Как найти гистограмму частот по выборке - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма

Пусть из генеральной совокупности
извлечена выборка, причём
наблюдалосьраз,—раз, и т.д.раз и— объём выборки.

Наблюдаемые значения
называютвариантами,
а последовательность вариант, записанных
в возрастающем порядке, — вариационным
рядом. Числа наблюдений называютчастотами,
а их отношения к объёму выборки— относительными частотами.

Статистическим
распределением выборкиназывается перечень вариант и
соответствующих им частот или относительных
частот. Следует отметить, что в теории
вероятностей под распределением понимают
соответствие между возможными значениями
случайной величины и их вероятностями,
а в математической статистике –
соответствие между наблюдаемыми
вариантами и их частотами.

Пусть
— число наблюдений, при которых наблюдалось
значение признака, меньшее—
объём выборки. Относительная частота
событияравна.
Еслиизменяется, то, вообще говоря, изменяется
и относительная частота, т.е. относительная
частотаесть функция от.
Так как эта функция находится опытным
путём, то её называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения
называется функция
,
определяющая для каждого значенияотносительную частоту события.
Итак

В отличие от эмпирической функции
распределения выборки функцию
распределения
генеральной совокупности называют
теоретической функцией распределения.
Различие между эмпирической и теоретической
функциями состоит в том, что теоретическая
функцияопределяет вероятность события,
а эмпирическая функцияопределяет относительную частоту этого
же события.

Функция
обладает следующими свойствами:

значения функции принадлежат отрезку
;
— неубывающая функция;
если
— наименьшая варианта, топри;
если—
наибольшая варианта, топри.

Пример
1. Найти эмпирическую функцию по
данному распределению выборки:

1 4 6

10 15 25

Р е ш е н и е.
.
Наименьшая варианта равна 1, поэтомупри.
Значение,
а именно,
наблюдалось 10 раз, значит,при.
Значение,
а именно:и,
наблюдалось 10+15=25 раз; следовательно,при.
Так как— наибольшая варианта, топри.

Для наглядности строят
различные графики статистического
распределения и, в частности, полигон
и гистограмму.

Полигоном
частот
называют ломаную линию, отрезки которой
соединяют

Полигоном
относительных частот называют ломаную,
отрезки которой соединяют точки
,,
. . . ,.

При непрерывном
распределении признака весь интервал,
в котором заключены все наблюдаемые
значения признака, разбивают на ряд
частичных интервалов длиной
и находят— сумму частот вариант, попавших вi-ый
интервал.

Гистограммой
частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длины
,
а высоты равны отношению.
Площадь частичного -го прямоугольника
равна—
сумме частот вариант, попавших в-ый
интервал. Площадь гистограммы частот
равна сумме всех частот, т.е. объёму
выборки.
Гистограммой относительных частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною(плотность относительной частоты).

На рис. 3 изображена
гистограмма частот по данному распределению
выборки объёма
.

Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты
1 – 5	10	2,5
5 – 9	20	5
9 – 13	50	12,5
13 – 17	12	3
17 – 21	8	2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Постройка полигона и гистограммы частот

Содержание:

Что такое полигон и гистограмма частот
Как построить полигон частот
Как построить гистограмму частот
Чему равна площадь гистограммы частот
Примеры создания полигона и гистограммы в задачах

Что такое полигон и гистограмма частот

Для наглядного представления ряда распределения используют полигон и гистограмму частот.

Определение

Полигон частот – это ломаная, соединяющая точки (x₁, n₁), (x₂, n₂),…, (x_k, n_k), где x_i – это варианты или наблюдаемые значения, а n_i – частота вариантов.

Существует также полигон относительных частот, представляющий собой ломаную, которая образуется при соединении точек (x₁, W₁), (x₂, W₂),…, (x_k, W_k). Величина W является отношением частоты данного варианта к объему выборочной совокупности и имеет вид:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(W_i=frac{n_i}n)

где n – это объем выборки.

Гистограмму используют в случае непрерывного признака.

Определение

Гистограмма частот – это фигура в виде ступеней – прямоугольников, в основании которых лежат частичные интервалы длины h, а высотами служат W_i.

Для гистограммы относительных частот основанием прямоугольников ступенчатой фигуры служат частичные интервалы длины h, а высотами – отношение W_i/h.

Как построить полигон частот

Полигон частот строится следующим образом. На оси абсцисс отмечают наблюдения значения x, на оси ординат откладывают соответствующие x_i частоты n_i. Точки с координатами (x_i, n_i), соединенные прямыми отрезками, составляют ломаную – полигон частот.

Пример

Полигон частот для выборки со следующими значениями:

x_i 92, 94, 95, 96, 97, 98.

n_i1, 2, 2, 3, 1, 1.

График

Как построить гистограмму частот

Алгоритм построения гистограммы частот такой: на оси OX отмечаются частичные интервалы h, затем над отложенными значениями проводятся отрезки, параллельные оси OY, на расстоянии отношения плотности частоты n_i/h.

Пример гистограммы частот при частичном интервале h, равном 3.

Сумма частот вариант h: 2–5, 5–8, 8–11, 11–14.

Плотность частоты n_i/h: 3,3; 8,3.

График 2

Чему равна площадь гистограммы частот

Площадь отдельного прямоугольника гистограммы равна сумме частот интервала i и имеет вид:

(frac{n_ih}h=n_i)

Площадь всей гистограммы складывается из всех частот, значит, она равна объему выборки.

Примеры создания полигона и гистограммы в задачах

Задача 1

Успеваемость студентов по дисциплине «Высшая математика» представлена в виде баллов:

Баллы, x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Количество студентов, n: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 5, 3, 3, 2, 1.

Нужно построить полигон частот по этим данным.

Решение

На основе представленной информации строим точки и соединяем их отрезками прямой. Следует заметить, что точки с координатами (0; 0) и (13; 0), которые располагаются на оси OX, имеют своими абсциссами числа на 1 меньшее и большее, чем абсциссы наиболее левой и наиболее правой точек соответственно. Полигон частот выглядит так:

График 3

Задача 2

По итогам контрольной работы по биологии среди учеников 9-го класса получена информация о доступности вопросов тестирования (отношение количества учеников, верно ответивших на вопросы, к общему числу учащихся, написавших данную работу). Результаты:

Доступность вопросов, x (%): 25–35, 35–45, 45–55, 55–65, 75–85, 85–95.

Количество вопросов, n: 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1.

Всего в контрольной работе было 25 вопросов.

Необходимо построить гистограмму по этому ряду распределения.

Решение

Отмечаем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. Эти отрезки будут основанием прямоугольников с высотами 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Ступенчатая фигура, полученная в результате перечисленных действий, является искомой гистограммой.

Источник

§ 2. Введение в визуализацию данных

Как правило, использование списков данных — не самый лучший способ
представить данные в вашей работе потому что мы не можем получить много
информации о них просто взглянув на список. Есть и более удобные способы
и в этой статье мы рассмотрим 3 из них на примере следующей выборки:

30 студентов СПбГАУ набрали на интернет-тестировании следующее
количество баллов:

100

Листостебельная диаграмма

Одним из простейших способов как-то визуализировать данные являются
листостебельные диаграммы (stem and leaf diagrams). Для нашего
примера мы можем построить такую диаграмму:

Эта диаграмма состоит из стебля — чисел, стоящих слева от
вертикальной линии, которые представляют собой десятки и
листьев — соответствующих чисел справа от линии, которые являются
единицами. В общем случае, стебель строят из редко меняющихся разрядов
(десятков в нашем случае), а листья — из тех разрядов, которые меняются
часто (в нашем случае это единицы). Из такой диаграммы мы сможем быстро
получить некую информацию, например, мы видим что 2 студента набрали
максимальное количество баллов, а 3 написали тест меньше, чем на 60
баллов.

Мы также можем построить
сортированную листостебельную диаграмму (sorted stem and leaf diagram)
— она строится точно так же как и обычная, но её листья отсортированны в
проядке возрастания. Для нашего примера:

Такие диаграммы могут быть довольно гибкими: например мы можем разбить
элементы стебля на более мелкие диапазоны. Так, разобьём значение 80 на
два (80-84 и 85-89):

Как построить листостебельную диаграмму по шагам:

Определите часто и редко меняющиеся разряды в ваших данных
Выпишите редко меняющиеся разряды слева от линии
Выпишите часто меняющиеся разряды справа от линии

Гистограмма частот

Листостебельная диаграмма непрактична для большой выборки, поэтому можно
использовать
гистограмму частот (frequency histogram). Сначала мы выделяем
группы каких-либо значений, например значения из примера выше мы можем
сгруппировать так:

группа

100

значения

0-9

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

70-79

80-89

90-99

100

Затем подсчитываем частоту для каждой группы (то есть строим таблицу
частот для групп):

100

И строим диаграмму частот, отмечая группы по оси

x
, а их частоты — по оси

y
:

Этот способ может быть применён к любому количественному набору данных.
Вы можете создавать группы на своё усмотрение, например, разделить
группу 80 на две: 80 и 85.

Как построить гистограмму частот по шагам:

Сгруппируйте данные
Постройте таблицу частот для групп
Постройте гистограмму, отметив по оси

x

группы, а по оси

y

частоты

Гистограмма относительных частот

До этого момента мы работали с
абсолютными частотами (absolute frequency) то есть количеством
вхождений элемента в набор данных (в случае с частотами группы —
количеством значений, входящих в группу), но мы также можем работать и с
относительными частотами.

Относительная частота (relative frequency),

— отношение частоты элемента к размеру выборки или генеральной
совокупности

Мы можем построить таблицу относительных частот для нашего примера:

100

0.033

0.01

0.333

0.167

0.233

0.067

И строим гистограмму, на этот раз отмечая по оси y уже относительные
частоты:

Как вы можете заметить, пропорции столбиков и общий вид гистограммы не
отличается от гистограммы абсолютных частот — изменяются лишь числа на
оси

y
.
Тем не менее, гистограмма относительных частот позволяет нам
моментально оценить какую часть данных занимает та или иная группа.
Также как и при построении гистограммы частот, при построении
гистограммы относительных частот выбор количества групп обычно зависит
от размера выборки или генеральной совокупности. Чем больше размер, тем
больше групп мы можем выделить.

Как построить гистограмму относительных частот по шагам:

Сгруппируйте данные
Постройте таблицу частот для групп
Постройте таблицу относительных частот для групп
Постройте гистограмму, отметив по оси

x

группы, а по оси

y

— относительные частоты

Источник

Построение полигона, гистограммы, кумуляты, огивы

Для наглядности строят различные графики статистического
распределения, и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигон
Гистограмма
Кумулята и огива

Полигон

Полигоном частот называют
ломаную, отрезки которой соединяют точки

. Для построения полигона частот на оси
абсцисс откладывают варианты

, а на оси ординат – соответствующие им
частоты

. Такие точки

соединяют
отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных
частот называют ломаную, отрезки которой соединяют
точки

. Для построения полигона относительных
частот на оси абсцисс откладывают варианты

, а на оси ординат – соответствующие им
относительные частоты (частости)

. Такие точки

соединяют
отрезками прямых и получают полигон частот.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пример 1

Построить полигон частот и
полигон относительных частот (частостей):

Решение

Вычислим относительные
частоты (частости):

Полигон частот

Полигон относительных частот

В случае интервального ряда для
построения полигона в качестве

берутся середины интервалов.

Гистограмма

В случае интервального
статистического распределения целесообразно построить гистограмму.

Гистограммой частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною

, а высоты (в случае равных интервалов) должны
быть пропорциональны частотам. При построении гистограммы с неравными
интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность частоты

. Это необходимо сделать для устранения
влияния величины интервала на распределение и иметь возможность сравнивать
частоты.

В случае построения
гистограммы относительных частот (гистограммы частостей)
высоты в случае равных интегралов должны быть пропорциональны относительной
частоте

, а в случае неравных интервалов высота
равна плотности относительной частоты

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пример 2

Построить гистограмму
частот и относительных частот (частостей)

Гистограмма частот

Гистограмма относительных частот

Пример 3

Построить гистограмму
частот (случай неравных интервалов).

Решение

Вычислим плотности
частоты:

Гистограмма частот

Кроме этой задачи на другой странице сайта есть

пример построения полигона и гистограммы на одном графике для интервального вариационного ряда

Кумулята и огива

При помощи кумуляты (кривой сумм) изображается ряд накопленных частот.
Накопленные частоты определяются путём последовательного суммирования частот по
группам и показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше,
чем рассматриваемое значение. При построении кумуляты
интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а
по оси ординат накопленные частоты, которые наносят на поле в виде
перпендикуляров к оси абсцисс в верхних границах интервалов. Затем эти
перпендикуляры соединяют и получают ломаную линию, т.е. кумуляту.

Если при графическом
изображении вариационного ряда в виде кумуляты оси
поменять местами, то получим огиву. То есть огива строится аналогично кумуляте с той
лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения
признака — на оси ординат.

Пример 4

Построить кумулятивную
кривую:

Решение

Вычислим накопленные
частоты:

Кумулятивная кривая

Источник

Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру в виде прямоугольников. Длина каждого прямоугольника представляет собой равный одинаковый частотный интервал и вычисляется по формуле:

x_i-x_i-1

Высоты гистограммы определяется по формуле:

Формула размаха выборки R:

R=x_max−x_min

Количество интервалов в выборке определяется по формуле:

k≈1+log₂n≈1+3,221·lgn

Длина l интервала гистограммы, формула:

l=R/n

Формула эмпирической плотности распределения выборки имеет вид:

х_i — значения частот;

n_i — частоты;

w_i — относительные частоты;

n — объём выборки;

В водоёме проведены измерения температуры воды в течение 20 дней.

Статистика отчета измерений:

11, 15, 18, 14, 12, 13, 11, 14, 18, 19, 18, 14, 15, 16, 14, 18, 21, 17, 13, 16

Построить гистограмму относительных, абсолютных и накопленных частот выборки, вычислить эмпирическую плотность распределения частот.

Решение.

По условию задачи объем выборки равен 20.

Отсортируем и упорядочим вариационный ряд, начиная от самого минимального значения, получим:

11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 21

Найдем размах выборки

R=21-11=10

Количество интервалов в выборке равно:

k≈log₂20+1≈5,32

Округляя до целого числа, имеем

k=5

Определим длину каждого интервала

l=10/5=2

Получаем таблицу интервалов

Номер интервала	Абсолютная частота, n_i	Частотный интервал
1.	3	[11;13)
2.	6	[13;15)
3.	4	[15;17)
4.	5	[17;19)
5.	2	[19;21)

Таблица относительных частот и эмпирическая плотность распределения частоты

Частотный интервал	Относительная частота, w_i=n_i/n	Эмпирическая плотность распределения частоты n_i/Δ
[11;13)	0.15	1.5
[13;15)	0.3	3
[15;17)	0.2	2
[17;19)	0.25	0.25
[19;21)	0.1	0.1

График гистограммы абсолютных частот

График гистограммы относительных частот

График гистограммы накопленных частот

Полигон в статистике — это график (или ломанная линия), отрезки которой соединяют точки с координатами х_i, w_i в прямоугольной системе координат между собой (см. рисунок ниже) и наглядно показывает распределение частот как для количественных, так и порядковых значений переменных, то плотность распределения случайной величины.

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат — соответствующие им частоты n_i и соединяют точки.

Пример графика полигона частот х_i, n_i

Пример графика полигона относительных частот х_i, w_i

22898

Источник