Как найти гамма угла

Светило науки — 55 ответов — 0 раз оказано помощи

Я точно не уверен, но попробуй. т.к. угол 60 градусов вписанный, значит дуга будет равна 120 градусам. угол 15 градусов опирается на 1 из опор угла 60 градусов, значит угол гамма будет равен 120 — 30= 90, но надо еще поделить на 2, т.к. это вписанный угол. следовательно угол гамма равен 45 градусам

Если вам приходилось часто ездить по междугородним маршрутам, вполне вероятно, что вы встречали по пути вот это — знак крутого уклона. Водителю он сообщает: «Осторожно! Дорога далее идет под углом». Углы — интересный объект нашего быта. Углы в геометрии — объект не менее интересный, поскольку они одновременно наследуют ряд свойств уже привычных нам фигур: точек и лучей.

Впереди вас ждет раздел, всецело посвященный изучению данной геометрической фигуры и ее особенностей.  

Луч и угол

Согните свою руку так, будто бы бравируете перед кем-то мускулами. Если рассмотреть полученную в результате фигуру «Мистер Мускул» геометрически, она будет состоять из точки перегиба (локтевого сустава) и двух линий (прямых предплечья и плеча).

Остановимся на прямых и точках. Начертим на плоскости два луча $AB$ и $AB_1$ так, что $ABcap{AB_1}=A$. Фигура, получившаяся на чертеже ниже, будет называться углом. Видим, что луч и угол взаимосвязаны: углы в геометрии состоят из лучей и точки, общей для этих лучей.

Дадим определение:

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной начальной точки.

Рассматривать углы в геометрии можно как составную или как в некотором роде «единую» фигуру. Определение, приведенное выше, задает составное понимание фигуры в связке «луч и угол»: луч, еще один луч, точка. Также данную фигуру можно рассмотреть в совокупности. В этом случае лучи будут называться боковыми сторонами, а начальная точка — вершиной угла.

Угол представляет для нас больший интерес в качестве совокупной фигуры. Изучать его мы будем именно из позиции «вкупе». Однако не забывайте, что любой угол всегда раскладывается на лучи и точку.

Обозначение угла

Существует несколько вариантов того, как в математической нотации дается обозначение угла. Все варианты объединяет использование символа «$textcolor{coral}{angle}$», — этому символу, кстати, больше четырехсот лет. Примечательно, что первая его версия от 1634 года напоминала знак неравенства «$<$». Символ указывается перед буквенным обозначением и показывает, что далее речь пойдет о фигуре «угол».

Обозначение угла через вершину

Обозначить углы в геометрии можно с помощью всего лишь одной буквы — той, что определяет точку вершины. Рассмотрим чертеж, где точка $A$ является вершиной. Данный угол обозначается как $angle{A}.$

Обозначение угла строчными греческими буквами

Дабы избежать неопределенности, на чертеж иногда наносят отдельную букву. Исторически сложилось, что букву эту выбирают из греческого алфавита строчного регистра.

На представленном чертеже примером такого обозначения будет «$angle{alpha}$».

Обозначение угла с помощью направляющих точек

Вспомним, что луч можно обозначать не только с помощью начальной, но и направляющей точки. Рассмотрим лучи, пересекающиеся в точке $A$: $ABcap{AC}=A$. Направляющими точками лучей являются точки $B$ и $C$.

Обозначаться данный угол будет как $angle{CAB}$. Порядок наоборот также допустим: $angle{BAC}$.

При способе обозначения «три точки» точка, указанная посередине, всегда является вершиной угла, а боковые буквы в записи являются точками, лежащими на сторонах угла.

Обозначение угла прямыми

Последний способ, наименее распространенный, — использовать прямые для обозначения угла. Луч является частью прямой, и если на чертеже имеется дополнительное буквенное указание прямых, их можно записать в порядке против часовой стрелки через скобки. Например, $angle{(ab)}$.

Как и с точками, вариант «наоборот» допустим — $angle{ba}$.

Дополнительно об обозначении углов

Скрыть содержимое

Углы в геометрии: внешняя сторона угла

Угол образует на плоскости две области — внутреннюю область и внешнюю. Определяя углы в геометрии, мы, как правило, оцениваем фигуру, полученную во внутренней области. Однако стороны угла можно рассматривать как для внутренней области, так и для внешней. С учетом, что существует так называемая внешняя сторона угла, лучи соответственно образуют два угла: внутренний и наружный.

Параллельное по тексту обозначение и внутреннего, и наружного углов часто сопряжено с проблемой неоднозначности. Решить ее можно двумя способами — простым и не очень простым. Если вы ознакомились с содержанием скрытого блока о методе пальцев, предлагаем также ознакомиться с не очень простой альтернативой ниже.

• Простой. Наносить на чертеж буквенное обозначение углов ($alpha$, $beta$, $gamma$). Скажем, если внутренний угол обозначить как «$angle{theta}$», соответствующий наружный удобно обозначить как «$angle{theta_1}$».

Альтернативный способ

Скрыть содержимое

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор	Сообщение
flamewow	Заголовок сообщения: Найти Углы альфа,бета и гамма Добавлено: 23 апр 2013, 18:41
Начинающий Зарегистрирован: 23 апр 2013, 18:31 Сообщений: 3 Cпасибо сказано: 0 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1	даны длины отрезков(подписаны) a,b,c так же дана длина до точки (подписана) r необходимо найти углы Альфа, Бета, Гамма в общем виде(то есть для произвольных длин a,b,c и расстояния до точки r) P.S. : альфа — угол между осью абсцисс и прямой a Вложение: cin.jpg [ 25.23 Кб | Просмотров: 97 ]
Вернуться к началу

flamewow	Заголовок сообщения: Re: Найти Углы альфа,бета и гамма Добавлено: 23 апр 2013, 20:39
	забыл добавить, так же известны координаты точки Х и У. Вложения: cin.jpg [ 28.43 Кб | Просмотров: 78 ]
Вернуться к началу

flamewow	Заголовок сообщения: Re: Найти Углы альфа,бета и гамма Добавлено: 29 апр 2013, 09:51
	подразумевается, как найти группы решения, тут же не одно только будет, что б добраться до данной точки можно выбирать разные комбинации углов ( будет «дуга» выгнута вниз, а не вверх, например) мне и нужно в общем виде, что б найти эти группы решения
Вернуться к началу

Андрей Андреев, Полина Ачева, Алексей Панов
«Квантик» №12, 2020

В школьной геометрии угол — это фигура, состоящая из двух лучей, выходящих из одной точки (рис. 1). Эта точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол разбивает плоскость на две части: на рисунке 2 они окрашены в зелёный и жёлтый цвет. Эти части называются плоскими углами.

Измерить угол можно обычным транспортиром, который размечен в градусах от 0° до 180° (рис. 3, слева).

Плоские углы удобно измерять круговым транспортиром, размеченным от 0° до 360° (рис. 3, справа). Конечно, для научных и технических измерений углов нужны более точные приборы: например, такие, как на рисунке 4. Слева там изображён один из астрономических инструментов Тихо Браге, с которым он проводил свои высокоточные наблюдения. Результаты этих наблюдений позволили Кеплеру вывести законы движения планет. Справа — современный электронный теодолит, используемый в геодезии.

А можно ли измерять углы, не применяя вообще никаких инструментов?

«Ручное измерение» углов. Об этом методе мы прочли в книге «Музыка сфер. Математика и астрономия», написанной Розой Марией Рос. Цитируем:

…Существует очень простой, хотя и не слишком точный, способ измерения углов вручную. Если мы вытянем руку перед собой, то растопыренная ладонь будет указывать интервал в 20°, кулак — 10°, большой палец — 2°, мизинец — 1°. Этот способ могут использовать и взрослые, и дети, так как размеры ладони человека увеличиваются пропорционально длине его руки.

Поясним сказанное. Пусть мы наблюдаем за двумя звёздами, расположенными на небе недалеко друг от друга. Направление взгляда на каждую из них задаёт луч. Угол между этими двумя лучами (с вершиной в глазу наблюдателя) мы и хотим измерить. Его величина называется угловым расстоянием между звёздами. Вытянем правую руку с растопыренной ладонью, как на рисунке 5 справа. Если кончик большого пальца закрывает одну звезду, а кончик мизинца — другую, угловое расстояние между звёздами можно оценить в 20°. Прикладывая ладони друг к другу, можно измерять углы до 40° (рис. 5, справа внизу).

Напомним: в направлении Мерак → Дубхе расположена Полярная звезда, указывающая путь на север.

Решив задачи, вы сможете проверить себя, так как известно, что расстояние Дубхе — Полярная звезда примерно в 5 раз больше расстояния Мерак — Дубхе.

Конечно, ручное измерение углов не позволяет добиться хорошей точности. Сейчас мы опишем бесприборный метод измерения углов, позволяющий проводить измерения со сколь угодно высокой точностью. Начнём с нескольких экспериментов.

Эксперименты с треугольниками: «60°» ≠ 60°. Мы купили несколько одинаковых треугольников, как на рисунке 7. Углы этого треугольника по стандарту должны быть равны 30°, 60° и 90°, но мы хотим проверить, так ли это на самом деле. Начнём со среднего по величине из этих углов, обозначив его α. Итак, верно ли, что α = 60°?

Эксперимент № 1: поворачиваем треугольники. Выложим на плоскость один за другим шесть треугольников, как на рисунке 8: каждый получен из соседнего поворотом на угол α.

Видно, что первый и последний треугольники не сомкнулись, и это означает, что в сумме шесть одинаковых углов α дают меньше 360°, то есть 6α < 360° и, значит, α < 60°. Выходит, мы купили дефектные треугольники.

На рисунке 8 также видно, что в промежуток между первым и последним треугольником ещё один такой же треугольник никак не поместится. Это говорит о том, что в сумме семь одинаковых углов α больше 360°, то есть 7α > 360°, откуда α > 360°/7. Объединим полученные два неравенства и запишем их в виде

( frac{360°}{7} < α < frac{360°}{6}.)

Эксперимент № 2: переворачиваем треугольники. На рисунке 9 представлен другой способ выкладывания треугольников. Каждый треугольник получается из соседнего переворотом вокруг их общей стороны на 180°. Этот способ даёт такую же оценку измеряемого угла, но он будет удобнее для нас в дальнейшем.

Практический совет: чтобы треугольники не смещались при малейшем прикосновении, не укладывайте их на скользкую поверхность. На видео мы воспользовались оборотной стороной коврика для ванной: она сделана из материала, не скользящего даже по влажному гладкому полу ванной комнаты, и идеально подходит для наших экспериментов.

Уменьшаем число треугольников, увеличиваем точность измерения. Первое усовершенствование: будем использовать единственный экземпляр треугольника. Опять обозначим один из его углов через α. Нарисуем на плоскости луч и совместим вершину угла с вершиной луча, а одну из сторон угла направим вдоль луча, как на рисунке 7. Перевернём треугольник вокруг другой стороны угла (не лежащей на луче). Потом перевернём треугольник вокруг другой стороны угла, опять перевернём и т. д., пока максимально не приблизимся к нарисованному лучу. Так мы определим максимальное k, для которого kα < 360° и при этом (k + 1)α > 360°, то есть

( frac{360°}{k+1} < α < frac{360°}{k}.)

На видео показан новый процесс измерения для уже знакомого треугольника с углом, близким к 60°, где k получилось равным 6.

Следующая цель — максимально увеличить точность оценки угла. Понятно, что, делая наши перевороты треугольника, совсем не обязательно останавливаться перед начальным лучом. Можно сделать ещё один или даже несколько полных оборотов вокруг начальной точки луча! Пусть n — общее число сделанных оборотов, k — экспериментально полученное нами число, такое, что kα < n · 360° и одновременно (k + 1)α > n · 360°. Тогда выполняется двойное неравенство:

( frac{n·360°}{k+1} < α < frac{n·360°}{k}.)

С увеличением n дроби, стоящие слева и справа, сближаются, и угол α определяется всё точнее — и безо всяких приборов!

Как выглядит это измерение для n = 3 и нашего треугольника, вы можете посмотреть на видео, там k оказалось равным 18. Мы провели измерения для n = 1, 2, …, 8 и для каждого n нашли соответствующее k. Результаты см. в таблице.

Судя по последней строке, 57,6° < α < 58,8°. Но можно поступить чуть хитрее и заменить значение 57,6° стоящим над ним в седьмой строке 58,6°, получив гораздо более точную оценку 58,6° < α < 58,8°.

Об измерении плоских углов. Всё сказанное об измерении угла треугольника применимо и к измерению плоского угла, который можно представлять себе вырезанным из очень тонкого и жёсткого листа пластика (рис. 10). В связи с этим задача.

В пункте б можно обойтись и без циркуля, если есть деревянный угольник с данным углом, о котором мы хотим выяснить, равен ли он 31°.

И напоследок — небольшой список увлекательных книг, в которых обсуждается измерение углов в астрономии и геометрии, с небольшими аннотациями.

1. Роза Мария Рос. Музыка сфер. Астрономия и математика (М.: Де Агостини, 2014). В этой замечательной книге рассказывается о планетах и звёздах, об измерении углов, космических расстояний и времени.
2. Александр Шень. Космография (М.: МЦНМО, 2019). В книге разбираются основные вопросы космографии: как движутся звёзды по небу, отчего бывают зима и лето, почему Луна видна в форме серпа, когда и как происходят затмения. Прочитав её, вы поймёте, что астрономия не может обойтись без измерения углов.
3. Яков Перельман. Занимательная геометрия на вольном воздухе и дома, 7-е изд. (М.-Л.: ГИТТЛ, 1950). Обязательно обратите внимание на эту книгу. В третьей главе разобрано много задач на измерение углов подручными средствами и подробно рассказано о простейших устройствах для измерения углов, в том числе о посохе Якова и о грабельном угломере.
   Особо рекомендуем раздел «Определение величины данного угла без всяких измерений» (с. 138–140), где описан метод измерения углов, «предложенный в 1946 г. З. Рупейка из Каунаса». По-видимому, этот раздел был добавлен редактором седьмого издания книги Б. А. Кордемским. Сам Яков Перельман скончался в 1942 году в блокадном Ленинграде.
4. Александр Шень. Геометрия в задачах (М.: МЦНМО, 2017). Второй раздел этой книги как раз называется «Измерение углов». Там много интересных задач, над которыми стоит подумать. Среди них мы выделим задачу № 38.

Художник Мария Усеинова

$begingroup$
@@ChrisSteinbeckBell The number $120^circ$ is unrelated to the calculations. Such reflex angle exists has legitimate reason to exist though. Since this is about polygons, it’s better that the sides form a closed loop. There might be another question (of similar type, but wth slight or no modifiions in numbers given) with $AC$ being a straight line in another book. Due to copyright, I imagine that he/she may want to change the figure a bit.
$endgroup$

Dec 20, 2017 at 1:58