Как найти фурье спектр - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Практическое применение преобразования Фурье для анализа сигналов. Введение для начинающих

Время на прочтение
9 мин

Количество просмотров 256K

1. Преобразование Фурье и спектр сигнала

Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты — N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который ~~утянул из инета~~ написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).

Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:

рис.1 График временной функции сигнала

рис.2 График спектра сигнала

На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц — с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.

Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.

Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.

С математической точки зрения — сколько ошибок в этой фразе?

Теперь

~~начальство решило~~

мы решили, что 5 секунд — это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.

рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек

рис.4 Спектр функции

Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…

Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.

рис.5 Добили нулей до 5 сек

рис.6 Получили спектр

Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию — источник знаний.

2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье

Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае — время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:

(1), где:

k — номер тригонометрической функции ( номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T — отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak — амплитуда k-ой гармонической составляющей,
θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей

Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.

(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье.)

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

или

(3)

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

${A_k}=sqrt{a_k^2+b_k^2}$

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид иили косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T2, +T2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

Наша исходная функция — непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции — дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих — ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.

Далее.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= кТ, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1T; к=2 F2=2T; к=3 F3=3T;… Fk= кТ (при нулевой частоте — постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц — надо увеличить длительность измерения в 2 раза — до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал — N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) ( Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) — частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. (( Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd — частота дискретизации; Fмакс — максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты — это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты — фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр — ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имеется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 — половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 — это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того — науке это неизвестно. И в нашем случае — неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Использованные материалы и другие полезные материалы.

FourierScope — программа для построения радио сигналов и их спектрального анализа.
Graph — программа с открытым кодом, предназначенная для построения математических графиков.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ – КАК ЭТО ДЕЛАЕТСЯ
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Источник

Преобразование Фурье – одно из базовых понятий в обработке сигналов и анализе данных. Но что оно означает? Геометрическая интерпретация.

Возьмём классическую задачу – работу со звуком. Теперь добавим конкретики.

Ваш друг приносит запись своего живого выступления. И это очень удачное выступление. Но! Хотя запись делали на хороший микрофон, в ней всё равно присутствует шум. Друг просит помочь убрать его или хотя бы уменьшить.

Здесь и пригодится знание преобразования Фурье.

Что такое звук в математическом смысле?

Отдельная нота – это гармонический сигнал с определённой частотой и амплитудой.

Как правило, мелодию, речь или иной звуковой сигнал можно представить как сумму гармонических сигналов. Шумом в таком случае мы называем слагаемые, соответствующие любым нежелательным звукам.

Преобразование Фурье позволяет разложить исходный сигнал на гармонические составляющие, что потребуется для выделения шумов.

Запишем определение:

Здесь g(t) – это исходный сигнал (в нашем случае запись друга). В контексте преобразования Фурье его называют оригиналом. G(f) – изображение по Фурье, а параметром f выступает частота.

Возможно, вам уже знакомо это определение. Но знаете ли вы, как происходит это преобразование? Если бы увидели его впервые, поняли бы, как с его помощью анализировать исходный сигнал?

Геометрическая интерпретация преобразования Фурье

Грант Сандерсон предлагает геометрический аналог преобразования Фурье. За несколько графических переходов от исходного сигнала к изображению каждая из компонент определения обретает смысл, а само преобразование получает новое геометрическое прочтение.

В дальнейшем обсуждении предполагается, что вы знакомы с векторами, интегрированием и понятием комплексного числа. Если каких-то знаний вам всё-таки не хватает, ознакомьтесь с материалами из нашей подборки по вузовской математике.

1. Наматываем сигнал

Давайте начнём с самого простого случая. Рассмотрим гармонический сигнал, совершающий 3 колебания в секунду (f₀ = 3с^-1):

g(t) = 1 + cos (6πt).

Отобразим g(t) на комплексную плоскость. Для этого введём радиус-вектор, который равномерно вращается по часовой стрелке. Его длина в каждый момент времени равна модулю значения сигнала, а частота вращения выбирается произвольным образом.

Теперь построим траекторию движения конца вектора, совершающего полный оборот за две секунды, или, другими словами, с частотой вращения f_В = 0.5 об/с.

Выглядит, будто мы намотали исходный сигнал на начало координат. В минимумах сигнала полученная «намотка» сливается с началом координат, а при приближении к максимумам – отклоняется.

Пока выглядит не особо информативно, не так ли?

А теперь увеличим частоты намотки.

Сначала график распределяется довольно симметрично относительно начала координат до частоты вращения f_В = 3 об/с. Затем максимумы резко смещаются в правую полуплоскость, а намотка перестаёт напоминать узор спирографа.

2. Ищем центр масс

Посмотрим внимательнее, что происходит. В качестве характеристики намотки возьмём усреднённое значение всех её точек – центр масс (отметим его оранжевым цветом).

Строим зависимость положения центра масс от частоты намотки. Сейчас нам достаточно рассмотреть х-кординату, но в дальнейшем для определения преобразования Фурье потребуются обе координаты.

Мы видим два пика: в точках f_В = 0 об/с и f_В = 3 об/с. На основании такого поведения центра масс уже можно судить о частоте исходного сигнала (он колеблется с f = 3с^-1).

Тогда что означает всплеск на низких частотах?

3. Анализируем влияние смещения

Возможно, вы обратили внимание, что рассматриваемый нами сигнал смещён на единицу. Сдвиг был введён для наглядности, но именно он приводит к усложнению поведения центра масс.

При нулевой частоте всё отображение сигнала на комплексной плоскости располагается на оси абсцисс. На малых частотах намотка по-прежнему группируется в правой полуплоскости.

Как только мы убираем сдвиг, т. е. берём сигнал вида g(t) = cos (6πt), намотка при низких частотах сдвигается влево по оси абсцисс.

Построение радиус-вектора остаётся аналогичным. Его длина равна модулю значения сигнала, направление вращения – положительное. Но при смене знака g(t) направление вектора меняется на противоположное.

Сейчас вы увидите, как меняется намотка и х-координата центра масс несмещённого сигнала.

Таким образом, на графике остался только один резкий скачок.

Это важный момент при использовании преобразования Фурье: линейный тренд и смещение проявляются на низких частотах, потому их исключают из исходного сигнала.

4. Выделяем частоты полигармонического сигнала

Теперь рассмотрим сумму двух гармонических сигналов с частотой колебаний f₁ = 2 с^-1 и f₂ = 3 с^-1. Проделаем с ней те же операции – «намотаем» возле начала координат, и, меняя частоту вращения, построим график х-координаты центра масс.

Мы наблюдаем два пика в точках f_В = 2 об/с и f_В = 3 об/с, что соответствует частотному составу исходной суммы.

Отметим ещё один интересный факт, верный как для х-координаты, так и для преобразования Фурье. Преобразование для суммы сигналов и сумма преобразований сигналов имеют один и тот же вид. Т. е. преобразование Фурье линейно.

Таким образом, этот подход позволяет определить частоту колебаний как моно-, так и полигармонического сигнала. Осталось математически описать процедуру вычисления центра масс намотки.

Вывод преобразования Фурье

В самом начале рассмотрения мы отобразили исходный сигнал на комплексную плоскость. Такой выбор не случаен – это позволяет рассматривать точки на плоскости как комплексные числа и использовать формулу Эйлера для описания намотки:

e^iφ=cos(φ)+i·sin(φ).

Геометрически это соотношение означает, что при любом φ точка e^iφ на комплексной плоскости лежит на единичной окружности.

Построим радиус-вектор e^iφ при разных значениях φ.

При изменении φ на 2π вектор проходит полный оборот против часовой стрелки, так как 2π – длина единичной окружности. Чтобы задать скорость вращения вектора, показатель степени домножаем на ft, а для смены направления вращения – на -1.

Тогда намотка сигнала g(t) описывается как g(t)e^-2π^ift.

Теперь вычисляем центр масс. Для этого отметим N произвольных точек на графике намотки и вычислим среднее:

Если мы будем увеличивать количество рассматриваемых точек, придём к предельному случаю:

где t₁ и t₂ – границы интервала, на котором рассматривается сигнал.

Выражение перед интегралом представляет собой масштабирующий коэффициент, но не отражает поведение центра масс. Потому его можно отбросить.

Полученное выражение и будет являться преобразованием Фурье с той разницей, что в общем виде интегрирование задаётся на интервале от -∞ до +∞.

Такой переход к бесконечному интервалу означает, что мы не накладываем никаких ограничений на длительность рассматриваемого сигнала.

Применение преобразования Фурье для фильтрации

Теперь, говоря о преобразовании Фурье, вы можете представлять его геометрическую интерпретацию – намотку сигнала на комплексную плоскость и вычисление центр масс.

При этом частота намотки f становится входным параметром для изображения по Фурье. Центр масс выступает оценкой, насколько хорошо соотносится (коррелирует) параметр f с присутствующими в сигнале частотами.

После того, как вы найдёте в принесённой другом записи все частотные компоненты, вам останется только вычесть их из изображения и применить обратное преобразование Фурье.

Мы что-то упустили? Напишите об этом в комментариях

Источник

Интеграл Фурье
Комплексная форма интеграла Фурье
Преобразование Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье
Косинус- и синус-преобразования Фурье
Амплитудный и фазовый спектры интеграла Фурье
Свойства преобразования Фурье
Приложения преобразования Фурье
Понятие о многомерном преобразовании Фурье
Дополнение к преобразованию Фурье

Одним из мощных средств исследования задач математической физики является метод интегральных преобразований.

Пусть функция f(x) задана на интервале (а, 6), конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции f(х) называется функция (*)

где К(х, w) — фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования (предполагается, что интеграл (*) существует в собственном или несобственном смысле).

Интеграл Фурье

Всякая функция f(x), которая на отрезке [— l, l] удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом (1)

Коэффициенты аn и bn ряда (1) определяются по формулам Эйлера—Фурье:
(2)

Ряд в правой части равенства (1) можно записать в иной форме. С этой целью внесем в него из формул (2) значения коэффициентов аn и bn, подведем под знаки интегралов cos х и sin х (что возможно, поскольку переменной интегрирования является τ) и используем формулу для косинуса разности. Будем иметь
(3)

Если функция f(x) первоначально была определена на интервале числовой оси, большем, чем отрезок [-l, l] (например, на всей оси), то разложение (3) воспроизведет значения этой функции только на отрезке [-l, l] и продолжит ее на всю числовую ось как периодическую функцию с периодом 2l (рис. 1).

Поэтому, если функция f(x) (вообще говоря, непериодическая) определена на всей числовой оси, в формуле (3) можно попытаться перейти к пределу при l → +∞. При этом естественно потребовать выполнения следующих условий:

1, f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье на любом конечном отрезке оси Ох;

2. функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси,

При выполнении условия 2 первое слагаемое правой части равенства (3) при l → +∞ стремится к нулю. В самом деле,

Попытаемся установить, во что перейдет в пределе при l → +∞ сумма в правой части (3). Положим

так, что . Тогда сумма в правой части (3) примет вид

В силу абсолютной сходимости интеграла эта сумма при больших l мало отличается от выражения

которое напоминает интегральную сумму для функции переменного ξ

составленную для интервала (0, + ∞) изменения Поэтому естественно ожидать, что при l → +∞ ( → 0) сумма (5) перейдет в интеграл

С другой стороны, при l → +∞ (х фиксировано) из формулы (3) вытекает, что

и мы получаем равенство
(7)

Достаточное условие справедливости формулы (7) выражается следующей теоремой.

Теорема:

Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси — ∞ < х < + ∞ и имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке [а, b], то справедливо равенство

При этом во всякой точке xq, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции f(x), значение интеграла в правой части (7) равно

j [/(^о — 0) + f(xo + 0)].

Формулу (7) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл — интегралам Фурье.

Если воспользоваться формулой для косинуса разности, то формулу (7) можно записать в виде (8)

где

Функции а( ξ ), b( ξ ) являются аналогами соответствующих коэффициентов Фурье an и bn 2π-периодической функции, но последние определены для дискретных значений п, в то время как а( ξ ), b( ξ ) определены для непрерывных значений ξ ∈ (— ∞, + ∞).

Комплексная форма интеграла Фурье

Предполагая f(x) абсолютно интегрируемой на всей оси Ох, рассмотрим интеграл

Этот интеграл равномерно сходится для — ∞ < ξ < + ∞, так как

и потому представляет собой непрерывную и, очевидно, нечетную функцию от ξ. Но тогда

С другой стороны, интеграл

есть четная функция переменной так что

Поэтому интегральную формулу Фурье можно записать так:

Умножим равенство

на мнимую единицу i и прибавим к равенству (10). Получим

откуда, в силу формулы Эйлера (= cos φ + i sin φ), будем иметь
(11)

Это — комплексная форма интеграла Фурье. Здесь внешнее интегрирование по ξ понимается в смысле главного значения по Коши:

Преобразование Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье

Пусть функция f(x) является кусочно-гладкой на любом конечном отрезке оси Ох и абсолютно интегрируема на всей оси.

Определение:

Функция

называется преобразованием Фурье функции f(x) (спектральной функцией).

Это — интегральное преобразование функции f(x) на интервале (- ∞ ,+ ∞) с ядром

Используя интегральную формулу Фурье

получаем
(2)

Это так называемое обратное преобразование Фурье, дающее переход от F( ξ ) к f(x). Иногда прямое преобразование Фурье задают так:

Тогда обратное преобразование Фурье определится формулой

Преобразование Фурье F( ξ ) функции f(х) определяют также следующим образом:

Тогда, в свою очередь,

При этом положение множителя достаточно произвольно: он может входить либо в формулу (1″), либо в формулу (2″).

Пример:

Найти преобразование Фурье функции

Имеем

Это равенство допускает дифференцирование по ξ под знаком интеграла (получающийся после дифференцирования интеграл равномерно сходится, когда ξ принадлежит любому конечному отрезку):

Интегрируя по частям, будем иметь

Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль, и мы получаем

откуда

(С — постоянная интегрирования). Полагая в (4) ξ = 0, найдем С —F(0). В силу (3) имеем

Таким образом,

В частности, для

получаем, что

Пример:

Разряд конденсатора через сопротивление. Рассмотрим функцию

Для спектральной функции F( ξ ) получаем

(рис. 2).

Условие абсолютной интегрируемости функции f(x) на всей числовой оси является весьма жестким. Оно исключает, например, такие элементарные функции, как f(x) = 1. f(x) = x³, f(х) = cosx, f(х) = е^х, для которых преобразования Фурье (в рассматриваемой здесь классической форме) не существует.

Фурье-образ имеют только те функции, которые достаточно быстро стремятся к нулю при |х| → + ∞ (как в примерах 1 и 2).

Косинус- и синус-преобразования Фурье

Используя формулу косинуса, разности, перепишем интегральную формулу Фурье

в следующем виде:

Пусть f(x) — четная функция. Тогда

так что из равенства (5) имеем
(6)

В случае нечетной f(x) аналогично получаем
(7)

Если f(х) задана лишь на (0, + ∞), то формула (6) продолжает f(x) на всю ось Ох четным образом, а формула (7) — нечетным.

Определение:

Функция

называется косинус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (6) следует, что для четной функции f(x)

Это означает, что f(x), в свою очередь, является косинус-преобразованием для Fc( ξ ). Иными словами, функции f и Fc являются взаимными косинус-преобразованиями.

Определение:

Функция

называется синус-преобразованием Фурье функции f(x).
Из (7) получаем, что для нечетной функции f(х)

т.е. f и Fs являются взаимными синус-преобразованиями.

Пример:

Прямоугольный импульс. Пусть f(t) — четнaя функция, определенная следующим образом:

Воспользуемся полученным результатом для вычисления интеграла

В силу формулы (9) имеем

В точке t = 0 функция f(t) непрерывна и равна единице.

Поэтому из (12′) получим

Амплитудный и фазовый спектры интеграла Фурье

Пусть периодическая с периодом 2π функция f(х) разлагается в ряд Фурье

Это равенство можно записать в виде

где Cn = — амплитуда колебания с частотой п, φn — фаза. На этом пути мы приходим к понятиям амплитудного и фазового спектров периодической функции.

Для непериодической функции f(x), заданной на (- ∞, + ∞), при определенных условиях оказывается возможным представить ее интегралом Фурье

осуществляющим разложение этой функции по всем частотам 0 < ξ < + ∞ (разложение по непрерывному спектру частот).

Определение:

Спектральной функцией, или спектральной плотностью интеграла Фурье, называется выражение

(прямое преобразование Фурье функции f(х)).

Функция

называется амплитудным спектром, а функция

(0 — фазовым спектром функции f(x).

Амплитудный спектр A (ξ) служит мерой вклада частоты ξ в функцию f(х).

Пример:

Найти амплитудный и фазовый спектры функции

Находим спектральную функцию

Отсюда

Графики этих функций изображены на рис. 4.

Свойства преобразования Фурье

1, Линейность. Если F( ξ ) и G( ξ ) — преобразования Фурье функций f(х) и g(х) соответственно, то при любых постоянных а и β преобразованием Фурье функции а f(х) + β g(х) будет функция a F( ξ ) + βG( ξ ).

Пользуясь свойством линейности интеграла, имеем

Таким образом, преобразование Фурье есть линейный оператор. Обозначая его через будем писать

Если F( ξ ) есть преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции f(х), то F( ξ ) ограничена при всех ξ ∈ (— ∞, + ∞).

Пусть функция f(х) абсолютно интегрируема на всей оси — ∞ < х < + ∞,

— преобразование Фурье функции f(х). Тогда

Задача:

Пусть f(x) — функция, допускающая преобразование Фурье, h — действительное число. Функция fh(x) = f(x-h) называется сдвигом функции f(x). Пользуясь определением преобразования Фурье, показать, что

Задача:

Пусть функция f(x) имеет преобразование Фурье F( ξ ), h — действительное число. Показать, что

3. Преобразование Фурье и операция дифференцирования. Пусть абсолютно интегрируемая функция f(х) имеет производную f'(х), также абсолютно интегрируемую на всей оси Ох, так что f(х) стремится к нулю при |х| —► + ∞. Считая f'(х) гладкой функцией, запишем

Интегрируя по частям, будем иметь

Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль (так как f(х) → 0 при |х| → + ∞), и мы получаем (1)

Таким образом, дифференцированию функции f(х) отвечает умножение ее образа Фурье [f] на множитель iξ.

Если функция f(х) имеет гладкие абсолютно интегрируемые производные до порядка m включительно и все они, как и сама функция f(х), стремятся к нулю при |x| → + ∞, то, интегрируя по частям нужное число раз, получим

Преобразование Фурье очень полезно именно потому, что оно заменяет операцию дифференцирования операцией умножения на величину iξ и тем самым упрощает задачу интегрирования некоторых видов дифференциальных уравнений.

Так как преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции есть ограниченная функция от ξ (свойство 2), то из соотношения (2) получаем для [f] следующую оценку:

Из этой оценки следует: чем больше функция f(х) имеет абсолютно интегрируемых производных, тем быстрее ее преобразование Фурье стремится к нулю при | ξ | → + ∞.

Замечание:

Условие является достаточно естественным, поскольку обычная теория интегралов Фурье имеет дело с процессами, которые в том или ином смысле имеют начало и конец, но не продолжаются неограниченно с примерно одинаковой интенсивностью.

4. Связь между скоростью убывания функции f(x) при |х| → + ∞ и гладкостью ее преобразования Фурье. Предположим, что не только f(x), но и ее произведение хf(х) является абсолютно интегрируемой функцией на всей оси Ох. Тогда преобразование Фурье

функции f(x) будет дифференцируемой функцией.

Действительно, формальное дифференцирование по параметру ξ подынтегральной функции приводит к интегралу

который является абсолютно и равномерно сходящимся относительно параметра Следовательно, дифференцирование возможно, и

Таким образом,

т. е. операция умножения f(х) на аргумент х переходит после преобразования Фурье в операцию

Если вместе с функцией f(х) абсолютно интегрируемыми на всей оси Ох являются функции хf(х)…..х^mf(х), то процесс дифференцирования можно продолжить.

Получим, что функция F( ξ ) = [f(х)] имеет производные до порядка m включительно, причем

Таким образом, чем быстрее функция f(х) убывает при |х| → + ∞, тем более гладкой получается функция F( ξ ) = [f(х)].

Теорема:

О свертке. Пусть F1( ξ ) и F2( ξ ) — преобразования Фурье функций f1(x) и f2(x) соответственно. Тогда

причем двойной интеграл в правой части сходится абсолютно.

Положим х + у = т, так что у = т — х. Тогда будем иметь

или, меняя порядок интегрирования,

называется сверткой функций f(x) и f2(x) и обозначается символом . Формула (1) может быть теперь записана так:

Отсюда видно, что преобразование Фурье свертки функций f1(x) и f2(x) равно умноженному на произведению преобразований Фурье свертываемых функций,

Замечание:

Нетрудно установить следующие свойства свертки:

1) линейность:

2) коммутативность:

Приложения преобразования Фурье

1, Пусть — линейный дифференциальный оператор порядка m с постоянными коэффициентами,

(аo, a1,… ,ат = const). Используя формулу для преобразования Фурье производных функции у(х), находим

Рассмотрим дифференциальное уравнение

где — введенный выше дифференциальный оператор.

Предположим, что искомое решение у(х) имеет преобразование Фурье y(ξ), а функция f(x) имеет преобразование f( ξ ). Применяя преобразование Фурье к уравнению (1), получим вместо дифференциального алгебраическое уравнение на оси Oξ относительно y(ξ)

так что формально

где символ обозначает обратное преобразование Фурье.

Основное ограничение применимости этого метода связано со следующим фактом. Решение обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами содержит функции вида

Они не являются абсолютно интегрируемыми на оси — ∞ < х < + ∞, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применять данный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме.

Пример:

Найти решение u = u(x,t) уравнения

(а = const), при начальных условиях

Это — задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение φ(х) точек струны, а начальные скорости отсутствуют.

Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от — ∞ до + ∞, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что

1) функции u(z, t) и φ(x) — достаточно гладкие и стремятся к нулю при х → + ∞ и ∀t ≥ О настолько быстро, что существуют преобразования Фурье

2) допустимы операции дифференцирования, так что

Умножая обе части (2) на и интегрируя по x от — ∞ до + ∞, получим

а из начальных условий (3) найдем

Таким образом, применяя к задаче (2)-(3) преобразование Фурье, приходим к задаче Коши (8)—(10) для обыкновенного дифференциального уравнения, где ξ — параметр. Решением уравнения (8) является функция

Из условий (9) и (10) находим, что С1( ξ ) = φ( ξ ). C2( ξ ) = 0, так что v( ξ, t) = φ( ξ )cos aξt. Применяя обратное преобразование Фурье, получим

Это частный случай формулы Даламбера решения задачи (2)-(3).

2. Преобразование Фурье может быть использовано при решении некоторых интегральных уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла.

Рассмотрим, например, уравнение