Как найти где парабола пересекает оси

В предыдущем уроке мы подробно разобрали,
как построить параболу.
В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.

---

Как найти нули квадратичной функции

Рассмотрим задачу.

Найти нули квадратичной
функции «y = x² − 3».

Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное
квадратное уравнение.

Ответ: нули функции «y = x² − 3» :
    

x₁ = √3;
    

x₂ = −√3 .

Как найти при каких значениях
«x» квадратичная функция принимает заданное
числовое значение

Рассмотрим задачу.

При каких значениях «x» функция
«y = x² − x − 3» принимает значение
«−3».

Подставим в исходную функцию
«y = x² − x − 3» вместо «y = −3» и
найдем «x».

Ответ: при «x = 0» и
«x = 1» функция «y = x² − x − 3»
принимает значение «y = −3».

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x²»
и прямой «y = 3 − 2x».

Приравняем правые части функций и решим
полученное уравнение относительно «x».

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в
«y = 3 − 2x») полученные
числовые значения «x», чтобы найти координаты
«y» точек пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы
«y = x²»
и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (−3; 9) и
(·) B (1; 1).

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Рассмотрим задачу:

Не строя графика функции «y = x²», определить, какие точки принадлежат ему:
(·) А(2; 6),    
(·) B(−1; 1).

Подставим в функцию
«y = x²»

координаты точки (·) А(2; 6).

Подставим в функцию
«y = x²»

координаты точки (·) B(−1; 1).

---

Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Рассмотрим задачу

Найти координаты точек пересечения параболы
«y = x² −3x + 2» с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox».
На графике функции эти точки выглядят так:

Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox»
равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в
исходную функцию «y = x² −3x + 2»
и найдем их координаты по оси «Ox».

Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».

Как видно на рисунке выше, координата «x»
точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.

Подставим «x = 0»
в исходную функцию
«y = x² −3x + 2»
и найдем координату точки по оси
«Oy».

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).

---

Как определить при каких значениях x функция принимает
положительные или
отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает
значения» — речь идет о
значениях«y».
Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях
«x», координата
«y» положительна или отрицательна.

Рассмотрим задачу.

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить:
При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.

Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает
«x» в каждой из выделенных областей.

Ответ: при «x < −1» и
«x > 2» функция принимает отрицательные значения;
при «−1 < x < 2» функция принимает
положительные значения.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

1. Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

   — Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

   

   — Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

   

   — Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

   

   — Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

   

   — Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.

   

2. Парабола пересекает ось y в точке (c).

   

3. (b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) — абсциссы (икса) вершины параболы:

   (x_в=-frac{b}{2a})
   (b=-x_вcdot 2a)
   

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1);    (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:

   

2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

   Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

   (begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})

3. Решаем систему.
   Пример:

   (begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

   Вычтем из второго уравнения первое:

   (0=9a-b)
   (b=9a)

   Подставим (9a) вместо (b):

   (begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
   (begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

   Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

   (2=-2a)
   (a=-1)

   Найдем (b):

   (b=-9)

   Подставим в первое уравнение (a):

   (5=20+c)
   (c=-15).

   Получается квадратичная функция:   (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи). 

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ:   (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

1. График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

   

2. – Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
   – Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

   

3. – График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
   — График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц. 

   

4. График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
   График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

   

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

1. Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

   

2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

4. Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).

5. (f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат

В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:

$$ ax^2+bx+c = a(x+ frac{b}{2a})^2-frac{D}{4a}, D = b^2-4ac $$

Мы получаем:

• ось симметрии $x = -frac{b}{2a}$
• вершину параболы на оси симметрии $(–frac{b}{2a}; -frac{D}{4a})$
• точку пересечения (0;c) с осью OY

Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c).

Точки пересечения параболы с осью OX

Точки пересечения двух парабол

На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.

Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

В точках пересечения выполняется равенство:

$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$

Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:

$$ Ax^2+Bx+C = 0 $$

Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).

Примеры

Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:

$а) y = 3x^2+2x-1$

$б) y = -4x^2-3x+1$

$в) y = 5x^2-2x+1$

$ г) y = -x^2+4x-4 $

Пример 2*. Даны две параболы

$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$

Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы

1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.

По условию

$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$

$$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $$

A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k

Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.

1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:

1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1

2 случай: $c_2 ≠ c_1, D gt 0$

$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 cdot 1 cdot (1-k) = 4k gt 0 Rightarrow k gt 0 $$

Оба случая можем объединить требованием $k gt 0$.

2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:

$$ D = 4k = 0 Rightarrow k = 0 $$

3) Параболы не имеют общих точек, если:

$$ D = 4k lt 0 Rightarrow k lt 0 $$

Ответ: 1) $k gt 0$; 2) k = 0; 3) $k lt 0$

Пример 3. Две параболы с общей вершиной

Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.

Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

Координаты вершин:

$$ left( -frac{b_1}{2a_1}, — frac{D_1}{4a_1} right), left(- frac{b_2}{2a_2},- frac{D_2}{4a_2} right) $$

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} -frac{b_1}{2a_1} = -frac{b_2}{2a_2} \ -frac{D_1}{4a_1} = -frac{D_2}{4a_2} end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{b_1}{a_1} = frac{b_2}{2a_2} \ frac{D_1}{a_1} = frac{D_2}{a_2} end{array} right.} $$

Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.

Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = frac{x^2}{2}-3x+1$.

Координаты вершины:

$$ x_0 = — frac{b}{2a} = — frac{-3}{2 cdot frac{1}{2}} = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 cdot frac{1}{2} cdot 1 = 7 $$

$$ y_0 = — frac{D}{4a} = — frac{7}{4 cdot frac{1}{2}} = -3,5 $$

Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$

Пропорции для параметров (см. пример 3):

$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-3}{1/2} = -6 \ frac{D}{a} = frac{7}{1/2} = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = 14a end{array} right.} $$

Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:

$$ {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6a = -6 \ D = 14a = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ b^2-4ac = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ 36-4c = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ c = frac{36-14}{4} = 5,5 end{array} right.}$$

$$ y = x^2-6x+5,5 $$

$$ {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = -6a = 1,2 \ D = 14a = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ 1,2^2-4 cdot (-0,2)c = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ c = — frac{1,44+2,8}{0,8} = -5,3 end{array} right.} $$

$$ y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

Параболы

$$ y = frac{x^2}{2}-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

имеют общую вершину (3;-3,5)

Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = frac{x^2}{3}-2x+5$.

Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.

Координаты вершины траектории кометы:

$$ x_0 = -frac{b}{2a} = -frac{-2}{2 cdot frac{1}{3}} = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 cdot frac{1}{3} cdot 5 = — frac{8}{3} $$

$$ y_0 = — frac{D}{4a} = — frac{-8/3}{4 cdot 1/3} = 2 $$

Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.

Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.

Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:

$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-2}{1/3} = -6 \ frac{D}{a} = frac{-frac{8}{3}}{frac{1}{3}} = -8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = b^2-4a underbrace{c}_{text{= 0 }} = b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow $$

$$ {left{ begin{array}{c} b = frac{-8a}{-6a} = frac{4}{3} \ a = -frac{b}{6} = -frac{2}{9} end{array} right.} $$

Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:

$$ y = -frac{2}{9} x^2+ frac{4}{3} x $$

Функция вида  , где  называется квадратичной функцией. 

График квадратичной функции – парабола. 

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА 

, то есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем  точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться  в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ,  «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола   изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях  ордината    каждой точки умножилась на 4.  Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной  таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола  «станет шире»  параболы :

Давайте подитожим:

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ  «С»

 Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: ,   .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если  имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

,  . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы ,  ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку .  Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы  с осью (оу), это .   В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (,  ), две (, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас  корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения  с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана  в виде

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле ,   .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с 

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример  2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат:  Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли   вершину параболы , то есть теперь , .

Например,  . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае  – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Квадратичная функция (парабола)

Все знают, как выглядит парабола y = x². В седьмом классе мы рисовали таблицу:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

После этого по точкам строили график:

Параболу y = ax² + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.

1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.

На рисунке приведены две параболы y = ax² с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.

2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).

На рисунке приведены две параболы y = a₁x² и y = a₂x², у которых a₂ > a₁ > 0.

3. Абсцисса вершины параболы y = ax² + bx + c находится по формуле:

Для нахождения ординаты вершины y₀ удобнее всего подставить x₀ в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что

где D = b² − 4ac — дискриминант.

4. Точки пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью X находятся с помощью решения квадратного уравнения
ax² + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.

5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).

А теперь покажем, как с помощью графика функции y = ax² + bx + c решать квадратные неравенства.

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство

x² < 400.

Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.

Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу?

Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x² и отметим все значения x, для которых y < 400.

Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).

2. Решим неравенство: x² − 3x − 10 ≥ 0.

Графиком функции y = x² − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x² − 3x − 10 = 0, находим x₁ = −2 и x₂ = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:

Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!

3. Ещё одно неравенство: x² + 2x + 4 > 0.

Ветви параболы y = x² + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x² + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.

Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: .

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.

Подставим выражение для q в формулу выручки:

r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p².

Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:

100p − 10p² ≥ 240.

Переносим всё вправо и делим на 10:

p² − 10p + 24 ≤ 0.

Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p² − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.

Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.

Ответ: 6.

5. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t², где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?

Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство h(t) ≥ 3. Подставляем сюда выражение для h:

1,6 + 8t − 5t² ≥ 3.

Собираем всё справа:

5t² − 8t + 1,4 ≤ 0.

Корни соответствующего уравнения 5t² −8t+1,4 = 0 равны t₁ = 0,2 и t₂ = 1,4. Как дальше действовать — мы знаем.

Таким образом, через t₁ = 0,2 секунды после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t = 1,4 секунды снова стала равна трём метрам над землей.

Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t₂ − t₁ = 1,2 секунд. В бланк ответов вписываем десятичную дробь 1,2.

6. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением T(t) = T₀ + bt + at², где t — время в минутах, T₀ = 1400 К, a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 К прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

T(t) = 1400 + 200t − 10t².

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или

1400 + 200t − 10t² ≤ 1760.

Переносим всё вправо и делим на 10:

t² − 20t + 36 ≥ 0.

Находим t₁ = 2, t₂ = 18 и делаем рисунок:

Получаем решения нашего неравенства:

Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.

Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t = 2.

А что же решения t ≥ 18? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур T > 1760, прибор испортится, и формула T(t) = 1400+200t−10t², справедливая для исправного прибора, перестанет адекватно отражать реальность.

Поэтому в бланк ответов вписываем число 2.