Как найти главную центральную ось инерции

   Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции , и , можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.

   При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции и всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент

может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.

   Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать и ; для них

Найдем, под каким углом наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.

Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.

   В известном выражении для перехода от осей yz к осям , для центробежного момента инерции дадим углу значение ; тогда оси и , совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:

или

откуда:

(1)

   Этому уравнению удовлетворяют два значения , отличающиеся на 180°, или два значения , отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси и , для которых .

   Пользуясь этой формулой, можно по известным , и получить формулы для главных моментов инерции и . Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения и если вместо подставить

(2)

   Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является , другим .

   Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения . Выражая и через и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену из формулы (1):

Заменяя здесь из формулы (1) дробь на

получаем

(3)

   К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).

   За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси и ; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции (). Обозначим угол, составленный осью , (Рис.2) с главной осью , через . Для вычисления , и , переходя от осей и нужно в ранее найденных выражениях для , и , заменить угол через , а , и — через , и . В результате получаем:

   По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J) от начального положения оси у:

   Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты , и после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла и вычислить главные центральные моменты инерции и по формулам (14.18).

Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных осей.

   Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси (Рис.2), наклоненной к под углом :

   Зная же центральный момент инерции , можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси , проходящей на расстоянии (рис.2) от центра тяжести:

   Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы мы уже имели дело с интегралом, представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.

   Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии — всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.

   Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей.

Рис.3. Пример расчета моментов инерции.

   Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:

Центральные моменты относительно повернутых осей и равны:

Центробежный момент инерции относительно осей и равен:

Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны:

Моменты инерции относительно осей и равны:

Центробежный момент инерции равен:

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.

   Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.

   Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось , и начнем ее вращать, т. е. менять угол ; при этом будет изменяться величина

Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу , при котором производная обращается в нуль. Эта производная равна:

Подставляя в написанное выражение и приравнивая его нулю, получаем:

отсюда

   Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то

Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т, е. если

то

   Следовательно, главные центральные оси инерции — это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.

Дальше…

Главные оси и главные
моменты инерции

Оси,
относительно
которых центробежный момент инерции
равен нулю, называют главными
осями (иногда
их называют главными
осями инерции). Через
любую точку, взятую в плоскости сечения,
можно провести в общем случае пару
главных осей (в некоторых частных случаях
их может быть бесчисленное множество).
Для того чтобы убедиться в справедливости
этого утверждения, рассмотрим, как
изменяется центробежный момент инерции
при повороте осей на 90′ (рис. б.7). Для
произвольной площадки dA, взятой в первом
квадранте системы осей хОу, обе координаты,
а следовательно, и их произведение
положительны. В новой системе координат
х,Оу„ повернутой относительно
первоначальной на 90′, произведение
координат рассматриваемой площадки
отрицательно. Абсолютное
значение этого
произведения не изменяется, т. е. ху= —
х1у,. Очевидно,
то
же самое имеет место и для любой другой
элементарной площадки. Значит, и знак
суммы dAxy, представляющий собой центробежный
момент инерции сечения, при повороте
осей на 90′ меняется на противоположный,
т. е. J = = — J.

В
процессе поворота осей центробежный
момент инерции изменяется непрерывно,
следовательно,
при некотором положении осей он становится
равным нулю. Эти оси и являются главными.

Хотя
мы и установили, что главные оси можно
провести через любую точку сечения, но
практический интерес представляют
только те из них, которые проходят через
центр тяжести сечения — главные
центральные оси.
В
дальнейшем,
как правило,
для краткости будем называть их просто
главными
осями, опуская
слово «центральные».

В
общем случае сечения произвольной формы
для определения положения главных осей
необходимо провести специальное
исследование. Здесь ограничимся
рассмотрением частных случаев сечений,
имеющих по меньшей мере одну ось симметрии
(рис. 6.8).

П
роведем
через. центр тяжести сечения ось Ох,
перпендикулярную оси симметрии Оу, и
определим центробежный момент инерции
J. Воспользуемся известным из курса
математики свойством определенного
интеграла (интеграл суммы равен сумме
интегралов) и представим J s виде двух
слагаемых:

так
как, для любой элементарной площадки,
расположенной справа от оси симметрии,
есть соответствующая слева, для которой
произведение координат отличается лишь
знаком.

Таким
образом, центробежный момент инерции
относительно осей Ох и Оу оказался
равным нулю, т. е. это главные
оси. Итак,
для
нахождения главных осей симметричного
сечения достаточно найти положение его
центра тяжести. Одной из главных
центральных осей является ось симметрии,
вторая ось ей перпендикулярна. Конечно,
приведенное доказательство остается
в силе, если ось, перпендикулярная оси
симметрии, проходит и не через центр
тяжести сечения, т. е. ось
симметрии и любая, ей перпендикулярная,
образуют систему главных осей.

Нецентральные
главные оси, как уже указывалось, интереса
не представляют.

Осевые
моменты инерции относительно главных
центральных осей называют главными
центральными (или
сокращенно главными) моментами
инерции. Относительно
одной из главных осей момент инерции
максимален, относительно другой —
минимален. Например, для сечения,
изображенного на рис. 6.8, максимальным
является момент инерции J

(относительно
оси Ox). Конечно, говоря об экстремальности
главных моментов инерции, имеют в виду
лишь их сравнение с другими моментами
инерции, вычисленными относительно
осей, проходящих через ту же
точку сечения. Таким
образом, то обстоятельство, что один из
главных моментов инерции максимален,
а другой — минимален, можно рассматривать
как объяснение того, что они (н
соответствующие оси) называются главными.
Равенство же нулю центробежного момента
инерции относительно главных осей —
удобный признак для нх нахождения.
Некоторые типы сечений, например круг,
квадрат, правильный шестиугольник и
др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество
главных центральных осей. Для этих
сечений любая центральная ось является
главной.

Не
приводя доказательства, укажем, что, в
случае если два главных центральных
момента инерции сечения равны между
собой, у этого сечения любая центральная
ось главная и все главные центральные
моменты инерции одинаковы.

Соседние файлы в папке sopromat_teory_www.baumanka.ru

• #

  11.02.2014401 б43readme.htm

• #

  11.02.20142.53 Кб52Sopromat.html

• #
• #
• #
• #
• #
• #

6.6. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

При изменении угла α значения Iz1, Iy1, Iz1y1 (6.13) изменяются, и при некотором значении угла α0 они принимают экстремальные значения. Взяв первую производную по углу α от формул (6.13) и приравняв ее нулю, получим: Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент максимален, а относительно другой – минимален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Их вычисляют следующим образом: Главные оси обладают следующими свойствами: центробежный момент инерции относительно них равен нулю; моменты инерции относительно главных осей экстремальны; для симметричных сечений оси симметрии являются главными. Главные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называют главными центральными осями инерции. Пример 6.4. Определить, каким образом изменяется момент инерции квадратного сечения при его повороте. Решение. Момент инерции относительно повернутой оси: Поскольку оси z, y квадрата являются осями симметрии, то есть главными, то центробежный момент инерции относительно них Izy = 0: Выводы. 1. Моменты инерции квадратного сечения с изменением положения центральных осей остаются постоянными. 2. В квадрате и других правильных многоугольниках (треугольниках, пятиугольниках) любая центральная ось является и главной. Такие фигуры называют фигурами равного сопротивления. Пример 6.5. Для фигуры, представленной в примере 6.1, определить главные центральные моменты инерции. Решение. Расстояния между центральной осью составной фигуры и собственными центральными осями элементов Моменты инерции относительно центральных осей, параллельных основанию и высоте a1= y1 – yC = 5 – 3,5 = 1,5 см; a2= y2 – yC = 1 – 3,5 = –2,5 см; b1= z1 – zC = 1 – 2,5 = –1,5 см; b2= z2 – zC = 5 – 2,5 = 2,5 см. Центробежный момент инерции Направления главных осей инерции Угол α0 (положительный) откладываем против хода часовой стрелки от оси с большим моментом инерции, то есть zC . Величины главных центральных моментов инерции