Как найти глубину графа

Реализуем алгоритм поиска в глубину

В этом туториале описан алгоритм поиска в глубину (depth first search, DFS) с псевдокодом и примерами. Кроме того, расписаны способы реализации поиска в глубину в C, Java, Python и C++.

“Поиск в глубину” или “обход в глубину” — это рекурсивный алгоритм по поиску всех вершин графа или дерева. Обход подразумевает под собой посещение всех вершин графа.

Алгоритм поиска в глубину

Стандартная реализация поиска в глубину помещает каждую вершину (узел, node) графа в одну из двух категорий:

1. Пройденные (Visited).

2. Не пройденные (Not Visited).

Цель алгоритма состоит в том, чтобы пометить каждую вершину как “Пройденная”, избегая при этом циклов.

Алгоритм поиска в глубину работает следующим образом:

1. Начните с того, что поместите любую вершину графа на вершину стека.

2. Возьмите верхний элемент стека и добавьте его в список “Пройденных”.

3. Создайте список смежных вершин для этой вершины. Добавьте те вершины, которых нет в списке “Пройденных”, в верх стека.

4. Необходимо повторять шаги 2 и 3, пока стек не станет пустым.

Пример реализации поиска в глубину

Предлагаю рассмотреть на примере, как работает алгоритм поиска в глубину. Мы будем использовать неориентированный граф с пятью вершинами.

Начнем мы с вершины “0”. В первую очередь алгоритм поиска в глубину поместит ее саму в список “Пройденные” (на изображении “Visited”), а ее смежные вершины — в стек.

Затем мы берем следующий элемент сверху стека, т.е. к вершину “1”, и переходим к ее соседним вершинам. Поскольку вершина “0” уже пройдена, следующая вершина “2”.

Вершина “2” смежна непройденной вершине “4”, следовательно мы добавляем ее наверх стека и проходим ее.

После того, как мы пройдем последний элемент (вершину “3”), в стеке не останется непройденных смежных вершин, и таким образом мы завершили обход графа в глубину.

Псевдокод поиска в глубину (рекурсивная реализация)

Ниже представлен псевдокод для алгоритма поиска в глубину. Обратите внимание, что в функции init() необходимо запускать функцию DFS на каждой вершине. Это связано с тем, что граф может иметь две разные несвязанные части, поэтому для того, чтобы убедиться, что мы покрываем каждую вершину, мы должны запускать алгоритм поиска в глубину на каждой вершине.

DFS(G, u)
    u.visited = true
    for each v ∈ G.Adj[u]
        if v.visited == false
            DFS(G,v)
     
init() {
    For each u ∈ G
        u.visited = false
     For each u ∈ G
       DFS(G, u)
}

Реализация поиска в глубину на Python, Java и C/C++

Ниже приведены примеры реально кода алгоритма поиска в глубину. Код был упрощен, чтобы мы могли сфокусироваться на самом алгоритме, а не на других деталях.

# Алгоритм поиска в глубину на Python


# Алгоритм
def dfs(graph, start, visited=None):
    if visited is None:
        visited = set()
    visited.add(start)

    print(start)

    for next in graph[start] - visited:
        dfs(graph, next, visited)
    return visited


graph = {'0': set(['1', '2']),
         '1': set(['0', '3', '4']),
         '2': set(['0']),
         '3': set(['1']),
         '4': set(['2', '3'])}

dfs(graph, '0')

// Алгоритм поиска в глубину на Java
import java.util.*;
 
class Graph {
  private LinkedList<Integer> adjLists[];
  private boolean visited[];
 
  // Создание графа
  Graph(int vertices) {
    adjLists = new LinkedList[vertices];
    visited = new boolean[vertices];
 
    for (int i = 0; i < vertices; i++)
      adjLists[i] = new LinkedList<Integer>();
  }
 
  // Добавление ребер
  void addEdge(int src, int dest) {
    adjLists[src].add(dest);
  }
 
  // Алгоритм 
  void DFS(int vertex) {
    visited[vertex] = true;
    System.out.print(vertex + " ");
 
    Iterator<Integer> ite = adjLists[vertex].listIterator();
    while (ite.hasNext()) {
      int adj = ite.next();
      if (!visited[adj])
        DFS(adj);
    }
  }
 
  public static void main(String args[]) {
    Graph g = new Graph(4);
 
    g.addEdge(0, 1);
    g.addEdge(0, 2);
    g.addEdge(1, 2);
    g.addEdge(2, 3);
 
    System.out.println("Following is Depth First Traversal");
 
    g.DFS(2);
  }
}

// Алгоритм поиска в глубину на C
 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
struct node {
  int vertex;
  struct node* next;
};
 
struct node* createNode(int v);
 
struct Graph {
  int numVertices;
  int* visited;
 
  // Нам нужен int** для хранения двумерного массива.
  // Аналогично, нам нужна структура node** для хранения массива связанных списков.
  struct node** adjLists;
};
 
// Алгоритм
void DFS(struct Graph* graph, int vertex) {
  struct node* adjList = graph->adjLists[vertex];
  struct node* temp = adjList;
 
  graph->visited[vertex] = 1;
  printf("Visited %d n", vertex);
 
  while (temp != NULL) {
    int connectedVertex = temp->vertex;
 
    if (graph->visited[connectedVertex] == 0) {
      DFS(graph, connectedVertex);
    }
    temp = temp->next;
  }
}
 
// Создание вершины
struct node* createNode(int v) {
  struct node* newNode = malloc(sizeof(struct node));
  newNode->vertex = v;
  newNode->next = NULL;
  return newNode;
}
 
// Создание графа
struct Graph* createGraph(int vertices) {
  struct Graph* graph = malloc(sizeof(struct Graph));
  graph->numVertices = vertices;
 
  graph->adjLists = malloc(vertices * sizeof(struct node*));
 
  graph->visited = malloc(vertices * sizeof(int));
 
  int i;
  for (i = 0; i < vertices; i++) {
    graph->adjLists[i] = NULL;
    graph->visited[i] = 0;
  }
  return graph;
}
 
// Добавление ребра
void addEdge(struct Graph* graph, int src, int dest) {
  // Проводим ребро от начальной вершины ребра графа к конечной вершине ребра графа
  struct node* newNode = createNode(dest);
  newNode->next = graph->adjLists[src];
  graph->adjLists[src] = newNode;
 
  // Проводим ребро из конечной вершины ребра графа в начальную вершину ребра графа
  newNode = createNode(src);
  newNode->next = graph->adjLists[dest];
  graph->adjLists[dest] = newNode;
}
 
// Выводим граф
void printGraph(struct Graph* graph) {
  int v;
  for (v = 0; v < graph->numVertices; v++) {
    struct node* temp = graph->adjLists[v];
    printf("n Adjacency list of vertex %dn ", v);
    while (temp) {
      printf("%d -> ", temp->vertex);
      temp = temp->next;
    }
    printf("n");
  }
}
 
int main() {
  struct Graph* graph = createGraph(4);
  addEdge(graph, 0, 1);
  addEdge(graph, 0, 2);
  addEdge(graph, 1, 2);
  addEdge(graph, 2, 3);
 
  printGraph(graph);
 
  DFS(graph, 2);
 
  return 0;
}

// Алгоритм прохода в глубину в C++
 
#include <iostream>
#include <list>
using namespace std;
 
class Graph {
  int numVertices;
  list<int> *adjLists;
  bool *visited;
 
   public:
  Graph(int V);
  void addEdge(int src, int dest);
  void DFS(int vertex);
};
 
// Инициализация графа
Graph::Graph(int vertices) {
  numVertices = vertices;
  adjLists = new list<int>[vertices];
  visited = new bool[vertices];
}
 
// Добавление ребер
void Graph::addEdge(int src, int dest) {
  adjLists[src].push_front(dest);
}
 
// Алгоритм 
void Graph::DFS(int vertex) {
  visited[vertex] = true;
  list<int> adjList = adjLists[vertex];
 
  cout << vertex << " ";
 
  list<int>::iterator i;
  for (i = adjList.begin(); i != adjList.end(); ++i)
    if (!visited[*i])
      DFS(*i);
}
 
int main() {
  Graph g(4);
  g.addEdge(0, 1);
  g.addEdge(0, 2);
  g.addEdge(1, 2);
  g.addEdge(2, 3);
 
  g.DFS(2);
 
  return 0;
}

Сложность алгоритма поиска в глубину

Временная сложность алгоритма поиска в глубину представлена ​​в виде O(V + E), где V — количество вершин, а E — количество ребер.

Пространственная сложность алгоритма равна O(V).

Применения алгоритма

1. Для поиска пути.

2. Для проверки двудольности графа.

3. Для поиска сильно связанных компонентов графа.

4. Для обнаружения циклов в графе.

Приглашаем всех желающих на открытый урок в OTUS «Теория графов. Термины и определения. Основные алгоритмы», регистрация доступна по ссылке.

const int maxn = 1e5;
bool used[maxn]; // тут будем отмечать посещенные вершины

void dfs(int v) {
    used[v] = true;
    for (int u : g[v])
        if (!used[u])
            dfs(v);
}

int tin[maxn], tout[maxn];
int t = 0;

void dfs(int v) {
    tin[v] = t++;
    for (int u : g[v])
        if (!used[u])
            dfs(u);
    tout[v] = t; // иногда счетчик тут тоже увеличивают
}

const int maxn = 1e5;

bool used[maxn];
int h[maxn], d[maxn];

void dfs(int v, int p = -1) {
    used[u] = true;
    d[v] = h[v] = (p == -1 ? 0 : h[p] + 1);
    for (int u : g[v]) {
        if (u != p) {
            if (used[u]) // если рябро обратное
                d[v] = min(d[v], h[u]);
            else { // если рябро прямое
                dfs(u, v);
                d[v] = min(d[v], d[u]);
                if (h[v] < d[v]) {
                    // ребро (v, u) -- мост
                }
            }
        }
    }
}

void dfs(int v, int p = -1) {
    used[u] = 1;
    d[v] = h[v] = (p == -1 ? 0 : h[p] + 1);
    int children = 0; // случай с корнем обработаем отдельно
    for (int u : g[u]) {
        if (u != p) {
            if (used[u])
                d[v] = min(d[v], h[u]);
            else {
                dfs(u, v);
                d[v] = min(d[v], d[u]);
                if (dp[v] >= tin[u] && p != -1) {
                    // u -- точка сочленения
                }
                children++;
            }
        }
    }
    if (p == -1 && children > 1) {
        // v -- корень и точка сочленения
    }
}

vector<int> g[maxn], t[maxn];
vector<int> order;
bool used[maxn];
int component[maxn];
int cnt_components = 0;

// топологическая сортировка
void dfs1(int v) {
    used[v] = true;
    for (int u : g[v]) {
        if (!used[u]) 
            dfs1(u);
    order.push_back(v);
}

// маркировка компонент сильной связности
void dfs2(int v) {
    component[v] = cnt_components;
    for (int u : t[v])
        if (cnt_components[u] == 0)
            dfs2(u);
}


// в содержательной части main:

// транспонируем граф
for (int v = 0; v < n; v++)
    for (int u : g[v])
        t[u].push_back(v);

// запускаем топологическую сортировку
for (int i = 0; i < n; i++)
    if (!used[i])
        dfs1(i);

// выделяем компоненты
reverse(order.begin(), order.end());
for (int v : order)
    if (component[v] == 0)
        dfs2(v);

(a | b) & (!c | d) & (!a | !b)

const int maxn = 1e5;
set<int> g[maxn];

void euler(int v) {
    while (!g[v].empty()) {
        u = *g[v].begin();
        g[v].erase(g[v].begin());
        dfs(u);
    }
    cout << v <<  " ";
}

void euler(int v){
    stack >s;
    s.push({v, -1});
    while (!s.empty()) {
        v = s.top().first;
        int x = s.top().second;
        for (int i = 0; i < g[v].size(); i++){
            pair e = g[v][i];
            if(!u[e.second]){
                u[e.second]=1;
                s.push(e);
                break;
            }
        }
        if (v == s.top().first) {
            if (~x) {
                p.push_back(x);
            }
            s.pop();
        }
    }
}

Обход

означает посещение всех узлов графа.

«Обход в глубину» или «Поиск в глубину»

— это рекурсивный алгоритм поиска всех вершин графа или древовидной структуры данных. В этой статье, с помощью приведенных ниже примеров, вы узнаете: алгоритм DFS, псевдокод DFS и код алгоритма «поиска в глубину» с реализацией в программах на C ++, C, Java и Python.

Алгоритм DFS

Стандартная реализация DFS помещает каждую вершину графа в одну из двух категорий:

1. Посещенные.
2. Не посещенные.

Цель алгоритма

— пометить каждую вершину, как посещенную, избегая циклов.

Алгоритм DFS работает следующим образом:

1. Начните с размещения любой вершины графа на вершине стека.
2. Возьмите верхний элемент стека и добавьте его в список посещенных.
3. Создайте список смежных узлов этой вершины. Добавьте те, которых нет в списке посещенных, в начало стека.
4. Продолжайте повторять шаги 2 и 3, пока стек не станет пустым.

Пример DFS

Давайте посмотрим, как алгоритм «поиска в глубину» работает на примере. Мы используем неориентированный граф с 5 вершинами.

Мы начинаем с вершины 0, алгоритм DFS начинается с помещения его в список посещенных и размещения всех смежных вершин в стеке.

Затем мы посещаем элемент в верхней части стека, то есть 1, и переходим к смежным узлам. Так как 0 мы уже посетили, вместо этого посещаем 2.

У вершины 2 есть не посещенная смежная вершина 4, поэтому мы добавляем ее в верхнюю часть стека и посещаем.

После того, как мы посетим последний элемент 3, у него нет не посещенных смежных узлов. На этом мы завершим первый «обход в глубину» графа.

Псевдокод DFS (рекурсивная реализация)

Псевдокод для DFS показан ниже. Обратите внимание, что в функции

init()

мы запускаем функцию DFS на каждом узле. Это связано с тем, что граф может иметь две разные несвязанные части, поэтому, чтобы убедиться, что мы покрываем каждую вершину, мы также можем запустить алгоритм DFS на каждом узле.

DFS(G, u)
    u.visited = true
    for each v ∈ G.Adj[u]
        if v.visited == false
            DFS(G,v)

init() {
    For each u ∈ G
        u.visited = false
     For each u ∈ G
       DFS(G, u)
}


  Код DFS

 

  Код для алгоритма «поиска в глубину» с примером показан ниже. Код был упрощен, поэтому мы можем сосредоточиться на алгоритме, а не на других деталях.
 

  DFS в C

 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct node
{
    int vertex;
    struct node* next;
};

struct node* createNode(int v);

struct Graph
{
    int numVertices;
    int* visited;
    struct node** adjLists; // we need int** to store a two dimensional array. Similary, we need struct node** to store an array of Linked lists
};

struct Graph* createGraph(int);
void addEdge(struct Graph*, int, int);
void printGraph(struct Graph*);
void DFS(struct Graph*, int);


int main()
{

    struct Graph* graph = createGraph(4);
    addEdge(graph, 0, 1);
    addEdge(graph, 0, 2);
    addEdge(graph, 1, 2);
    addEdge(graph, 2, 3);

    printGraph(graph);

    DFS(graph, 2);

    return 0;
}

void DFS(struct Graph* graph, int vertex) {
        struct node* adjList = graph->adjLists[vertex];
        struct node* temp = adjList;

        graph->visited[vertex] = 1;
        printf("Visited %d n", vertex);

        while(temp!=NULL) {
            int connectedVertex = temp->vertex;

            if(graph->visited[connectedVertex] == 0) {
                DFS(graph, connectedVertex);
            }
            temp = temp->next;
        }       
}


struct node* createNode(int v)
{
    struct node* newNode = malloc(sizeof(struct node));
    newNode->vertex = v;
    newNode->next = NULL;
    return newNode;
}

struct Graph* createGraph(int vertices)
{
    struct Graph* graph = malloc(sizeof(struct Graph));
    graph->numVertices = vertices;

    graph->adjLists = malloc(vertices * sizeof(struct node*));

    graph->visited = malloc(vertices * sizeof(int));

    int i;
    for (i = 0; i < vertices; i++) {
        graph->adjLists[i] = NULL;
        graph->visited[i] = 0;
    }
    return graph;
}

void addEdge(struct Graph* graph, int src, int dest)
{
    // Add edge from src to dest
    struct node* newNode = createNode(dest);
    newNode->next = graph->adjLists[src];
    graph->adjLists[src] = newNode;

    // Add edge from dest to src
    newNode = createNode(src);
    newNode->next = graph->adjLists[dest];
    graph->adjLists[dest] = newNode;
}

void printGraph(struct Graph* graph)
{
    int v;
    for (v = 0; v < graph->numVertices; v++)
    {
        struct node* temp = graph->adjLists[v];
        printf("n Adjacency list of vertex %dn ", v);
        while (temp)
        {
            printf("%d -> ", temp->vertex);
            temp = temp->next;
        }
        printf("n");
    }
}


  Depth First Search (DFS) в C++

 
#include <iostream>
#include <list>
using namespace std;

class Graph
{
    int numVertices;
    list *adjLists;
    bool *visited;

public:
    Graph(int V);
    void addEdge(int src, int dest);
    void DFS(int vertex);
};

Graph::Graph(int vertices)
{
    numVertices = vertices;
    adjLists = new list[vertices];
    visited = new bool[vertices];
}

void Graph::addEdge(int src, int dest)
{
    adjLists[src].push_front(dest);
}

void Graph::DFS(int vertex)
{

    visited[vertex] = true;
    list adjList = adjLists[vertex];

    cout << vertex << " ";

    list::iterator i;
    for(i = adjList.begin(); i != adjList.end(); ++i)
        if(!visited[*i])
            DFS(*i);
}

int main()
{
    Graph g(4);
    g.addEdge(0, 1);
    g.addEdge(0, 2);
    g.addEdge(1, 2);
    g.addEdge(2, 3);

    g.DFS(2);

    return 0;
}


  DFS Java код (Java code)

 
import java.io.*;
import java.util.*;


class Graph
{
    private int numVertices;
    private LinkedList<Integer> adjLists[];
    private boolean visited[];

    Graph(int vertices)
    {
        numVertices = vertices;
        adjLists = new LinkedList[vertices];
        visited = new boolean[vertices];

        for (int i = 0; i < vertices; i++)
            adjLists[i] = new LinkedList<Integer>();
    }

    void addEdge(int src, int dest)
    {
        adjLists[src].add(dest);
    }

    void DFS(int vertex)
    {
        visited[vertex] = true;
        System.out.print(vertex + " ");

        Iterator ite = adjLists[vertex].listIterator();
        while (ite.hasNext())
        {
            int adj = ite.next();
            if (!visited[adj])
                DFS(adj);
        }
    }


    public static void main(String args[])
    {
        Graph g = new Graph(4);

         g.addEdge(0, 1);
         g.addEdge(0, 2);
         g.addEdge(1, 2);
         g.addEdge(2, 3);

        System.out.println("Following is Depth First Traversal");

        g.DFS(2);
    }
}


  DFS в Python

 
def dfs(graph, start, visited=None):
    if visited is None:
        visited = set()
    visited.add(start)
    print(start)
    for next in graph[start] - visited:
        dfs(graph, next, visited)
    return visited

graph = {'0': set(['1', '2']),
         '1': set(['0', '3', '4']),
         '2': set(['0']),
         '3': set(['1']),
         '4': set(['2', '3'])}

dfs(graph, '0')

From Wikipedia, the free encyclopedia

Order in which the nodes are visited
Class	Search algorithm
Data structure	Graph
Worst-case performance	for explicit graphs traversed without repetition, for implicit graphs with branching factor b searched to depth d
Worst-case space complexity	if entire graph is traversed without repetition, O(longest path length searched) = for implicit graphs without elimination of duplicate nodes

Depth-first search (DFS) is an algorithm for traversing or searching tree or graph data structures. The algorithm starts at the root node (selecting some arbitrary node as the root node in the case of a graph) and explores as far as possible along each branch before backtracking. Extra memory, usually a stack, is needed to keep track of the nodes discovered so far along a specified branch which helps in backtracking of the graph.

A version of depth-first search was investigated in the 19th century by French mathematician Charles Pierre Trémaux^[1] as a strategy for solving mazes.^[2][3]

Properties[edit]

The time and space analysis of DFS differs according to its application area. In theoretical computer science, DFS is typically used to traverse an entire graph, and takes time ,^[4] where is the number of vertices and the number of edges. This is linear in the size of the graph. In these applications it also uses space in the worst case to store the stack of vertices on the current search path as well as the set of already-visited vertices. Thus, in this setting, the time and space bounds are the same as for breadth-first search and the choice of which of these two algorithms to use depends less on their complexity and more on the different properties of the vertex orderings the two algorithms produce.

For applications of DFS in relation to specific domains, such as searching for solutions in artificial intelligence or web-crawling, the graph to be traversed is often either too large to visit in its entirety or infinite (DFS may suffer from non-termination). In such cases, search is only performed to a limited depth; due to limited resources, such as memory or disk space, one typically does not use data structures to keep track of the set of all previously visited vertices. When search is performed to a limited depth, the time is still linear in terms of the number of expanded vertices and edges (although this number is not the same as the size of the entire graph because some vertices may be searched more than once and others not at all) but the space complexity of this variant of DFS is only proportional to the depth limit, and as a result, is much smaller than the space needed for searching to the same depth using breadth-first search. For such applications, DFS also lends itself much better to heuristic methods for choosing a likely-looking branch. When an appropriate depth limit is not known a priori, iterative deepening depth-first search applies DFS repeatedly with a sequence of increasing limits. In the artificial intelligence mode of analysis, with a branching factor greater than one, iterative deepening increases the running time by only a constant factor over the case in which the correct depth limit is known due to the geometric growth of the number of nodes per level.

DFS may also be used to collect a sample of graph nodes. However, incomplete DFS, similarly to incomplete BFS, is biased towards nodes of high degree.

Example[edit]

For the following graph:

a depth-first search starting at the node A, assuming that the left edges in the shown graph are chosen before right edges, and assuming the search remembers previously visited nodes and will not repeat them (since this is a small graph), will visit the nodes in the following order: A, B, D, F, E, C, G. The edges traversed in this search form a Trémaux tree, a structure with important applications in graph theory.
Performing the same search without remembering previously visited nodes results in visiting the nodes in the order A, B, D, F, E, A, B, D, F, E, etc. forever, caught in the A, B, D, F, E cycle and never reaching C or G.

Iterative deepening is one technique to avoid this infinite loop and would reach all nodes.

Output of a depth-first search[edit]

The result of a depth-first search of a graph can be conveniently described in terms of a spanning tree of the vertices reached during the search. Based on this spanning tree, the edges of the original graph can be divided into three classes: forward edges, which point from a node of the tree to one of its descendants, back edges, which point from a node to one of its ancestors, and cross edges, which do neither. Sometimes tree edges, edges which belong to the spanning tree itself, are classified separately from forward edges. If the original graph is undirected then all of its edges are tree edges or back edges.

Vertex orderings[edit]

It is also possible to use depth-first search to linearly order the vertices of a graph or tree. There are four possible ways of doing this:

• A preordering is a list of the vertices in the order that they were first visited by the depth-first search algorithm. This is a compact and natural way of describing the progress of the search, as was done earlier in this article. A preordering of an expression tree is the expression in Polish notation.
• A postordering is a list of the vertices in the order that they were last visited by the algorithm. A postordering of an expression tree is the expression in reverse Polish notation.
• A reverse preordering is the reverse of a preordering, i.e. a list of the vertices in the opposite order of their first visit. Reverse preordering is not the same as postordering.
• A reverse postordering is the reverse of a postordering, i.e. a list of the vertices in the opposite order of their last visit. Reverse postordering is not the same as preordering.

For binary trees there is additionally in-ordering and reverse in-ordering.

For example, when searching the directed graph below beginning at node A, the sequence of traversals is either A B D B A C A or A C D C A B A (choosing to first visit B or C from A is up to the algorithm). Note that repeat visits in the form of backtracking to a node, to check if it has still unvisited neighbors, are included here (even if it is found to have none). Thus the possible preorderings are A B D C and A C D B, while the possible postorderings are D B C A and D C B A, and the possible reverse postorderings are A C B D and A B C D.

Reverse postordering produces a topological sorting of any directed acyclic graph. This ordering is also useful in control-flow analysis as it often represents a natural linearization of the control flows. The graph above might represent the flow of control in the code fragment below, and it is natural to consider this code in the order A B C D or A C B D but not natural to use the order A B D C or A C D B.

if (A) then {
    B
} else {
    C
}
D

Pseudocode[edit]

Input:
Output:
A recursive implementation of DFS:^[5]

procedure DFS(G, v) is
    label v as discovered
    for all directed edges from v to w that are in G.adjacentEdges(v) do
        if vertex w is not labeled as discovered then
            recursively call DFS(G, w)

A non-recursive implementation of DFS with worst-case space complexity , with the possibility of duplicate vertices on the stack:^[6]

procedure DFS_iterative(G, v) is
    let S be a stack
    S.push(v)
    while S is not empty do
        v = S.pop()
        if v is not labeled as discovered then
            label v as discovered
            for all edges from v to w in G.adjacentEdges(v) do 
                S.push(w)

These two variations of DFS visit the neighbors of each vertex in the opposite order from each other: the first neighbor of v visited by the recursive variation is the first one in the list of adjacent edges, while in the iterative variation the first visited neighbor is the last one in the list of adjacent edges. The recursive implementation will visit the nodes from the example graph in the following order: A, B, D, F, E, C, G. The non-recursive implementation will visit the nodes as: A, E, F, B, D, C, G.

The non-recursive implementation is similar to breadth-first search but differs from it in two ways:

1. it uses a stack instead of a queue, and
2. it delays checking whether a vertex has been discovered until the vertex is popped from the stack rather than making this check before adding the vertex.

If G is a tree, replacing the queue of the breadth-first search algorithm with a stack will yield a depth-first search algorithm. For general graphs, replacing the stack of the iterative depth-first search implementation with a queue would also produce a breadth-first search algorithm, although a somewhat nonstandard one.^[7]

Another possible implementation of iterative depth-first search uses a stack of iterators of the list of neighbors of a node, instead of a stack of nodes. This yields the same traversal as recursive DFS.^[8]

procedure DFS_iterative(G, v) is
    let S be a stack
    label v as discovered
    S.push(iterator of G.adjacentEdges(v))
    while S is not empty do
        if S.peek().hasNext() then
            w = S.peek().next()
            if w is not labeled as discovered then
                label w as discovered
                S.push(iterator of G.adjacentEdges(w))
        else
            S.pop()

Applications[edit]

Algorithms that use depth-first search as a building block include:

• Finding connected components.
• Topological sorting.
• Finding 2-(edge or vertex)-connected components.
• Finding 3-(edge or vertex)-connected components.
• Finding the bridges of a graph.
• Generating words in order to plot the limit set of a group.
• Finding strongly connected components.
• Determining whether a species is closer to one species or another in a phylogenetic tree.
• Planarity testing.^[9][10]
• Solving puzzles with only one solution, such as mazes. (DFS can be adapted to find all solutions to a maze by only including nodes on the current path in the visited set.)
• Maze generation may use a randomized DFS.
• Finding biconnectivity in graphs.
• Succession to the throne shared by the Commonwealth realms.^[11]

Complexity[edit]

The computational complexity of DFS was investigated by John Reif. More precisely, given a graph , let be the ordering computed by the standard recursive DFS algorithm. This ordering is called the lexicographic depth-first search ordering. John Reif considered the complexity of computing the lexicographic depth-first search ordering, given a graph and a source. A decision version of the problem (testing whether some vertex u occurs before some vertex v in this order) is P-complete,^[12] meaning that it is «a nightmare for parallel processing».^[13]: 189

A depth-first search ordering (not necessarily the lexicographic one), can be computed by a randomized parallel algorithm in the complexity class RNC.^[14] As of 1997, it remained unknown whether a depth-first traversal could be constructed by a deterministic parallel algorithm, in the complexity class NC.^[15]

See also[edit]

• Tree traversal (for details about pre-order, in-order and post-order depth-first traversal)
• Breadth-first search
• Iterative deepening depth-first search
• Search game

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

• Open Data Structures — Section 12.3.2 — Depth-First-Search, Pat Morin
• C++ Boost Graph Library: Depth-First Search
• Depth-First Search Animation (for a directed graph)
• Depth First and Breadth First Search: Explanation and Code
• QuickGraph^{[permanent dead link]}, depth first search example for .Net
• Depth-first search algorithm illustrated explanation (Java and C++ implementations)
• YAGSBPL – A template-based C++ library for graph search and planning