Как найти главный член функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение 1. Функция называется Малой более высокого Порядка по сравнению с функцией при , если и и обозначается .

Примеры. 1. при , т. к. . Заметим, что при : ~, . Число назы-вается Порядком малости функции .

Определение 2. Функция называется Большой более высокого Порядка по сравнению с функцией при , если и .

2. при , т. к. .

Определение 3. Функция называется Главной частью функции при , если она представима при в виде .

При этом, функции и называются Эквивалент-ными при и обозначаются ~ .

Теорема 1. Для того чтобы функции и были экви-валентными при необходимо и достаточно, чтобы

=1.

Теорема 2. Следующие функции эквивалентными между собой при

~ ~ ~ ~ ~ .

Первые три соотношения следуют из 1-го замечательного предела и его следствий, а четвертое и пятое — из следствий 2-го замечательного предела.

Теорема 3. ~ при .

Применим первый замечательный предел и формулу бинома Ньютона к тождеству

~ ~ при .

Выделение главной части функции значительно упрощает вычисление пределов.

Примеры.

Поскольку ~ , ~ , ~ , ~ ~ , ~ , то . Наконец, ~ , ~ при , то

Т. к. ~, ~ 3, то .

3. .

Здесь нельзя использовать эквивалентные функции: ~, т. к. получим неопределенность. Преобразуем основание степени

Тогда,

Замечание. Последний пример продемонстрировал, что методом выделения главной части функции следует обращаться осторожно. Может оказаться, что решающую роль играет не главная часть функции, а другие ее части.

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов

Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов. Дадим функции. Если функция P всех x∈X может быть выражена в виде Р(х)= а (Х)+ О(а(Х)), Х> Х、 В свою очередь, функция a называется основной частью функции при x> x0. Образцы. 1. поскольку x ^8m x = x + o(x), функция 8m x из x ^равна X. 2. Пн (х)= apxn + … + а х + а apΦ, функция apnnn является главной частью многочлена РП (х) в Х>. потому что Pn (x)= apnn + o (xn) для x>^. 267. Функция P. учитывая X ^ K, основная часть x ^ x не определена однозначно. Согласно теореме 1, p-эквивалентная функция X> X0, a, является основной частью x> X0.

Однако, если вы запросите определенный тип основной детали, этот разумный выбор может гарантировать, что основная часть указанного типа определена однозначно.
Людмила Фирмаль

Например, P = x + x2 + x3.С другой стороны, x2 + x3 = o (x) для x^, P = x + o (x) для x^ и xP = o (x + x2) для x^, поэтому、 P = х + Х2 + о (Х + Х2). В первом случае основную часть можно считать a = x. 2-й а = х + Х2. В частности, справедлива следующая Лемма. Лемма 5. X K, x∈K, x как предельная точка множества X. / Для функции P X ^ K для x ^ ^ x имеет основную часть вида a (X-x) Й, AΦ.Здесь A и V являются константами, которые определяются однозначно среди всех основных частей этой формы. Это справедливо только если A = A и V = ви. Я не уверен.

Понятие основной части функции полезно для изучения бесконечно малых и бесконечно малых чисел, оно используется при решении различных математических задач. analysis. In во многих случаях бесконечно сложная аналитическая форма в окрестности данной точки может быть заменена более простой (в некотором смысле) функцией с бесконечно малым высшим порядком. Например, P (x)=P (x) = A (x-x) d + o ((x-x) d), что является максимумом в случае x> x0, бесконечно малая бесконечность, бесконечно малая бесконечность (x), выше, чем (x-Xo) d, работает в окрестности Укажите на x как функцию, которая должна быть A (x-xo) d.

В качестве примера мы покажем, как метод разделения основной части десятичной дроби применяется для расчета пределов function. In кроме того, широко используется полученное соотношение эквивалентности (8.26). Так что вам нужно найти предел(и таким образом доказать, что он существует). Используя вышеизложенное (см. отношения(8.26)）、 Валентность 1N (1 + u)〜и u ^имеют 1n (1 + x + x)—x + x в x^, поэтому (см. теорему 1) 1n (1 + x + x)= = х + Х2 + о(Х + Х2).Однако o (x + x2)= o(x) (почему?) И быть X>x2 = o (x)、 Кроме того, агентство работает от 3 до 3 раз、 agszx 3х = 3х + о(Х3)= Х3 + о(Х). Также ясно, что это 5x = o (x).Из асимптотического уравнения получаем 8W 2x-2×8 Вт Х2 = Х2 + о (Х2)= 2х + о(Х).

Двадцать два от Х-Х a ^ 2 x = x2 + o (x2)= o (x), и(ex-1)5〜x5, аналогично、 (Пример-1) 5 = x5 + o(x5)= o(x). Все эти отношения справедливы для x^. Теперь у нас есть 1П(1 + х + х2)+ х3 ags81n-5×3 = = Х + О (х)+ 3х + о(Х) О (х)= 4х + о(Х）、 81n 2x + 1 ^ 2 x +(ex-1) 5 = 2x + o (x)+ o (x)= 2x + o (x), следовательно Однако по теореме 4 ^ + o (x)〜4x, а x ^2x + o (x) 2x Итак, предел искомого существует и равен 2. При вычислении пределов функции с использованием метода разделения основной части следует отметить, что если она не учитывается в разделе 8.3, то, в общем случае, заменить десятичную дробь эквивалентной не представляется возможным.

Метод расчета лимитов путем выделения основной части функции очень удобен, прост и в то же время очень популярен.
Людмила Фирмаль

Например 。 S1P в Х-Х При нахождении предела формулы 11t p-это х<sup class=»reg»>®</sup>х Ошибочно замените функцию 81n x эквивалентной функцией x из x^. Естественный способ решения такой задачи описан в разделе 13.4. чтобы найти предел выражения в виде н (х) г (х), рекомендуется найти предел логарифма. Рассмотреть 1 / Х2 Хороший пример. Найти предел 11T сои 2x. равенства Некоторые сложности в работе приложения связаны с тем, что до сих пор не существует достаточно популярного способа выделения основной части функции. Эта проблема будет устранена в будущем (см.§ 13). Поскольку экспонента непрерывна, из(8.38).

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Источник

Определение
порядка бесконечно малой.

Для
опред-я порядка малости бесконечной
ф-и, ее сравнивают со степенной ф-ей
вида:

g(x)
= (x-a)ⁿ,
(n>0) б.м.
при
x→a

g(x)
= xⁿ,
(n>0)
б.м. при x→0

g(x)
=
,
(n>0)
б.м. при x→∞.

Опред.:
пусть f(x)
и g(x)
= (x-a)ⁿ,
(n>0)
б.м. при x→a.
Если Ǝ==C,
где С≠0-конечное число, f(x)
— б.м. при x→a
имеет порядок малости n.

Выделение
главной части бесконечно малых.

Опред.:
пусть f(x)
и g(x)=C(x-a)ⁿ
(где С≠0, n>0
– конечные числа) бесконечно малые при
x→a
такие, что Ǝ=1. Тогда говорят, что б.м.f(x)
при x→a
имеет порядок малости n,
а величину C(x-a)ⁿ
назыв. глав. часть f(x)
при x→a.

Теорема
о выдел. глав. части б.м.

Если
C(x-a)ⁿ
– глав. часть б.м. f(x)
при x→a,
то f(x)
при x→a
представл. В виде f(x)
= C(x-a)ⁿ+0((x-a)ⁿ),
(x→a).

Док-во:
т.к. C(x-a)ⁿ
– глав. часть б.м. f(x)
при x→a,
то Ǝ=1. Тогда из опред. предела следует, что
|< ε приxϵE,
0<|x-a|<ƃ.
Т.к. ε-любое сколь угодно малое, то g(x)
=
– 1 –б.м. приx→a.
=>
g(x) * C(x-a)ⁿ
= f(x) – C(x-a)ⁿ
или
f(x) = C(x-a)ⁿ
+ + g(x) * C(x-a)ⁿ
= C(x-a)ⁿ+0((x-a)ⁿ),
(x→a).

________________________________________________________________________

22)Вывести таблицу эквивалентных б.М.

Эквивалентные
б.м. ф-и.

Пусть
f(x)
и g(x)
– б.м. одного порядка малости при x→a.
Если Ǝ==
1, то их назыв. эквивалентными б.м.f(x)~g(x)
при x→a.

Теорема:
предел отношения двух б.м. не изменяется,
если каждую из них, или хотя бы одну
заменить эквивалентной б.м.

Док-во:
пусть f(x)~f*(x),
g(x)
~g*(x)
– б.м. при x→a.

=
==

Таблица
эквивалентных б.м.

sinx~x,
при x→0
tgx~x,
при x→0
arctgx~x,
при x→0
arcsinx~x,
при
x→0
1-cosx~x²,
при x→0
a^x-1~x*lna,
при
x→0
e^x-1~x,
при x→0
~,
приx→0
ln(1+x)
~x,
при x→0
~,
при x→0
~,
при x→0
~,
при x→0

________________________________________________________________________

23)Сравнение б.Б величин .

Опред.1:
пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x),
a
– предельная точка мн-ва Е. ф-я f(x)
назыв. б.б при x→a,
если
= ∞
(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
0<|x-a|<ƃ):
|f(x)|>ε.

Опред.2:
пусть f(x)
и g(x)
– б.б. при x→a.

Если
Ǝ,
тоg(x)
имеет больший порядок роста, чем f(x)
при x→a
Если
Ǝ,
тоf(x)
б.б. более высокого порядка роста при
x→a
Если
Ǝ,
тоg(x)
и f(x)-б.б.
одного порядка роста при x→a.

Для
опред-я порядка роста ф-ю f(x)
сравнивают с ф-ей g(x):

g(x)
=
– б.б. приx→a,
n>0

g(x)
=
– б.б. приx→0,
n>0

g(x)
= xⁿ
– б.б. при x→∞,
n>0

Опред.3:
пусть f(x)
и g(x)=C()ⁿ
(С≠0б n>0)
– б.б. при x→a.
Если Ǝ=1,
то ф-юназыв. глав. частью б.б.f(x)
при x→a,
а число n
– порядком роста.

________________________________________________________________________

24)Запись
на языке (ε+
ƃ)
Определение пределов функции.

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,|x-a|<ƃ):
|f(x)-A|<ε.

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,|x-a|<ƃ):
A-ε<f(x)<A.

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,|x-a|<ƃ):
A <f(x)<A+ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,|x-a|<ƃ):
|f(x)|>
ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,|x-a|<ƃ):
f(x)<-ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,|x-a|<ƃ):
f(x)>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a-
ƃ
<x<ƃ):
|f(x)-A|>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a-
ƃ
<x<ƃ):
A-ε<f(x)<A

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a-
ƃ
<x<ƃ):
A <f(x)<A+ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a-
ƃ
<x<ƃ):
|f(x)|>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a-
ƃ
<x<ƃ):
f(x)<-ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a-
ƃ
<x<ƃ):
f(x)>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a <x<a+ƃ):
|f(x)-A|<ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a <x<a+ƃ):
A-ε<f(x)<A

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a <x<a+ƃ):
A <f(x)<A+ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a <x<a+ƃ):
|f(x)|>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a <x<a+ƃ):
f(x)<-ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a <x<a+ƃ):
f(x)>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
|x|>ƃ):
|f(x)-A|<ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
|x|>ƃ):
A-ε<f(x)<A

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
|x|>ƃ):
A <f(x)<A+ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
|x|>ƃ):
|f(x)|>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
|x|>ƃ):
f(x)<-ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
|x|>ƃ):
f(x)>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x<-ƃ):
|f(x)-A|<ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x<-ƃ):
A-ε<f(x)<A

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x<-ƃ):
A <f(x)<A+ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x<-ƃ):
|f(x)|>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x<-ƃ):
f(x)<-ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x<-ƃ):
f(x)>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x>ƃ):
|f(x)-A|<ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x>ƃ):
A-ε<f(x)<A

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x>ƃ):
A <f(x)<A+ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x>ƃ):
|f(x)|>ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x>ƃ):
f(x)<-ε

(ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,x>ƃ):
f(x)>ε

________________________________________________________________________

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Определение 1.
Пусть — простейшая б.м. в точке , а — другая б.м. в той же точке . Если , где — постоянные числа, , то бесконечно малую называют главной частью . Число называют порядком функции относительно .
Замечание
Вид главной части зависит от того, конечным или бесконечным является число . Пусть — б.м. в точке , то 1) Если — конечное число, то главная часть функции имеет вид . 2) Если , то главная часть функции имеет вид .

Определение 1.

Пусть — простейшая б.м. в точке , а — другая б.м. в той же точке . Если , где — постоянные числа, , то бесконечно малую называют главной частью . Число называют порядком функции относительно .

Замечание

Вид главной части зависит от того, конечным или бесконечным
является число . Пусть — б.м. в точке , то

1) Если — конечное число, то главная часть функции имеет вид .

2) Если , то главная часть функции имеет вид .

Определение 2.
Пусть — простейшая бесконечно большая в точке , — другая бесконечно большая в той же точке . Если , где — постоянные числа, , , то бесконечно большую называют главной частью функции . Число называют порядком функции относительно .
Замечание.
Пусть — б.б. в точке . Тогда: 1). если — конечное число, то главная часть функции имеет вид . 2). если , то главная часть функции имеет вид .

Определение 2.

Пусть — простейшая бесконечно большая в точке , — другая бесконечно
большая в той же точке . Если , где — постоянные числа, , , то бесконечно большую называют главной
частью функции
. Число называют порядком функции относительно .

Замечание.

Пусть — б.б. в точке . Тогда:

1). если — конечное число, то главная часть функции имеет вид .

2). если , то главная часть функции имеет вид .

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор

Сообщение

OMAAGAAD

Заголовок сообщения: Выделить главный член функции

Добавлено: 23 дек 2010, 01:23

Начинающий

Зарегистрирован:
23 дек 2010, 01:21
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добрый день, поомгите пожалуйста выделить главный член вида Cx^(alfa)

Вложение:

Комментарий к файлу: пример

_1_~1.JPG [ 11.64 Кб | Просмотров: 3728 ]

Вернуться к началу

Prokop	Заголовок сообщения: Re: Выделить главный член функции Добавлено: 23 дек 2010, 15:47
	Волнистая линия означает эквивалентность (предел отношения левой и правой части равен 1). [math]frac{1}{x}!left(4^{frac{1}{x}}-4^{frac{1}{x+1}}right)simfrac{1}{x}!left(1 — 4^{frac{-1}{(x+1)x}}right) sim frac{ln4}{x^3}[/math] Использовалась формула [math]a^alpha-1simalphaln{a}[/math], где [math]alpha[/math] — бесконечно малая величина
Вернуться к началу

	За это сообщение пользователю Prokop «Спасибо» сказали: OMAAGAAD

OMAAGAAD	Заголовок сообщения: Re: Выделить главный член функции Добавлено: 23 дек 2010, 23:26

Вернуться к началу

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Выделить главный член A ((α )^n)(x) б.м.(б.б.) функции в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	matan4635467325462	2	118	07 дек 2020, 21:33
Выделить главный член Aα^n(x) функции в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	Kurizer	0	102	07 дек 2020, 18:59
Выделить главный член Aαn (x) б. м. (б. б.) функции в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	Zqquiet	1	207	06 дек 2020, 11:54
Выделить главный член Aα^n (x) б. м. (б. б.) функции в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	SASHA PAHAN	0	176	08 дек 2020, 17:37
Выделить главный член функции в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	Elphen Lied	6	137	29 окт 2020, 13:17
Выделить главный член функции в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	czechcourier	1	402	17 ноя 2015, 01:22
Выделить главный член в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	md_house	1	777	24 дек 2017, 22:09
Главный член и порядок малости в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	md_house	1	439	25 дек 2017, 15:49
Главный член и порядок малости в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	md_house	1	235	18 дек 2017, 00:07
Выделить главную степенную часть функции в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	Oblomova	6	374	16 дек 2020, 22:15

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group

Вы можете создать форум бесплатно PHPBB3 на Getbb.Ru, Также возможно сделать готовый форум PHPBB2 на Mybb2.ru

Русская поддержка phpBB

Источник