A Rectangular Parallelepiped is a polyhedron with six faces. Here each face is a rectangle. It can also be called a cuboid. It is a three dimensional (3D) figure. For any two dimensional or three-dimensional figures, the concept of mensuration is applied. Mensuration is the branch of geometry that deals with measurements like length, height, area, volume in 2D/3D figures. It includes the computation of mathematical formulas and algebraic expressions.
Surface Area of a Rectangular Parallelepiped figure
In the Rectangular Parallelepiped figure, there are six rectangles. To determine the surface area of it we need to find the area of six rectangles (faces). The formula for the surface area is given by
Surface Area = 2(l×h) + 2(l×w) + 2(h×w)
S = 2[(l×h) + (l×w) + (h×w)]
where
l, w, h are length, width, height respectively.
Lateral Surface Area of Rectangular Parallelepiped figure
Lateral Surface Area can be defined as the product of perimeter of base and height. In a rectangular parallelepiped figure, each face is a rectangle so the perimeter of the base is equal to the perimeter of rectangle. The formula for LSA (Lateral surface area) is given by
LSA = Perimeter of base × Height
As perimeter of base is equal to 2(length+width)
= 2(length + width) × Height
LSA = 2lh + 2wh
where
l, w, h are length, width and height respectively.
From the above formula, It can also be said that
Surface Area (Total) = Lateral surface area + 2lw
Volume of Rectangular Parallelepiped figure
The volume of rectangular parallelepiped can be defined as the product of the area of the base and height. As each face in a rectangular parallelepiped is rectangle, the base is also a rectangle and the area of base is the product of length and width. The formula for volume is given by-
Volume = area of base × height
V = l × w × h
Diagonal length of Rectangular Parallelepiped figure
The length of diagonal of rectangular parallelepiped figure with length l, width w and height h can be calculated by the below formula-
Let’s look into couple of questions based on Rectangular Parallelepiped Figure:
Sample Questions
Question 1: What is the surface area of Rectangular Parallelepiped with length 6cm, width 3cm and height 2cm.
Solution:
Given
length(l) = 6cm
width(w) = 3cm
height(h) = 2cm
Surface Area = 2[(l×h)+(l×w)+(h×w)]
= 2[(6×2)+(6×3)+(2×3)]
= 2[12+18+6]
= 2×36
= 72 sq.cm
So, Surface area for the given figure is 72 sq.cm
Question 2: Find the surface area of the Rectangular Parallelepiped figure with length, width and height is 7cm, 5cm, 3cm respectively.
Solution:
Given
length(l) = 7cm
width(w) = 5cm
height(h) = 3cm
Surface Area = 2[(l×h)+(l×w)+(h×w)]
= 2[(7×3)+(7×5)+(3×5)]
= 2[21+35+15]
= 2×71
= 142 sq.cm
So, Surface area for the given figure is 142 sq.cm
Question 3: What is the lateral surface area of Rectangular Parallelepiped with length 6cm, width 3cm and height 2cm.
Solution:
Given
length(l) = 6cm
width(w) = 3cm
height(h) = 2cm
Lateral Surface Area = 2(l+w)×h
= 2(6+3)×3
= 2(9)×3
= 18×3
= 54 sq.cm
So, Lateral Surface area for the given figure is 54 sq.cm
Question 4: What is the volume of rectangular parallelepiped figures if the measurements such as length, width and height are 4cm, 3cm, 2cm respectively.
Solution:
Given,
length(l) = 4cm
width(w) = 3cm
height(h) = 2cm
volume = l × w × h
= 4 × 3 × 2
= 24cm3
Volume of given rectangular parallelepiped figure is 24cm3.
Question 5: Find the volume of rectangular parallelepiped figure if the length is 5cm, width is 4cm and height is 4cm.
Solution:
Given,
length(l) = 5cm
width(w) = 4cm
height(h) = 4cm
volume = l × w × h
= 5 × 4 × 4
= 80cm3
Volume of given rectangular parallelepiped figure is 80cm3.
Question 6: Find the volume of rectangular parallelepiped figure if the length is 5cm, width is 4cm and height is 2cm.
Solution:
Given,
length(l) = 5cm
width(w) = 4cm
height(h) = 2cm
Diagonal length =
=
=
=
= 6.7 cm
Diagonal length of given rectangular parallelepiped figure is 6.7cm.
Question 7: Find the volume of rectangular parallelepiped figures if the length, width and height are 4cm, 2cm and 0.5cm respectively.
Solution:
Given,
length(l) = 4cm
width(w) = 2cm
height(h) = 0.5cm
Diagonal length =
=
=
=
= 4.5 cm
Diagonal length of given rectangular parallelepiped figure is 4.5cm.
Last Updated :
03 Mar, 2022
Like Article
Save Article
{V= a cdot b cdot c}
Найти объем параллелепипеда довольно просто. Для этого необходимо знать длины трех его сторон или же две стороны (площадь основания) и высоту. Чтобы облегчить расчет объема параллелепипеда мы создали калькулятор для разных исходных данных. Просто введите известные значения и в режиме онлайн получите результат.
Параллелепипед — многогранник, состоящий из шести граней, причем все они являются параллелограммами.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.
Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Содержание:
- калькулятор объема параллелепипеда
- формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны
- формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту
- формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту
- формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту
- примеры задач
Формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны
{V= a cdot b cdot c}
a — длина параллелепипеда
b — ширина параллелепипеда
c — высота параллелепипеда
Так как в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, то в данной формуле ab — это площадь прямоугольника, который лежит в основании параллелепипеда. И тогда формулу можно сократить до {V= S h}
Формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту
{V= S_{осн} cdot h}
Sосн — площадь основания параллелепипеда
h — высота параллелепипеда
Формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту
{V= a cdot b cdot h}
a — длина основания параллелепипеда
b — ширина основания параллелепипеда
h — высота параллелепипеда
Формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту
{V= S_{осн} cdot h}
Sосн — площадь основания параллелепипеда
h — высота параллелепипеда
Примеры задач на нахождение объема параллелепипеда
Задача 1
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3см, 4см и 5см.
Решение
Для решения данной задачи нам подходит формула один. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты прямоугольного параллелепипеда, произведем расчет и получим ответ.
V= a cdot b cdot c = 3 cdot 4 cdot 5 = 60 : см^3
Ответ: 60 см³
Проверим правильность ответа с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите объём наклонного параллелепипеда с площадью основания 12м² и высотой 3м.
Решение
Используем для решения четвертую формулу. Подставим в нее площадь основания и высоту.
V= S_{осн} cdot h = 12 cdot 3 = 36 : м^3
Ответ: 36 м³
Полученный ответ поможет проверить калькулятор .
Представление о том, что такое прямоугольный параллелепипед, все имеют еще с детства, когда играли в кубики, держали в руках такие предметы, как коробка из-под сока или из- под конфет, видели аквариум такой формы. В жизни мы постоянно сталкиваемся с предметами, которые представляют собой прямоугольный параллелепипед (рисунок 1).
Рисунок 1
Определение
Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью. Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.
Так, на рисунке 2 показан прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH. Он имеет 6 граней, основаниями являются грани ABCD и EFGH.
У параллелепипеда есть вершины, их 8. Они обозначены заглавными латинскими буквами. Также у прямоугольного параллелепипеда есть 12 ребер – это стороны граней: AB, BC, CD, AD, EF, FG, HG, EH, AE, BF, CG, HD.
Рисунок 2
Противоположные (не имеющие общих вершин) грани прямоугольного параллелепипеда равны.
Длина, ширина, высота
Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину (а), ширину (b) и высоту (c) – рисунок 3. Зная эти измерения, можно найти не только площадь каждой грани, но и площадь всей поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Рисунок 3
Так как каждая грань параллелепипеда – это прямоугольник, то для нахождения площади любой грани надо умножить длину и ширину этих граней, т.е S=ab, S=bc, S=ac.
Для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда надо сложить площади всех граней, то есть S поверхности = ab+bc+ac+ab+bc+ac. Так как противоположные грани равны, то их площади тоже равны, значит S поверхности = 2ab+2bc+2ac. Это действие можно записать короче, вынося 2 за скобки, как общий множитель, то есть S поверхности = 2(ab+bc+ac). Таким образом, нахождение площади поверхности становится более быстрым.
Куб
Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называется кубом. Поверхность куба состоит из шести равных квадратов (рисунок 4).
Рисунок 4
Для нахождения площади одной грани достаточно найти площадь квадрата по формуле S=a2. Тогда для нахождения площади поверхности куба надо эту площадь умножить на 6, так как шесть равных граней у куба: S=6a2
Объем прямоугольного параллелепипеда
Рисунок 5
С понятием объема люди встречаются в повседневной жизни ежедневно. Мы наливаем воду в чайник, в ванну, другие жидкости в разные ёмкости – это всё измеряется в определенных единицах и является объемом. Наши шкафы, холодильники и другие подобные предметы – имеют объемы, так как мы их заполняем определенными вещами. На рисунке 5 показаны предметы, которые мы используем и которые имеют определенный объем.
Рассмотрим объемные геометрические фигуры. Так, например, прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим рисунок 6, где показано, что параллелепипед состоит из нескольких одинаковых кубиков. Значит, объем данного параллелепипеда равен сумме объемов его кубиков.
Рисунок 6
За единицу измерения объема выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.
Объем куба с ребром 1 мм называют кубическим миллиметром и записывают 1 мм3; с ребром 1 см – кубическим сантиметром (см3) и так далее. Измерить объем фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается. Если объем маленького кубика на рисунке 3 принять за единицу, то объем нашего прямоугольного параллелепипеда будет равен 15 кубическим единицам.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения – длину, ширину и высоту. То есть V=abc (рисунок 4). Зная, что произведение длины и ширины – это есть площадь основания, получим, что V=(ab)h=Sh, где h – высота прямоугольного параллелепипеда. Таким образом, мы получили еще одну формулу для нахождения объема параллелепипеда.
Рисунок 7
Объем куба
Поскольку у куба все ребра равны (рисунок 7), то его объем вычисляется по формуле:
V=a3
Рисунок 8
Пирамида
Рисунок 9
Прямоугольный параллелепипед является одним из видов многогранников. Также одним из видов многогранника является пирамида, образ которой также известен нам из жизни – из истории и других источников (рисунок 9).
Поверхность пирамиды состоит из боковых граней – треугольников, которые имеют общую вершину, а в её основании могут быть различные многоугольники – треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. (рисунок 10).
Рисунок 10
Таким образом, пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания (треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т.д.). Если пирамида треугольная (рисунок 11), то её основанием может служить любая грань.
Рисунок 11
Даниил Романович | Просмотров: 1k
Прямоугольный параллелепипед. Формулы и свойства прямоугольного параллелепипеда
Определение.
Прямоугольный параллелепипед — это многогранная объемная фигура ограничена шестью прямоугольниками.
Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда.
 |
|
| Рис.1 |
Основные свойства правильного прямоугольного параллелепипеда
Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда параллельны и равны.
Ребра прямоугольного параллелепипеда, которые сходятся в одной вершине взаимно перпендикулярны.
Не параллельные грани прямоугольного параллелепипеда пересекаются под прямым углом.
У прямоугольного параллелепипеда четыре диагонали.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и пересекаются в одной точке.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Формула. Объем прямоугольного параллелепипеда равна произведению длин его сторон:
V = a · b · c
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Определение. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из суммы площадей прямоугольников, ограничивающие его.
Формула. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда через длины его сторон:
S = 2a·b + 2a·c + 2b·c
Диагональ прямоугольного параллелепипеда
Определение. Диагональ прямоугольного параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, лежащие на разных гранях.
Формула. Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда через длины его сторон:
d = √a2 + b2 + c2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 495.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 495.
В 5 классе в курсе математики изучается тема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы поговорим о формулах для нахождения площади боковой поверхности и площади полной поверхности этой фигуры, которые наиболее часто вызывают затруднения у учеников.
Материал подготовлен совместно с учителем первой категории Камушковой Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — 27 лет.
Определения
Параллелепипед – это фигура в пространстве, которая состоит из шести четырехугольников.
Каждый четырехугольник – это грань параллелепипеда. Среди граней различают четыре боковые и два основания. Если в основании фигуры находится прямоугольник, то многогранник называется прямоугольным параллелепипедом.
Стороны граней – это ребра. У параллелепипеда всего 12 ребер.
Параллелепипед имеет 8 вершин, для их обозначения используют заглавные латинские буквы.
Если две грани не имеют общего ребра, то они называются противоположными. Так как каждая грань прямоугольного параллелепипеда – это прямоугольник, у которого противоположные стороны равны, то и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда также равны.
Длина ребер определяет основные характеристики прямоугольного параллелепипеда: площадь, периметр, объем.
Примеры таких фигур мы часто встречаем в нашей жизни: кирпич, коробка, системный блок компьютера.
Математическая фигура – прямоугольный параллелепипед активно используется в искусстве, архитектуре и прочих областях.
Различают несколько видов параллелепипедов, с основанием в виде квадрата, параллелограмма или прямоугольника.
Формула для нахождения площади
Для того, чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем просуммировать получившиеся значения.
$S = ab$;
$S = ac$; где a, b, c – стороны фигуры.
А так как противоположные грани равны, то есть $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, их сумма и будет площадью боковой поверхности многоугольника.
$S= 2(ab + ac)$
Соответственно, чтобы вычислить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сложить площадь боковой поверхности и две площади основания. В итоге получится формула площади прямоугольного параллелепипеда.
$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$
Иногда для уточнения возле знака площади пишут краткое обозначение например, S п.п. – площадь полной поверхности, либо S б.п. – площадь боковой поверхности. Это помогает во время выполнения задания не перепутать нужные данные.
Пример задания
Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина и ширина основания 4 см и 3 см соответственно, а высота равна 2 см.
Решение:
S п.п. = 2(ab + ac + bc)
S п.п. = 2(4*3 + 4*2 + 3*2) = 52 см2
Таким образом, S п.п. = 52 см2.
Для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используют те же единицы измерения, в которых были приведены длины ребер. Если длины ребер прямоугольного параллелепипеда даны в разных единицах измерения, то их нужно перевести в одинаковые.
Что мы узнали?
Мы познакомились с элементами прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, основание. А также ознакомились с формулами для нахождения площади его боковой и полной поверхности, которые можно использовать для решения заданий.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Марина Яговцева
8/10
-
Розочка Ангелиночка
10/10
-
Слава Сироткин
10/10
-
Тома Зимина
7/10
-
Artem Sevastanov
10/10
-
Влад Чибиряев
10/10
-
Александр Селезнев
10/10
-
Акрам Сафарбеков
10/10
-
Вера Машковцева
10/10
-
Александр Семёнов
9/10
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 495.
А какая ваша оценка?