Как найти геометрическую постоянную - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти знаменатель геометрической прогрессии

Согласно определению, геометрическая прогрессия — это последовательность неравных нулю чисел, каждое последующее из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число (знаменатель прогрессии). При этом в геометрической прогрессии не должно быть ни одного нуля, иначе вся последовательность «обнулятся», что противоречит определению. Чтобы найти знаменатель достаточно знать значения двух ее соседних членов. Однако, не всегда условия задачи бывают настолько простыми.

Вам понадобится

калькулятор

Инструкция

Разделите любой член прогрессии на предыдущий. Если значение предыдущего члена прогрессии неизвестно или неопределено (например, для первого члена прогрессии), то разделите на любой член последовательности значение последующего члена прогрессии.
Так как ни один член геометрической прогрессии не равен нулю, то при выполнении этой операции не должно возникнуть проблем.

Пример.
Пусть имеется последовательность чисел:

10, 30, 90, 270…

Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии.
Решение:

1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3.

2 вариант. Возьмем любой член геометрической прогрессии (например, 10) и разделим на него последующий (30): 30/10=3.

Ответ: знаменатель геометрической прогрессии 10, 30, 90, 270… равен 3.

Если значения членов геометрической прогрессии заданы не явно, а в форме соотношений, то составьте и решите систему уравнений.
Пример.
Сумма первого и четвертого члена геометрической прогрессии равняется 400 (b1+b4=400), а сумма второго и пятого члена равняется 100 (b2+b5=100).

Требуется найти знаменатель прогрессии.
Решение:

Запишите условие задачи в виде системы уравнений:
b1+b4=400

b2+b5=100
Из определения геометрической прогрессии вытекает, что:

b2=b1*q

b4=b1*q^3

b5=b1*q^4, где q – общепринятое обозначение знаменателя геометрической прогрессии.
Подставив в систему уравнений значения членов прогрессии, получите:
b1+ b1*q^3=400

b1*q+ b1*q^4=100
После разложения на множители получается:
b1*(1+q^3)=400

b1*q(1+q^3)=100
Теперь разделите соответствующие части второго уравнения на первое:
[b1*q(1+q^3)] / [b1*(1+q^3)] = 100/400, откуда: q=1/4.

Если известна сумма нескольких членов геометрической прогрессии или сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и
S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).
Пример.

Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.

Требуется определить знаменатель этой прогрессии.
Решение:

Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:
2=1/(1-q), откуда – q=1/2.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Как называется геометрической прогрессией?

Давай дадим определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Как определить какая прогрессия?

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d , называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: an = a1 + d ( n – 1 ) .

Что такое прогрессия в музыке?

progressio, приращение, от progredi — подвигаться вперед). — В музыке П. называется постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. При таком повторении мотива выбирается интервал, на который мотив должен постоянно перестанавливаться в восходящем или нисходящем направлении.

В чем разница между арифметической и геометрической прогрессией?

Вывод: В арифмитической прогрессий каждый последующий член больше на d. В геометрической прогрессии каждый последующий член больше в q раз.

Какой буквой обозначается геометрической прогрессии?

q
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой отличается от предыдущего в одно и тоже число раз. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q. Первый член последовательности обозначается b1.

Что значит выражение в геометрической прогрессии?

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — последовательность чисел, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число q, отличное от нуля (знаменатель прогрессии).

Как найти геометрическую прогрессию формула?

Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: bn = b1 q n — 1 . Сумма «n» первых членов геометрической прогрессии вычисляется как: Интерес также представляет «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия».

Что такое геометрическая прогрессия примеры?

Что такое геометрическая прогрессия? 3, 12, 48, 192, 768, 3072 – это пример геометрической прогрессии. Все эти объединенные единым общим множителем. В теории геометрической прогрессии он называется знаменателем и обозначается как q.

Сколько нот в аккорде?

Тюлин (1937, 1939 et passim) определяет аккорд как «одновременное сочетание, состоящее минимум из трёх тонов, расположенных по терциям». До того как установилось это понимание аккорда (термин фр.

Что такое прогрессия аккордов?

Аккордовая последовательность или гармоничная последовательность — это последовательность музыкальных аккордов, которые состоят из трех или более нот, обычно звучащих одновременно.

Как найти знаменатель в геометрической прогрессии?

Если последовательность ( b n ) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость: b n + 1 = b n ⋅ q . Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Что значит найти разность арифметической прогрессии?

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен сумме предыдущего числа и определенного фиксированного числа. … Другими словами, разность (шаг) арифметической прогрессии – разность между последующим и предыдущим членом.

Что означает в геометрической прогрессии?

Как найти число геометрической прогрессии?

Для того чтобы найти n член геометрической прогрессии необходимо первый член умножить на знаменатель прогрессии нужное количество раз. Знаменателем прогрессии является заданное число, которое неизменно на протяжении всего числового ряда.

Что значит выражение растет в геометрической прогрессии?

Последовательный ряд чисел, из которых каждое получается из предыдущего прибавлением какого-л. постоянного числа (арифметическая прогрессия) или умножением на постоянное число (геометрическая прогрессия).

Как найти b n?

b n = b 1 ⋅ q n − 1 ; b n = 8 ⋅ 0,5 n − 1 . Сумму первых n членов геометрической прогрессии S n можно найти, если вычислить её члены b 1 , b 2 … b n и затем их значения сложить.

Как найти n в арифметической прогрессии?

a n = a 1 + d ( n − 1 ) , где n — порядковый номер члена прогрессии, a 1 — первый член прогрессии, d — разность. Это равенство называется общей формулой арифметической прогрессии.

Источник

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему, умноженному на постоянный множитель.

Общий вид геометрической прогрессии
Свойства и формулы геометрической прогрессии

Общий вид геометрической прогрессии

b₁, b₁q, b₂q, …, b_n-1q

q – знаменатель прогрессии; это и есть постоянный множитель.
b ≠ 0, q ≠ 0

Члены прогрессии:

b₁
b₂ = b₁q
b₃ = b₂q = b₁q²
и т.д.

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Виды прогрессии:

возрастающая: b₁ > 0 и q₁ > 0;
убывающая: 0 < q < 1;
знакочередующаяся: q < 0;
стационарная: q = 1.

Свойства и формулы геометрической прогрессии

1. Нахождение n-ого члена (b_n)

b_n = b_n-1q
b_n = b₁q^n-1

2. Знаменатель прогрессии

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел b₁, b₂, b₃ … является геометрической прогрессией, если для любого ее члена справедливо следующее выражение:

При условии: 1 < i < n

Также данное свойство можно представить в таком виде:

4. Сумма первых членов прогрессии

Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии можно, используя формулу ниже (если q ≠ 1):

Если q = 1, то S_n = nb₁

5. Произведение первых членов прогрессии

6. Произведение членов прогрессии с k по n

7. Сумма всех членов убывающей прогрессии

При условии: |q| < 1, а значит, b_n → 0 при n → + ∞.

Источник

This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.
Find sources: «Constant curvature» – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2009) (Learn how and when to remove this template message)

See also: space form, curvature of Riemannian manifolds, and sectional curvature

In mathematics, constant curvature is a concept from differential geometry. Here, curvature refers to the sectional curvature of a space (more precisely a manifold) and is a single number determining its local geometry. The sectional curvature is said to be constant if it has the same value at every point and for every two-dimensional tangent plane at that point. For example, a sphere is a surface of constant positive curvature.

Classification[edit]

The Riemannian manifolds of constant curvature can be classified into the following three cases:

elliptic geometry – constant positive sectional curvature
Euclidean geometry – constant vanishing sectional curvature
hyperbolic geometry – constant negative sectional curvature.

Properties[edit]

Every space of constant curvature is locally symmetric, i.e. its curvature tensor is parallel .
Every space of constant curvature is locally maximally symmetric, i.e. it has ${frac {1}{2}}n(n+1)$ number of local isometries, where is its dimension.
Conversely, there exists a similar but stronger statement: every maximally symmetric space, i.e. a space which has ${frac {1}{2}}n(n+1)$ (global) isometries, has constant curvature.
(Killing–Hopf theorem) The universal cover of a manifold of constant sectional curvature is one of the model spaces:
- sphere (sectional curvature positive)
- plane (sectional curvature zero)
- hyperbolic manifold (sectional curvature negative)
A space of constant curvature which is geodesically complete is called space form and the study of space forms is intimately related to generalized crystallography (see the article on space form for more details).
Two space forms are isomorphic if and only if they have the same dimension, their metrics possess the same signature and their sectional curvatures are equal.

References[edit]

Moritz Epple (2003) From Quaternions to Cosmology: Spaces of Constant Curvature ca. 1873 — 1925, invited address to International Congress of Mathematicians
Frederick S. Woods (1901). «Space of constant curvature». The Annals of Mathematics. 3 (1/4): 71–112. doi:10.2307/1967636. JSTOR 1967636.

Источник

Геометрическая прогрессия – важное понятие в алгебре и в математике вообще, объясняется впервые в 9 классе. Обычно применяется при решении текстовых задач, связанных с экономикой или теорией вероятности, но может использоваться самостоятельно для усвоения понятия геометрической прогрессии. Арифметическую прогрессию мы изучали в предыдущих темах. Сейчас рассмотрим геометрическую прогрессию – дадим ей определение, рассмотрим основные формулы геометрической прогрессии и ее характеристики, разберем несколько примеров.

Определение геометрической прогрессии
Монотонная последовательность
Свойство геометрической прогрессии
Формулы геометрической прогрессии
- Формула n-го члена геометрической прогрессии
- Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
- Произведение равноотстоящих членов геометрической прогрессии
Примеры на геометрическую прогрессию с решениями
- Пример 1
- Пример 2
- Пример 3

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, то есть $b_2:b_1=b_3:b_2= ... = b_{n}:b_{n-1}=b_{n+1}:b_{n}=...$ Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается обычно буквой .

$displaystyle q=frac{b_{n+1}}{b_n}$

Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию , достаточно знать ее первый член и знаменатель . Например, условиями и можно задать геометрическую прогрессию: .

Монотонная последовательность

Если знаменатель геометрической прогрессии больше нуля , , то прогрессия называется монотонной последовательностью. Например, если прогрессия задана , тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, … есть монотонно убывающая последовательность.

Если прогрессия с параметрами , при образует последовательность 4, -12, 36, -108 … . Такая прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Если , то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Свойство геометрической прогрессии

Характеристической свойство геометрической прогрессии – последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, то есть ${b_{n+1}}^2=b_n cdot b_{n+2}$ , где .

Формулы геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула для определения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n=b_1 q^{n-1}$ , где .

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Для определения суммы n первых членов геометрической прогрессии используется формула:

$[S_n=frac{b_n q-b_1}{q-1}, (q neq 1)]$

Если в эту формулу вместо подставить выражение по формуле для определения n-го члена геометрической прогрессии, то мы получим вот такой вариант формулы:

$[S_n=frac{b_1(q^n-1)}{q-1} (q neq 1)]$

Произведение равноотстоящих членов геометрической прогрессии

Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что $b_1b_n=b_2b_{n-1}=const$ , то есть произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Примеры на геометрическую прогрессию с решениями

Пример 1

В геометрической прогрессии , , найти и .

Решение: чтобы найти определяется по формуле: $b_n=b_1 q^{n-1}$ , подставляя в нее данные примера, получим:

Сумму восьми первых членов геометрической прогрессии находим по формуле $S_n=frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ :

$S_8=frac{6 (3^8-1)}{3-1}=19680$

Ответ: 13122 и 19680.

Пример 2

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму первых десяти членов.

Решение: чтобы найти сумму первых десяти членов прогрессии нам нужно знать ее первый член и знаменатель. Для нахождения их составим систему уравнений.

$[left{ begin{aligned} b_1+b_2=15\ b_2+b_4=30\ end{aligned} right.]$

$[left{ begin{aligned} b_1(1+q^2)=15\ b_1 q (1+q^2)=30\ end{aligned} right.]$

Разделив почленно второе уравнение системы на первое уравнение системы, получим . Подставляя найденное значение . Подставляя найденное значение в первое уравнение, находим .

По формуле $displaystyle S_n=frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ находим: