Содержание
Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе
Краткие теоретические сведения
Кривая в пространстве
Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $gamma$.
-
Векторное уравнение $gamma:, vec{r}=vec{r}(t)$.
-
Параметрическое уравнение $gamma:,, x=x(t),, y=y(t),, z=z(t)$.
Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:
begin{equation*}
vec{r_0}=vec{r}(t_0), quad x_0=x(t_0),, y_0=y(t_0), , z_0=z(t_0).
end{equation*}
Пусть в точке $M$ $ vec{r’}(t_0)neqvec{0}$, то есть $M$ не является особой точкой.
Касательная к кривой
Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $vec{r’}(t_0)$.
Пусть $vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид
begin{equation*}
vec{R}=vec{r}(t_0)+lambdavec{r’}(t_0).
end{equation*}
Здесь $lambdain(-infty,+infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $lambda$ будут соответствовать разные значения $vec{R}$).
Если $vec{R}={X,Y,Z}$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:
begin{equation*}
frac{X-x(t_0)}{x'(t_0)}=frac{Y-y(t_0)}{y'(t_0)}=frac{Z-z(t_0)}{z'(t_0)}.
end{equation*}
Нормальная плоскость
Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.
Пусть $vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $vec{R}-vec{r}(t_0)$ и $vec{r’}(t_0)$:
begin{equation*}
(vec{R}-vec{r}(t_0))cdotvec{r’}(t_0)=0.
end{equation*}
Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:
begin{equation*}
x'(t_0)cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)cdot(Z-z(t_0))=0.
end{equation*}
Соприкасающаяся плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ параллельно векторам $vec{r’}(t_0)$, $vec{r»}(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.
Если $vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $vec{R}-vec{r}(t_0)$, $vec{r’}(t_0)$, $vec{r»}(t_0)$:
begin{equation*}
(vec{R}-vec{r}(t_0), vec{r’}(t_0), vec{r»}(t_0))=0.
end{equation*}
Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \
x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\
x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \
end{array}
right|=0
end{equation*}
Плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости.
Бинормаль и главная нормаль
Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.
Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.
Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.
Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.
Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:
begin{equation*}
vec{R}=vec{r}(t_0)+lambda,vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0).
end{equation*}
Как и раньше, $vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали.
Каноническое уравнение прямой:
begin{equation*}
frac{X-x(t_0)}{left|
begin{array}{cc}
y'(t_0) & z'(t_0) \
y»(t_0) & z»(t_0) \
end{array}
right|
}=frac{Y-y(t_0)}{left|
begin{array}{cc}
z'(t_0) & x'(t_0) \
z»(t_0) & x»(t_0) \
end{array}
right|
}=frac{Z-z(t_0)}{left|
begin{array}{cc}
x'(t_0) & y'(t_0) \
x»(t_0) & y»(t_0) \
end{array}
right|
}.
end{equation*}
Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $vec{r’}(t_0) timesleft[vec{r’}(t_0),vec{r»}(t_0)right]$:
begin{equation*}
vec{R}=vec{r}(t_0)+lambda,vec{r’}(t_0) timesleft[vec{r’}(t_0),vec{r»}(t_0)right].
end{equation*}
Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.
Спрямляющая плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.
Другое определение:
Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.
Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $vec{R}-vec{r}(t_0)$, $vec{r’}(t_0)$, $vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)$:
begin{equation*}
left(vec{R}-vec{r}(t_0),, vec{r’}(t_0),, vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)right)=0.
end{equation*}
Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.
Репер Френе
Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим:
$$ vec{tau}=frac{vec{r’}(t_0)}{|vec{r’}(t_0)|}. $$
Орт бинормали:
$$ vec{beta}=frac{vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)}{|vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)|}. $$
Орт главной нормали:
$$ vec{nu}=frac{vec{r’}(t_0) times[vec{r’}(t_0),,vec{r»}(t_0)]}{|vec{r’}(t_0) times [vec{r’}(t_0),,vec{r»}(t_0)]|}. $$
Правая тройка векторов $vec{tau}$, $vec{nu}$, $vec{beta}$ называется репером Френе.
Решение задач
Задача 1
Кривая $gamma$ задана параметрически:
$$
x=t,,, y=t^2,,, z=e^t.
$$
Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$.
Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.
Решение задачи 1
Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.
Начнем с производных.
begin{gather*}
gamma: vec{r}(t)=left{ t,, t^2,, e^tright} ,, Rightarrow \
vec{r’}(t)=left{ 1,, 2t,, e^tright},\
vec{r»}(t)=left{ 0,, 2,, e^tright}.
end{gather*}
В точке $M(t_0=0)$:
begin{gather*}
vec{r}(t_0)={ 0,, 0,, 1},\
vec{r’}(t_0)={ 1,, 0,, 1},\
vec{r»}(t_0)={ 0,, 2,, 1}.
end{gather*}
-
Зная координаты точки $M(0,0,1)$ и направляющего вектора $ vec{r’}(t_0)={ 1,0,1 }$, можем записать уравнение касательной:
begin{equation*}
frac{X}{1}=frac{Y}{0}=frac{Z-1}{1}.
end{equation*}
-
Нормальная плоскость проходит через точку $M(0,0,1)$ перпендикулярно вектору $vec{r’}(t_0)={ 1,0,1 }$, поэтому ее общее уравнение имеет вид:
begin{equation*}
1cdot X+0cdot Y+1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X+Z=1.
end{equation*}
-
Запишем теперь уравнение соприкасающейся плоскости, определяемой точкой $M(0,0,1)$ и векторами: $vec{r’}(t_0)={ 1,, 0,, 1}$, $vec{r»}(t_0)={ 0,, 2,, 1}$:
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
X-0 & Y-0 & Z-1 \
1 & 0 & 1\
0 & 2 & 1 \
end{array}
right|=0
end{equation*}
Раскрываем определитель, получаем уравнение:
begin{equation*}
-2X-Y+2Z-2=0
end{equation*}
-
Направление бинормали задается вектором $vec{r’}(t_0) times vec{r»}(t_0)$. Координаты этого вектора мы уже нашли, когда вычисляли миноры в определителе, задающем уравнение соприкасающейся плоскости.
$$
{ 1,, 0,, 1} times { 0,, 2,, 1}= left|
begin{array}{ccc}
vec{i} & vec{j} & vec{k} \
1 & 0 & 1\
0 & 2 & 1 \
end{array}
right|= {-2,, -1,, 2}.
$$
Уравнение бинормали:
begin{equation*}
frac{X}{-2}=frac{Y}{-1}=frac{Z-1}{2}.
end{equation*}
-
Направление главной нормали задается вектором $vec{r’}(t_0) times (vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0))$.
$$
{ 1,, 0,, 1} times {-2,, -1,, 2}= left|
begin{array}{ccc}
vec{i} & vec{j} & vec{k} \
1 & 0 & 1\
-2 & -1 & 2 \
end{array}
right|= {1,, -4,, -1} ,, Rightarrow ,,
frac{X}{1}=frac{Y}{-4}=frac{Z-1}{-1}.
$$
-
Спрямляющая плоскость перпендикулярна главной нормали, а значит, вектору ${1,, -4,, -1}$, поэтому можем сразу записать ее общее уравнение:
begin{equation*}
1cdot X-4cdot Y-1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X-4Y-Z+1=0.
end{equation*}
Орт касательной: $vec{tau} =frac{1}{sqrt{2}}{1,,0,,1}$,
Орт главной нормали: $vec{nu} =frac{1}{sqrt{18}}{1,,-4,,-1}$,
Орт бинормали: $vec{beta }=frac{1}{3}{-2,,-1,,2}$.
Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $vec{tau}$, $vec{nu}$, $vec{beta}$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $vec{tau}timesvec{beta}$ направлен так, что тройка векторов $vec{tau}$, $vec{beta}$, $vec{nu}=vec{tau}timesvec{beta}$ — правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть
$$ vec{nu} =frac{1}{sqrt{18}}{-1,,4,,1}.$$
Теперь тройка $vec{tau}$, $vec{nu}$, $vec{beta}$ образует репер Френе для кривой $gamma$ в точке $M$.
Задача 2
Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой
$$
x=t,,, y=frac{t^2}{2},,, z=frac{t^3}{3},
$$
проходящей через точку $N(0,0,9)$.
Решение задачи 2
Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)ingamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.
Найдем значение параметра $t_0$.
Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.
begin{align*}
gamma: vec{r}(t)&=left{ t,, frac{t^2}{2},, frac{t^3}{3}right} ,, Rightarrow \
vec{r’}(t)&=left{ 1,, t,, 3t^2right},\
vec{r»}(t)&=left{ 0,, 1,, 6tright}.
end{align*}
В точке $M(t=t_0)$:
begin{align*}
vec{r}(t_0)&=left{t_0,, frac{t_0^2}{2},, frac{t_0^3}{3}right} \
vec{r’}(t_0)&=left{1,, t_0,, 3t_0^2right},\
vec{r»}(t_0)&=left{0,, 1,, 6t_0right}.
end{align*}
Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $vec{r’}(t_0)$, $vec{r»}(t_0)$, поэтому записываем определитель
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \
&&\
1 & t_0 & t^2_0 \
&&\
0 & 1 & 2t_0
end{array}
right|=0 quad Rightarrow
end{equation*}
begin{equation*}
(X-t_0)cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0.
end{equation*}
Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$:
begin{equation*}
9-t_0^3/3=0 quad Rightarrow quad t_0=3.
end{equation*}
Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости:
$$ 9X-6Y+Z-9=0. $$
Задача 3
Через точку $Pleft(-frac45,1,2right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой:
$$
x=t^2,,, y=1+t,,, z=2t.
$$
Решение задачи 3
Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.
Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $vec{r’}(t_0)$ и $vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)$.
В произвольной точке $M(t=t_0)$:
begin{align*}
vec{r}(t_0)&=left{t^2_0,, 1+t_0,, 2t_0right} \
vec{r’}(t_0)&=left{2t_0,, 1,, 2right},\
vec{r»}(t_0)&=left{2,, 0,, 0right}.
end{align*}
begin{equation*}
vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)= left|
begin{array}{ccc}
vec{i} & vec{j} & vec{k} \
2t_0 & 1 & 2\
2 & 0 & 0
end{array}
right|= {0,, 4,, -2}
end{equation*}
Записываем уравнение спрямляющей плоскости:
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \
2t_0 & 1 & 2\
0 & 4 & -2
end{array}
right|= 0
end{equation*}
Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$:
begin{equation*}
5t_0^2-8t_0-4=0 ,, Rightarrow ,, t_{01}=2,, t_{02}=-frac25.
end{equation*}
Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид:
begin{align*}
& 5X-4Y-8Z+24=0,\
& 25X+4Y+8Z=0.
end{align*}
-
Нормальная плоскость.
Начать изучение
-
Главная нормаль.
Начать изучение
Нормальная плоскость.
Плоскость (mathcal{P}), проходящую через точку (M_{0}) кривой (Gamma) и перпендикулярную касательной к этой кривой в точке (M_{0}), называют нормальной плоскостью кривой (Gamma) в точке (M_{0}).
Если кривая (Gamma) задана уравнением в векторной форме
$$
Gamma={textbf{r}=textbf{r}(t), alphaleq tleqbeta},label{ref3}
$$
где
$$
textbf{r}=(x,y,z),quad textbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),nonumber
$$
(t_{0}in[alpha,beta]), (overrightarrow{OM_0}=textbf{r}(t_0)) и (textbf{r}'(t_0)neq 0), то вектор (textbf{r}'(t_0)) параллелен касательной к кривой (Gamma) в точке (M_{0}). Пусть (M) — произвольная точка нормальной плоскости (mathcal{P}) (рис. 22.5), (overrightarrow{OM}=textbf{r}). Тогда вектор (overrightarrow{MM}_{0}=textbf{r}-textbf{r}(t_0)) перпендикулярен вектору (textbf{r}'(t_{0})), и поэтому уравнение нормальной плоскости (mathcal{P}) к кривой (Gamma) в точке (M_{0}) можно записать в виде
$$
(textbf{r}-textbf{r}(t_{0}),textbf{r}'(t_{0}))=0nonumber
$$
или
$$
(x-x(t_{0}))x'(t_0)+(y-y(t_{0}))y'(t_{0})+(z-z(t_0))z'(t_0)=0.nonumber
$$
Главная нормаль.
Любую прямую, лежащую в нормальной плоскости (mathcal{P}) к кривой (Gamma) в точке (M_{0}), называют нормалью кривой (Gamma) в точке (M_{0}). Среди всех нормалей выделяют одну — главную нормаль.
Понятие главной нормали требует введения дополнительных ограничений на вектор-функции, с помощью которых записываются уравнения кривых. Пусть (Gamma) — гладкая кривая, заданная уравнением eqref{ref3}, причем для всех (tin[alpha,beta]) существует (textbf{r}″(t)). В этом случае говорят, (Gamma) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.
Утверждение 1.
Если (Gamma) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением eqref{ref3}, (s) — переменная длина дуги кривой (Gamma), то существуют (displaystyle frac{dtextbf{r}}{ds}) и (displaystyle frac{d^{2}textbf{r}}{ds^{2}}) и справедливы равенства
$$
frac{dtextbf{r}}{ds}=frac{textbf{r}'(t)}{s'(t)},label{ref26}
$$
$$
frac{d^{2}rtextbf{}}{ds^{2}}=frac{s'(t)textbf{r}″(t)-s″(t)textbf{r}'(t)}{(s(t))^{3}}.label{ref27}
$$
Доказательство.
(circ) Применяя правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного, получаем формулу eqref{ref26}:
$$
frac{dtextbf{r}}{ds}=frac{dtextbf{r}}{dt}frac{dt}{ds}=frac{dtextbf{r}}{dt}frac{1}{s'(t)}=frac{textbf{r}'(t)}{s'(t)}.nonumber
$$
Используя формулу eqref{ref26} и правило дифференцирования произведения векторной функции на скалярную, находим
$$
frac{d^{2}textbf{r}}{ds^{2}}=frac{d}{dt}left(frac{dtextbf{r}}{ds}right)frac{dt}{ds}=frac{d}{dt}left(frac{textbf{r}'(t)}{s'(t)}right)frac{1}{s'(t)}=left(frac{textbf{r}″(t)}{s'(t)}-frac{s″(t)textbf{r}'(t)}{(s(t))^{2}}right)frac{1}{s'(t)},nonumber
$$
откуда следует формула eqref{ref27}.
Заметим, что (s″(t)) существует, так как (s'(t)=|textbf{r}'(t)|),
$$
s″(t)=frac{d}{dt}(|textbf{r}'(t)|)=frac{d}{dt}(textbf{r}'(t),textbf{r}'(t))^{1/2},nonumber
$$
а (textbf{r}″(t)) существует и (|textbf{r}'(t)|neq 0). (bullet)
Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что (Gamma) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением eqref{ref3}. Тогда существуют (displaystyle frac{dtextbf{r}}{ds}) и (displaystylefrac{d^{2}textbf{r}}{ds^{2}}), причем (displaystyle frac{dtextbf{r}}{ds}) — единичный вектор в силу данного утверждения. Обозначим этот вектор буквой (tau). Тогда
$$
frac{dtextbf{r}}{ds}=tau,quad |tau|=1,label{ref28}
$$
и поэтому (см. данный пример) вектор (displaystyle frac{dtau}{ds}=frac{d^{2}textbf{r}}{ds^{2}}) ортогонален вектору (tau).
Предположим, что
$$
frac{dtau}{ds}neq 0,label{ref29}
$$
и обозначим
$$
k=|frac{dtau}{ds}|.label{ref30}
$$
Пусть (nu) — единичный вектор, параллельный вектору (displaystyle frac{dtau}{ds}). Тогда
$$
frac{dtau}{ds}=knu,quad|nu|=1,label{ref31}
$$
причем вектор (nu) ортогонален вектору (tau).
Так как вектор (tau=displaystyle frac{dtextbf{r}}{ds}) параллелен вектору касательной (r'(t)) к кривой (Gamma) в силу равенства eqref{ref26}, то из eqref{ref31} следует, что вектор (nu) параллелен нормальной плоскости кривой (Gamma) в точке (M) ((overrightarrow{OM}=r(t))). Поэтому вектор (nu) параллелен одной из нормалей кривой (Gamma) в точке (M). Эту нормаль называют главной.
Итак, если в точке (MinGamma) выполняется условие eqref{ref29}, то нормаль к кривой (Gamma) в точке (M), параллельная вектору (nu) (формула eqref{ref31}), называется главной нормалью.
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе
Краткие теоретические сведения
Кривая в пространстве
Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $gamma$.
Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:
begin vec=vec(t_0), quad x_0=x(t_0),, y_0=y(t_0), , z_0=z(t_0). end
Пусть в точке $M$ $ vec(t_0)neqvec<0>$, то есть $M$ не является особой точкой.
Касательная к кривой
Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $vec(t_0)$.
Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид
Здесь $lambdain(-infty,+infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $lambda$ будут соответствовать разные значения $vec$).
Если $vec=$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:
Нормальная плоскость
Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.
Пусть $vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $vec-vec(t_0)$ и $vec(t_0)$:
Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:
begin x'(t_0)cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)cdot(Z-z(t_0))=0. end
Соприкасающаяся плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ параллельно векторам $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.
Если $vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)$:
Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:
begin left| begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \ end right|=0 end
Бинормаль и главная нормаль
Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.
Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.
Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.
Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.
Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ vec(t_0)timesvec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:
Как и раньше, $vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:
Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $vec(t_0) timesleft[vec(t_0),vec(t_0)right]$:
Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.
Спрямляющая плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.
Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.
Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $vec-vec(t_0)$, $vec(t_0)$, $vec(t_0)timesvec(t_0)$: begin left(vec-vec(t_0),, vec(t_0),, vec(t_0)timesvec(t_0)right)=0. end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.
Репер Френе
Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ vec<tau>=frac<vec(t_0)><|vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ vec<beta>=frac<vec(t_0)timesvec(t_0)><|vec(t_0)timesvec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ vec<nu>=frac<vec(t_0) times[vec(t_0),,vec(t_0)]><|vec(t_0) times [vec(t_0),,vec(t_0)]|>. $$
Правая тройка векторов $vec<tau>$, $vec<nu>$, $vec<beta>$ называется репером Френе.
Решение задач
Задача 1
Кривая $gamma$ задана параметрически:
Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.
Решение задачи 1
Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.
Начнем с производных.
begin 1cdot X+0cdot Y+1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X+Z=1. end
begin left| begin X-0 & Y-0 & Z-1 \ 1 & 0 & 1\ 0 & 2 & 1 \ end right|=0 end Раскрываем определитель, получаем уравнение: begin -2X-Y+2Z-2=0 end
begin 1cdot X-4cdot Y-1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X-4Y-Z+1=0. end
Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $vec<tau>$, $vec<nu>$, $vec<beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $vec<tau>timesvec<beta>$ направлен так, что тройка векторов $vec<tau>$, $vec<beta>$, $vec<nu>=vec<tau>timesvec<beta>$
— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть
Теперь тройка $vec<tau>$, $vec<nu>$, $vec<tilde<beta>>$ образует репер Френе для кривой $gamma$ в точке $M$.
Задача 2
Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,,, y=frac<2>,,, z=frac<3>, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.
Решение задачи 2
Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)ingamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.
Найдем значение параметра $t_0$.
Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.
Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $vec(t_0)$, $vec(t_0)$, поэтому записываем определитель begin left| begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \ &&\ 1 & t_0 & t^2_0 \ &&\ 0 & 1 & 2t_0 end right|=0 quad Rightarrow end
begin (X-t_0)cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: begin 9-t_0^3/3=0 quad Rightarrow quad t_0=3. end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$
Задача 3
Через точку $Pleft(-frac45,1,2right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,,, y=1+t,,, z=2t. $$
Решение задачи 3
Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.
Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $vec(t_0)$ и $vec(t_0)timesvec(t_0)$.
Записываем уравнение спрямляющей плоскости: begin left| begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \ 2t_0 & 1 & 2\ 0 & 4 & -2 end right|= 0 end
Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: begin 5t_0^2-8t_0-4=0 ,, Rightarrow ,, t_<01>=2,, t_<02>=-frac25. end
Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\ & 25X+4Y+8Z=0. end
Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой
Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.
Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами. Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.
Нормальным вектором прямой называют любой ненулевой вектор, который лежит на любой прямой, перпендикулярной данной.
Понятно, что имеется бесконечное множество нормальных векторов, расположенных на данной прямой. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Получаем, что прямая является перпендикулярной одной из двух заданных параллельных прямых, тогда ее перпендикулярность распространяется и на вторую параллельную прямую. Отсюда получаем, что множества нормальных векторов этих параллельных прямых совпадают. Когда прямые a и а 1 параллельные, а n → считается нормальным вектором прямой a , также считается нормальным вектором для прямой a 1 . Когда прямая а имеет прямой вектор, тогда вектор t · n → является ненулевым при любом значении параметра t , причем также является нормальным для прямой a .
Используя определение нормального и направляющего векторов, можно прийти к выводу, что нормальный вектор перпендикулярен направляющему. Рассмотрим пример.
Если задана плоскость О х у , то множеством векторов для О х является координатный вектор j → . Он считается ненулевым и принадлежащим координатной оси О у , перпендикулярной О х . Все множество нормальных векторов относительно О х можно записать, как t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .
Прямоугольная система O x y z имеет нормальный вектор i → , относящийся к прямой О z . Вектор j → также считается нормальным. Отсюда видно, что любой ненулевой вектор, расположенный в любой плоскости и перпендикулярный О z , считается нормальным для O z .
Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой
При рассмотрении прямоугольной системы координат О х у выявим, что уравнение прямой на плоскости соответствует ей, а определение нормальных векторов производится по координатам. Если известно уравнение прямой, а необходимо найти координаты нормального вектора, тогда необходимо из уравнения A x + B y + C = 0 выявить коэффициенты, которые и соответствуют координатам нормального вектора заданной прямой.
Задана прямая вида 2 x + 7 y — 4 = 0 _, найти координаты нормального вектора.
По условию имеем, что прямая была задана общим уравнением, значит необходимо выписать коэффициенты , которые и являются координатами нормального вектора. Значит, координаты вектора имеют значение 2 , 7 .
Бывают случаи, когда A или В из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.
Указать нормальный вектор для заданной прямой y — 3 = 0 .
По условию нам дано общее уравнение прямой, значит запишем его таким образом 0 · x + 1 · y — 3 = 0 . Теперь отчетливо видим коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, получаем, что координаты нормального вектора равны 0 , 1 .
Если дано уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 или уравнение с угловым коэффициентом y = k · x + b , тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.
Найти координаты нормального вектора, если дано уравнение прямой x 1 3 — y = 1 .
Для начала необходимо перейти от уравнения в отрезках x 1 3 — y = 1 к уравнению общего вида. Тогда получим, что x 1 3 — y = 1 ⇔ 3 · x — 1 · y — 1 = 0 .
Отсюда видно, что координаты нормального вектора имеют значение 3 , — 1 .
Ответ: 3 , — 1 .
Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости x — x 1 a x = y — y 1 a y или параметрическим x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут a → = ( a x , a y ) . Возможность нахождения координат нормального вектора n → возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов n → и a → .
Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:
x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ a y · x — a x · y + a x · y 1 — a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · x — a x · y + a x · y 1 — a y · x 1 = 0
Для решения можно выбирать любой удобный способ.
Найти нормальный вектор заданной прямой x — 2 7 = y + 3 — 2 .
Из прямой x — 2 7 = y + 3 — 2 понятно, что направляющий вектор будет иметь координаты a → = ( 7 , — 2 ) . Нормальный вектор n → = ( n x , n y ) заданной прямой является перпендикулярным a → = ( 7 , — 2 ) .
Выясним, чему равно скалярное произведение. Для нахождения скалярного произведения векторов a → = ( 7 , — 2 ) и n → = ( n x , n y ) запишем a → , n → = 7 · n x — 2 · n y = 0 .
Значение n x – произвольное , следует найти n y . Если n x = 1 , отсюда получаем, что 7 · 1 — 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .
Значит, нормальный вектор имеет координаты 1 , 7 2 .
Второй способ решения сводится к тому, что необходимо прийти к общему виду уравнения из канонического. Для этого преобразуем
x — 2 7 = y + 3 — 2 ⇔ 7 · ( y + 3 ) = — 2 · ( x — 2 ) ⇔ 2 x + 7 y — 4 + 7 3 = 0
Полученный результат координат нормального вектора равен 2 , 7 .
Ответ: 2 , 7 или 1 , 7 2 .
Указать координаты нормального вектора прямой x = 1 y = 2 — 3 · λ .
Для начала необходимо выполнить преобразование для перехода в общему виду прямой. Выполним:
x = 1 y = 2 — 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 — 3 · λ ⇔ λ = x — 1 0 λ = y — 2 — 3 ⇔ x — 1 0 = y — 2 — 3 ⇔ ⇔ — 3 · ( x — 1 ) = 0 · ( y — 2 ) ⇔ — 3 · x + 0 · y + 3 = 0
Отсюда видно, что координаты нормального вектора равны — 3 , 0 .
Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат О х у z .
Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда нормальный вектор плоскости относится к A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда получаем запись векторов в виде n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .
Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z или параметрического, имеющего вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , отсюда a x , a y и a z считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору a → = ( a x , a y , a z ) . Отсюда следует, что нахождение координат нормального с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору a → = ( a x , a y , a z ) .
Нормальная плоскость и главная нормаль кривой
Нормальная плоскость.
Плоскость (mathcal
), проходящую через точку (M_<0>) кривой (Gamma) и перпендикулярную касательной к этой кривой в точке (M_<0>), называют нормальной плоскостью кривой (Gamma) в точке (M_<0>).
Рис. 22.5
Если кривая (Gamma) задана уравнением в векторной форме
$$
Gamma=<textbf=textbf(t), alphaleq tleqbeta>,label
$$
где
$$
textbf=(x,y,z),quad textbf(t)=(x(t),y(t),z(t)),nonumber
$$
(t_<0>in[alpha,beta]), (overrightarrow=textbf(t_0)) и (textbf'(t_0)neq 0), то вектор (textbf'(t_0)) параллелен касательной к кривой (Gamma) в точке (M_<0>). Пусть (M) — произвольная точка нормальной плоскости (mathcal
) (рис. 22.5), (overrightarrow=textbf). Тогда вектор (overrightarrow_<0>=textbf-textbf(t_0)) перпендикулярен вектору (textbf'(t_<0>)), и поэтому уравнение нормальной плоскости (mathcal
) к кривой (Gamma) в точке (M_<0>) можно записать в виде
$$
(textbf-textbf(t_<0>),textbf'(t_<0>))=0nonumber
$$
или
$$
(x-x(t_<0>))x'(t_0)+(y-y(t_<0>))y'(t_<0>)+(z-z(t_0))z'(t_0)=0.nonumber
$$
Главная нормаль.
Любую прямую, лежащую в нормальной плоскости (mathcal
) к кривой (Gamma) в точке (M_<0>), называют нормалью кривой (Gamma) в точке (M_<0>). Среди всех нормалей выделяют одну — главную нормаль.
Понятие главной нормали требует введения дополнительных ограничений на вектор-функции, с помощью которых записываются уравнения кривых. Пусть (Gamma) — гладкая кривая, заданная уравнением eqref, причем для всех (tin[alpha,beta]) существует (textbf″(t)). В этом случае говорят, (Gamma) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.
Если (Gamma) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением eqref, (s) — переменная длина дуги кривой (Gamma), то существуют (displaystyle frac>) и (displaystyle fractextbf>>) и справедливы равенства
$$
frac>=frac<textbf'(t)>,label
$$
$$
fracrtextbf<>>>=frac″(t)-s″(t)textbf'(t)><(s(t))^<3>>.label
$$
(circ) Применяя правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного, получаем формулу eqref:
$$
frac>=frac>
$$
Используя формулу eqref и правило дифференцирования произведения векторной функции на скалярную, находим
$$
fractextbf>>=frac
$$
откуда следует формула eqref.
Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что (Gamma) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением eqref. Тогда существуют (displaystyle frac>) и (displaystylefractextbf>>), причем (displaystyle frac>) — единичный вектор в силу данного утверждения. Обозначим этот вектор буквой (tau). Тогда
$$
frac>=tau,quad |tau|=1,label
$$
и поэтому (см. данный пример) вектор (displaystyle frac=fractextbf>>) ортогонален вектору (tau).
Пусть (nu) — единичный вектор, параллельный вектору (displaystyle frac). Тогда
$$
frac=knu,quad|nu|=1,label
$$
причем вектор (nu) ортогонален вектору (tau).
Так как вектор (tau=displaystyle frac>) параллелен вектору касательной (r'(t)) к кривой (Gamma) в силу равенства eqref, то из eqref следует, что вектор (nu) параллелен нормальной плоскости кривой (Gamma) в точке (M) ((overrightarrow=r(t))). Поэтому вектор (nu) параллелен одной из нормалей кривой (Gamma) в точке (M). Эту нормаль называют главной.
Итак, если в точке (MinGamma) выполняется условие eqref, то нормаль к кривой (Gamma) в точке (M), параллельная вектору (nu) (формула eqref), называется главной нормалью.
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/normalnyj-vektor-prjamoj-koordinaty-normalnogo-vek/
http://univerlib.com/mathematical_analysis/derivative/normal_plane/
В задачах 3.1 — 3.7 составить уравнение
касательных к следующим кривым:
3.1. x = lcos3t, y = lsin3t
в точке t = ∕4
(астроида);
3.2. x = Rsintcos2t,
y = Rsin2tcost
(четырехлепестковая роза) в произвольной
точке;
3.3. x3 = y2(2R – x)
в точке А(R, R)
(циссоида Диоклеса);
3.4.
при t = 0;
3.5. x2 + y2 = a2,
z = a
в точке
;
3.6.
(винтовая
линия) в произвольной точке;
3.7. y2 = 2px,
x – y – z = 0
в произвольной точке.
В задачах 3.8 — 3.9 найти нормальные
плоскости следующих кривых::
3.8.
в произвольной точке;
3.9.
в точке
.
3.10. Эволютой плоской кривой называется
огибающая ее нормалей. Найти эволюту
эллипса, заданного параметрическими
уравнениями x = acost,
y = bsint.
3.11. Найти эволюту параболы y2 = 2px.
3.12. Найти касательную к параболе y2 = 2x,
ортогональную прямой 2x + y + 4 = 0.
3.13. Найти пары точек, в которых касательные
к циклоиде x = R(t — sint),
y = R(1 – cost)
взаимно перпендикулярны.
3.14. Найти касательную к кривой
,
параллельную плоскости 6x + 2y + 2z — 1 = 0.
3.15. Какая кривая получится в пересечении
касательных кривой
с плоскостью Oxy?
3.16. Для кривой y2 = x,
x2 = z
написать уравнение соприкасающейся
плоскости, проходящей через точку
(–1, 0, –3).
3.17. Найти угол, образованный осью Oz
и нормальной плоскостью к кривой
x = a(t – sint),
y = a(1 – cost),
z = 4a sin(t/2)
в точке t = /2.
3.18. Найти главную нормаль кривой x = cost,
y = sint,
z = t,
параллельную плоскости
x – y + 3z – 1 = 0.
3.19. Через точку М(0, 2, 2) провести
спрямляющую плоскость для кривой x = t2,
y = 1 + t,
z = 2t.
3.20. Доказать, что кривая
пересекает образующие конуса x2 + y2 = z2
под углом /4.
3.21. Доказать, что главная нормаль винтовой
линии x = acost,
y = asint,
z = ht
пересекает ее ось под прямым углом,
а бинормаль образует с ней постоянный
угол.
3.22. Написать уравнение соприкасающейся
плоскости к кривой x = t,
y = t2/2,
z = t3/3,
проходящей через точку А(0, 0, 9).
3.23. Найти уравнения нормальных плоскостей
кривой x2 = y,
x3 = z,
проходящих через точку М(0, 3, 0).
3.24. Через точку А(1, 2, 1) провести
плоскость, пересекающую кривую y = x2,
x + z = 0
под прямым углом.
3.25. Через точку А(1, 0, 1) провести
соприкасающуюся плоскость кривой x = t,
y = 2t,
z = t2.
3.26. Через точку
провести плоскость, являющуюся спрямляющей
для кривой x = t2,
y = 1 + t,
z = 2t.
§4. Длина дуги. Натуральный параметр. Кривизна и кручение. Натуральные уравнения кривой
4.1.
Найти длину дуги кривой
от точки пересечения с плоскостью z = 0
до произвольной точки.
4.2. Найти длину
дуги кривой
x = a(t – sint),
y = a(1 – cost),
z = 4acos(
),
t [0, 2].
4.3. Найти длину дуги кривой 3a2x = y3,
2yz = a2,
отсекаемую плоскостями x = a /3,
x = 9a.
4.4. Доказать, что кривизна и кручение
винтовой линии
связаны соотношением
При каком значении h
кручение максимально?
4.5. Найти кривизну конической винтовой
линии x = tcost,
y = tsint,
z = ht
в начале координат.
4.6. Доказать, что кривая x = 1 + 2t + t2,
y = 2 – 5t + t2,
z = 1 + t2
— плоская и найти уравнение плоскости,
в которой лежит эта кривая.
4.7. Найти кривизну и кручение кривой
x = a(t – sint),
y = a(1 – cost),
z = 4acos(
)
в точке t = /2.
4.8. Найти кривизну и кручение кривой
,
в произвольной точке.
4.9. Ввести естественную параметризацию
винтовой линии x = acost,
y = asint,
z = ht.
4.10. Найти натуральные
уравнения кривой
.
4.11. Доказать, что обе
кривые 1: x = a cht,
y = a sht,
z = at
и 2: x = ct,
y =
,
z = 
являются гиперболическими
винтовыми линиями.
4.12. Найти выражение
кривизны плоской кривой, заданной
уравнением
в полярных координатах.
4.13. Найти кривизну спирали
Архимеда, заданной уравнением
.
4.14. Найти натуральные
уравнения кривой
.
4.15. Найти кривизну кривой,
заданной уравнениями в неявном виде
в точке А(1, 1, 1).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Главная
»
Общенаучные дисциплины
»
Математика (2 семестр)
»
Главная нормаль. Бинормаль. Сопровождающий трехгранник. Кривизна и кручение.
Главная нормаль. Бинормаль. Сопровождающий трехгранник. Кривизна и кручение.
Соприкасающаяся плоскость и нормали
Если взять в качестве m плоскость, проходящую через точку O кривой M, то условие соприкосновения при 
определяет соприкасающуюся плоскость кривой (рис. 1). Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке имеет соприкасающуюся плоскость. Она либо единственная, либо любая плоскость, проходящая через касательную кривой, является соприкасающейся.
Пусть 
— уравнение кривой. Тогда уравнение 
её соприкасающейся плоскости определяется из соотношения:
В координатах оно имеет вид:
Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Плоскость, перпендикулярная касательной в данной точке кривой, называется нормальной плоскостью; все нормали для данной точки лежат в нормальной плоскости. Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Также нормалью и бинормалью для краткости могут называть единичные векторы вдоль этих прямых (при этом направление вектора главной нормали обычно выбирают совпадающим с направлением вектора кривизны кривой).
Векторное уравнение бинормали в точке, отвечающей значению t0 параметра t, имеет вид:
Направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: 
.
Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке 
имеет следующий вид.
- Параметрическое задание:
- Явное задание:
- Неявное задание:
- Кривизна
-
При движении вдоль кривой её касательная меняет направление. Скорость этого вращения (отношение угла поворота касательной за бесконечно малый промежуток времени к этому промежутку) при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой называется кривизной кривой. Производная же по времени положительного единичного вектора касательной называется в этом случае вектором кривизны кривой. То и другое — функции точки кривой. Кривизна есть абсолютная величина вектора кривизны.
В случае произвольного параметрического задания кривой кривизна кривой в трехмерном пространстве определяется по формуле
- ,
где
— вектор-функция с координатами .В координатах:
Для кривой в более многомерном пространстве можно заменить векторное произведение, обозначенное здесь квадратными скобками, на внешнее произведение.
Также для кривой в любой размерности пространства можно воспользоваться формулой вектора кривизны:
и фактом, что кривизна есть его модуль, а также выражением для единичного вектора касательной
и
и получить для кривизны формулу:
или, раскрыв скобки:
Прямые и только прямые имеют всюду равную нулю кривизну. Поэтому кривизна наглядно показывает, насколько (в данной точке) кривая отличается от прямой линии: чем ближе кривизна к нулю, тем это отличие меньше. Кривизна окружности радиуса R равна 1 / R.
Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет единственную соприкасающуюся плоскость.
Для плоских кривых можно различать направление вращения касательной при движении вдоль кривой, поэтому кривизне можно приписывать знак в зависимости от направления этого вращения. Кривизна плоской кривой, задаваемой уравнениями
, определяется по формуле- .
Знак + или — берётся по соглашению, но сохраняется вдоль всей кривой.
Кручение
При движении вдоль кривой в окрестности заданной точки соприкасающаяся плоскость вращается, причём касательная к кривой является мгновенной осью этого вращения. Скорость вращения соприкасающейся плоскости при равномерном, с единичной скоростью, движении называется кручением. Направление вращения определяет знак кручения.
Трижды дифференцируемая кривая в каждой точке с отличной от нуля кривизной имеет определённое кручение. В случае параметрического задания кривой уравнениями (1) кручение кривой определяется по формуле
здесь ( * , * , * ) обозначает смешанное произведение. В координатах для натуральной параметризации:
Для прямой кручение не определено, поскольку неоднозначно определяется соприкасающаяся плоскость. Плоская кривая в каждой точке имеет кручение, равное нулю. Обратно, кривая с тождественно равным нулю кручением — плоская.
,
— вектор-функция с координатами
.
, определяется по формуле
.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.