What Is Utility Function?
In economics, utility represents the satisfaction or pleasure that consumers receive for consuming a good or service. Utility function measures consumers’ preferences for a set of goods and services.
Utility is measured in units called utils—the Spanish word for useful— but calculating the benefit or satisfaction that consumers receive is abstract and difficult to pinpoint. As a result, economists measure utility in terms of revealed preferences by observing consumers’ choices. From there, economists create an ordering of consumption baskets from least desired to the most preferred.
Key Takeaways
- In economics, utility function is an important concept that measures preferences over a set of goods and services.
- Utility represents the satisfaction that consumers receive for choosing and consuming a product or service.
- Economists track consumer choices to ascertain one product’s utility versus another and assign a numerical value to that utility.
- Company executives research consumers’ utility to guide the company’s sales and marketing plans, advertising, and new product offerings.
- Ordinal utility ranks choices by preference, whereas cardinal utility measures the utility received from a choice.
Understanding Utility Function
In economics, the utility function measures the welfare or satisfaction of a consumer as a function of the consumption of real goods, such as food or clothing. Utility function is widely used in rational choice theory to analyze human behavior.
When economists measure or rank the preferences of consumers, it is referred to as ordinal utility. In other words, the order in which consumers choose one product over another can establish that consumers assign a higher value to the chosen product. Ordinal utility measures how consumers rank products, but it does not measure how much more one ranks above the other.
To better understand ordinal utility, consider the following example. Three contestants vie for first place in a dance competition. Contestant A is declared the winner. Contestant B is the runner-up, and contestant B ranked third. Ordinal utility reveals that the judges preferred contestant A over contestants B and C and contestant B over C. What ordinal function does not tell us is to what degree one was preferred over the other.
Mainly used in microeconomics, cardinal utility assigns a numeric value to the consumer’s preference, indicating the degree to which one choice ranks above another. Cardinal utility will define how much more contestant A was preferred over contestants B and C, and so on.
When considering utility, it is important to understand the concepts of total utility and marginal utility. Marginal utility measures the satisfaction or benefits a person gets from consuming an additional unit of a product or service. Total utility measures the satisfaction or benefits a person gets from the total consumption—including marginal utility—of a product or service.
If consuming 10 units of a product yields 20 utils, and consuming one additional unit yields 1 util, the total utility is 21 utils. If consuming another unit yields .5 utils, the total utility would then become 21.5 utils.
Economists believe that the amount of satisfaction one receives from each additional unit of consumption diminishes with each unit consumed. This concept is called the law of diminishing marginal utility. Diminishing marginal utility doesn’t state that consuming additional units will fail to satisfy the consumer; it states that the satisfaction from consuming more and more units is less than the first additional units consumed.
How to Calculate a Utility Function
Utility functions are expressed as a function of the quantities of a bundle of goods or services. It is often denoted as U(X1, X2, X3, Xn).
A utility function that describes a preference for one bundle of goods (Xa) vs another bundle of goods (Xb) is expressed as U(Xa, Xb).
Where there are perfect complements, the utility function is written as U(Xa, Xb) = MIN[Xa, Xb], where the smaller of the two is assigned the function’s value.
In certain situations, the goods may be considered perfect substitutes for each other, and the appropriate utility function must reflect such preferences with a utility form of U(Xa, Xb) = Xa+ Xb.
Example of Utility Function
Let’s say a consumer is shopping for a new car and has narrowed the choice down to two cars. The cars are nearly identical, except the second car has enhanced safety features. As a result, the second car costs $2,000 more than the first car.
The incremental or marginal utility or satisfaction derived from car two could be represented numerically as the $2,000 price difference between the two cars. In other words, the consumer is receiving $2,000 in incremental or marginal utility from car two.
Furthermore, let’s say that 100,000 consumers throughout the economy preferred car two to car one. Economists might infer that consumers, overall, received $200 million (100,000 x $2,000) worth of incremental utility from the safety features of car two. Utility is derived from the consumer’s belief that they are likely to have fewer accidents due to the added safety features of car two.
Advantages and Disadvantages of Utility Function
Economists can’t assign a true numerical value to a consumer’s level of satisfaction from a preference or choice. Also, pinpointing the reason for purchase can be difficult; there are usually many variables to consider.
In the previous example, the two cars were nearly identical. In reality, there might be several features or differences between the two cars. As a result, assigning a value to a consumer’s preference can be challenging since one consumer might prefer the safety features while another might prefer something else.
Tracking and assigning values to utility can still be useful to economists. Over time, choices and preferences may indicate changes in spending patterns and in utility.
Understanding the logic behind consumer choices and their level of satisfaction is not only important to economists but to companies, as well. Company executives can use utility to track how consumers view their products.
Important
Utility function is essentially a «model» used to represent consumer preferences, so companies often implement them to gain an edge on the competition. For example, studying consumers’ utility can help guide management on anything from marketing and sales to product upgrades and new offerings.
Utility Function FAQs
What Is Utility Function?
Utility describes the benefits gained or satisfaction experienced with the consumption of goods or services. Utility function measures the preferences consumers apply to their consumption of goods and services. For instance, if a customer prefers apples to oranges no matter the amount consumed, the utility function could be expressed as U(apples) > U(oranges).
What Is the Difference Between Utility Function and Marginal Utility?
Utility function ranks consumers’ consumption of goods or services by preference. Marginal utility measures the change in utility when the rate of consumption changes (i.e., how much more satisfaction is gained by consuming another unit of a good or service).
Why Is Utility Function Important?
Economists use utility function to better understand consumer behaviors, as well as determine how well goods and services provide satisfaction to consumers.
Utility function can also help analysts determine how to distribute goods and services to consumers in a way that total utility is realized.
Companies can use utility function to determine which product(s) within their product line (or that of a competitor) consumers prefer. Knowing these preferences can help management teams enhance product development to assume a competitive advantage.
The Bottom Line
Utility describes the benefit or satisfaction received from consuming a good or service. The unit of measurement economists use to gauge satisfaction is called util. Utility function measures consumers’ preferences for bundles of goods or services. Ordinal utility ranks a customer’s choice by preference, and cardinal utility assigns a numeric value to each preference to determine how much more one good is preferred over another.
Общая полезность
Общая полезность — удовлетворение, которое получают от потребления определенного набора товара или услуги.
Предельная полезность — это прирост общей полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на единицу.
Mu = (Tu1 — Tu0)/(Q1 — Q0)
Производная по количеству Q
Mu = dTu/dQ
Как найти производную.
Например, TU = x*y. Mux = d(x*y)/dx = y; Muy = d(x*y)/dy = x
Например, TU = 10x2 + 2x + 2. Mux = d(10x2 + 2x + 2)/dx = 20x + 2
Функция полезности — функция, показывающая убывание полезности блага с ростом его количества:
Tu = f(Qi)
Условия равновесия потребителя
Условия равновесия потребителя можно выразить формулой:Mux / Muy = Px / Pyгде Px и Py — цены на товары X и Y.
Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает равновесие потребителя.
Пример задачи на нахождение оптимального набора покупок
Пример задачи на нахождение оптимального набора товаров при заданной функции полезности
Кривая безразличия
Кривая безразличия — это множество точек на кривой, которые показывают различные комбинации двух экономических благ, имеющих одинаковую полезность для потребителя.
Предельная норма замещения (marginal rate of substitution — MRS) — количество, на которое потребление одного из двух благ должно быть увеличено (или уменьшено), чтобы полностью компенсировать потребителю уменьшение (или увеличение) потребления другого блага на одну дополнительную единицу:
MRSxy = ΔY / ΔXΔY = Y1 — Y0ΔX = X1 — X0илиMRSxy = Mux / Muy
Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.
Бюджетная линия
Бюджетная линия представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном, графически отображающую множество наборов из двух товаров, требующих одинаковых затрат на их потребление. Она показывает, какие потребительские наборы можно приобрести за данную сумму денег.I = PxX + PyYгде I — доход потребителя;
Px — цена блага Х;
Py — цена блага Y;
X,Y — составляют соответственно купленные количества благ.
Пример. Функция полезности U(xy)=xy. Доход потребителя равен 80 ден. ед. Цены товаров x и y соответственно равны Px=2 руб. и Py=4 руб. Найдите равновесный набор.
Решение: Из условия равновесия потребителя: Mux / Muy = Px / Py получаем: Mux = d(x*y)/dx = y; Muy = d(x*y)/dy = x
Тогда: y / x = 2 / 4 = 1/2 или y = 1/2x
Для наших данных уравнение бюджетной линии запишем как: 80 = 2x + 4y = 2x + 4*1/2x = 4x
Откуда: x = 20 ед., y = 1/2*20 = 10 ед.
Ответ: потребитель приобретет 20 ед. товара x и 10 ед. товара y.
Пример решения определения оптимума потребителя
Потребитель тратит 600 рублей в месяц на приобретение двух товаров. Цена товара Х — 20 рублей, а товара Y — 10 рублей. Задана функция полезности потребителя U = ХY. Составить уравнение бюджетной линии. Найти предельную норму замещения. Определить оптимум потребителя. Представить графически. Если цена товара Х уменьшится на 5 руб., на сколько единиц изменится объем спроса данного товара всего?|Уравнение бюджетной линии:I = PxX + PyY 600 = 20X + 10Y
Предельная полезность товаров:
Mux = dU/dx = d(xy)/dx = yMuy = dU/dy = d(xy)/dy = x
Оптимум потребителя достигается при равенстве:
Mux / Muy = Px / PyMux / Muy = 20 / 10 = 2
Предельная норма замещения
MRSxy = Mux / Muy = 2
Выразим y через x.
Mux / Muy = y / x = 2y = 2x
Подставим в уравнение бюджетной линии:
600 = 20x + 10*2x = 20x + 20xоткуда X = 15; Y = 2x = 30
Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.
Проверка: 20 х 15 + 10 х 30 = 300 + 300 = 600.
При уменьшении цены товара X на 5 руб.
Px = 20 — 5 = 15
Найдем новый оптимум потребителя.
600 = 15X + 10Y = 15X + 20X = 35Xоткуда x = 17.14; y = 2x = 34.29
Спрос на товар Х увеличился на 2.14 (17.14 — 15)
Проверка: 15 х 17.14 + 10 х 34.29 = 257.1 + 342.9 = 600.
Пример нахождения цен товаров при оптимальном выборе покупателя
Утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу
Определить утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу, если функции полезности агентов равны u1 = х1 + 3, u2= 3х2 — 2 при х1 + x2 = 3 . Проверить независимость от масштаба для указанных ПКБ, если функция полезности первого агента была уменьшена в три раза.
Решение. Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u1 = u2 или x1 + 3 = 3x2 — 2. Учитывая, что x2 = 3- x1, получаем x2 = 2, тогда x1 = 1. Вектор полезностей (4,4).
Утилитарное решение находим, максимизируя сумму полезностей агентов: x1 + 3 + 3x2 — 2 → max, подставив x1 вместо x2, получаем 4x2 + 1 → max. Рассматриваемая функция возрастает от x1 и достигает своего максимума при x1 = 3, тогда x2 = 0. Здесь вектор полезностей (1,1).
Независимость от масштаба
Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u1 = u2 или x1/3 + 1 = 3x2 — 2. Учитывая, что x2 = 3- x1, получаем 10/3 x1 — 6 = 0, тогда x1 = 9/5, то x2 = 6/5. Вектор полезностей (8/5,8/5).
Множество допустимых распределений пары продуктов на неотрицательные количества определяется так:x1,x2 0, x1 + x1 = a, x2 = b.
Максимизируя ФКП Нэша, мы выбираем эффективное распределение. Оптимальное распределение определяется как решение задачи:
Минимум достигается x1 = 2,17; x2 = 0,83.
Видим, что соблюдается условия:
а) 
,
б) 
Однако
уверены ли мы в том, что вообще существует
какой-либо способ приписывания товарным
наборам порядковых полезностей? Допустим,
имеется некое ранжирование предпочтений.
Всегда ли можно найти функцию полезности,
располагающую товарные наборы в том же
порядке, в каком располагаются эти
предпочтения? Существует ли функция
полезности, описывающая любое рациональное
ранжирование предпочтений?
Не
все виды предпочтений можно представить
с помощью функции полезности. Предположим,
например, что предпочтения некоего
индивида нетранзитивны, так что A
B
C
A.
Тогда функция полезности, соответствующая
этим предпочтениям, должна была бы
состоять из чисел u(A),
u(B)
и u(C)
таких, что u(A) > u(B) > u(C)
> u(A).
Но это невозможно.
Если,
однако, исключить из рассмотрения
аномальные случаи вроде нетранзитивных
предпочтений, то окажется, что практически
всегда можно найти некую функцию
полезности, которая бы представляла
данные предпочтения. Поясним построение
функции полезности наглядными примерами,
рассмотрев один из них здесь, а другой
— в гл. 14.
Допустим,
что нам дана карта кривых безразличия,
такая, как на рис. 4.2. Мы знаем, что функция
полезности есть способ обозначения
кривых безразличия, при котором более
высоким кривым безразличия ставятся в
соответствие бóльшие
числа. Как это можно сделать?
|
Рис. 4.2 |
Построение |
Один
из простых способов — провести диагональ,
как показано на рисунке, и обозначить
каждую кривую безразличия числом,
соответствующим ее расстоянию от начала
координат, измеренному вдоль этой
диагонали.
Откуда
мы знаем, что в результате этого получим
функцию полезности? Нетрудно заметить,
что если предпочтения монотонны, то
луч, проходящий через начало координат,
должен пересечь каждую кривую безразличия
в точности один раз. Таким образом,
каждый набор благ получает свое
обозначение, и наборы, находящиеся на
более высоких кривых безразличия,
обозначаются бóльшими
числами, а только это и требуется, чтобы
построить функцию полезности.
Это
дает нам один из способов обозначения
кривых безразличия по крайней мере для
случая монотонных предпочтений. Данный
способ не всегда будет самым подходящим
для любого заданного случая, но он
показывает достаточно общий характер
идеи, заложенной в функции порядковой
полезности: «разумные» предпочтения
почти любого вида можно представить с
помощью функции полезности.
4.3. Некоторые примеры функций полезности
В
гл. 3 мы рассмотрели несколько примеров
предпочтений и представляющих их кривых
безразличия. Эти предпочтения можно
представить также с помощью функций
полезности. Если дана функция полезности
u(x1, x2),
нарисовать соответствующие кривые
безразличия сравнительно несложно:
надо нанести на график все точки (x1, x2),
для которых u(x1, x2)
постоянна. В математике множество всех
(x1, x2),
для которых u(x1, x2)
постоянна, называется упорядоченным
множеством.
Для каждого другого значения константы
мы получаем другую кривую безразличия.
ПРИМЕР:
Кривые безразличия, получаемые на основе
функции полезности
Предположим,
что функция полезности имеет вид:
u(x1, x2) = x1x2.
Как выглядят тогда кривые безразличия?
Нам известно, что типичная кривая
безразличия есть просто множество всех
x1
и x2,
таких, что k = x1x2
для некой константы k.
Выразив x2
как функцию от x1,
мы видим, что типичной кривой безразличия
в данном случае будет соответствовать
формула:
Эта
кривая изображена на рис. 4.3 для k = 1,
2, 3...
|
Кривые |
Рис. |
Рассмотрим
еще один пример. Допустим, нам задана
функция полезности вида
Как выглядят ее кривые безразличия?
Согласно стандартным правилам алгебры:
Иными
словами, функция полезности v(x1, x2)
есть просто квадрат функции полезности
u(x1, x2).
Поскольку u(x1, x2)
не может быть отрицательной величиной,
отсюда следует, что v(x1, x2)
является монотонным преобразованием
исходной функции полезности u(x1, x2).
Это означает, что функции полезности
должны соответствовать кривые безразличия
в точности такой же формы, как у
представленных на рис.4.3. Обозначения
кривых безразличия будут другими —
обозначения 1, 2, 3 теперь станут
обозначениями 1, 4, 9, …, но множество
наборов, имеющее полезностьv(x1, x2) = 9,
в точности такое же, что и множество
наборов, имеющее полезность v(x1, x2) = 3.
Следовательно, v(x1, x2)
описывает в точности те же предпочтения,
что и u(x1, x2),
поскольку она ранжирует
все наборы таким же образом.
Идти
в обратном направлении — находить
функцию полезности, представляющую
определенные кривые безразличия, —
несколько сложнее. Для этого можно
прибегнуть к двум способам. Первый
способ — математический. Исходя из
заданных кривых
безразличия мы хотим найти функцию,
которая принимала бы постоянные значения
вдоль каждой кривой безразличия и
приписывала бы бóльшие
численные значения более высоким кривым
безразличия.
Второй
способ — несколько более интуитивный.
Исходя из описания предпочтений, мы
пытаемся представить себе, что именно
стремится максимизировать потребитель
— какая комбинация товаров описывает
его потребительский выбор. Хотя на
данной стадии рассмотрения этот способ
может показаться несколько неясным,
после обсуждения нескольких примеров
его смысл станет понятнее.
Совершенные
субституты
Помните
пример с красными и синими карандашами?
Для потребителя имело значение только
общее число карандашей. Таким образом,
вполне естественно измерять полезность
общим числом карандашей. Поэтому
предварительно выберем функцию полезности
вида
u(x1, x2) = x1 + x2.
Подойдет ли она? Достаточно задать себе
два вопроса: принимает ли эта функция
полезности постоянные значения при
перемещении вдоль кривых безразличия?
Приписывает ли она более высокие
численные значения более предпочитаемым
наборам? Поскольку на оба эти вопроса
следует дать утвердительный ответ,
перед нами — функция полезности.
Разумеется,
это не единственная функция полезности,
которую мы могли бы использовать в
данном случае. Можно было бы также
использовать
квадрат
числа карандашей. Таким образом, функция
полезности
тоже представляет предпочтения для
случая совершенных субститутов, как,
впрочем, и любая другая функция, являющаяся
монотонным преобразованием функцииu(x1, x2).
Что,
если потребитель хочет заместить товар
1 товаром 2 в соотношении, отличном от
соотношения «один к одному»?
Предположим, например, что потребителю
потребуются две
единицы товара 2, чтобы компенсировать
отказ от одной единицы товара 1. Это
означает, что товар 1 вдвое
ценнее для потребителя, чем товар 2.
Функция полезности, следовательно,
принимает вид u(x1, x2)
= 2x1 + x2.
Заметьте, что эта функция полезности
дает кривые безразличия с наклоном –2.
Вообще
предпочтения в отношении совершенных
субститутов можно представить функцией
вида
u(x1, x2)
= ax1 + bx2.
Здесь
a
и b
— некие положительные числа, измеряющие
«ценность» товаров 1 и 2 для
потребителя. Обратите внимание на то,
что наклон типичной кривой безразличия
задан — a/b.
Совершенные
комплементы
Это
случай левого и правого башмаков. При
предпочтениях такого рода потребителя
заботит только число имеющихся у него
пар
обуви, поэтому естественно выбрать
число пар обуви в качестве функции
полезности. Число имеющихся у вас полных
пар обуви есть минимум
числа имеющихся у вас правых x1
и левых x2
башмаков. В соответствии с этим функция
полезности для совершенных комплементов
принимает вид u(x1, x2)
= min{x1, x2}.
Чтобы
проверить, действительно ли эта функция
полезности подходит в данном случае,
выберем, скажем, товарный набор (10, 10).
Добавив еще одну единицу товара 1,
получаем набор (11, 10), потребляя который,
мы должны были бы остаться на той же
самой кривой безразличия. Так ли это?
Да, поскольку min{10, 10} = min{11, 10} = 10.
Итак,
u(x1, x2)
= min{x1, x2}
— функция полезности, с помощью которой
можно описать совершенные комплементы.
Как обычно, для этого подойдет и любая
функция, являющаяся монотонным
преобразованием данной .
Что
можно сказать о случае, когда потребитель
хочет потреблять товары не в пропорции
«один к одному»? Например, как насчет
потребителя, всегда потребляющего 2
ложки сахара с чашкой чая? Если x1
— число имеющихся чашек чая, а x2
— число имеющихся ложек сахара, то число
должным образом чашек подслащенного
чая составит
Это
несколько сложно для понимания, так что
немного поразмыслим об этом. Ясно, что
если число чашек чая будет больше
половины числа ложек сахара, то мы не
сможем положить в каждую чашку чая по
2 ложки сахара. В этом случае у нас в
итоге окажется только
чашек должным образом подслащенного
чая. (Чтобы убедиться в этом, подставьте
вместоx1
и x2
какие-нибудь числа.)
Разумеется,
те же самые предпочтения могут быть
описаны любой функцией, которая является
монотонным преобразованием указанной
функции полезности. Например, можно
произвести умножение на 2, чтобы избавиться
от дроби. В результате этого получим
функцию полезности u(x1, x2) =
min{2x1, x2}.
Вообще,
функция полезности, описывающая
предпочтения для случая совершенных
комплементов, имеет вид
u(x1, x2)
= min{ax1, bx2},
где
a
и b
— положительные числа, показывающие
пропорции, в которых потребляются
товары.
Квазилинейные
предпочтения
Перед
нами форма кривых безразличия, с которой
мы раньше не сталкивались. Предположим,
что кривые безразличия потребителя
представляют собой, как на рис. 4.4,
вертикальные смещения одной кривой по
отношению к другой. Это означает, что
все кривые безразличия являются просто
вертикально «смещенными» копиями
одной и той же кривой безразличия. Отсюда
следует, что уравнение кривой безразличия
принимает вид x2 = k – v(x1),
где k
— константа, имеющая для каждой кривой
безразличия свои значения. Чем
больше значения k,
тем выше располагаются кривые безразличия.
(Знак «минус» здесь — не более, чем
условность; почему он удобен, мы увидим
ниже.)
В
этой ситуации вполне естественным
является ранжирование кривых безразличия
по k,
или по «высоте» вдоль вертикальной
оси. Выразив k
и приравняв его к полезности, получаем
u(x1, x2) = k = v(x1) + x2.
В
данном случае функция полезности линейна
по товару 2, но нелинейна (возможно) по
товару 1; отсюда и название квазилинейная,
означающее частично линейную полезность.
Конкретные примеры квазилинейной
функции полезности:
илиu(x1, x2) = lnx1 + x2.
Квазилинейные функции полезности не
особенно реалистичны, но с ними легко
работать, в чем мы убедимся на нескольких
примерах, рассматриваемых далее в этой
книге.
Предпочтения
Кобба — Дугласа
Другая
широко используемая функция полезности
— функция полезности Кобба
— Дугласа:
где
c
и d
— положительные числа, описывающие
предпочтения потребителя1.
|
Квазилинейные |
Рис. 4.4 |
Функция
полезности Кобба — Дугласа будет полезна
нам при рассмотрении нескольких примеров.
Предпочтения, представленные функцией
полезности Кобба — Дугласа, в общем
виде характеризуются формой кривых
безразличия, изображенной на рис. 4.5. На
рис.4.5A изображены кривые безразличия
для с = 1/2,
d = 1/2,
на рис.4.5B соответственно для c = 1/5,
d = 4/5.
Обратите внимание на то, что разные
значения параметров c
и d
обусловливают различие форм кривых
безразличия.
A
c = 1/2
d = 1/2
B
c = 1/5
d = 4/5
|
Кривые |
Рис. 4.5 |
Кривые
безразличия Кобба — Дугласа выглядят
в точности так же, как симпатичные
выпуклые к началу координат монотонные
кривые безразличия, которые в гл.3 мы
называли стандартными кривыми безразличия.
Предпочтения Кобба — Дугласа дают нам
типовой пример таких стандартных с виду
кривых безразличия, и, действительно,
описывающая их формула — это, пожалуй,
простейшее алгебраическое выражение,
соответствующее стандартным предпочтениям.
Предпочтения Кобба — Дугласа окажутся
весьма полезными для представления на
алгебраических примерах некоторых
экономических идей, которые мы рассмотрим
позднее.
Разумеется,
те же самые предпочтения могут быть
представлены и с помощью функции,
являющейся монотонным преобразованием
функции полезности Кобба — Дугласа, и
пару примеров таких преобразований
стоит рассмотреть.
Во-первых,
если взять натуральный логарифм
полезности, то произведение членов
превратится в сумму, так что:
Кривые
безразличия для этой функции полезности
будут выглядеть совершенно так же, как
и для первой функции Кобба — Дугласа,
поскольку логарифмирование — это
монотонное преобразование. (Краткий
обзор натуральных логарифмов вы найдете
в математическом приложении в конце
книги.)
В
качестве второго примера предположим,
что вначале у нас была функция Кобба —
Дугласа вида
Возведя
полезность в степень 1/(c + d),
получим:
Определим
новый член:
Теперь
можно записать нашу функцию полезности
как
Это
означает, что всегда можно произвести
такое монотонное преобразование функции
полезности Кобба — Дугласа, при котором
сумма показателей степени станет равной
1. Позднее станет ясно, что этот факт
может иметь полезную интерпретацию.
Функция
полезности Кобба — Дугласа может быть
представлена различными способами;
следует научиться их распознавать, так
как данное семейство предпочтений очень
полезно для использования в качестве
примеров.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
05.03.2016568.83 Кб40G3.doc
- #
- #
05.03.2016717.82 Кб11G5.doc
- #
05.03.2016680.96 Кб23G6.doc
- #
- #
- #
Задача № 1 Расчёт дохода потребителя
Индивид покупает 8 единиц товара Х и 4 единицы товара Y. Найти его доход, если известно, что цена товара Х равна 2 ден. ед., а предельная норма замены равна 0,5.
Решение:
В точке оптимума выполняется равенство:
По условию MRS = 0,5 и Рх = 2. Следовательно, Ру = Рх / MRS = 2/0,5=4.
Найдём доход индивида, используя бюджетное ограничение:
где I – доход,
Рх и Ру – цены двух рассматриваемых благ,
Х и Y – их количества.
Задача № 2. Расчёт общей и предельной полезности
Общая TU и предельная MU полезности товаров А, В, С представлены в таблице. Заполнить пропуски в таблице.
Решение:
Найдём общую полезность товара А.
Общая полезность N-й единицы товара = Предельная полезность N-й единицы товара + Общая полезность N-1-й единицы товара
TU(1)=MU(1)=20
TU(2)=MU(2) + TU(1)=15 + 20=35
TU(3)=MU(3) + TU(2)=12 + 35=47
TU(4)=MU(4) + TU(3)=8 + 47=55
TU(5)=MU(5) + TU(4)=6 + 55=61
Найдём предельную полезность товара В.
Предельная полезность N-й единицы товара=Общая полезность N-й единицы товара — Общая полезность N-1-й единицы товара
MU(1)=TU(1)=19
MU(2)= TU(2) — TU(1)=30 – 19 = 11
MU(3)= TU(3) — TU(2)=38 – 30 = 8
MU(4)= TU(4) — TU(3)=43 – 38=5
MU(5)= TU(5) — TU(4)=45 – 43=2
Найдём общую и предельную полезности товара С.
MU(1)=TU(1)=22
TU(2)=MU(2) + TU(1)=10 + 22=32
MU(3)= TU(3) — TU(2)=39 – 32=7
MU(4)= TU(4) — TU(3)=44 – 39=5
TU(5)=MU(5) + TU(4)=3 + 44=47
Заполним пропуски в таблице:
Задача № 3. Расчёт общей полезности
Предельная полезность первой единицы блага равна 420. При потреблении первых трёх единиц блага предельная полезность каждой последующей единицы уменьшается в 2 раза; предельная полезность каждой последующей единицы блага при дальнейшем потреблении падает в 4 раза. Найти общую полезность блага при условии, что его потребление составляет 8 единиц.
Решение:
Распишем условие задачи следующим образом:
MU(1) = 420,
MU(2) = 420/2=210,
MU(3) = 210/2=105,
MU(4) = 105/4=26,25,
MU(5) = 26,25/4=6,5625,
MU(6) = 6,5625/4=1,640625,
MU(7) = 1,640625/4=0,410156,
MU(8) = 0,410156/4=0,102539.
Найдём общую полезность блага при условии, что его потребление составляет 8 единиц.
TU(8) = MU(8) + TU(7) = MU(8) + MU(7) + TU(6) =…=
= MU(8) + MU(7) + MU(6) + MU(5) + MU(4) + MU(3) + MU(2) + MU(1) =
= 420 + 210 + 105 + 26,25 + 6,5625 + 1,640625 + 0,410156 + 0,102539 = 769,96582
Задача № 4. Расчёт оптимального объёма потребления двух благ
В таблице представлены следующие данные о предельной полезности двух благ.
| Количество, кг | Конфеты | Виноград |
|---|---|---|
| 1 | 60 | 150 |
| 2 | 40 | 120 |
| 3 | 20 | 90 |
Цена 1 кг конфет 80 ден. ед., а цена 1 кг винограда 160 ден. ед.
Бюджет потребителя составляет 400 ден. ед.
Определить оптимальный объём потребления конфет и винограда.
Решение:
Оптимальный объём потребления конфет и винограда достигается тогда, когда отношение предельных полезностей равно отношению цен этих благ.
Среди перечисленных вариантов таким свойством обладает комбинация 2 кг винограда (MUв=120) и 1 кг конфет (MUк=60).
Предельная полезность винограда, разделённая на предельную полезность конфет равна отношению их цен:
Проверим соответствие этой комбинации бюджетному ограничению:
80*1 + 160*2 = 400
Бюджет полностью израсходован.
Задача № 5. Расчёт цен товаров Х и Y
Потребитель покупает 4 единицы блага Х и 9 единиц блага Y, имея доход 100 ден. ед. Найти цены товаров X и Y, если известно, что предельная норма замены товара Y товаром X (MRSxy) равна 4.
Решение:
Предельную норму замены товара Y товаром X(MRSxy) можно определить как отношение цены товара Х к цене товара Y:
Запишем бюджетное ограничение:
100 = 4*Px + 9*Py,
где
Px, Py – цены благ Х и Y соответственно.
Составим и решим систему уравнений:
Задача № 6. Расчёт оптимального объёма потребления
У студента Иванова в холодильнике сыр и колбаса нарезаны для удобства кусочками по 100 г. Общая полезность их потребления представлена в таблице. Определите количество съеденного им в день, если известно, что он в целом употребляет 700 г названных продуктов и при этом добивается максимума полезности.
| Количество, г | Колбаса (общая польза) | Сыр (общая польза) |
| 100 | 2000 | 1900 |
| 200 | 3900 | 3750 |
| 300 | 5700 | 5550 |
| 400 | 7400 | 7300 |
| 500 | 8000 | 9000 |
| 600 | 9500 | 10650 |
Решение:
Рассчитаем предельную полезность от потребления этих двух продуктов.
Предельная полезность в дискретном случае определяется по формуле:
где
ΔTU – приращение общей полезности (TU1 – TU0),
ΔQ – приращение количества потребляемого блага (Q1 – Q0).
Вычисления занесём в таблицу.
| Количество, г | Колбаса (общая польза) | Сыр (общая польза) | Предельная полезность колбасы | Предельная полезность сыра |
| 100 | 2000 | 1900 | 2000 | 1900 |
| 200 | 3900 | 3750 | 1900 | 1850 |
| 300 | 5700 | 5550 | 1800 | 1800 |
| 400 | 7400 | 7300 | 1700 | 1750 |
| 500 | 9000 | 9000 | 1600 | 1700 |
| 600 | 10500 | 10650 | 1500 | 1650 |
Известно, что в целом студент употребляет 700 г колбасы и сыра, то есть всего 7 кусочков, и при этом добивается максимума полезности.
Решение об оптимальном объёме потребления можно представить в виде таблицы, где на каждом шаге будем сравнивать предельную полезность каждого кусочка колбасы и сыра и выбирать наибольшую величину предельной полезности, что в сумме даст их максимум.
Итак, на первом шаге наибольшая предельная полезность, равная 2000 будет получена от потребления 1 кусочка/100 грамм колбасы. Дальше студенту без разницы, что употребить, так как первый кусочек сыра и второй кусочек колбасы приносят одинаковую полезность – 1900. Пусть, например, это будет сначала сыр, а затем колбаса. Но вот на четвёртом шаге наибольшую полезность принесёт второй кусочек сыра. Предельная полезность, полученная от его потребления 1850 больше, чем 1800 – предельная полезность третьего куска колбасы или третьего кусочка сыра. На пятом шаге студенту опять всё равно, что съесть первым, третий кусочек сыра или третий кусочек колбасы, так как полезность от дополнительного потребления этих продуктов одинакова. И наконец, седьмым кусочком должен стать сыр, поскольку предельная полезность четвёртого кусочка сыра (1750), больше чем предельная полезность четвёртого кусочка колбасы (1700).
Общая полезность от потребления 3 кусочков колбасы и 4 кусочков сыра будет максимальной и составит:
TU = 2000 + 1900 + 1900 + 1850 + 1800 + 1800 + 1750 = 13 000
Таким образом, студент Иванов получит максимум полезности при употреблении 3 кусочков (300 грамм) колбасы и 4 кусочков (400 грамм) сыра.
Задача № 7. Расчёт отимального объёма потребления
Определите оптимальный для потребителя объем блага Q, если известно, что функция полезности индивида от обладания этим благом имеет вид:
1) U(Q)= 1 – 5 × Q2
2) U(Q)= 5 + Q – Q2
3) U(Q) = Q2 – 5 × Q3
Как будут выглядеть функции предельной полезности? Проиллюстрируйте ответ.
Решение:
Оптимальный для потребителя объем блага Q будет определяться в точке, где потребитель получит максимум удовлетворения полезности. Задача сводится к нахождению экстремума функции полезности. Найдём производную функции полезности (предельную полезность MU) и приравняем её к нулю.
1) MU = –10 × Q = 0, следовательно, Q = 0;
2) MU = 1 – 2 × Q = 0, следовательно, Q = 1/2;
3) MU = 2 × Q – 15 × Q2 = 0, следовательно, Q = 0; Q = 2/15.
Задача № 8. Расчёт цен товаров X и Y
Индивид покупает 4 единицы блага X и 9 единиц блага Y, имея доход равный 100 денежным единицам. Найти цены товаров X и Y, если известно, что предельная норма замены X на Y равна 4.
Решение:
По условию задачи предельная норма замены благом Y блага X () равно 4. Это значит, что количество блага Х должно быть сокращено на 4 единицы в обмен на увеличение количества блага Y на единицу, при неизменном уровне удовлетворения потребителя.
Равновесие потребителя может быть представлено математически как:
— это предельная норма замещения, равная отношению цен благ Y и X. Данное условие оптимума потребителя следует понимать так. Соотношение, в котором потребитель при данных ценах способен замещать один товар другим, равно соотношению, в котором потребитель согласен замещать один товар другим, не изменяя уровень своего удовлетворения.
Отсюда
Далее воспользуемся формулой бюджетного ограничения:
где I – доход или бюджет потребителя.
100 = 4 × PX + 9 × PY
100 = 4 × PX + 9 × 4 × PX
100 = 40 × PX
PX = 2,5
PY = 4 × 2,5 = 10.
Ответ: PX = 2,5; PY = 10.
Задача № 9. Определение рационального выбора потребителя
Потребитель имеет функцию полезности:
и может на свой доход равный 100 единицам приобретать только эти два товара по ценам:
Px = 2
Py = 5
Определить рациональный выбор потребителя. Какой максимальный уровень полезности достижим?
Решение:
Рациональный выбор потребителя осуществляется в соответствии со вторым законом Госсена:
Предельная полезность товара х будет равна производной функции общей полезности по аргументу х:
Аналогично находим предельную полезность товара y:
Далее воспользуемся бюджетным ограничением:
Из условия задачи известно, что:
I = 100
Px = 2
Py = 5
Составим и решим систему уравнений:
При х = 25 и у = 10 общая полезность достигнет максимума:
Задача № 10. Расчёт оптимального объёма потребления
У Оксаны есть 30 рублей. Она хочет купить шоколадки «Шок» ценой 3 р. Полезность от этой покупки она оценивает функцией:
х – приобретённое количество шоколадок,
y – оставшаяся часть дохода.
Сколько купит шоколадок «Шок» рациональная Оксана?
Решение:
Рациональное поведение потребителя можно определить, как стремление максимизировать излишек потребителя. Потребитель будет покупать дополнительные единицы до тех пор, пока они приносят дополнительный избыток, т.е. пока цена, которую потребитель готов уплатить за единицу блага, превосходит реальную цену:
MU > P
Однако каждая последующая единица потребления обычно приносит уменьшающийся прирост полезности, т.е. при покупке благ «одно за другим» рано или поздно предельная полезность какого-то блага сравняется с его ценой:
MU = P
После того как предельная полезность сравняется с ценой, потребитель прекратит дальнейшие покупки: оптимальный объём потребления достигнут.
Найдём предельную полезность MU, как производную функции общей полезности по аргументу х:
Оптимальный объём потребления будет достигнут при МU = P:
Таким образом, рациональная Оксана купит 4 шоколадки, потратив на эту покупку 12 рублей.