15. Устойчивость сжатых стержней
|
а |
б |
в |
г |
д |
Рис. 15.5
Итак, коэффициент μ может быть определен исходя из геометрии задачи.
Если концы стержня закреплены так, что приведенная длина 0
оказывается одинаковой для обеих главных плоскостей, то при вычислении Fcr следует брать наименьший момент инерции поперечного сечения (см. формулу (15.11).
Если же закрепление концов стержня в плоскостях Oxz и Oyz таково, что коэффициенты приведенной длины различны и равны μ1 и μ2, соответственно, то критическая сила определяется как меньшая из двух возможных в главных плоскостях:
|
F = |
π2 EJ y |
и F = |
π2 EJ |
x |
. |
(15.14) |
|
|
(μ )2 |
(μ |
) |
|||||
|
1 |
2 |
2 |
2 |
||||
|
1 |
Пределы применимости формулы Эйлера. Нормальное напря-
жение σcr в поперечном сечении сжатого стержня, вызываемое критической силой, называется критическим напряжением. С учетом
(15.13), имеем
325
И. В. Богомаз. Механика
|
F |
π2 EJ |
x |
π2 E |
|||||||
|
σcr = |
cr |
= |
= |
, |
(15.15) |
|||||
|
(μ )2 A |
2 |
|||||||||
|
A |
μ |
|||||||||
|
ix |
где ix = Jx 
A − радиус инерции поперечного сечения. Введем обозначение
где λ – гибкость стержня, безразмерная геометрическая характеристика, определяемая размерами стержня и способом его закрепления.
Окончательно формула для критического напряжения выглядит
так:
При выводе формулы Эйлера была использована зависимость (15.2), полученная на основе закона Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня:
|
σcr = |
π2 E |
≤ σpr . |
(15.18) |
|
λ2 |
Отсюда значение гибкости, которое соответствует этому условию, составляет
Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим λпред и назовем предельной гибкостью
|
λпред = π E σpr . |
(15.20) |
Предельная гибкость зависит только от механических свойств материала и имеет постоянное значение. Так для стали марки ВСт3 при
326
15. Устойчивость сжатых стержней
E = 2,06 105 МПа и σpr = 200–210 МПа по формуле (15.20) λпред ≈100 ;
для древесины сосны и ели (при E = 10 МПа и σpr = 20 МПа) λпред = 70. Тогда условие применимости формулы Эйлера имеет вид
т. е. формула Эйлера применима только к упругим стержням, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.
Стержни, для которых выполняется условие (15.21), называются стержнями большой гибкости.
15.6. Продольный изгиб за пределом пропорциональности. Формула Ясинского
Формула Эйлера применима при λ ≥ λпред, т. е. только в случае упругих стержней. Для стержней с гибкостью меньше предельной λпред , она дает завышенные значения критической силы. Поэтому ис-
пользование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, является недопустимым.
Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого количества опытных данных.
Наиболее простой является линейная зависимость, предложенная в начале ХХ в. немецким ученым Л. Тетмаером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским:
где a и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала стержня и имеющие размерность напряжения. Например, для стали марки ВСт3 их значения таковы: а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.
Для чугуна пользуются параболической зависимостью
σcr = a −bλ+cλ2 .
327
И. В. Богомаз. Механика
Соответствующая критическая сила по формуле Ясинского находится так:
|
Fcr = A(a −b λ) . |
(15.23) |
Условие применимости формулы Ясинского. Формулой Ясин-
ского (15.22) можно пользоваться при условии, если значение σcr, вычисленное по этой формуле, не превышает предела σy текучести для пластичного материала и предел σuc прочности при сжатии для хрупкого материала. Обозначим в формуле (15.22) через λ0 значение гибкости, при котором σcr = σy для пластичного материала и σcr = σuc для хрупкого материала.
Тогда условие применимости формулы Ясинского можно записать в виде
Стержни, для которых выполняется условие (15.24), называются стержнями средней гибкости. Для стали марки ВСт3 с параметрами σpr = 200 МПа, σy = 240 МПа по формуле (15.22) получим λ0 ≈ 60.
Стержни, у которых λ < λ0, называются стержнями малой гибкости. Они могут разрушиться не в результате потери устойчивости, а при центральном сжатии. Для них критическое напряжение считается постоянным: σcr = σy или σcr = σuc.
15.7. Диаграмма критических напряжений
В зависимости от гибкости сжатые стержни делятся на три категории:
1. Стержни большой гибкости (λ ≥ λпред), для которых расчет ведется по формуле Эйлера. В системе координат σcr – λ зависимость
σcr = π22E может быть представлена гиперболической кривой.
λ
2. Стержни средней гибкости (λ0 ≤ λ ≤ λпред) рассчитываются на устойчивость по эмпирической формуле Ясинского (15.22). Для них зависимость линейна:
σcr = a −b λ.
328
15. Устойчивость сжатых стержней
Рис. 15.6
3. Стержни малой гибкости (λ < λ0) рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них значение σcr постоянно (σy или σuc).
На рис. 15.6 показана диаграмма зависимости критических напряжений от гибкости сжатого стержня для стали ВСт3, которая состоит из трех частей:
•гиперболы Эйлера АВ при λ ≥ 100;
•наклонной прямой Ясинского ВС при 60 ≤ λ < 100;
•горизонтальной прямой CD при λ0 < 60.
График показывает, что по мере возрастания гибкости критическое напряжение стремится к нулю. При гибкости λ > 100 стержень теряет устойчивость в упругой стадии. Для значений λ < 100 пунктирной линией показано продолжение гиперболы Эйлера в области ее неприменимости (за пределом упругости). Из графика видно, что для стержней средней и малой гибкости формула Эйлера дает сильно завышенные значения критических напряжений.
При гибкости 60 < λ < 100 стержень теряет устойчивость в упру- го-пластической стадии (наклонная прямая ВС). Горизонтальная прямая CD соответствует напряжению, равному пределу текучести.
Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решать задачи устойчивости сжатых стержней на всем интервале значений гибкостей, которые встречаются в строительной практике.
Пример 15.1. Стальной стержень круглого трубчатого сечения D = 10 см и d = 7 см при длине = 3, 2 м имеет шарнирно закрепленные
329
И. В. Богомаз. Механика
концы (рис. 15.7). Вычислить величину допускаемого сжимающего усилия F, если требуемый коэффициент запаса устойчивости K = 3.
Материал стержня – сталь марки ВСт3 с пределом пропорциональности σpr = 210 МПа и модулем упругости E = 2 105 МПа.
Решение. Величину допускаемой силы F найдем исходя из условия устойчивости F ≤ FKcr , предварительно вычислив критическую силу Fcr,
формулудлякоторойвыберемвзависимостиотгибкостистержня. Определяем геометрические характеристики поперечного сече-
ния стержня:
•площадь сечения
А= πD4 2 (1−α2 )= π 104 2 (1−0,72 )= 40 см2 ,
где α = Dd ;
•осевой момент инерции сечения относительно любой оси
J = π64D4 (1−α4 )= π64104 (1−0,74 )= 373 см4 ;
Рис. 15.7
330
15. Устойчивость сжатых стержней
• радиус инерции сечения
|
i = |
J |
= |
373 |
= 3,05 см. |
|
|
A |
40 |
||||
Устанавливаем гибкость стержня и выбираем формулу для критической силы.
|
λ = |
μ |
= |
1 320 |
=105. |
|
i |
3,05 |
Предельная гибкость для материала стержня
|
λпред = π |
E |
= 3,14 |
2,1 105 |
=100. |
|
|
σpr |
210 |
||||
Так как λ = 105 > λпред = 100, то следует взять формулу Эйлера. Вычисляем величину критической силы:
|
F |
= |
π2 E J |
= |
3,142 2,1 1011 373 10−8 |
= 754кН. |
|
|
(μ )2 |
(1 3, 2)2 |
|||||
|
cr |
Вычисляем значение допускаемой силы:
F ≤ FКcr = 7543 = 251кН.
Ответ: допускаемое значение сжимающей силы F ≤ 251 кН.
Пример 15.2. Двутавровый стержень № 14, имеющий длину =1,8 м, нагружен продольной сжимающей силой F = 200 кН. Один конец стержня оперт шарнирно, другой защемлен (рис. 15.8). Определить величину коэффициента запаса устойчивости K. Материал стержня − сталь; предельная гибкость λпред = 100, коэффициенты a = 310 МПа, b = 1,14 МПа.
Решение. Величину коэффициента запаса устойчивости найдем,
используя условие устойчивости F ≤ FKcr по формуле K = FFcr , пред-
331
И. В. Богомаз. Механика
варительно вычислив значение критической силы Fcr, формулу для которой выберем в зависимости от гибкости стержня.
Определим геометрическиехарактеристики поперечного сечения. Из сортамента прокатной стали для двутавра № 14 имеем
A = 17,4 см2; ix = 5,73 см; iy = 1,55 см.
Очевидно, что потеря устойчивости произойдет в плоскости наименьшей жесткости, поэтому при вычислении гибкости следует
взять imin = iy. Гибкость стержня
|
λ = |
μ |
= |
0,7 180 |
= 81,3. |
|
i |
1,55 |
|||
|
min |
Вычислимкритическуюсилу. Гибкостьстержня
λ= 81,3 < λпред = 100,
поэтому воспользуемся эмпирической формулой Ясинского:
Fcr = A(a −bλ)17, 4 10−4 (310 −1,14 81,3) 106 = 378кН.
Рис. 15.8
332
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Колонна — это вертикальный элемент несущей конструкции здания, которая передает нагрузки от вышерасположенных конструкций на фундамент.
При расчете стальных колонн необходимо руководствоваться СП 16.13330 «Стальные конструкции».
Для стальной колонны обычно используют двутавр, трубу, квадратный профиль, составное сечение из швеллеров, уголков, листов.
Для центрально-сжатых колонн оптимально использовать трубу или квадратный профиль — они экономны по массе металла и имеют красивый эстетический вид, однако внутренние полости нельзя окрасить, поэтому данный профиль должен быть герметично.
Широко распространено применение широкополочного двутавра для колонн — при защемлении колонны в одной плоскости данный вид профиля оптимален.
Большое значение влияет способ закрепления колонны в фундаменте. Колонна может иметь шарнирное крепление, жесткое в одной плоскости и шарнирное в другой или жесткое в 2-х плоскостях. Выбор крепления зависит от конструктива здания и имеет больше значение при расчете т.к. от способа крепления зависит расчетная длина колонны.
Также необходимо учитывать способ крепления прогонов, стеновых панелей, балки или фермы на колонну, если нагрузка передается сбоку колонны, то необходимо учитывать эксцентриситет.
При защемлении колонны в фундаменте и жестком креплении балки к колонне расчетная длина равна 0,5l, однако в расчете обычно считают 0,7l т.к. балка под действием нагрузки изгибается и полного защемления нет.
На практике отдельно колонну не считают, а моделируют в программе раму или 3-х мерную модель здания, нагружают ее и рассчитывают колонну в сборке и подбирают необходимый профиль, но в программах бывает трудно учесть ослабление сечения отверстиями от болтов, поэтому бывает необходимо проверять сечение вручную.
Чтобы рассчитать колонну нам необходимо знать максимальные сжимающие/растягивающие напряжения и моменты, возникающие в ключевых сечениях, для этого строят эпюры напряжения. В данном обзоре мы рассмотрим только прочностной расчет колонны без построения эпюр.
Расчет колонны производим по следующим параметрам:
1. Прочность при центральном растяжении/сжатии
2. Устойчивость при центральном сжатии (в 2-х плоскостях)
3. Прочность при совместном действии продольной силы и изгибающих моментов
4. Проверка предельной гибкости стержня (в 2-х плоскостях)
1. Прочность при центральном растяжении/сжатии
Согласно СП 16.13330 п. 7.1.1 расчет на прочность элементов из стали с нормативным сопротивлением Ryn ≤ 440 Н/мм2 при центральном растяжении или сжатии силой N следует выполнять по формуле
где N — нагрузка на сжатие/растяжение;
An — площадь поперечного сечения профиля нетто, т.е. с учетом ослабления его отверстиями;
Ry — расчетное сопротивление стали проката (зависит от марки стали см. Таблицу В.5 СП 16.13330);
γс — коэффициент условий работы (см. Таблицу 1 СП 16.13330).
По этой формуле можно вычислить минимально-необходимую площадь сечения профиля и задать профиль. В дальнейшем в проверочных расчетах подбор сечения колонны можно будет сделать только методом подбора сечения, поэтому здесь мы можем задать отправную точку, меньше которой сечение быть не может.
2. Устойчивость при центральном сжатии
Расчет на устойчивость производится согласно СП 16.13330 п. 7.1.3 по формуле
где N — нагрузка на сжатие/растяжение;
A — площадь поперечного сечения профиля брутто, т.е.без учета ослабления его отверстиями;
Ry — расчетное сопротивление стали;
γс — коэффициент условий работы (см. Таблицу 1 СП 16.13330);
φ — коэффициент устойчивости при центральном сжатии.
Как видим эта формула очень напоминает предыдущую, но здесь появляется коэффициент φ, чтобы его вычислить нам вначале потребуется вычислить условную гибкость стержня λ (обозначается с чертой сверху).
где Ry — расчетно сопротивление стали;
E — модуль упругости;
λ — гибкость стержня, вычисляемая по формуле:
где lef — расчетная длина стержня;
i — радиус инерции сечения.
Расчетные длины lef колонн (стоек) постоянного сечения или отдельных участков ступенчатых колонн согласно СП 16.13330 п. 10.3.1 следует определять по формуле
где l — длина колонны;
μ — коэффициент расчетной длины.
Коэффициенты расчетной длины μ колонн (стоек) постоянного сечения следует определять в зависимости от условий закрепления их концов и вида нагрузки. Для некоторых случаев закрепления концов и вида нагрузки значения μ приведены в таблице 30 СП 16.13330.2017:
Таблица 30
| Схема закрепления колонны (стойки) и вид нагрузки |  |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| μ | 1,0 | 0,7 | 0,5 | 2,0 | 1,0 | 2,0 | 0,725 | 1,12 |
Радиус инерции сечения можно найти в соответствующем ГОСТ-е на профиль, т.е. предварительно профиль должен быть уже задан и расчет сводится к перебору сечений.
Т.к. радиус инерции в 2-х плоскостях для большинства профилей имеет разные значения на 2-х плоскостей (одинаковые значения имеют только труба и квадратный профиль) и закрепление может быть разным, а следственно и расчетные длины тоже могут быть разные, то расчет на устойчивость необходимо произвести для 2-х плоскостей.
Итак теперь у нас есть все данные чтобы рассчитать условную гибкость.
Если предельная гибкость больше или равна 0,4, то коэффициент устойчивости φ вычисляется по формуле:
значение коэффициента δ следует вычислить по формуле:
коэффициенты α и β смотрите в таблице 7 СП 16.13330.2017
Таблица 7
(таблица 7 в ред. Изменения N 2, утв. Приказом Минстроя России от 04.12.2019 N 769/пр)
| Тип сечения | Значение коэффициента | ||
| обозначение | форма | α | β |
| a |  |
0,03 | 0,06 |
| b |  |
0,04 | 0,09 |
| c |  |
0,04 | 0,14 |
| Примечания 1 Значения коэффициентов для прокатных двутавров высотой свыше 500 мм при расчете на устойчивость в плоскости стенки следует принимать по типу сечения a. 2 На рисунках настоящей таблицы оси «x-x» и «y-y» обозначены в сечениях, нормально к которым располагается расчетная плоскость для определения φ по формуле (8); в остальных сечениях коэффициенты не зависят от расчетной плоскости. |
Значения коэффициента φ, вычисленные по этой формуле, следует принимать не более (7,6/ λ 2) при значениях условной гибкости свыше 3,8; 4,4 и 5,8 для типов сечений соответственно а, b и с.
При значениях λ < 0,4 для всех типов сечений допускается принимать φ = 1.
Значения коэффициента φ приведены в приложении Д СП 16.13330.
Теперь когда все исходные данные известны производим расчет по формуле, представленной вначале:
Как уже было сказано выше, необходимо сделать 2-а расчета для 2-х плоскостей. Если расчет не удовлетворяет условию, то подбираем новый профиль с более большим значением радиуса инерции сечения. Также можно изменить расчетную схему, например изменив шарнирную заделку на жесткую или закрепив связями колонну в пролете можно уменьшить расчетную длину стержня.
Сжатые элементы со сплошными стенками открытого П-образного сечения рекомендуется укреплять планками или решеткой. Если планки отсутствуют, то устойчивость следует проверять на устойчивость при изгибно-крутильной форме потери устойчивости согласно п.7.1.5 СП 16.13330.
3. Прочность при совместном действии продольной силы и изгибающих моментов
Как правило колонна нагружена не только осевой сжимающей нагрузкой, но и изгибающем моментом, например от ветра. Момент также образуется если вертикальная нагрузка приложена не по центру колонны, а сбоку. В этом случае необходимо сделать проверочный расчет согласно п. 9.1.1 СП 16.13330 по формуле
где N — продольная сжимающая сила;
An — площадь сечения нетто (с учетом ослабления отверстиями);
Ry — расчетное сопротивление стали;
γс — коэффициент условий работы (см. Таблицу 1 СП 16.13330);
n, Сx и Сy — коэффициенты принимаемые по таблице Е.1 СП 16.13330
Таблица Е.1
Коэффициенты cx, cy, n
| Тип сечения | Схема сечения |  |
Наибольшие значения коэффициентов | ||
| cx | cy | n при My = 0 <*> | |||
| 1 |  |
0,25 | 1,19 | 1,47 | 1,5 |
| 0,5 | 1,12 | ||||
| 1,0 | 1,07 | ||||
| 2,0 | 1,04 | ||||
| 2 |  |
0,5 | 1,40 | 1,47 | 2,0 |
| 1,0 | 1,28 | ||||
| 2,0 | 1,18 | ||||
| 3 |  |
0,25 | 1,19 | 1,07 | 1,5 |
| 0,5 | 1,12 | 1,12 | |||
| 1,0 | 1,07 | 1,19 | |||
| 2,0 | 1,04 | 1,26 | |||
| 4 |  |
0,5 | 1,40 | 1,12 | 2,0 |
| 1,0 | 1,28 | 1,20 | |||
| 2,0 | 1,18 | 1,31 | |||
| 5 |  |
— | 1,47 | 1,47 | а) 2,0 б) 3,0 |
| 6 |  |
0,25 | 1,47 | 1,04 | 3,0 |
| 0,5 | 1,07 | ||||
| 1,0 | 1,12 | ||||
| 2,0 | 1,19 | ||||
| 7 |  |
— | 1,26 | 1,26 | 1,5 |
| 8 |  |
— | 1,60 | 1,47 | а) 3,0 б) 1,0 |
| 9 |  |
0,5 | 1,60 | 1,07 | а) 3,0 б) 1,0 |
| 1,0 | 1,12 | ||||
| 2,0 | 1,19 | ||||
| <*> При My≠0 следует принимать n = 1,5, за исключением сечения типа 5, а), для которого n = 2, и типа 5, б), для которого n = 3. Примечания 1 Коэффициенты для промежуточных значений Af/Aw следует определять линейной интерполяцией. 2 Значение коэффициентов cx, cy следует принимать не более 1,15γf, где γf — коэффициент надежности по нагрузке, определяемый как отношение расчетного значения эквивалентной (по значению изгибающего момента) нагрузки к нормативному. |
Mx и My — моменты относительно осей X-X и Y-Y;
Wxn,min и Wyn,min — моменты сопротивления сечения относительно осей X-X и Y-Y (можно найти в ГОСТ-е на профиль или в справочнике);
B — бимомент, в СНиП II-23-81* этого параметра не было в расчетах, этот параметр ввели для учета депланации;
Wω,min – секторальный момент сопротивления сечения.
Если с первыми 3-мя составляющими вопросов быть не должно, то учет бимомента вызывает некоторые трудности.
Бимомент характеризует изменения, вносимые в линейные зоны распределения напряжений депланации сечения и, по сути, является парой моментов, направленных в противоположные стороны
Стоит отметить, что многие программы не могут рассчитать бимомент, в том числе и SCAD его не учитывает.
4. Проверка предельной гибкости стержня
Гибкости сжатых элементов λ= lef / i, как правило, не должны превышать предельных значений λu, приведенных в таблице 32 СП 16.13330
Таблица 32
| Элементы конструкций | Предельная гибкость сжатых элементов λu |
| 1 Пояса, опорные раскосы и стойки, передающие опорные реакции: | |
| а) плоских ферм, структурных конструкций и пространственных конструкций из труб или парных уголков высотой до 50 м | 180-60α |
| б) пространственных конструкций из одиночных уголков, а также пространственных конструкций из труб и парных уголков высотой св. 50 м | 120 |
| 2 Элементы, кроме указанных в позициях 1 и 7: | |
| а) плоских ферм, сварных пространственных и структурных конструкций из одиночных уголков, пространственных и структурных конструкций из труб и парных уголков | 210-60α |
| б) пространственных и структурных конструкций из одиночных уголков с болтовыми соединениями | 220-40α |
| 3 Верхние пояса ферм, не закрепленные в процессе монтажа (предельную гибкость после завершения монтажа следует принимать по позиции 1) | 220 |
| 4 Основные колонны | 180-60α |
| 5 Второстепенные колонны (стойки фахверка, фонарей и т.п.), элементы решетки колонн, элементы вертикальных связей между колоннами (ниже балок крановых путей), балки и прогоны, с учетом работы на сжатие | 210-60α |
| (в ред. Изменения N 2, утв. Приказом Минстроя России от 04.12.2019 N 769/пр) | |
| 6 Элементы связей, кроме указанных в позиции 5, а также стержни, служащие для уменьшения расчетной длины сжатых стержней, и другие ненагруженные элементы, кроме указанных в позиции 7 | 200 |
| 7 Сжатые и ненагруженные элементы пространственных конструкций таврового и крестового сечений, подверженные воздействию ветровых нагрузок, при проверке гибкости в вертикальной плоскости | 150 |
Обозначение, принятое в таблице 32: — коэффициент, принимаемый не менее 0,5 (в соответствующих случаях вместо φ следует принимать φe). |
Коэффициент α в данной формуле это коэффициент использования профиля, согласно расчету на устойчивость при центральном сжатии.
Также как и расчет на устойчивость данный расчет нужно сделать для 2-х плоскостей.
В случае если профиль не подходит необходимо изменить сечение увеличив радиус инерции сечения или изменив расчетную схему (изменить закрепления или закрепить связями чтобы уменьшить расчетную длину).
Если критическим фактором является предельная гибкость, то марку стали можно взять наименьшую т.к. на предельную гибкость марка стали не влияет. Оптимальный вариант можно вычислить методом подбора.
Продольный изгиб
При расчетах на прочность подразумевалось, что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым. Однако выход конструкции из строя может произойти из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым. Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку устойчивости элементов конструкций.
Состояние равновесия считается устойчивым, если при любом возможном отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в первоначальное положение.
Рассмотрим известные виды равновесия.
Неустойчивое равновесное состояние будет в том случае, когда хотя бы при одном из возможных отклонений системы от положения равновесия возникнут силы, стремящиеся удалить её от начального положения.
Состояние равновесия будет безразличным, если при разных отклонениях системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в начальное положение, но хотя бы при одном из возможных отклонений система продолжает оставаться в равновесии при отсутствии сил, стремящихся вернуть её в начальное положение или удалить от этого положения.
При потере устойчивости характер работы конструкции меняется, так как этот вид деформации переходит в другой, более опасный, способный привести её к разрушению при нагрузке значительно меньшей, чем это следовало из расчета на прочность. Очень существенно, что потеря устойчивости сопровождается нарастанием больших деформаций, поэтому явление это носит характер катастрофичности.
При переходе от устойчивого равновесного состояния к неустойчивому конструкция проходит через состояние безразличного равновесия. Если находящейся в этом состоянии конструкции сообщить некоторое небольшое отклонение от начального положения, то по прекращении действия причины, вызвавшей это отклонение, конструкция в исходное положение уже не вернется, но будет способна сохранить приданное ей, благодаря отклонению, новое положение.
Состояние безразличного равновесия, представляющее как бы границу между двумя основными состояниями – устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием. Нагрузка, при которой конструкция сохраняет состояние безразличного равновесия, называется критической нагрузкой.
Эксперименты показывают, что обычно достаточно немного увеличить нагрузку по сравнению с её критическим значением, чтобы конструкция из-за больших деформаций потеряла свою несущую способность, вышла из строя. В строительной технике потеря устойчивости даже одним элементом конструкции вызывает перераспределение усилий во всей конструкции и нередко влечет к аварии.
Изгиб стержня,связанный с потерей устойчивости, называется продольным изгибом.
Критическая сила. Критическое напряжение
Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.
При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером.
В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности, критическая сила вычисляется по формуле Эйлера:
где Imin – минимальный момент инерции сечения стержня (обусловлено тем, что изгиб стержня происходит в плоскости с наименьшей жесткостью), однако исключения могут быть только в случаях, когда условия закрепления концов стержня различны в разных плоскостях, ℓ — геометрическая длина стержня, μ – коэффициент приведенной длины или коэффициент приведения (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой закрепления стержней 
Критическое напряжение вычисляется следующим образом
, где 
гибкость стержня ,
а 
радиус инерции сечения.
Введем понятие предельной гибкости.
Величина λпред зависит только от вида материала: 
Если у стали 3 Е=2∙1011Па, а σпц=200МПа, то предельная гибкость
Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80
Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λпред критическая сила определяется по формуле Эйлера.
В упругопластической стадии деформирования стержня, когда значение гибкости находится в диапазоне λ0≤λ≤λпр, (стержни средней гибкости) расчет проводится по эмпирическим формулам, например, можно использовать формулу Ясинского Ф.С. Значения введенных в нее параметров определены эмпирически для каждого материала.
σк=а-bλ, или Fкр= A(a— bλ)
где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем (эмпирические коэффициенты).Так, для стали3 а=310МПа, b=1,14МПа.
При значениях гибкости стержня 0≤λ≤λ0 (стержни малой гибкости) потеря устойчивости не наблюдается.
Таким образом, пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.
Условие устойчивости. Типы задач при расчете на устойчивость. Коэффициент продольного изгиба
Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:
Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:
1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,
2) от способа закрепления концов стержня,
3) от материала стержня.
Как и всякая допускаемая величина, [σуст] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр, при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия.
Поэтому 
Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение коэффициента запаса прочности, то есть если k=1÷2, то kуст=2÷5.
Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:
В этом случае 
,
где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс).
Коэффициент φ<1 и потому называется коэффициентом снижения основного допускаемого напряжения, то есть [σ] по прочности, или иначе коэффициентом продольного изгиба.
С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:
Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня , где:
μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), ℓ — геометрическая длина стержня,
i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.
Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1, зависит ,как уже говорилось, как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.
При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции.
Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов
На основании условия устойчивости решаются три вида задач:
- Проверка устойчивости.
- Подбор сечения.
- Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А.
Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:
Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции , который в свою очередь включен в формулу гибкости , от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ. Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений:
1 попытка: задаемся φ1 из средней зоны таблицы, находим 
, определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем 
и сравниваем со значением φ1 . Если 
, то:
2 попытка: принимаем 
, находим 
, определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем 
, и если 
, то:
3 попытка: принимаем 
, находим 
, определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем 
, и т.д.
Процесс приближений продолжается до тех пор, пока разница не окажется менее 5%.