Как найти фрактал числа

Фракталы в простых числах

Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. «Берега» сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.

Или используя JavaScript реализацию алгоритма.

Английская версия: New kind of fractals — Fractals in relatively prime integers (coprime integers)

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправим луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p — взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже — фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.

Gif-анимация:

Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника — получаем разные узоры.

Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, «фрактал» — это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P — ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.

Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17×29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Одна сторона: F(n);
Вторая сторона: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.

Дальше фракталы циклически повторяются.

Если большая сторона четная, получается такой узор:

Если меньшая сторона четная:

Если обе стороны нечетные — получаем симметрический узор:

В зависимости от того, как начинается луч:

или

Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках.

Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе.

Луч выходит в той-же точке, откуда зашел.

При этом, количество квадратиков, которые проходит луч — всегда четное число.

Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат — останется не измененная часть фрактала.

Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно — можно добраться до «начала» фрактала.

Похоже на спираль Фибоначчи?

Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.

В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Поехали:

Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению — тем больше детализация фрактала.

При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на .

Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:

Получим тот-же фрактал.

Те-же фракталы можно получить и в квадрате, если пускать луч под другим углом:

Что можно сказать в заключении?
Хаос — это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки — обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень — пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны — все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать «модель» поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов — волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если «словить» такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частицы – это такие-же фракталы?

Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80 (6723х6723 px):

Замкнутые области во фракталах (6723х6723 px):

Просто красивый фрактал (4078×2518 px):

Если у вас хватило терпения дочитать до конца, еще раз JavaScript реализация алгоритма

Продолжение:
Фракталы в иррациональных числах
Фракталы в иррациональных числах. Часть 2

Фракталы, как правило, управляются довольно простыми правилами, порождая удивительную красоту. Однако я не встречал способов построения фракталов, основанных на простоте чисел. Фрактал, который получился у меня, быть может не так красив, как фрактал Мандельброта, и не содержит явного само-подобия (self-similarity), но также имеет бесконечно сложную структуру.

За 4 шага я покажу, как я его получил. Будет много картинок и мало формул.

Постоянные Фейгенбаума и теория хаоса

Многие уже узнали эту картинку, связанную с размножением кроликов. Пусть каждый год популяция кроликов увеличивается в a раз:

Если a, коэффициент размножения больше 1, то каждый год кроликов все больше и больше. В природе так не бывает. Пусть, если x приближается к 1, то кролики начинают умирать от болезней:

Дополнительная часть уравнения как раз отвечает за смертность кроликов, а картинка вверху показывает зависимость х (в пределе многих лет) от a. Как видно, при увеличении a до 3 равновесная плотность популяции растет, а потом мы видим неожиданное: происходит бифуркация: в один год кроликов меньше, в другой больше. Впрочем, мы такое поведение природы знаем по урожаю яблок, когда урожайные годы идут через один.

При дальнейшем увеличении a возникает вторая бифуркация, потом еще и еще, все чаще и чаще, а потом настает полный хаос. По мере приближения к хаосу время как бы ускоряется, плотность событий увеличивается. Предел отношений длин отрезков L является первой константой Фейгенбаума, 4.669… и она проявляет себя для очень широкого класса систем. Даже отношения размеров ‘бубликов’ (кардиоидов) у множества Мандельброта тоже 4.669.

Если за L0 (см. картинку вверху) взять промежуток времени 24 февраля — 21 сентября, то следующая бифуркация будет в первых числах ноября.

Фрактал Ляпунова

Фрактал назван в память о Ляпунове, который пустил себе пулю в голову за пол века до открытия фрактала, в котором используется экспонента Ляпунова. Идея генерации фрактала заключается в том, чтобы вместо одного значения a использовать два разных, a и b, и чередовать их по какому-нибудь правилу, например, abababab…:

начинаем мы с x=0.5, выбираем a и b (оси x и y), и вычисляем экспоненту Ляпунова. Для других последовательностей ab картинка будет выглядеть иначе, например для aabab:

А теперь простые числа

Что если вместо периодической последовательности ab использовать апериодическую последовательность abbababaaa…, где a одначает что число составное, а b простое:

1-a, 2-простое, b, 3-простое b, 4- составное, a, 5 — b, 6-a, 7-b итд.

Картинка стала резко ассиметричной (что не удивительно, простых чисел меньше), но стала смазанной и менее интересной, на мой взгляд.

Кстати, а вы заметили, что оси у нас рисуются до значения 4? Это не случайно. При величине a>4 фрактал теряет устойчивость, значения улетают в бесконечность… Как и при отрисовке фрактала Мандельброта! Что если выкинуть экспоненту Ляпунова и отрисовывать (логарифм) количества итераций до того, как модуль x превысит некоторое значение, например, 1000?

Простые числа, вторая попытка

Теперь наши оси не ограничены значением 4:

Черный цвет означает стабильность — бесконечности не получается. Это наша знакомая область до 4. А вот дальше все интереснее/ Давайте увеличим район относительной стабильности около 4:

Картинка меняется довольно сильно, если ‘объявить’ число 3 или 5 составным, а вот большие числа (91, например) на картинку почти не влияют.

Еще один zoom:

И еще, кусочек справа:

‘Прожектора’, светящие в разные стороны, связаны с локальными сгущениями и разрежениями простых чисел. Просчитываются эти картинки довольно долго, 500×500 точек, для каждой надо скользить по простым числам до заданного предела (я брал 10-100 миллионов)

• СИФ, множества Жюлиа и Мандельброта
• Как вычисляется фрактальная размерность по Хаусдорфу
• Системы итерированных функций СИФ
• Рандомизированная система итерированных функций
• Примеры фракталов, сгенерированных СИФ
• Как построить множества Жюлиа
• Рисуем множество Мандельброта

• Главная
• Фракталы
• СИФ, множества Жюлиа и Мандельброта

☰ Оглавление

Немного о фракталах и множестве Мандельброта
Антон Ступин

В этот раз любопытство сфокусировало внимание человека на математическом описании окружающего мира. Именно стремление к познанию создало понятие фрактал. Человек стремится описать ту реальность, которая есть вокруг него. Новые открытия — это новые элементы пазла, которые добавляют целостность картине реальности. 

Термин фрактал появился относительно недавно — в 1975 году математиком Бенуа Мандельбротом, в честь которого назван самый популярный фрактал. Но, прежде чем перейти к рассмотрению множества Мандельброта, окунемся в историческую сводку и постараемся выделить основную проблему, которая сподвигла Бенуа к исследованию и созданию фрактальный геометрии.

Бенуа Мандельброт (1924-2010)

До создания фрактальный геометрии, истинной являлась Евклидова геометрия (да, та самая, которую мы изучали в школе) и именно она на протяжении более 2000 лет служила базой для описания физического мира (прямые линии, углы, треугольники, квадрат и т.д — это все из геометрии Евклида).

Евклид (около 300 лет до н.э) — древнегреческий математик

Если мы посмотрим на то, что нас окружает, то условно сможем разделить все на две части: то, что создано человеком и то, что создала природа. То, что построено человеком — построено по постулатам евклидовой геометрии (круги, треугольники, квадраты и т.д.). Но чем как описать деревья, горы, реки? Как описать все то, что создала природа? Да, конечно, можно описать все, используя простые фигуры, меняя их масштаб и положение относительно друг друга (что-то мне подсказывает, что мир бы выглядел как в игре Майнкрафт). Но, если серьезно, то попытка описать мир таким принципом — это лишь попытка смоделировать (построить модель), но не описать все так, как оно есть.

Именно желание описать мир, с его, казалось бы, несовершенством линий и попытка придать всему этому хаосу некие закономерности и привело к созданию понятия фрактал и фрактальный геометрии.

Определение фрактала. Примеры.

Определение из интернета «Фрактал — множество, обладающее свойством самоподобия». Звучит сложно. Попробую объяснить, используя некоторые высказывания, относительно фракталов:

• Фрактал — самоподобная сложная фигура;
• Фрактал — элемент, повторяя который бесконечное количество раз, мы получим тот же/подобный элемент другого масштаба;
• Фрактал строится за счет многократного повторения (математики называют этот процесс «итерацией«);
• Целый объект практически полностью совпадает с частью себя самого. Целые имеют ту же форму, что одна или более частей; 
• Есть фигура и правило, по которому эта фигура дублируется относительно друг друга.

Лист папоротникаДельта реки

Ниже приведем примеры фракталов с множественным повторением какого-то простого действия (итерацией):

1. Кривая Гильберта

1891 г.

2. Н-фрактал (конечные точки буквы «Н» заменяем на «Н» и так до бесконечности)

3. Треугольник Серпинского (внутри треугольника строим перевернутый треугольник и так до бесконечности)

1915 г.

4. Кривая Коха (делим сторону равностороннего треугольника на 3, среднюю часть заменяем на равносторонний треугольник и так до бесконечности с каждой стороной каждого треугольника)

1904 г.

Множество Мандельброта.

Повторюсь, что итерация простых элементов для построение целостной сложной фигуры были и до работы Бенуа Мандельброта. Увеличение вычислительной мощности компьютеров позволило достичь огромного числа повторений, что позволило ученому достичь такой глубины в понимании фрактальности мира:

Множество Мандельброта (1975 г.)Увеличенный масштаб множества МандельбротаМасштабируя множество…

Попутешествовать по завораживающему множеству Мандельброта можно по следующим ссылкам:

sunandstuff.com/mandelbrot/

www.michurin.net/online-tools/mandelbrot.html

Принцип построения модели:

В основе модели, как и писал раньше, лежит итерация (многократное повторение). В случае множества Мандельброта — это решение уравнения.

Оно выглядит так:

уравнение Множества Мандельброта, где С — комплексное число

Для математика выглядит достаточно просто, но есть нюансы. Не будем вдаваться в подробности, попробуем пошагово раскрыть суть построения множества:

Чтобы определить, входит ли число в множество Мандельброта, нужно принять Z за ноль (О) возвести в квадрат и сложить с нашим числом. Полученное число Z — заново подставляем в уравнение и складываем с числом, которое тестируем. Уравнение решается и полученное решение снова подставляется в уравнение. Уравнение заново решается. Итерация! Множественное повторение решений одного и того же уравнения. Если при решении мы видим, что значение Z сильно увеличивается (стремится к бесконечности), значит изначальное число не подходит. Если же Z колеблется в пределах одного значения, значит выбранное число входит в множество. Далее полученные значения отмечают на плоскости. Уравнение решается огромное количество раз и в итоге получается графическое изображение множества Мандельброта (его мы видели выше).

P.s можно еще посмотреть что такое комплексные числа — они имеют большое значение для построение модели.

До 1975 года, фракталы встречались в истории время от времени, но после работы Бенуа Мандельброта, изучение фракталов начало приобретать массовый характер, все больше интегрируясь в мир. Изучение фракталов вызвало новый виток в изучении разных сфер жизни: в компьютерной графике, в передаче данных, в радиотехнике, в производстве, в работе мозга, в движениях человека, в росте живых существ и многом другом.

Представьте, насколько упрощается построение графических моделей, зная, что они самоподобны и вычисляются по одной простой формуле. Насколько становиться проще кодирование и передача информации, когда есть понимание, что их можно «сжать» по определённой фрактальный закономерности. И насколько понятней становится эволюция живых существ, когда мы можем найти фракталную модель их развития.

Фракталы в тейдинге.

Тема фракталов сложна и интересна, но как же она соотносится с торговлей на бирже? Думаю, что идея также проста: попытка описать и упорядочить казалось бы хаотичное и нелинейное движение цены, и найти в нем определенные закономерности.

Тема фракталов достаточно молода, но одно знаем точно, что ее глубина и охват — это «черная дыра» с огромным количеством идей и возможный векторов применения.

Первое, что мы можем выделить — это подобие графиков движения цены, вне зависимости от инструмента, таймфрема (временного масштаба). Разумеется, что найти абсолютно похожие участки крайне сложно, но ключевое свойство фрактала — это самоподобие, а не идентичность. А найти регулярные и подобные структуры в колебаниях цены — это уже более реальная задача.

Получается, что рынок, как минимум, имеет фрактальные свойства. Само наличие закономерностей в движении говорит об этом.

Фрактальное самоподобие на примере #MAGN (Магнитогорский металлургический комбинат)

Волны Элиота — также определенная фрактальная закономерность в движении цены

Каждая часть графика делится по определенной закономерность на самоподобные части.

Что еще интересного можно найти на основе модели Мандельброта?
К примеру, можно взглянуть на соотношение частей этого фрактала:

Фрактальную теорию тесно связывают с принципом золотого сечения и числами Фибоначчи. Опять же, не будем вдаваться в сложные математические вычисления и доказательства.

Нас тут интересует, что определенное соотношение частей и сторон множества
Мандельброта соответствуют принципам золотого сечения и чисел Фибоначчи.

А это уже совсем другая история…