Как найти где дифференцируема функции

Содержание:

Пусть функция

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала. На рис. 12.1 — касательная в точке к графику функции длина отрезкаУчитывая, что согласно геометрическому смыслу производной из прямоугольного треугольника получаем то есть Поэтому длина отрезка равна величине дифференциала функции в точке

Исходя из того, что можно сформулировать геометрический смысл дифференциала:

С геометрической точки зрения, является приращением ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке которому соответствует приращение аргумента

При нахождении дифференциала функции в любой точке на основании формулы (1) получим

Это равенство справедливо для любой функции. В частности, для функцииравенство (2) обращается в равенство Отсюда получаем, что дифференциал аргумента равен приращению аргумента

Подставляя вместо в формулу (2), получаем

Найденное равенство является основанием для нахождения дифференциала функции.

Пример:

Найдите для функции

Решение:

Поскольку Равенство (3) также показывает, что между понятием производной и понятием дифференциала существует тесная связь, поэтому правила нахождения дифференциалов аналогичны правилам дифференцирования функций, а именно:

Обоснуем, например, правило 2: Другие правила обосновываются аналогично (обоснуйте их самостоятельно). Вспомним, что согласно определению производной Используя понятие бесконечно малой функции, это равенство можно записать так: Тогда приращение дифференцируемой в точке функции где

В этом равенстве первое слагаемое правой части является дифференциалом функции, следовательно,

Учитывая, что получаем, что второе слагаемое при стремится к нулю быстрее, чем В этом случае говорят, что является величиной более высокого порядка малости, чем то есть второе слагаемое значительно меньше первого. Это позволяет сделать следующий вывод:

• Дифференциал функции является главной частью приращения функции.

С геометрической точки зрения (см. рис. 12.1), при расстояние становится значительно меньше, чем расстояние поэтому — главная (т. е. большая) часть отрезка Если в равенстве (4) принебречь вторым слагаемым (которое при малых значениях значительно меньше первого), то получим приближенное равенство то есть Тогда

Последнее равенство используется для разных приближенных вычислений функций в тех случаях, когда нетрудно вычислить.

Пример:

Пользуясь формулой (5), найдите приближенное значение

Решение:

Если рассмотреть функцию Возьмем Тогда и / По Формуле (5) имеем: При получаем

Комментарий:

При вычислении значения по формуле (5) естественно рассмотреть функцию и взять за число 9, поскольку 9,06 близко к 9. Тогда и значения / и легко находятся при Значение вычисленное с помощью калькулятора, равно 3,00998… .

Понятие о дифференциале функции

Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию

Приращение функции у служит важной характеристикой изменения этой функции на заданном конечном отрезке . Однако непосредственное определение приращения функции иногда затруднительно. Тогда обычно поступают следующим образом: разбивают отрезок на конечное число достаточно малых отрезков и приближенно считают, что на каждом из них прирост функции происходит по закону прямой пропорциональности (например, малый элемент кривой линии рассматривают как прямолинейный; неравномерное движение точки в течение малого промежутка времени трактуют как равномерное ит. п., где «малость» понимается в известном смысле). Иными словами, предполагается, что на достаточно малом отрезке имеет место приближенное равенство

где коэффициент пропорциональности k не зависит от , но, вообще говоря, зависит от х. Если при этом окажется, что при надлежащем подборе коэффициента пропорциональности погрешность будет бесконечно малой величиной высшего порядка относительно :, т. е. отношение

будет бесконечно малым при , то величина

называется дифференциалом функции у в точке х (здесь буква d — знак дифференциала). В этом случае, как следует из соотношения (1), справедливо равенство

где при .

Иначе говоря,

Определение: Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Слагаемое k в формуле (2) часто называют главной линейной частью приращения функции (или главным линейным членом приращения). Поэтому можно сказать: дифференциал функции представляет собой главную линейную часть бесконечно малого приращения этой функции.

Пример:

Пусть функция есть площадь квадрата, сторона которого равна х (рис. 126). Если стороне х дать приращение , то новое ее значение станет х + и, следовательно, площадь у квадрата получит приращение

Первое слагаемое суммы, стоящей в правой части последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции при Поэтому

На рис. 126 приращение функции у изображается площадью всей заштрихованной части, тогда как дифференциал dy функции изображается площадью заштрихованной части без площади маленького квадрата, находящегося в правом верхнем углу большого квадрата.

Сформулируем теорему единственности дифференциала:

Теорема: Данная функция может иметь только один дифференциал.

Доказательство: В самом деле, пусть функция у = f(x) имеет два дифференциала: . В силу определения дифференциала имеем

где — бесконечно малые при . Отсюда

и, следовательно, при имеем

Переходя к пределу при в последнем равенстве, получаем

т. е. . Таким образом, дифференциалы dy и dxy совпадают. Теорема доказана.

Из определения дифференциала непосредственно следует: дифференциал функции отличается от приращения этой функции на величину высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной. Этим обстоятельством часто пользуются при приближенных вычислениях.

Пример:

Пусть . Найти и dy при значении х = 1 и сравнить их между собой в трех случаях: и

Решение:

Имеем Производя алгебраические выкладки, получим

Первое слагаемое, стоящее в правой части последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции. Следовательно,

Полагая х = 1, получим следующую таблицу:

Отсюда ясно видно, что доля дифференциала dy в приращении стремится к 100%, если .

Подробное объяснение понятия дифференциала функции:

Пусть функция у = f(x) дифференцируема на отрезке  Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством

Отношение не равно, а лишь стремится к и, следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую

Отсюда

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых.

Так как в общем случае то при постоянном х и переменном произведение есть бесконечно малая величина 1-го порядка относительно

Второе слагаемое — величина бесконечно малая высшего порядка относительно так как 

— главная часть приращения, называют дифференциалом функции и обозначают dy или df(x).

Итак, если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции

Найдём дифференциал функции у = х.

Следовательно, производную  можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Очевидно, что задача нахождения дифференциала равносильна задаче нахождения производной, поэтому большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов.

Свойства дифференциала:

1. Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов этих функций: 
2. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций и определяется формулой: 

Пример:

Пример:

3. Дифференциал сложной функции. Пусть тогда Дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это важнейшее свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример:

но

Дополнительный разбор дифференциала функции:

Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в некоторой окрестности точки Тогда существует конечная производная

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

где — бесконечно малая величина при откуда

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно 2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем , ибо

(см. замечание в § 6.3)

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной

Пример:

Найти приращение и дифференциал функции

Решение:

Приращение функции

Дифференциал функции При имеем Различие между составляет всего 0,02, или 0,5%. ►

Пример:

Найти дифференциал функции

Решение:

откуда

т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. ►

Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде

откуда Теперь мы видим, что не просто символическое обозначение производной, а обычная дробь с числителем и знаменателем

Определение дифференцируемости функции, её дифференциала. Геометрический и физический смысл дифференциала

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а, b) и — любая точка из интервала (а; b); приращение Дх настолько малое, что точка — прирашение функции в точке, соответствующее приращению аргумента .

Определение 12.1.1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки — Функция f называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции может быть представлено в виде:

где А — постоянная величина, не зависящая от х, а — бесконечно малая функция при .

Линейная функция называется дифференциалом функции f в точке и обозначается или dу. Второе слагаемое в правой части (12.1.1) — это произведение двух бесконечно малых функций в точке и, следовательно, является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем , поэтому . Тогда представление (12.1.1) можно переписать в виде:

или , где. (12.1.2)

Еслии, следовательно, дифференцируемость функции в точке означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента , приращение функции является линейной функцией от . Т.е. функция f в окрестности точки ведет себя «почти как линейная функция:

Если f дифференцируема в точке , то при , T.e.f заведомо непрерывна в этой точке. А вот из непрерывности функции f дифференцируемость не всегда следует, что показывает пример . Действительно, приращение этой функции

при х=0 равно:

что противоречит определению, т.к. мы должны получить , для любою , где А — постоянная одна и та же величина.

Для тождественной функции у = х: , поэтому дифференциалом независимой переменной х считают и обозначают dx, тогда: .

Связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в этой точке устанавливается следующей теоремой.

Теорема 12.1.1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в той точке конечную производную, причем в этом случае

(12.1.3)

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда её приращение можно представить в

виде

. (12.1.4)

Считая и разделив обе части (12.1.4) на , получим:

Правая (и потому и левая) часть этого равенства имеет предел равный А при . Предел левой части при (в случае, ссли он существует) по определению равен производной:

так как — бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем . Тогда, подставив в формулу вместо А производную , получим .

Итак, мы доказали, что если для функции f справедливо представление (12.1.4), то эта функция имеет в точкепроизводную, причем .

Достаточность. Пусть существует конечная производная, то есть существует конечный предел

Всякую функцию, имеющую предел в точке можно представить в виде суммы предела и бесконечно малой функции (п. 10.5):

Умножив это равенство на , придем к представлению, совпадающему с представлением , при . что и означает дифференцируемость функции f в точке

Из доказательства теоремы следует, что дифференцируемость определяется однозначно. Кроме того, производную можно обозначать . Из теоремы следует также, что понятие дифференцируемости функции в данной точке можно отождествлять с вычислением производной функции в этой точке.

Рассмотрим функцию. Она непрерывна при . Как показано ранее, эта функция не имеет производной в точке . Тогда, учитывая формулу , можно утверждать, что эта функция не дифференцируема в точке ив точке не существует и дифференциал этой функции.

Формула (12.1.3) дает возможность вычислять дифференциалы, зная производные функций. Для этого достаточно производные функций умножить на dx.

Дифференциал, с геометрической точки зрения представляет собой приращение, которое мы получим, если в окрестности рассматриваемой точки заменим график функции отрезком касательной к графику при (рис. 12.1).

Как видно из рисунка (рис. 12.1, а) или фис 12.1,6), или , если у=с.

Мы знаем, что производная пути это величина мгновенной скорости, т.е. . По определению дифференциала ; следовательно, дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от момента t до момента времени, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости точки в момент t.

Пример №1

Дана функция . Найти: 1) выражение для дифференциала, соответствующее аргументу х и приращение ; 2) dy и при переходе от точки к точке .

Решение:

1). Для того чтобы найги дифференциал , находим производную . Подставив значение производной, получим выражение для дифференциала .

2). Поскольку , то и dx = 0,2. Подставив эти значения, найдем дифференциал функции: . Приращение заданной функции будет равно: Так как выполняется неравенство 1,0 > 0,52, то дифференциал больше приращения функции: .

Дифференциал сложной функции

Когда аргумент х дифференцируемой функции у = f(x) представляет собой независимую переменную, для дифференциала dy этой функции справедливо равенство . Покажем, что это представление дифференциала является универсальным и оно справедливо также и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией.

Рассмотрим сложную функцию . где .

Определим dz, предполагая, что z зависит от х. По определению дифференциала будем иметь . С другой стороны, так как

.

Следовательно, Сопоставляя это равенство с равенством , замечаем, что, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной — независимо от того, является эта переменная в свою очередь функцией или независимой переменной. Это свойство инвариантности формы первого дифференциала относительно выбора переменных

Пример №2

Дана сложная функция. Вычислить её дифференциал.

Решение:

Поскольку выражение дифференциала является универсальным. то .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из изложенного выше следует, что т.е. приращение функции отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем Поэтому при достаточно малых значениях или откуда

Чем меньше значение , тем точнее формула (9.5). Формула (9.5) может оказаться полезной в приближенных вычислениях.

Пример №3

Вычислить приближенно:

Решение:

а) Получим вначале приближенную формулу для вычисления корней любой -й степени. Полагая , найдем в соответствии с (9.5) или .

В данном примере

В качестве возьмем число, наиболее близкое к 16,64, но чтобы был известен , при этом должно быть достаточно малым. Очевидно, следует взять (но, например, не). Итак,

б) Полагая найдем и в соответствии

Учитывая, что ,

возьмем Тогда

Используя дифференциал, по формуле (9.5) легко получить формулы, часто используемые на практике при

С помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента.

Пусть необходимо вычислить значение данной функции при некотором значении аргумента , истинная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение с абсолютной погрешностью |. Если вместо истинного значения возьмем величину, то мы допустим ошибку, равную

При этом относительная погрешность функции

может быть вычислена (при достаточно малых ) по формуле:

где — эластичность функции (см. § 7.6) (по абсолютной величине); — относительная погрешность нахождения (измерения) аргумента .

Пример №4

Расход бензина автомобиля на 100 км пути в зависимости от скорости (км/ч) описывается функцией . Оценить относительную погрешность вычисления расхода бензина при скорости , определенной с точностью до 5%.

Решение:

Найдем эластичность функции (по абсолютной величине).

и по формуле (9.6) относительная погрешность

Пример №5

С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 2%?

Решение. Объем шара радиуса равен Найдем и по формуле (9.6)

Существенным недостатком применения дифференциала в приближенных вычислениях является невозможность вычисления значений функций с наперед заданной точностью. Этого недостатка лишено использование рядов в приближенных вычислениях (см. § 14.3).

Применение дифференциала в приближенных вычислениях и в экономических исследованиях:

Производные и дифференциалы принадлежат к числу основных научных понятий математического анализа и применяются очень часто в практических приложениях.

Применение дифференциала первого порядка основано на том, что разность между приращением функции и ее дифференциалом является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем дифференциал (см. п. 12.1).

Действительно, из рис. 12.1.1 видно, что дифференциал dy сколь угодно мало отличается от приращения функции , если достаточно мало. И если в достаточно малой окрестности некоторой точки вместо кривой рассмотреть касательную к ней в этой точке, то возникающая при этом погрешность сколь угодно мала, т.е. в сравнении с величинами и dv.

Указанное обстоятельство позволяет с большой степенью точности заменять приращение функции ее дифференциалом, т.е.

Отношение естественно назвать относительном погрешностью, а разность— абсолютной погрешностью формулы (12.3.1).

Формула (12.3.1) позволяет вычислить приближенное значение функции, соответствующее приращенному значению аргумента, если известно её значение в некоторой точке и значение производной в этой точке, когда приращение аргумента является достаточно малым.

Так, например, для конкретных функций и

формула (12.3.1) принимает вид:

Пример №6

Найти приближенное значение. Решение: Рассмотрим функцию y = cosx и воспользуемся формулой (12.3.1.). Положим , тогда

Вычислим производную функции

Её значение и значение функции в точке равны:

Подставив в формулу (12.3.1) значение функции, её производной и приращения аргумента, вычислим значение cos31°:

Подробное объяснение применение дифференциала в приближенных вычислениях:

Из рисунка 5.1 видно, что дифференциал функции f(х), равен приращению ординаты касательной к кривой у = f(х) в данной точке х.

Также видно, что величина дифференциала функции f(х) при приближается к величине приращения Данное свойство в виде приближенного равенства часто используется в приближенных вычислениях.

т.е. -формула для приближённых вычислений.

Рисунок 5.1 — Геометрический смысл дифференциала
 

Пример №7

Вычислить арифметическое значение Обозначив и заменив  получаем  Запишем приближенное соотношение т.е. Подставив известные значения получаем В наших обозначениях и при таких исходных данных имеем (берется только арифметическое значение квадратного корня) и окончательно

Точное (с точностью до 6 знаков после запятой) значение

Дополнительное объяснение применения дифференциала в приближенных вычислениях:

Рассмотрим формулу (6.2):

Откуда

Если пренебречь то  или

    (6.3)

а это означает, что в достаточно малой окрестности точки  график функции можно «заменить» графиком касательной

проведенной к графику функции в этой точке.

Если  то формула (6.3) принимает вид  и тогда очевидными становятся ряд эквивалентностей бесконечно малых функций.

Пример:

Основной принцип применения дифференциала к приближенным вычислениям значений функции сводится к следующему: если необходимо вычислить значение функции  для но сделать это весьма затруднительно, то «вблизи» точки выбирается точка  такая, чтобы значения  и находились легко, и на основании (6.3) приближенно вычисляется значение

Пример №8

Вычислить приближенно  

Решение.

Рассмотрим функцию  Пусть тогда

и на основании формулы (6.3) получим

Ответ: 

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале (а; b). Ее дифференциал является функцией двух переменных: точки х и переменной dx. Но дифференциал независимой переменной dx не зависит от х и рассматривается как постоянная величина. Значение дифференциала от первого дифференциала называется вторым дифференциалом функции f в точке и обозначается , т.е.

Для дифференциала n-ого порядка справедлива формула:

Докажем это. Для n=1 и n=2 эта формула доказана. Пусть эта формула справедлива для дифференциалов порядка n-1, т.е.

Тогда вычисляя дифференциал от дифференциала получим:

поскольку не зависит от х и рассматривается как постоянная.

Заметим, что формула (12.4.1) справедлива, когда аргумент х является независимой переменной, тогда второй дифференциал независимой переменной равен нулю: . Эта формула позволяет представить производную n-ого порядка в виде частного

Пример №9

Найти , если у = cos х.

Решение:

Воспользуемся формулой (12.4.1) для. Для этого вычислим производную второго порядка функции . Подставив, получим: .

Дифференциалы высших порядков по зависимым переменным не удовлетворяют формуле (12.4.1).Так. для сложной функции, дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

Видно, что полученная формула существенно отличается от формулы (12.4.1), т.к. , вообще говоря. Другими словами, дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Пример №10

Вычислить дифференциал второго порядка сложной функции

Решение:

Чтобы воспользоваться формулой (12.4.2) для дифференциала второго порядка сложной функции, перепишем её в виде

и вычислим производные и дифференциалы функций

Подставив значения производных и дифференциалов, получим: где производная функции преобразована к виду:

Как определить дифференциал высшего порядка:

Пусть x — независимая переменная, у = f(x) — дифференцируемая функция. Согласно формуле (4)  имеем

таким образом, дифференциал функции f(x) есть функция от двух аргументов: х и dx.

В дальнейшем мы будем предполагать, что dx — дифференциал независимой переменной х — имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от независимой переменной х и одно и то же для всех рассматриваемых функций.

Если dx фиксировано, то df(x) есть некоторая функция от х, пропорциональная производной f'(x), с коэффициентом пропорциональности, равным dx. Может случиться, что эта функция также имеет дифференциал в таком случае последний называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции f(x); а дифференциал, определяемый формулой (1), носит более точное название дифференциала первого порядка (или первого дифференциала).

Определение: Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d2f(x) функции f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т. е.

Аналогично, дифференциалом третьего порядка (или третьим дифференциалом) d³f(x) функции f(x) называется дифференциал от дифференциала второго порядка этой функции, т.е.

Так последовательно определяются дифференциалы высших порядков.

Выведем теперь формулу для дифференциала второго порядка функции f(x) от независимой переменной х, предполагая, что эта функция дважды дифференцируема, т. е. имеет произврдную второго порядка. Так как

то вследствие формулы (2) имеем

Если х — независимая переменная, то dx, равный Ах, очевидно, не зависит от х, т. е. dx по отношению к переменной х играет роль постоянной. Поэтому в формуле (3) множитель dx можно вынести за знак дифференциала и мы получим

Так как f'(x) снова есть некоторая функция от х, то из формулы (1) следует

Отсюда окончательно находим

где

Таким образом, получаем теорему:

Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению производной второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной.

Замечание. Формула (4), вообще говоря, неверна, если х не является независимой переменной, так как здесь dx нельзя рассматривать как множитель, не зависящий от х.

Если положить f(x) = y, то формулу (4) можно переписать так: ; отсюда имеем

т. е. производная второго порядка от данной функции равна отношению дифференциала второго порядка этой функции к квадрату дифференциала независимой переменной.

Если х есть независимая переменная, то аналогично формуле (4) имеем

И т. д.

Положим теперь в формулах (4) и (5)

Тогда . Следовательно,

Получаем теорему:

Дифференциалы высших порядков от независимой переменной равны нулю.

Подробнее о дифференциалах высших порядков:

Если рассмотреть дифференциал первого порядка и определить дифференциал второго порядка как дифференциал от дифференциала первого порядка, то в результате получим

т. е. 

Выполнив аналогичные действия можно получить дифференциал третьего порядка и т. д. Тогда дифференциал

го порядка 

Следует заметить, что уже дифференциал второго порядка сложной функции не обладает свойством инвариантности формы.

Понятие о дифференциалах высших порядков:

Для дифференцируемой функции у = f(х) согласно (5.1) где дифференциал функции есть функция от двух аргументов: х и dx.

Полагаем, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х. В этом случае dy есть функция х, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка функции у = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка, т.е.

Аналогично дифференциалом n-го порядка функции у = f(х) называется дифференциал от дифференциала n-1 порядка этой функции, т.е.

Дифференциалы второго и более порядков не обладают свойством инвариантности формы в отличие от дифференциала первого порядка.

Геометрический смысл дифференциала

Возьмем на графике функции произвольную точку . Дадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение (см. рис. 9.1)

Проведем касательную к кривой в точке , которая образует угол с положительным направлением оси т.е. Из прямоугольного треугольника

т.е. в соответствии с (9.2)

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .

Не следует думать, что всегда Так, на рис. 9.2 показан случай, когда

Подробнее о геометрическом смысле дифференциала:

Выясним геометрический смысл дифференциала функции. Рассмотрим график функции у = f(x).

Пусть — две точки данной кривой (рис. 127). В точке М проведем касательную МТ к графику функции (здесь Т — точка пересечения касательной с M’N || Оу) и рассмотрим Д MTN с катетами M. Если через обозначить угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох, то будем иметь

Но из геометрического смысла производной следует . Поэтому

Таким образом, имеем теорему:

Дифференциал функции у = f(x) в данной точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение

Замечание. Приращение функции (рис. 127), вообще говоря, не равно дифференциалу dy = NT этой функции. В частности:

1)если график функции вогнут вверх, то

2)если же график функции вогнут вниз, то

Свойства дифференциала

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной. Приведем их без доказательства:

Остановимся теперь на важном свойстве, которым обладает дифференциал функции, но не обладает ее производная.

Рассмотрим теперь некоторые свойства дифференциала, аналогичные свойствам производной.

В дальнейших формулировках мы будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что все рассматриваемые функции имеют производные, т. е. являются дифференцируемыми.

Дифференциал постоянной

Дифференциал постоянной равен нулю.

Полагая в формуле (4) из  у = с и = 0, получаем

dc = 0.

Дифференциал суммы

Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен такой же алгебраической сумме дифференциалов этих функций.

В самом деле, если и, v и w — дифференцируемые функции от независимой переменной х, то, например, имеем

Умножая обе части на dx, получаем

Отсюда согласно формуле (4) из  выводим

Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между собой.

Имеем

Полагая здесь с постоянной и, следовательно, dc = 0, получим

Постоянный множитель может быть вынесен за знак дифференциала.

В самом деле, если с постоянно, то

Умножив обе части этого равенства на dx, получим

или

Дифференциал произведения

Дифференциал произведения двух сомножителей равен произведению первого сомножителя на дифференциал второго плюс произведение второго сомножителя на дифференциал первого.

В самом деле, если и и v — дифференцируемые функции от х, то имеем

Умножая обе части на dx, получаем

Дифференциал частного

Дифференциал дроби (частного) равен также дроби, числитель которой есть произведение знаменателя дроби на дифференциал числителя минус произведение числителя на дифференциал знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя дроби.

Мы имеем

Умножив обе части на dx, получим

Отсюда

Дифференциал сложной функции

Дифференциал сложной функции (функции от функции) равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента (обе функции дифференцируемы).

Пусть . Положим ф(х) = и и, следовательно, у = f(u). Если f(u) и ф(х) — дифференцируемые функции, то согласно теореме о производной функции от функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на дифференциал dx независимой переменной х, получим

Но ; следовательно, равенство (1) можно переписать так:

Замечание. Формула (2) по внешнему виду совпадает с формулой (4) из, но между ними есть принципиальное различие: в формуле (4) х естьлезависимая переменная и, следовательно, dx = , тогда как в формуле (2) и есть функция от независимой переменной х и поэтому, вообще говоря, .

Из формулы (2) следует такая теорема.

Независимость вида дифференциала от выбора независимой переменной

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией от другой независимой переменной.

На основании формул для производных получаем соответствующую таблицу для дифференциалов, где и — произвольная дифференцируемая функция.

Инвариантность формы дифференциала

Рассматривая   как функцию независимой переменной , мы получили, что Рассмотрим функцию , где аргумент сам является функцией от , т.е. рассмотрим сложную функцию . Если —дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции в соответствии с теоремой, приведенной в § 7.4, равна

Тогда дифференциал функции

ибо по формуле (9.2) Итак,

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной . Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в содержании формул (9.3) и (9.4) все же есть различие: в формуле (9.3) дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. , а в формуле (9.4) дифференциал функции есть лишь линейная часть приращения этой функции и только при малых

Понятие о дифференциалах высших порядков

Для дифференцируемой функции согласно (9.3) т.е. дифференциал функции есть функция от двух аргументов:

Будем полагать, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от . В этом случае есть некоторая функция , которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.

Аналогично дифференциалом -го порядка (или -м дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, т.е. .

Найдем выражение для . По определению . Так как не зависит от , т.е. по отношению к переменной является постоянной величиной, то множитель можно вынести за знак дифференциала, т.е.

Итак,

где , а в общем случае

т.е. дифференциал второго (и вообще -го) порядка равен произведению производной второго (-го) порядка на квадрат (-ю степень) дифференциала независимой переменной. Из формул (9.8) и (9.9) следует, что

и вообще

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы (или формулы) в отличие от дифференциала первого порядка.

Бесконечно малые величины

1.В этом параграфе чаще всего независимое переменное будем обозначать через .

О пределение. Бесконечно малой величиной вблизи называется функция, зависящая от и имеющая предел, равный нулю при условии, что независимое переменное стремится к .

Например, является бесконечно малой величиной при условии, что стремится к 3; и являются бесконечно малыми при условии, что стремится к нулю.

Бесконечно малые величины при условии, что независимое переменное стремится к нулю, будем называть «бесконечно малыми», не указывая, а только подразумевая условие . Таким образом, будем говорить, что , , являются «бесконечно малыми», а не бесконечно малыми при условии .

Приведем примеры геометрического и физического содержания.

Пример:

Площадь прямоугольника со сторонами и является бесконечно малой при любых , так как

Пример:

Объема прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 3, 2 и , является бесконечно малым, так как

Пример:

Объем прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны и является бесконечно малым, так как

Пример:

По закону Ома , где — напряжение, — сопротивление и — ток. Отсюда следует, что при постоянном сопротивлении напряжение является бесконечно малым относительно тока, так как

Пусть дана бесконечно малая величина , т. е. . Рассмотрим предел отношения при :

Если этот предел существует и равен нулю,то бесконечно малая величина называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Если предел равен конечному числу ^*, то бесконечно малые и называются величинами одного порядка; если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми.

^* — этот предел может зависеть от других переменных, отличных от .

Пример:

Пусть . Это бесконечно малая величина порядка более высокого, чем , так как

Пример:

Пусть ; — бесконечно малая того же порядка, что и , поскольку

Пример:

—бесконечно малая, эквивалентная , так как

Пример:

. Так как , то есть бесконечно малая более высокого порядка, чем .

В заключение параграфа рассмотрим функцию . Пусть приращение независимого переменного равно , тогда приращение функции равно . Так как приращение независимого переменного не зависит от величины , то для вычисления нужно задать величину и величину , т. е. приращение функции одного переменного является функцией двух независимых переменных и .

Пример:

Пусть дана функция . Ее приращение равно . Если , а , то . Если же и по-прежнему , то . Здесь сохраняет значение 1, но, поскольку меняется, изменяется и .

Если , а , то . Если же , а , то . Здесь сохраняет значение 2, но меняется, поэтому меняется и .

Если —функция непрерывная, то, по определению, ее приращение стремится к нулю при условии, что приращение независимого переменного стремится к нулю. Поэтому, используя введенное понятие бесконечно малой величины, можно сказать, что приращение непрерывной функции есть величина бесконечно малая относительно приращения независимого переменного.

Что такое дифференциал

Пусть дана непрерывная функция , имеющая производную. Тогда, по определению производной,

Поэтому, если в правой части откинем знак предела, то получим ошибку, величина которой зависит и от и от . Обозначим эту ошибку через . Тогда вместо равенства (1) можно написать

Про ошибку мы знаем, что

Это следует из равенства (1). Значит, ошибка является бесконечно малой относительно приращения независимого переменного. Если умножим обе части равенства (2) на , то получим

или

В левой части равенства (4) стоит приращение функции , а в правой части—два члена: и . Оценим порядок малости этих членов:

Очевидно, что первый член (если ) одного порядка с , т. е. является линейным относительно , а второй член является бесконечно малой величиной более высокого порядка относительно . Из равенства (4) получаем, что приращение функции с точностью до бесконечно малой высшего порядка равно; это выражение называется дифференциалом функции.

Определение дифференциала

Определение: Дифференциал есть та часть приращения функции , которая линейна относительно h. Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение независимого переменного. Дифференциал функции обозначают или , или , так что

Для симметрии записей вводится определение дифференциала независимого переменного.

Определение: Дифференциалом независимого переменного называется его приращение.

Дифференциал независимого переменного обозначается , так что имеем

Операция нахождения дифференциала называется дифференцированием.

Пример №11

Найдем дифференциал функции .

Решение:

Так как , то.

Пример №12

Вычислим значение дифференциала функции , если и .

Решение:

Так как , то . Подставляя сюда вместо его значение 2, а вместо его значение 0,1, получим

Из определения дифференциала функции следует, что дифференциал функции одного переменного является функцией двух переменных. Из формул (5) и (6) следует, что . Таким образом, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

С этого момента для обозначения производной будем пользоваться и знаком ( )’ и отношением дифференциалов.

Таблица дифференциалов

Таблица дифференциалов функции:

Применение к приближенным вычислениям

Перепишем формулу в следующем виде:

и для начала посмотрим на примере, как будут выглядеть отдельные ее члены при некоторых числовых значениях и .

Пример №13

Пусть . Положим и . Применяя формулу куба суммы, получаем

С другой стороны, применяя формулу (1) и зная, что , получим

Сравнивая формулы и , видим, что в левых частях стоит одно и то же, в правых же частях совпадают первые два члена, следовательно, третий член в формуле равен двум последним членам в формуле , т. е. . Вычислим все члены, встречающиеся в этом примере, при указанных числовых значениях и :

Если бы мы захотели вычислить не точно, а приближенно с точностью до 0,01, то член никакого значения бы не имел, т. е. его можно было бы просто откинуть.

Аналогично в общем случае формулу (1) заменяют приближенной формулой, откидывая бесконечно малую высшего порядка, т. е. член . Тогда получается приближенная формула

(знак ≈: обозначает приближенное равенство). Эту формулу имеет смысл употреблять только при малых значениях величины , так как в противном случае ошибка может оказаться очень большой.

Приведем примеры применения формулы (2).

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления кубического корня. Возьмем , тогда . Применяя формулу (2), получаем

Если положить , то полученному результату можно придать следующий вид:

Отсюда видно, что если нам известен кубический корень из числа, то для близких чисел можно с удобством воспользоваться выведенной формулой.

Например, зная, что , вычисляем . Здесь , поэтому получаем

Сделаем проверку, возведя 10,01 в куб. Видим, что вместо 1003 получили число 1003,003001, т. е. ошибка меньше 0,005.

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления тангенсов малых углов. Так как применяя формулу (2), получаем

Зная, что и , и полагая в предыдущей формуле , найдем

Напоминаем, что здесь есть радианная мера угла. Например, вычислим . Переведем сначала градусную меру угла в радианную: , тогда

Дифференциал площади криволинейной трапеции

Определение: Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная с трех сторон прямыми, а с четвертой стороны кривой. При этом две прямые параллельны между собой и перпендикулярны третьей, а кривая пересекается с любой прямой, параллельной боковым сторонам, в одной точке.

Не исключается случай, когда одна или обе боковые стороны обращаются в точку. На рис. 69, 70, 71 изображены криволинейные трапеции. Все плоские фигуры, с которыми нам придется встречаться, могут быть представлены как совокупность криволинейных трапеций. Например, на рис. 72 фигура разбита на четыре криволинейные трапеции.

Конечная наша цель — определить площадь криволинейной трапеции, но пока эту задачу мы еще не можем решить. Однако мы сумеем найти дифференциал площади криволинейной трапеции. Решим эту задачу, предполагая, что трапеция расположена определенным образом.

Пусть дана криволинейная трапеция , ограниченная осью , двумя прямыми, перпендикулярными этой оси, и кривой, заданной уравнением (рис. 73).

Будем считать, что прямая неподвижна в процессе всех рассуждений, т. е. абсцисса точки есть постоянная величина. Прямую же будем двигать, т. е. абсцисса точки будет переменной. Обозначим ее через .

Ясно, что площадь криволинейной трапеции будет изменяться в зависимости от величины ; значит, площадь есть функция . Обозначим ее . Этой функции мы не знаем, но несмотря на это найдем ее дифференциал. Дадим приращение , тогда площадь получит приращение (это приращение на рис. 73 заштриховано).

При изменении независимого переменного от величины до (от точки до точки ) функция , т. е. ордината точки, лежащей на кривой, также изменяется и при этом достигает наибольшего значения и наименьшего значения . На рис. 73 и .

Рассмотрим прямоугольник с основанием и высотой , его площадь равна . Прямоугольнике тем же основанием и высотой имеет площадь, равную .

Очевидно, что площадь второго прямоугольника меньше площади первого на величину . Также очевидно, что площадь второго прямоугольника меньше приращения , а площадь первого больше этого приращения, так что

Следовательно, приращение отличается и от площади первого, и от площади второго прямоугольника на величину, меньшую чем . Обозначим разность между приращением и площадью через , тогда

Величина меняется вместе с и всегда меньше . Обозначим через разность между площадью и приращением , получим: . Остановимся на формуле (1) и проследим, как меняются ее члены при стремлении к нулю.

Предварительно заметим, что, во-первых, всегда, т. е. при любых значениях ,

и, во-вторых, если , то точка приближается к точке . Точка , абсциссу которой обозначим через , заключена между и поэтому при точка также приближается к точке , следовательно, . Функция предполагается непрерывной. В силу свойств непрерывной функции (см. гл. VI, § 6) находим

а это значит, что можно записать (см. начало § 2 этой главы)

где —бесконечно малая относительно . Также можно заключить, что

где —бесконечно малая относительно . Исследуем порядок малости членов, стоящих в правой части равенства (1). Для этого найдем следующие пределы:

Первый предел находим непосредственно [применяя (3)]:

Чтобы найти второй предел, найдем сначала [используя (4) и (5)]

Так как удовлетворяет неравенству (2), то , а в силу равенства (7)

Таким образом, установлено, что и и являются бесконечно малыми. Кроме того, член есть бесконечно малая высшего порядка относительно .

Учитывая все эти рассуждения и применяя равенство (4), можно переписать равенство (1) в виде

В правой части равенства (8) стоят три члена. Каждый из них является бесконечно малым относительно : первый из них линеен относительно , а два других имеют высший порядок малости.

Применяя результаты, заключаем, что приращение площади криволинейной трапеции равно плюс величина высшего порядка относительно , а поэтому дифференциал площади криволинейной трапеции равен , т. е.

Этим результатом мы воспользуемся в следующих главах.

Пример:

Найдем дифференциал площади криволинейной трапеции, ограниченной осью, кривой, заданной уравнением прямой и подвижной прямой, параллельной оси .

Применяя только что полученный результат, будем иметь

Пример №14

Найти производную от площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , кривой, заданной уравнением , прямой и подвижной прямой, параллельной оси .

Решение:

Находим дифференциал этой площади: , а следовательно и производную:

Применение дифференциала к различным задачам

Рассуждения не только приводят к понятию дифференциала, но в некоторых случаях позволяют найти производную. Предположим, что приращение некоторой функции представлено в виде

где не зависит от , и

Тогда

откуда

“

т. е. —производная заданной функции.

Пример №15

Найти производную от функции , определенной геометрически как объем, ограниченный:

1. поверхностью , полученной от вращения вокруг оси дуги , принадлежащей параболе ;
2. плоскостью перпендикулярной оси и отстоящей от начала координат на расстояние (рис. 74).

Решение:

Ясно, что объем зависит от величины , т. е. является функцией . Возьмем произвольное число . Соответствующее значение функции будет определяться объемом, ограниченным поверхностью и плоскостью Дадим приращение . Объем, т. е. функция , в связи с этим получит приращение . Это приращение показано на рис. 75 и отдельно а рис. 76: оно ограничено поверхностью и плоскостями и . Плоскости и пересекаются с поверхностью по окружностям (так как —поверхность вращения). Обозначим эти окружности и .

Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет основанием образующую, параллельную оси , и высоту ; второй имеет основанием и образующую, также параллельную оси (рис. 77). Объем первого цилиндра обозначим

через , а второго — через . Из чертежей ясно, что приращение функции больше объема , и меньше объема , т. е. . Но объемы и легко подсчитать:

Разность объемов и (т. е. объем цилиндрического кольца) равна

Приращение отличается от , на некоторую часть разности поэтому

где — некоторое положительное число, меньшее единицы. Так как

то член , стоящий в правой части равенства , является бесконечно малой высшего порядка малости относительно . Поэтому равенство является частным случаем равенства . Следовательно, вывод, который был сделан в начале параграфа, может быть перенесен и на равенство , т. е. производная от функции равна .

В этом примере следует обратить внимание на то, что функция была определена чисто геометрически, нам не была известна формула, определяющая эту функцию, однако производную мы нашли.

Пример №16

Рассмотрим цилиндрическую трубу, у которой радиус внешней поверхности , радиус внутренней поверхности , высота . Найдем объем материала, из которого сделана эта труба (рис. 78).

Решение:

Будем называть этот объем объемом цилиндрического слоя. Поскольку объем внешнего цилиндра равен , а объем внутреннего равен , то объем цилиндрического слоя равен

или

Если стенка трубы тонкая, то и мало отличаются друг от друга. Обозначим их разность через . Тогда формула примет вид

или

Второй член, стоящий в правой части равенства , второго порядка относительно . Поэтому при член становится бесконечно малой высшего порядка. Отбрасывая его, мы получим приближенную формулу для подсчета объема тонкого цилиндрического слоя:

Интересно отметить еще один способ получения этой формулы (рис. 79).

Если разрезать трубку вдоль ее образующей и развернуть на плоскость, то получим «почти» прямоугольный параллелепипед с измерениями и . Его объем равен , т. е. как раз тому, что дает формула .

Дифференциал функции и его свойства и геометрический смысл

Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки х, т.е. существует конечный предел Так как предел конечен, то можно записать приращение функции в виде где — бесконечно малая функция в изучаемой окрестности данной точки. Сравним первое и второе слагаемые с бесконечно малой функцией Для первого слагаемого имеем т.е. оно является бесконечно малой функцией того же порядка малости, что и величина Для второго слагаемого получаем, что те оно является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем величина Это означает, что первое слагаемое является главной частью указанной суммы.

Определение: Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента называется дифференциалом функции:

Пример №17

Найти дифференциал функции,

Решение:

Используя определение, находим

Если то ее дифференциал Следовательно, дифференциал аргумента равен его приращению: Отсюда получаем, что дифференциал функции можно записать в виде Таким образом, для производной можно ввести новую формулу Такая форма записи производной очень удобна для вывода различных формул.

Пример №18

Получить формулу производной от сложной функции

Решение:

Используя формулу для производной от функции, записанную в дифференциалах, найдем

Дифференциал функции обладает следующими свойствами:

Выясним геометрический смысл дифференциала функции (Рис. 73):

Рис. 73. Геометрический смысл дифференциала.

Из рисунка видно, что дифференциал функции с геометрической точки зрения описывает приращение касательной при приращении аргумента

Применение дифференциала функции

Пусть дана функция у = f(x), тогда при приращении аргумента функция получает приращение Это приближенное равенство позволяет по виду функции и известному значению функции в заданной точке вычислить значение функции в приращенной точке:

Замечание: Полученное приближенное равенство тем точнее дает значение функции в приращенной точке, чем меньше приращение аргумента.

Пример №19

Вычислить

Решение:

В данном примере задана функция В качестве точки х выбираем значение х = 4, из которого легко извлекается квадратный корень: Приращенной точкой является точка Таким образом, приращение аргумента равно Производная от заданной функции согласно таблице производных Следовательно,

Пример №20

Вычислить

Решение:

В этом примере Следовательно,

Дифференциалы и производные высших порядков

Пусть дана функция тогда согласно определению ее дифференциал равен Дифференциал аргумента dx равен его приращению и не зависит от переменной х. Однако производная функции в общем случае является функцией аргумента х. В связи с этим дифференциал функции является функцией аргумента х. Следовательно, можно поставить вопрос о дифференцируемости дифференциала функции.

Определение: Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом функции:

Определение: Производная от первой производной функции называется второй производной функции, т.е.

Пример №21

Вывести формулу второй производной от параметрически заданной функции.

Решение:

Воспользуемся формулой:

Таким образом, вторая производная от параметрически заданной функции задается системой Аналогично вводятся дифференциалы и производные высших порядков: и так далее.

Замечание: Отметим, что обозначение производной, начиная с четвертой, берется в скобки.

Замечание: Производные высших порядков могут быть записаны в виде и т. д.

Пример №22

Найти второй дифференциал функции

Решение:

Используя формулу для второго дифференциала, найдем вторую производную от заданной функции Следовательно, второй дифференциал равен

Пример №23

Найти n-ую производную от функции

Вычислим последовательно первую вторую и третью производные Используя последовательное дифференцирование, найдем n-ую производную от функции

Определение: Произведение чисел от 1 до n, равное n!, называется факториалом.

Пример №24

Найти n-ую производную от функции

Решение:

Вычислим последовательно первую вторую и третью производные Таким образом, n-ая производная от функции равна самой функции.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции.

Теорема 12.5.1. (теорема Ферма). Пусть функция f(x) определена на некотором интервале (а. b) ив точке принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале. Тогда, если в точке существует производная то она равна нулю.

Доказательство: Пусть для определенности функция f принимает в точке наибольшее значение, т.е. для всех . Тогда для разностного отношения справедливы неравенства:

Предположим, что в точкесуществует производная функции f т.е. существует предел

Тогда из неравенства (12.5.1) следует, что производная справа а. из неравенства (12.5.2)- что производная слева. Поскольку производная существует, то производная справа должна бьггь равна производной слева. Равенство производных может бьггь в том случае, если производная функции в точке равна нулю:

Геометрически, теорема Ферма означает, что если в точке функция f принимает наибольшее или наименьшее значения, то касательная в точке к графику функции параллельна оси Ох (рис. 12.2).

Заметим, что если функция f определена на отрезке, то в случае, когда она принимает наибольшее или наименьшее значение на одном из концов а или b, и когда в этой точке существует производная, то она, вообще говоря, не равна нулю.

Например, функция у=х на отрезке [0, 1] достигает наибольшего и наименьшего значений в точке х=1 и х=0 (рис. 12.3) и в этих двух точках производная не обращается в нуль, хотя производная в этих I очках существует.

Теорема Ролля

Теорема: Пусть дана функция f(х), которая

• непрерывна на сегменте [a; b];
• дифференцируема на открытом интервале (a; b);
• на концах сегмента принимает равные значения

Тогда существует хотя бы одна точка такая, что

Доказательство: Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что внутри сегмента есть, по крайней мере, одна такая точка с, в которой касательная к графику функции f(х) параллельна оси абсцисс (Ох), так как в этой точке производная (Рис. 74).

Рис. 74. Геометрический смысл теоремы Ролля.

В силу того, что функция f(х) непрерывна на сегменте , то по теореме о непрерывных функциях она достигает своего наименьшего m и наибольшего M значений на этом интервале. Рассмотрим два возможных случая:

Вычисляя пределы от полученных неравенств при получим

Так как производная функции в точке с не может быть одновременно и положительной, и отрицательной, то в этой точке она равна нулю, т.е. Аналогично теорема доказывается, если в точке с функция достигает наименьшего значения.

Замечание: Для выполнения теоремы Ролля важны все три вышеперечисленных условия. Приведем примеры нарушения одного из условий теоремы Ролля

Рис. 75. Примеры нарушения одного из условий теоремы Ролля. В случае а) значения функции на концах не равны между собой; в случае б) функция терпит разрыв первого рода в точке с; в случае в) функция не дифференцируема в точке с.

Определение: Точки, в которых первая производная функции равна нулю, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).

Теорема: (теорема Ферма). Необходимым условием существования экстремума в точке л- функции f(х), которая непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема на открытом интервале (a; b), является обращение в нуль в этой точке первой производной функции,

• Заказать решение задач по высшей математике

Дополнительное объяснение теоремы Ролля:

Теорема 12.6.1. (теорема Ролля) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале (а,b) и f(а)

=f(b). Тогда внутри отрезка найдется точка , такая, что значение производной в этой точке равно нулю:

Доказательство. Согласно теореме 10.9.2 непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своего наибольшего М и наименьшего т значений. Если оба значения достигаются на концах отрезкгц/го они равны ио условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на . Производная такой функции в любой точке интервала (а,b) равна нулю и, следовательно, в качестве точки можно брать любую точку.

В случае, когда М >m и . то хотя бы одно из двух значений М или m достигается в некоторой внутренней точке отрезка. Тогда, по теореме Ферма, производная функции будет равна нулю в этой точке, так как в этой точке она имеет производную.

Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис. 12.4): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка интервала (а,b), в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, поскольку в этой точке производная равна нулю.

Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа

Теорема Лагранжа

ТЗ. Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема на открытом интервале (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка такая, что

Доказательство: Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что внутри сегмента [a; b] есть, по крайней мере, одна такая точка с, в которой касательная к графику функции f(х) параллельна секущей, соединяющей крайние точки графика функции (Рис. 76):

Рис. 76. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Составим уравнение секущей AВ, угловой коэффициент которой равен Так как эта прямая проходит через точку то ее уравнение имеет вид Составим вспомогательную функцию В силу того, что эта функция составлена из непрерывных на сегменте и дифференцируемых на открытом интервале функций, следовательно, функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на открытом интервале . Кроме того, легко видеть, что на концах сегмента она принимает равные значения, т.е. имеем Отсюда находим, что функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует, по крайней мере, одна точка в которой Откуда следует утверждение теоремы Лагранжа

Дополнительное объяснение теоремы Лагранжа:

Теорема 12.7.1. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале (а;b). Тогда внутри отрезка существует точка такая, что

Доказательство. Введем на отрезке новую функцию

где число X выберем таким образом, чтобы, т.е. чтобы

. Для этого достаточно взять

тогда функция F(x) примет вид;

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (а,b) и F(a) = F(b) = 0. Следовательно, существует точка такая, что ,T.e.

Откуда следует, что. Теорема доказана.

Формулу (12.7.1) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 12.5.

Заметим, что отношение является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки кривой это угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку . Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой между точками А и В найдется такая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ.

Следствие 12.7.1. Если функция f определена на некотором отрезке, имеет производную, равную нулю во всех внутренних точках и непрерывна на концах отрезка, то она постоянна на рассматриваемом отрезке.

Действительно, каковы бы ни были точки рассматриваемого промежутка, функция f удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке и> значит,

Но и следовательно, для любых двух точек из области определения функции f, что и означает, что f постоянна.

Следствие 12.7.2. Если две функции f и g дифференцируемы во всех внутренних точках некоторого отрезка и в этих точках, а на концах отрезка функции f и g непрерывны, то они отличаются лишь на постоянную величину:

Действительно, функция удовлетворяет следствию 12.7.1, т.е. во всех внутренних точках отрезка, поэтому .

Теорема Коши

Теорема 12.8.1. (Теорема Коши) Пусть функции f и g определены, непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (а;b), причем на интервале (а;b). Тогда внутри отрезка [а;b] существует точка такая, что выполняется равенство:

Доказательство’. Заметим, что так как функция g удовлетворяет теореме Лагранжа, то на интервале существует точка такая, что выполняется равенство ,

Поскольку, на интервале (a,b), то и следовательно,.

Введем на отрезке [а,Ь] вспомогательную функцию F(x):

Эта функция непрерывна на отрезке [а;b] как разность непрерывных функций, дифференцируема на интервале (а,b) и на концах отрезка принимает значения . По теореме Ролля существует точка , такая, что: . Поскольку то

Учитывая, что , отсюда получаем формулу Коши:

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа для случая когда х = g(x).

Правило Лопиталя

Теорема: Если функции f(х) и g(x) непрерывны на сегменте , дифференцируемы на открытом интервале и при одновременно стремятся к нулю или бесконечности ( и ), то для раскрытия неопределенности применяется формула

Доказательство: Докажем случай, когда при функции то есть в точке функции имеют значение Тогда (по теореме Лагранжа) (в силу произвольности точки с)=

Замечание: Теорема Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей вида или . Для раскрытия других типов неопределенностей, они должны путем тождественных преобразований вначале приведены к одной из двух указанных неопределенностей, после чего можно применять правило Лопиталя.

Замечание: При применении правила Лопиталя производная дерется отдельно от числителя и отдельно от знаменателя дроби.

Пример №25

Вычислить

Решение:

Так как (применим правило Лопиталя)

Пример №26

Вычислить

Решение:

Замечание: При необходимости правило Лопиталя применяется повторно.

Пример №27

Вычислить

Решение:

В данном примере имеем дело с неопределенностью Предположим, что данный предел существует и равен А, т.е. Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства (применим правило Лопиталя)= Отсюда находим предельное значение заданной функции

Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной

Теорема: Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет также и производную.

Доказательство: В самом деле, пусть дана некоторая функция у = f(x) и пусть

есть дифференциал этой функции. Согласно формуле (2), приращение может быть записано в следующем виде;

где — бесконечно малая при . Отсюда и, следовательно,

т. е. производная у’ существует и равна величине k.

Следствие. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на приращение независимой переменной, т. е.

Теорема: Если функция имеет производную, то эта функция имеет также и дифференциал.

Доказательство: Пусть функция имеет производную

Отсюда , где — бесконечно малая при Ах 0 и, Ах

следовательно,

В сумме (2) первое слагаемое , очевидно, представляет собой главную линейную часть приращения , т. е. является дифференциалом функции у. Таким образом, функция имеет дифференциал

Теорема доказана.

Замечание. Теперь понятно, почему функция от одной независимой переменной, имеющая производную, называется дифференцируемой.

До сих пор мы пользовались понятием дифференциала функции. Введем понятие дифференциала независимой переменной.

Определение: Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т. е. функции у = х. Так как

то согласно формуле (1) имеем

т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой независимой переменной.

Пользуясь этим последним свойством, формулу (1) можно переписать в следующем симметричном виде:

Итак, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Разделив обе части последней формулы на dx, получим

Иными словами, производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу независимой переменной.

До сих пор обозначение имело символический характер;

сейчас это выражение мы можем рассматривать как обычную дробь с числителем dy и знаменателем dx.

Физическое значение дифференциала

Пусть известен закон движения точки М по оси Ох:

где х — расстояние точки М от начала отсчета О, t — время, причем будем предполагать, что точка М движется в одном и том же направлении. За бесконечно малый промежуток времени dt точка М переместится в точку М’, пройдя при этом путь

Это есть истинное приращение пути.

Дифференциал пути dx согласно формуле (4) из равен

Но , представляющая собой производную пути по времени, есть скорость движения v в момент времени t; поэтому

Таким образом, дифференциал пути равен тому фиктивному приращению пути, которое получится, если предположить, что начиная с данного момента времени точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Например, если спидометр автомобиля показывает 60 км/ч, то шофер, рассчитывая, что за 1 мин пробег машины составит 1 км, фактически вычисляет не приращение пути за 1 мин (которое вследствие неравномерности движения может быть не равно 1 км!), а дифференциал пути.

Приближенное вычисление малых приращений функции

Если мало по абсолютной величине, то для дифференцируемой функции fix) ее приращение

отличается от дифференциала

на величину, бесконечно малую относительно Ах. Отсюда имеем приближенное равенство

Эти равенства весьма полезны при приближенных расчетах. Заметим, что формула (1′) представляет собой линейный член формулы Тейлора.

Пример №28

Найти .

Решение:

Полагая в формуле будем иметь

По таблицам же находим = 1,032.

Рассмотрим еще одну задачу, важную для приближенных вычислений.-

Пример №29

Для данной функции

предельная абсолютная погрешность ее аргумента х равна , т. е.

Каковы предельные абсолютная и относительная погрешности функции у?

Решение:

Из формулы (1) имеем

следовательно, при можно принять

Пример №30

Угол х = 60° определен с точностью до 1°. Как отразится это обстоятельство на синусе угла?

Решение:

Здесь . Поэтому ошибка для у = sin х на основании формулы (2), где у’ = cos х, может достигать величины . ‘

Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции

Введем понятие эквивалентных или асимптотически равных бесконечно малых функций.

Определение: Две бесконечно малые функции и называются эквивалентными или равносильными при , если предел их отношения равен единице, т. е. тогда, когда

Для обозначения равносильности бесконечно малых употребляется знак эквивалентности а именно, пишут .

Так, например,

при , так как

Заметим, что если бесконечно малые эквивалентны, то разность между ними есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них.

В самом деле, если , то имеем

т. е. имеет порядок выше, чем . Аналогичное рассуждение можно провести также и для а.

Обратно, если разность двух бесконечно малых а и (3 есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с одной из них, то эти бесконечно малые эквивалентны.

Действительно, предполагая, например, что

получаем и, следовательно,

В частности, отбрасывая {или прибавляя) от бесконечно малой бесконечно малую высшего порядка, получаем величину, равносильную исходной.

Например, при имеем .

Отметим важное свойство эквивалентных бесконечно малых.

Теорема: При нахождении предела отношения двух бесконечно малых данные бесконечно малые можно заменять эквивалентными им (предполагая, что предел отношения последних, конечный или бесконечный, существует).

Доказательство: Действительно, пусть и при . Имеем

Переходя к пределу в тождестве (1), получим

Пример №31

Так как при и (поскольку ), то

Теорема: Бесконечно малое приращение функции эквивалентно дифференциалу этой функции при всех значениях независимой переменной у для которых производная функции конечна и отлична от нуля.

Доказательство: В самом деле, если функция у = f(x) дифференцируема, то из формулы (2) имеем

где а — бесконечно мало при .

Так как согласно условию теоремы при имеем , то

Следовательно,

т. е. бесконечно малые и dy эквивалентны при Пример. Пусть f(x) = . Имеем

Поэтому

Замечание. Вообще, если функция f(x) дифференцируема в точке х = 0, то при имеем

Из формулы (3), в частности, при , получаем:

а)sin х ~ х;

б)а^х — 1 ~ х In а (а > 0);

в)1n(1 + х) ~ х.

Что такое дифференцируемость функции

Определение 6.1. Функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

   (6.1)

где — некоторое действительное число, а  — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем  при

Теорема 6.1. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно, чтобы в точке существовала конечная производная

Доказательство.

Необходимость. Если функция  дифференцируема в точке то из определений 6.1 и 5.1

Достаточность. Если  то по теореме 5.1 в окрестности точки  справедливо равенство

 где  — БМФ при  

Умножив обе части равенства на  получим (6.1). 

С учетом теоремы 6.1 и равенства формулу (6.1) можно переписать в виде

 (6.2)

откуда при  получим

Следовательно, при будем иметь 

где называется главной линейной относительно приращения переменной частью приращения функции при

Определение 6.2. Главная линейная часть приращения функции в точке называется дифференциалом функции в этой точке, т. е.  или  Если т.е. то 

Заметим, что если рассмотреть функцию то в этом случае  и, следовательно, т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой: Поэтому дифференциал функции в точке  можно представить в виде

Геометрический смысл дифференциала следует из формулы (6.2), рис. 6.1. Согласно принятым обозначениям:

Дифференциал функции равен приращению  ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой при приращении аргумента

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной:

 откуда следует

 откуда следует 

Пусть для функции переменная Если рассматривать как независимую переменную, то где  Если рассматривать как независимую переменную  то

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Определение 7.1. Функция имеет в точке  локальный максимум {локальный минимум), если такая, что

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них — локальными экстремумами функции.

Если функция определена на отрезке и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка, такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом.

Определение 7.2. Точка из области определения функции  называется критической (стационарной) точкой, если производная функции в этой точке обращается в нуль или не существует.

Теорема 7.1 (Ферма). Пусть функция определена на  и в некоторой точке имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке существует конечная производная то

Доказательство.

Пусть в точке  функция имеет локальный минимум, т. е.  для  Тогда в силу дифференцируемости функции  в точке при

откуда 

при 

откуда

Существование производной возможно лишь при  откуда

Замечание 7.1. В доказательстве теоремы существенно, что  так как односторонние производные на концах отрезка могут быть отличны от нуля.

Геометрический смысл теоремы Ферма. Если -точка локального экстремума функции и существует конечная производная то касательная, проведенная к графику функции в точке параллельна оси

Теорема 7.2 (Ролля). Пусть функция

1) определена и непрерывна на отрезке

2) дифференцируема для

3)

Тогда найдется точка  такая, что

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Если функция на отрезке то для

2. Пусть По условию непрерывна на отрезке  и, согласно теореме Вейерштрасса, достигает наибольшего  и наименьшего  значений.

Так как  то значения  и не достигаются одновременно на концах отрезка, т. е. хотя бы одно из значений достигается в точке  Согласно теореме Ферма   

Замечание 7.2. Все условия теоремы Ролля существенны.

Геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы внутри отрезка обязательно найдется хотя бы одна точка  такая, что касательная к графику функции в точке  параллельна оси

Теорема 7.3 (Коши). Пусть заданы функции и и пусть:

1) они определены и непрерывны на отрезке 

2) дифференцируемы для

3) 

Тогда найдется точка  такая, что

Доказательство.

Очевидно, что так как в противном случае функция удовлетворяла бы теореме Ролля и нашлась бы точка  такая, что а это противоречит условию на интервале 

Введем вспомогательную функцию

Функция

1) определена и непрерывна на

2) т. е. существует на интервале

3)

Следовательно, по теореме Ролля, для функции найдется точка такая, что Тогда

откуда

Теорема 7.4 (Лагранжа о среднем). Пусть функция непрерывна на отрезке  дифференцируема на интервале  Тогда найдется точка такая, что

или

    (7.1)

Доказательство.

Рассмотрим наряду с функцией  функцию  Обе функции удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда

Из последнего равенства легко получается формула (7.1).

Замечание 7.3. Формула Лагранжа (7.1) часто записывается в виде

 (7.2)

где— некоторое число, при котором

Если в (7.2) принять  то

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

При выполнении условий теоремы на интервале найдется точка с такая, что касательная к графику функции в точке  будет параллельна секущей, проходящей через точки и

Следствие 7.1. Пусть функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале Если то функция

Доказательство.

Пусть — любая фиксированная точка из интервала  -любая точка из К отрезку применим теорему Лагранжа для функции Так как то для  Следовательно на 

Следствие 7.2. Пусть функции  и непрерывны на дифференцируемы на  Тогда

Доказательство.

Так как функция непрерывна и дифференцируема на согласно условию, то

Согласно следствию 7.1,

Следствие 7.3. Пусть функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале  Тогда если  то функция строго монотонно возрастает на если  — строго монотонно убывает на

Доказательство.

Пусть  Рассмотрим  такие, что

По теореме Лагранжа где Так как то Тогда откуда при Таким образом, при функция строго монотонно возрастает на 

Случай доказывается аналогично. 

Правила и формулы дифференцирования

Если 

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.

Если производная функции в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.

Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Критическая точка  при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательная  на интервале  то кривая  выпуклая на данном интервале, если вторая производная положительная  то кривая вогнутая на 

Если при переходе через точку  производная  меняет знак, то точка  является точкой перегиба кривой 

Прямая  называется асимптотой кривой  если расстояние  от точки  кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки  в бесконечность.

Прямая  — вертикальная асимптота кривой  если  либо не существует предела в точке  Если существует конечный предел   то прямая  — горизонтальная асимптота кривой 

Уравнение наклонной асимптоты:  Если оба записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота.

Дифференцируемость
функции

Операция
нахождения производной
называется дифференцированием функции.
Функция называетсядифференцируемой
в некоторой точке,
если она имеет в этой точке конечную
производную, идифференцируемой
на некотором множестве,
если она дифференцируема в каждой точке
этого множества.

В
силу геометрического смысла производной
следующие два свойства равносильны
друг другу: 1) функция 
дифференцируема
при 
;
2) график этой точки имеет касательную
в точке 
,
не параллельную оси ординат (т.е. с
конечным угловым коэффициентом).

Теорема. Если
функция дифференцируема в некоторой
точке, она непрерывна в этой точке.

Доказательство.
Пусть в некоторой точке области
определения функции 
существует
конечный предел

Запишем 
приращение функции в виде

и
найдём

Следовательно,
если 
,
то и 
,
а это означает, что функция 
непрерывна
в рассматриваемой точке.

Таким
образом, из дифференцируемости функции
вытекает её непрерывность. Обратная
теорема неверна, так как существуют
непрерывные функции, которые в некоторых
точках являются недифференцируемыми.

Пример
3. Функция

непрерывна
в точке 
,
но не дифференцируема в этой  точке,
так как в ней график не имеет касательной.
(рис. 79).

Из
сказанного выше следует, что непрерывность
в точке x является необходимым, но не
достаточным условием дифференцируемости
функции в этой точке, так как из
непрерывности функции в точке 
не
всегда следует дифференцируемость в
этой точке.

51. Дифференциал функции. Связь с производной, геометрический смысл.

Пусть
функция 
 определена
на промежутке 
 и
дифференцируема в окрестности
точки 
,тогда 
 или
по теореме о связи бесконечно малых с
пределами функций имеем 
,
где 
 —
бесконечно малая величина при 
.
Отсюда:

.          (
7.1)

Таким
образом, приращение функции 
 состоит
из двух слагаемых:

1) 
 —
линейного относительно 
,
т.к. 
;

2) 
 —
нелинейного относительно 
,
т.к. 
.

Определение. Дифференциалом
функции называется главная, линейная
относительно 
 часть
приращения функции, равная произведению
производной на приращение независимой
переменной:

.            (
7.2)

Пример. Найти
приращение функции 
 при 
 и 
:

Решение. 

, 

Пример. Найти
дифференциал функции 
.

Решение.
По формуле (7.2.) имеем 
.

Определение. Дифференциал
независимой переменной 
 равен
приращению этой переменной:

          (
7.3)

Тогда
формулу (7.2) для дифференциала функции
можно записать в виде:

                 
(
7.4)

Откуда 
,
поэтому 
 можно
рассматривать не только как символическое
обозначение производной, но и как обычную
дробь с числителем 
 и
знаменателем 
.

Геометрический смысл. На графике функции   (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку  . Дадим аргументу   приращение  , тогда функция получает приращение  . В точке   проведем касательную, образующую угол   с осью  . Из треугольника  :  . Из   имеем:  . Таким образом,   и соответствует формуле (7.1).

Следовательно,
с геометрической точки зрения дифференциал
функции есть приращение ординаты
касательной, проведенной к графику
функции 
 в
данной точке, когда 
 получает
приращение 
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, a differentiable function of one real variable is a function whose derivative exists at each point in its domain. In other words, the graph of a differentiable function has a non-vertical tangent line at each interior point in its domain. A differentiable function is smooth (the function is locally well approximated as a linear function at each interior point) and does not contain any break, angle, or cusp.

If x₀ is an interior point in the domain of a function f, then f is said to be differentiable at x₀ if the derivative exists. In other words, the graph of f has a non-vertical tangent line at the point (x₀, f(x₀)). f is said to be differentiable on U if it is differentiable at every point of U. f is said to be continuously differentiable if its derivative is also a continuous function over the domain of the function . Generally speaking, f is said to be of class if its first derivatives exist and are continuous over the domain of the function .

Differentiability of real functions of one variable[edit]

A function , defined on an open set , is said to be differentiable at if the derivative

exists. This implies that the function is continuous at a.

This function f is said to be differentiable on U if it is differentiable at every point of U. In this case, the derivative of f is thus a function from U into

A continuous function is not necessarily differentiable, but a differentiable function is necessarily continuous (at every point where it is differentiable) as being shown below (in the section Differentiability and continuity). A function is said to be continuously differentiable if its derivative is also a continuous function; there exists a function that is differentiable but not continuously differentiable as being shown below (in the section Differentiability classes).

Differentiability and continuity[edit]

If f is differentiable at a point x₀, then f must also be continuous at x₀. In particular, any differentiable function must be continuous at every point in its domain. The converse does not hold: a continuous function need not be differentiable. For example, a function with a bend, cusp, or vertical tangent may be continuous, but fails to be differentiable at the location of the anomaly.

Most functions that occur in practice have derivatives at all points or at almost every point. However, a result of Stefan Banach states that the set of functions that have a derivative at some point is a meagre set in the space of all continuous functions.^[1] Informally, this means that differentiable functions are very atypical among continuous functions. The first known example of a function that is continuous everywhere but differentiable nowhere is the Weierstrass function.

Differentiability classes[edit]

A function is said to be continuously differentiable if the derivative exists and is itself a continuous function. Although the derivative of a differentiable function never has a jump discontinuity, it is possible for the derivative to have an essential discontinuity. For example, the function

is differentiable at 0, since

exists. However, for differentiation rules imply

which has no limit as Thus, this example shows the existence of a function that is differentiable but not continuously differentiable (i.e., the derivative is not a continuous function). Nevertheless, Darboux’s theorem implies that the derivative of any function satisfies the conclusion of the intermediate value theorem.

Similarly to how continuous functions are said to be of class continuously differentiable functions are sometimes said to be of class A function is of class if the first and second derivative of the function both exist and are continuous. More generally, a function is said to be of class if the first derivatives all exist and are continuous. If derivatives exist for all positive integers the function is smooth or equivalently, of class

Differentiability in higher dimensions[edit]

A function of several real variables f: R^m → Rⁿ is said to be differentiable at a point x₀ if there exists a linear map J: R^m → Rⁿ such that

If a function is differentiable at x₀, then all of the partial derivatives exist at x₀, and the linear map J is given by the Jacobian matrix, an n × m matrix in this case. A similar formulation of the higher-dimensional derivative is provided by the fundamental increment lemma found in single-variable calculus.

If all the partial derivatives of a function exist in a neighborhood of a point x₀ and are continuous at the point x₀, then the function is differentiable at that point x₀.

However, the existence of the partial derivatives (or even of all the directional derivatives) does not guarantee that a function is differentiable at a point. For example, the function f: R² → R defined by

is not differentiable at (0, 0), but all of the partial derivatives and directional derivatives exist at this point. For a continuous example, the function

is not differentiable at (0, 0), but again all of the partial derivatives and directional derivatives exist.

Differentiability in complex analysis[edit]

In complex analysis, complex-differentiability is defined using the same definition as single-variable real functions. This is allowed by the possibility of dividing complex numbers. So, a function is said to be differentiable at when

Although this definition looks similar to the differentiability of single-variable real functions, it is however a more restrictive condition. A function , that is complex-differentiable at a point is automatically differentiable at that point, when viewed as a function . This is because the complex-differentiability implies that

However, a function can be differentiable as a multi-variable function, while not being complex-differentiable. For example, is differentiable at every point, viewed as the 2-variable real function , but it is not complex-differentiable at any point.

Any function that is complex-differentiable in a neighborhood of a point is called holomorphic at that point. Such a function is necessarily infinitely differentiable, and in fact analytic.

Differentiable functions on manifolds[edit]

If M is a differentiable manifold, a real or complex-valued function f on M is said to be differentiable at a point p if it is differentiable with respect to some (or any) coordinate chart defined around p. If M and N are differentiable manifolds, a function f: M → N is said to be differentiable at a point p if it is differentiable with respect to some (or any) coordinate charts defined around p and f(p).

See also[edit]

• Generalizations of the derivative
• Semi-differentiability
• Differentiable programming

References[edit]

Дифференциальное исчисление — это раздел высшей математики, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.

Что такое дифференциальное исчисление и как его решать

Производная функции

Ниже через D будет обозначаться промежуток на числовой оси , т. е. D — это множество вида причем промежуток может быть и бесконечным.

Пусть функция определена в некотором промежутке D и точка такова, что при каждом малом (по модулю) приращении выполнено включение (другими словами, является внутренней точкой промежутка D). Тогда наряду со значением функции определено и значение и, следовательно, функция получит приращение

Производной функции в точке называется предел

если, конечно, он существует. Если функция в точке имеет производную, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Вычисление производной функции называют ее дифференцированием.

Производим функции в точке х обозначается одним из символов:

Таким образом,

Пример:

Найти производную функции Так как

то

Следовательно

Пример:

Найти производную функции Имеем

Отсюда получим

Следовательно,

Вычисление производных и изучение их свойств составляют главный предмет дифференциального исчисления.

Геометрический и физический смысл производной

Задача о касательной к кривой

Пусть дана непрерывная функция , график которой представляет собой кривую К (см. рис. 17).

Требуется построить касательную к кривой К в некоторой точке Выбрав на К еще одну точку проведем секущую Если точку перемещать по кривой К, то секущая будет вращаться вокруг точки Касательной к кривой К в точке естественно назвать предельное положение секущей, когда точка стремится вдоль кривой к точке

Найдем угловой коэффициент касательной , т. е. число — угол между касательной и положительным направлением оси х. Из прямоугольного треугольника имеем

Для получения углового коэффициента k перейдем к пределу при

Следовательно, производная функции с геометрической точки зрения равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке.

Задача о вычислении скорости

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки, положение которой определяется расстоянием S, отсчитываемым от некоторой начальной точки О (см. рис. 18).

Пусть движение точки описывается функцией S(t), которая при каждом значении времени t определяет пройденное точкой расстояние S = S(t). Требуется определить скорость ; точки в момент времени t.

Пусть в момент времени t точка занимает положение M. Для определения скорости придадим t приращение Тогда пройденный точкой путь получит приращение и точка окажется в новом положении Отношение равно средней скорости движения точки за промежуток Скорость точки в момент времени t, очевидно, определится предельным переходом

Таким образом, производная функции с физической точки зрения равна скорости движения точки в данный момент времени.

Непрерывность дифференцируемой функции

Укажем связь между понятиями непрерывности и дифференцируемости функции.

Теорема:

Если функция дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке.

► Для доказательства непрерывности функции в точке х достаточно показать, что

Имеем

Обратное к теореме 14.1 утверждение не верно: функция может быть непрерывной в данной точке, однако не быть дифференцируемой. Простым примером является функция у = |х|, график которой изображен на рис. 8 а (с. 45); она всюду непрерывна, однако при х = 0 не дифференцируема (покажите это!).

Правила дифференцирования

Простейшие правила:

Теорема:

Если функции и дифференцируемые точке х, то их сумма, разность, произведение и частное (последнее при условии, что также дифференцируемы в этой точке и имеют место равенства:

► Ограничимся доказательством второй из формул (15.1). Предварительно отметим, что в силу теоремы 14.1 функции и непрерывны. Поэтому

Дифференцирование сложной функции

Теорема:

Пусть дана сложная функция причем функция дифференцируема в точке , а функция G(y) — в точке

Тогда функция дифференцируема в точке и при имеет место равенство

Имеем

Полагая и учитывая, что в силу непрерывности функции имеем получим

Пример:

Найти производную функции Рассматриваемая функция является суперпозицией функций Поэтому из формулы (15.2) получим (см. также примеры 14.2 и 14.1)

Дифференцирование обратной функции

Теорема:

Пусть дана функция имеющая обратную функцию и пусть функция дифференцируема в точке , причем Тогда обратная функция дифференцируема в соответствующей точке причем при имеет место равенство

Докажите эту теорему, предварительно установив, что если придать значению ненулевое приращение то функция получит ненулевое приращение

Пример:

Найдем производную функции Так как эта функция является обратной к функции то в силу теоремы 15.3 получим (см. также пример 14.2)

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрически уравнениями

Теорема:

Пусть функции дифференцируемы при некотором Тогда функция дифференцируема в точке имеет место равенство

Докажите эту теорему. Указание: по определению параметрически заданных функций функция имеет обратную и поэтому функция определяется равенством У = Ф9(х)]- Далее следует воспользоваться теоремами 15.2 и 15.3.

Производные основных элементарных функций

Выше в примерах 14.2-15.2 были найдены производные некоторых элементарных функций. Аналогично можно вычислить производные и других основных элементарных функций. В таблице 3 приведены некоторые из них.

Пользуясь таблицей 3 и основными правилами дифференцирования, приведенными в теоремах 15.1-15.4, можно вычислять производные широкого класса функций.

Односторонние производные

В определении производной предполагалось, что предел (14.1) не зависит от знака приращения при стремлении к 0. Если же в указанном определении потребовать, чтобы было только одного знака, то придем к понятию односторонней производной.

Правой производной функции в точке называется предел

если, конечно, он существует. Аналогично определяется левая производная функции. Правая и левая производные функции называются ее односторонними производными.

Ясно, что если функция имеет в точке обычную производную, то она имеет и обе односторонние производные и все они совпадают. В то же время функция может иметь односторонние производные и не иметь производной Например, функция (см. рис. 8 а (с. 45)) в точке х = 0 имеет односторонние производные и не имеет производной Справедлива очевидная

Теорема:

Для существования производной необходимо и достаточно существования и равенства ее односторонних производных при этом

Бесконечные производные

В определении производной предполагалось, что предел (14.1) должен быть конечным. Если же выполнено равенство

то говорят, что функция в точке имеет бесконечную производную и пишут Геометрически этот факт означает, что касательная к кривой в точке параллельна оси у.

Пример:

Покажем, что функция в точке х = 0 имеет бесконечную производную Действительно, имеем

Производные высших порядков

Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке х некоторого множества D. Тогда ее производную можно рассматривать как функцию, определенную на множестве D. В свою очередь функция может в некоторых точках множества D иметь производную. В этом случае говорят о производной второго порядка (в отличие от производной называемой также производной первого порядка). Таким образом,

Производная второго порядка функции обозначается также символами

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и т. д. порядков. При этом производная -го порядка функции обозначается символами

Например, для функции

Дифференциал функции и приближенные вычисления

Формула для приращения функции

Важное значение в теории дифференцируемых функций имеет

Теорема:

Пусть функция имеет производную Тогда справедливо равенство

где функция удовлетворяет соотношению:

► Функцию определим формулой тогда равенство (18.1) очевидно. Остается убедиться в справедливости соотношения (18.2). Имеем

В силу равенства (18.2) функция является б. м. ф. более высокого порядка, чем следовательно, имеет смысл говорить о приближенных равенствах (при малых

или

Формулы (18.3) и (18.4) важны в задачах, когда известны значения функции И ее производной В точке и требуется вычислить значение функции в некоторой близкой к точке х.

Пример:

Вычислить приближенно значение sin32°. Воспользуемся формулой (18.4). Для этого определим функцию и положим или в радианах Тогда учитывая, что
получим или

Для сравнения: имеет место равенство sin 32° = 0,5299 с четырьмя верными знаками.

Дифференциал функции

Если обозначить то равенство (18.1) примет вид

где

Допустим теперь, что нам неизвестно, имеет ли функция производную однако известно, что ее приращение представимо в виде (18.5), где А — некоторое число. Тогда при приращение эквивалентно функции Выражение в указанном случае представляет собой главную часть приращения , при этом линейно (точнее пропорционально) зависит от .

Если имеет место равенство (18.5), где А — некоторое число, то функцию называют дифференцируемой в точке , а главную линейную часть ее приращения называют дифференциалом в точке и обозначают в виде

Подчеркнем, что дифференциал — это линейная функция от (бесконечно малая при ).

Внимательный читатель заметил, что понятие дифференцируемо-сти функции в точке уже определялось выше как существование производной в данной точке. Наличие двух разных определений одного и того же понятия оправдывает

Теорема:

Для того чтобы функция имела производную , необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируема в точке .

► Необходимость следует из теоремы 18.1. Докажем достаточность. Пусть выполнено равенство (18.5) при некотором А. Тогда

т. е. функция имеет производную

Таким образом, если функция дифференцируема в точке , то она имеет производную и при этом дифференциал может быть записан в виде

В частности, дифференциал функции

Поэтому

Эта формула объясняет смысл одного из обозначений производной

Пример:

Найти дифференциалы функций Имеем, соответственно,

Отметим очевидные равенства

Выражение называют также дифференциалом первого порядка. При фиксированном дифференциал представляет собой функцию переменной х. Поэтому можно говорить о ее дифференциале, который называют дифференциалом второго порядка и обозначают в виде

Аналогично определяются и дифференциалы более высоких порядков. При этом дифференциал -го порядка вычисляется по формуле

Докажите это по индукции (при этом следует помнить, что нужно рассматривать как постоянный множитель).

Основные свойства дифференцируемых функций

Пусть функция в каждой точке множества имеет D конечную производную В этом случае будем говорить, что функция дифференцируема на множестве D.

Выше в § 13 (с. 63) было введено понятие множества С(D) непрерывных на D функций. Аналогично через будем обозначать множество дифференцируемых на D функций. Следовательно, запись будет означать, что функция определена на множестве D и в каждой точке имеет производную Например, на любом отрезке так как функция не дифференцируема при х = 0.

Имеет место включение

т. е. каждая дифференцируемая на D функция является и непрерывной на D. Справедливость включения (19.1) следует из теоремы 14.1.

В общем случае через будем обозначать множество определенных на D функций и имеющих в каждой точке конечную производную k-го порядка.

Теоремы о средних значениях

Были изучены некоторые свойства непрерывных на отрезке функций (например, их ограниченность и наличие наибольшего и наименьшего значений). Знание производной функции позволяет провести более детальное исследование функции. Такому исследованию посвящена основная часть этого и следующего параграфов.

Приведем сначала понятия, связанные с наибольшим и наименьшим значениями функции.

Пусть функция определена на отрезке и Говорят, что в точке функция имеет локальный максимум (минимум), если -окрестность точки такая, что для выполняется неравенство Если же для выполняется неравенство то говорят, что в точке функция имеет глобальный максимум (минимум). Если в этих неравенствах знаки заменить на знаки (естественно, считая, что в них ), то говорят о строгих максимумах и минимумах. Точки минимума и максимума имеют общий термин — точки экстремума функции.

Рассмотрим, например, функцию график которой изображен на рис. 19.

Эта функция в точках имеет локальные максимумы, а в точках — локальные минимумы, при этом — точка глобального максимума, а — глобального минимума. Указанные точки, за исключением являются точками строгого экстремума.

При отыскании экстремумов дифференцируемой функции пользуются утверждением, содержащим необходимое условие экстремума функции.

Теорема Ферма:

Пусть — точка экстремума этой функции. Тогда

Пусть для определенности — точка локального максимума функции такое, что

Так как функция имеет производную то существуют односторонние производные:

Но при выполнено неравенство следовательно, Аналогично получим Отсюда и из (16.1) следует равенство

Геометрической иллюстрацией теоремы Ферма служит тот факт, что если в точке функция имеет экстремум, то в соответствующей точке касательная к графику кривой параллельна оси х (см, рис. 20 а).

Обратное к теореме Ферма утверждение, вообще говоря, неверно. Это видно на примере функции (см. рис. 20 б).

Теорема Ролля:

Пусть Тогда

► Так как то (см. (19.1)) и, следовательно, по второй теореме Вейерштрасса (см. приведенную на с. 65 теорему 13.5) функция достигает на отрезке наибольшего М и наименьшего т значения. Возможны два случая: М > т или М = т.

В первом случае в силу равенства по крайней мере одно из значений М или т функция принимает внутри интервала (а, b). Пусть, например, тогда по теореме Ферма получим

Во втором случае функция является постоянной; тогда и, следовательно, в качестве можно взять любое число из интервала (а, b)

Важную роль во многих теоретических и практических задачах играет

Теорема Лагранжа:

Пусть Тогда такое, что

► Определим вспомогательную функцию

Несложно видеть, что для функции F(x) выполнены все условия теоремы Ролля. Следовательно, найдется такое, что последнее равенство эквивалентно соотношению (19.2). <

Геометрически теорема Лагранжа означает, что на кривой АВ найдется точка в которой касательная к кривой параллельна хорде АВ (см. рис. 21):

Формула (19.2) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Ее часто записывают в виде

Эта формула является точной в отличие от приближенной формулы (18.4):

и хотя в формуле (19.3) присутствует неопределенное значение тем не менее она имеет многочисленные приложения.

Теорема Лагранжа является частным случаем следующего утверждения.

Теорема Коши:

Пусть причем такое, что

Сначала заметим, что (иначе выражение в левой части равенства (19.4) не имело бы смысла); действительно, если бы то, по теореме Ролля, нашлась бы точка такая, что что противоречит условию теоремы. Дальнейшее доказательство теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 19.3 с той лишь разницей, что рассматривается вспомогательная функция

Равенство (19.4) называется формулой Коши.

Формулы Тейлора и Маклорена

Наиболее простыми из элементарных функций являются, пожалуй, степенные, т. е. функции вида и т. д. Свойства этих функций очевидны, их несложно представлять графически, легко дифференцировать и т. п. Одним из эффективных методов исследования в математическом анализе и его приложениях является возможность представления произвольной дифференцируемой функции в виде суммы степенных функций. Разумеется, что речь, вообще говоря, идет о приближенном представлении функции.

Формулы Тейлора и Маклорена для многочленов

Многочленом n-го порядка называется функция

где — некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена (19.5).

Многочлен (19.5) полностью определяется своими коэффициентами. Зададимся вопросом: если известны значения многочлена (19.5) и его производных до n-го порядка в точке х = 0, т. е. числа то можно ли восстановить многочлен (19.5), т. е. вычислить числа ?

Ответ на этот вопрос положителен. Действительно, продифференцируем многочлен (19.5) последовательно раз:

и, подставляя в эти равенства значение х = 0, найдем

Подставляя вычисленные значения в (19.5), получим

Аналогично можно рассмотреть и общий случай, когда известны числа В этом случае многочлен (19.5) представляется в виде

Равенства (19.6) и (19.7) называют формулами Тейлора для многочлена (19.5). Впрочем, равенство (19.6), являющееся частным случаем формулы (19.7) при называют также формулой Маклорена.

Формулы Тейлора и Маклорена для произвольной функции

Рассмотрим теперь произвольную функцию где Пусть определим аналог многочлена (19.7):

Очевидны равенства

Несмотря на эти равенства, нельзя утверждать, что (как это было для многочленов (19.5) и (19.7)). Тем не менее факт выполнения равенств (19.9) дает основание говорить о приближенном равенстве при близких к значениях х.

Положим

Это равенство называют формулой Тейлора для функции в окрестности точки При формула (19.11) принимает вид

и называется формулой Маклорена для функции

Определенная равенством (19.10) разность называется остаточным (дополнительным) членом в формуле Тейлора. Он указывает величину погрешности, которая возникает при замене многочленом (19.8). Известны различные представления . Приведем два из них, справедливых для функций , обладающих в окрестности точки непрерывной производной

Во-первых, это дополнительный член в форме Лагранжа:

где с — некоторая точка, лежащая между х и .В этой форме дополнительный член напоминает очередной член формулы Тейлора, в котором производную вычисляют не в точке , а в некоторой точке с. Во-вторых, это дополнительный член в форме Пеано:

т. е. представляет собой б. м. ф. высшего порядка, чем

Формулы Маклорена для элементарных функции

Приведем для иллюстрации формулы Маклорена основных элементарных функций. С этой целью в формулу (19.12) вместо последовательно подставим функции и Тогда получим

Приближенные формулы:

Формулы (19.11) и (19.12) часто используются в приближенных вычислениях. Рассмотрим для простоты формулу (19.12). Если в ней отбросить дополнительный член, то получим приближенную формулу

Ее точность оценивается границей погрешности

Пример:

Рассмотрим разложение (19.16) функции Из формулы (19.13) для дополнительного члена получим оценку

Рассмотрим формулу (19.16) сначала при т = 1, т. е. пусть Тогда погрешность будет меньше 0,001 для чисел х, удовлетворяющие неравенству

Пусть теперь m = 2, т. е. рассмотрим приближенную формулу Тогда для достижения той же точности достаточно брать числа х, удовлетворяющие неравенству

если же здесь ограничиться углами то погрешность будет меньше 0,0001.

Правило лопиталя

Понятие производной можно использовать при раскрытии неопределенностей (см. с. 58). Ограничимся здесь рассмотрением неопределенности вида Приводимые ниже правила называют правилами Лопиталя.* В них используются обычные обозначения для односторонних пределов функций.

Правило:

Пусть причем для Пусть Тогда имеет место равенство

если существует (конечный или нет) второй из этих пределов.

► Доопределим функции и в точке х = а равенствами Тогда они будут непрерывны на всем отрезке [а, b], и по теореме 19.4 (Коши) для такое, что

Отсюда при получим, во-первых, и, во-вторых,

Правило L1 легко распространяется на случай, когда аргумент х стремится к бесконечности с плюсом или минусом.

Правило:

Пусть причем для х > а. Пусть Тогда имеет место равенство

если существует (конечный или нет) второй из этих пределов.

Аналогичные правила существуют и для неопределенности вида

Пример:

Найти предел (замечательный предел (12.2))

Имеем

Пример:

Найти предел

Имеем

Ho

Поэтому искомый предел равен е.

Последний пример иллюстрирует тот факт, что правило Лопиталя применимо для неопределенностей разных типов; при этом необходимо предварительно преобразовать выражение к неопределенности типа

Исследование функций и построение графиков

Знание производных функции позволяет провести детальное исследование многих ее свойств: участки возрастания и убывания, наличие максимумов и минимумов, предельное поведение и т. п. Здесь обсуждаются основные вопросы, связанные с исследованием функций.

Признаки монотонности

Основной при определении интервалов возрастания и убывания функции является

Теорема:

Пусть для Тогда функция на отрезке [а, b] монотонно возрастает (убывает).

► Ограничимся рассмотрением случая и покажем, что тогда функция на [а, b] возрастает, т. е. для выполнено неравенство Действительно, в силу теоремы 19.3 Все такое, что

Так как то из последнего равенства получим

Пример:

Определить участки монотонности функции Имеем Решая последовательно неравенства найдем, что функция возрастает при и убывает при

Экстремумы

Теорема 19.1 дает необходимый признак экстремума функции в виде Как было отмечено, этот признак не является достаточным для существования экстремума. Поэтому точки, в которых выполняется равенство являются лишь «подозрительными» на экстремум и подлежат дополнительному исследованию. Это исследование можно проводить на основе одного из двух следующих правил.

Правило:

Пусть не существует, и пусть в некоторой окрестности точки выполнено слева от справа от . Тогда функция в точке имеет максимум (минимум). Если же имеет один и тот же знак как слева, так и справа от , то в этой точке функция не имеет экстремума.

Другими словами, если производная при переходе через меняет знак с «+» на «-», то функция в точке имеет максимум, и с «—» на «+» — минимум.

► Ограничимся рассмотрением случая, когда производная при переходе через меняет знак с + на —. Пусть сначала х < тогда

по теореме Лагранжа

и так как и, следовательно, Аналогично и для устанавливается неравенство

Пример:

Найти экстремумы функции Решая уравнение найдем «подозрительные» на экстремум точки: Знаки производной удобно изображать над числовой прямой (см. рис. 22). Приведенный рисунок показывает, что производная рассматриваемой функции меняет знак с «+» на «-» в точке х = -1 и с «—» на «+» в точке х = 1. Следовательно, рассматриваемая функция в точке х = -1 имеет максимум: а в точке X = 1 — минимум:

Пример:

Непрерывная функция в точке х = 0 не имеет производной, при этом Она имеет минимум у = 0 в точке х = 0. Это, впрочем, видно и из ее графика (см. приведенный на с. 45 рис. 8 а).

Правило:

Пусть и пусть то функция в точке имеет максимум (минимум).

► По определению вторая производная вычисляется по формуле

Пользуясь этим равенством, а также условием легко показать, что для функции выполнены все условия правила

Пример:

Для рассмотренной в примере 20.2 функции имеем Тогда для «подозрительных» на экстремум точек Следовательно, в точке х =-1 функция имеет максимум, а в точке х = 1 — минимум.

Направления выпуклости и точки перегиба

Пусть

Если в некоторой окрестности точки график функции расположен не ниже (не выше) касательной к графику в точке , то говорят, что график функции в точке имеет выпуклость вниз (вверх) (см. рис. 23 а и б).

Для определения направления выпуклости графика функции можно пользоваться следующим правилом.

Теорема:

Если для то график функции на интервале (а,b) имеет выпуклость вниз (вверх).

Точка называется точкой перегиба графика функции если окрестность точки такая, что в ее левой и правой половине график функции имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции так, что с одной стороны от этой точки график расположен под касательной, а с другой — над нею (см. рис. 23 в).

Из теоремы 20.2 следует необходимое условие точки перегиба.

Теорема:

Пусть график функции имеет точку перегиба , причем существует непрерывная производная второго порядка в некоторой окрестности точки .Тогда

Отметим два момента. Во-первых, не всякая точка , в которой является точкой перегиба графика функции Например, для функции имеем Однако в точке х = 0 график этой функции не имеет перегиба. Во-вторых, график функции может иметь перегиб в точке, в которой не существует второй производной. Например, функция не имеет второй производной в точке х = 0,однако эта точка для нее является точкой перегиба.

Поэтому если выполнено равенство или не существует вторая производная то необходимо провести дополнительное исследование о наличии перегиба в точке . Такое исследование может быть проведено на основе вытекающего из теоремы 20.3 следующего утверждения.

Теорема:

Пусть не существует. Если меняет знак при переходе через точку , то в указанной точке график функции имеет перегиб.

Пример:

Для рассмотренной в примере 20.2 функции имеем Из уравнения 6х = 0 находим единственную точку х = 0, где график функции может иметь перегиб. Так как функция меняет знак при переходе через точку х = 0, то эта точка является точкой перегиба графика функции

Асимптоты

Если график функции как угодно близко приближается к некоторой прямой, то такая прямая называется асимптотой функции. Существует три типа асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные (см. рис. 24 а, б и в).

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой функции если

Например, функция у = tgx имеет вертикальные асимптоты

Прямая у = А называется горизонтальной асимптотой функции если

Например, функция имеет как вертикальную асимптоту х = 0, так и горизонтальную асимптоту у = 0.

Прямая называется наклонной асимптотой функции если существуют пределы

Пример:

Найти асимптоты кривой

Приравнивая знаменатель к нулю, получаем две вертикальные асимптоты х=±1. Так как то горизонтальных асимптот нет. Для определения наклонных асимптот найдем пределы:

Поэтому функция при имеет наклонную асимптоту у = х. Аналогично устанавливается, что при функция имеет наклонную асимптоту у = -х.

Общая схема исследования графика функции

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. найти область определения функции;
2. найти точки пересечения графика функции с осями координат,
3. найти точки «подозрительные на экстремум и точки перегиба»;
4. с помощью анализа знака первой производной (теорема 20.1) найти интервалы возрастания и убывания функции;
5. с помощью анализа знака второй производной (теорема 20.2) найти направления выпуклости графика функции;
6. найти точки экстремума (правило (1) или (2)) и точки перегиба (теорема 20.4);
7. найти асимптоты;
8. построить график функции.

При этом в начале исследования полезно выяснить, является ли функция четной или нечетной, периодической или нет.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема:

Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда если в точке существует производная, то она равна нулю, т. е

Доказательство:

Пусть для определенности Функция f(х) в точке имеет наибольшее значение, т. е. для любого . Это значит, что для любой точки . Поэтому, если , то и, следовательно,

если же и, следовательно,
т. е. правая производная в точке неположительная, а левая — неотрицательная. По условию, существует и, значит, Это возможно только в случае, когда Но тогда и

Аналогично рассматривается случай, когда в точке функция f(х) имеет наименьшее значение. ■

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке дифференцируемая функция f(х) имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке касательная к графику функции f(х)параллельна оси Ох (рис. 69).
Замечание:

Теорема неверна, если функцию f(х) рассматривать на отрезке [а, b]. Так, например, функция f(x)=x на отрезке [0, 1] в точке х=0 принимает наименьшее, а в точке х=1 — наибольшее значение, однако как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице (рис. 70).

Теорема:

Теорема Ролля. Пусть на [а,b] определена функция f(х), причем: 1°) f(х) непрерывна на [а, b]; 2°) f(x) дифференцируема на (а,b); 3°) f(a) = f(b). Тогда существует точка , в которой f'(с)=0

Доказательство:

Так как функция f(х) непрерывна на [а, b], то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m, т е. существуют такие точки и выполняются неравенства

Возможны два случая: 1) М=m 2) m<М.
В первом случае Поэтому производная f'(х) равна нулю в любой точке [а, b], и теорема доказана.

Во втором случае так как f(а)=f(b), то хотя бы одно из двух значений, m или М, не принимается на концах отрезка [а, b], т. е. существует точка , в которой функция f(х) принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале (а, b). В этом случае, так как f(х) дифференцируема в точке с, из теоремы Ферма следует, что f'(с) = 0.■

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [а, b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах равные значения, существует точка (с;f(с)), в которой касательная параллельна оси Ох (рис. 71). На рис. 71 в точке с функция f(х) принимает наибольшее значение.

Следует отметить, что все три условия теоремы Ролля существенны. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два условия теоремы, а третье не выполнялось и производные которых не обращались бы в нуль ни в одной точке. Так, например, функция (см. рис. 70) удовлетворяет условиям 1° и 2°, но не удовлетворяет условию 3° и для нее не существует точки с такой, что f'(с) = 0. Рассмотрим еще два примера.

Функция f(х), равная х, если 0<х<1, и равная 0, если x=1 (рис. 72), удовлетворяет условиям 2° и 3°, но не удовлетворяет условию 1°. Функция (рис. 73) удовлетворяет условиям 1° и 3°, но не удовлетворяет условию 2° Для этих функций также не существует точки, в которой их производная обращалась бы в нуль.

Отметим, что в математике существенность тех или иных условий доказываемых теорем проверяется построением соответствую, щих примеров, когда невыполнение того или иного условия теоремы приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.

Теорема:

Теорема Лагранжа. Пусть на [а, b] определена функция f(х), причем: 1°) f (х) непрерыная на [а, b]; 2°) f(х) дифференцируема на [а, b]. Тогда существует точка такая, что справедлива формула

Доказательство:

Введем в рассмотрение на [a, b] вспомогательную функцию

Функция F(х) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля: 1) F(х) непрерывна на [a, b] (как разность двух непрерывных функций f(х) и линейной функции
;

2) F(х) дифференцируема на (a, b), т. е. внутри [a, b] имеет производную, равную

3) F(а) = 0 и F(b) = 0, т. e.F(a) = F(b).
Следовательно, по теореме Ролля существует точка такая, что Отсюда получаем:

Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 74). Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки графика функции y = f(x), а f'(с) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (с; f(c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка с такая, что касательная к графику в точке (с; f(c)) параллельна секущей . Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.

Замечание:

Равенство
называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений-

Замечание:

Так как точка с лежит между . Учитывая это, формулу Лагранжа можно записать в видe

Замечание:

Если положить , то получим

Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем запись в виде (1).

Как будет показано в дальнейшем, теорема Лагранжа лежит в основе доказательства многих формул и теорем анализа.

Теорема:

Теорема Коши. Пусть функции f(х) и g(х) непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b). Пусть, кроме того, . Тогда существует точка такая, что справедлива формулa

Доказательство:

Покажем сначала, что , т. е. что формула (2) имеет смысл. Действительно, если допустить, что g(b)=g(а), то по теореме Ролля для функции g(х) найдется точка , в которой . А это противоречит условию, что . Перейдем к доказательству формулы (2).

Рассмотрим на [а, b] вспомогательную функцию

Нетрудно заметить, что F(х) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. В самом деле, F(х) непрерывна на [а, b], дифференцируема на
(а, b), и, кроме того, подстановка х=a и х=b дает F(а)=0 и F(b)=0, т. е. F(a)=F(b). По теореме Ролля Для F(х) существует точка с, а<с<Ь, такая, что F'(c) = 0.

Так как то

Откуда, учитывая, что , получаем формулу (2). ■
Замечание. Формула (2) называется формулой Коши или °бобщенной формулой конечных приращений.

Раскрытие неопределенностей и правило Лопиталя

1. Раскрытие неопределенности вида . Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если

Раскрыть эту неопределенность — значит вычислить предел если он существует, или установить, что он не существует. Следующая теорема устанавливает правило для раскрытия неопределенности вида

Теорема:

Теорема Лопиталя. Пусть функции f(х) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а.

Пусть, далее, в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

Доказательство:

Пусть — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к точке а, причем . Доопределим функции f(х) и g(х) в точке а, положив их равными нулю, т. е. f(а)=g(а)=0. Тогда, очевидно, функции f(х) и g(x) непрерывны на , дифференцируемы на и, по условию, . Таким образом, для f(х) и g(х) выполнены все условия теоремы Коши на , т. е. внутри существует точка такая, что

По доопределению, f(а)=g(а)=0, следовательно

Пусть теперь в формуле (1) Тогда, очевидно, при (рис. 75). Так как существует, то правая часть формулы (1) имеет при предел, равный .

Следовательно, при существует предел и левой части формулы (1), причем

Так как — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а, то отсюда заключаем, что существует и

Доказанную теорему обычно называют правилом Лопиталя. Замечание 1. Если производные f'(х) и g'(х) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f(x) и g(х), то правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем

Замечание:

Теорема остается верной и в случае, когда . В самом деле, пусть, например, cуществует (конечный или бесконечный).

Сделаем подстановкуПрименяя к функциям f(1/t) и g(1/t) теорему 6.5 и правило дифференцирования сложной функции, получаем

Рассмотрим примеры.

2. Раскрытие неопределенности вида . Будем говорить, что отношение двух функции при есть неопределенность вида , если

Для этой неопределенности справедливо утверждение, аналогичное теореме 6.5, а именно: если в формулировке теоремы заменить требование на условие то теорема останется справедливой.

Рассмотрим примеры.

3. Другие виды неопределенностей и их раскрытие. Неопределенности вида и можно свести к неопределенностям и . Покажем это на примерах.

Пример:

Найти

Решение:

Имеем неопределенность вида . Но и получена неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, имеем

Пример:

Найти
Решение:

Имеем неопределенность вида . Но и при том же условии получена неопределенность вида .

Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим

И наконец, рассмотрим неопределенности вида Такие неопределенности имеют место при рассмотрении функций если при х->а функция f х) стремится соответственно к — соответственно к Эти неопределенности с помощью тождества

сводятся к неопределенности вида , которая уже рассмотрена.

Пример:

Найти

Решение:

Имеем неопределенность вида Но и в показателе степени получена неопределенность вида , которая нами уже рассмотрена (см. пример 1). Следовательно

Пример:

Найти

Решение:

Имеем неопределенность вида Но

и в показателе степени получена неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получаем

Следовательно,

Пример:

Найти
Решение:

Имеем неопределенность вида . Но
и в показателе степени получена неопределенность вида .
Применяя правило Лопиталя, имеем Следовательно,

Формула Тейлора

Рассмотрим одну из главных формул математического анализа, имеющую многочисленные применения как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах.

Теорема:

Теорема Тейлора. Пусть функция f(х) имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные порядка . Пусть х — любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками чих найдется точка такая, что справедлива следующая формула:

Доказательство:

Обозначим через многом относительно х степени n, стоящий в правой части формулы (1) т. е. положим
(Он называется многочленом Тейлора степени n для функции f(x)). Далее обозначим через (х) разность
Теорема будет доказана, если установить, что

Фиксируем любое значение х из указанной окрестности. Для определенности считаем х>а. Обозначим через t переменную величину, изменяющуюся на отрезке и рассмотрим на отрезке [а, х] вспомогательную функцию

Функция F(t) удовлетворяет на [а, х] всем условиям теоремы Ролля: 1) из формулы (2) и из условий, наложенных на функцию f(х), вытекает, что F(t) непрерывна и дифференцируема на [a, x] , так как f(t) и ее производные до порядка n непрерывны и дифференцируемы на [а, x];
2) полагая в (2) t=а, имеем
Полагая в (2) t=x, получаем

Таким образом, условие F(а)=F(х) выполнено.
На основании теоремы Ролля внутри отрезка [а, х] существует точка такая, что

Вычислим производную F'(t). Дифференцируя равенство (2) по t имеем

Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенства, за исключением двух последних, взаимно уничтожаются. Таким образом

Полагая в (4) и используя равенство (3), получаем
откуда

Формула (1) называется формулой Тейлора, а выражение для — остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно переписать в другом виде. Так как точка , то найдется такое число из интервала что и остаточный член принимает вид
Эту форму остаточного члена наиболее часто используют в приложениях.

Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена

Часто формулу Тейлора (1) записывают в ином виде. Положим в (1) Тогда

При n=0 из (5) получается формула Лагранжа

Покажем, что если функция ограничена в окрестности тoчки а, то остаточный член является бесконечно малой более высокого порядка, чем при
так как функция ограничена, при

Таким образом,

Формула (6) называется остаточным членом в форме Пеано.

Формула Маклорена

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора (1) при а=0:

Остаточный член имеет вид:

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

В формуле (8) остаточный член записан в виде , а не в виде , так как следующий за последним член равен нулю [то же самое относится к формуле (9)].

4) — вещественное число. Так как

то формула Маклорена имеет вид
где остаточный член в форме Лагранжа равен

В частном случае, когда — натуральное число, следовательно, мы получаем известную из элементарной математики формулу бинома Ньютона

Приведенные выше разложения показывают, что с помощью формулы Маклорена функции можно с определенной степенью точности заменять многочленами, являющимися наиболее простыми элементарными функциями. Над многочленами удобно выполнять арифметические действия, нетрудно вычислить значение многочлена в любой точке и т. д. Формулы Тейлора и Маклорена позволяют приближенно заменять многочленами и более сложные функции. Кроме того, эти формулы имеют широкий круг приложений. Мы ограничимся рассмотрением двух.

Использование формулы Маклорена для вычисления пределов

Формула Тейлора является эффективным средством для вычисления пределов функций, с которыми часто приходится иметь дело при исследовании функций.
Пример:

Найти
Решение:

По формуле (8) при n=2 имеем

Пример:

Найти
Решение:

По формулам (7), (8) и (9) имеем
(здесь символом обозначена величина , являющаяся бесконечно малой при ).

Вычисление числа е

Было введено число е как предел последовательности и получена грубая оценка

Покажем, как вычислить число е с любой необходимой точностью. Для этого запишем формулу (7) с остаточным членом в форме Лагранжа:

Если заменить функцию ее многочленом Тейлора степени n, то получим приближенное равенство
абсолютная погрешность которого
Если рассматривать функцию для то

Полагая в (12) х=1, получаем приближенное значение числа е:

При этом абсолютная погрешность меньше 3/(n+ 1)! Если требуется вычислить значение е с точностью до 0,001, то число n определяется из неравенства Следовательно, если взять n=6, то требуемое неравенство удовлетворяется.

Таким образом, используя формулу Маклорена, можно вычислить число е с любой точностью, при этом алгоритм вычисления числа е, основанный на формулах (11) и (13), легко реализуется на ЭВМ.

Исследование поведения функций и построение графиков

Признак монотонности функции

Теорема:

Если функция f(х) дифференцируема на интервале то функция f(х) не убывает (не возрастает) на
(а, b).

Доказательство:

Для определенности рассмотрим случай Пусть — две произвольные точки из (a, b) и ; тогда на отрезке выполняются все условия теоремы Лагранжа, согласно которой имеем

По условию, поэтому или , т. е. функция f(х) не убывает на (а, b).

Доказательство для случая аналогично. ■
Замечание. Точно так же можно доказать, что если возрастает (убывает) на (а, b).

Отыскание точек локального экстремума функции

Определение:

Точка называется точкой строгого локального максимум (минимума) функции f(х), если для всех х из некоторой -окресности точки выполняется неравенство при (рис. 76).

Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный, экстремум.

Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки . Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.

Теорема:

Необходимое условие локального экстремума. Если функция f(х) имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то

Доказательство:

Так как в точке функция f(х) имеет локальный экстремум, то существует такой интервал , в котором значение является наибольшим или наименьшим среди всех других значений этой функции. Тогда по теореме Ферма производная функции в точке равна нулю, т. е.

Теорема 6.8 имеет следующий геометрический смысл. Если — точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох (рис. 77).

Иногда такие точки называют стационарными; мы будем называть их точками возможного экстремума. Если точка — точка возможного экстремума, т. е. то она может и не быть точкой локального максимума или минимума. Например, если но, тем не менее, в точке х = 0 нет локального экстремума (рис. 78). Установим достаточное условие существования локального экстремума. Этому посвящается следующая теорема.

Теорема:

Достаточное условие локального экстремума. Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой -окрестности точки . Тогда, если для всех х из для всех х из то в точке функция f(х) имеет локальный максимум (минимум); если же f'(х) во всей -окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.

Другими словами, если f'(х) при переходе через точку меняет знак с « + » на « —», то —точка локального максимума; если f (х) в точке меняет знак с «—» на « + », то — точка локального минимума; если же f (х) в точке знака не меняет, то в точке х0 экстремума не существует.

Доказательство:

Пусть f'(х) при переходе через точку меняет знак с « + » на «—> и пусть . Применим формулу Лагранжа к функции f(х) на отрезке . Получаем

Так как и, кроме того, следовательно,

Рассмотрим теперь случай, когда Применим формулу Лагранжа к функции f (х) на отрезке . Получаем

Так как кроме того, следовательно,

Из неравенств (1) и (2) следует, что в рассматриваемой окрестности точки выполняется неравенство а это означает, что в точке функция f(х) имеет локальный максимум.

Аналогично рассматривается случай перемены знака f'(х) с «—» на «+».

Осталось рассмотреть случай, когда f'(х) знака не меняет. Пусть f'(х)>0 в некоторой окрестности ; тогда по теореме 6.7 функция f (х) не убывает на , т. е. для любых выполняется неравенство .

Замечание. Теорема 6.9 остается справедливой, если функция f(х) в самой точке не дифференцируема, а только непрерывна. Так, например, функция в точке x=0 непрерывна, но не дифференцируема.

В качестве примера рассмотрим вопрос об отыскании точек локального экстремума функции Находим производную: Решая уравнение получаем две точки возможного экстремума: Дальнейшее исследование удобно вести, нарисовав вспомогательный чертеж (рис. 79). Отметив на нем точки и исследовав знак f'(х) в окрестности этих точек, получаем: f(x) в точке имеет локальный максимум, а в точке — локальный минимум. Далее находим:

На рис. 79 видны и интервалы монотонности причем в первом и третьем из них функция возрастает, а во втором — убывает.

Направление выпуклости и точки перегиба графика функции

Пусть функция y=f(х) дифференцируема на интервале (а, b). Тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке этого графика , причем касательная не параллельна оси Оу, поскольку ее угловой коэффициент, равный f'(х), конечен.

Определение:

Будем говорить, что график функции y=f(x) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b) (рис. 80).

Теорема:

Если функция y=f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и во всех точках (а, b), то график функции y=f(x) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство:

Для определенности рассмотрим случай на (а, b). Обозначим через с произвольную точку (а, b) (рис. 81). Требуется доказать, что график функции y=f(x) лежит не ниже касательной, проходящей через точку М (с; f (с)).

Запишем уравнение этой касательной, обозначая текущую ординату ее точек через

Разложим функцию f(х) в окрестности точки с по формуле Тейлора при n=1. Получим

Формула (4) справедлива для любого х из (а, b). Вычитая равенство (3) из равенства (4), имеем

Так как, по условию, на (а, b), то правая часть равенства (5) неотрицательна, т. е. для всех х из (а, b) или .
Последнее неравенство и доказывает, что график функции y=f(x) всюду в пределах (а, b) лежит не ниже касательной (3). Аналогично доказывается теорема для случая ■

Определение:

Точка называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой — над нею, т. е. в окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной стороны касательной на другую и «перегибается» через нее. Отсюда и произошло название «точка перегиба» (рис. 82).

Теорема:

Необходимое условие точки перегиба. Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке и пусть функция y = f(x) имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f» (х) в точке обращается в нуль, т. е.

Доказательство:

Предположим обратное, т. е. допустим, что Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме 4.8 об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки в которой , значит, согласно теореме 6.10 график функции y=f(x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке (рис. 82). Полученное противоречие доказывает теорему.

Следует заметить, что не всякая точка . Для которой является точкой перегиба. Например, график функции не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя при х=0 (рис. 83). Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба. Точки графика, для которых будем называть критическими. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке, для чего следует установить достаточное условие перегиба.

Теорема:

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности f»(х) имеет разные знаки слева и и справа от точки , то график y=f(x) имеет перегиб в точке .

Доказательство:

Из того, что f»(х) слева и справа от точки имеет разные знаки, на основании теоремы 6.10. заключаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки является различным. Это и означает наличие перегиба в точке .

Замечание:

Теорема остается верной, если f(х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки , и существует касательная к графику функции в точке М. Тогда, если в пределах указанной окрестности f»(х) имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке . Доказательство данного факта аналогично доказательству теоремы.

Рассмотрим пример: Эта функция в точке х=0 имеет бесконечную производную, а касательная к графику функции в точке О (0; 0) совпадает с осью Оу. Вторая производная в точке х=0 не существует. Однако график функции имеет перегиб в точке О (0; 0), так как вторая производная имеет слева и справа от точки х=0 разные знаки (рис. 84).

Итак, вопрос о направлении выпуклости и точках перегиба графика функции исследуется с помощью второй производной.

В качестве примера возьмем функцию , которую начали рассматривать в п. 2. Знак второй производной будем отмечать на вспомогательном чертеже, изображенном на рис. 79. Находим вторую производную: f»(х)=6х. Из уравнения 6х=0 получаем одну критическую точку: О (0; 0). Отметив точку х=0 на вспомогательном чертеже (рис. 85) и исследовав знак f»(х) в ее окрестности, получаем: слева от точки (выпуклость графика направлена вверх), а справа — (выпуклость графика направлена вниз), т. е. точка 0 (0; 0) является точкой перегиба графика рассматриваемой функции. Этот график схематически изображен на рис. 86.

Докажем теперь, что часть эллипса расположенная в верхней полуплоскости , имеет на интервале (— а, а) выпуклость, направленную вверх. В самом деле, из уравнения
эллипса Далее находим:

Из выражения для второй производной вытекает, что она отрицательная на интервале (—а, а). Значит, данная кривая на всем интервале ( — а, а) имеет выпуклость, направленную вверх (см. рис. 33).

Аналогично можно показать (сделайте это самостоятельно), что часть гиперболы расположенная в верхней полуплоскости, на интервалах имеет выпуклость, направленную вверх.

Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называют асимптотами.

Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение:

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x) если хотя бы одно из предельных значений

В этом случае расстояние от точки до прямой равно .

Например, график функции (рис. 87) имеет вертикальную асимптоту х=0, так как при

Определение:

Прямая у=А называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x) при если

В этом случае расстояние от точки до прямой у=А равно и,

Например, график рассмотренной выше функции у=1/х имеет горизонтальную асимптоту у=0 при так как при

Определение:

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при , если функцию f(х) можно представить в виде

Рассмотрим геометрический смысл наклонной асимптоты. Для определенности разберем случай, когда. (Случай рассматривается аналогично).

Пусть М (х; у) — точка графика функции y=f(x) и пусть прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции при . Текущую ординату точки на асимптоте обозначим через точку на асимптоте — через (рис. 88). Тогда Опустим из точки М перпендикуляр MP на асимптоту. Расстояние d от точки М до асимптоты равно , где — угол между асимптотой и осью Ох, и, следовательно,

Таким образом, расстояние от точки М (х; у) графика функции до асимптоты стремится к нулю при т. е. график функции неограниченно приближается к асимптоте при .

Рассмотрим способ отыскания наклонной асимптоты, т. е. способ определения чисел k и и в уравнении асимптоты. Разделив равенство (6) на х и перейдя к пределу при , получим

Далее, из соотношения (6) получаем:
Таким образом,

Доказано, что если прямая y=kx+b — наклонная асимптота, то числа k и b находятся по формулам (7) и (8). Обратно, если оба предела (7) и (8) существуют, причем , то прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при .

В самом деле, полагая и используя равенство (8), Получаем, что Следовательно, справедливо равенство (6): т. е. прямая является наклонной асимптотой графика функции при

Практически целесообразно искать асимптоты в следующем порядке: 1) вертикальные асимптоты; 2) горизонтальные асимптоты; 3) наклонные асимптоты.

Пример:

Найти асимптоты графика функции

Решение:

1) Находим вертикальные асимптоты. Точка х=0 _ точка разрыва 2-го рода данной функции, причем при . Следовательно, ось ординат (х=0) — вертикальная асимптота.

2) Находим горизонтальные асимптоты: следовательно, горизонтальных асимптот нет.

3) Находим наклонные асимптоты

Следовательно, прямая у=х+2 является наклонной асимптотой графика данной функции как при так и при . График функции схематически изображен на рис. 89.

Пример:

Доказать, что гипербола имеет своими наклонными асимптотами прямые
Решение:

Так как то

Следовательно, прямые являются наклонными асимптотами данной гиперболы как при так и при .

Схема исследования графика функции

Рассмотрим примерную схему, по которой целесообразно исследовать поведение Функции и строить ее график.

1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Найти асимптоты.
4. Найти точки возможного экстремума.
5. Найти критические точки.
6. С помощью вспомогательного чертежа исследовать знак пер. вой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба.
7. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п. 1—6.

При этом в начале исследования полезно проверить, является данная функция четной или нечетной, чтобы при построении использовать симметрию графика относительно оси ординат или начала координат.

В качестве примера построим по изложенной выше схеме график функции

1. Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме х=1, при котором обращается в нуль знаменатель.
2. Так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0; — 1).

Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва х=1. Так как при является вертикальной асимптотой графика функции.

Если следовательно, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существования пределов

вытекает, что при и при график функции имеет наклонную асимптоту у=х+1.

4. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:
Решая уравнение получаем две точки возможного экстремума:

5. Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

Так как f»(х) в нуль не обращается, то критических точек нет.

Интерполяция функций

Интерполяция применяется при решении многих как теоретических, так и прикладных вопросов, связанных с вычислениями.

1. Постановка задачи. Пусть на отрезке [a, b] заданы значения функции y=f (х) в точках

Требуется найти многочлен не выше n-й степени:
который в точках принимает те же значения, что и lанная функция, т. е. выполняются равенства

Другими словами, требуется найти такой многочлен вида (1), который на отрезке [а, b] являлся бы приближением для функции у=f(х). Поставленная задача называется задачей интерполяции многочлен (1) — интерполяционным многочленом, а точки —узлами интерполяции. Решение данной задачи дает возможность находить приближенные значения функции f(х) в точках х, лежащих между узлами. Это важно, когда функция задана только в точках , а нужно уметь находить ее значения и в промежутках между этими точками, а также когда функция f(х) задается формулой на всем отрезке [а, b], но вычисление ее значений по этой формуле очень трудоемко.

Покажем, что всегда существует и притом единственный интерполяционный многочлен (1), удовлетворяющий условиям (2). Для простоты ограничимся случаем n=2, т. е. случаем многочлена второй степени

Подставляя в уравнение (3) вместо х последовательно числа и принимая во внимание, что в этих точках многочлен принимает соответственно значения получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными коэффициетами

Так как числа различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Следовательно (см. гл. 10, § 3), решение данной системы существует и оно единственно, что и доказывает утверждение. Геометрически это означает, через три точки проходит единственная линия, определяемая уравнением (3). Таким образом, интерполяционный многочлен (1) всегда существует и единствен. Далее будут рассмотрены различные формы интерполяционного многочлена.

Интерполяционная формула Лагранжа

Рассмотрим вопрос об отыскании коэффициентов интерполяционного многочлена (1) Подставляя этот многочлен в систему (2), получаем систему n+1 уравнений первой степени с n-1 неизвестными коэффициентами

решая которую найдем значения коэффициентов

Подставляя эти значения в равенство (1), получаем искомый интер-п0.пяционный многочлен. Однако на практике, как правило, решете системы связано с громоздкими вычислениями. Поэтому интерполяционный многочлен (1) будем искать в виде

Полагая в (4) и принимая во внимание условия (2), получаем

Полагая затем в (4) имеем

Аналогично найдем

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (4), получаем искомый интерполяционный многочле

Формула (5) называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Пример:

В результате эксперимента в точках , получены значения функции f(x), соответственно равные Найти многочлен второй степени , приближенно выражающий функцию f(х).
Решение. По формуле (5) находи

Интерполяционная формула Ньютона

Рассмотрим частный случай, когда разность h между соседними узлами интерполяции величина постоянная: Введем следующие обозначения

называемые разностями первого, второго, третьего, …, n-го порядков.

Найдем интерполяционный многочлен n-й степени, принимающий в точках соответственно значения Сначала найдем многочлен первой степени, принимающий в точках значения Подставляя в формулу (5) вместо х, число получаем

Аналогично находим:

Формула (6) определяет искомый многочлен и называется интерполяционной формулой Ньютона.

Задача интерполяции имеет единственное решение, поэтому формулы Лагранжа и Ньютона для данных значений тождественны и отличаются лишь группировкой членов. На практике формула Ньютона более удобна. Особенность ее заключается в том, что в случае добавления новых узлов интерполяции в формуле Лагранжа надо пересчитывать заново все коэффициенты, а в формуле Ньютона добавятся только новые слагаемые, а старые остаются без изменения.

Существуют и другие формулы интерполяции, среди которых наиболее употребительна эрмитова интерполяция. Задача ставится так: заданы n узлов, n значений функции f(х) и n значений ее производной f'(х) в узлах; требуется найти многочлен степени не выше 2n—1 такой, чтобы

На решении этой задачи останавливаться не будем, а только заметим, что если все х, различны, то существует единственное решение, которое находится аналогично предыдущему.

Остаточный член интерполяции

Для оценки близости интерполяционного многочлена к функции f(х) необходимо исследовать разность между функцией и интерполяционным многочленом называемую остаточным членом интерполяции.

Предположим, что на отрезке [a, b] существует (n+1)-я непрерывная производная . Тогда
так как Пусть х — любое фиксированное число, , не совпадающее с узлами интерполяции, t — переменная величина, . Положим
и рассмотрим на отрезке [а, b] вспомогательную функцию

Функция F(t), очевидно, n+1 раз дифференцируема на отрезке [a, b], причем в силу (7) и того факта, что имеем

Далее, функция F(t) обращается в нуль в n+2 точках: и х(х—фиксированное). Поэтому по теореме Ролля ее первая производная обращается в нуль, по крайней мере, в n+1 точке отрезка [a, b], вторая производная обращается в нуль, по крайней мере, в п точках этого отрезка и т. д. По индукции получаем, что (n+1)-я производная функции F(t) обращается, по крайней мере, один раз в нуль внутри отрезка [a, b]. Следовательно, существует точка такая, что

Полагая в (8) и используя (9), находим

Равенство (10) определяет остаточный член интерполяции. Обозначая через k наибольшее значение функции на отрезке получаем формулу оценки остаточного члена для любого

Методы приближенного вычисления корней уравнений

В этом параграфе рассмотрим вопрос о приближенном вычислении корней уравнения f(x)=0, где f (х) — некоторая непрерывная функция.

Из элементарной математики известен способ нахождения корней уравнения f(x)=0, если f (х) — линейная или квадратичная функция. Для более сложных функций обычно приходится прибегать к различным методам приближенного вычисления корней уравнения. Познакомимся с методом «вилки» и методом касательных.

Метод «вилки»

Пусть интересующий нас корень уравнения f(х)=0 является внутренней точкой отрезка [а, b] и других корней на [а, b] нет. Предположим, что функция f(х) непрерывна на [a, b] и имеет на концах этого отрезка значения разных знаков. На практике обычно грубой прикидкой находят такой отрезок. Назовем «вилкой» любой отрезок, на концах которого f(х) имеет значения разных знаков.

Для определенности будем считать, что Разделим [а, b] пополам и выберем тот из полученных отрезков, на концах которого f(х) имеет разные знаки. Обозначим его (Если бы значение f(х) в середине [а, b] равнялось нулю, то корень был бы найден.) Разделим пополам и выберем тот из полученных отрезков, на концах которого f(х) имеет разные знаки, и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получаем последовательность вложенных отрезков — вилок:

обладающих тем свойством, что для любого n
По теореме 2.13 о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам, к которой сходится каждая из последовательностей

Докажем, что точка с и является искомым корнем, т. е. f (с)=0. Поскольку f(х) непрерывна в точке с, каждая из последовательностей сходится к f(с). Но тогда из условий по теореме 2.10 получаем, что одновременно справедливы неравенства Отсюда f(с)=0, что и требовалось доказать.

Теперь нетрудно понять, как вычислить приближенно корень х=с. За приближенное значение этого корня можно взять середину отрезка , т. е. точку Так как длина равна , а расстояние от корня с до точки не превышает половины длины отрезка , то число отличается от точного значения корня не более чем на . Таким образом, описанный метод позволяет вычислить искомый корень с с любой точностью, если взять достаточно большое n. Этот метод удобен тем, что требует однотипных вычислительных операций. Поэтому его часто используют при проведении вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах.

Метод касательных

Этот метод является одним из самых эффективных методов приближенного вычисления корней уравнения f(x)=0.

Пусть по-прежнему корень х=с является внутренней точкой [а, b]. Предположим также, что на [а, b] функция f(х) имеет непрерывные знакопостоянные производные f'(х) и f»(x), а ее значения f (а) и f(b) имеют разные знаки. Так как знак f'(х) постоянен, то функция f(х) на [а, b] либо возрастает, либо убывает, и, следовательно, в обоих случаях график функции у=f(x) пересекает ось Ох только в одной точке, т. е. х=с является единственным корнем на [а, b]. Аналогично, так как знак f»(х) постоянен, то направление выпуклости графика функции y=f(x) на этом отрезке не меняется.

Для определенности рассмотрим случай, когда и В этом случае и график направлен выпуклостью вниз (рис. 92). Проведем через точку касательную к графику функции y=f(x). Ее уравнение имеет вид

Полагая у=0, найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох:

Так как то , а так как график функции y=f(x) pасположен не ниже касательной, то Итак, Возьмем за первое приближенное значение корня точку . Далее проведем касательную к графику через точку и, поступая аналогично, возьмем за второе приближенное значение корня точку :

При этом Продолжая этот процесс неограниченно для любого n получаем формулу

выражающую через . Таким образом, имеем последовательность приближенных значений корня с, причем

Формула (1) является основной расчетной формулой метода касательных. Он представляет собой метод последовательных приближений (итераций), который строится с помощью формулы (1).

Докажем, что последовательность сходится к искомому корню с и оценим погрешность, т. е. отклонение приближенного значения от точного значения корня с. Действительно, в силу (2), последовательность убывает и ограничена снизу числом с. Следовательно, по теореме 2.12 она имеет предел . Переходя к пределу в равенстве (1), учитывая непрерывность f(х) и f'(х), получаем

Неоткуда следует, что f(c’) = 0, т. е. с’ — корень уравнения f(x)=0. Но так как на [а, b] имеется только один корень с, то с’— с. Итак, последовательность сходится к корню с.

Оценим теперь отклонение n-го приближения от точного значения корня с. Применяя к выражению формулу Лагранжа, имеем , где Отсюда получаем следующую оценку:
где m — наименьшее значение на отрезке [а, b]. Формула (3) позволяет оценить отклонение приближенного значения от точного значения корня с через значение модуля функции f(x) в точке Отметим, что оценка (3) справедлива не только для метода касательных, но и вообще для любого метода приближенного вычисления корня при условии

Мы рассмотрели случай, когда на [а, b] зависимости от комбинации знаков f'(x) и f»(х) возможны ещё три случая: в каждом из которых обоснование метода касательных аналогично рассмотренному случаю.

Пример:

Вычислить корень уравнения методом касательных.
Решение. Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Найдем отрезок, на конца* которого функция f(х) имеет значения разных знаков. Так как f(2)= —1, f(3)=4, то таким отрезком является отрезок [2, 3].

Внутри него находится искомый корень уравнения. Функция f(х) имеет на этом отрезке непрерывные положительные производные f'(x)=2х и f»(х)=2. Следовательно, первую касательную к графику функции y=f(x) следует проводить через точку (3; 4). Положив в формуле (1) , получим первое приближение корня: Положив теперь в формуле (1) получим второе приближение корня: и наконец, положив в формуле (1), получим третье приближение корня: и т.д.

Для нахождения погрешности приближения воспользуемся формулой (3). Так как производная f'(х)=2х на [2, 3] возрастает, то наименьшим ее значением на этом отрезке является f'(2)=4, т. е. m=4. Найдем Теперь по формуле (3) имеем

Если по условию задачи такая точность вычисления корня достаточна, то процесс построения приближений следует прекратить, в противном случае этот процесс следует продолжить.

Обозначения дифференциального исчисления

Смотрите также:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат