Как найти гипотенузу треугольника если известна высота - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Все прямоугольные треугольники имеют один прямой угол (90 градусов), а противоположная ему сторона называется гипотенузой.^[1] Гипотенуза — самая длинная сторона треугольника, и найти ее можно различными способами. В этой статье мы расскажем вам, как найти гипотенузу по теореме Пифагора (когда известны длины двух других сторон треугольника), по теореме синусов (когда известны длина катета и угол) и в некоторых частных случаях (часто такие задания встречаются на контрольных и тестах).

1

Теорема Пифагора связывает все стороны прямоугольного треугольника.^[2] Согласно данной теореме, в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» и гипотенузой «с»: a² + b² = c².^[3]
2
Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.
- Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата.
3
Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты — стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу — как «с» (гипотенуза — самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла). Затем подставьте данные вам значения в формулу.
- Например, катеты треугольника равны 3 и 4. В этом случае а = 3, b = 4, а формула выглядит так: 3² + 4² = c².
4
Возведите в квадрат значения катетов («a» и «b»). Для этого просто умножьте число само на себя:
- Если a = 3, то a² = 3 x 3 = 9. Если b = 4, то b² = 4 x 4 = 16.
- Подставьте эти значения в формулу: 9 + 16 = с².
5
Сложите найденные квадраты катетов (a² и b²), чтобы вычислить квадрат значения гипотенузы (с²).
- В нашем примере 9 + 16 = 25, поэтому с² = 25.
6
Найдите квадратный корень с². Используйте калькулятор, чтобы извлечь квадратный корень из найденного значения. Так вы вычислите гипотенузу треугольника.
- В нашем примере с² = 25. Квадратный корень из 25 равен 5 (так как 5 х 5 = 25, поэтому √25 = 5). Это означает, что гипотенуза с = 5.
Реклама

1
Определение пифагоровой тройки. Пифагорова тройка — это три числа (длины трех сторон), которые удовлетворяют теореме Пифагора. Очень часто треугольники с такими сторонами приводятся в учебниках и на тестах. Если вы запомните первые несколько пифагоровых троек, вы сэкономите много времени на тестах или экзаменах, потому что сможете вычислить гипотенузу, просто взглянув на длины катетов.^[4]
- Первая пифагорова тройка: 3-4-5 (3² + 4² = 5², 9 + 16 = 25). Если дан треугольник с катетами 3 и 4, то вы можете с уверенностью заявить, что гипотенуза равна 5 (без необходимости делать какие-либо расчеты).
- Пифагоровы тройки работают даже в том случае, когда числа умножены или разделены на один коэффициент. Например, если катеты равны 6 и 8, гипотенуза равна 10 (6² + 8² = 10², 36 + 64 = 100). То же самое верно для 9-12-15 и даже для 1,5-2-2,5.
- Вторая пифагорова тройка: 5-12-13 (5² + 12² = 13², 25 + 144 = 169). Также к этой тройке относятся, например, числа 10-24-26 и 2,5-6-6,5.
2
Равнобедренный прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, углы которого равны 45,45 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:1:√2. Это означает, что гипотенуза в таком треугольнике равна произведению катета и квадратного корня из 2.
- Чтобы вычислить гипотенузу такого треугольника, просто умножьте длину любого катета на √2.^[5]
- Это соотношение особенно удобно, когда в задачах вместо числовых значений даются переменные.
3
Половина равностороннего прямоугольного треугольника. Это такой треугольник, углы которого равны 30,60 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:√3:2 или х:х√3:2х. Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике выполните одно из следующих действий:^[6]
- Если вам дан короткий катет (противолежащий углу в 30 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4, то гипотенуза равна 8.
- Если вам дан длинный катет (противолежащий углу в 60 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2/√3, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4, то гипотенуза равна 4,62.
Реклама

1

Поймите, что означает «синус». Синус, косинус и тангенс угла — это основные тригонометрические функции, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. Обозначается синус как sin.^[7]
2
Научитесь вычислять синус. Чтобы вычислить синус, на калькуляторе найдите клавишу sin, нажмите ее, а затем введите значение угла. В некоторых калькуляторах сначала нужно нажать клавишу перехода к работе с функциями, а затем нажать клавишу sin. Поэтому поэкспериментируйте с калькулятором или проверьте его документацию.
- Чтобы найти синус угла в 80 градусов, нажмите «sin», «8», «0», «=» или нажмите «8», «0», «sin», «=» (ответ: -0,9939).
- Вы также можете найти онлайн-калькулятор, введя в поисковой системе «вычисление синуса» (без кавычек).^[8]
3
Запомните теорему синусов. Теорема синусов является полезным инструментом для вычисления углов и сторон любого треугольника. В частности, она поможет вам найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если вам дан катет и угол, отличный от прямого. Согласно теореме синусов, в любом треугольнике со сторонами a, b, c и углами A, B, C верно равенство a / sin A = b / sin B = c / sin С.^[9]
- Теорема синусов применяется к любым треугольникам, а не только к прямоугольным (но только в прямоугольном треугольнике есть гипотенуза).
4

Обозначьте стороны треугольника через «а» (известный катет), «b» (неизвестный катет), «с» (гипотенуза). Затем обозначьте углы треугольника через «А» (напротив катета «а»), «В» (напротив катета «b»), «С» (напротив гипотенузы).
5
Найдите третий угол. Если вам дан один из острых углов прямоугольного треугольника (А или В), а второй угол всегда равен 90 градусам (С = 90), то третий угол вычисляется по формуле 180 — (90 + А) = B (помните, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам). При необходимости уравнение можно изменить и так: 180 — (90 + B) = A.
- Например, если угол A = 40 градусам, то B = 180 — (90 + 40) = 180 — 130 = 50 градусов.
6
На данном этапе вам известны значения всех трех углов и длина катета «а». Теперь вы можете подставить эти значения в формулу теоремы синусов, чтобы найти две другие стороны.
- В нашем примере допустим, что катет а = 10, а углы равны C = 90˚, A = 40˚, В = 50˚.
7

Подставьте данные и найденные значения в теорему синусов, чтобы найти гипотенузу: катет «а»/синус угла «A» = гипотенуза «с»/синус угла «С». При этом sin 90˚ = 1. Таким образом, уравнение упрощается до: а/sinA = с/1 или с = а/sinA.
8
Разделите длину катета «а» на синус угла «А», чтобы найти длину гипотенузы. Для этого сначала найдите синус угла, а затем выполните деление. Или вы можете воспользоваться калькулятором, введя 10/(sin40) или 10/(40sin) (не забудьте про скобки).
- В нашем примере sin 40 = 0,64278761, а с = 10/0,64278761 = 15,6.
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 313 675 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как вычислить длину гипотенузы

Гипотенуза – математический термин, встречающийся при рассмотрении прямоугольных треугольников. Это наибольшая из его сторон, противолежащая прямому углу. Вычислить длину гипотенузы можно разными способами, в том числе по теореме Пифагора.

Инструкция

Треугольник является простейшей замкнутой геометрической фигурой, состоящей из трех вершин, углов и сторон, каждая из которых имеет свое название. Гипотенуза и два катета – стороны прямоугольного треугольника, длины которых связаны между собой и с другими величинами различными формулами.

Наиболее часто для того, чтобы вычислить длину гипотенузы, задачу сводят к применению теоремы Пифагора, которая звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следовательно, ее длина находится вычислением квадратного корня из этой суммы.

Если известен только один катет и величина одного из двух углов, не являющихся прямыми, то можно воспользоваться тригонометрическими формулами. Предположим, дан треугольник ABC, в котором AC=c – гипотенуза, AB=a и BC=b – катеты, α – угол между a и c, β – угол между b и c. Тогда:c = a/cosα = a/sinβ = b/cosβ = b/sinα.

Решите задачу: найти длину гипотенузы, если известно, что AB=3 и угол BAC при этой стороне равен 30°.РешениеИспользуйте тригонометрическую формулу:AC = AB/cos30° = 3•2/√3 = 2•√3.

Это был простой пример на нахождение наибольшей стороны прямоугольного треугольника. Решите следующую: определить длину гипотенузы, если высота BH, проведенная к ней из противоположной вершины, равна 4. Известно также, что высота делит сторону на отрезки AH и HC, причем AH=3.

РешениеОбозначьте неизвестную часть гипотенузы HC=x. Как только вы найдете х, то сможете вычислить и длину гипотенузы. Итак, AC=x+3.

Рассмотрите треугольник AHB — он прямоугольный по определению высоты. Вы знаете длины двух его катетов, значит, можете найти гипотенузу a, которая является катетом треугольника ABC:a=√(AH² + BH²) = √(16+9) = 5.

Перейдите к другому прямоугольному треугольнику BHC и найдите его гипотенузу, которая равна b, т.е. второму катету треугольника ABC:b² = 16 + x².

Вернитесь к треугольнику ABC и запишите формулу Пифагора, составьте уравнение относительно х:(x+3)² = 25 + (16 + x²)x² + 6•x + 9 = 41 + x² → 6•x = 32 → x=16/3.

Подставьте х и найдите гипотенузу:AC = 16/3 + 3 = 25/3.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

После изучения темы про прямоугольные треугольники ученики часто выбрасывают из головы всю информацию о них. В том числе и то, как найти гипотенузу, не говоря уже о том, что это такое.

И напрасно. Потому что в дальнейшем диагональ прямоугольника оказывается этой самой гипотенузой, и ее нужно найти. Или диаметр окружности совпадает с самой большой стороной треугольника, один из углов которого прямой. И найти ее без этого знания невозможно.

Существует несколько вариантов того, как найти гипотенузу треугольника. Выбор метода зависит от исходного набора данных в условии задачи величин.

Способ под номером 1: даны оба катета

Это самый запоминающийся метод, потому что использует теорему Пифагора. Только иногда ученики забывают, что по этой формуле находится квадрат гипотенузы. Значит, чтобы найти саму сторону, нужно будет извлечь квадратный корень. Поэтому формула для гипотенузы, которую принято обозначать буквой «с», будет выглядеть так:

с = √ (а² + в²), где буквами «а» и «в» записаны оба катета прямоугольного треугольника.

Способ под номером 2: известен катет и угол, который к нему прилежит

Для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить тригонометрические функции. А именно косинус. Для удобства будем считать, что даны катет «а» и прилежащий к нему угол α.

Теперь нужно вспомнить, что косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению двух сторон. В числителе будет стоять значение катета, а в знаменателе — гипотенузы. Из этого следует, что последнюю можно будет сосчитать по формуле:

с = а / cos α.

Способ под номером 3: даны катет и угол, который лежит напротив него

Чтобы не запутаться в формулах, введем обозначение для этого угла — β, а сторону оставим прежнюю «а». В этом случае потребуется другая тригонометрическая функция — синус.

Как и в предыдущем примере, синус равен отношению катета к гипотенузе. Формула этого способа выглядит так:

с = а / sin β.

Для того чтобы не запутаться в тригонометрических функциях, можно запомнить простое мнемоническое привило: если в задаче идет речь о противолежащем угле, то нужно использовать синус, если — о прилежащем, то косинус. Следует обратить внимание на первые гласные в ключевых словах. Они образуют пары о-и или и-о.

Способ под номером 4: по радиусу описанной окружности

Теперь, для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить свойство окружности, которая описана около прямоугольного треугольника. Оно гласит следующее. Центр окружности совпадает с серединой гипотенузы. Если сказать по-другому, то самая большая сторона прямоугольного треугольника равна диагонали окружности. То есть удвоенному радиусу. Формула для этой задачи будет выглядеть так:

с = 2 * r, где буквой r обозначен известный радиус.

Это все возможные способы того, как находить гипотенузу прямоугольного треугольника. Пользоваться в каждой конкретной задаче нужно тем методом, который больше подходит по набору данных.

Пример задачи №1

Условие: в прямоугольном треугольнике проведены медианы к обоим катетам. Длина той, которая проведена к большей стороне, равна √52. Другая медиана имеет длину √73. Требуется вычислить гипотенузу.

Решение.

Так как в треугольнике проведены медианы, то они делят катеты на два равных отрезка. Для удобства рассуждений и поиска того, как найти гипотенузу, нужно ввести несколько обозначений. Пусть обе половинки большего катета будут обозначены буквой «х», а другого — «у».

Теперь нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых являются известные медианы. Для них нужно дважды записать формулу теоремы Пифагора:

(2у)² + х² = (√52)²

(у)² + (2х)² = (√73)².

Эти два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решив их, легко можно будет найти катеты исходного треугольника и по ним его гипотенузу.

Сначала нужно все возвести во вторую степень. Получается:

4у² + х² = 52

у² + 4х² = 73.

Из второго уравнения видно, что у² = 73 — 4х². Это выражение нужно подставить в первое и вычислить «х»:

4(73 — 4х²) + х² = 52.

После преобразования:

292 — 16 х² + х² = 52 или 15х² = 240.

Из последнего выражения х = √16 = 4.

Теперь можно вычислить «у»:

у² = 73 — 4(4)²= 73 — 64 = 9.

у = 3.

По данным условия получается, что катеты исходного треугольника равны 6 и 8. Значит, можно воспользоваться формулой из первого способа и найти гипотенузу:

√(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: гипотенуза равна 10.

Пример задачи №2

Условие: вычислить диагональ, проведенную в прямоугольнике с меньшей стороной, равной 41. Если известно, что она делит угол на такие, которые соотносятся как 2 к 1.

Решение.

В этой задаче диагональ прямоугольника является наибольшей стороной в треугольнике с углом 90º. Поэтому все сводится к тому, как найти гипотенузу.

В задаче идет речь об углах. Это значит, что нужно будет пользоваться одной из формул, в которых присутствуют тригонометрические функции. А сначала требуется определить величину одного из острых углов.

Пусть меньший из углов, о которых идет речь в условии, будет обозначен α. Тогда прямой угол, который делится диагональю, будет равен 3α. Математическая запись этого выглядит так:

90º = 3 α.

Из этого уравнения просто определить α. Он будет равен 30º. Причем он будет лежать напротив меньшей стороны прямоугольника. Поэтому потребуется формула, описанная в способе №3.

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, то есть:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Ответ: гипотенуза равна 82.

Источник

Гипотенуза — сторона в прямоугольном треугольнике, находящаяся напротив прямого угла. Две других стороны — катеты. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (формула: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты). Очень часто для вычисления гипотенузы используется именно эта теорема.

Как найти гипотенузу?

Как найти гипотенузу, зная катеты?

Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).

Например:

Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:

c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.

Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).

Как найти катет в прямоугольном треугольнике

По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:

Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:

(c — гипотенуза, a и b — катеты)

Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.

Применяем формулу b = √c² — a² ⇔

b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.

Как найти гипотенузу, зная катет и угол?

Если есть противолежащий катет — теорема синусов

Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).

Формула:

Например:

Известна одна сторона треугольника 𝐴𝐶 = √2 и ∠β = 45º.

∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).

Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.

Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.

Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:

BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º

В таблице вы найдёте значения для синуса:

sin 45º	√2/2
sin 60º	√3/2
sin 90º	1

В условии задачи нам дано: 𝐴𝐶 = √2, значит:

BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º

Подставляем значения синуса из таблицы:

BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔

BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)

Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:

AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2

Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.

Если есть прилежащий катет — по косинусу

Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).

Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.

Например:

Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).

Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.

Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.

BC = 1/ (√2/2) = √2

Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.

Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).

Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.

Например:

Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.

Формула b = √2a². Подставляем:

b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899

Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):

c² = a² + b²

c² = 7² + 7²

c² = 49 + 49

c² = 98

c = √98

c ≈ 9.899

Ответ: гипотенуза равна 9.899.

Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.

Источник

Гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она лежит напротив прямого угла. Длина гипотенузы может быть найдена различными способами.

Если известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.
${a^2}+{b^2}={c^2}$

Соответственно длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:

$c=sqrt{{a^2}+{b^2}}$

К примеру: катет a = 3 см, катет b = 4 см.
Чтобы найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, подставим числа в формулу. $c=sqrt{{3^2}+{4^2}}=sqrt{9+16}=sqrt{25}$ =5 см

Преобразовав эту формулу можно найти и длину одного неизвестного катета.
$a=sqrt{{c^2}-{b^2}}$ , $b=sqrt{{c^2}-{a^2}}$

Калькулятор нахождения гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Катет a=	Катет b=
Ответ: Гипотенуза= 5.000

В случае если известна длина катета A и гипотенузы C, угол α можно определить по формуле:
Второй угол будет вычисляться так: β = 180°-90°-α. Зная, что сумма всех углов составляет 180°, вычитаем прямой угол и уже известный.

К примеру: A = 3 см, C=5 см, подставляем значения в формулу: =0,6
По таблицу синусов угол α будет приблизительно равен 36°, соответственно угол β = 54°.

Если по условиям даны параметры двух катетов, то можно найти острый угол по следующей формуле:

К примеру: A = 3 см, B = 4 см
Подставляем значения в формулу =0,75
По таблице тангенсов угол α будет равняться 36°, соответственно угол β = 54°.

Также стороны прямоугольного треугольника можно найти по различным формулам в зависимости от количества известных переменных.

При расчете параметров прямоугольного треугольника важно обращать внимание на известные значения и решать задачу по самой простой формуле.

Источник