (источник между фокусом и двойным фокусом) (рис. 5)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется).  Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (увеличенное, действительное, перевёрнутое). Положение — за двойным фокусом.

• (источник находится ровно в фокусе собирающей линзы) (рис. 6)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). В этом случае, оба преломлённых луча оказались параллельными друг другу, т.е. точка пересечения отражённых лучей отсутствует. Это говорит о том, что изображения нет.

• (источник находится между фокусом и главным оптическим центром) (рис. 7)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Однако преломлённые лучи расходятся, т.е. сами преломлённые лучи не пересекутся, зато могут пересечься продолжения этих лучей. Точка пересечения продолжений преломлённых лучей — изображение (увеличенное, мнимое, прямое). Положение — по ту же сторону, что и предмет.

Для рассеивающей линзы построение изображений предметов практически не зависит от положения предмета, так что ограничимся произвольным положением самого предмета и характеристикой изображения.

• (источник находится очень далеко от линзы). В этом случае, мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 8). Пустим два луча параллельно главной оптической оси линзы.

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе должны проходить через фокус (свойство фокуса), однако после преломления в рассеивающей линзе лучи должны расходится. Тогда в фокусе сходятся продолжения преломившихся лучей. Тогда точка фокуса и является точкой пересечения продолжений преломлённых лучей, т.е. она же и есть изображение источника (точечное, мнимое).

• любое другое положение источника (рис. 9).

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (продолжение отражённого луча проходит через передний фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Тогда изображением будет пересечение продолжений преломлённых лучей.

Второй тип задач связан с формулой тонкой линзы. Такие задачи основываются на числовых данных параметров, характеризующих положение источника, изображения или фокуса линзы. Рассмотрим произвольную систему (рис. 10). Пусть положение источника (), изображения () и фокуса системы () задано.

Тогда взаимосвязь между параметрами положения элементов можно описать формулой:

(1)

• где

Важно: для использования формулы (1) необходимо помнить правило расстановки знаков. Если линза собирающая, то , если рассеивающая, то . В случае действительных предметов и изображений: , , а в случае мнимых предметов и изображений:  и .

И последним параметром, характеризующим линзы или систему линз, является оптическая сила линзы (). Её нахождение довольно простое:

(2)

• где

Размерность оптической силы линзы: м=дптр (диоптрии). Оптическая сила собирающей линзы положительна, рассеивающей — отрицательна.

Вывод: задачи с линзами, в целом, разделены на два класса. Задачи на построение основываются на рисунках 2-9. Достаточно проанализировать ход лучей и найти изображение (рис.1). Численные значения в дано указывают на задачи на формулу тонкой линзы (1).

Свойства тонкой линзы определяются главным образом расположением ее главных фокусов. Поэтому, зная расстояние от источника света до линзы, а также ее фокусное расстояние (положение фокусов), мы можем определить расстояние до изображения, опустив описание хода лучей внутри самой линзы. Поэтому в изображении на чертеже точного вида сферических поверхностей линзы необходимость отсутствует.

Схематически тонкие линзы обозначают отрезком со стрелками на конце. Они смотрят от центра в противоположные стороны, если линза собирающая, и они направлены к центру отрезка, если линза рассеивающая.

Внимание!

Напомним, что линзы могут давать действительные и мнительные изображения. Причем, собирающая линза может давать как действительные, так и мнимые изображения. Рассеивающая линза всегда дает только мнимые изображения.

Способ построения изображений, а также вид самих изображений в линзе зависит от того, где расположен изображаемый предмет. Он может располагаться за двойным фокусным расстоянием, в фокальной плоскости второго фокуса, между вторым и первым фокусом, в фокальной плоскости главного фокуса и на расстоянии меньше фокусного расстояния линзы.

Определение

Вторым фокусом называют точку, которая расположена на главной оптической оси от главного фокуса на расстоянии, равном фокусному расстоянию линзы. Относительно линзы он располагается на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию линзы.

Построение изображения в собирающей линзе

Предметы схематично изображаются в виде стрелки. Чтобы построить изображение предмета в собирающей линзе, нужно найти положение верхней и нижней точки этого изображения. Сначала находят положение точки изображения, соответствующей верхней точки предмета (точки А). Для этого из этой точки нужно пустить два луча:

Два вида лучей при построении изображений в линзе

Первый луч проходит из верхней точки предмета (точки А) параллельно главной оптической оси. На линзе (в точке С) луч преломляется и проходит через точку фокуса (точку F).

Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета (точки А) через оптический центр линзы (точку О). Он пройдет, не преломившись.

На пересечении двух лучей обозначаем точку А₁. Это и будет изображение верхней точки предмета. Таким же образом нужно поступить с нижней точкой предмета. Но на пересечении вышедших из линзы лучей нужно поставить точку В₁. Изображение предмета при этом — А₁ В_1.

В зависимости от того, где расположен предмет, изображение может получиться действительным или мнимым, увеличенным или уменьшенным, перевернутым или прямым. Построим изображения для каждого из таких случаев.

Схема построения изображения	Расположение предмета относительно линзы + характеристика изображение
	Предмет располагается за двойным фокусом. Изображение: уменьшенное; перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в фокальной плоскости второго фокуса. Изображение: перевернутое; действительное.
	Предмет располагается в пространстве между фокусом и двойным фокусом. Изображение: увеличенное; перевернутое; действительное.
	Предмет находится в фокальной плоскости. Изображения нет, поскольку лучи идут параллельно друг другу и не пересекаются.
	Предмет располагается между линзой и фокусом. Изображение: увеличенное; прямое; мнимое.

Пример №1. Построить изображение предмета, изображенного на рисунке. Определить тип изображения.

Чтобы построить изображение предмета, достаточно определить его положение одной точки — верхней. Поскольку предмет расположен параллельно линзе, для построения изображения, достаточно будет соединить найденную точку изображения для верхней точки предмета перпендикуляром, проведенным к главной оптической оси.

Чтобы построить изображение верхней точки, пустим от нее два луча — побочную оптическую ось через оптический центр и перпендикуляр к линзе. Затем найдем пересечение побочной оптической оси с преломленным лучом. Теперь пустим перпендикуляр к главной оптической оси и получим изображение. Оно является действительным, увеличенным и перевернутым.

Частный случай — построение изображения точки

Положение изображения точки можно найти тем же способом, описанным выше. Нужно лишь построить два луча и найти их пересечение после выхода из линзы (см. рисунок ниже). Так, изображению точки S соответствует точка S´.

Особую сложность составляет случай, когда точка расположена на главной оптической оси. Сложность заключается в том, что все лучи, которые можно построить, будут совпадать с главной оптической осью. Поэтому возникает необходимость в определении хода произвольного луча. Направим луч от точки S (луч SB) к собирающей линзе. Затем построим побочную оптическую ось PQ такую, которая будет параллельна лучу SB. После этого построим фокальную плоскость и найдем точку пересечения (точка С) фокальной плоскости с побочной оптической осью. Теперь соединим полученную точку С с точкой В. Это будет преломленный луч. Продолжим его до пересечения с главной оптической осью. Точка пересечения с ней и будет изображением точки S. В данном случае оно является мнимым.

Пример №2. Построить изображение точки, расположенной на главной оптической оси.

Чтобы построить изображение, пустим произвольный луч к линзе. Затем построим параллельную ему побочную оптическую ось и фокальную плоскость. Из места пересечения этой оси с фокальной плоскостью пустим луч, также проходящий через точку пересечения линзы с произвольным лучом. Построим продолжение луча до получения точки пересечения с главной оптической осью. Отметим точку пересечения — она является действительным изображением точки.

Построение изображения в рассеивающей линзе

Чтобы построить изображение предмета в рассеивающей линзе, нужно определить положения точек изображения, соответствующих верхней и нижней точкам предмета. Вот как определить положение точки изображения для верхней точки предмета:

1. Нужно пустить луч, перпендикулярный главной оптической оси. Этот луч после преломления отклонится. Но его продолжение обязательно пересечет главный фокус линзы.
2. Нужно пустить луч от верхней точки предмета через оптический центр линзы (построить побочную оптическую ось).
3. Точку пересечения продолжения луча, полученного в шаге 1, с побочной оптической осью, нужно обозначить за изображение верхней точки предмета (на рисунке это точка А´).

Точно такие же действия нужно выполнить для нижней точки предмета. В результате получится точка пересечения, соответствующая изображению нижней точки предмета (на рисунке это точка А´´).

Внимание! Независимо от расположения предмета относительно рассеивающей линзы, изображение всегда получается прямым, уменьшенным, мнимым.

Пример №3. Построить изображение предмета в рассеивающей линзе.

Чтобы построить изображение, пустим от верхней точки предмета побочную оптическую ось через оптический центр и проведем перпендикуляр к линзе. Затем из точки главного фокуса проведем луч через точку пересечения линзы с перпендикуляром. Пересечение этого луча с побочной оптической осью есть изображение верхней точки предмета. Теперь проведем от нее перпендикуляр к главной оптической оси. Это и будет являться изображением предмета. Оно является мнимым, уменьшенным и прямым.

Построение изображений в плоском зеркале

Определение

Плоское зеркало — это плоская поверхность, зеркально отражающая свет.

Построение изображения в зеркалах основывается на законах прямолинейного распространения и отражения света. Продемонстрируем это с помощью рисунка ниже.

Построим изображение точечного источника S. От точечного источника света лучи распространяются во все стороны. На зеркало падает пучок света ASB, и изображение создается всем пучком сразу. Но для построения изображения достаточно взять любые два луча из этого пучка. Пусть это будут лучи SO и SC.  Луч SO падает перпендикулярно поверхности зеркала АВ. Поскольку угол между ним и перпендикуляром, восстановленным в точке падения, равен 0, то угол падения принимаем равным за 0. поэтому отраженный пойдет в обратном направлении OS. Луч SC отразится под углом γ=α. Отраженные лучи OS и СК расходятся и не пересекаются, но если они попадают в глаз человека, то человек увидит изображение S₁, которое представляет собой точку пересечения продолжения отраженных лучей.

Таким образом, чтобы получить изображение в плоском зеркале, нужно:

• Пустить от источника света луч, перпендикулярный к плоскости зеркала (падающий луч совпадает с отраженным лучом).
• Пустить от источника света к плоскости зеркала еще один луч под произвольным углом.
• Построить отраженный луч от падающего луча, построенного в шаге 2, используя закон отражения света.
• Найти пересечение продолжений отраженных от зеркала лучей (пущенного под прямым углом и произвольным углом).

Внимание!

Изображение в зеркале всегда является мнимым. Это связано с тем, что изображение строится на пересечении продолжении лучей, а не на самих лучах.

Изображение в плоском зеркале находится от зеркала на таком же расстоянии, как предмет от этого зеркала. Это легко доказать тем, что треугольники SOC и S₁OC равны по стороне и двум углам. Следовательно SO = S₁O. Отсюда делаем вывод, что для построения изображения точечного источника света достаточно знать расстояние, на котором он находится от зеркала. Останется только провести к зеркалу перпендикулярную прямую и отложить на ней точку на нужном расстоянии.

При построении изображения какого-либо предмета последний представляют как совокупность точечных источников света. Поэтому достаточно найти изображение крайних точек предмета. Так, изображение А₁В₁ соответствует предмету АВ.

Изображение и сам предмет всегда симметричны относительно зеркала.

Пример №4. Построить изображение треугольника ABC в плоском зеркале.

Чтобы построить изображение, пустим к плоскому зеркалу перпендикулярные прямые. Затем измерим расстояние от каждой точки до зеркала и отложим их по перпендикуляру от зеркала в обратную сторону. Так для точки А мы находим точку А´, для В — В´, для С — С´.

Видно, что треугольник отразился зеркально (изображение и предмет симметричны друг другу). Так и должно быть в случае с зеркалом.

Алиса Никитина | Просмотров: 32.4k

Содержание:

Линзы:

На уроках природоведения вы. наверное, пользовались микроскопом. Кое-кто из ваших друзей (а может, и вы сами) имеет очки. Вероятнее всего, большинство из вас знакомы с биноклем, зрительной тру бой, телескопом. У всех этих приборов есть общее: их основной частью является линза.

Равные виды линз

Линзой (сферической*) называют прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями (в частности, одна из поверхностей может быть плоскостью). По форме линзы делятся на выпуклые (рис. 3.50) и вогнутые (рис. 3.51).

Если толщина линзы d во много раз меньше радиусов

Обычно выпуклые линзы являются собирающими: параллельные лучи, которые падают на собирающую линзу, пройдя сквозь нее, пересекаются в одной точке (рис. 3.53).

Вогнутые линзы чаще всего бывают рассеивающими: параллельные лучи после прохождения сквозь рассеивающую линзу выходят расходящимся пучком (рис. 3.54).

Линзы также бывают цилиндрическими, но встречаются такие линзы редко.

Характеристики линз

Проведем прямую, которая проходит через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу. Эту прямую называют главной оптической осью линзы. Точку линзы, которая расположена на главной оптической оси и через которую луч света проходит, не изменяя своего направления, называют оптическим центром линзы (рис. 3.55). На рисунках оптический центр линзы обычно обозначают буквой О.

Точку, в которой собираются после преломления лучи, параллельные главной оптической оси собирающей линзы, называют действительным фокусом собирающей линзы (рис. 3.56).

Если пучок лучей, параллельных главной оптической оси, направить на рассеивающую линзу, то после преломления они выйдут расходящимся пучком.

Однако их продолжения соберутся в одной точке на главной оптической оси линзы (рис. 3.57). Эту точку называют мнимым фокусом рассеивающей линзы.

На рисунках фокус линзы обозначают буквой F.

Расстояние от оптического центра линзы до фокуса называют фокусным расстоянием линзы.

Фокусное расстояние обозначается символом F и измеряется в метрах. Фокусное расстояние собирающей линзы договорились считать положительным (F>0), а рассеивающей — отрицательным (F<0).

Очевидно, что чем сильнее преломляющие свойства линзы, тем меньшим будет ее фокусное расстояние (рис. 3.58).

Физическая величина, характеризующая преломляющие свойства линзы и обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы.

Оптическая сила линзы обозначается символом D и вычисляется по формуле
где F — фокусное расстояние линзы.

Единицей оптической силы является диоптрия

1 диоптрия (дптр) — это оптическая сила такой линзы, фокусное рас стояние которой равняется 1 м.

Если линза собирающая, то ее оптическая сила положительна. Оптическая сила рассеивающей линзы отрицательна. Например, оптическая сила линз в бабушкиных очках +3 дптр, а в маминых -3 дптр. Это означает, что в бабушкиных очках стоят собирающие линзы, а в маминых — рассеивающие.
 

Пример №1

Оптическая сила линзы равняется -1,6 дптр. Каково фокусное расстояние этой линзы? Эта линза собирающая или рассеивающая?

Дано:

Анализ физической проблемы

Для определения фокусного расстояния этой линзы воспользуемся формулой для вычисления оптической силы линзы. Поскольку 1)< 0, то линза рассеивающая.

Поиск математической модели, решение:

Определим числовое значение искомой величины:

Ответ: F = -62,5 см, линза рассеивающая.

Итоги:

Прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями, называют линзой. Линзы бывают собирающими и рассеивающими, а по форме — выпуклыми и вогнутыми.

Линза называется собирающей, если пучок параллельных лучей, падающий на нее, после преломления в линзе пересекается в одной точке. Эту точку называют действительным фокусом линзы.

Линза называется рассеивающей, если параллельные лучи, падающие на нее, после преломления в линзе идут расходящимся пучком, однако продолжения этих преломленных лучей пересекаются в одной точке. Эта точка называется мнимым фокусом линзы.

Физическая величина, характеризующая преломляющие свойства линзы и являющаяся обратной фокусному расстоянию линзы, называется оптической силой линзы = Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях (дптр).
 

Формула тонкой линзы

Сейчас никого не удивляет, что можно увидеть бактерии и другие микроорганизмы, рассмотреть невидимые невооруженным глазом детали рельефа поверхности Луны или полюбоваться портретом, нарисованным на маковом зернышке. Все это стало возможным потому, что с по мощью линзы получают разные по размеру изображения предметов.

Изображение предмета, полученное с помощью линзы

Расположив последовательно зажженную свечу, собирающую линзу и экран, получим на экране четкое изображение пламени свечи (рис. 3.59). Изображение может быть как большим, так и меньшим, чем само пламя, или равным ему — в зависимости от расстояния между свечой и экраном. Чтобы выяснить, при каких условиях с помощью линзы образуется то или иное изображение предмета, рассмотрим приемы его построения.
 

Строим изображение предмета, которое дает тонкая линза

Любой предмет можно представить как совокупность точек. Каждая точка предмета, который светится собственным или

1. — луч, проходящий через оптический центр О линзы (не преломляется и не изменяет своего направления);
2. — луч, параллельный главной оптической оси / линзы (после преломления в линзе идет через фокус F);
3. — луч, проходящий через фокус F (после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси/линзы)
4. отраженным светом, испускает лучи во всех направлениях.

Для построения изображения точки S, получаемого с помощью линзы, достаточно найти точку пересечения , любых двух лучей, выходящих из точки S и проходящих сквозь линзу (точка и будет действительным изображением точки S). Кстати, в точке пересекаются все лучи, выходящие из точки S, однако для построения изображения достаточно двух лучей (любых из трех показанных на рис. 3.60).

Изобразим схематически предмет стрелкой АВ и удалим его от линзы на расстояние, большее, чем 2F (за двойным фокусом) (рис. 3.61, а). Сначала построим изображение точки В. Для этого воспользуемся двумя «удобными* лучами (луч 1 и луч 2). Эти лучи после преломления в линзе пересекутся в точке . Значит, точка является изображением точки В. Для построения изображения точки А из точки опустим перпендикуляр на главную оптическую ось /. Точка пересечения перпендикуляра и оси / и является точкой

Значит, и является изображением предмета АВ, полученное с помощью линзы. Мы видим: если предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы, то его изображение, полученное с помощью линзы, будет уменьшенным, перевернутым, действительным. Такое изображение получается, например, на пленке фотоаппарата (рис. 3.61, б) или сетчатке глаза.

На рис. 3.62, а показано построение изображения предмета АВ, полученного с помощью собирающей линзы, в случае, когда предмет расположен

Изображение предмета в этом случае будет увеличенным, перевернутым, действительным. Такое изображение позволяет получить проекционная аппаратура на экране (рис. 3.62, б).

Если поместить предмет между фокусом и линзой, то изображения на экране мы не увидим. Но, посмотрев на предмет сквозь линзу, увидим изображение предмета — оно будет прямое, увеличенное.

Используя «удобные лучи» (рис. 3.63, а), увидим, что после преломления в линзе реальные лучи, вышедшие из точки В, пойдут расходящимся пучком. Однако их продолжения пересекутся в точке В,. Напоминаем, что в этом случае мы имеем дело с мнимым изображением предмета. То есть если предмет расположен между фокусом и линзой, то его изображение бу дет увеличенным, прямым, мнимым, расположенным с той же стороны от линзы, что и сам предмет. Такое изображение можно получить с помощью лупы (рис. 3.63, б) или микроскопа.

Итак, размеры и вид изображения, полученного с помощью собирающей линзы, зависят от расстояния между предметом и этой линзой.

Внимательно рассмотрите рис. 3.64, на котором показано построение изображения предмета, полученного с помощью рассеивающей линзы. Построение показывает, что рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение предмета, расположенное с той же стороны от линзы, что и сам предмет.

Мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда предмет значительно больше, чем линза (рис. 3.65), или когда часть линзы закрыта непрозрачным экраном (например, линза объектива фотоаппарата). Как создается изображение в этих случаях? На рисунке видно, что лучи 2 и 3 при этом не проходят через линзу. Однако мы, как и раньше, можем использовать эти лучи для построения изображения, получаемого с помощью линзы. Поскольку реальные лучи, вышедшие из точки В, после преломления в линзе пересекаются в одной точке — то «удобные лучи*, с помощью которых мы строим изображение, тоже пересеклись бы в точке

Как выглядит формула тонкой линзы

Существует математическая зависимость между расстоянием d от предмета до линзы, расстоянием f от изображения предмета до линзы и фокусным расстоянием F линзы. Эта зависимость называется формулой тонкой линзы и записывается так:

Пользуясь формулой тонкой линзы для решения задач, следует иметь в виду: расстояние f (от изображения предмета до линзы) следует брать со знаком минус, если изображение мнимое, и со знаком плюс, если изображение действительное; фокусное расстояние F собирающей линзы положительное, а рассеивающей — отрицательное.

Пример №2

Рассматривая монету с помощью лупы, оптическая сила которой +5 дптр, мальчик расположил монету на расстоянии 2 см от лупы. Определите, на каком расстоянии от лупы мальчик наблюдал изображение монет

Дано:

d = 2 см = 0,02 м

D = + 5 дптр

f- ?

Анализ физической проблемы, поиск математической модели

Лупу можно считать тонкой линзой, поэтому чтобы найти расстояние от лупы до изображения, воспользуемся
формулой тонкой линзы Фокусное расстояние F неизвестно, но мы знаем, что (2), где

D — оптическая сила линзы, данная в условии задачи.
Решение и анализ результатов

Подставив формулу (2) в формулу (1), получаем

Проверим единицу:

Найдем числовое

Проанализируем результат: знак ♦-* говорит о том, что изображение является мнимым.

Ответ: f = -21 см, изображение мнимое.

Итоги:

В зависимости от вида линзы (собирающая или рассеивающая) и местоположения предмета относительно этой линзы получают разные изображения предмета с помощью линзы (см.таблицу):

Таким образом, по типу изображения можно судить так и о местоположении предмета относительно нее.

Расстояние d от предмета до линзы, расстояние f от изображения до линзы и фокусное расстояние F связаны формулой тонкой линзы:

Что такое линза

Многие люди носят очки. А задумывались ли вы над вопросами: что собой представляют стекла очков и какова их роль? Стекла очков есть не что иное, как линзы. Ни один оптический прибор (от простой лупы до сложных телескопов) не обходится без линз. Что же такое линза?

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное криволинейными (чаще всего сферическими) или криволинейной и плоской поверхностями. Материалом для линз обычно служит оптическое или органическое стекло.

На рисунках 261, 262 представлены сечения линз двух типов: двояковыпуклой (см. рис. 261) и двояковогнутой (см. рис. 262). Одна из поверхностей линзы может быть плоской, как, например, на рисунке 263. Такие линзы называются плосковыпуклая (см. рис. 263, а) и плосковогнутая, (см. рис. 263, б).

Прямая, проходящая через центры сферических поверхностей (рис. 264), называется главной оптической осью линзы. Радиусы и есть радиусы кривизны поверхностей линзы (см. рис. 264).

Если толщина линзы мала но сравнению с радиусами кривизны ее поверхностей (см. рис. 264), то линза называется тонкой. Ее часто изображают Всякая тонкая линза имеет точку, проходя через которую, луч не меняет своего направления (лучи 1 и 2 на рисунке 264). Эта точка О называется оптическим центром линзы. В дальнейшем мы будем рассматривать только тонкие линзы, изготовленные из вещества, оптически более плотного, чем среда (воздух), в которой они находятся.

Как линзы меняют направление падающих на них лучей после преломления? Ответ получим с помощью опыта.

Направим на двояковыпуклую линзу (рис. 265, а) параллельно главной оптической оси лучи света. После преломления в линзе они пересекают главную оптическую ось в одной точке F. Значит, двояковыпуклая линза собирает преломленные лучи, поэтому такая линза называется собирающей. Также превращают параллельный пучок в сходящийся линзы 2, 3, изображенные на рисунке 270. При замене линзы на двояковогнутую (рис. 265, б) лучи после преломления в линзе расходятся, а центральный луч, как и в первом случае, не испытывает преломления. Итак, двояковогнутая линза рассеивает параллельный пучок падающих на нее лучей, поэтому такая линза называется рассеивающей. Рассеивают параллельный пучок и линзы 5, 6 (см. рис. 270).

Точка F (см. рис. 265, а, рис. 266, а), в которой пересекаются преломленные линзой лучи, падающие параллельно главной оптической оси, или их продолжения (см. рис. 265, б, рис. 266, б), называется главным фокусом линзы. Так как параллельные лучи можно пустить как с одной, так и с другой стороны линзы, то и главных фокуса у линзы два. Оба фокуса лежат на главной оптической оси симметрично относительно оптического центра линзы (см. рис. 266). А в какой точке собирает линза лучи, идущие под углом к главной оптической оси? Оказывается, в точке которая находится в плоскости (см. рис. 266, а), проходящей через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси. Эта плоскость называется фокальной плоскостью, а точка  в отличие от главного фокуса, называется фокусом.

Обратите внимание, что у собирающей линзы в фокусе пересекаются сами преломленные лучи, несущие энергию, поэтому фокус называется действительным. У рассеивающей линзы в фокусе пересекаются продолжения преломленных лучей. Такой фокус называют мнимым.

Расстояние от оптического центра до главного фокуса называется фокусным расстоянием. Его тоже принято обозначать буквой F.

Линза, имеющая более выпуклые поверхности, преломляет лучи сильнее. Линза 1 (рис. 267, а) преломляет лучи сильнее, чем линза 2 (рис. 267, 6). Фокусное расстояние у линзы 1 меньше, чем у линзы 2.

Чтобы количественно оценить преломляющую способность линзы, введем величину, обратную фокусному расстоянию, и назовем ее оптической силой линзы (обозначается буквой D):

Оптическая сила измеряется в диоптриях (сокращенно дптр). Очевидно, что D = 1 дптр, если фокусное расстояние линзы F = 1 м.

А как оценивается оптическая сила рассеивающей линзы, у которой фокус мнимый? В этом случае фокусное расстояние считается отрицательным, а следовательно, и оптическая сила — отрицательной величиной.

Например, если F = -0,5 м, то оптическая сила

Теперь для вас не будет загадкой рекомендация врача-окулиста: «Вам нужны очки со стеклами +1,5 диоптрии или -2 диоптрии».
 

Для любознательных:

Не следует думать, что любая линза с выпуклой поверхностью будет обязательно собирающей, а с вогнутой — рассеивающей. Собирающей является всякая линза, у которой середина толще краев (например, линзы 2, 2, 3 на рисунке 270), а рассеивающей — линза, у которой середина тоньше краев (см. рис. 270, линзы 4, 5, 6). И не забывайте, что все наши рассуждения справедливы, если вещество линзы (стекло) имеет большую оптическую плотность, чем окружающая среда (воздух).

В природе собирающими линзами являются капельки росы, в быту — наполненные водой прозрачные сосуды — кувшин, пластиковая бутылка. Подумайте и ответьте, какие это линзы.

Главные выводы:

1. Линзы меняют направление падающих на них лучей после преломления, за исключением тех, которые проходят через оптический центр линзы.
2. Собирающая линза после преломления делает параллельный пучок лучей сходящимся, рассеивающая линза — расходящимся.
3. Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в собирающей линзе пересекаются в главном фокусе. В рассеивающей линзе в главном фокусе пересекаются продолжения преломленных лучей.
4. Величина, обратная фокусному расстоянию, определяет оптическую силу линзы.

Построение изображений в тонких линзах

Глядя в окуляр микроскопа на уроках биологии, задумывались ли вы, как получается увеличенное изображение клеток? Главными частями микроскопа являются линзы. Именно они позволяют получать увеличенное или уменьшенное (например, в фотоаппарате) изображение предмета.

Какие изображения предмета создает линза?

Проведем опыт. На столе расположим экран, собирающую линзу и зажженную свечу (рис. 271, а), удаленную от линзы на расстояние б/, большее, чем удвоенное фокусное, т. е. d > 2F. Будем передвигать экран до тех пор, пока не увидим на нем четкое изображение пламени свечи. Чем оно отличается от изображения, которое мы увидим в зеркале, поместив перед ним эту же свечу? Во-первых, оно уменьшенное, во-вторых, перевернутое. Ио самое главное, что это изображение, в отличие от мнимого изображения в зеркале, реально существует. На экране концентрируется энергия света. Чувствительный термометр, помещенный в изображение пламени свечи, покажет повышение температуры. Поэтому полученное в линзе изображение называют действительным, в отличие от мнимых изображений, наблюдаемых в плоском зеркале.

Подтвердим сказанное построением (рис. 271, б). Для получения изображения точки А достаточно использовать два луча, ход которых после преломления в линзе известен. Луч 1 идет параллельно главной оптической оси и после преломления в линзе проходит через главный фокус. Луч 2 идет через оптический центр и не меняет своего направления после прохождения сквозь линзу. Точка А’, являющаяся пересечением прошедших линзу лучей и 2′, есть действительное изображение точки А. Заметим, что через точку А пройдет и любой другой преломленный луч идущий от точки А, благодаря чему энергия, излученная точкой А пламени свечи, будет сконцентрирована в точке А’.

Продолжим опыт. Поставим свечу на расстоянии d = 2F. Перемещая экран, мы увидим на нем действительное, перевернутое изображение пламени свечи, но размер его будет равен размеру пламени самой свечи (рис. 272). Сделайте сами построение изображения для этого случая.

Передвигая свечу ближе к линзе (F < d < 2F) и удаляя экран, мы увидим на нем действительное, перевернутое, увеличенное изображение пламени свечи (построение сделайте сами).

Наконец поставим свечу на расстоянии d от линзы, меньше фокусного, т. е. d

А какие изображения предмета дает рассеивающая линза? Пусть параллельно главной оптической оси надает луч 1 (рис. 275). После линзы преломленный луч идет так, что только его продолжение проходит через фокус. Луч 2 не испытывает преломления. Видно, что лучи и 2′ не пересекаются. В точке А’ пересекаются их продолжения. Тогда изображение точки А, а значит, и всего предмета АВ — мнимое. Как все мнимые изображения, оно прямое, но уменьшенное. Даст ли рассеивающая линза действительное изображение, если менять положение предмета? Может ли оно быть увеличенным? Ответьте на эти вопросы сами, сделав соответствующие построения изображений предмета в тетради.

Главные выводы:

1. Собирающая линза дает как действительные, так и мнимые изображения, рассеивающая — только мнимые.
2. Все мнимые изображения — прямые, все действительные — перевернутые.
3. Для нахождения изображения точки наиболее целесообразно использовать луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, и луч, идущий через ее оптический центр.

Пример №3

С помощью стеклянной линзы на экране, удаленном от линзы на расстояние f = 36 см, получено увеличенное в 3 раза изображение предмета. Определите расстояние от предмета до линзы и оптическую силу линзы.

Дано:

Н = Зh

f = 36 см

d — ?

D — ?

Решение

Построим изображение предмета в линзе (рис. 276).

Поскольку изображение есть на экране, то оно действительное. Кроме того, оно увеличенное, значит, предмет находится между фокусом и двойным фокусом, а линза собирающая.

По условию размер предмета АВ в 3 раза меньше размера изображения А’В’. Из подобия треугольников АОВ и А’ОВ’ следует, что таким же будет и соотношение их сторон ВО и OB’, Значит, искомое расстояние d будет в 3 раза меньше заданного расстояния f. Это дает первый ответ:  Для ответа на второй вопрос используем подобие другой нары треугольников — CFO и A’FB’. И здесь подобные стороны треугольников различаются в 3 раза.
Так как одна из них — OF равна фокусному расстоянию F линзы, а другая — FB’ равна разности f — F, то их связь можно записать так: 3F = f — F, или 4F = f = 36 см. Вычислив значение фокусного расстояния найдем и искомое значение оптической силы D линзы:

Ответ:

Оптическая сила и фокусное расстояние линзы

Граница разделения двух, прозрачных для света, тел может быть искривленной. Если прозрачное тело ограничить искривленными поверхностями, получим линзу (нем. linse — «чечевица»).

Линза — это прозрачное тело, ограниченное двумя выпуклыми или вво-гнутыми прозрачными поверхностями, преломляющими лучи света.
Одна из поверхностей линз может быть плоской. Линзы изготавливают из какого-либо прозрачного для света вещества: стекла, кварца, разных пластмасс, каменной соли, но чаще всего — из специальных сортов стекла.

Наибольшее распространение получили линзы, ограниченные сферическими поверхностями. В зависимости от взаимного размещения сферических поверхностей, ограничивающих линзу, различают 6 типов линз: двояковыпуклая, плоско-выпуклая, вогнуто-выпуклая (рис. 165, а, б, в); двояковогнутая, плоско-вогнутая, выпукло-ввогнутая (рис. 165, г, д, е).

Любая линза имеет характерные точки и линии. Выясним, какие именно.

1.    Прямую, проходящую через центры сферических поверхностей, которые ограничивают линзу, называют ее главной оптической осью (рис. 166).

2.    Точку О, которая лежит на главной оптической оси в центре линзы, называют оптическим центром линзы (рис. 166).

Опыт 1. Направим на линзу пучок лучей, параллельных ее главной оптической оси. Проходя через линзу, световые лучи преломляются и пересекаются в одной точке, лежащей на главной оптической оси линзы (рис. 167).

Эту точку называют главным фокусом линзы F.

3.    Главный фокус линзы F — точка, в которой сходятся все, параллельные главной оптической оси, лучи после их преломления в линзе.

4.    Фокусное расстояние f — расстояние от оптического центра линзы О до главного фокуса F.

Каждая линза имеет два главных фокуса.

Любая тонкая линза характеризуется двумя основными параметрами -фокусным расстоянием и оптической силой. Оптическую силу линзы обозначают большой буквой D и определяют по формуле:

Единицей оптической силы является одна диоптрия (1 дптр), 1 дптр = .

Как видно из опыта, линза преобразует пучок параллельных лучей в сходящийся, то есть собирает его в одну точку. Такую линзу называют собирательной.

Собирательная линза — это линза, которая световые лучи, падающие на нее параллельно ее главной оптической оси, после преломления собирает на этой оси в одну точку.

Опыт 2. Возьмем линзу другого типа и направим на нее параллельный главной оптической оси пучок лучей света. Лучи, преломившись на границе воздух-стекло, выходят из линзы расходящимся пучком, или рассеиваются (рис. 168).

Такую линзу называют рассеивающей.

Рассеивающая линза — это линза, которая световые лучи, падающие на нее параллельно ее главной оптической оси, после преломления отклоняет от этой оси.

Если пучок лучей, выходящий из рассеивающей линзы, продолжить в противоположном направлении, то продолжения лучей пересекутся в точке F, которая лежит на оптической оси с той же стороны, с которой свет падает на линзу. Эту точку F называют мнимым главным фокусом рассеивающей линзы (рис. 169).

Опыт 3. Пропустим световые лучи только через оптические центры линз. В результате опыта убеждаемся (рис. 170), что световые лучи, проходящие через оптический центр линзы, не преломляются, то есть не изменяют своего направления.

С помощью линз можно не только собирать или рассеивать световые лучи, но и строить изображение предметов. Как раз благодаря этому свойству линзы широко используют в практических целях.

Каким же образом строятся изображения предметов с помощью линз?

Изображение предмета — это воссоздание вида, формы и цвета предмета световыми лучами, проходящими через оптическую систему линз, которые имеют одну общую оптическую ось.

Если изображение предмета образовано пересечением самих лучей, то его называют действительным, если их продолжением — мнимым.

Определить ход лучей, отраженных всеми точками поверхности тела, невозможно. Поэтому для построения изображения будем использовать такие лучи, ход которых известен:

• 1.    Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется (рис. 171, а).
• 2.    Луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходит через главный фокус линзы (рис. 171, б).
• 3.    Луч, проходящий через главный фокус линзы, после преломления в ней, проходит параллельно главной оптической оси (рис. 171, в).

Рассмотрим случаи, при которых получается то или другое изображение, и особенности этих изображений.

1.    Предмет АВ размещен между линзой и ее фокусом F.

Построим изображение точки А, использовав для этого упомянутые лучи. Луч АС (рис. 172), параллельный главной оси линзы, преломившись в линзе, пройдет через главный фокус, а луч АО не изменит своего направления. Как видно на рисунке, эти лучи расходятся. Чтобы построить изображение точки А, следует продолжить лучи в противоположном направлении до пересечения, это будет точка Это изображение точки есть мнимым. Такое же построение хода лучей можно выполнить для всех точек предмета, находящихся между точками А и В. Изображение этих промежуточных точек будут лежать между. Таким образом, — изображение предмета АВ.

Если предмет находится между линзой и ее фокусом, то получают увеличенное, прямое, мнимое его изображение, размещенное дальше от линзы, чем сам предмет.

Такое изображение получают, когда пользуются лупой — прибором для рассматривания мелких предметов (например, чтения мелкого текста).

2.    Предмет размещен в главном фокусе линзы F.

Для построения изображения предмета АВ снова воспользуемся лучами АС и АО (рис. 173). После прохождения лучей сквозь линзу мы увидим, что они параллельны между собой. Следовательно, изображение предмета АВ мы не получим.

Если в главном фокусе разместить источник света, то мы превратим пучок расходящихся лучей на пучок параллельных лучей, который хорошо освещает отдаленные предметы.

Если предмет размещен в главном фокусе линзы F, изображение предмета получить нельзя.

3.    Предмет размещен между главным фокусом линзы F и двойным фокусом линзы 2F.

Во время построения изображения (рис. 174) мы видим, что лучи АС и АО после прохождения линзы пересекаются в точке . В этой точке образуется действительное изображение точки А. Изображение предмета АВ также будет действительным.

Если предмет находится между фокусом F и двойным фокусом 2F линзы, то образуется увеличенное, перевернутое и действительное изображение предмета; оно размещено с противоположной относительно предмета стороны линзы на расстоянии, больше двойного фокусного расстояния.

Такое изображение используют в проекционном аппарате, киноаппарате. Чтобы изображение на экране было прямым, диапозитивы или киноленту устанавливают в аппарат в перевернутом виде.

4.    Предмет находится в двойном фокусе линзы. 2F.

В этом случае линза дает (рис. 175) перевернутое, действительное изображение предмета такого же размера, как и он сам. Это изображение размещено в ее двойном фокусе 2F с противоположной относительно предмета стороны линзы.

5.    Если предмет находится за двойным фокусом линзы 2F (рис. 176), линза дает уменьшенное, перевернутое и действительное изображение предмета, которое размещено между ее главным фокусом F и двойным фокусом 2F с противоположной относительно предмета стороны линзы.

Такое изображение используют в фотоаппарате.

Пример №4

Почему не рекомендуется поливать растения днем, когда они освещены солнечными лучами, особенно те, на листьях которых остаются капельки воды?

Ответ: потому что капельки играют роль линз, фокусирующих солнечные лучи, и растения получают ожоги.

Пример №5

На рисунке 177 показан ход лучей в линзах. Какие это линзы?

Ответ: (слева направо) источник света, собирательная линза, рассеивающая линза.

Простые оптические приборы

Знания законов отражения и преломления света в зеркалах и линзах дали возможность создать ряд оптических приборов, имеющих важное значение для современной науки и техники. Их используют специалисты разных отраслей. Это микроскоп биолога и фотоаппарат журналиста, кинокамера оператора и телескоп астронома, перископ подводника и т. п. Кроме того, оптическими приборами являются очки миллионов людей разного возраста и специальностей.

Самый простой оптический прибор — лупа.

Лупа (франц. loupe — «нарост») — оптический прибор, являющийся собирательной линзой, применяется для рассматривания мелких деталей, плохо заметных невооруженным глазом.

Общий вид луп разного вида представлен на рисунке 181, а.

Чтобы увидеть изображение предмета увеличенным, лупу следует разместить так, чтобы данный предмет был между лупой и ее фокусом (рис. 181, б).

Лучи, падающие на лупу от крайних точек предмета, преломляются в линзе и сходятся.

Каким же образом все это видит наш глаз?

Оказывается, наш глаз не замечает преломления лучей. Лучи, идущие от предмета сквозь линзу, воспринимаются глазом как прямолинейные. Нам кажется, что лучи, идущие от лупы к глазу, продолжаются после лупы, не преломляясь. Благодаря этому мы видим предмет увеличенным по сравнению с его действительными размерами.

Лупа дает увеличение в 10-40 раз.

Значительное увеличение изображения предметов можно получить с помощью двух линз, размещенных в металлической трубе на определенном расстоянии друг от друга. Такой прибор называют микроскопом.

Микроскоп (греч. mikro — «маленький», skopeo — «смотрю») — оптический прибор для рассматривания мелких предметов и их деталей (рис. 182, а).

Ход лучей в микроскопе показан на рисунке 182, б. Линзу, размещенную со стороны глаза, называют окуляром (лат. oculus — «глаз»), а линзу, размещенную со стороны данного предмета, называют объективом (лат. objectivus — «предметный»).

Первое увеличение изображения предмета дает объектив. Предмет в микроскопе размещается немного дальше от фокуса обьектива. В результате этого выходит увеличенное и перевернутое изображение предмета.

Это изображение увеличивается еще раз линзой-окуляром: оно будто служит для окуляра предметом. Окуляр, подобно лупе, размещают на расстоянии (меньше фокусного) от промежуточного изображения. В итоге мы получаем новое, более увеличенное изображение.

Если, например, объектив микроскопа дает изображение предмета, увеличенное в 20 раз, а окуляр увеличивает это изображение в 15 раз, то общее увеличение, которое дает микроскоп, будет уже 20*15 = 300 раз.

Современные электронные микроскопы дают увеличение в десятки тысяч раз. Например, так выглядят под микроскопом бактерии, увеличенные в 25 000 раз (рис. 183).

Посмотрите еще раз на схему микроскопа (рис. 182, б). Объектив микроскопа — линза — имеет меньшее фокусное расстояние, чем окуляр этого прибора. А что будет, если мы возьмем объектив, который имеет большее фокусное расстояние, чем окуляр?

В этом случае мы получим новый прибор, который называют телескопом, или рефрактором (лат. refringo — «преломляю»). Такой телескоп создал еще в 1611 г. немецкий астроном Иоганн Кеплер. А вообще первый телескоп на основе зрительной трубы построил в 1609 г. Галилео Галилей.

Телескоп (греч. tele — «далеко», skopeo — «смотреть») — оптический прибор для астрономических исследований космических объектов (рис. 184).

Прохождение в телескопе лучей от небесного тела показано на рисунке 185.

Как следует из рисунка, изображение небесного тела в телескопе мы видим под большим углом зрения, в отличие от невооруженного глаза. Окуляр телескопа, как и окуляр микроскопа, действует как обычная лупа.

Следует отметить, что, рассматривая с помощью телескопа отдаленные предметы на Земле, мы видим их перевернутыми. Однако для наблюдения за небесными телами это обстоятельство не столь важно.

Самый большой телескоп-рефрактор установлен в Йеркской обсерватории университета в Чикаго (США). Его объектив в диаметре достигает 102 см.

Другой тип — это телескопы-рефлекторы (лат. reflecto — «отображаю»). В таких телескопах, кроме преломления лучей света, используют другое их свойство — способность отражаться от зеркальных поверхностей.

Изображение небесного тела отражается с помощью маленького плоского зеркальца и рассматривается с помощью окуляра (рис. 186), который увеличивает отраженное изображение.

Первый рефлектор с диаметром зеркала 2,5 см и фокусным расстоянием 16,5 см построил в 1668 г. Исаак Ньютон. Сегодня самым большим в мире является зеркальный телескоп HESS II, установленный в Намибии, его площадь достигает 600 . Устройство предназначено для изучения происхождения космических лучей.

Фотоаппарат — это оптический прибор, с помощью которого на цифровом устройстве (англ, digital device — «техническое устройство или приспособление, предназначенное для получения и обработки информации в цифровой форме, используя цифровые технологии»), фотопленке, фотопластинке, фотобумаге получают изображение предмета.

Сегодня существует много различных типов фотоаппаратов (рис. 187, а). Они отличаются формой и размерами, но их строение и основные части одинаковы. Ход лучей в фотоаппарате изображен на рисунке 187, б.

• Заказать решение задач по физике

Подробное объяснение формулы тонкой линзы

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллельный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей (рис. 58).

Основные типы линз и лучи, используемые для построения изображений в них, даны на рисунках 59, 60.

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, выраженному в метрах, называется ее оптической силой:

Единица оптической силы — диоптрия (1 дптр).

1 дптр соответствует оптической силе линзы с фокусным расстоянием I м: 1 дптр= 1 .

Между фокусным расстоянием F тонкой линзы, расстоянием от предмета до линзы d и расстоянием от линзы до изображения f существует определенная количественная зависимость, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы, рассматривая ход характерных лучей (рис. 61).

Пусть расстояние от предмета до линзы d, расстояние от линзы до изображения f, фокусное расстояние линзы F, расстояние от предмета до переднего главного фокуса а, расстояние от заднего главного фокуса до изображения а’.

Из рисунка 61 видно, что следовательно

Из формул (1) и (2) следует формула Ньютона:

С учетом того, что d = а + F, f = а’ + F, получаем формулу тонкой линзы:

Поперечным увеличением Г называется отношение линейного размера изображения h’ к линейному размеру предмета h. Из выражения (3) находим

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» Кеплер изучал преломление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы тонкой линзы следует запомнить правило знаков:

• для собирающей линзы, действительных источника и изображения величины F, d, f считают положительными;
• для рассеивающей линзы, мнимых источника и изображения величины F, d,f считают отрицательными.

Заметим, что предмет или источник является мнимым только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с F>0 является собирающей (положительной), а с F< 0 — рассеивающей (отрицательной).

Оптическая сила линзы зависит от свойств окружающей среды.

В современных оптических приборах используются системы линз для улучшения качества изображений. Оптическая сила D системы тонких линз, сложенных вместе, равна сумме их оптических сил :

Пример №6

Предмет расположен на расстоянии d = 0,15 м от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F=-0,30 м. На каком расстоянии f от линзы получается изображение данного предмета?

Решение

Из формулы тонкой линзы

находим

Отрицательное значение f соответствует мнимому изображению предмета.

Ответ: f =-0,10 м, изображение мнимое.

Пример №7

На каком расстоянии d от рассеивающей линзы с оптической силой D = -4 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в k = b раз меньше (Г = ) самого предмета?

Решение

Из формулы для увеличения

находим

Из формулы линзы

с учетом выражения для f получаем

Ответ: d= 1 м.

Пример №8

Определите фокусное расстояние F собирающей линзы, дающей мнимое изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии d- 0,4 м, если расстояние от линзы до изображения f =-1,2 м. 

Решение

Из формулы тонкой линзы

находим

Ответ: F= 0,6 м.

Разбираем формулу тонкой линзы

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллельный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей (рис. 80).

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, выраженному в метрах, называется ее оптической силой:

Единица оптической силы — 1 диоптрия (1 дптр).

1 дптр соответствует оптической силе линзы с фокусным расстоянием

Линзы можно представить в виде совокупности частей трехгранных призм. На рисунке 81, а изображена модель двояковыпуклой линзы, собранной из частей призм, повернутых основаниями к центру линзы. Соответственно, модель двояковогнутой линзы будет представлена частями призм, повернутых основаниями от центра линзы (рис. 81, б).

Преломляющие углы этих призм можно подобрать таким образом, чтобы падающие на нее параллельные лучи после преломления в призмах собрались в одной точке 

Линза считается тонкой, если ее толщина в центре намного меньше радиусов ограничивающих ее поверхностей. Тонкая линза дает неискаженное изображение только в том случае, если свет монохроматический и предмет достаточно мал, следовательно, лучи распространяются вблизи главной оптической оси. Такие лучи получили название параксиальных.

Отметим условия, при одновременном выполнении которых линза является собирающей:

• толщина в центре больше толщины у краев,
• ее показатель преломления больше показателя преломления окружающей среды.

При невыполнении (или выполнении) только одного из этих условий линза является рассеивающей.

Между фокусным расстоянием тонкой линзы, расстоянием от предмета до линзы и от линзы до изображения существует определенная количественная зависимость, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы из геометрических соображений, рассматривая ход характерных лучей. Обратим внимание на луч, идущий через оптический центр  линзы, луч, параллельный главной оптической оси линзы, и луч, проходящий через главный фокус линзы.

Построим изображение предмета  в тонкой собирающей линзе (рис. 82). Пусть расстояние от предмета до линзы  расстояние от линзы до изображения  фокусное расстояние линзы  расстояние от предмета до переднего главного фокуса  расстояние от заднего главного фокуса до изображения  высота предмета  высота его изображения 

Из рисунка 82 видно, что  Из подобия треугольников следует:

Используя соотношения (1) и (2), получим:

Соотношение  называется формулой Ньютона.

С учетом того, что  (см. рис. 82), находим:  и подставляем в формулу (4):

Разделив обе части последнего выражения на  получаем формулу тонкой линзы:

Линейным (поперечным) увеличением Г называется отношение линейного размера изображения  к линейному размеру предмета  Из соотношения (3) находим линейное увеличение тонкой линзы:

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» И. Кеплер изучал преломление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы линзы следует твердо запомнить правило знаков:

Заметим, что предмет или источник является мнимым, только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с  является собирающей (положительной), а с  — рассеивающей (отрицательной).

Оптическая сила линзы зависит от свойств окружающей среды (вспомните, как плохо мы видим под водой без плавательных очков).

В современных оптических приборах для улучшения качества изображений используются системы линз. Оптическая сила  системы тонких линз, сложенных вместе, равна сумме их оптических сил 

Пример №9

На каком расстоянии  от рассеивающей линзы с оптической силой  дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в  раз меньше  самого предмета? Постройте изображение предмета.

Дано:

Решение

Из формулы для линейного увеличения

находим:

и с учетом выражения для  получаем:

Ответ: 

Изучаем линзы

Скорее всего, вы пользовались фотоаппаратом, знакомы с биноклем, подзорной трубой, телескопом, на уроках биологии работали с микроскопом. Некоторые из вас носят очки. Все эти устройства имеют общее — их основной частью является линза. О том, какое значение имеют данные устройства в жизни человека, вы можете рассказать и сами, а вот о том, что такое линза, какие существуют виды линз и каковы их свойства, вы узнаете из этого параграфа.

Линза — прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями*.

Одна из поверхностей линзы может быть плоскостью, поскольку плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса. Линзы также бывают цилиндрическими, но встречаются такие линзы редко.

По форме линзы делят на выпуклые (рис. 14.1) и вогнутые (рис. 14.2).

Рис. 14.1. Толщина выпуклой линзы посредине больше, чем у краев: а — вид; б — разные выпуклые линзы в разрезе

Рис. 14.2. Толщина вогнутой линзы посредине меньше, чем у краев: а — вид; б — разные вогнутые линзы в разрезе

Если толщина линзы во много раз меньше радиусов сферических поверхностей, ограничивающих линзу, такую линзу называют тонкой. Далее мы будем рассматривать только тонкие линзы. Прямую, которая проходит через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу, называют главной оптической осью линзы (рис. 14.3).

Рис. 14.3. Тонкая сферическая линза: — главная оптическая ось линзы; — толщина линзы; — радиусы сферических поверхностей, ограничивающих линзу; — оптический центр линзы

Если на линзу направить пучок световых лучей, они преломятся на ее поверхностях и изменят свое направление. В то же время на главной оптической оси линзы есть точка, которую луч света проходит практически не изменяя своего направления. Эту точку называют оптическим центром линзы (см. рис. 14.3).

Направим на линзу пучок лучей, параллельных ее главной оптической оси. Если лучи, пройдя сквозь линзу, идут сходящимся пучком, такая линза — собирающая. Точка F, в которой пересекаются преломленные лучи, — действительный главный фокус линзы (рис. 14.4).

Рис. 14.4. Ход лучей после преломления в собирающей линзе. Точка F — действительный главный фокус линзы

Линза является рассеивающей, если лучи, параллельные ее главной оптической оси, пройдя сквозь линзу, идут расходящимся пучком. Точку F, в которой пересекаются продолжения преломленных лучей, называют мнимым главным фокусом линзы (рис. 14.5).

Рис. 14.5. Ход лучей после преломления в рассеивающей линзе. Точка F — мнимый главный фокус линзы

Обратите внимание: любой пучок параллельных лучей, даже если эти лучи не параллельны главной оптической оси, после преломления в собирающей линзе всегда пересекаются в одной точке (рис. 14.6) (если линза рассеивающая, в одной точке пересекаются продолжения преломленных лучей).

Рис. 14.6. Ход параллельных лучей после преломления в собирающей линзе

Если оптическая плотность материала, из которого изготовлена линза, больше оптической плотности среды то выпуклая линза будет собирать лучи (будет собирающей), а вогнутая линза будет рассеивать лучи (будет рассеивающей) (см. рис. 14.4, 14.5).

Если оптическая плотность материала, из которого изготовлена линза, меньше оптической плотности среды то выпуклая линза будет рассеивающей (рис. 14.7, а), а вогнутая линза — собирающей (рис. 14.7, б).

Рис. 14.7. Выпуклая (а) и вогнутая (б) воздушные линзы в воде

Определение оптической силы линзы

Любая линза имеет два главных фокуса*, расположенных на одинаковом расстоянии от оптического центра линзы (см. рис. 14.8).

Далее главный фокус линзы, как правило, будем называть фокусом линзы.

Рис. 14.8. Чем меньше радиусы R сферических поверхностей, ограничивающих линзу, тем сильнее эта линза преломляет свет, а значит, тем меньше ее фокусное расстояние F

Расстояние от оптического центра линзы до главного фокуса называют фокусным расстоянием линзы.

Фокусное расстояние, как и фокус, обозначают символом F. Единица фокусного расстояния в СИ — метр:

Фокусное расстояние собирающей линзы договорились считать положительным, а рассеивающей — отрицательным. Очевидно, что чем сильнее преломляющие свойства линзы, тем меньше по модулю ее фокусное расстояние (рис. 14.8).

Физическую величину, которая характеризует линзу и является обратной фокусному расстоянию линзы, называют оптической силой линзы.

Оптическую силу линзы обозначают символом D и вычисляют по формуле:

Единица оптической силы — диоптрия:

1 диоптрия — это оптическая сила линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м. Оптическая сила собирающей линзы положительна, а рассеивающей линзы — отрицательна.

Подводим итоги:

Прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями, называют линзой. Линза является собирающей, если пучок параллельных лучей, падающий на нее, после преломления в линзе пересекается в одной точке (эта точка — действительный фокус линзы). Линза является рассеивающей, если параллельные лучи, падающие на нее, после преломления идут расходящимся пучком, а продолжения преломленных лучей пересекаются в одной точке (эта точка — мнимый фокус линзы).

Физическую величину, которая характеризует преломляющие свойства линзы и обратна ее фокусному расстоянию, называют оптической силой линзы: Единица оптической силы линзы — диоптрия

Построение изображений в линзах

Основное свойство линз заключается в том, что линзы дают изображение точки, а соответственно, и предмета (как совокупности точек) (рис. 15.1). В зависимости от расстояния между предметом и линзой изображение предмета может быть больше или меньше, чем сам предмет, мнимым или действительным. Выясним, при каких условиях с помощью линзы образуются те или иные изображения, и рассмотрим приемы их построения.

Рис. 15.1. Получение изображения пламени свечи с помощью собирающей линзы

Любой предмет можно представить как совокупность точек. Каждая точка предмета излучает (или отражает) свет во всех направлениях. В создании изображения участвует множество лучей, однако для построения изображения некоторой точки S достаточно найти точку пересечения любых двух лучей, выходящих из точки S и проходящих через линзу. Обычно для этого выбирают два из трех «удобных лучей» (рис. 15.2).

Точка S₁ будет действительным изображением точки S, если в точке пересекаются сами преломленные лучи (рис. 15.2, а). Точка будет мнимым изображением точки S, если в точке пересекаются продолжения преломленных лучей (рис. 15.2, б).

Рис. 15.2. Три самых простых в построении луча («удобные лучи»):

1. луч, проходящий через оптический центр О линзы, не преломляется и не изменяет своего направления;
2. луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления в линзе идет через фокус или через фокус идет его продолжение (б);
3. луч, проходящий через фокус после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси линзы (а, б)

Рис. 15.3. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен за двойным фокусом линзы; б — ход лучей в фотоаппарате

Строим изображение предмета, которое даёт линза:

Рассмотрим все возможные случаи расположения предмета АВ относительно собирающей линзы и докажем, что размеры и вид изображения зависят от расстояния между предметом и линзой.

1. Предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы (рис. 15.3, а). Сначала построим изображение точки Для этого воспользуемся двумя лучами — 1 и 2. После преломления в линзе они пересекутся в точке Значит, точка является действительным изображением точки Для построения изображения точки опустим из точки перпендикуляр на главную оптическую ось Точка пересечения перпендикуляра и оси I является изображением точки

Итак, — изображение предмета Это изображение действительное, уменьшенное, перевернутое. Такое изображение получается, например, на сетчатке глаза или пленке фотоаппарата (рис. 15.3, б).

2. Предмет расположен между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы (рис. 15.4, а). Изображение предмета действительное, увеличенное, перевернутое. Такое изображение позволяет получить на экране проекционная аппаратура (рис. 15.4, б).

Рис. 15.4. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен между фокусом и двойным фокусом линзы; б — ход лучей в проекционном аппарате

3. Предмет расположен между фокусом и собирающей линзой (рис. 15.5, а). Лучи, вышедшие из точки после преломления в линзе идут расходящимся пучком. Однако их продолжения пересекаются в точке

В данном случае изображение предмета является мнимым, увеличенным, прямым. Изображение расположено по ту же сторону от линзы, что и предмет, поэтому мы не можем увидеть изображение предмета на экране, но видим его, когда смотрим на предмет через линзу. Именно такое изображение дает короткофокусная собирающая линза — лупа (рис. 15.5, б).

Рис. 15.5. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен между линзой и ее фокусом; б — с помощью

4. Предмет расположен на фокусном расстоянии от собирающей линзы. После преломления все лучи идут параллельным пучком (рис. 15.6), следовательно, в данном случае ни действительного, ни мнимого изображения мы не получим.

Рис. 15.6. Если предмет расположен в фокусе собирающей линзы, мы не получим его изображения

Внимательно рассмотрите рис. 15.7, на котором показано построение изображений предмета, полученных с помощью рассеивающей линзы. Видим, что рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение, расположенное по ту же сторону от линзы, что и сам предмет.

Рис. 15.7. Рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение

Чаще всего предмет больше, чем линза, или часть линзы закрыта непрозрачным экраном (как, например, линза в объективе фотоаппарата). Изменяется ли при этом внешний вид изображения? Конечно же нет. Ведь от каждой точки предмета на линзу падает множество лучей, и все они собираются в соответствующей точке изображения. Если закрыть часть линзы, это приведет лишь к тому, что энергия, попадающая в каждую точку изображения, уменьшится. Изображение будет менее ярким, однако ни его вид, ни месторасположение не изменятся. Именно поэтому, строя изображение, мы можем использовать все «удобные лучи», даже те, которые не проходят через линзу (рис. 15.8).

Формула тонкой линзы:

Построим изображение предмета в собирающей линзе (рис. 15.9).

Рассмотрим прямоугольные треугольники и Эти треугольники подобны поэтому или

поэтому или

Приравняв правые части равенств (1) и (2), имеем то есть или Разделив обе части последнего равенства на получим формулу тонкой линзы:

или

где — оптическая сила линзы.

При решении задач следует иметь в виду:

Рис. 15.8. Построение изображения предмета в случае, когда предмет значительно больше линзы

Рис. 15.9. К выведению формулы тонкой линзы: h — высота предмета; Н — высота изображения; d — расстояние от предмета до линзы; f — расстояние от линзы до изображения; F — фокусное расстояние

Пример №10

Рассматривая монету с помощью лупы, оптическая сила которой +10 дптр, мальчик расположил монету на расстоянии 6 см от лупы. Определите: 1) фокусное расстояние линзы; 2) на каком расстоянии от лупы находится изображение монеты; 3) какое изображение дает лупа — действительное или мнимое; 4) какое увеличение дает лупа.

Анализ физической проблемы. Лупу можно считать тонкой линзой, поэтому воспользуемся формулой тонкой линзы. Фокусное расстояние найдем, воспользовавшись определением оптической силы линзы.

Дано:

Найти:

Поиск математической модели, решение

По определению

По формуле тонкой линзы: или Следовательно,

Зная расстояние определим увеличение

Найдем значения искомых величин:

Знак «-» перед значением говорит о том, что изображение мнимое.

Ответ: изображение мнимое;

Подводим итоги:

В зависимости от типа линзы (собирающая или рассеивающая) и месторасположения предмета относительно данной линзы получают разные изображения предмета:

Расположение предмета	Характеристика изображения в линзе
собирающей	рассеивающей
За двойным фокусом линзы	действительное, уменьшенное, перевернутое	мнимое, уменьшенное, прямое
В двойном фокусе линзы	действительное, равное, перевернутое
Между фокусом и двойным фокусом линзы	действительное, увеличенное, перевернутое
В фокусе линзы	изображения нет
Между линзой и фокусом	мнимое, увеличенное, прямое

Расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения и фокусное расстояние связаны формулой тонкой линзы:

Этим сегодня и займемся:

• узнаем, что такое линза в физике и какие бывают линзы;

• поговорим о том, что такое оптическая сила линзы, на что она влияет и в каких единицах ее измеряют;

• свяжем физику с математикой и посмотрим, как с помощью формул можно рассчитать оптическую силу.

А еще мы немного порисуем: даже самые серьезные физики любят иллюстрировать свои объяснения забавными рисунками.

Что такое линзы

Вспомните, в каких ситуациях вы сталкивались со словом «линза». Верно, есть линзы для зрения, линзы в объективе фотоаппарата. Теперь пришло время разобраться, что такое линза в мире физики.

Действие линз основано на законах преломления света. Параллельные пучки световых лучей, проходя через линзу, преломляются и меняют свое направление: они могут сходиться в одной точке или же рассеиваться в разные стороны.

Виды линз

Линзы делятся на две группы: рассеивающие и собирающие, чье назначение понятно из названия. В свою очередь, и рассеивающие, и собирающие линзы бывают различных видов по своему строению. Давайте внимательно рассмотрим рисунок.

Запомните и еще одно отличие: в собирающих линзах середина толще краев, а в рассеивающих — края толще середины.

Хорошая новость: при решении физических задач мы не будем прописывать строение линзы или определять: это вогнуто-выпуклая или выпукло-вогнутая. Мы будем использовать схематичное изображение для собирающей и рассеивающей линзы, где сразу будет понятно, с чем мы имеем дело.

Что такое оптическая сила линзы

Тема нашей статьи — «Оптическая сила линзы», но чтобы детально разобраться в этом понятии, нам необходимо вспомнить еще несколько моментов, связанных с основными точками и линиями линзы для построения хода лучей. Эти точки будут одинаковыми и для собирающей, и для рассеивающей линз.

Главная оптическая ось (далее — ГОО) — воображаемая линия, которая проходит через центр линзы и перпендикулярна плоскости линзы. Точка О — оптический центр линзы. Лучи света, которые проходят через эту точку, не будут преломляться.

Обратите внимание, что точка фокуса есть и справа, и слева от линзы. Фокус, который располагается левее линзы, называют мнимым фокусом — в нем при определенных условиях могут пересечься не сами лучи, а только их продолжения, и в этой плоскости мы получим только мнимое изображение.

На главной оптической оси располагают и точку 2F, но тут все просто — мы ставим ее на двойном фокусном расстоянии. Расстояние от объекта до линзы обозначают буквой d, а от линзы до изображения — буквой f.

В зависимости от того, как близко стоит объект перед линзой, мы будем получать разные по размеру действительные и мнимые изображения объекта. Чтобы характеризовать увеличивающую способность линзы, ввели понятие «оптическая сила».

Эта физическая величина обозначается латинской буквой D и измеряется в диоптриях. Сокращенное обозначение — дптр.

Как найти оптическую силу линзы с помощью формулы

Оптическая сила — это величина, обратно пропорциональная фокусному расстоянию, следовательно ее можно рассчитать в диоптриях по формуле:

D = 1/F.

Так как фокусное расстояние измеряется в метрах, можно сделать логичное заключение:

[дптр] = [1/м] = [м_–1].

Разберем еще 3 формулы, которые помогут вам решать задачи по этой теме.

1. Если необходимо рассчитать оптическую силу системы двух линз, воспользуйтесь формулой:

   D = D1 + D2 – dD1D2, где:
   D — конечная оптическая сила,
   D1 — оптическая сила первой линзы,
   D2 — оптическая сила второй линзы,
   d — расстояние между линзами.

2. Для системы тонких линз оптическая сила рассчитывается как алгебраическая сумма оптических сил каждой линзы:

   D = D1 + D2 + D3 + … + Dn.

3. Оптическую силу линзы также можно рассчитать через формулу тонкой линзы:

   1/F = 1/f + 1/d или D = 1/f + 1/d, так как D = 1/F, где:
   F — фокусное расстояние,
   D — оптическая сила линзы,
   f — расстояние от линзы до изображения,
   d — расстояние от объекта до линзы.

Проверьте себя

Чтобы закрепить пройденный материал, давайте подведем промежуточные итоги в виде обсуждения в стиле «вопрос-ответ». С помощью этой таблицы вы можете подготовиться к контрольной работе по теме: закройте правую часть рукой и ответьте на вопросы.

Геометрическая оптика и оптика в целом — очень интересные разделы физики. Они не просто рассказывают, как ведут себя световые лучи, но и помогают построить невероятные приборы на основе их поведения. Например, телескопы, микроскопы, фотоаппараты. Даже в организме человека есть оптический прибор — глаз, с помощью которого мы можем наблюдать всю красоту этого мира.

Интересно, как именно он устроен? Присоединяйтесь к онлайн-курсам физики в школе Skysmart, чтобы узнать больше. На занятиях мы рассказываем, как человек с особенностями зрения подбирает для себя очки, можно ли с помощью физики объяснить причину астигматизма, близорукости и дальнозоркости и многое другое. Ждем вас на уроках — впереди еще много интересного!

В зависимости от формы различают два типа линз:

1. собирающие — линзы, у которых середина толще их краёв;
2. рассеивающие — линзы, края которых толще середины.

Собирающие: (1) — двояковыпуклая; (2) — плоско-выпуклая; (3) — вогнуто-выпуклая. 

Рассеивающие: (4) — двояковогнутая; (5) — плоско-вогнутая; (6) — выпукло-вогнутая.

Если через центры кривизны поверхностей линзы провести прямую (AB), то эта прямая будет называться главной оптической осью линзы. 

Если на собирающую линзу пустить пучок света параллельно главной оптической оси, то после прохождения лучей через линзу они пересекутся в одной точке (F), которая называется фокусом линзы.

Если пустить пучок света параллельно главной оптической оси на рассеивающую линзу, то после прохождения через линзу получится расходящийся пучок, как бы выходящий из фокуса линзы. Это мнимый фокус (лучи не проходят через него в действительности, нам это только кажется).