Как найти формулу суммы кубов

Алгебра

7 класс

Урок № 30

Сумма кубов. Разность кубов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Сумма кубов, разность кубов.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

Тезаурус:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² – b²

a³ + b³= (a + b)(a ²– ab + b²)

a³ – b³= (a – b)(a² + ab + b²)

Применение:

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Формула суммы кубов.

Рассмотрим произведение;

(a + b)(a² – ab + b²).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

(a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + ba² – ab² +b³ = a³ + b³

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Равенство называют формулой суммы кубов.

Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».

Формула разности кубов.

Аналогично докажем формулу разности кубов.

(a – b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – ba² – ab² – b³= a³ – b³

Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».

a³ – b³= (a – b)(a²+ ab + b²)

Выражения (a²+ ab + b²) и (a²– ab + b²) называют неполным квадратом суммы или разности.

Формула задаёт разложение многочленов:

a³ + b³ и a³ – b³ на два множителя:

(a + b)(a² – a b+ b²) и (a – b)(a²+ ab + b²).

Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Выполните умножение многочленов:

1. ( x + 3)(x² –3x +9) = x³ + 3³ = x³ + 27.
2. (2x – 3y)(4x² +6xy + 9y²) = (2x)³ – (3y)³ = 8x³ –27y³.

Задача 2.

Разложите многочлен на множители:

1. x³ – 8 y³ = x³ – (2y)³ = (x – 2y) (x² +2xy + 4y² )
2. 64 a³ – 27c³ = (4a)³ – (3c)³ = (4a – 3c)(16a² +12 ac + 9c²).

Задача 3.

Упростите выражение:

(x +2)(x² – 2x +4) – x(x–3)(x+3).

Решение:

x³ + 2³ – x(x² – 9) = x³ + 8 – x³ + 9x = 8 + 9x.

Ответ: 8 + 9x.

Задача 4.

Доказать, что выражение 123³ + 27³ кратно 50.

Используем формулу:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²),

получим: (123 + 27)(123² –123 · 27 + 27²) =150 · (123² –123 · 27 + 27²).

Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

Формула суммы кубов

Возьмём формулу куба суммы (см. §23 данного справочника):

$$ (a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$

и найдём из неё сумму двух кубов:

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

$$= (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) =$$

$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$

Скобка $(a^2-ab+b^2 )$ называется неполным квадратом разности.

Полный квадрат разности – это $ (a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2 $

Мы получили формулу для разложения суммы двух кубов на множители:

$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$

Формула разности кубов

Возьмём формулу куба разности (см. §23 данного справочника):

$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$

и найдём из неё разность двух кубов:

$$ a^3-b^3 = (a-b)^3+3a^2 b-3ab^2 = (a-b)^3+3ab(a-b) = $$

$$ = (a-b)((a-b)^2+3ab) = (a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab) = $$

$$ = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$

Скобка $(a^2+ab+b^2 )$ называется неполным квадратом суммы.

Полный квадрат суммы – это $(a^2+2ab+b^2 ) = (a+b)^2$

Мы получили формулу для разложения разности двух кубов на множители:

$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$

Примеры

Пример 1. Разложите на множители:

а) $ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2 )$

б) $ m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2 ) $

в) $ 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) $

г) $125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2 )$

д) $ frac{1}{8} k^6-8 = ( frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(frac{1}{2} k^2-2)(frac{1}{4} k^4+k^2+4) $

е) $27+ frac{m^3}{125} = 3^3+(frac{m}{5})^3 = (3+frac{m}{5})(9-frac{3m}{5}+frac{m^2}{25})$

Пример 2. Докажите что выражения $19^3-11^3$ кратно 8

$$ frac{19^3-11^3}{8} = frac{(19-11)(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = frac{8(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = $$

$ = 19 ^2+19cdot11+11^2 $

Что и требовалось доказать.

Пример 3*. Дайте геометрическое объяснение формуле суммы кубов (аналогичная задача – см. Пример 5 §23 данного справочника).

Общий объём:

$$ V_{a+b} = V_a+V_b+V_{ор}+V_{син} $$

$$ (a+b)^3 = a^3+b^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 $$

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

$$ = (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) = $$

$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$

Мы получили формулу суммы кубов.

Формула суммы кубов

Формула 1

(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2))

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Обратите внимание, что во второй скобке — неполный квадрат разности, так как вместо удвоенного произведения a на b стоит одинарное.

Также важно понимать, что a^3+b^3bcancel={(a+b)}^3, так как это разные формулы. В сумме кубов возведение происходит у каждого слагаемого, а в кубе суммы — вся сумма возводится в куб.

Выведение формулы

Чтобы убедиться, что сумма кубов выглядит именно так, попробуем перемножить выражения в скобках:

((a+b)(a^2-ab+b^2)=acdot a^2-acdot ab+acdot b^2+a^2cdot b-acdot b^2+bcdot b^2)

Сократим выражения с разными знаками:

acdot a^2-cancel{ahat{}2cdot b}+bcancel{acdot b^2}+cancel{a^2cdot b}-bcancel{acdot b^2}+bcdot b^2=a^3+b^3

Примеры использования формулы

Потренируемся в вычислении и выражении суммы кубов на примерах.

Задача 1

Разложите на множители выражение (4^3+(2x)^3.)

Решение:

(4^3+(2x)^3=(4+2x)(4^2-4cdot 2x+(2x)^2)=(4+2x)(16-8x+4x^2).)

Ответ: ((4+2x)(16-8x+4x^2).)

Задача 2

Упростить выражение (frac{64x^3+1}{4x+1}.)

Решение:

(frac{64x^3+1}{4x+1}=frac{(4x+1)(16x^2-4x+1)}{(4x+1)})

Сократим одинаковое делимое и делитель:

frac{bcancel{(4x+1)}(16x^2-4x+1)}{bcancel{(4x+1)}}=16x^2-4x+1.

Ответ: 16x^2-4x+1.

Задача 3

Решить уравнение ((a+2)(a^2-2a+2)=0.)

Решение:

((a+2)(a^2-2a+2)=a^3+8)

(a^3+8=0)

(a^3=-8)

(a=-2)

Ответ: (a=-2.)

Задача 4

Вычислить при x=2:

(27-(3-2x)(9+6x+4x^2).)

Решение:

((3-2x)(9+6x+4x^2)=3^3-(2x)^3=27-8x^3)

(27-(27-8x^3)=8x^3.)

Подставляем переменную x=2:

(8cdot 2^3 = 8cdot 8=64.)

Ответ: 64.

Выражение $a^{2}-a b+b^{2}$, которое стоит вторыми сомножителями
в правой части равенства (1), называется неполным квадратом разности. От полного
квадрата разности оно отличается лишь средним коэффициентом.

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство «читается» как слева направо,
так и справа налево, то верно и обратное равенство. Проверим равенство (1), для этого умножим двучлен
$a+b$ на
$a^{2}-a b+b^{2}$:
$(a+b)left(a^{2}-a b+b^{2}right)=a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+b a^{2}-a b^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}$.

Читать следующую тему: формула «разность кубов».